Análisis de datos correlacionados

Gloria Icaza Alejandro Jara Universidad de Talca Universidad de Concepción

Chile

Octavo Congreso Latinoamericano de Sociedades de Estadística - CLATSEMontevideo Uruguay, Octubre 2008

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Definición

• Definimos datos correlacionados cuando las observaciones se agrupan naturalmente en grupos o conglomerados (clusters).

• Por ejemplo:

– Estudios longitudinales (múltiple observaciones en el tiempo en el mismo sujeto).

– Estudios de familia (genética).– Estudios multicéntricos (pacientes de un mismo centro)– Estudios de caries (múltiples observaciones en un mismo

sujeto).– Análisis espacial (autocorrelación espacial)

Programa

• Modelos lineales mixtos

• Modelos lineales generalizados mixtos

• Modelos no lineales mixtos

• Modelos bayesianos semiparamétricos

Algo de Historia

• Fisher. 1918,1925 ANOVA, correlación intraclase.

• Henderson. Estimation of variance and covariance components. Biometrics 1953.

• Harville. 1974, 1976, 1977

• Laird & Ware. Random effects models for longitudinal data. Biometrics 1982.

• ……

Modelos lineales y SAS

Respuesta Efectos Fijos Efectos mixtos

NormalModelo lineal

general

Proc GLM

Modelo lineal mixto

Proc MIXED

Familia exponencial*

Modelo lineal generalizado

Proc GENMOD

Modelo lineal mixto generalizado

Proc GLIMMIX

*Normal, Poisson, Binomial, Gama, Normal inversa

Modelos de Efectos Mixtos: Ejemplo 1

• Investigadores de la Escuela de Odontología de la Universidad de Carolina del Norte, analizaron el crecimiento de 27 niños (16 hombres, 11 mujeres) desde los 8 hasta los 14 años. Biometrika, 1964.

• Con rayos X midieron, cada dos años, la distancia entre la pituitaria y la fisura pterigomaxilar.

Datos

Modelos de Efectos Mixtos: Perfiles individuales

Edad en años

Dis

tan

cia

de

la p

ituita

ria

a la

fisu

ra p

teri

go

ma

xila

r

20

25

30

8 10 13

M16 M05

8 10 13

M02 M11

8 10 13

M07 M08

8 10 13

M03 M12

8 10 13

M13

M14 M09 M15 M06 M04 M01 M10 F10

20

25

30

F09

20

25

30

F06

8 10 13

F01 F05

8 10 13

F07 F02

8 10 13

F08 F03

8 10 13

F04 F11

Modelos de Efectos Mixtos: Gráfico de tallarines (spaghetti plots)

Modelos de Efectos Mixtos: Ejemplo 1

Preguntas:

• ¿Cómo afecta la edad en el crecimiento?

• ¿Hay diferencias por sexo?

• ¿Es el crecimiento diferentes entre los dos sexos (hay interacción)?

¿Solución?

• Software

• Library nlme: Linear and Nonlinear Mixed Effects Models

• Author:Jose Pinheiro, Douglas Bates, Saikat DebRoy, Deepayan Sarkar, the R Core team

lm #linear models

Modelos de efectos mixtos: Ejemplo 1

• Modelo de regresión lineal simple

i=1,. . . ,N j=1,. . . ,ni ²i ji id» N (0;¾2)

Problema: no tomamos en cuenta la correlación dentro de los sujetos y la variabilidad entre los sujetos

Distanciai j = ¯0+¯1Edadi j +²i j

Datos correlacionados

¿Porqué hacer un diseño de datos correlacionados?

• Aumentar la precisión haciendo comparaciones dentro del grupo.

• Reducir la posibilidad de confusión haciendo comparaciones dentro del grupo.

• Examinar comportamiento de sujetos en el tiempo.

• No hay otra alternativa.

Modelos de efectos mixtos: Ejemplo 1

• Modelos de regresión lineal individuales

i=1,. . . ,N j=1,. . . ,ni

Distanciai j = ¯0i +¯1iEdadi j +²i j

²i ji id» N (0;¾2)

Modelos de efectos mixtos: Ejemplo 1

• Modelo lineal mixto

Distanciai j = (¯0+b0i ) +(¯1+b1i )Edadi j +²i j= ¯0+¯1Edadi j +b0i +b1iEdadi j +²i j

lme #linear mixed models

Modelos de efectos mixtos: Ejemplo 1

• Descripción del modelo

8 9 10 11 12 13 14

15

20

25

30

Age (yr)

Dis

tan

ce (

mm

)

¯0+¯1Agei j+b0i +b1iAgei j

¯0+¯1Edadi j

Modelos de efectos mixtos

• Modelo lineal general de efectos mixtos

yi =X i¯ +Z ibi +² i

bii id» N (0;§ )

E(yi j bi ) = X i¯ +Z ibi

Modelos de efectos mixtos

• Modelo lineal general de efectos mixtos

yi j bi»N (X i¯ +Z ibi ;¾2I );bii id» N (0;§ )

Modelos de efectos mixtos: software

• Máxima Verosimilitud:• R• STATA• SAS

• Análisis Bayesiano: • BUGS• R

Modelo con pendiente aleatoria

Resumen de ajuste para efecto de interacción Sexo*Edad

ModelosCoeficiente

estimado efectoInteracción

Error Estándar Valor p

Modelo lineal -0,3048 0,1977 0,1261

Modelo lineal mixto: intercepto aleatorio

-0,3048 0,1214 0,0141

Modelo lineal mixto: intercepto y pendiente aleatorios

-0,3048 0,1347 0,0264

Comparación de modelos

Akaike Information Criterion: -2 log L + 2 npar

Bayesian Information Criterion: -2 log L + npar*log(nobs)

Modelo AIC BIC

Modelo lineal 488,24 501, 65

Modelo lineal mixto: intercepto aleatorio

445,76 461,62

Modelo lineal mixto: pendiente aleatoria 448,58 469,74

MV o MVR (ML or REML)

• MV maximiza la verosimilitud, son sesgados

• MVR maximiza la verosimilitud marginal, insesgados en diseños balanceados (idénticos a los estimadores de momentos en ANOVA simple)

• Ambos métodos son asintóticamente equivalentes

Final

• La variable respuesta Y se asume como una función de covariables X con coeficientes que regresión que pueden variar por sujeto.

• La heterogeneidad entre los sujetos es de interés y se puede modelar explícitamente.

Final II

• Estos métodos podrían ser analizados asumiendo respuesta multivariada

• En la práctica se tienen datos no balanceados:– Número desigual de observaciones por sujeto– Mediciones no tomadas en un tiempo fijo

• Por lo que los Modelos de efectos mixtos son más flexibles