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Análisis de Sistemas Lineales
“Sistemas Descritos por Ecuaciones Diferenciales”
Ing. Rafael A. Díaz Chacón
ASL/RAD/2001
Sistemas Descritos por Ecuaciones Diferenciales
Representación General
ASL/RAD/2001
m entradas n salidas
x1(t)
xm(t)
x2(t)
y1(t)
yn(t)
y2(t)...
.
.
.
SISTEMA
Sistemas Descritos por Ecuaciones Diferenciales
Representación General
ASL/RAD/2001
d
dty t f y t y t y t x t x t x t t
d
dty t f y t y t y t x t x t x t t
d
dty t f y t y t y t x t x t x t t
n m
n m
n m
1 1 1 2 1 2
2 2 1 2 1 2
3 3 1 2 1 2
( ) ( ( ), ( ),..., ( ), ( ), ( ),..., ( ), )
( ) ( ( ), ( ),..., ( ), ( ), ( ),..., ( ), )
( ) ( ( ), ( ),..., ( ), ( ), ( ),..., ( ),
)
.
.
( ) ( ( ), ( ),..., ( ), ( ), ( ),..., ( ), )
........ ............
........ ............
d
dty t f y t y t y t x t x t x t tn n n m 1 2 1 2
Sistemas Descritos por Ecuaciones Diferenciales
Modelo Lineal
ASL/RAD/2001
d
dty t a t y t a t y t a t y t x t
d
dty t a t y t a t y t a t y t x t
d
dty t a t y t a t y t a t
n n
n n
n
1 11 1 12 2 1 1
2 21 1 22 2 2 2
3 31 1 32 2 3
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ....... ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ....... ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ....... (
) ( ) ( )
.
.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ....... ( ) ( ) ( )
y t x t
d
dty t a t y t a t y t a t y t x t
n
n n n nn n n
3
1 1 2 2
........ ............
........ ............
Sistemas Descritos por Ecuaciones Diferenciales
Modelo Lineal en Forma Matricial
ASL/RAD/2001
( ) ( ) ( ) ( ) Y t A t Y t t X
Sistemas Descritos por Ecuaciones Diferenciales
ASL/RAD/2001
Representación General de un Sistema de una entrada y una salida (SISO)
1 entrada 1 salida
x(t) y(t)SISTEMA
SISO
Sistemas Descritos por Ecuaciones Diferenciales
ASL/RAD/2001
Ecuación Diferencial General de un Sistema SISO, Lineal e Invariante en Tiempo
ad y t
dtbd x t
dtk
k
kk
N
i
i
ii
M( ) ( )
0 0
Sistemas Descritos por Ecuaciones Diferenciales
ASL/RAD/2001
Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden con Coeficientes Constantes
ad y t
dtbd x t
dt
a y t ady t
dtbd x t
dt
k
k
kk
i
i
ii
M
i
i
ii
M
( ) ( )
( )( ) ( )
0
1
0
0 10
Sistemas Descritos por Ecuaciones Diferenciales
ASL/RAD/2001
Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden (casos)
caso 1:
caso 2:
caso 3:
a
a y t bd x t
dt
a
ady t
dtbd x t
dt
a y a
a y t ady t
dtbd x t
dt
i
i
ii
M
i
i
ii
M
i
i
ii
M
1
00
0
10
1 0
0 10
0
0
0
( )( )
( ) ( )
( )( ) ( )
Sistemas Descritos por Ecuaciones Diferenciales
ASL/RAD/2001
Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden (solución)
dy
dta y x t
z tdy t
dta y t z t z t x t
zdy
dta y z
d
dtz y z
dy
dtydz
dt
a y z ydz
dt
dz
dta z z t eat
* ( )
( ) *( )
* ( ) * ( ) ( ) * ( )
* * * ( * ) * *
* * * * ( )
se debe escoger z(t) tal que el lado izquierdo
sea una derivada total, esto es
entonces
Sistemas Descritos por Ecuaciones Diferenciales
ASL/RAD/2001
Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden (solución)
por tanto
se puede escribir como
entonces, integrando ambos miembros
al sustituir z(t) por el valor encontrado
z tdy t
dta y t z t z t x t
d
dtz t y t z t x t
z t y t z y z x d
y(t)=e y e e x d
t
at at at
( ) *( )
* ( ) * ( ) ( ) * ( )
( ( ) * ( )) ( ) * ( )
( ) * ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
0 0
0
0
0
Sistemas Descritos por Ecuaciones Diferenciales
ASL/RAD/2001
Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden (ejemplo)
La ecuacion diferencial del sistema sera
se puede escribir como
identificando terminos iguales
ya que (0) = 5, se obtiene
. *( )
( )
( )* ( )
( ) *
*
0 2 100
5 500
0 500
100 95
5 5 5
0
5
dv t
dtv t
dv t
dtv t
v(t)=e v e e d
v
v(t)= e
t tt
t
+
-100 v
R= 1 M
+
-
C= 0.2 F
5 v
Sistemas Descritos por Ecuaciones Diferenciales
ASL/RAD/2001
Ecuación Diferencial Lineal de Orden Superior (solución)
ad y t
dtbd x t
dtk
k
kk
N
i
i
ii
M( ) ( )
0 0
Solución Homogénea, yh(t)
También se conoce como:
Respuesta a Entrada Cero o Respuesta Natural
Solución Particular, yp(t)
También se conoce como:
Respuesta a Estado Cero o Respuesta Forzada
yc(t) = yh(t) + yp(t)
Solución Completa, yc(t)
Sistemas Descritos por Ecuaciones Diferenciales
ASL/RAD/2001
ad y t
dt
D p a p
y t A y t
y t
k
k
kk
N
kk
k
N
h i ii
N
i
( )
( )
, ,...,
( ) ( )
( )
0
0
1
0
0
se define la ecuacion polinomica auxiliar
esta ecuacion tiene N raices, r r r
la cuales pueden ser reales o complejas conjugadas,
simples o multiples
la solucion tendra la forma
donde es una exponencial asociada a la raiz i
1 2 N
Ecuación Diferencial Lineal de Orden Superior (solución homogénea)
Sistemas Descritos por Ecuaciones Diferenciales
ASL/RAD/2001
Ecuación Diferencial Lineal de Orden Superior (solución homogénea)
Determinacion de funciones
Raiz r real simple
Raiz r real con multiplicidad m,
se generan m funciones
i
i
( ):
)
( )
)
( )
( ) , , ,....,
y t
y t e
y t
y t e te t e t e
i
ir t
i
ir t r t r t m r t
i
i i i i
1
2
2 1
Sistemas Descritos por Ecuaciones Diferenciales
ASL/RAD/2001
Ecuación Diferencial Lineal de Orden Superior (solución homogénea)
Determinacion de funciones
Raiz r compleja conjugada simple, r
se generan 2 funciones
Raiz r compleja conjugada con multiplicidad m,
se generan 2*m funciones
i i
i
( )
)
( )
( ) cos ), )
)
( )
( ) cos ), ), cos ), ),
cos ), ), cos
y t
j
y t
y t e ( t e sin( t
y t
y t e ( t e sin( t te ( t te sin( t
t e ( t t e sin( t t e (
i
i
it t
i
it t t t
t t t
3
4
2 2 2
t t e sin( tt), ),...2
Sistemas Descritos por Ecuaciones Diferenciales
ASL/RAD/2001
Ecuación Diferencial Lineal de Orden Superior (solución homogénea)
Hallar la solucion homogenea de
la ecuacion auxiliar sera
las raices son
entonces, la solucion homogenea sera
,
( ) cos( ) ( )
,
d y
dt
d y
dt
dy
dty
p p p
r r j
y t A e A e t A e sin tht t t
3
3
2
2
3 2
1 2 3
12
23
33
8 37 50 0
8 37 50 0
2 3 4
4 4
Sistemas Descritos por Ecuaciones Diferenciales
ASL/RAD/2001
Ecuación Diferencial Lineal de Orden Superior (solución homogénea)
Hallar la solucion homogenea de
la ecuacion auxiliar sera
las raices son
entonces, la solucion homogenea sera
,
( )
,
d y
dt
d y
dt
dy
dty
p p p
r r
y t A e A te A eht t t
3
3
2
2
3 2
1 2 3
12
22
33
7 16 12 0
7 16 12 0
2 3
Sistemas Descritos por Ecuaciones Diferenciales
ASL/RAD/2001
Ecuación Diferencial Lineal de Orden Superior (solución particular)
st
sp
kN
okk
iM
oii
p
st
kN
okk
iM
oii
pi
M
oiip
kN
okk
i
iM
oiik
kN
okk
Aepa
pbty
sAetx
txpa
pbtytxpbtypa
dttxd
bdttyd
a
Re)(
real ,)( tipodel excitación una supone se si
)()(bien o )()(
auxiliarecuación la define se
)()(
Sistemas Descritos por Ecuaciones Diferenciales
ASL/RAD/2001
Ecuación Diferencial Lineal de Orden Superior (solución particular)
jst
jsp
kN
okk
iM
oii
p
jst
jst
jsp
kN
okk
iM
oii
p
jst
Aepa
pbty
sAestAsintx
Aepa
pbty
sAestAtx
agIm)(
real ],[agIm)()(
tipodel excitación una supone se si
Re)(
real ],Re[cos)(
tipodel excitación una supone se si
Sistemas Descritos por Ecuaciones Diferenciales
ASL/RAD/2001
Ecuación Diferencial Lineal de Orden Superior (solución particular)
Hallar la solucion particular de
la ecuacion auxiliar sera
evaluando en , la solucion particular sera
( )( )
( )
( ) .
d y
dt
d y
dt
dy
dty e
y t p p p e
y tp p p
e
p
y t e
t
pt
pt
pt
3
3
2
23
3 2 3
3 23
3
8 37 50 4
8 37 50 4
1
8 37 504
3
0 25
Sistemas Descritos por Ecuaciones Diferenciales
ASL/RAD/2001
Ecuación Diferencial Lineal de Orden Superior (solución particular)
Hallar la solucion particular de
la ecuacion auxiliar sera
evaluando en , la solucion particular sera
cos( )
( )( ) cos( )
( ) Re[ ]
( ) Re cos
d y
dt
d y
dt
dy
dty t
y t p p p t
y tp p p
e
p j
y te
jt sin t
p
pjt
p
jt
3
3
2
2
3 2
3 23
3
8 37 50 4 3
8 37 50 4 3
1
8 37 504
3
4
22 84
22
18853
84
18853
Sistemas Descritos por Ecuaciones Diferenciales
ASL/RAD/2001
Ecuación Diferencial Lineal de Orden Superior (solución particular)
Hallar la solucion particular de
la ecuacion auxiliar sera
ag
evaluando en , la solucion particular sera
ag
( )
( )( ) ( )
( ) Im [ ]
( ) Im cos
d y
dt
d y
dt
dy
dty sin t
y t p p p sin t
y tp p p
e
p j
y te
jt sin t
p
pjt
p
jt
3
3
2
2
3 2
3 23
3
8 37 50 4 3
8 37 50 4 3
1
8 37 504
3
4
22 84
84
18853
22
18853
Sistemas Descritos por Ecuaciones Diferenciales
ASL/RAD/2001
Ecuación Diferencial Lineal de Orden Superior (solución)
ad y t
dtbd x t
dtk
k
kk
N
i
i
ii
M( ) ( )
0 0
Solución Homogénea, yh(t) Solución Particular, yp(t)
yc(t) = yh(t) + yp(t)
Solución Completa, yc(t)
Sistemas Descritos por Ecuaciones Diferenciales
ASL/RAD/2001
Ecuación Diferencial Lineal de Orden Superior (solución)
Hallar la solucion completa de
la solucion homogenea es
la solucion particular es
la solucion completa es
( ) cos( ) ( )
( ) .
( ) cos( ) ( ) .
d y
dt
d y
dt
dy
dty e
y t A e A e t A e sin t
y t e
y t A e A e t A e sin t e
t
ht t t
pt
ct t t t
3
3
2
23
12
23
33
3
12
23
33 3
8 37 50 4
4 4
0 25
4 4 0 25
Sistemas Descritos por Ecuaciones Diferenciales
ASL/RAD/2001
Ecuación Diferencial Lineal de Orden Superior (solución)
Para determinar las constantes A
se toman en cuenta las condiciones iniciales
En este caso:
consiguiendo que
definitivamente, la solucion completa es
i
y y y
y y y
A A A
y t e e t e sin t ect t t t
( ), ( ), ( )
( ) , ( ) , ( )
, ,
( ) cos( ) ( ) .
0 0 0
0 1 0 2 0 1
42
17
83
68
43
68
42
17
83
684
43
684 0 25
1 2 3
2 3 3 3
ASL/RAD/2001
Determine la solución completa de las ecuaciones diferenciales siguientes
ecuación
y’’(t) + 6y’(t)+25y = 50 4
y’(0)
2
Sistemas Descritos por Ecuaciones Diferenciales
y(0)
y’’(t) + 8y’(t)+25y = 6 sin(2t) 1 0
y’’(t) + 8y’(t)+165y = 6e-2t 1 0
y’’(t) + 8y’(t)+12y = 6 2 5
y’’(t) + 10y’(t)+24y = 50e-2t cos(3t) 4 1