Análisis de la Confiabilidad El Mantenimiento Centrado en la Confiabilidad (RCM). Estudios de Ingeniería RAMS. La Confiabilidad de los equipos, sistemas y procesos. Un estudio de Confiabilidad. El periodo de vida de un equipo. El análisis técnico de fallas (AEF). El Análisis Estadístico de Fallas. Parámetros del AEF. Periodo de vida de un equipo. Periodo de arranque. Periodo de

operación normal. Periodo de desgaste. Efectividad de Sistemas.

 

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Análisis de Confiabilidad

IntroducciónEl Análisis de Confiabilidad de componentes, equipos y sistemas es el conjunto de modelos matemáticos y gráficos que se usan para representar el comportamiento de los sistemas y equipos y para modificar y mejorar el diseño, la operación y el mantenimiento de los sistemas, equipos o componentes.

La confiabilidad se define como la probabilidad de que un componente o equipo lleve a cabo su función adecuadamente durante un periodo dado y bajo condiciones de operación constantes, un equipo es confiable cuando funciona cada vez que se requiere y hace bien el trabajo para el cual se requirió, de otra manera se dice que el equipo es desconfiable.

La Confiabilidad se mide calculando la probabilidad de que el equipo no falle durante un periodo dado.

En las fases de planeación, diseño y operación de los sistemas de ingeniería simples y complejos, los ingenieros pueden beneficiarse de la aplicación de los conceptos, de los procedimientos y de las técnicas del análisis de confiabilidad

El estudio de nuevas técnicas para el análisis de la confiabilidad de equipos y sistemas ha suscitado un gran interés principalmente en sectores como la ingeniería, el manejo y producción de energía, transporte, ingeniería militar, medicina y la administración pública, donde se ha observado un incremento progresivo en la aplicación de los estudios de confiabilidad.

En la fase de diseño, la estimación de la confiabilidad de los equipos se realiza mediante el uso de modelos probabilistas o métodos de simulación, estas estimaciones se usan para comprobar analíticamente los valores de fiabilidad o disponibilidad especificados en la fase de diseño

En el periodo de vida operativa, las estimaciones de la confiabilidad se usan para validar los supuestos de confiabilidad establecidos en la fase de diseño del equipo con la información obtenida de su experiencia operacional.

Para realizar esta validación, se usa una serie de medidas y ensayos que provén una estimación cuantitativa de la confiabilidad, estas medidas, que se calculan a partir del histórico de mantenimiento y fallas del equipo, expresan una serie de factores tales como: la fiabilidad esperada a lo largo del tiempo, la mantenibilidad, y los niveles de disponibilidad del equipo durante su vida operativa.

Los Estudios de ConfiabilidadUn estudio de confiabilidad es un análisis de fallas de un equipo o componente, este análisis es el paso decisivo en el estudio económico de un sistema de mantenimiento y

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este depende de la determinación y el conocimiento del índice de fallas de los equipos que participan en el sistema de mantenimiento.

En un estudio confiabilidad, los componentes de un producto o el sistema se analizan en un esfuerzo para predecir la frecuencia con la cual el producto o el sistema fallará.

El estudio de confiabilidad se realiza mediante dos análisis:

Análisis Técnico de fallas para determinar la causa y la magnitud de la falla

Análisis Estadístico de fallas que es el estudio estadístico de las fallas en el tiempo.

Las metodologías de un estudio de confiabilidad incluyen, entre otros, el análisis cualitativo de riesgos, los cálculos probabilistas, los estudios de fallas y de fiabilidad, los árboles funcionales y la determinación de criticidades, el mantenimiento orientado por la confiabilidad y los cálculos de disponibilidad y operatividad, estos estudios son los pasos decisivos en el análisis técnico y económico de un sistema de mantenimiento y con ellos se conocen y determinan el índice de fallas de los equipos que participan en el sistema de mantenimiento

La Confiabilidad se mide calculando la probabilidad de que el equipo no falle durante un periodo dado.

Los cálculos de la predicción de la confiabilidad se realizan para ayudar a identificar la confiabilidad del producto, el porcentaje de averías y el MTBF, y las áreas principales para la mejora potencial de la confiabilidad, la base del análisis es generalmente un modelo de la predicción de la confiabilidad.

Los modelos de la predicción de la confiabilidad presentan las ecuaciones del comportamiento esperado del sistema que permiten calcular el porcentaje de fallas de los componentes basados en datos y parámetros.

Estos parámetros incluyen a menudo el ambiente, la temperatura, la calidad y la tensión, y se utilizan para establecer los factores, que son las variables usadas en las ecuaciones de la predicción de la confiabilidad. .

Un sistema confiable es aquel que puede continuar procesando las solicitudes del usuario aún cuando el sistema sobre el que opera no es confiable, aun cuando los componentes de un sistema fallen, un sistema confiable debe seguir ejecutando las solicitudes de usuario sin violar la consistencia de la base de datos.

Los estudios de confiabilidad se aplican a situaciones donde se requiere comprobar analíticamente los valores de fiabilidad o disponibilidad especificados con anterioridad en el diseño y a situaciones en las cuales los criterios y datos de seguridad del sistema se han proporcionado ya en las fases iniciales del proyecto...

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Modelos para predecir la Confiabilidad El desarrollo de las concepciones y técnicas del Análisis de Confiabilidad de componentes, equipos y sistemas ha estado estrechamente asociado al desarrollo de tecnologías complejas y de alto riesgo

El riesgo se mantiene a bajos niveles, asumiendo en la fase de diseño del producto márgenes de seguridad elevados.

Los modelos de la predicción de la confiabilidad presentan  las graficas y las ecuaciones para calcular la rata de fallas  de los componentes basados en datos y parámetros, estos parámetros incluyen el ambiente, la temperatura, la calidad, y la tensión y se utilizan para establecer los factores, que son las variables usadas en las ecuaciones de la predicción de la confiabilidad.

El análisis de Weibull es un término que describe el análisis estadístico y  gráfico que utiliza varias distribuciones de la probabilidad.

La distribución de Weibull de dos parámetros es la función distribución de probabilidades mas usada para representar los tiempos de falla y estudiar la confiabilidad de equipos y sistemas, pero la Weibull de tres parámetros, la distribución normal, la distribución log-normal, la distribución de valores extremos de Gumbell y la distribución exponencial negativa también son usadas con eficacia en los análisis de confiabilidad de los productos, equipos y sistemas.

Los técnicos, los ingenieros, la gerencia, el personal de la garantía de calidad, y los responsables del control de la variabilidad de los procesos pueden de aplicar las técnicas de Weibull en el lugar de trabajo para mejorar la confiabilidad de sus sistemas y los productos.

Los análisis de Weibull pueden indicar si más piezas viejas o más piezas nuevas son más probables fallar.

Las técnicas del análisis de Weibull se utilizan para analizar datos del campo o del

laboratorio. la confiabilidad. Los estudios de confiabilidad se realizan a partir de dos tipos de análisis

1. Análisis Técnico de fallas para determinar la causa y la magnitud de las fallas. 2. Análisis Estadístico de fallas que es el estudio estadístico de las fallas en el

tiempo.

Los estudios de confiabilidad se aplican a situaciones donde se requiere comprobar analíticamente los valores de fiabilidad o disponibilidad especificados con anterioridad en el diseño y a situaciones en las cuales los criterios y datos de seguridad del sistema se han proporcionado ya en las fases iniciales del proyecto...

El Mantenimiento Centrado en la Confiabilidad-MCC

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El MCC es la denominación para una metodología que permite definir, en forma sistemática, estrategias de mantenimiento de plantas, máquinas y equipos, es una metodología diseñada para  elaborar o rediseñar programas de mantenimiento para una planta, una línea de producción o para un equipo complejo.

Los ingenieros tienen en la MCC una herramienta clara y efectiva, un lenguaje técnico común y un sistema de trabajo conjunto para la Producción y el Mantenimiento

El MCC es una aplicación sistemática y analítica de procedimientos para organizar y realizar las funciones operativas del mantenimiento de manera que realiza y organiza las funciones de manera que esta aplicación tenga una alta posibilidad de éxito y el establecimiento de prioridades para la aplicación de un plan de Mantenimiento Preventivo.  El MCC trata de reducir el costo de mantenimiento descartando las acciones de mantenimiento que no sean estrictamente necesarias El RCMtrata de reducir el costo de mantenimiento descartando las acciones de mantenimiento que no sean estrictamente necesarias. 

El MCC es una técnica que desarrolla un sistema de Mantenimiento Preventivo de los sistemas y equipos en base al supuesto técnico  de que la confiabilidad inherente al sistema o al equipo es una función del diseño del sistema o del equipo.

La metodología del MCC tiene su origen en la industria de la aviación, en este sector industrial comienzan a aplicarse los primeros programas de mantenimiento basado en la confiabilidad, esta metodología para el mantenimiento preventivo planificando se ha consolidado como una excelente herramienta para desarrollar la gestión de mantenimiento de todo tipo de empresa. 

Procedimiento para elaborar un MCCPara elaborar un MCC se debe seguir un procedimiento como el siguiente:

Selección del sistema y documentación. Definición de los límites  del sistema. Elaboración de los diagramas funcionales del sistema. Identificación de funciones y fallas funcionales. Elaboración del análisis de fallas y de efectos. Construcción del árbol lógico de decisiones Identificación  las tareas critica y apropiadas del mantenimiento. 

La Confiabilidad en un MCCLa confiabilidad es la capacidad de un producto de realizar la función para la cual fue diseñado, la confiabilidad es la probabilidad de que un producto realizará su función prevista sin fallas por un período  especificado y bajo condiciones establecidas. Un análisis de la confiabilidad en un equipo  o un sistema incluye la realización de diversos ensayos para determinar cuan confiable es el equipo  o el sistema.

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Realizados estos ensayos, es posible anticipar los efectos de los cambios y de las correcciones que se deben hacer al  diseño para mejorar la confiabilidad.Los diversos estudios realizados al producto se relacionan y examinan para determinar su confiabilidad  bajo diversas perspectivas, para detectar posibles problemas en el diseño, construcción o funcionamiento del equipo  y para facilitar la búsqueda de correcciones y mejoras.  

Para determinar la confiabilidad, se analizan los componentes de un producto o de un sistema para predecir la frecuencia con la cual fallara el producto o el sistema, los cálculos de la predicción de la confiabilidad permiten identificar la confiabilidad del  producto, el porcentaje de fallas y el MTBF (tiempo medio de buen funcionamiento), y las áreas de punta para la mejora potencial de la confiabilidad.

Definiciones La confiabilidad se puede interpretar de varias formas, la confiabilidad se puede ver como una medida con la cual un sistema conforma su comportamiento a alguna especificación y también se puede interpretar como la probabilidad de que un sistema no haya experimentado ninguna falla dentro de un periodo de tiempo dado.

La confiabilidad se utiliza básicamente como un criterio para describir sistemas que no pueden ser reparados o donde la operación continua del sistema es crítica.

Un sistema confiable Es aquel que puede continuar funcionando aun cuando el sistema sobre el que opere no sea confiable, aun cuando los componentes de un sistema fallen, un sistema confiable debe seguir funcionando adecuadamente sin violar la consistencia del sistema.

La Disponibilidad.Es la fracción del tiempo que un sistema satisface su especificación, es la probabilidad de que el sistema sea operacional en un instante dado de tiempo.

El SistemaUn sistema se refiere a un mecanismo que consiste de una colección de componentes y sus interacciones con el medio ambiente que responden a estímulos que provienen del mismo con un patrón de comportamiento reconocible, cada componente de un sistema puede ser así mismo un sistema, llamado comúnmente subsistema.

Un estado externo de un sistema se puede definir como la respuesta que un sistema proporciona a un estímulo externo, por lo tanto, es posible hablar de un sistema que se mueve dentro de estados externos de acuerdo a un estímulo proveniente del medio ambiente.

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Un estado interno es la respuesta del sistema a un estímulo interno, desde el punto de vista de confiabilidad, es conveniente definir a un estado interno como la unión de todos los estados externos de las componentes que constituyen el sistema, el cambio de estado interno se da como respuesta a los estímulos del medio ambiente. Las faltas del sistema se pueden clasificar como severas (Hard) y no severas (Soft). Las faltas severas casi siempre son de tipo permanente y conducen a fallas del sistema severas. Las faltas no severas por lo general son transitorias o intermitentes. Ellas inducen fallas no severas y representan, por lo general, el 90 % de todas las fallas.

Por medio de una especificación se establece el comportamiento del sistema al responder a cualquier estímulo del medio ambiente, esta especificación establece el comportamiento válido de cada estado del sistema, esta especificación es no sólo necesaria para obtener un buen diseño sino también es esencial para definir los siguientes conceptos de confiabilidad.

La FallaCualquier desviación de un sistema del comportamiento descrito en su especificación se considera como una falla, cada falla necesita ser rastreada hasta su causa, en un sistema confiable los cambios van de estados válidos a estados válidos.En un sistema no confiable, es posible que el sistema caiga en un estado interno el cual no obedece a su especificación; a este tipo de estados se les conoce como estados erróneos, las transiciones a partir de este estado pueden causar una falla.

La parte del estado interno que es incorrecta se le conoce como error del sistema, cualquier error en los estados internos de las componentes del sistema se le conoce como una falta en el sistema, una falta causa un error lo que puede inducir una falla del sistema.. Las faltas del sistema se pueden clasificar como severas (Hard) y no severas (Soft). Las faltas severas casi siempre son de tipo permanente y conducen a fallas del sistema severas. Las faltas no severas por lo general son transitorias o intermitentes. Ellas inducen fallas no severas y representan, por lo general, el 90 % de todas las fallas.

Una Falta lleva a una Falla.

La confiabilidad de un sistema, R(t), se define como la siguiente probabilidad condicional:R(t) = Pr{ 0 fallas en el tiempo [0,t] |no hubo fallas en t=0 }

Si la ocurrencia de fallas sigue una distribución de Poisson, entonces,R (t) = Pr {0 fallas en el tiempo [0, t]}Es posible derivar la siguiente expresión:

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{0 fallas en el tiempo [0, t]} =

donde m (t) se le conoce como la función de riesgo la cual proporciona el rango de fallas de la componente dependiente del tiempo y se define como

m(t) =

El número esperado de fallas en el intervalo [0,t] puede ser calculado como

E[k] = ke-m(t)/k! [m(t)]k

y la varianza se puede calcular como

Var(k) = E[k2] - (E[k)2

entonces la confiabilidad de una componente simple es

R(t) = ∏Ri(t)

y la de un sistema de n componentes no redundantes es

RSYS(t) = ∏Ri(t)

La disponibilidad se establece como: A(t) = Pr{ sistema sea operacional en el tiempo t }

Un número de fallas pueden haber ocurrido antes del tiempo t, pero si todas ellas han sido reparadas, el sistema es disponible en tiempo t.

La disponibilidad se refiere a sistemas que pueden ser reparados. Si se supone que las fallas siguen una distribución de Poisson con una media de fallas, y el tiempo de reparación es exponencial con un tiempo de reparación medio de 1/ la disponibilidad de un estado estable del sistema se puede escribir como:

Se ha convenido en usar dos medidas de un sólo parámetro para modelar el comportamiento del sistema: el tiempo medio entre fallas (MTBF por sus siglas en inglés) y el tiempo medio para reparaciones (MTTR).

El MTBF puede ser calculado a partir de datos empíricos ó de la función de confiabilidad como:

MTBF = ∫R(t)dt

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El MTTR está relacionado al rango de reparación de la misma forma que el MTBF está relacionado al rango de fallas.

Usando estas dos medidas, la disponibilidad (A) de un estado estable de un sistema con rangos de falla y reparación exponencial se puede especificar como

LOS TIEMPOS EN LOS ESTUDIOS DE CONFIABILIDADEn los procesos de producción, mantenimiento y control de calidad se estudia el tiempo hasta que un cierto producto falla (tiempo de falla), o el tiempo de espera hasta recibir un servicio (tiempo de espera).

El  parámetro  de tiempo usado en los estudios  de  la Confiabilidad es  el  TIEMPO ENTRE  FALLAS  (TEF),  el  cual  puede   ser descrito o medido por una información de campo en las siguientes formas:

1. Tiempo  promedio  entre  fallas   o media   entre   fallas TPEF == MTEF. Es el intervalo de  tiempo más probable entre un arranque y la  aparición de una falla.

2. Tiempo   promedio entre paradas  o media  de  tiempo entre paradas: TPEP = MTEP. Identifica  el intervalo de  tiempo más probable entre la aparición  de una   parada,  reparación, arranque  y la aparición de una nueva parada.

3. Tiempo promedio entre  inspecciones media entre inspecciones: TPEI = MTEI. Es el  tiempo más  probable entre dos inspecciones.

4. Tiempo promedio entre reparaciones generales o media de tiempo entre reparaciones generales:   TPER = MTER Identifica  el intervalo de tiempo entre la realización de dos reparaciones.

TIEMPOS EN EL CALCULO DE LA MANTENIBILI DADEl  parámetro  de tiempo necesario  para  el estudio de mantenibilidad es el TIEMPO FUERA DE  SERVICIO  (TFS)  O  TIEMPO  PARA REPARAR (TPR) que se describe como el intervalo  de tiempo  transcurrido  desde  que  el  Equipo de Producción   es desactivado hasta   que  es  activado  de nuevo por el equipo de operaciones, listo   para cumplir  su función de producción, este tiempo  puede  ser dividido de la

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siguiente forma:

1. TIEMPO DE ENFRIAMIENTO Es  el   intervalo   de    tiempo transcurrido desde  que el equipo es desconectado   hasta el momento  en que las condiciones permitan que se ejecuten     las    acciones     de mantenimiento correspondiente.

2. TIEMPO DE LOCALIZACION DE LA FALLA Tiempo empleado en la investigación del motivo de la falla.

3. TIEMPO  DE  ESPERA DE MATERIALES  Y EPUESTOS Es   el intervalo   de    tiempo utilizado  en  la  localización  y puesta en sitio4. TIEMPO ADMINISTRATIVO

Es el intervalo de  tiempo empleado en los  diferentes trámites para la consecución   de   los   diferentes recursos    necesarios   para    la ejecución de la acción.

5. TIEMPO DE  REPARACIÓN  PROPIAMENTE DICHA Es el intervalo de tiempo utilizado en  la  ejecución de la  acción  de mantenimiento.

6. TIEMPO   DE  ARRANQUE, PRUEBAS  Y CALENTAMIENTOS Es el intervalo de tiempo utilizado en   preparar   el  SP   para  ser entregado al grupo de  operaciones, después que todos los trabajos  han concluido y no existen más

Todas las políticas de mantenimiento deben estar enfocadas hacia el mejoramiento de la mantenibilidad mediante la reducción al mínimo de los tiempos descritos anteriormente, esta reducción se consigue con planes y programa óptimos, la utilización de mano de obra calificada, un conocimiento integral del funcionamiento del Sistema de Producción a mantener, una adecuada descripción de los procedimientos de ejecución, la eliminación al mínimo de los trámites administrativos, un buen apoyo logístico,  un adecuado stock de materiales, repuestos, instrumentos, herramientas y equipos necesarios para ejecutar el mantenimiento

Parámetros Usados en el Análisis Estadístico de FallasLos parámetros utilizados en el AEF son los siguientes:

1. Tiempo Promedio Entre Fallas

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El TPEF o MBTF , es el tiempo promedio entre fallas e indica el intervalo de tiempo más probable que ocurre entre el arranque la ocurrencia de la primera falla, mientras mayor sea este valor mayor es la confiabilidad del equipo, este parámetro se expresa en horas o días.

2. Probabilidad de Supervivencia Es el complemento de la probabilidad de falla y expresa la probabilidad de que el equipo sobreviva un tiempo t.

Ps(t) = 1- Pf(t).

3. Rata de Fallas La rata de fallas o la frecuencia de ocurrencia de las fallas se definen como

la probabilidad inmediata de un equipo al llegar a t horas de operación.

r(t) = p(t)/Ps(t)

Donde p(t) es el valor de la función de intensidad de fallas en el tiempo t ,

y Ps(t) es la probabilidad de supervivencia en el tiempo t.

Usualmente r(t) se expresa en número de fallas por hora o por dia.

4-. Calculo de la probabilidad de supervivencia Ps(t)

r(t) = p(t)/Ps(t) =

= - ln(Ps(t)) Ps(t) =

Periodo de vida de un equipoLa vida útil de un equipo está dividida en tres periodos perfectamente definidos:

Periodo de Arranque Periodo de Operación Normal Periodo de Desgaste

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1-. Periodo de Arranque o de Mortalidad InfantilDurante el periodo de arranque se presenta un índice de fallas descendiente, la rata de falla disminuye con el tiempo, en el la probabilidad de falla de mañana es menor que la de hoy, en este periodo están los equipos recién arrancados y la confiabilidad es muy baja, las fallas en el periodo de arranque las cubre la garantía del equipo y la corrección de las fallas corresponde al grupo de arranque.

Cuando a un equipo se la hace una reparación general(Overhaul) comienza un nuevo periodo de arranque y como una consecuencia técnica de la reparación el equipo tiene una mayor probabilidad de falla que antes de realizarse la reparación.En este periodo el proceso de fallas se puede describir con una distribución normal donde la rata de falla que disminuye con el tiempo.

2-. Periodo de Operación Normal

El proceso de generación de fallas durante el periodo de operación normal puede describirse usando la distribución exponencial:

Ps(t) = r(t) y como r(t) = r = Constante = 1/MTEF

Ps(t) = = e-rt

Durante el periodo normal la probabilidad de supervivencia(Confiabilidad) está caracterizado por una distribución exponencial, en este periodo la probabilidad de que el equipo sobreviva la media del tiempo entre fallas (MTEF) es de 0.368.

3-. Periodo de Desgaste Su  principal  característica  es  que   el índice de  fallas aumenta  a   medida   que trascurre  el tiempo.En este período   las fallas  son  debidas  a: fatiga,  erosión, corrosión o desgaste  mecánico. Cuando un   equipo  entra  en  este   periodo,   debe someterse   a  una  Reparación  General   e idealmente se analizan las fallas en función de los costos asociados a la reparación.

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Las   políticas  de mantenimiento a  dictarse   deben   estar orientadas fundamentalmente por el   análisis   de  fallas  para prever las  fallas de los equipos y eventuales paradas y hacia la aplicación conjuntamente de un mantenimiento   rutinario,    programado, circunstancial  (si es el  caso)que identifique las averías y las repare hasta  que  el estudio económico lo indique.

Efectividad de SistemasLa Disponibilidad, la Confiabilidad, la Mantenibilidad y la Capacidad son los componentes de la de efectividad de los sistemas, un estudio de la efectividad del proceso consiste en determinar cuáles de estos componentes de la efectividad influyen negativamente en la valoración del desempeño, en muchas plantas con procesos continuos la confiabilidad de un componente es el factor más importante en la determinación del desempeño de toda la planta.La Eficiencia está definida mediante una ecuación que es el producto de estos cuatro componentes, estos cuatro componentes de la eficiencia varían aleatoriamente.

E = D*C*M*CA

Eficiencia = Disponibilidad* Confiabilidad* Mantenibilidad *Capacidad

La eficiencia es el producto de:

Disponibilidad: La oportunidad del equipo o sistema de estar disponible para desempeñar su trabajo,

ConfiabilidadEl equipo i operará por un tiempo dado sin falla.

MantenibilidadEl equipo es reparado sin pérdidas excesivas de tiempo de Mantenimiento

CapacidadEl equipo puede desempeñar su actividad productiva para la cual fue creado, de acuerdo a estándares determinados.

El principal objetivo en los estudios de eficiencia de un proceso es la búsqueda de un valor de eficiencia del sistema que produzca menores costos.

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En las refinerías y en plantas químicas que son plantas de procesos continuos, la disponibilidad es alta (80- 98%), la confiabilidad es baja ( 0.001-10%), y la mantenibilidad es alta (50 - 90%) , y la productividad es alta (60 - 90%).

La principal razón para cuantificar los componentes de la eficiencia, es la de identificar y encontrar los componentes críticos para tatar de mejorar la eficiencia, por ejemplo, si la disponibilidad es del 98%, la confiabilidad es del 70%, la mantenibilidad es del 70%, y la capacidad es del 65%, seria más conveniente para mejorar la eficiencia del sistema, mejorar la capacidad antes que mejorar la disponibilidad. Una alta confiabilidad (pocas fallas) y una alta mantenibilidad (tiempos predecibles de mantenimiento) son características de sistemas altamente efectivos.La Disponibilidad A de la EfectividadLa Disponibilidad Aes una medida de lo frecuente que el sistema está en buen estado bien y listo para prestar el servicio y se expresa como: (tiempo en servicio)/(tiempo en servicio + tiempo en parada), a medida que la disponibilidad crece, la capacidad de producción aumenta, pues el equipo está en servicio un mayor porcentaje de tiempo.

El MTTR se puede utilizar en una predicción de la confiabilidad para calcular la disponibilidad de un producto o de un sistema.

La disponibilidad es la probabilidad que un producto está en un estado operable en cualquier momento, y está basado en una combinación del MTBF y del MTTR, la Disponibilidad se describe en términos cuantitativos como: tiempo en línea, tiempo de factor de corrida, y falta de paradas y frecuentemente se utilizan tres ecuaciones para expresar la disponibilidad:

1. Disponibilidad Inherente, tal como es considerada por el personal de Mantenimiento, no incluye las paradas por Mantenimientos Preventivos, las demoras en suministros, y las demoras administrativas, y es definida como:

AI = MTBF/(MTBF + MTTR)

2. Disponibilidad Lograda, tal como es apreciada por los directivos del Departamento de Mantenimiento, incluye tanto el Mantenimiento Correctivo como el Preventivo, pero no incluye demoras en suministros y demoras administrativas, y es definida como:

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AL = MTBM/(MTBM + MAMT)

Donde MTBMes el tiempo medio entre acciones Correctivas y Preventivas, y MAMT es el Tiempo Medio en que Mantenimiento estuvo Activo.3. Disponibilidad Operacional, tal como es vista por el usuario, y es

definida como:

AO = MTBM/(MTBM + MDT), MDTes el tiempo medio de parada.

Un 98% de disponibilidad para un proceso continuo de 8.000 horas significa que se espera un tiempo de servicio de 0.98*TIEMPO TOTAL = 0.98*8.000 =7620 hr/año y de parada de (1-.98)*TIEMPO TOTAL = 0.02*8000 = 160 hr/añoLa pérdida de disponibilidad es un problema relacionado principalmente con las fallas de los equipos.

La Confiabilidad ® de la EfectividadLa Confiabilidad R se define como la probabilidad de tener una operación sin fallas, durante un intervalo de tiempo dado, y es expresada como:

R(t) = exp(-t/MTBF) = exp(-t) R(t) = exp(-t/MTBF) = exp(-t)

dondees la rata constante de falla y MTBF es el Tiempo Medio Entre Fallas, el MTBF mide el tiempo entre las fallas del sistema.

Para los modos de falla distribuidos exponencialmente, el MTBF es un índice básico de confiabilidad, la rata de falla, es el recíproco del MTBF.

Si se desea una alta confiabilidad, se requiere un MTBF bastante grande, por ejemplo para un tiempo de corrida de un año con un equipo, el cual tiene un tiempo medio entre fallas de 30 años, da una confiabilidad del 96.72% que es la probabilidad de cumplir un intervalo de tiempo de un año sin fallas y una probabilidad de falla de 3.378%.

Determinemos la confiabilidad de un sistema con un tiempo total de servicio de un año (8.760 horas) y un tiempo medio entre acciones de mantenimiento de 720.2 horas, la confiabilidad del sistema se calcula usando la distribución exponencial, el sistema tiene una confiabilidad de exp(-8760/720.2) = 0.000523%., en este caso el valor de la confiabilidades la probabilidad de cumplir un año de corrida sin fallas.

Para un año como tiempo de corrida el sistema es altamente no-confiable , y las acciones de mantenimiento tienen una alta demanda, dado que para el sistema se espera que tenga 8760/720.3 = 12.16 acciones de mantenimiento por año.

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Análisis grafico de la confiabilidad Modelos para ajustar los tiempos de falla Linearizacion de las distribuciones La PPCC La grafica de probabilidad El análisis Weibull

DATA

Weibull

1000 10000 1000000.1

0.51

51020305070909999,9

PORC

ENTA

JE A

CUM

ULAD

O

Ajuste de los tiempos de falla

En muchas ocasiones será posible identificar la distribución que mejor se ajusta a las observaciones mediante el uso de gráficos de probabilidad.

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Las graficas de probabilidad son procedimientos visuales que se obtienen, graficando la función de distribución de probabilidades (fdp) vs. el tiempo de falla en un papel de probabilidad apropiado, se dispone de papeles de probabilidad para cada uno de los tipos de modelos de distribución usados para ajustar los tiempos de falla.

Los papeles de probabilidad se fundamentan en la idea de escribir la CDF del modelo de tal forma que la función F (t) sea una ecuación lineal en t.

El grafico de probabilidad presenta la f.d.p linealizada de una distribución teórica y una nube de puntos que representan los valores de la f.d.p de la data de los tiempos de falla.

Si los datos de los tiempos de falla se ajustan a una distribución, estos valores deberían, teóricamente, caer sobre la línea recta que representa la f.d.p linealizada de una distribución teórica, por lo que cuanto más se aproxime la nube de puntos a la recta que aparece en el gráfico, tanto mejor será el ajuste

Modelos para ajustar los tiempos de fallaLinealización de una distribución de Probabilidades

1-.Modelo Exponencial La Función de distribución exponencial negativa se escribe como:

ln [1/ 1-F(t)] = [ln10 ] t o el equivalente

ln [1/ 1-F(t)] = t

Sea y = 1/{1 - F(t)} y x = t, entonces log (y) es lineal en base a log(x) con una pendiente de ln10. De esta manera podemos construir un papel de probabilidades exponencial usando un papel semilogaritmico estándar.

Para cada valor de t se determina el par (t, F (t)), si la data se ajusta a una distribución exponencial, los pares de puntos graficados deben caer sobre de la línea recta de pendiente / ln10.

6000,00

9000,00

12000,00

15000,00

18000,00

0,00 0,88 1,75 2,63 3,50

Exponential Probabilidad

Exponential Quantile

Tim

e

{G}

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2-. Linealización de una distribución Lognormal

La CDF de la distribución Lognormal se escribe como:

ln(t { F(t) } + ln T50

y como log(t) = (1/ln10){ F(t) } + ln T50

Donde es la función inversa de distribución normal y T50 es la mediana lognormal Si y = t y x = F(t), entonces log (y) es lineal en base a log(x) con una pendiente de log(t) y un intercepto de log T50 cuando F(t) = .5.

Para cada valor de t se determina el par (t, F (t)), Si la data se ajusta a una distribución Lognormal, los pares graficados deben caer sobre la línea recta con pendiente log(t).

3-. Linealización de una distribución de WeibullAl representar gráficamente las funciones de distribución de probabilidades (f.d.p) de las diferentes distribuciones teóricas, se obtienen curvas muy similares, muchas de ellas difíciles de ser identificadas a simple vista, por ello se utilizan los gráficos de probabilidad, los cuales hacen uso de escalas especiales en los ejes, de manera que al representar la f.d.p ésta tenga forma lineal.

El primer paso será pues encontrar la transformación adecuada para t y F(t) de modo que al representar t vs. F(t) se obtenga una función lineal.

Linealización de una distribución de Weibull La f.d.p asociada a una distribución Weibull de dos parámetros (α, β) viene dada por la expresión:

F(t) = 1 – exp{-(t/α)β} con α, β > 0

Esta función puede ser linealizada de la forma: y = a + bx:

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F(t) = 1 – exp{-(t/α)β} ln(1-F(t)) = ln(exp{-(t/α)β}) ln(1-F(t)) = -(t/α)β

ln(-ln(1-F(t))) = β⋅ln(t/α) ln(ln(1-F(t))-1) = β⋅ln(t) - β⋅ln(α)

Tomando ahora y = ln(ln(1-F(t))-1) , y x = ln(t) la f.d.p se pone en forma lineal como:y = β⋅x - β⋅ln(α). Y como: lnln[1/ 1-F(t)] = g ln( t) - g ln(a)

Si y = 1/{1 - F(t)} y x = t, entonces log (y) es lineal en base a log(x) con una pendiente de Una vez conocidas las transformaciones que permiten linealizar la f.d.p asociada a una distribución Weibull, se puede construir una escala loglog estandard sobre la cual se representa una nube de puntos que contenga cada uno de los tiempos de fallo observados (eje x), de esta manera podemos construir nuestro propio papel de probabilidades Weibull usando un papel loglog estándar

Con la función F(t), para cada valor de t determinamos el par (t y ), si la data es consistente con una distribución Weibull, los puntos (pares) graficados deben caer sobre o muy cerca de de la línea recta con pendiente . esta línea debe cortar al eje Log x en el tiempo t = y al eje Log y en log

TIEMPO DE FALLAS

POR

CEN

TAJE

AC

UM

ULA

DO

GRAFICA WEIBULL

MLEFORMA= 3,160ESCALA=27718LOCAELIZACION=0.0

1000 10000 1000000,1

0,51

510203050709099

99,9

Se representa gráficamente la f.d.p de una Weibull (con escala α = 10 y forma β = 4 y su versión linealizada:

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t ln(t) F(t) ln(t) lnln(1/ 1-F(t) ] 1 0 0 0 -9,22 0,69 0 0,69 -6,43 1,1 0,01 1,1 -4,84 1,39 0,03 1,39 -3,7

5 1,61 0,06 1,61 -2,86 1,79 0,12 1,79 -27 1,95 0,21 1,95 -1,48 2,08 0,34 2,08 -0,99 2,2 0,48 2,2 -0,4

10 2,3 0,63 2,3 011 2,4 0,77 2,4 0,412 2,48 0,87 2,48 0,713 2,56 0,94 2,56 1

14 2,64 0,98 2,64 1,315 2,71 0,99 2,71 1,616 2,77 1 2,77 1,9

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

0 1 2 3

Weibull Linealizado fdp Weibull 10,4

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

El papel de probabilidades WeibullSe usa el EXCEL para generar 20 observaciones del tiempo de falla en horas según una distribución de Weibull con un factor de forma = 1.5 y un 500.El periodo de prueba es de T = 500 obtenemos hasta 10 observaciones que se producen antes de este tiempo (500 horas), estas observaciones son: 54, 187, 216, 240, 244, 335, 361, 373, 375, y 386.

SOLUCION:Se elabora la grafica de la CDF basada en un estimado de estos tiempos de falla y luego se construye una grafica de probabilidad con nuestro propio papel Weibull

20

4-. Linealización de una distribución de GumbellLa distribución de valores Extremos-TipoI (Gumbell) – para mínimo se escribe como:

ln-ln1-F(x) = (x-)/

Con la función F(t), para cada valor de t determinamos el par (t, y), si la data es consistente con una Distribución de valores Extremos-Tipo I – para mínimo, los punto s (pares) graficados deben caer sobre o muy cerca de la línea recta con pendiente 1e intercepto

La Grafica PPCCLa grafica de probabilidad del coeficiente de correlación (PPCC) es una técnica grafica que se utiliza para identificar y estimar el valor del parámetro de forma de la distribución que mejor describe una data.

Esta técnica es apropiada para distribuciones como la de Weibull que son definidas por un parámetro de forma, por un parámetro de localización y por un parámetro de escala y no es apropiada para distribuciones como la normal que

21

son definidas solamente por un parámetro de escala y por un parámetro de localización.

El grafico PPCC se construye de la siguiente manera:

1. Se determinan el coeficiente de correlación asociados a la grafica de probabilidad para cada valor de una serie de valores del parámetro de forma.

2. Se grafican los valores de los coeficientes vs. los valores de los parámetros de forma correspondientes.

3. Se hace corresponder el valor óptimo del parámetro de forma al máximo valor del coeficiente de correlación.

4. Se usa el grafico PPCC para determinar un buen parámetro de forma y con este parámetro se construye el grafico de probabilidad para estimar los parámetros de localización y de escala de la distribución.

La PPCC se usa para determinar la distribución o la familia de la distribución que ajusta adecuadamente una data, para la data de un estudio de confiabilidad se generaran graficas PPCC para distribuciones de Weibull, Lognormal, Gamma, o de Gumbell y se determina cual de estas distribuciones provee el mejor valor del parámetro de forma y se determina cual de estas distribuciones provee la máxima probabilidad de los coeficientes de correlación, esta será la distribución que mejor ajusta la data

Uso del PPCC para determinar la distribución que ajusta la data.

La Data 18.830 20.800 21.657 23.030

23.230 24.050 24.321 25.500

25.520 25.800 26.690 26.770

26.780 27.050 27.670 29.900

31.110 33.200 33.730 33.760

33.890 34.760 35.750 35.910

36.980 37.080 37.090 39.580

44.045 45.290 45.381

La data que se utilizara en el estudio es el tiempo de falla en horas de un equipo.

22

ANALISIS GRAFICO1-. HistogramaEl primer paso de este estudio grafico es la construcción y análisis del histograma de frecuencia de la data.

Un análisis general del histograma de la data rata de fallas muestra lo siguiente El rango del tiempo de de falla esta entre 15000-47.000 horas Se presentan modas aproximadamente en 28.000 y 38.000 horas. La data es aproximadamente simétrica con una caída en la mitad.

2-.La grafica de Probabilidad Normal

La recta de regresión de la probabilidad normal tiene un coeficiente de correlación de 0.980. Podemos usar este valor para comparar el comportamiento de otra distribución de probabilidades.

Existe un amplio numero de distribuciones candidatas para ajustar la data de tiempos de falla pero el estudio se restringe a estudiar aquellas distribuciones que mas frecuentemente se usan en los estudios de confiabilidad , estas distribuciones

1

son las siguientes:Normal, Exponencial, Weibull, Lognormal, Gamma y Gumbel

Uso de las graficas PPCC Para seleccionar la distribución que mejor ajusta a la data tiempo de falla, se hace una comparación de los valores estimados de los parámetros de localización, de forma y de escala de cada una de las distribuciones candidatas, se presenta una lista de las distribuciones con los valores de los estimados de: Máximo PPCC, Parámetro de Forma, Parámetro Localización y Parámetro de Escala.

Normal Máx. PPCC = 0.980Estimado de Localización = 30.81Estimado de Escala = 7.38Weibull Máx. PPCC = 0.988Estimado de Forma = 2.13Estimado de Localización = 15.9Estimado de Escala = 16.92Lognormal

Máx. PPCC = 0.986Estimado de Forma = 0.18Estimado de Localización = -9.96Estimado de Escala = 40.17Gamma Máx. PPCC = 0.987Estimado de Forma = 11.18Estimado de Localización = 5.19Estimado de Escala = 2.17GumbellMáx. PPCC = 0.987 Estimado de Forma = 0.11Estimado de Localización = 20.19Estimado de Escala = 3.3Estos resultados indican que varias de estas distribuciones ajustan adecuadamente la data tiempo de fallas. La distribución de Weibull de 3 parámetros seria una buena elección para ajustar la data, pues ella presenta un buen balance de simplicidad y ajuste preciso.

AplicaciónSe usara la distribución de Weibull con los valores de los parámetros de forma, escala y localización estimados para calcular el tiempo para el cual han fallado el: 1%, 2%, 95%, 97 y 99%. de los equipos.

2

Tiempo de falla esperado usando Weibull. PERCENTAJE TIEMPO DE FALLA0.01 20723,3 0.02 24365,00.95 42667,3 0.97 44141,40.99 46814,6

Conclusiones A partir de graficas de probabilidad y de la grafica del Coeficiente de Correlación de la recta de Probabilidad (PPCC) de la función de Weibull podemos arribar a las siguientes conclusiones:

1. El valor del parámetro gamma que proporciona un mayor probabilidad en el grafico de probabilidad normal es de = 2.13

2. Para un valor optimo del parámetro de forma , el valor de la PPCC es de 0.988

3. Para un valor optimo del parámetro de forma, el estimado del parámetro de localización es 15.90 y el estimado del parámetro de escala es 16.92.

4. Ajustando el valor del estimado de gamma alrededor de 2 a 2.12 se obtiene un mínimo impacto sobre el valor la PPCC.

Se pueden usar como graficas alternativas para realizar este análisis en lugar de las graficas las graficas de probabilidad y de la grafica PPCC, las graficas de densidad de Weibull y la grafica de riesgo Weibull.

Estos dos procedimientos, especialmente el grafico de Weibull, son comúnmente usados, ambos asumen que el parámetro de localización es cero y por lo tanto se ajusta una distribución de Weibull de 2 parámetros en lugar de una Weibull de tres parámetros pero tiene la ventaja de que los procedimientos están muy bien elaborados para trabajar tanto con data censurada como con data no censurada.

3

Probabilidad Weibull de TIEMPODEFA

TIEMPODEFA

-log[

1-F

(t)] FORMA = 4,635 ESCALA = 33.674,2

10000 1000000,01

0,1

1

10

Al lo siguiente analizar la grafica de probabilidad Weibull se observa:

La grafica de probabilidad de Weibull es aproximadamente lineal indicando que la data TIEMPODEFA puede ser adecuadamente ajustada con una distribución de Weibull de 2 parámetros.

El estimado del parámetro de forma es 4,635 y el estimado del parámetro de escala es 33.67

4

Grafica PPCC Weibull

1

1,5

1,8

2,22,6

3

3,5

1

0,96

0,965

0,97

0,9750,98

0,9850,99

0,9951

1,005

0 1 2 3 4Gamma

PPCC MAX PPCC=2,15

PARA FORMA=2

Función de rie s go acumulativa

Weibull (4,6; 3,37E+4)

x40000200000

H(x)

12

10

8

6

4

2

0

Func ió n de rie s go

Weibull (4,6; 3,37E+4)

x40000200000

h(x)

9E-48E-47E-46E-45E-44E-43E-42E-41E-4

0

5

6

Funció n de s upervivenc ia

Weibull (4,6; 3,37E+4)

x40000200000

S(x

)

10,90,80,70,60,50,40,30,20,1

0

Func ió n de dens idad de pro babilidad

Weibull (4,6; 3,37E+4)

x40000200000

f(x)

5E-54,5E-5

4E-53,5E-5

3E-52,5E-5

2E-51,5E-5

1E-55E-6

0

Gráfico de probabilidad El gráfico de probabilidad es una técnica gráfica, utilizada para contrastar la distribucion que ajusta adecuadamente a un conjunto de datos, permite comparar la distribución empírica de una muestra de datos, con una  distribución teorica.

El grafico de probabilidad es un caso particular de gráfico de probabilidad.

La idea básica consiste en representar, en un mismo gráfico, los datos empíricos observados, frente a los datos que se obtendrían en una distribución teórica.

Si la distribución de la variable es del tipo de la distribución considerada, los puntos quedarán cerca de una línea recta.

Es frecuente observar una mayor variabilidad (separación) en los extremos.de la grafica, el gráfico de probabilidad normal es un caso especial de gráfico de probabilidad.

Los gráficos de probabilidad son similares a los gráficos P-P y los gráficos Q-Q, la diferencia radica en que en los gráficos P-P se confrontan las proporciones acumuladas de una variable, con las de una distribución teorica

Los gráficos Q-Q se obtienen de modo análogo, esta vez representando los cuantiles respecto a los cuantiles de la distribución teorica.

Se presentan las graficas de probabilidad para las distribuciones: Normal, Uniforme, Weibull, Lognormal, Gumbell, Exponencial y Logistica de la data considerada.El examen de estas graficas ayuda al proceso de selección de la distribución que mejor

7

ajusta a la data.

Un ifor me

DA TA18 23 28 33 38 43 48(X 100 0,0 )

0

20

40

60

80

10 0

PORCENTAJE ACUMULADO

DATA

Lognormal

10000 1000000.1

15

2050809599

99,9

PORC

ENTA

JE A

CUM

ULAD

O

DATA

Weibull

1000 10000 1000000.1

0.51

51020305070909999,9

PORC

ENTA

JE A

CUM

ULAD

O

VAORES EXTREMOS

DATA-6 4 14 24 34 44 54(X 1000,0)

0.1

0.51

51020305070909999,9

PORC

ENTA

JE A

CUM

ULAD

O

8

Logistica

DATA0 1 2 3 4 5 6(X 10000,0)

0.10.51

51030507090959999,5

99,9

PORC

ENTA

JE A

CUM

ULAD

O

Gráfico de probabilidad normalEl gráfico de probabilidad normal es una técnica gráfica, utilizada para contrastar la normalidad de un conjunto de datos. Permite comparar la distribución empírica de una muestra de datos, con la distribución normal. Es un caso pàrticular de gráfico de probabilidad.

Ejemplo de un gráfico de probabilidad normal.La idea básica consiste en representar, en un mismo gráfico, los datos empíricos observados, frente a los datos que se obtendrían en una distribución normal teórica. Si la distribución de la variable es normal, los puntos quedarán cerca de una línea recta. Es frecuente observar una mayor variabilidad (separación) en los extremos.

El gráfico de probabilidad normal es un caso especial de gráfico de probabilidad.

Para construir el gráfico de probabilidad normal para un conjunto de datos   se representan:

Eje vertical: valores ordenados de los datos  . Eje horizontal: valor esperado del i-ésimo estadístico de orden de una

distribución normal.

Los puntos vienen dados por   aunque hay otras formas de elegirlos con resultados parecidos.

Los gráficos de probabilidad son similares a los gráficos P-P y los gráficos Q-Q. La diferencia es que en los gráficos P-P se confrontan las proporciones acumuladas de una variable, con las de una distribución normal. Los gráficos Q-Q se obtienen de modo

9

análogo, esta vez representando los cuantiles respecto a los cuantiles de la distribución normal.

Uniforme

DATA18 23 28 33 38 43 48(X 1000,0)

0

20

40

60

80

100

PORC

ENTA

JE A

CUM

ULAD

O

Normal

18 23 28 33 38 43 48(X 1000,0)DATA

0.115

2050809599

99,9

PORCENTAJE ACUMULADO

DATA

Lognormal

10000 1000000.1

15

2050809599

99,9

PORC

ENTA

JE ACU

MUL

ADO

10

DATA

Weibull

1000 10000 1000000.1

0.51

51020305070909999,9

PORC

ENTA

JE A

CUM

ULAD

O

VAORES EXTREMOS

DATA-6 4 14 24 34 44 54(X 1000,0)

0.1

0.51

51020305070909999,9

PORC

ENTA

JE A

CUM

ULAD

O

Ajuste de una data y calculo de la supervivenciaEn el análisis de la confiabilidad y la supervivencia la variable de interés es el tiempo hasta que ocurre un suceso, este análisis suponer que esos tiempos siguen una determinada distribución de probabilidades o función matemática.

La tasa de mortalidad se denomina función de riesgo, si la tasa no varía a lo largo del tiempo, la función de supervivencia es:

Si la tasa de mortalidad varíe en función del tiempo transcurrido desde el comienzo del estudio, en este caso, un modelo muy utilizado, es el de Weibull que se representa como:

11

Se plantea un modelo la tasa de mortalidad en función del tiempo y una vez determinada la tasa de mortalidad, se calcula, a partir de ella, la función de supervivencia

1-.EjemploEl objetivo de este análisis es determinar un modelo de distribución para ajustar adecuadamente la Data y calcular estimaciones de la supervivencia.

DATA18.83020.80021.65723.03023.23024.05024.32125.50025.52025.80026.69026.77026.78027.05027.67029.90031.11033.20033.73033.76033.89034.76035.75035.91036.98037.08037.09039.58044.04545.29045.381

12

Distribuciones consideradasSe analizaron los datos mediante el método descrito anteriormente para los siguientes modelos de distribución:

1. Distribución normal 2. Distribución Exponencial 3. Distribución de Weibull 4. Distribución lognormal

Gráfico de probabilidad

El gráfico de probabilidad es una técnica gráfica, utilizada para contrastar la distribucion que ajusta adecuadamente a un conjunto de datos, permite comparar la distribución empírica de una muestra de datos, con una  distribución teorica..

Es un caso pàrticular de gráfico de probabilidad.

La idea básica consiste en representar, en un mismo gráfico, los datos empíricos observados, frente a los datos que se obtendrían en una distribución teórica.

Si la distribución de la variable es del tipo de la distribución considerada, los puntos quedarán cerca de una línea recta.

Es frecuente observar una mayor variabilidad (separación) en los extremos.de la grafica, el gráfico de probabilidad normal es un caso especial de gráfico de probabilidad.

Los gráficos de probabilidad son similares a los gráficos P-P y los gráficos Q-Q, la diferencia radica en que en los gráficos P-P se confrontan las proporciones acumuladas de una variable, con las de una distribución teorica

Los gráficos Q-Q se obtienen de modo análogo, esta vez representando los cuantiles respecto a los cuantiles de la distribución teorica.

Se presentan las graficas de probabilidad para las distribuciones: Normal, Uniforme, Weibull, Lognormal, Gumbell, Exponencial y Logistica de la data considerada.El examen de estas graficas ayuda al proceso de selección de la distribución que mejor ajusta a la data.

1

Uniforme

DATA18 23 28 33 38 43 48(X 1000,0)

0

20

40

60

80

100

PORCENTAJE ACU

MULAD

O

Normal

18 23 28 33 38 43 48(X 1000,0)DATA

0.115

2050809599

99,9

PORC

ENTA

JE ACU

MUL

ADO

DATA

Lognormal

10000 1000000.1

15

2050809599

99,9

PORC

ENTA

JE ACU

MUL

ADO

DATA

Weibull

1000 10000 1000000.1

0.51

51020305070909999,9

PORC

ENTA

JE A

CUM

ULAD

O

VAORES EXTREMOS

DATA-6 4 14 24 34 44 54(X 1000,0)

0.1

0.51

51020305070909999,9

PORC

ENTA

JE ACU

MUL

ADO

Logistica

DATA0 1 2 3 4 5 6(X 10000,0)

0.10.51

51030507090959999,5

99,9

PORC

ENTA

JE ACU

MUL

ADO

Calculo de los Parámetros

2

El resultado del cálculo de los parámetros se resumen a continuación.

Distribución Normal MáxPPCC = 0,980 Estimación de la ubicación = 30,81 Estimación de escala = 7,38

Distribución de Weibull Máx. PPCC = 0,988 Estimación de la forma = 2,13 Estimación de la ubicación = 15,9 Estimación de escala = 16,92

Distribución lognormal MáxPPCC = 0,986 Estimación de la forma = 0,18 Estimación de la ubicación = -9,96 Estimación de escala = 40,17

Estos resultados indican que varias de estas distribuciones pueden proporcionar un modelo de distribución adecuado de los datos.

Elegimos la distribución de Weibull 3-parámetros como el modelo más adecuado porque proporciona el mejor equilibrio entre simplicidad y mejor ajuste.

Pruebas de Bondad de Ajuste

N0 Distribución Parámetros

1 Lognormal =0,23108  =10,309

2 Normal =7253,4  =30811,0

3 Weibull (3P) =1,9136  =14835,0  =17644,

Bondad de ajuste – Resumen

N0 Distribución

KolmogorovSmirnov

AndersonDarling Chi-cuadrado

Estadística Rango Estadística Rango Estadística Rango

1 Lognormal 0,12458 2 0,41357 2 1,6585 1

2 Normal 0,1514 3 0,53219 3 2,2899 3

3 Weibull   (3P) 0,11708 1 0,33806 1 1,6917 2

Bondad de ajuste – Resumen

N0 Distribución

KolmogorovSmirnov

AndersonDarling Chi-cuadrado

Estadística Rango Estadística Rango Estadística Rango

3

1 Lognormal 0,12458 2 0,41357 2 1,6585 1

2 Normal 0,1514 3 0,53219 3 2,2899 3

3 Weibull   (3P) 0,11708 1 0,33806 1 1,6917 2

Bondad de ajuste - 

Lognormal  

Kolmogorov-Smirnov

Tamaño de la muestraEstadísticaValor PRango

310,124580,675912

0,2 0,1 0,05 0,02 0,01

Valor crítico 0,18732 0,21412 0,23788 0,26596 0,2853

Rechaza No No No No No

Anderson-Darling

Tamaño de la muestraEstadísticaRango

310,413572

0,2 0,1 0,05 0,02 0,01

Valor crítico 1,3749 1,9286 2,5018 3,2892 3,9074

Rechaza No No No No No

Chi-cuadrado

Grados de libertadEstadísticaValor PRango

31,65850,64621

0,2 0,1 0,05 0,02 0,01

Valor crítico 4,6416 6,2514 7,8147 9,8374 11,345

Rechaza No No No No No

Bondad de ajuste – Resumen

N0 Distribución

KolmogorovSmirnov

AndersonDarling Chi-cuadrado

Estadística Rango Estadística Rango Estadística Rango

1 Lognormal 0,12458 2 0,41357 2 1,6585 1

2 Normal 0,1514 3 0,53219 3 2,2899 3

3 Weibull   (3P) 0,11708 1 0,33806 1 1,6917 2

Bondad de ajuste 

Normal  

Kolmogorov-Smirnov

Tamaño de la muestraEstadísticaValor PRango

310,15140,433463

0,2 0,1 0,05 0,02 0,01

Valor crítico 0,18732 0,21412 0,23788 0,26596 0,2853

Rechaza No No No No No

Anderson-Darling

Tamaño de la muestraEstadísticaRango

310,532193

0,2 0,1 0,05 0,02 0,01

Valor crítico 1,3749 1,9286 2,5018 3,2892 3,9074

Rechaza No No No No No

Chi-cuadrado

Grados de libertadEstadísticaValor PRango

32,28990,514473

0,2 0,1 0,05 0,02 0,01

Valor crítico 4,6416 6,2514 7,8147 9,8374 11,345

Rechaza No No No No No

Bondad de ajuste – Resumen

N0 Distribución

KolmogorovSmirnov

AndersonDarling Chi-cuadrado

Estadística Rango Estadística Rango Estadística Rango

1 Lognormal 0,12458 2 0,41357 2 1,6585 1

2 Normal 0,1514 3 0,53219 3 2,2899 3

3 Weibull   (3P) 0,11708 1 0,33806 1 1,6917 2

4

Bondad de ajuste 

Weibull (3P)  

Kolmogorov-Smirnov

Tamaño de la muestraEstadísticaValor PRango

310,117080,745741

0,2 0,1 0,05 0,02 0,01

Valor crítico 0,18732 0,21412 0,23788 0,26596 0,2853

Rechaza No No No No No

Anderson-Darling

Tamaño de la muestraEstadísticaRango

310,338061

0,2 0,1 0,05 0,02 0,01

Valor crítico 1,3749 1,9286 2,5018 3,2892 3,9074

Rechaza No No No No No

Chi-cuadrado

Grados de libertadEstadísticaValor PRango

31,69170,638782

0,2 0,1 0,05 0,02 0,01

Valor crítico 4,6416 6,2514 7,8147 9,8374 11,345

Rechaza No No No No No

Comparacion de las DistribucionesDistribucion Est. Parametros Log Verosimilitud KS D

Weibull 2 -120,392 0,107496Normal 2 -121,372 0,129556

Lognormal 2 -122,48 0,1421Loglogistica 2 -122,767 0,121623Exponencial 1 -152,974 0,490968

Pareto 1 -191,88 0,607857

Esta tabla compara la bondad de ajuste cuando varias distribuciones se adapten a la data. Según la tabla el mejor ajuste es el de la distribución Weibull ConclusiónAl realizar el estudio comparativo de los tests de ajuste para las tres distribuciones, se concluye que la distribución de Weibull de tres parámetros ajusta adecuadamente la data.

Calculo de la Supervivencia y los limites de Confianza[

Con la data y la distribución de Weibull de tres parámetros calculamos la probabilidad de supervivencia y el intervalo de confianza de la supervivencia para cada tiempo de falla

Tiempo Prob. Super

5

0 ,000

0 ,250

0 ,500

0 ,750

1 ,000

15000,0 26250 ,0 37500,0 48750,0 60000,0

GRAFICA DE SUPERVIVENCIA

DATA WEIBULL

PROB S

UPERVIV

ENCIA

Falla Limite Inf Lim Super 15000 1 1 1

18000 0,994 0,971 0,999

21000 0,937 0,846 0,975

24000 0,824 0,684 0,906

27000 0,672 0,514 0,788

30000 0,507 0,356 0,639

33000 0,353 0,222 0,486

36000 0,226 0,121 0,351

39000 0,133 0,055 0,245

42000 0,072 0,021 0,167

45000 0,036 0,006 0,111

48000 0,016 0,002 0,072

51000 0,007 0 0,046

54000 0,003 0 0,029

7-.Graficas de Supervivencia ajustada con la Weibull – 3 parámetros

FREC

UENC

IA

HIST OGRAMAS DE DAT AEXPONENCIALGUMBELLLOGNORM AL-3PNormalWEIBUL-3-P

HIST OGRAMAS

DAT A240 280 320 360 400 440 480

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

6

ExponencialGumbellLognormal-3pNormalWeibull-3p

Grafica de Probabilidad

Fallas

Prob

abili

dad A

cumu

lada

260 300 340 380 420 460 5000

0,2

0,4

0,6

0,8

1

Histograma de Fallas

Frecuencia

ExponencialLognormalNormalWeibull

0 40 80 120 160 200FALLAS

0

4

8

12

16

CDF

Prob

abilida

d Ac

umul

ada

0 30 60 90 120 150 180FALLAS

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1ExponencialLognormalNormalWeibull (3-Parameter)Weibull -3p

Función de supervivencia

Muestra Weibull

x4540353025

S(x

)

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0

-0,1

Función de riesgo acumulativa

Weibull

x454035302520

H(x

)

4,8

4,4

4

3,6

3,2

2,8

2,4

2

1,6

1,2

0,8

0,4

0

[

Cuantil-Cuantil

Weibull

x454035302520

Cua

ntil

(Mod

elo)

44

42

40

38

36

34

32

30

28

26

24

22

20

ExponencialGumbellLognormal-3pNormalWeibull-3p

Grafica de Probabilidad

Fallas

Prob

abilida

d Acu

mulad

a

260 300 340 380 420 460 5000

0,2

0,4

0,6

0,8

1

7

Quantile-Quantile Plot

0 100 200 300 400 500Exponential distribution

0

100

200

300

400

500FA

LLAS

DistributionExponentialLognormalNormalWeibull (3-Parameter)

Funcion de Densidad

Dens

idad

0 30 60 90 120 150 180FALLAS

0

3

6

9

12

15(X 0,001)

DistributionExponentialLognormalNormalWeibull (3-Parameter)

8

Exponencial

DATA0 2 4 6 8(X 10000,0)

0.15070809095

9999,5

99,9PO

RCEN

TAJE

ACU

MUL

ADO

Confiabilidad y Supervivencia Paramétricas

1. Modelos paramétricos usados en los estudios de Confiabilidad y Supervivencia

2. El nivel de significación P (o P valor)3. Las pruebas de ajuste: Chi-cuadrado, Kolmogorov-Smirnov y

Anderson-Darling.4. Contrastes de hipótesis.Comparaciónentre métodos paramétricos y

no paramétricos.5. Los modelos: exponencial,Weibull ylognormal.6. Ajuste de datas a la distribución Weibull, a la distribución

exponencial ya la distribución lognormal.

9

Métodosparamétricos en Los estudios de Confiabilidad y SupervivenciaSi se asume como conocida la función de probabilidad que gobierna la variable tiempo de vida y si las pruebas de bondad de ajuste muestran que la asunción del tipo de función de probabilidad que gobierna la variable tiempo de vida es aceptable, entonces se pueden usar métodos paramétricos para estudiar la supervivencia

El procedimiento paramétrico consiste en estimar, con el método de máxima verosimilitud, los parámetros característicos de la función de distribución de probabilidades del tiempo de supervivencia, y usar la distribución determinada para estudiar el comportamiento de las funciones de supervivencia y realizar contrastes de hipótesis sobre ellas.Las pruebas de bondad de ajuste se realizan con prueba ji-cuadrado, con la del logaritmo del cociente de verosimilitudes.

Las pruebas de ajuste comúnmente utilizadas son las siguientes:1. Prueba Chi-cuadrado de bondad de ajuste.

10

0,000

0,000

0,001

0,001

0,001

0,0 5000,0 10000,0 15000,0 20000,0

Lognormal Hazard Rate GRAFICA

TIEMPOSUP

Haz

ard

Rat

e{G}

2.Prueba Kolmogorov-Smirnov de bondad de ajuste.3.Prueba de Anderson-Darling de bondad de ajuste.

El nivel de significación P (o P-valor).La significación estadística o el nivel de significación (p- valor) es una medida del grado en el cual los resultados obtenidos son verdaderos, en el sentido que los resultados obtenidos por medio de muestras sean extensibles a la población, el nivel de significación de un test es un concepto estadístico asociado a la verificación de una hipótesis.

El nivel de significación mide la probabilidad de cometer error al aceptar los resultados obtenidos en un procedimiento como resultados generalmente validos, es decir validos para toda la población

El nivel de significación es equivalente al Error Tipo 1 (alfa: Probabilidad de rechazar la hipótesis nula dado que esta es verdadera), (decisión conocida como error de tipo I, o "falso positivo").

Si el valor P es inferior al nivel de significación, entonces la hipótesis nula es rechazada. Cuanto menor sea el valor P, más significativo será el resultado.

Un valor alto del p-valor representa una menor confianza en que los resultados obtenidos con la manipulación de la muestra sean equiparables a los de la población.

El nivel de significación mide la probabilidad de cometer error al aceptar los resultados obtenidos en un procedimiento como resultados generalmente validos, es decir validos para toda la población

Un p-valor de 0.05 se interpreta como que existe el 5% de probabilidad de que las relaciones encontradas entre las variables a partir de la manipulación de muestras hayan sido debido al puro azar, ala pura suerte (“de Chiripa”)

Si se asume que en la población no existe relación entre las variables.

Un nivel de significancia de 5% indica que se debe esperar hasta 20 repeticiones para que aparezca un experimento donde existan entre las variables relaciones mucho más significativas que las que se pudieran encontrar en las anteriores replicas del experimento.

En muchas áreas técnicas el nivel mínimo de significación se ha establecido en 5%, en otras más exigentes como el área científica o de investigación científica requieren de 1% y otras hasta de 0.1%..

.PRUEBA CHI-CUADRADO DE BONDAD DE AJUSTELa prueba basada en la ji-cuadrado se realiza distribuyendo el periodo de observación en k intervalos y calculando el estadístico:

11

Siendo Oi los eventos observados en el intervalo i y Ei los esperados en la hipótesis de que los datos provengan realmente de la distribución considerada.

Este estadístico, se distribuye aproximadamente como una Chi-cuadrado con k - r - 1 grados de libertad, donde r es el número de parámetros de la distribución estimados a partir de la muestra

La prueba Chi - cuadrado se utiliza para comprobar si una muestra de los datos procedede una población con una distribución específica.

Una característica atractiva de la Chi-cuadrado es que se puede aplicar a cualquier distribución univariada para los que pueden calcular la función de distribución acumulada.

La prueba Chi-cuadrado se puede aplicar a las distribuciones discretas, como la binominal y la de Poisson y a cualquier distribución univariada a la se pueda calcular con facilidad la función de distribución acumulada.

Las pruebas de Kolmogorov-Smirnov y Anderson-Darling se limitan a las distribuciones continuas.

La prueba Chi-cuadrado se define por la hipótesis:

Hipótesis

Ho Los datos siguen una distribución especificada. Ha: Los datos no siguen la distribución especificada.

Estadística de prueba

Para calcular el estadístico de bondad de ajuste (Chi-cuadrado), los datos se dividen en k cajas y la estadística del ensayo se define como

dónde es la frecuencia observada de la clase i y Ei es la frecuencia esperada de la clase i.

La frecuencia esperada se calcula por

donde F es la función de distribución acumulada de la distribución que se está probando y N es el tamaño de

12

la muestra.

Regla de Decisión:

Se acepta H0 cuando .

En caso contrario se rechaza. H0

Donde t representa el valor proporcionado por las tablas, según el nivel de significación estadística elegido.

Si existe concordancia entre las frecuencias observadas y las esperadas el estadístico tomará un valor igual a 0; por el contrario, si existen grandes discrepancias entre estas frecuencias el estadístico tomará un valor grande y, en consecuencia, se rechazará la hipótesis nula.

La región crítica La región crítica estará situada en el extremo superior de la distribución Chi-cuadrado con k-1 grados de libertad.

La prueba de Kolmogorov-Smirnov.Características de la pruebaLa prueba de Kolmogorov–Smirnov es una prueba de bondad de ajuste que permite determinar si razonablemente las mediciones muéstrales provienen de una población que tiene esa distribución de probabilidad teórica

La prueba de una muestra de K-S puede en todos los casos en que se aplique ser más poderosa que su prueba alternativa, la prueba de 2

La prueba compara la distribución de frecuencia acumulativa de la distribución teórica con la distribución de frecuencia acumulativa observada determinando el punto en el que estas dos distribuciones muestran la mayor divergencia.

HipótesisHo: La distribución observada se ajusta a la distribución teórica. H1: La distribución observada no se ajusta a la distribución teórica.

Estadígrafo de pruebaPara dos colas el estadístico de prueba viene dado por

Donde F(x) es la distribución presentada como hipótesis.

13

Regla de Decisión

Si Dn+ > W1- Rechazamos Ho o si

Si Dn- < W Rechazamos Ho

W 1- es el valor de la prueba Kolmogorov–Smirnov

LA PRUEBA ANDERSON-DARLING La prueba Anderson-Darling se utiliza para comprobar si una muestra de los datos proceden de una población con una distribución específica.

La prueba A-D es una prueba alternativa de las pruebas Chi-cuadrado y la de Kolmogorov-Smirnov, se trata de una modificación de la prueba Kolmogorov-Smirnov (KS) que le da más peso a las colas que la prueba de KS.

En la prueba KS los valores críticos no dependen de la distribución que se esta poniendo a prueba, en la prueba Anderson-Darling para el cálculo de valores críticos se hace uso de la distribución que se esta poniendo a prueba, lo que permite tener una prueba más sensible

Los valores críticos en la prueba A-D deberán calcularse para cada distribución y se dispone de las tablas de valores críticos para la normal, lognormal, exponencial, Weibull y las del valor extremo de tipo I y tipo II

La prueba Anderson-Darling se define como: HipótesisH 0: Los datos siguen una distribución especificada. H a: Los datos no siguen la distribución especificada

Estadístico de prueba El estadístico de prueba de Anderson-Darling se define

como:

A2 = − N − S

Donde F es la función de distribución acumulada de la distribución especificada.

Regla de decisiónEl estadístico de la prueba se compara con las distribuciones del estadístico de prueba:

A2 > F para determinar el P-valorde la prueba.

14

Región crítica: Los valores críticos para la prueba de Anderson-Darling dependen de la distribución específica que se está probando.

AJUSTE DE UNA DATAA UNA DISTRIBUCIÓN LOGNORMAL.La data LOGNORMAL el número de meses a los que se produjo la primera falla en cada uno de los 121 equipos que componen un sistema de transporte. Se tratara de ajustar la data a una distribución lognormal.

DATA LOGNORMAL2 4 4 4 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 78 8 8 8 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 10 10 10 10 10

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 12 12 1212 12 12 12 12 13 13 14 14 14 14 14 14 14 15 15 15 15 15 15 16 16 16 17 17 17 1719 19 21 22 24 24 24 27 32 35

SoluciónLa tabla presenta el resultado del Test de Bondad de Ajuste para determinar si la data: LOGNORMAL puede ser adecuadamente modelada con una distribución lognormal La data LOGNORMAL presenta 121 valoresEl rango de valores es de 2 hasta 35Una lognormal con: Media 11,3259 y Desviación Estándar 5,45928

área bajo 9,04463 = 0,396064 área bajo 10,1752 = 0,497662 área bajo 11,3058 = 0,588879 área bajo 12,4364 = 0,667559 área bajo 13,5669 = 0,733538

El Test Chi -Cuadrado reparte la data en varios intervalos y compara el número de observaciones con el número de observaciones esperadas si la distribución de la data fuese una distribución lognormal

Bondad de Ajuste para la data: LOGNORMAL Chi-Cuadrado Test Inferior Superior Observada Esperada Limite Limite Frequen Frequen Chisquare Debajo de 5,0 10,0 56 51,20 0,45 10,0 15,0 35 38,47 0,31 15,0 20,0 12 15,62 0,84

15

Sobre 20,0 8 8,52 0,03Chi-Square = 2,74254 con 2 d.f. P-Value = 0,253785 .

Estadística Estimada de Kolmogorov DPLUS = 0.0792284Estadística Estimada de Kolmogorov DMINUS = 0.0861148Estadística Estimada de Kolmogorov GLOBAL = 0.0861148P-Valor Aproximado = 0.33146

El Test Kolmogorov-Smirnov determina el estadístico para la máxima y la mínima distancia entre la distribución acumulada de LOGNORMAL y la CDF de la distribución teórica lognormal, la máxima distancia es 0.0861148., el menor valor de P-valor es 0.253785

Por ser el P-valor mayor o igual a 0.10, no podemos rechazar la hipótesis de que Tiempos de Fallas provenga de una distribución Normal con un 90% o más de confianza, para este caso aceptamos la hipótesis alternativa de que la variable LOGNORMAL se ajusta a una distribución lognormal.

Si aceptamos que el modelo lognormal es adecuado para ajustar la data LOGNORMAL podemos calcular la supervivencia a 8 meses y la mediana de supervivencia.

16

En la gráfica se observa que para T=8, S (t) es aproximadamente 0,7 y que S (t)=0,5 para t=10 aproximadamente.

Usando las fórmulas la probabilidad de supervivencia a los 8 meses es 0,7019.

La mediana es el tiempo para el cual:

S (t)=0,5 y

Test de confiabilidad para Lognormal Cuando ajustamos los tiempos entre fallas a una distribución Lognormal no es sencillo determinar un test para la confiabilidad, como esta distribución tiene dos parámetros, para obtener una estimación de estos dos parámetros se requiere que se produzcan al menos dos fallas y se requieren mucho mas de dos fallas para obtener una buena estimación de los dos parámetros de la distribución.

Debido a la censura, sin una buena conjetura sobre el valor de uno de los parámetros, cualquier test planeado posiblemente falle, con un parámetro conocido es posible desarrollar un test aceptable para los tiempos de fallas.

Siempre es posible establecer una buena conjetura sobre el valor de uno de los parámetros, generalmente esta conjetura se establece sobre el parámetro de forma (para la Lognormal)

Se diseña un plan de muestreo que tome n unidades bajo prueba por T horas consecutivas y acepte el lote de n unidades si fallan r unidades o menos.Para desarrollar este test se supone que la distribución de los tiempos es Lognormal, que es conocida de pruebas anteriores y no varia de lote a lote y que la Confiabilidad del lote varia porque T50 (la mediana lognormal del 50avo percentil) difiere de lote a lote. El máximo valor del factor de aceleración es A, el valor de Tu, se determina con la CDF y es la probabilidad (Ho) de que sobreviva 100,000 horas.

El factor de aceleración A se usa para calcular una proporción de fallas “buena” o aceptable pa y una proporción de fallas “mala” o inaceptable

Tu = 1000.000 e-(p0 )donde  es la inversa de la distribución normal estándar.

El factor de aceleración A se usa para calcular una proporción de fallas aceptable pa y una proporción de inaceptable referida como pb:

donde F es la CDF de la normal estándar.Estas suposiciones transforman el problema de confiabilidad en un problema de Muestreo de Aceptación de Lotes.

17

0,000

0,000

0,001

0,001

0,001

0,0 5000,0 10000,0 15000,0 20000,0

Lognormal Hazard Rate GRAFICA

TIEMPOSUP

Haz

ard

Rat

e

{G}

0,000

0,250

0,500

0,750

1,000

6000,0 9000,0 12000,0 15000,0 18000,0

Lognormal Survival GRAFICA

TIEMPOSUP

Sur

viva

l

{G}

Modelo Exponencial18

0,000

0,875

1,750

2,625

3,500

6000,0 9000,0 12000,0 15000,0 18000,0

Lognormal Hazard Fn grafica

TIEMPOSUP

Haz

ard

Fn

{G}

La Función de distribución exponencial negativa se escribe como:

ln [1/ 1-F(t)] = [ln10 ] t o

el equivalente ln [1/ 1-F(t)] = t

Sea y = 1/{1 - F(t)} y x = t, entonces log (y) es lineal en base a log(x) con una pendiente de ln10.

De esta manera podemos construir nuestro propio papel de probabilidades exponencial usando un papel semilogaritmico estándar.

Para cada valor de t determinamos el par (t, F (t)),

Si la data se ajusta a una distribución exponencial, los puntos (pares) graficados deben caer sobre de la línea recta con pendiente / ln10.

Ajuste de una data a una distribución exponencialSe dispone de la data del tiempo de falla de un grupo de 40 componentes electrónicos no reparables.

Se desea conocer si la ley que rige los tiempos de falla de estos componentes es una distribución exponencial negativa.

Estadística descriptiva

Estadística Valor

Tamaño de la muestra 40

Rango 1190

Media 261,15

Varianza 70449,0

Desviación estándar 265,42

Coef. de variación 1,0164

Error estándar 41,967

Asimetría 1,6021

Curtosis 3,0049

 

Percentil Valor

Min 10

5% 15,25

10% 23,0

25% (Q1) 53,25

50% (Mediana) 161,5

75% (Q3) 446,25

90% 601,9

95% 886,5

Max 1200

Estadísticas descriptivas para los intervalos :    Límite inferio

r

Límite superior

Frecuencia

Frecuencia relativa

Densidad Densidad

0 130 17 0,436 0,003 0,385130 260 7 0,179 0,001 0,237260 390 4 0,103 0,001 0,146390 520 5 0,128 0,001 0,090520 650 4 0,103 0,001 0,055

19

650 780 0 0,000 0,000 0,034780 910 1 0,026 0,000 0,021910 1040 0 0,000 0,000 0,013

1040 1170 0 0,000 0,000 0,0081170 1300 1 0,026 0,000 0,005

Histogramas

0

0,0005

0,001

0,0015

0,002

0,0025

0,003

0,0035

0,004

0 200 400 600 800 1000 1200 140010

Den

sida

d

10 Exponencial(0,004)

Distribución Parámetros

1 Exponencial =0,00383

Bondad de ajuste – Resumen

DistribuciónKolmogorov

SmirnovAndersonDarling Chi-cuadrado

Estadística Rango Estadística Rango Estadística Rango

1 Exponencial 0,09134 1 0,37797 1 1,5225 1

Análisis EstadísticoSe presentan los resultados de las pruebas estadísticas para determinar si la data puede ser adecuadamente modelada por una distribución exponencial.

La prueba Chi-cuadrada divide la data en 6 intervalos y compara el número de observaciones en cada clase con el número de observaciones que se espera sobre la base de la distribución exponencial.

La prueba Kolmogorov-Smirnov computa la máxima distancia entre la distribución acumulativa y la data y la máxima distancia entre la data y la distribución exponencial

20

Prueba de Kolmogorov-Smirnov:D 0,085p-valor 0,929Alfa 0,05

Interpretación de la prueba:H0: La muestra sigue una distribución ExponencialHa: La muestra non sigue una distribución ExponencialComo el p-valor calculado es mayor que el nivel de significación alfa=0,05, se puede aceptar la hipótesis nula H0.El riesgo de rechazar la hipótesis nula H0 cuando es verdadera es de 92,85%.Graficas de Densidad y de Supervivencia

Función de supervivencia

Muestra Exponential

x120010008006004002000

S(x

)

1

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0

Función de distribución acumulativa

Muestra Exponential

x120010008006004002000

F(x)

1

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0

Histogramas

0

0,0005

0,001

0,0015

0,002

0,0025

0,003

0,0035

0,004

0 200 400 600 800 1000 1200 140010

Den

sida

d

10 Exponencial(0,004)

Probabilidad-Probabilidad

Exponential

P (Empírico)10,90,80,70,60,50,40,30,20,1

P (M

odel

o)

1

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

21

La Función de distribución de WeibullUn modelo de distribución que se utiliza con bastante frecuencia para modelar los tiempos de vida es la distribución de Weibull.Creada por el Profesor Waloddi Weibull, esta distribución esta descrita por tres parámetros; B el parámetro de forma, C el parámetro de escala y D el parámetro de localización, la expresión de la Weibull en funcion de de estos parámetros es:

f ( t | B,C,D ) = (B/C) (t-D)(B-1) e(t-D)B

Parametro de Forma-BEl parametro de forma de la función de densidad de esta distribución, el rango de variación típica de este parámetro es entre 0.5 y 8.0. y el valor más común es 2.0.Una de las razones del amplio uso de esta distribución es que ella incluye otras distribuciones como casos especiales de Weibull para distintos valores del parámetro de forma B, así si:.

B = 1 La distribución Weibull es idéntica a la distribución exponencial.B = 2 La distribución Weibull es idéntica a la distribución Rayleigh.B = 2.5 La distribución Weibull se aproxima a la distribución lognormal.B = 3.6 La distribución Weibull se aproxima a la distribución normal

Parámetro de Escala - CEl parámetro C de escala controla la escala de la función de densidad Weibull en el eje de la variable tiempo, un cambio en este parámetro tiene el mismo en la distribución como un cambio de escala de tiempo sin cambiar la forma original de la distribución. El parámetro C es conocido como la vida característica de la población que sigue la Weibull.

Parámetro de Localización - DEl parámetro D de localización es el valor mínimo de la variable aleatoria t, cuando D es cero tenemos la Weibull de dos parámetros.

Si la variable aleatoria t sigue una distribución de Weibull, entonces la variable x = ln(t) sigue una distribución de Valores Extremos

La distribución Weibull de dos parámetros se utiliza extensivamente en el desarrollo de modelos de confiabilidad, ella presenta una gran flexibilidad a la hora de crear modelos de varios tipos de comportamiento de riesgo, es fácilmente manejable algebraicamente, como toda distribución de dos parámetros puede describir bastante bien muchas situaciones reales.

Además, como la distribución Weibull es una distribución de valores extremos, si se considera que un dispositivo puede fallar debido a alguna de varias causas posibles, el primer mecanismo de falla que ocurra (tiempo mínimo hasta su aparición) determina la falla del dispositivo, por lo tanto, el tiempo de falla es el valor mínimo de un conjunto, y debe ser representado utilizando una distribución de la clase de distribuciones de valores extremos

Las variables aleatorias no negativas como es el caso del tiempo de vida de un equipo tienen a la distribución Weibull de dos parámetros como una buena representante, la distribución Weibull hace una interpretación física bastante verosímil de los tiempos d e falla de los equipos

22

industriales.

La distribución de Weibull de dos parámetrosLa distribución Weibull de dos parámetros es bastante utilizada en los estudios de la confiabilidad y la supervivencia, ella presenta una gran flexibilidad para crear modelos de varios tipos de comportamiento de riesgo, es fácilmente manejable algebraicamente y como toda distribución de dos parámetros puede describir bastante bien muchas situaciones reales.

La distribución Weibull-2p es un caso representativo de variable aleatoria no negativa, ella admite una interpretación física bastante verosímil.

La función de Weibull de dos parámetros está definida por:

f(t) = t) = ctes > 0

Para = 1 esta función es la distribución exponencial, la función exponencial es una particularización de la función más general de Weibull.

Las funciones de supervivencia y riesgo para esta variable son: S(t) = e-(t)yh (t) = (t)El riesgo es creciente en el tiempo para > 1, constante para = 1 y decreciente para < 1.

Al tomar dos veces el logaritmo de la función de supervivencia obtenemos:

ln[S(t)] = -(t) ln(-ln(S(t))] = ln(t) +ln( A+Bln( ))

y calculando el logaritmo de la función de riesgo

ln[h(t)] = ln() + (ln( + (ln(t) – A + Bln(t)

las relaciones entre el logaritmo del logaritmo cambiado de signo de la Supervivenciacon el logaritmo del tiempo y el logaritmo del riesgo con el logaritmo del tiempo son lineales.

Se usan estas relaciones para evaluar la idoneidad del modelo de Weibull, la distribución de Weibull se utiliza para modelar tiempos de falla, los dos parámetros de la distribución se suelen llamar de forma (alfa) y de escala (gamma.).

La función de densidad de probabilidades de WeibullLa formula de la función de densidad de probabilidades de la distribución Weibull es:

donde es el parámetro de forma, es el parámetro de escala .El caso donde = 0 y = 1 es llamado la distribución Estándar de Weibull.

23

El caso donde = 0 se llama la distribución de Weibull de 2 parámetros. La ecuación Weibull de 2 parámetros se representa en este caso con la siguiente expresión:

La siguiente es la grafica de la función de densidad de la distribución de Weibull con valores de : 0.5, 1, 2 y 5

La función de probabilidad Acumulada de Weibull La formula de la función de probabilidad Acumulada de la distribución Weibull es:

F(t) = 1 – exp(- x) x ≥ 0 ; ≥ 0

La siguiente es la grafica de la función de probabilidad Acumulada de la distribución Weibull con valores de : 0.5, 1, 2 y 5

24

La función de riesgo de la distribución Weibull La expresión para la función de riesgo de la distribución Weibull es:

h(x) = x(-1) x ≥ 0; g > 0

La siguiente es la grafica de la función de riesgo de la distribución Weibull con un valor de 0,5, 1, 2, y 5

La función del riesgo acumulado de Weibull La expresión de la función del riesgo acumulado de Weibull es:H(x) = x x > 0: > 0

La siguiente es la grafica de la función del riesgo acumulado de Weibull con los intervalos de confianza de 95%.

25

0,000

3,750

7,500

11,250

15,000

15000,0 26250,0 37500,0 48750,0 60000,0

RIESGO ACUMULADO WEIBULL

TIEMPO DE FALLA

RIE

SG

O R

IES

GO

AC

UM

ULA

DO

{G}

La función de la Supervivencia de la distribución Weibull

La expresión para la función de la Supervivencia de la distribución Weibull es:

S(x) = exp-(x) x > 0: > 0

La siguiente es la grafica de la función de la Supervivencia de la probabilidad de la distribución Weibull con un valor de : 0,5, 1, 2, y 5.

La función Inversa de la Supervivencia de Weibull La expresión para la función Inversa de la Supervivencia de la distribución Weibull es:

Z(p) = (ln(p))10 ≤ p ≤ 1 > 1

La siguiente es la grafica de la función del logaritmo de la Supervivencia de la probabilidad de la distribución Weibull con un valor de : 0,5, 1, 2, y 5.

26

Forma,Escala0,5,11,12,15,1

Weibull Distribución

x

Prob

. log

Supe

rviv

enci

a

0 5 10 15-37

-27

-17

-7

3

Ajuste de una dataa una distribución Weibull

La siguiente muestra de tamaño 50 ha sido obtenida de una población que registra la vida útil (en unidades de tiempo) de baterías alcalinas tipo AAA. Pruébese la hipótesis nula de que la variable aleatoria vida útil de las baterías sigue una distribución exponencial negativa. Considérese un nivel de significancia alfa de 5%.

8.223 0.836 2.634 4.778 0.406 0.517 2.330 2.563 0.511 6.4262.230 3.810 1.624 1.507 2.343 1.458 0.774 0.023 0.225 3.2142.920 0.968 0.333 4.025 0.538 0.234 3.323 3.334 2.325 7.5140.761 4.490 1.514 1.064 5.088 1.401 0.294 3.491 2.921 0.3341.064 0.186 2.782 3.246 5.587 0.685 1.725 1.267 1.702 1.849

Estadística descriptiva

Estadística Valor

Tamaño de la muestra 50

Rango 8,2

Media 2,2679

Varianza 3,7343

Desviación estándar 1,9324

Coef. de variación 0,85207

Error estándar 0,27329

  Percentil Valor

Min 0,023

5% 0,20745

10% 0,2979

25% (Q1) 0,742

50% (Mediana) 1,7135

75% (Q3) 3,2652

90% 5,057

27

Asimetría 1,2494

Curtosis 1,4013

95% 6,9156

Max 8,223

Ajuste de una dataa una distribución WeibullLa siguiente muestra de tamaño 50 ha sido obtenida de una población que registra la vida útil (en unidades de tiempo) de baterías alcalinas tipo AAA. Pruébese la hipótesis nula de

28

Bondad de ajuste - Detalles  

Weibull (3P)  

Kolmogorov-SmirnovTamaño de la muestraEstadísticaValor PRango

500,068940,9582310

0,2 0,1 0,05 0,02 0,01

Valor crítico 0,1484 0,16959 0,18841 0,21068 0,22604

Rechazar? No No No No No

Anderson-DarlingTamaño de la muestraEstadísticaRango

500,178487

0,2 0,1 0,05 0,02 0,01

Valor crítico 1,3749 1,9286 2,5018 3,2892 3,9074

Rechazar? No No No No No

Chi-cuadradoGrados de libertadEstadísticaValor PRango

51,52770,9098516

0,2 0,1 0,05 0,02 0,01

Valor crítico 7,2893 9,2364 11,07 13,388 15,086

Rechazar? No No No No N

que la variable aleatoria vida útil de las baterías sigue una distribución exponencial negativa. Considérese un nivel de significancia alfa de 5%.

8.223 0.836 2.634 4.778 0.406 0.517 2.330 2.563 0.511 6.4262.230 3.810 1.624 1.507 2.343 1.458 0.774 0.023 0.225 3.2142.920 0.968 0.333 4.025 0.538 0.234 3.323 3.334 2.325 7.5140.761 4.490 1.514 1.064 5.088 1.401 0.294 3.491 2.921 0.3341.064 0.186 2.782 3.246 5.587 0.685 1.725 1.267 1.702 1.849

Solución La tabla presenta las estadísticas de la data tiempo de vida

Estadística descriptiva

Estadística Valor

Tamaño de la muestra 50

Rango 8,2

Media 2,2679

Varianza 3,7343

Desviación estándar 1,9324

Coef. de variación 0,85207

Error estándar 0,27329

Asimetría 1,2494

Curtosis 1,4013

 

Percentil Valor

Min 0,023

5% 0,20745

10% 0,2979

25% (Q1) 0,742

50% (Mediana) 1,7135

75% (Q3) 3,2652

90% 5,057

95% 6,9156

Max 8,223

Se puede probar si la distribución Weibull ajusta adecuadamente a los datos de tiempo de vida, mediante las pruebas de Bondad de Ajuste

puede ser adecuadamente modelada por una distribución WeibullLa tabla presenta los detalles de las pruebas: Kolmogorov-Smirnov, Anderson-Darling y Chi-cuadrado

Bondad de ajuste - Detalles Weibull (3P)  

Kolmogorov-Smirnov

Tamaño de la muestraEstadísticaValor PRango

500,068940,9582310

29

0,2 0,1 0,05 0,02 0,01

Valor crítico 0,1484 0,16959 0,18841 0,21068 0,22604

Rechazar? No No No No No

Anderson-Darling

Tamaño de la muestraEstadísticaRango

500,178487

0,2 0,1 0,05 0,02 0,01

Valor crítico 1,3749 1,9286 2,5018 3,2892 3,9074

Rechazar? No No No No No

Chi-cuadrado

Grados de libertadEstadísticaValor PRango

51,52770,9098516

0,2 0,1 0,05 0,02 0,01

Valor crítico 7,2893 9,2364 11,07 13,388 15,086

Rechazar? No No No No No

En la tres pruebas y para todos los niveles de confianza considerados los P-Valores son mayores que 0,05 lo que indica que la data tiempo de vida proviene de la distribución Weibull 3P.

Pruebas de Bondad-de-Ajuste paraTiempo de vidaLa tabla muestra los resultados de la prueba de Kolmogorov-Smirnov realizada para determinar si la data tiempo de vida puede ser modelada adecuadamente por la distribución Weibull 3P.

Pruebas de Bondad-de-Ajuste para tiempo de vidaPrueba de Kolmogorov-Smirnov

Normal Weibull (3-Parámetros)DMAS 0,130632 0,0497935DMENOS 0,122675 0,0689363DN 0,130632 0,0689363Valor-P 0,364094 0,971407

El Test Kolmogorov-Smirnov determina el estadístico para la máxima distancia entre la distribución acumulada de tiempo de vida y la CDF de la distribución teórica de Weibull 3P, la máxima distancia es 0,0689363.

30

El menor valor de P-valor es 0,971407. Por ser el P-valor mayor o igual a 0.10, no podemos rechazar la hipótesis de que la data tiempo de vida provenga de una distribución Weibull 3P.

Comparación de Distribuciones AlternasEsta tabla compara la bondad de ajuste cuando varias distribuciones se ajustan a tiempo de vidaDe acuerdo con el estadístico log verosimilitud, la distribución de mejor ajuste es la distribución Weibull de 3 parámetros. Distribución Parámetros Est. Log Verosimilitud KS DWeibull (3-Parámetros) 3 -90,1286 0,0689363Weibull 2 -90,2176 0,0644522Gamma 2 -90,3529 0,0729389Exponencial 1 -90,9436 0,0859146Loglogística 2 -94,1726 0,0926777Lognormal 2 -95,0998 0,11322Valor Extremo Más Grande 2 -95,7681 0,0921058Birnbaum-Saunders 2 -100,618 0,211992Logística 2 -102,195 0,126432Normal 2 -103,386 0,130632Laplace 2 -103,541 0,156939

Evaluación visual de las graficas.Se puede evaluar visualmente que tan bien se ajusta la distribución y determinar los valores puntuales del riesgo y la supervivencia, con el uso de las graficas: histograma de frecuencias, de la grafica de riesgo y grafica de supervivencia

31

Función de Densidad

0 2 4 6 8 10tiempo de vida

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

dens

idad Distribución

LognormalNormalWeibull (3-Parámetros)

DISTRIBUCION DE FRECUENCIA

-1 1 3 5 7 9 11tiempo de vida

0

2

4

6

8

10

12

frec

uenc

ia

DistribuciónNormalWeibull (3-Parámetros)

Prob

de

supe

rvive

ncia

Función Estimada de Supervivencia

0 2 4 6 8 10tiempo de vida

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

Comparación de Distribuciones AlternasEsta tabla compara la bondad de ajuste cuando varias distribuciones se ajustan a tiempo de vidaDe acuerdo con el estadístico log verosimilitud, la distribución de mejor ajuste es la distribución Weibull de 3 parámetros.

Distribución Parámetros Est. Log Verosimilitud KS DWeibull (3-Parámetros) 3 -90,1286 0,0689363Weibull 2 -90,2176 0,0644522Gamma 2 -90,3529 0,0729389Exponencial 1 -90,9436 0,0859146Loglogística 2 -94,1726 0,0926777Lognormal 2 -95,0998 0,11322Valor Extremo Más Grande 2 -95,7681 0,0921058Birnbaum-Saunders 2 -100,618 0,211992Logística 2 -102,195 0,126432Normal 2 -103,386 0,130632Laplace 2 -103,541 0,156939

32

DISTRIBUCION DE FRECUENCIA

-1 1 3 5 7 9 11tiempo de vida

0

2

4

6

8

10

12

frec

uenc

iaDistribución

NormalWeibull (3-Parámetros)

33

34

La distribucion lognormalEl modelo de distribución lognormal se usa para modelar los tiempos de fallas en los estudios de la confiabilidad y la supervivencia.

La variable t sigue una distribución lognormal si ln(t) tiene una distribución normal de media μ y varianza σ², en consecuencia, la variable y = ((ln(t) – / es una variable normal estándar, es decir de media igual a 0 y desviación típica igual a 1.

La función de supervivencia se puede escribir como: S(t) = 1- (y)

Siendo la función de distribución acumulativa de la normal estándar, por lo tanto un modo gráfico de verificar esta distribución es comparar la función de supervivencia dibujada en papel lognormal con una línea recta.

La función Lognormal está caracterizada por los dos parámetros μ y σ, que no son su media y desviación típica.

Una variable t esta lognormalmente distribuida si Y = ln(t) esta normalmente distribuida, la expresión general de la función de densidad de probabilidades de la distribución Lognormal es la siguiente:

donde es el parámetro de forma, es el parámetro de localización y es el parámetro de escala.

El caso donde = 0 y = 1 se refiere como la distribución lognormal estándar.

Si X~ N() es una distribución normal, entonces: exp(X) ~ Log- N()

donde = 0 se llama la distribución lognormal de 2 parámetros.

La distribución Lognormal EstándarLa expresión general de la función de densidad de probabilidades de la distribución Lognormal Estándar es la siguiente:

35

La ecuación de la distribución general Lognormal se puede expresar en términos de la ecuación de la distribución Lognormal Estándar.

La grafica presenta las curvas de la densidad de probabilidad de la distribución Lognormal de media 1 y para cuatro valores distintos de la desviación típica y

La función de distribución Acumulada de la lognormalLa expresión de la distribución acumulada de la distribución Lognormal es:

donde es la función de distribución acumulada de la normal estándar.La siguiente es la grafica de la función de distribución Lognormal acumulada de media 1 y para cuatro valores distintos de la desviación típica : 5, 2, 1 y 0.5.

36

Media,Desv. T íp.1,0,51,11,21,5

Lognormal Acumulada

X

Prob

. Acu

mula

da

0 5 10 15 200

0,2

0,4

0,6

0,8

1

Función de riesgo de la distribución Lognormal

La expresión de la función de riesgo de la distribución Lognormal es:

La siguiente es la grafica de la función de riesgo de la distribución Lognormal, para los mismos valores de la media 1 y para una desviación típica y es la función de densidad de la Normal.Las siguientes son las graficas de la función de riesgo de la distribución Lognormal, para los mismos valores de la media 1 y para una desviación típica de y 5)

Función de Supervivencia de la distribución LognormalLa expresión de la función de Supervivencia de la distribución Lognormal es: S(t) = 1- ln(t)La siguiente es la grafica de la función de Supervivencia de la distribución Lognormal, para los mismos valores de la media 1 y para una desviación típica y

37

Media,Desv. Típ.1,0,51,11,21,5

Supervivencia Lognormal

x

Prob

. Spe

rv

0 5 10 150

0,2

0,4

0,6

0,8

1

INVERSA DE LA SUPERVIVENCIA DE LA DISTRIBUCION LOGNORMALLa expresión de la función Inversa de Supervivencia de la distribución Lognormal es: Z(p) = exp(-1(1-p)), donde es la función Inversa Acumulada de la distribución normal La siguiente es la grafica de la función Inversa de Supervivencia de la distribución Lognormal, con los mismos valores de media 1 y para una desviación típica y

Ajuste de una dataa una distribución LognormalAjuste de Datos bacteriológicos a una distribución lognormalLa data presenta los valores del número más probable de bacterias en cada 100 ml, se desea ajustar estos datos a una distribución lognormal.

NMP/100 ml11 9 3 15 3 47 28 28 28 75 7539 75 120 390 460 210280 28 39 28 11 1420 20 43 43 28 6464 39 110 75 43 93150 43

Solución La tabla presenta las estadísticas de la data NMP/100 ml

Estadística descriptivaNMP/100 ml

Estadística Valor   Percentil Valor

38

Media,Desv. Típ.1,0,51,11,21,5

Distribucion Lognormal

Prob

Log S

uperv

0 5 10 15 20 25 30-31

-21

-11

-1

9

Tamaño de la muestra 38

Rango 457

Media 74,079

Varianza 10386,0

Desviación estándar 101,91

Coef. de variación 1,3757

Error estándar 16,533

Asimetría 2,6175

Curtosis 6,9198

Min 3

5% 3

10% 6,7

25% (Q1) 18,75

50% (Mediana) 39

75% (Q3) 75

90% 217,0

95% 393,5

Max 460

Pruebas de Bondad de Ajuste para NMP/100 mlLa tabla presenta los detalles de las pruebas: Kolmogorov-Smirnov, Anderson-Darling y Chi-cuadrado, se usaran para determinar si la data NMP/100 ml puede ser modelada adecuadamente por la distribución lognormal.

Se puede probar si la distribución lognormal ajusta adecuadamente a los datos de NMP/100 ml mediante el valor del p-valor para las pruebas de Bondad de Ajuste

Pruebas de Bondad de ajusteLognormal 

Kolmogorov-Smirnov

Tamaño de la muestraEstadísticaValor PRango

380,116050,6431812

a 0,2 0,1 0,05 0,02 0,01

Valor crítico 0,16966 0,19392 0,21544 0,24089 0,25843

Rechazar? No No No No No

Anderson-Darling

Tamaño de la muestraEstadísticaRango

380,285088

a 0,2 0,1 0,05 0,02 0,01

Valor crítico 1,3749 1,9286 2,5018 3,2892 3,9074

Rechazar? No No No No No

Chi-cuadrado

39

Grados de libertadEstadísticaValor PRango

41,22470,8740114

a 0,2 0,1 0,05 0,02 0,01

Valor crítico 5,9886 7,7794 9,4877 11,668 13,277

Rechazar? No No No No No

Se puede probar si la distribución lognormal ajusta adecuadamente a los datos de NMP/100 ml comparando el valor del p-valor para las pruebas de Bondad de Ajuste realizadas con el valor 0.06.

En la tres pruebas y para todos los niveles de confianza considerados los P-Valores son mayores que 0,05 lo que indica que la data NMP/100 ml proviene de la distribución lognormal.

Pruebas de Bondad de Ajuste paraNMP/100 ml La tabla muestra los resultados de la prueba de Kolmogorov-Smirnov realizada para determinar si la data NMP/100 ml puede ser modelada adecuadamente por la distribución lognormal.

Pruebas de Bondad-de-Ajuste para NMP/100 ml 1.Test Kolmogorov-Smirnov

LognormalDMAS 0,0858608DMENOS 0,117279DN 0,117279Valor-P 0,672761

La prueba de Kolmogorov-Smirnov calcula la distancia máxima entre la distribución acumulada de la data NMP/100 ml y la FDA de la distribución lognormal ajustada. En la tabla se observa que el estadístico para la máxima distancia entre la distribución acumulada de NMP/100 ml y la CDF de la distribución teórica de lognormal es 0,117279.

El menor valor de P-valor es 0,672761. Por ser el P-valor mayor o igual a 0.10, no podemos rechazar la hipótesis de que la data NMP/100 ml provenga de una distribución lognormal.

La prueba chi-cuadrada La prueba de chi-cuadrada divide el rango de la data NMP/100 ml en varios intervalos de clase y compara el número de observaciones que caen en cada en cada clase con el número esperado de observaciones que caen en estas clases en la distribución lognormal ajustada.

40

Prueba Chi-Cuadrada de la data NMP/100 mlLímite Límite Frecuencia FrecuenciaInferior Superior Observada Esperada Chi-Cuadrada

menor o igual 37,5 17 19,04 0,2237,5 75,0 13 8,15 2,8975,0 112,5 2 3,83 0,87112,5 150,0 2 2,12 0,01150,0 225,0 1 2,16 0,62

mayor 225,0 3 2,70 0,03Chi-Cuadrada = 4,64677 con 3 g.l. Valor-P = 0,199563

El P-valor es 0,199563. Por ser el P-valor mayor o igual a 0.10, no podemos rechazar la hipótesis de que la data NMP/100 ml provenga de una distribución lognormal

Evaluación visual de las graficas.Se puede evaluar visualmente que tan bien se ajusta la data de NMP/100 ml a la distribución lognormal y determinar los valores puntuales del riesgo y la supervivencia, con el uso de las graficas: histograma de frecuencias, de la grafica de riesgo y de la grafica de supervivencia

Histograma para NMP/100 ml

0 100 200 300 400 500 600NMP/100 ml

0

5

10

15

20

25

30

frec

uenc

ia

DistribuciónLognormal

Media,Desv. Est.3,62,1,21

Lognormal

0 2 4 6 8 10x

0

0,2

0,40,6

0,8

1

1,2

ries

go

41

Media,Desv. Est.3,62,1,21

Lognormal

0 2 4 6 8 10x

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1pr

obab

ilida

d de

sup

ervi

venc

ia

La traza de densidad para NMP/100 ml. Una traza de densidad es, esencialmente, un histograma suavizado el cual muestra la forma de la distribución de la cual proviene la muestra.

La traza se construye contando el número de observaciones dentro de un intervalo de ancho fijo conforme se mueve a lo largo del eje X, y ponderándolas de tal modo que den un estimado suavizado de la función de densidad subyacente

La gráfica muestra la traza de densidad para NMP/100 ml.

Traza de Densidad para NMP/100 ml

0 100 200 300 400 500NMP/100 ml

0

1

2

3

4

5

6(X 0,001)

dens

idad

DISTRIBUCION DE VALORES EXTREMOS-GUMBEL

42

La distribución de valores extremos, referida como la distribución de Gumbel, tiene dos formas de expresión, una basada en el extremo inferior y otra basada en el extremo superior.La expresión general para la función de densidad de la distribución Gumbell es:

donde es el parámetro de localización y es el parámetro de escala. El caso cuando = 0 y = 1 se refiere como la distribución estándar de Gumbell.La ecuación de la distribución estándar de Gumbel se expresa como:

Se presenta una grafica con las funciones de densidad de la distribución de valores extremos (Gumbel) con un valor del parámetro de escala de 1 y para Modas de 1,2 y 5.

La grafica presenta la función de densidad de la distribución de Gumbel para el caso del extremo inferior (mínimo) y parámetros 1 y 1.

43

Moda,Escala1,12,15,1

Distribucion Valores Extremos

x

dens

idad

-4 -2 0 2 4 6 80

0,1

0,2

0,3

0,4

Extremo Inferior1,1

Distribucion Gumbell

x

DE

NSI

DA

D

-4 -2 0 2 40

0,1

0,2

0,3

0,4

La expresión general para la función de densidad de la distribución de Gumbel

para el caso del extremo superior es donde es el

parámetro de localización y es el parámetro de escala. Cuando = 0 y = 1 se refiere como la distribución estándar de Gumbell para el extremo superior (máximo).La ecuación de la distribución estándar de Gumbell para el extremo superior se expresa como: La siguiente es una grafica de la función de densidad de la distribución de Gumbell para el caso del extremo superior (máximo) y con parámetros 5 y 1.

Extremo Superior5,1

Distribucion Gumbell

x

DE

NSI

DA

D

0 2 4 6 80

0,1

0,2

0,3

0,4Extremo Superior

Función de Distribución Acumulada de GumbelLa distribución acumulada de Gumbel para el extremo inferior se expresa como:

44

La siguiente es una grafica de la función distribución acumulada de la distribución de valor extremo con un valor del parámetro de escala de 1 y para Modas de 1,2 y 5.

La siguiente es una grafica de la función distribución acumulada de la distribución Gumbel de extremo inferior con parámetros 1 y 1.

Extremo Inferior1,1

Acumulada Valores Extremos Inferior

x

Prob

ab A

cum

ulad

a

-4 -2 0 2 40

0,2

0,4

0,6

0,8

1

La ecuación de la distribución acumulada de Gumbell para el extremo superior se expresa como:

La siguiente es una grafica de la función distribución acumulada de Gumbel para el extremo superior y con parámetros 5 y 1.

45

Moda,Escala1,12,15,1

Valor Extremo Distribución

x

Prob

. Acu

mulad

a

-4 -2 0 2 4 6 80

0,2

0,4

0,6

0,8

1

FUNCION RIESGO DE LA DISTRIBUCION GUMBELLa ecuación de la función del riesgo de la distribución de Gumbel para el extremo inferior se expresa como: h(x) = ex

La siguiente es una grafica de la función del riesgo de la distribución de Gumbel para el extremo inferior y parámetros 0.5 y 1.

Extremo Inferior0,5,1

Riesgo Valores Extremos

x

Rie

sgo

Extremo Inferior

-4,5 -2,5 -0,5 1,5 3,50

4

8

12

16

20

24

La ecuación de la función del riesgo de la distribución de Gumbel para el

extremo superior se expresa como:

La siguiente es una grafica de la función del riesgo de la distribución de Gumbel para el extremo superior con parámetros 5 y 1.

46

MEDIA 0.5752 0.5752 es el número de Euler

Los parámetros de Gumbel Superior con el método de los momentos son:

Y

donde y s son la media y la desviación estándar de la muestra.

Ajuste de una distribución de GumbelLa data GUMBEL el número de horas de operación a las que se produjo la primera falla en cada uno de los 30 equipos que componen un sistema de transporte lacustre en el lago de Maracaibo

Se tratara de ajustar la data a una distribución de Gumbel

47

Las formulas de los estadisticos de Gumbel Extremo superior . Mediana Moda Rango Menos Infinito –Mas Infinito.. Desviación Estandar Sesgo 1.13955 Curtosis 5.4 Coeficiente De variacion

DATA GUMBEL230 282 309 249 348 360 220 295 255 195 288 275 294 245 305 375 287 210 286 500 295 462 400 299 285 330 237 278 307 300

SoluciónEstadística descriptiva

Estadística Valor

Tamaño de la muestra 30

Rango 305

Media 300,03

Varianza 4590,6

Desviación estándar 67,754

Coef. de variación 0,22582

Error estándar 12,37

Asimetría 1,258

Curtosis 2,1516

 

Percentil Valor

Min 195

5% 203,25

10% 221,0

25% (Q1) 253,5

50% (Mediana) 291

75% (Q3) 314,25

90% 397,5

95% 479,1

Max 500

La tabla presenta el resultado del Test de Bondad de Ajuste para determinar si la data: GUMBEL puede ser adecuadamente modelada con una distribución de Valores Extremos – Gumbel. Resultados de ajuste

# Distribución Parámetros

1 Gumbel Min =52,827  =330,53

Bondad de ajuste - Resumen

# DistribuciónKolmogorov

SmirnovAndersonDarling Chi-cuadrado

Estadística Rango Estadística Rango Estadística Rango

1 Gumbel   Min 0,28077 1 3,3598 1 7,5917 1

Parámetro de Forma =330,53 y un parámetro de Escala de 52,8275.

48

Las Areas bajo esta distribución son: área bajo 87,5117 = 0,01 área bajo 211,645 = 0,1 área bajo 311,164 = 0,5 área bajo 374,586 = 0,9 área bajo 411,203 = 0,99

Bondad de ajuste – Resumen

# DistribuciónKolmogorov

SmirnovAndersonDarling Chi-cuadrado

Estadística Rango Estadística Rango Estadística Rango

1 Gumbel   Min 0,28077 1 3,3598 1 7,5917 1

El Test Chi -Cuadrado reparte la data en varios intervalos y compara el número de observaciones con el número de observaciones esperadas si la distribución de la data fuese una distribución Gumbel

Estadística Estimada de Kolmogorov DPLUS = 0,280772Estadística Estimada de Kolmogorov DMINUS = 0,0758911Estadística Estimada de Kolmogorov GLOBAL = 0,280772 P-Valué = 0,0176537

El Test Kolmogorov-Smirnov determina el estadístico para la máxima y la mínima distancia entre la distribución acumulada de Gumbel y la CDF de la distribución teórica de Valores Extremos de Gumbel, la máxima distancia es 0,280772., el menor valor de P-valué es 0,0176537

49

Función de distribución acumulativa

Muestra Gumbel Min

x500450400350300250200

F(x)

1

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0

Por ser el P-valué menor de 0.05 podemos aceptar la hipótesis, con un 95% o más de confianza, de que la data GUMBEL proviene de una distribución de Gumbell con un 95% o más de confianza

Si aceptamos que el modelo de Gumbel es adecuado para ajustar la data GUMBEL podemos calcular la supervivencia a las 250 horas de haber comenzado el estudio y la mediana de supervivencia en ese tiempo...

De la gráfica deducimos que para T=250 horas S(t) es aproximadamente 0,75 y que S(t) = 0,5 para T = 300 horas aproximadamente.

Función de Supervivencia AcumuladaFunción de supervivencia

Muestra Gumbel Min

x500450400350300250200

S(x

)

1

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0

Función de Probabilidad Empírica vs. Probabilidad del ModeloProbabilidad-Probabilidad

Gumbel Min

P (Empírico)10,80,60,40,2

P (M

odel

o)

1

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

DISTRIBUCION DE VALORES EXTREMOS-GUMBEL50

La distribución de valores extremos, referida como la distribución de Gumbel, tiene dos formas de expresión , una basada en el extremo inferior y otra basada en el extremo superior.

La expresion general para la función de densidad de la distribución Gumbell es:

donde es el parámetro de localización y es el parámetro de escala. El caso cuando = 0 y = 1 se refiere como la distribución estándar de Gumbell.La ecuación de la distribución estándar de Gumbel.se expresa como:

La grafica presenta la función de densidad de la distribución de Gumbel para el caso del extremo inferior (mínimo) y parámetros 1 y 1.:

Extremo Inferior1,1

Distribucion Gumbell

x

DE

NSI

DA

D

-4 -2 0 2 40

0,1

0,2

0,3

0,4

La expresión general para la función de densidad de la distribución de Gumbel

para el caso del extremo superior es donde es el

parámetro de localización y es el parámetro de escala. Cuando = 0 y = 1 se refiere como la distribución estándar de Gumbell para el extremo superior (máximo).

La ecuación de la distribución estándar de Gumbell para el extremo superior se expresa como:

51

La siguiente es una grafica de la función de densidad de la distribución de Gumbell para el caso del extremo superior (máximo) y con parámetros 5 y 1.

Extremo Superior5,1

Distribucion Gumbell

x

DE

NSI

DA

D

0 2 4 6 80

0,1

0,2

0,3

0,4Extremo Superior

Función de Distribución Acumulada de GumpelLa distribución acumulada de Gumbel para el extremo inferior se expresa como:

La siguiente es una grafica de la función distribución acumulada de Gumbel para el extremo inferior y con parámetros 1 y 1.

Extremo Inferior1,1

Acumulada Valores Extremos Inferior

x

Prob

ab A

cum

ulad

a

-4 -2 0 2 40

0,2

0,4

0,6

0,8

1

La ecuación de la distribución acumulada de Gumbell para el extremo superior se expresa como:

La siguiente es una grafica de la función distribución acumulada de Gumbel para el extremo superior y con parámetros 5 y 1.

52

FUNCION INVERSA ACUMULADA DE LA GUMBELLa ecuación de la distribución inversa acumulada de Gumbel para el extremo inferior se expresa como:

La siguiente es una grafica de la función distribución inversa acumulada de Gumbel para el extremo inferior.

La ecuación de la distribución inversa acumulada de Gumbell para el extremo inferior se expresa como:

La siguiente es una grafica de la función distribución inversa acumulada de Gumbell para el extremo superior.

53

La ecuación de la función del riesgo de la distribución de Gumbel para el extremo inferior se expresa como: h(x) = ex

La siguiente es una grafica de la función del riesgo de la distribución de Gumbel para el extremo inferior y parámetros 0.5 y 1.

Extremo Inferior0,5,1

Riesgo Valores Extremos

x

Rie

sgo

Extremo Inferior

-4,5 -2,5 -0,5 1,5 3,50

4

8

12

16

20

24

La ecuación de la función del riesgo de la distribución de Gumbel para el

extremo superior se expresa como: La siguiente es una grafica de la función del riesgo de la distribución de Gumbel para el extremo superior con parámetros 5 y 1.

54

FUNCION ACUMULADA DE RIESGO DISTRIBUCION DE VALORES EXTREMOS-GUMBELLa ecuación de la función Acumulada del Riesgo de la distribución de Gumbel para el extremo inferior se expresa como:

La siguiente es una grafica de la función del riesgo de la distribución de Gumbel para el extremo inferior.

La ecuación de la función Acumulada del riesgo de la distribución de Gumbel para el extremo superior se expresa como:

55

La siguiente es una grafica de la función del riesgo de la distribución de Gumbell para el extremo superior.

La ecuación de la función de Supervivencia de la distribución de Gumbel para el extremo inferior se expresa como:

La siguiente es una grafica de la función de Supervivencia de la distribución de Gumbel para el extremo inferior.

La ecuación de la función de Supervivencia de la distribución de Gumbel para el extremo superior se expresa como:

56

La siguiente es una grafica de la función de Supervivencia de la distribución de Gumbel para el extremo superior.

FUNCION DE LA INVERSA DE LA SUPERVIVENCIA GUMBELLa ecuación de la función de la Inversa de la Supervivencia de la distribución de Gumbel para el extremo inferior se expresa como:

La siguiente es una grafica de la función Inversa de la Supervivencia de la distribución de Gumbel para el extremo

.

FUNCION DE LA INVERSA DE LA SUPERVIVENCIALa ecuación de la función de la Inversa de la Supervivencia de la distribución de Gumbel para el extremo superior se expresa como:

57

La siguiente es una grafica de la función Inversa de la Supervivencia de la distribución de Gumbel para el extremo superior.

Las formulas de los estadisticos de Gumbel Extremo superior . Mediana Moda Rango Menos Infinito –Mas Infinito.. Desviación Estandar Sesgo 1.13955 Curtosis 5.4 Coeficiente De variacion

MEDIA 0.5752 0.5752 es el numero de Euler

Los parámetros de Gumbel Superior con el método de los momentos son:

donde y s son la media y la desviación estándar de la muestra. Ajuste de una distribución de Valores Extremos GumbelLa data GUMBEL el número de horas de operación a las que se produjo la primera falla en cada uno de los 30 equipos que componen un sistema de

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transporte lacustre en el lago de Maracaibo. Se tratara de ajustar la data a una distribución de Valores Extremos - Gumbel

DATA GUMBEL230 282 309 249 348 360 220 295 255 195 288 275 294 245 305 375 287 210 286 500 295 462 400 299 285 330 237 278 307 300

SoluciónLa tabla presenta el resultado del Test de Bondad de Ajuste para determinar si la data: GUMBEL puede ser adecuadamente modelada con una distribución de Valores Extremos – Gumbel. La data GUMBEL presenta 30 valores , el rango de valores es de 195 horas hasta 500 horas y se ajusta a una distribución de Valores Extremos - Gumbel con: Parámetro de Forma de 330,526 y un parámetro de Escala de 52,8275.Algunas áreas de bajo esta distribución son:

área bajo 87,5117 = 0,01 área bajo 211,645 = 0,1 área bajo 311,164 = 0,5 área bajo 374,586 = 0,9 área bajo 411,203 = 0,99

El Test Chi -Cuadrado reparte la data en varios intervalos y compara el número de observaciones con el número de observaciones esperadas si la distribución de la data fuese una distribución GumbelEstadística Estimada de Kolmogorov DPLUS = 0,280772Estadística Estimada de Kolmogorov DMINUS = 0,0758911Estadística Estimada de Kolmogorov GLOBAL = 0,280772 P-Valué Aproximado = 0,0176537

El Test Kolmogorov-Smirnov determina el estadístico para la máxima y la mínima distancia entre la distribución acumulada de Gumbel y la CDF de la distribución teórica de Valores Extremos de Gumbel, la máxima distancia es 0,280772., el menor valor de P-valué es 0,0176537

Por ser el P-valué menor o igual a 0.05 podemos rechazar la hipótesis de que GUMBEL provenga de una distribución de Valores Extremos de Gumbel con un 95% o más de confianza, para este caso aceptamos la hipótesis alternativa de que la variable GUMBEL se ajusta a una distribución de Valores Extremos de Gumbel.

59

Si aceptamos que el modelo de Valores Extremos de Gumbel es adecuado para ajustar la data GUMBEL podemos calcular la supervivencia a las 250 horas de haber comenzado el estudio y la mediana de supervivencia en ese tiempo...En la gráfica se observa que para T=250 horas S(t) es aproximadamente 0,75 y que S(t) = 0,5 para T = 300 horas aproximadamente.

Predicción de la Confiabilidad Ensayos de Demostración de la Confiabilidad Ensayos de vida acelerada en Confiabilidad Modelo de aceleración de Arrhenius

60

Significado del Mtbf de un dispositivo. Calculo del MTBF Los intervalos de confianza del MTBF

Predicción de la ConfiabilidadPara formular una predicción de la confiabilidad, se debe estimar la fiabilidad del equipo o del sistema en función de los datos de diseño y de la confiabilidad de los componentes, a partir de esta predicción de la confiabilidad se puede constatar el cumplimiento de los requerimientos de confiabilidad y de mantenimiento.

61

Weibull Plot

10 100 1000 10000Hours

0,1

0,51

51020305070909999,9

cum

ulat

ive

perc

ent Temperature

150175200

La información de la confiabilidad de los componentes individuales y los métodos de cálculo están disponibles en normas y tablas, las tablas más utilizadas son las normas MIL- STANDAD y las normas de Bellcore.

La norma MIL-STANDADD-217 establece dos métodos de predicción de confiabilidad, uno denominado de Relación de Componentes y otro denominado de Análisis de Esfuerzos

El método Bellcore permite integrar datos de diferente procedencia, datos de campo, datos de laboratorio, datos de la norma MIL-STD-217 o datos del fabricante.

Ensayos de Demostración de la Fiabilidad Mediante ensayos es posible obtener una información más precisa acerca de la confiabilidad que del equipo o del sistema. El ensayo determina la confiabilidad de la muestra ensayada, cuanto mayor sea el tamaño de la muestra y el tiempo de ensayo, más exacta será la estimación del MTBF. Con los Ensayos de Demostración de Fiabilidad, se pretende demostrar que se cumple con un determinado requisito de confiabilidad, con un cierto grado de confianza. Con las normas MIL-STANDARD se determinan los planes de muestreo estadístico que permiten definir el tamaño de la muestra.

Los modelos de pruebas de vida acelerada tiene las siguientes dos componentes: Una distribución de vida que representa la dispersión de la vida del producto y la relación vida esfuerzo.

Las distribuciones más usuales para pruebas de vida son: exponencial, normal, lognormal, Weibull y de valores extremos (Gumbell).

Cuando el tiempo de la prueba se especifica y algunas unidades no han fallado hasta ese momento, se dice que éstas están censuradas o que se tienen datos censurados por la derecha.

En muchas aplicaciones industriales, las variables de aceleración más comunes son la temperatura, voltaje y presión, dependiendo de éstas se aplica una relación vida esfuerzo específica, por ejemplo si el esfuerzo es temperatura, la relación usual es la de Arrhenius, aunque cabe aclarar que ésta no siempre se aplica en situaciones en donde la variable de aceleración es temperatura ya que en algunos casos no se tiene un buen ajuste del modelo. Algunas aplicaciones de esta relación son: aislantes eléctricos y dieléctricos, estados sólidos y semiconductores, celdas de batería, lubricantes, plásticos, lámparas incandescentes, etc. Si el esfuerzo aplicado en la prueba es voltaje, la relación más común es la de potencia inversa. En cualquier caso se necesita el uso de una distribución de prueba de vida, dependiendo de la distribución utilizada, se tiene los modelos para pruebas de vida acelerada, por ejemplo si la relación es potencia

62

inversa y se usa la distribución Weibull, se tiene el modelo potencia inversa Weibull

Ensayos de vida acelerada en confiabilidad Las pruebas aceleradas son muy usadas en la industria manufacturera, particularmente para obtener información de la confiabilidad de sus componentes y materiales. Existe una gran variedad de métodos estadísticos en la aceleración de la vida de un producto complicado que puede fallar de diferentes maneras. Generalmente, la información de las pruebas a altos niveles de una o más variables de aceleración o esfuerzo (como pueden ser temperatura, voltaje o presión) se utiliza para estimar la distribución de vida del producto. El término aceleración tiene varios significados en el campo de la confiabilidad, pero el término generalmente implica ir más rápido, de tal forma que la información de la confiabilidad pueda obtenerse más rápidamente. Existen diferentes tipos de pruebas de confiabilidad en las fases del proceso de producción del producto, las más comunes son pruebas de vida acelerada y pruebas de degradación acelerada.

Pruebas de vida aceleradaUna prueba acelerada de vida es aquella en la cual un artículo o producto de interés, se somete a un esfuerzo en condiciones ambientales mayores a las que típicamente estará operando. Los principales objetivos de acelerar la vida de un producto son: estimar la distribución de vida de dicho producto, identificar fallas en el diseño, medir y demostrar la confiabilidad.

Los ensayos de vida acelerada (HALT) están destinados a la realización de pruebas de vida acelerada de los materiales, los equipos, los mecanismos y los sistemas, con el fin de evaluar sus puntos vulnerables, susceptibles de presentar posibles fallos cuando se encuentran sometidos a los entornos climáticos en que se desarrollan

Los ensayos de envejecimiento ambiental acelerado facilitan a los ingenieros, una información para localizar debilidades, detectar fallos de diseño o construcción,

optimizar tolerancias de mecanización y ensamblaje, mejorar los procesos de producción, corregir defectos incipientes, y sobre todo, minimizar la incertidumbre para asegurar la capacidad del producto para poder desempeñar las funciones asignadas

Los ensayos de vida acelerada Una prueba de vida acelerada es aquella en la cual un equipo o producto de interés, se somete a un esfuerzo en condiciones ambientales mayores a las que típicamente estará operando. Los principales objetivos de acelerar la vida de un producto son: estimar la distribución de vida de dicho producto, identificar fallas en el diseño, medir y demostrar la confiabilidad.

Los ensayos de vida acelerada (HALT) están destinados a la realización de pruebas de vida acelerada de los materiales, los equipos, los mecanismos y los sistemas, con el fin de evaluar sus puntos vulnerables, susceptibles de presentar posibles fallos cuando se encuentran sometidos a los entornos climáticos en que se desarrollan

Los ensayos de envejecimiento ambiental acelerado facilitan a los ingenieros, una información para localizar debilidades, detectar fallos de diseño o construcción, optimizar tolerancias de mecanización y ensamblaje, mejorar los procesos de

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producción, corregir defectos incipientes, y sobre todo, minimizar la incertidumbre para asegurar la capacidad del producto para poder desempeñar las funciones asignadas.

El objetivo que tienen estos ensayos es reducir el tiempo de prueba necesario para determinar su fiabilidad.

Los ensayos acelerados se basan en acelerar mediante la aplicación de un alto nivel de esfuerzo o acelerar mediante la compresión en el tiempo.

Se han desarrollado procedimientos de ensayo basados en la aplicación de un alto nivel de esfuerzo, que han sido aplicados principalmente a componentes individuales.

Un ejemplo clásico de ensayo acelerado es la utilización de la Cámara de Presión de Vapor en el ensayo de componentes y que consiste en someter las muestras a una presión superior a la atmosférica con objeto de controlar la humedad para temperaturas superiores a los 100 ºC.

Modelo de aceleración de ArrheniusEl modelo de Arrhenius es uno de los más antiguos y eficientes modelos para describir un modelo de aceleración de un proceso que predice como el tiempo de falla varia con la temperatura, por ejemplo.

El modelo de Arrhenius ha sido usado exitosamente para estudiar mecanismos de fallas que dependen de las reacciones químicas, de los procesos de difusión o de los procesos de emigración, los cuales cubren la mayor parte de los modos de fallas de tipo no mecánico que causan las fallas en los equipos electrónicos, la ecuación de Arrhenius se expresa de la siguiente forma:

tf = Aexp(H/kT)

T denota la temperatura medida en grados Kelvin(273.16 + grados Celsius) en el momento cuando ocurre la falla y k es la constante de Boltzmann (8.617 x 10-5 en ev/K).

La constante A es el factor de escala y H es la energía activada en el proceso cuando ocurre la falla y que depende del mecanismo de falla y de los materiales presentes y tiene un rango típico de 0.3 a 1.5

El factor de aceleración entre dos temperaturas aumenta exponencialmente tanto como H

El factor de aceleración entre dos temperaturas una alta T2 y una baja T1 esta dado por:F = exp.(H/k) [ 1/T1 - 1/T2 ]

Usando el valor de k dado arriba, esta expresión se puede escribir en términos T en grados Celsius como:  F = exp.(H*11605* [ 1/(T1 +273,16) - 1/(T2 +273,16) ]

64

El parámetro de esta formula es H, un factor de aceleración entre 25°C y 125°C es calculado como F = 133

Modelo de Arrhenius lognormalLa vida de algunos productos y materiales en una prueba con temperatura acelerada se describe adecuadamente con una distribución lognormal.

De acuerdo con la ley de Arrhenius, la razón de una simple reacción química (R) depende de la temperatura como sigue R(T) = Aexp(-Ea/KbT ) donde Ea es la energía a la cual se activa la reacción, usualmente en volts (eV), KB = 8.6171 x 10-5 = 1/11605 es la constante de Boltzmann´s en electrón volts por ° C, T = Temp°C+ 273.15 es la temperatura absoluta en la escala de Kelvin, A es una característica de falla del producto en condiciones de prueba, Ea y A son parámetros del modelo que deben estimarse.

La vida del producto tiene un distribución lognormal o el equivalente que el logaritmo de ésta tiene una distribución normal, la desviación estándar, σ, del logaritmo de la vida es constante independiente de la temperatura y el logaritmo de la vida media .5(T) es una función lineal del inverso de la temperatura absoluta, esto es, log[0.5(T)] = 1+ (2/T), la cual se llama la relación de Arrhenius.

Los parámetros 1, 2 y σ son características del producto y del método de prueba, los cuales son estimados de los datos.

Ley de ArrheniusLa ley de Arrhenius mide la velocidad de los procesos, expresa la velocidad de cambio de una característica por unidad de tiempo.

El modelo de Arrhenius es uno de los mas antiguos y eficientes modelos para describir un modelo de aceleración que predice como el tiempo de falla varia con la temperatura, el modelo de Arrhenius ha sido usado exitosamente para estudiar mecanismos de fallas que dependen de las reacciones químicas, de los procesos de difusión o de los procesos de emigración, los cuales cubren la mayor parte de los modos de fallas de tipo no mecánico que causan las fallas en los equipos electrónicos. 

La ecuación de Arrhenius se expresa de la siguiente forma:

tf = Aexp(H/kT)

El factor de aceleración entre dos temperaturas aumenta exponencialmente tanto como crece  H

T denota la temperatura medida en grados Kelvin(273.16 + grados Celsius) en el momento cuando ocurre la falla, k es la constante de Boltzmann (8.617 x 10-5 en ev/K).

65

La constante A es el factor de escala y H es la energía activada en el proceso cuando ocurre la falla y que depende del mecanismo de falla y de los materiales presentes y tiene un rango típico de 0.3 a 1.5

El factor de aceleración entre dos temperaturas una alta T2 y una baja T1 esta dado por:

F = exp(H/k) [ 1/T1 - 1/T2 ]

Usando el valor de k dado arriba, esta expresión se puede escribir en términos de T en grados Celsius como: 

El modelo de Arrhenius es uno de los más antiguos y eficientes modelos para describir un modelo de aceleración de un proceso que predice como el tiempo de falla varia con la temperatura, por ejemplo.

El modelo de Arrhenius ha sido usado exitosamente para estudiar mecanismos de fallas que dependen de las reacciones químicas, de los procesos de difusión o de los procesos de emigración, los cuales cubren la mayor parte de los modos de fallas de tipo no mecánico que causan las fallas en los equipos electrónicos, la ecuación de Arrhenius se expresa de la siguiente forma:

tf = Aexp(H/kT)

T denota la temperatura medida en grados Kelvin(273.16 + grados Celsius) en el momento cuando ocurre la falla y k es la constante de Boltzmann (8.617 x 10-5 en ev/K).

La constante A es el factor de escala y H es la energía activada en el proceso cuando ocurre la falla y que depende del mecanismo de falla y de los materiales presentes y tiene un rango típico de 0.3 a 1.5

El factor de aceleración entre dos temperaturas aumenta exponencialmente tanto como H

El factor de aceleración entre dos temperaturas una alta T2 y una baja T1 esta dado por:

F = exp.(H/k) [ 1/T1 - 1/T2 ]

Usando el valor de k dado arriba, esta expresión se puede escribir en términos T en grados Celsius como: 

F = exp.(H*11605* [ 1/(T1 +273,16) - 1/(T2 +273,16) ]

66

El parámetro de esta formula es H, un factor de aceleración entre 25°C y 125°C, F = 133, si  H = .5, F= 17,597 si  H = 1.0 y F= 17,597 si  H = 1.0.

Grafica de Arrhenius

Mediante un ensayo acelerado se puede incrementar el número de fallas aumentando el estrés causado por una o más variables.

Un acelerador muy común es la temperatura, se puede analizar las tasas de fracaso a altas temperaturas con un modelo de Arrhenius.

A partir de la grafica de Arrhenius construida con la data a altas temperaturas, es posible extrapolar los datos a una temperatura de funcionamiento normal

Grafica de ArrheniusPorcentil =1.675 a 300 grados

Porcentil

30 32 34 36 38 401/ (k*degrees)

1001000

10000100000

1000000

10000000100000000

100000000010000000000

Weibull Plot

10 100 1000 10000Hours

0,1

0,51

51020305070909999,9

cum

ulat

ive

perc

ent

Temperature150175200

67

Temp horas Censura Temp P5080 3000 1 150 3260,6280 3000 1 175 1379,6180 3000 1 200 388,61580 3000 180 3000 180 3000 180 3000 180 3000 180 3000 180 3000 1125 3000 1125 3000 1125 3000 1125 3000 1125 3000 1125 3000 1125 3000 1125 3000 1125 3000 1125 3000 1150 2350 0150 2560 0150 2980 0150 3000 1150 3000 1150 3000 1150 3000 1150 3000 1150 3000 1150 3000 1175 800 0175 1130 0175 1210 0175 1310 0175 1350 0175 1350 0175 1370 0175 1420 0175 1770 0175 1960 0200 220 0200 250 0200 280 0200 330 0200 370 0200 380 0200 460 0200 460 0200 510 0

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Ejemplo de una grafica de ArrheniusLa duración en horas de la aparición de fallas tomadas a cinco temperaturas / 80, 125, 150, 175 y 200 grados Celsius), se ajusta con un modelo de Arrhenius de forma P=A*exp(Delta/kT)

El modelo ajustado se puede utilizar para predecir el percentil correspondiente a una temperatura normal.

En este caso, el modelo ajustado es P50 = 0, 0000070398 * exp (0,730577/k * Junction Temp + 273,15) donde k = constante de Boltzmann (8, 617E-5 EV/grados K). Extrapolando este modelo a una temperatura de 400 grados se predice un percentil igual a 11292,4. Los límites de confianza de 95,0% para este percentil se extienden desde 143.741 hasta 887135.

Grafica de ArrheniusPredicted P50=11292,4 at Junction Temp + 273.15=400,0

24 25 26 27 28 29 301/(k*Junction Temp + 273.15)

100

1000

10000

100000

P50

Weibull Plot

10 100 1000 10000Hours

0,1

0,51

51020305070909999,9

cum

ulat

ive

perc

ent

Temperature150175200

69

EL MTBF

1. Significado del MTBF de un dispositivo.2. Calculo del MTBF3. Ejemplo del cálculo del MTBF

Determinación de los intervalos de confianza del MTBFVARIACION DEL MTBF EN FUNCION DEL LUGAR DE USO Y DE LA TEMPERATURA

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 10 20 30 40 50 60 70 80Temperatura en ºC

Años

Ambiente GB

Ambiente GF

Ambiente GM

SIGNIFICADO DEL MTBF DE UN DISPOSITIVO.MTBF son las siglas de "Mean Time Between Faillure" o "Tiempo Medio de Vida entre Fallas". El MTBF se expresa en horas y para cada equipo o dispositivo se puede determinar un MTBF teórico o calculado y un MTBF práctico o medido

Cuando se realiza el cálculo teórico del MTBF de un dispositivo, se obtiene un valor en horas que representa el tiempo que éste permanecerá sin fallar si lo ponemos a trabajar en las condiciones de temperatura, presión y del ambiente especificadas para el dispositivo.

El valor del MTBF nos da una medida precisa de la Calidad del producto que diseñamos, fabricamos, vendemos o compramos

Los componentes de los circuitos, por ejemplo, están sometidos a diversos tipos de estrés que determinan su duración.

Cuando se tiene un cierto número de dispositivos funcionando un determinado número de horas, si se produce un fallo, el MTBF es el producto del número de dispositivos por las horas que llevan funcionando

70

CALCULO DEL MTBFEl tiempo medio antes de la falla o el MTBF es una de las medidas mas usada para determinar la disponibilidad de un sistema.

Cuando se trata de estimar estadísticamente este parámetro es común encontrar datos de equipos que han sido retirados del sistema sin que hallan presentado falla alguna o de equipos que hallan presentado fallas producidas por causas extrañas al funcionamiento del equipo, este tipo de información se denomina información censurada o data censurada.

Los datos censurados son una información valiosa para determinar los parámetros de funcionamiento del sistema y ellos deben ser incluidos en la determinación del MTBF por medio del uso de métodos estadísticos como el análisis de supervivencia.

El MTBF se interpreta como el tiempo de operación esperado o más probable al cual ocurrirá una falla, una vez obtenida la función de confiabilidad R (t) se determina el MTBF.

El numero de fallas que ocurre en un periodo fijo siguen una distribución uniforme por lo que el tiempo entre fallas (confiabilidad) responde a una distribución exponencial. La ocurrencia de fallas se expresa con la inversa del MTBF.

La unidad de fallas. FIT (Failure unIT) es equivalente a una falla cada 109 horas para componentes eléctricos

MTEF = Tiempo Medio Entre Fallas = 109F.

El MTBF puede ser radicalmente alterado por factores ambientales tales como uso inadecuado de energía y enfriamiento. El MTBF puede ser bajado por el exceso de vibraciones o de otras formas de abuso.

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GB: Ambiente benigno. Edificios, oficinas, casas, garajes, almacenes, aulas.GF: Ambiente fijo. Postes, cabinas, cabrias. GM: Ambiente móvil. Automóvil, camiones, tractores, balancín

EJEMPLO DEL CÁLCULO DEL MTBFEn un campo petrolero se simula un ensayo acelerado para estimar el valor real del MTBF del equipo de medición de temperatura (termocuplas)

La tabla presenta los datos tiempos en días a los cuales se produce la primera falla en la medición en cada poso., la columna Status identifica con "1" a los equipos que presentan fallas y con "0" a los equipos a los datos censurados.

TERMOCUPLA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

TIEMPO120

252

125

1457 90

1231

837

133

512

657

753

818

315

123 1333

STATUS 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0

Se requiere: Calcular el MTBF Hacer el grafico de la Confiabilidad Y de la Supervivencia. Calcular el MTBF sin incluir el pozo 8 Calcular el MTBF considerando como falla el pozo 6.

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Calcular el numero de fallas esperada en los 15 equipos en los próximos 365 días

Solucióni ti R(ti-1) R(ti) R(ti)At1 90 0,9375 0,9375 902 120 1 28,123 123 1 2,824 133 1 7,55 252 0,90909 0,8522 111,566 315 1 53,547 512 0,88889 0,7575 167,98 657 0,87878 0,66288 109,869 753 1 63,64

10 818 1 43,0911 837 0,8 0,5303 12,5912 1213 1 199,3913 1333 1 63,6414 1457 0,5 0,26511 65,76

GRAFICA DE LA CONFIABILIDAD

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

R(ti)

Respuestaa-. MTBF (Mean Time Before Failure) = 1019,4 dias

b-. En la grafica

c-. Al calcular el MTBF excluyendo el pozo numero 8 se obtiene un valor de 1017,3días, lo que significa que al excluir datos censurados se pierde información para realizar un calculo adecuado del MTBF.

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d-.Cuando se calcula el Tiempo Medio de Operación usando promedios se trata de favorecer el valor del MTBF incluyendo dentro de las fallas a equipos con elevados tiempos de operación y que han sido retirados del sistema.

Si para el análisis de supervivencia se incluye la termocupla del pozo numero 6 como falla se obtiene un MTBF de 989,1 días, resultado que es sensiblemente diferente al obtenido cuando se considero como censurado. El dato de la termocupla del pozo numero 6

e-. Para estimar el número de fallas esperado en periodo determinado se puede usar la función de distribución acumulada de fallas.

(t) = NF (t) –N (1- R (t)) = N (1- )

Para un periodo de un año (365 días) el número de fallas esperado será:

N (365) = = 15(1- ) = 10,49

Determinación de los intervalos de confianza del MTBF

1. Se estima el MTBF con el tiempo total dividida entre las fallas totales.

2. Se calculan los factores inferiores y superiores en las tablas de los intervalos de confianza para un nivel de confianza y un numero de fallas r.

3. Se multiplica el MTBF estimado por los factores inferior y superior para obtener el MTBF Inferior y MTBF Superior

4. Cuando r (el numero de fallas) = 0, multiplicar el tiempo total por la fila 0 para obtener un 100 × (1- /2) % una banda inferior del MTBF. Cuando r =0 no hay banda superior.

5. Se asume el intervalo (MTBF Inferior , MTBF Superior ) como un 100×(1-)% intervalo de confianza para el MTBF (r > 0)

6. Se usa el MTBFInferior como limite inferior 100×(1- /2)% del MTBF

7. Se usa el MTBFSuperior como limite superior 100×(1- /2)% del MTBF

8 Se usa el intervalo (1/ MTBF Superior , 1/ MTBF Inferior ) como un 100×(1-% nivel de confianza para

9. Se usa 1/ MTBF Superior como un limite inferior 100×(1-/2)% para 10. Se usa 1/ MTBF Inferior como un limite superior 100×(1- /2)% para

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Ecuación de los Intervalos de Confianza Los límites de confianza para una situación de Censura Tipo1 se obtienen con las tablas de la distribución Chi-Cuadrado.

La expresión para calcular los intervalos de confianza es la siguiente:

> 1-

Cuando T = Tiempo Total se obtiene una expresión simplificada de la expresión anterior:

> 1

Estas bandas son exactas en los casos de una o más sistemas reparables probados para un tiempo fijo.

Las bandas son exactas para los casos donde uno o mas sistemas no- reparables son probados para un tiempo fijo y las unidades que fallan son reemplazadas con nuevas unidades durante el curso de la prueba.

Cuando hay cero fallas durante el tiempo de operación de la prueba, solo existe una banda del MTBF, y esta viene dada por:MTBF Inferior = T/(-ln)

La interpretación de esta banda es la siguiente: Si el verdadero MTBF es algo menor que MTBF Inferior se producirá por lo menos una falla durante T horas de prueba con probabilidad de al menos 1- y tendremos un 100× (1-) % de confianza de que el verdadero MTBF será menor que el MTBF Inferior,

Con estas expresiones se pueden obtener los intervalos de confianza inferior y superior para un 60%, 80%, 90%, y 95% de confianza y se hacen los gráficos de los intervalos de confianza del MTFB.

Intervalos de Confianza del MTBF

60% 80%núm. Fallas r Inferior para MTBF Superior para

MTBFInferior MTBF

Súper para MTBF

0 0.6213 - 0.4343 -1 0.3340 4.4814 0.2571 9.49122 0.4674 2.4260 0.3758 3.76073 0.5440 1.9543 0.4490 2.7222

75

4 0.5952 1.7416 0.5004 2.2926

I N T ERVA LO DE CON F I A N ZA S UPERI O R DEL M T BF60% 80% 90% 95%

37.607 24 .260 56 .281 82 .57327.222 19 .543 36 .689 48 .49122.926 17 .416 29 .276 36 .70220.554 16 .184 25 .379 30 .79819.036 15 .370 22 .962 27 .24917.974 14 .788 21 .307 24 .87217.182 14 .347 20 .096 23 .16316.567 14 .000 19 .168 21 .86916.074 13 .719 18 .432 20 .85315.668 13 .485 17 .831 20 .03215.327 13 .288 17 .330 19 .35315.036 13 .118 16 .906 18 .78114.784 12 .970 16 .541 18 .29114.564 12 .840 16 .223 17 .86713.769 12 .367 15 .089 16 .37113.267 12 .063 14 .383 15 .45212.915 11 .848 13 .893 14 .82212.652 11 .687 13 .529 14 .35712.446 11 .560 13 .247 13 .99712.280 11 .456 13 .020 13 .71012.142 11 .371 12 .832 13 .47311.694 11 .090 12 .226 12 .71411.439 10 .929 11 .885 12 .29010.603 10 .401 10 .781 10 .938

I N T RVA LO S UPERI OR M T BF

0

50000

100000

150000

200000

250000

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

HORAS

60% 80% 90% 95%

INTERVALOS DE CONFIANZA LIMITE INFERIOR Y SUPERIOR 90 Y 95%

.

76

77