CONFIABILIDAD ROSALVA MATINEZ 1 CONFIABILIDAD 1.Casi todas las compañías gastan millones de dólares en la confiabilidad de sus productos. 2.Muchos esfuerzos

CONFIABILIDAD ROSALVA MATINEZ

1

CONFIABILIDAD

1. Casi todas las compañías gastan millones de dólares en la confiabilidad de sus productos.

2. Muchos esfuerzos de administradores e ingenieros se orientan a evaluar el riesgo y la confiabilidad, predecir costos de garantía, evaluar políticas de reemplazo, evaluar cambios de diseño, identificar causas de falla, y comparar alternativas de diseño, materiales y métodos de manufactura.

3. La mayor parte de las decisiones están basadas sobre datos de vida de los productos, frecuentemente de pocas unidades


2

CONFIABILIDAD

4.64 5.25 4.9 4.97 4.874.98 4.72 4.8 4.66 4.784.73 4.81 4.77 5.08 4.655.21 5.15 5.2 5.32 5.15.06 5.14 4.78 5.21 4.895.04 4.78 4.94 5.22 4.65.03 4.94 4.43 4.84 4.885.46 5.12 5.05 5.01 4.865.01 5.02 4.88 4.8 5.24.77 5.18 5.1 5.21 4.884.95 5.21 4.67 4.92 5.114.93 5.07 4.98 4.43 4.535.37 5.19 4.79 5.07 5.395.11 5.28 4.73 4.79 4.944.69 4.83 4.72 5.02 5.195.04 4.96 5.24 5 4.885.05 5.02 4.91 4.75 4.795.12 4.85 5.26 4.64 4.734.94 5.16 5.1 5.1 5.114.58 5.03 4.67 4.73 4.8

La empresa Firestone después de los problemas que a tenido con los juegos de neumáticos en el pasado, ha decidido iniciar una estrategia de mercado para recuperar sus ventas, la cual consiste en ofrecer una garantía contra el desgaste natural de la misma, excluyendo la presencia de elementos extraños. Para probar la garantiía se realiza un estudio de campo de 100 neumáticos vendidos, definiéndose el desgaste hasta que pierde sus propiedades de agarre (lo que se considera la falla).


3

CONFIABILIDAD

EJERCICIO 1. Construir la gráfica de frecuencia usando cómo punto de inicio 4.395 y ancho del intervalo 0.2. Obtenga el histograma, gráfica de frecuencia acumulada y el polígono de frecuencia. Obtenga los estadísticos; media, varianza, curtosis, sesgo y coeficiente de variación. Presente sus conclusiones.

EJERCICIO 2. Construir la gráfica de frecuencia utilizando exclusivamente las columnas 2, 4, 6, 8 y 10. Obtenga el histograma, la gráfica de frecuencias acumulada. Compare con el ejercicio visto . Obtenga los estadísticos; media, varianza, curtosis, sesgo y coeficiente de variación. Presente sus conclusiones

EJERCICIO 3. Construir la gráfica de frecuencias utilizando exclusivamente los datos de las columnas 1,3,5, 7 y 9. Obtenga el histograma, la gráfica de frecuencia acumulada.compare con el ejercicio visto en clase. Obtenga los estadísticos; media, varianza, curtosis, sesgo y coeficiente de variación. Presente sus conclusiones


4

CONFIABILIDAD

b. Obtener la distribución de probabilidad acumulada

Fronteras frecuencia frecuencia acumulada

4.395-4.495 2 24.495-4.595 2 44.595-4.695 8 124.695-4.795 15 274.795-4.895 14 414.895-4.995 13 544.995-5.095 16 705.095-5.195 15 855.195-5.295 11 965.295-5.395 3 995.395-5.495 1 100


5

CONFIABILIDAD

Estadísticos, su valor depende de las mediciones de las muestras;

Moda; valor que más veces se repiteMediana; valor que divide a la mitad los datosMedia o promedio; la suma de las observaciones dividido por el número de observaciones

nxn

xxxxx

n

ii

n /........

1

321

La media de la población es un ParámetroPara una población discreta la media poblacional depende sobre el conjunto completo de mediciones, es un valor fijo llamado parámetroPara una población continua, el parámetro media es expresado en términos de su función de densidad;

0

)(

)(

dtttf

dtttf

)(

)(

tE

xEO bien


6

CONFIABILIDAD

La varianza es el valor esperado de dttfttEtV )()()()(0

222

La varianza muestral es dependiente de los datos contenidos en la muestra:

2/3

2

1

3

1

2

12

/)(

/)(

1

)(

nxx

nxxsesgo

n

ttS

n

ii

n

ii

n

ii

Grado de asimetría de un conjunto de datos, si los datos presentan una gran cola a la derecha la asimetría es positiva, una gran cola a la izquierda es negativa

2/3

2

31̂ m

m


7

CONFIABILIDAD

2

1

2

1

n

i

i xxn

m 3

1

3

1

n

i

i xxn

m 4

1

4

1

n

i

i xxn

m

La curtosis mide el grado de discrepancia con respecto a la distribución normal si los datos presentan una distribución aproximadamente simétrica. La curtosis mide el grado de acumulación de probabilidad en las colas de la distribución

3ˆ 2

2

42

m

m

Algunos software consideran correcciones tales como:

2/3

2

321 2

1ˆ

m

m

n

nn

1

13

32

11ˆ 2

2

42 n

n

m

m

nn

nn


8

CONFIABILIDADEstimación de curtosis.. Un valor positivo de curtosis indica colas más pesadas que las de la normal.

3

/)(

/)(

ˆ 2

2

1

4

1

2

nxx

nxx

curtosisn

i

i

n

i

i

PROPIEDADES DE ALGUNAS DISTRIBUCIONES USADAS EN CONFIABILIDAD

PROPIEDAD UNIFORME NORMAL WEIBULL EXPONENCIAL LOGNORMALSimetría si si no no noForma campana no si no no noSesgo 0 0 si, derecha si, derecha si derechaCurtosis 1.8 3 9DistribuciónAcumulada linea recta forma “S” curva exponencial

3ˆ 2

2

42

m

m


9

CONFIABILIDAD

4.4 4.6 4.8 5.0 5.2 5.4

95% Confidence Interval for Mu

4.88 4.93 4.98 5.03

95% Confidence Interval for Median

Variable: apil

A-Squared:P-Value:

MeanStDevVarianceSkewnessKurtosisN

Minimum1st QuartileMedian3rd QuartileMaximum

4.91031

0.18848

4.88742

0.3100.551

4.952900.21467

4.61E-02-1.1E-01-4.0E-01

100

4.430004.790004.955005.110005.46000

4.99549

0.24937

5.02258

Anderson-Darling Normality Test

95% Confidence Interval for Mu

95% Confidence Interval for Sigma

95% Confidence Interval for Median

Descriptive Statistics

El valor negativo del coeficiente de asimetría indica una cola larga a la izquierda

El valor negativo del coeficiente de curtosis indica colas menos altas que

las de la normal


10

CONFIABILIDAD Kaplan Meier

Cuando se desconoce la distribución de probabilidad que mejor ajusta a los datos y se tiene interés en responder preguntas de confiabilidad o de la no confiabilidad, existen alternativas para estimar F(t).

Algoritmo de Kaplan Meier: F(t)= i/n

Para muestras grandes, n=20, es conveniente utilizar:

Para muestras pequeñas se recomienda:4.0

3.0)(

n

itF

n

itF

5.0)(


11

CONFIABILIDAD

* La fórmula de Kaplan Meier se recomienda para muestras grandes

tiempo orden F(ti)=i/N R(ti)=1-F(ti) lamda(t)=1/(N+1-i)0 0 0 1 0.00990099

4.43 1 0.01 0.99 0.014.43 2 0.02 0.98 0.010101014.53 3 0.03 0.97 0.010204084.58 4 0.04 0.96 0.010309284.6 5 0.05 0.95 0.01041667

4.64 6 0.06 0.94 0.010526324.64 7 0.07 0.93 0.01063834.65 8 0.08 0.92 0.010752694.66 9 0.09 0.91 0.010869574.67 10 0.1 0.9 0.010989014.67 11 0.11 0.89 0.011111114.69 12 0.12 0.88 0.011235964.72 13 0.13 0.87 0.011363644.72 14 0.14 0.86 0.011494254.73 15 0.15 0.85 0.011627914.73 16 0.16 0.84 0.011764714.73 17 0.17 0.83 0.011904764.73 18 0.18 0.82 0.012048194.75 19 0.19 0.81 0.012195124.77 20 0.2 0.8 0.012345684.77 21 0.21 0.79 0.01254.78 22 0.22 0.78 0.012658234.78 23 0.23 0.77 0.012820514.78 24 0.24 0.76 0.012987014.79 25 0.25 0.75 0.013157894.79 26 0.26 0.74 0.01333333

Con excel


12

CONFIABILIDADMedian = 4.9500

IQR = 0.3200 Q1 = 4.7900 Q3 = 5.1100

Kaplan-Meier Estimates

Number Number Survival Standard 95.0% Normal CI

Time at Risk Failed Probability Error Lower Upper

4.4300 100 2 0.9800 0.0140 0.9526 1.0000

4.5300 98 1 0.9700 0.0171 0.9366 1.0000

4.5800 97 1 0.9600 0.0196 0.9216 0.9984

4.6000 96 1 0.9500 0.0218 0.9073 0.9927

4.6400 95 2 0.9300 0.0255 0.8800 0.9800

4.6500 93 1 0.9200 0.0271 0.8668 0.9732

4.6600 92 1 0.9100 0.0286 0.8539 0.9661

4.6700 91 2 0.8900 0.0313 0.8287 0.9513

4.6900 89 1 0.8800 0.0325 0.8163 0.9437

4.7200 88 2 0.8600 0.0347 0.7920 0.9280

4.7300 86 4 0.8200 0.0384 0.7447 0.8953

4.7500 82 1 0.8100 0.0392 0.7331 0.8869

4.7700 81 2 0.7900 0.0407 0.7102 0.8698

4.7800 79 3 0.7600 0.0427 0.6763 0.8437

minitab


13

CONFIABILIDAD

4.5 5.0 5.5

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Time to Failure

Pro

babi

lity

Nonparametric Survival Plot for apilKaplan-Meier Method

Complete Data

Mean

MedianIQR

4.9529

4.9500 0.3200 4.5 5.0 5.5

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Time to FailureR

ate

Nonparametric Hazard Plot for apilEmpirical Hazard Function

Complete Data

Mean

MedianIQR

4.9529

4.9500 0.3200


14

CONFIABILIDAD. Pruebas de Bondad de Ajuste

Si tenemos un conjunto x1,x2,x3,…..xn y queremos ver si estos datos se comportan razonablemente de acuerdo con la distribuciòn F(x), una forma de hacerlo es estimar F(x) únicamente con los datos que se tienen y validar si esta estimación es congruente con la distribución teórica F(x), entonces se dice que los datos provienen de esa distribución o al menos, que “no hay evidencia de que no provengan de esa distribución”.

Prueba Anderson-Darling de bondad de ajusteEs una modificación de la prueba de Kolmogorov Smirnov (K-S) y da más peso a las colas de la distribución que K-S. Su ventaja es que utiliza la distribución específica en el cálculo de los valores cristicos, lo cual en si mismo es una desventaja. Se basa en la función de distribución empírica, cuantifica la discrepancia entre las distribuciones teóricas y empírica:

)(

)(

)(

)()()()( 22

x

xF

xF

xdxfxxFxFnA

n

n

Función de distribución empírica

Función de distribución teórica o hipotética

Función ponderadora


15

CONFIABILIDADAnderson-Darling de bondad de ajuste

)(1)(

1

xFxFx

Esta funciòn le da mayor importancia a discrepancias en las colas de la distribución, lo que le da una mayor capacidad para detectar otras distribuciones, ya que en caso contrario la diferencia Fn(x)-F(x) tiende a cero en las colas aùn cuando la funciòn F(x) no sea la distribuciòn verdadera

Otra ventaja de la prueba Anderson Darling es que no depende del tamaño de la muestra.

Construcción1. Calcular los valores de

2. calcular

Función de peso

,;ii xFZ

nzzin

An

i

ineie

1

1

2 1loglog121


16

CONFIABILIDAD

Prueba ji-cuadrada de bondad de ajuste.Es la prueba màs antigua, es muy versàtil ya que se utiliza tanto para distribuciones

discretas como continuas. Su desventaja es su falta de sensibilidad para detectar modelos inadecuados cuando se tiene un tamaño de muestra pequeño o moderado. Ademàs esta sujeta a criterios arbitrarios de agrupamiento de los datos.

Construcciòn1. Calcular los parámetros sobre la distribuciòn supuesta2. Se agrupan los datos en k clases3. Determinar la probabilidad para cada clase4. Calcular los valores esperados de cada clase Ei5. Deje en cada clase al menos 5 datos6. Calcule el estadístico ji-cuadrada

7. Calcule el valor de p asociado con el valor calculado usando una ji-cuadrada con k-r-1 grados de libertad, donde r es el número de parámeteros estimados en el primer paso

n

i i

ii

E

EO

1

2

2


17

La prueba de bondad de ajuste comúnmente usada en Confiabilidad es la prueba Kolmogorov-Smirnov (K-S). Es una distribución libre en el sentido que los valores críticos no dependen de la distribución específica a ser probada.

Es más simple de usar que la prueba 2 y puede dar mejores resultados con muestras pequeñas (10<n<30).

Está basada en la determinación de la MAYOR diferencia absoluta entre la Función de Distribución Acumulada de la muestra y aquella de la Distribución supuesta.

CONFIABILIDAD KOLMOGOROV-SMIRNOV

El procedimiento es:

1.Determine el rango de cada uno de los datos

2.Determine el valor del estadístico D (D= max( D+, D- )

a)Determine el valor de D+. Calcule los valores absolutos de Fn(Xi)-F(Xi), Fn(Xi) es el i-ésimo valor de la Función de distribución empírica[Fn(Xi) = i/n] y


18

b)Determine el valor de D-. Calcule los valores absolutos de Fn(Xi)-F(Xi), Fn(Xi) es el i-ésimo valor de la Función de distribución empírica

[Fn(Xi) =(i-1)/n] y

F(Xi) es el i-ésimo valor de la Función de distribución supuesta.

3.Compare el valor de D con el valor apropiado K-S


F(Xi) es el i-ésimo valor de la Función de distribución supuesta.


19

Tamaño dela muestra 0.1 0.05 0.02 0.01

1 0.95 0.975 0.99 0.9952 0.77639 0.84189 0.9 0.929293 0.63604 0.7076 0.78456 0.8294 0.56522 0.62394 0.68887 0.734245 0.50945 0.56328 0.62718 0.668536 0.46799 0.51926 0.57741 0.616617 0.43607 0.48342 0.53844 0.575818 0.40962 0.45427 0.50654 0.541799 0.38746 0.43001 0.4796 0.5133210 0.36866 0.40925 0.45662 0.4889311 0.35242 0.39122 0.4367 0.467712 0.33815 0.37543 0.41918 0.4490513 0.32549 0.36143 0.40362 0.4324714 0.31417 0.3489 0.3897 0.4176215 0.30397 0.3376 0.37713 0.404216 0.29472 0.32733 0.36571 0.3920117 0.28627 0.31796 0.35528 0.3808618 0.27851 0.30936 0.34569 0.3706219 0.27136 0.30143 0.33685 0.3611720 0.26473 0.29408 0.32866 0.35241

TABLA DE VALORES CRITICOS KOLMOGOROV-SMIRNOVNivel de significancia



20

DEFINICIONES Y CONCEPTOS FUNDAMENTALES CONFIABILIDAD

La confiabilidad es una medida del Tiempo de Vida de un producto. Durante este período el cliente obtiene las características ofrecidas intencionalmente.

Cuando cesa la capacidad del producto para entregar la característica ofrecida al cliente, se considera que ha habido una Falla del producto. Esto representa el término del tiempo de vida. Para modelar el tiempo de vida se asigna una medida: La frecuencia relativa o la probabilidad con que ocurrirá ese tiempo.

La regla que asigna valores de frecuencia relativa o probabilidades a los valores de una variable se llama Distribución de Probabilidad

CONFIABILIDAD

t1 t2 t

f(t)


21

CONFIABILIDAD

2. La función de distribución acumulada y representa la probabilidad de que una unidad aleatoria tomada de la población falle en el tiempo t. Es la fracción de todas las unidades en la población que falla en el tiempo t

F(t); FUNCION DE LA NO CONFIABILIDAD

n F(t) es el número esperado de fallas en el tiempo t

t

F(t)


22

1

0

1 )()0()(

t

dttfttPtF

t

f(t)

t1

No confiabilidad, F(t)

Función de Densidad de Probabilidad

t

F(t

)

t1

Función de Distribución Acumulada

0

1

0

CONFIABILIDAD


23

Es una medida de la “mortalidad” entre los artículos que quedan.

La Velocidad de Falla ó Tasa de Riesgo o también Tasa de Falla es la fracción de fallas probables entre la proporción de supervivientes al tiempo t.

La tasa de falla representa la propensión a la falla de un producto como una función de su edad o tiempo en operación.

CONFIABILIDAD

3. Función de riesgo o tasa de falla.

Función Normal de Tasa de Falla

0.0000

0.0500

0.1000

0.1500

0.2000

0.2500

200 400 600 800 1000Tiempo

h(t

)


24

CONFIABILIDAD

3. Función de riesgo o tasa de falla.

Cuando se conoce la Distribución de Probabilidad de t, se calcula a partir deh(t) = f(t) / R(t) tasa de falla, tasa de falla instantánea o tasa de riesgoes la fracción de fallas probables entre la proporción de supervivientes al tiempo t.

Tiempo

0.0000

0.0500

0.1000

0.1500

0.2000

0.2500

0 1000 2000 3000 4000

h(t

)


25

CONFIABILIDAD

t

R(t)

4. Confiabilidad es la probabilidad de que un sistema ejecute su función de intención sin fallar para un intervalo específico, bajo condiciones establecidas. Se define como la Probabilidad de Supervivencia en un determinado tiempo.

R(t) = 1 - F(t)


26

tR

(t)

R t F t f t dt f t dtt

t

( ) ( ) ( ) ( )

1 10

t1

Función de Densidad de Probabilidad Función de Confiabilidad

00

1

t

f(t)

t10

CONFIABILIDAD


27

CONFIABILIDAD

5. MTBF es el Tiempo Promedio entre Fallas o bien el valor medio del Tiempo de Vida.

Se observa, que el MTBF depende de los parámetros de la distribución

1MTBF

Exponencial weibull normal lognormal

1

1

MTBF mediaMTBF

2

2y

y

eMTBF

4.40 4.52 4.64 4.76 4.88 5.00 5.12 5.24 5.36 5.48 5.60

0

10

20

DATOS

Frequency

21

9

19

14

21

16

14

3

10

MTBF==4.9529


28

CONFIABILIDAD

4.5 5.0 5.5

1

510203040506070809095

99

Normal Probability

Pe

rce

nt

4.5 5.0 5.5

0.0

0.5

1.0

Survival Function

Pro

ba

bil

ity

4.5 5.0 5.5

0

5

10

15

Hazard Function

Ra

te

4.0 4.5 5.0 5.5

0

1

2

Probability Density Function

Overview Plot for apilNo censoring

Normal

ML Estimates

Mean: 4.95290

StDev : 0.21359

MTBF: 4.95290


29

La forma típica para la curva de tasa de fallas es conocida cómo la “curva tina de baño” la primera parte es el período de falla temprana y tiene una tasa de falla decreciente y es una medida de la “mortalidad infantil” , después viene un período estable o también conocido como período de fallas intrínsecos o fallas aleatorias a una tasa de falla constante. Al final de la curva la tasa de falla se incrementa y se conoce cómo período de falla por desgaste.

t

h(t)

Fallas constantes

Fallas por deterioroFallas por deterioroFallas “infantiles”

CONFIABILIDAD


30

CONFIABILIDAD

0

0

1)( /

y

donde

eyF y

1. DISTRIBUCION EXPONENCIAL. Función de distribucion acumulada F(y) para una distribución continua

representa la fracción de la población que falla a la edad Y; la función y tiene las siguientes propiedades:

a. Es una función continua para toda yb. El

c. para toda

Siendo la función de distribución acumulada para Y :

y

yF

y

yF

1)(lim

0)(lim

'

)'()(

yy

yFyF

está en la misma unidad de tiempo que Y, hrs, meses, ciclos.Donde la tasa de falla =1/


31

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

)(

)(

1)(

)(

th

etR

etF

etf

t

t

t

= 0.001, MTBF = 1,000

= 0.002, MTBF = 500

= 0.003, MTBF = 333

Función de Densidad de Probabilidad Exponencial

0.0000

0.0005

0.0010

0.0015

0.0020

0.0025

0.0030

0.0035

0 500 1,000 1,500 2,000Tiempo

f(t)


32

Función de la Tasa de Falla Exponencial

0.000

0.001

0.002

0.003

0.004

0 500 1,000 1,500 2,000Tiempo

h(t

)

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

Función de Confiabilidad Exponencial

0.000

0.200

0.400

0.600

0.800

1.000

1.200

0 500 1,000 1,500 2,000Tiempo

R(t)

= 0.002, MTBF = 500

= 0.003, MTBF = 333

= 0.001, MTBF = 1000

= 0.003, MTBF = 333

= 0.002, MTBF = 500

= 0.001, MTBF = 1000


33

CONFIABILIDAD

Ejemplo: la distribución exponencial con una media de horas, describe las horas para fallar de un ventilador. La tasa de falla es lamda =1/28,700 =34.9 fallas por millón de horas. Para el ventilador, la fracción de la población que falla sobre un tiempo de garantía de 8,000 esF(8000)=1-exp(-8000/28,700)=.24La función de confiabilidad R(y) para una distribución de vida es la probabilidad de sobrevivir más allá de la edad y:R(y)=1-F(y)La función de confiabilidad de la exponencial es:

=28,700

0,)( / yeyR y


34

DISTRIBUCIÓN WEIBULL

f tt t

( ) exp

1

Función de Densidad de Probabilidad Weibull

0.0000

0.0010

0.0020

0.0030

0 500 1000 1500 2000 2500 3000Tiempo

f(t) = 0.5

= 1000

= 1.0 = 1000

= 3.4 = 1000


35

DISTRIBUCIÓN WEIBULL

Función Tasa de Falla Weibull

0.0000

0.0020

0.0040

0.0060

0 500 1000 1500 2000 2500 3000Tiempo

h(t)

Función de Confiabilidad Weibull

0.000

0.200

0.400

0.600

0.800

1.000

0 500 1000 1500 2000 2500 3000Tiempo

R(t

)

= 3.4 = 1000

= 0.5 = 1000

= 1.0 = 1000

=.5 = 1000

= 3.4 = 1000

= 1.0 = 1000

1

1

h(t)

11MTBF

)(

)(

1)(

t

et

tf

etR

etF

t

t

t


36

CONFIABILIDAD

Función de Densidad de Probabilidad Lognormal

0.0000

0.1000

0.2000

0.3000

0.4000

0.5000

0 1 2 3 4 5 6 7Tiempo

f(t)

• Si un tiempo t está distribuido Lognormal, t~LN(t, t) y si Y = ln(t) entonces Y~N(y, y)

= 0 = 0.5

= 1 = 0.5

= 1 = 1

2)ln(

21

exp2

1)(

y

y

y

t

ttf


37

DISTRIBUCIÓN LOGNORMAL

Función de Confiabilidad Lognormal

0.000

0.200

0.400

0.600

0.800

1.000

0 1 2 3 4 5 6 7Tiempo

R(t

)

= 1 = 0.5

= 1 = 1

= 0 = 1

= 0 = 0.5

)()(tRtz

h( t ) =


38

Función Tasa de Falla Lognormal

0.0000

0.1000

0.2000

0.3000

0.4000

0.5000

0.6000

0.7000

0 1 2 3 4 5 6 7Tiempo

h(t

)

DISTRIBUCIÓN LOGNORMAL

= 0 = 0.5

= 1 = 0.5

= 1 = 1

= 0 = 1


39

DISTRIBUCIÓN NORMAL

= 500 = 30 = 50 = 70

0.0000

0.0020

0.0040

0.0060

0.0080

0.0100

0.0120

0.0140

200 400 600 800 1000Tiempo

f(t)

f tt

( ) exp

1

2

1

2

2


40

Función de Confiabilidad Normal

0.000

0.200

0.400

0.600

0.800

1.000

200 400 600 800 1000Tiempo

R(t

)

= 500 = 30 = 50 = 70


R t f t dt z dzt z t

( ) ( ) ( )( )


41

Función Normal de Tasa de Falla

0.0000

0.0500

0.1000

0.1500

0.2000

0.2500

200 400 600 800 1000Tiempo

h(t

)


= 500 = 30 = 50 = 70

h( t ) = tRz

donde (z) =normal estandarizada pdf


42

CONFIABILIDAD

Tipo de observaciones en Confiabilidad

1. Datos Censurados a la derecha. Solo conoces que la falla no ha ocurrido en un tiempo particular, por ejemplo el ventilador no ha fallado aún a los 500 días

Mes censurado mes censurado

50 F 50 F53 F 53 F60 C 60 F65 C 65 F70 F 70 C

censurado múltiple censurado


43

CONFIABILIDAD

2. Tiempo de falla exacta, se sabe exactamente cuando ocurrió la falla, el ventilador falló exactamente a los 500 días

0 100 200 300 400 500 dias


44

CONFIABILIDAD

3. Dato censurado a la izquierda, se sabe que la falla ocurrió antes de un tiempo particular por ejemplo 500 días

4. Intervalo censurado, se sabe que las fallas ocurrieron entre dos tiempos en particular, los ventiladores fallaron entre los 475 y 500 días.

475 500 días

0 500 dias


45

CONFIABILIDAD

Gráficas de probabilidadGrafican los tiempos de falla asociado a los estimados de la no confiabilidad sobre un papel especialmente construído. La forma de este papel está basado sobre una linealización de la función de distribución acumulada CDF de la distribución de interés particular.Para la distribución normal, la función de densidad acumulada se escribe:

T

TTF

x

dtt

ex

TTF

2

1

2

2

1

1

TFy 1

a 1

b

bTay

Si

Y

Obtenemos la ecuación lineal


46

CONFIABILIDAD

Dado que la distribución normal es simétrica, el área bajo la curva de - a es 0.5, así como el área de a + . De manera que se dice que el valor de , es el punto donde la R(t) =Q(t) =50%, lo que significa que la estimación de puede ser leído del punto donde la línea de la gráfica cruza la línea de la no confiabilidad en el percentil 50%.Para determinar el valor de a partir de la gráfica de probabilidad, es necesario primeramente entender que el área bajo la curva de la función de densidad que cae entre una desviación estándar en cualquier dirección respecto a la media (o dos desviaciones estándar) representa el 68.3% del área bajo la curva.

68.3%

2


47

CONFIABILIDAD

El intervalo entre Q(t) =84.15% y Q(t) =15.85 % representa dos desviaciones estándar, dado que es un intervalo del 68.3% que se obtiene de la diferencia de 84.15-15.85 =68.3%, y esta centrado sobre la media al 50%. De manera que la desviación puede ser estimada a través de la siguiente expresión:

Esto es, el valor de sigma se obtiene por diferencia del valor de tiempo donde la línea de la gráfica cruza el 84.15% de la no confiabilidad del valor de tiempo donde la linea de la gráfica cruza el 15.85% de la no confiabilidad y dividiendo entre dos.

Ejemplo:7 unidadeds son sometidas a pruebas de vida hasta que fallen. Los tiempos de falla son:85,90,95,100,105,110 y 115 horas. Asumiendo una distribución normal, estimar los parámetros usando una gráfica de probabilidad

2

%85.15%15.84ˆ

QtQt


48

• Construcción

1. Estimar los valores de la no confiabilidad (en este ejemplo se utiliza el método de la mediana del rango:

CONFIABILIDAD

Tiempo para fallar-horas rango de la mediana

859095100105110115

9.43%22.85%36.41%50 %63.5%77.15%90.57%

Estos son los puntos que se grafican en el papel de probabilidad. Dibuje lo mejor posible la linea. Los valores de tiempo donde la linea intersecta 15.85%, 50% y 84.15% valores de la no confiabilidad se proyectarán a la abcisa

Nota. (1-0.3)/(n+0.4)


49

CONFIABILIDADNo confiabilidad

Tiempo t

0 40 80 120 160 200

99

50

10

5

T(Q=84.15%)=112 hrs

T(Q=50%)=100 hrs

T(Q=15.85%)=88 hrs


50

• El estimado de es determinado del valor de tiempo al nivel de la no confiabilidad del 50%, el cual en este caso es de 100 hrs.

• El estimador de se obtiene con la ecuación

CONFIABILIDAD

2

%85.15%15.84ˆ

QtQt

122

24

2

88112ˆ

Horas

Otra manera de calcular la desviación es midiendo la distancia de t(Q=15.85%) ó t(Q=50%), a t(Q=84.15%), ya que cualquiera de estas dos distancias es igual a una desviación estándar


51

CONFIABILIDAD

=100 hrs

=12 horas


52

Ejemplo: Dada X~N(100,400), encuentre P(70<X<110)

• Re-escriba en una forma que pueda ser buscada en las tablas

– P(X<110) - P(X<70)

• Realice la transformación a Normal Estándar

– P[(X-100)/20<(110-100)/20] - P[(X-100)/20<(70 -100)/20]

– P(Z<0.50) - P(Z< -1.50)

» Ambas se buscan en una tabla de Normal Estándar

• P(70<X<110) = 0.6915 - 0.0668 = 0.6247

CONFIABILIDAD


53

CONFIABILIDAD

Ejercicio: Dada X~N(100,144), encuentre P(70<X<90)

• Re-escriba en una forma que pueda ser buscada en las tablas

– P(X<90) - P(X<70)

• Realice la transformación a Normal Estándar

– P[(X-100)/12<(90-100)/12] - P[(X-100)/12<(70 -100)/12]

– P(Z<?) - P(Z< ?)

» Ambas se buscan en una tabla de Normal Estándar

• P(70<X<90) = ?


54

CONFIABILIDAD

Ejercicio: Dada X~N(100,144), encuentre P(70<X<90)

• Calcule la confiabilidad a las 95 horas

• Si se tienen 200 componentes, calcule el número de componentes que sobrevivirán a las 105 horas


55

PRUEBAS DE CALIFICACION “PRAT”

Pruebas de distribuciones de vida:

1. Pruebas exponenciales son comunes en la industria para verificar qué herramientas,sistemas o equipo ajustan sus requerimientos de confiabilidad a su MTBF (tiempo promedio entre fallas). La premisa es que el sistema tiene una tasa constante de falla, la cual es recíproca al MTBF. El tiempo de espera entre fallas sigue un modelo de distribución exponencial.


56

CONFIABILIDAD

Ejemplo

PRUEBA DE CALIFICACION O PRUEBA DE ACEPTACION DE CONFIABILIDAD DEL PRODUCTO (PRAT); una pieza compleja o herramienta es instalada en una linea y se monitorea por un período de semanas a meses. Si no presenta más que un numero de fallas específico durante el período, el equipo pasa su prueba de confiabilidad de aceptación. Se puede incurrir en multas contractuales si el equipo falla.

Cuánto debes probar un equipo en orden de asegurar un determinado MTBF objetivo, m, y un nivel de confianza , el procedimiento recomienda iterar sobre r , el número de fallas permitido, un gran valor de r debería requerir una longitud de prueba aceptable.

0.0000

0.0020

0.0040

0.0060

0 100 200 300 400 500 600

f(t)

MTBF=200 HORAS

horas


57

CONFIABILIDAD

Ejemplo:

para confirmar el valor MTBF objetivo de 200 horas a un nivel de confianza de 90%, se permiten 4 fallas en la prueba, la longitud de la prueba debe ser de 200 x 7.99=1598 horas. .

0.0000

0.0020

0.0040

0.0060

0 100 200 300 400 500 600

f(t)

MTBF=200 HORAS

horas


58

CONFIABILIDAD

Número de fallas permitido factor para niveles de confianza dadosr 50% 60% 70% 80% 90% 95%0 .693 .916 1.39 1.61 2.30 3.001 1.68 2.02 2.69 2.99 3.89 4.742 2.67 3.11 3.92 4.28 5.32 6.303 3.67 4.18 5.11 5.52 6.68 7.754 4.67 5.24 6.27 6.72 7.99 9.155 5.67 6.29 7.42 7.90 9.28 10.516 6.67 7.35 8.56 9.07 10.53 11.847 7.67 8.38 9.68 10.23 11.77 13.158 8.67 9.43 10.80 11.38 13.00 14.439 9.67 10.48 11.91 12.52 14.21 15.7010 10.67 11.52 13.02 13.65 15.40 16.9615 15.67 16.69 18.48 19.23 21.29 23.1020 20.68 21.84 23.88 24.73 29.06 30.89

VALORES DE TABLAS PARA PRUEBAS DE CALIFICACIONCaso Exponencial


59

CONFIABILIDAD

B. Si fuese una longitud inaceptable, probar con solo 3 fallas para una longitud de prueba de 200 x 6.68=1336 horas. C. Pruebas más cortas piden 0 fallas para el proveedor y una longitud de prueba de 460 horas, en estos casos se tiene una gran probabilidad de fallar una pieza aceptable.

EJERCICIOSe piensa comprar un nuevo herramental cuyo requerimiento de MTBF es 400 horas con una confianza del 80%. Tienes 2 meses para tomar la decisión antes que empiecen los 3 trunos en operación. ¿cuál es el plan de prueba propuesto?

Para un intervalo de confianza del 80% y aceptando una falla se requerirán 1200 horas obtenidas de multiplicar 400 x 2.99 que satisface el requerimiento de 2 meses para poner en orden las operaciones.NOTA el tiempo de prueba exponencial puede ser acortado significativamente si herramentales similares pueden ser probados al mismo tiempo, un herramenal operando por 1000 horas es equivalene a 2 herramentales operando por 500 horas cada uno o 10 operando 100 horas cada uno, se cuentan todas las fallas de todos los herramentales.


60

CONFIABILIDAD

Mantenabilidad: La medida de la habilidad de un dispositivo para ser retenido o restaurado para una condición especificada cuando el mantenimiento es ejecutado por personal que posee niveles de habilidad especificadas, usando procedimientos y recursos prescritos, a cada nivel de mantenimiento y reparación prescrito.

Mantenimiento: toda acción necesaria para retener un dispositivo en o restaurarlo a una condición especificada.

Tasa de acción de mantenimiento: El recíproco de un tiempo medio entre las acciones de mantenimiento.

Tiempo medio de mantenimiento: la medida del mantenimiento de un dispositivo tomando en cuenta las políticas de mantenimiento. La suma del tiempo del mantenimiento correctivo y preventivo, dividido por la suma de los eventos del mantenimiento programado y no programado, durante un período de tiempo establecido.

Tiempo medio entre fallas MTBF: una medida de confiabilidad básica para sistemas reparables. El número promedio de vida de unidades durante el cual todas las partes de un dispositivo ejecutan dentro de sus límites especificados, durante un intervalor particular de medición bajo condiciones establecidas.

MTBMAMAR 1


61

CONFIABILIDAD

Tiempo medio entre mantenimiento. MTBM, una medida de la confiabilidad tomando en cuenta las políticas de mantenimiento. El número total de vida de unidades expandidas por un tiempo dado, dividido por el número total de eventos de mantenimiento (programado y no programado) debido a ese dispositivo.

Tiempo medio entre acciones de mantenimiento MTBMA, una medida de los parámetros de confiabilidad del sistema relativos a la demanda por mano de obra del mantenimiento. El número total de unidades de la vida del sistema, dividio por el número total de acciones de mantenimiento ( preventivo y correctivo) durante un período establecido de tiempo.

Tiempo promedio entre fallas MTTF, una medida básica de confiabilidad del sistema para sistemas no reparables: el número total de vida de unidades de un dispositivo dividido por el número total de fallas dentro de esa población, durante un intervalo particular de medición bajo condiciones establecidas.

Tiempo medio para reparar, MTTR, una medida básica de mantenabilidad: la suma de tiempo de mantenimiento correctivo a cualquier nivel de reparación especificado, dividido por el número total de fallas dentro de un dispositivo reparado a ese nivel, durante un intervalo particular bajo condiciones establecidas.


62

CONFIABILIDAD

EFECTIVIDAD DE UN SISTEMA: una medida del grado en el cual un dispositivo o sistema puede ser esperado a lograr un conjunto de requerimientos de misisón específicos, el cual puede ser expresado como una función de disponibilidad, depenabilidad, y capacidad.

Disponibilidad: una medida del grado al cual un dispositivo o sistema esta en un estado operable y commitable al inicio de la misión, cuando la misión es llamada para un punto en el tiempo desconocido. El punto en el tiempo es una variable aleatoria.

Dependabilidad: una medida de un dispositivo o sistema operando en condiciones en un punto o más del tiempo de misión. Puede ser establecido como la probabilidad que un dispositivo tendrá u ocupará cualquiera de sus modos operacionales requeridos durante la misión especificada, y b) ejecuta la función asociado con sus modos modos operacionales.

Capacidad: una medida de la habilidad de un dispositivo o sistema para lograr los objetivos de misión dadas las condiciones durante la misión.


63

CONFIABILIDAD

DISPONIBILIDAD. Es la probabilidad de que un sistema este operando satisfactoriamente en cualquier punto en el timepo cuando se usa bajo condiciones establecidas.

Disponibilidad inherente, es el estado ideal y es una función del MTBF (CONFIABILIDAD) y del MTTR (MANTENABILIDAD)

Disponibilidad lograda, incluye la medición del mantenimiento correctivo y preventivo.

Disponibilidad operacional, incluye ambas medidas previas de medición de disponibilidad, e incluye logística y paro administrativo.


64

CONFIABILIDAD

EFECTIVIDAD DE UN SISTEMA: una medida del grado en el cual un dispositivo o sistema puede ser esperado a lograr un conjunto de requerimientos de misisón específicos, el cual puede ser expresado como una función de disponibilidad, depenabilidad, y capacidad.

Disponibilidad: una medida del grado al cual un dispositivo o sistema esta en un estado operable y commitable al inicio de la misión, cuando la misión es llamada para un punto en el tiempo desconocido. El punto en el tiempo es una variable aleatoria.

Dependabilidad: una medida de un dispositivo o sistema operando en condiciones en un punto o más del tiempo de misión. Puede ser establecido como la probabilidad que un dispositivo tendrá u ocupará cualquiera de sus modos operacionales requeridos durante la misión especificada, y b) ejecuta la función asociado con sus modos modos operacionales.

Capacidad: una medida de la habilidad de un dispositivo o sistema para lograr los objetivos de misión dadas las condiciones durante la misión.

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CONFIABILIDAD ROSALVA MATINEZ 1 CONFIABILIDAD 1.Casi todas las compañías gastan millones de dólares en la confiabilidad de sus productos. 2.Muchos esfuerzos