ANÁLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANÁLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANÁLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANÁLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS

7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERAFACULTAD DE CIENCIAS

Unidad de Posgrado

ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES

MEDIANTE EL MTODO LPD

TESIS PARA OPTAR EL GRADO ACADMICO DE MAESTRO EN CIENCIASCON MENCIN EN FSICA

MIGUEL MELCHOR VIVANCO

Asesor:

DR. ANIBAL VALERA PALACIOS

Lima-Per

2015


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2

NDICE

INTRODUCCION GENERAL 6

OBJETIVOS GENERALES 8OBJETIVOS ESPECFICOS 8

RESUMEN 9

1. INTRODUCCIN 10

1.1 ECUACIN DEL MOVIMENTO TRANSVERSAL LIBRE DE LA

BARRA

10

1.1.1 Ecuacin de Movimiento de Newton 10

1.1.2 Relacin entre Fuerza Neta Transversal y Torque 11

1.1.3 Torque o Momento de Flexin Restaurador Realizado por la

Barra

13

1.1.3.1 Geometra de la Barra Flexionada 13

1.1.3.2. Momento Restaurador 14

1.1.4 Ecuacin de Movimiento de Euler-Bernoulli 16

1.1.4.1 Solucin de la Ecuacin Euler-Bernoulli 18

1.1.4.2 Condiciones de Borde 19

1.1.4.3 Modos Normales de Vibracin Libre de Estructuras

Simples

21

1.1.4.3.1 Modos Normales de Vibracin de una Barra

Empotrada en sus dos Extremos

21

1.1.4.3.2 Modos Normales de Vibracin Libre de una

Barra Empotrada en un Extremo

24

1.1.5 Ecuacin de Movimiento Considerando el Efecto Cortante e

Inercia Rotacional en Barras

29

1.2 ECUACION DEL MOVIMENTO TRANSVERSAL DE LA BARRA

O VIGA CON VIBRACION FORZADA

30

1.2.1.Ecuacin del Movimiento Transversal de la Barra con Vibracin

Forzada para un Extremo Fijo

34

1.2.2 Ecuacin del Movimiento Transversal de la Barra con Vibracin

Forzada para los dos Extremos Fijos

40

1.3 VIBRACIONES EN CONCRETO 43


3/164

3

1.3.1 Vibraciones en Concreto Armado 43

1.3.2 Vibraciones en Concreto Pretensado 44

1.4 REPRESENTACIN DE FOURIER 45

1.4.1 Seales Peridicas 45

1.4.1.1 Series de Fourier (FS) 45

1.4.1.2 Serie Discreta de Fourier (DTFS) 46

1.4.2 Seales no Peridicas 46

1.4.2.1 Transformada de Fourier (FT) 46

1.4.2.2 Transformada discreta de Fourier (DTFT) 47

1.4.2.3 Transformada Rpida de Fourier (FFT) 48

1.5 MTODO PARA EVALUAR EL MDULO DE ELASTICIDADDEL CONCRETO

48

1.5.1 Teora de la Elasticidad 48

1.5.2 Alcance de la Norma ASTM C-469 50

1.5.3 Equipo 51

1.5.3.1 Mquina de Ensayo 51

1.5.3.2 Compresmetro 51

1.5.3.3 Especmenes de Ensayo 521.5.4 Ecuacin de Elasticidad Segn la Norma ASTM C-469 54

1.6 MTODOS UTILIZADOS PARA TRATAR VIBRACIONES COMO

SEALES Y EVALUAR FRECUENCIAS

54

1.6.1 LPD (Laser Photodeflection) 54

1.6.2 ACELEROMETROS 57

1.6.2.1 Acelermetro 57

1.6.2.2 Principio de funcionamiento 582. TCNICAS EXPERIMENTALES 61

2.1 MTODO LPD 61

2.2 MICROTREMOR 66

3. RESULTADOS 68

3.1 PARMETROS FSICOS DE LA BARRA 68

3.2 PARMETROS FSICOS DE LOS MATERIALES USADOS EN LA

VIGA

68


4/164

4

3.2.1 Concreto 68

3.2.2 Parmetros Fsicos del Fierro Corrugado de Aceros Arequipa 71

3.3 DIMENSIONES DE LAS BARRAS EMPOTRADA Y VIGA

EMPOTRADA EVALUADA

72

3.3.1 Dimensiones de la Barra Empotrada en sus dos Extremos 72

3.3.2 Dimensiones de la Barra Empotrada en un Extremo 73

3.3.3 Dimensiones de la Viga empotrada en sus dos Extremos 74

3.4 FRECUENCIAS OBTENIDAS SEGN LA TEORIA 75

3.4.1 Barra Empotrada en sus dos Extremos 75

3.4.2 Barra Empotrada en un Extremo 76

3.4.3 Viga Empotrada en sus dos Extremos y con dos Varillas en suInterior

76

3.4.3.1 Viga de Solo Concreto 76

3.4.3.2 Viga de Solo Fierro Corrugado 77

3.5 FRECUENCIAS SEGN EL METODO LPD 78

3.5.1 Barra Empotrada en sus Dos Extremos 79

3.5.1.1 Vibraciones Evaluadas con el Parlante 79

3.5.1.2 Vibraciones Evaluadas con el Medio Ambiente 803.5.2 Barra Empotrada en un Extremo 87


3.5.2.2 Vibraciones Evaluadas con el Medio Ambiente 88

3.5.3 Viga Empotrada en sus dos Extremos 94


3.5.3.2 Vibraciones Evaluadas con el Medio Ambiente 96

3.6 FRECUENCIAS SEGN EL METODO SOFTWARE ETABS 1023.6.1 Barra Empotrada en sus Dos Extremos 102


3.6.3. Viga Empotrada en sus Dos Extremos 104

3.7 FRECUENCIAS EVALUADAS POR EL MICROTREMOR 105

3.7.1 Barra Empotrada en sus Dos Extremos 105


3.7.3 Viga Empotrada en sus Dos Extremos 115


5/164

5

4. DISCUSIN 120

4.1PARA EL CASO DE LA BARRA EMPOTRADA EN SUS DOS

EXTREMOS

120

4.2PARA EL CASO DE LA BARRA EMPOTRADA EN UN EXTREMO 124

4.3PARA EL CASO DE LA VIGA EMPOTRADA EN SUS DOS

EXTREMOS

128

5. CONCLUSIONES 132

6. BIBLIOGRAFIA 135

ANEXO 138


6/164

6

INTRODUCCIN GENERAL

En la actualidad los problemas de vibraciones estructurales continan

presentndose como un gran problema por la limitacin de diseos que se podran producir

por su poca utilidad. Por eso, el problema de las vibraciones se ha vuelto de vital

importancia en la construccin de estructuras y mquinas.

Debido a la complejidad del diseo de las estructuras, no es posible en la mayora

de los casos, establecer las ecuaciones fsicas del movimiento para su anlisis dinmico y

para eso se hace una prueba de las vibraciones propias de las estructuras (modos naturales

de vibracin) lo que se conoce como prueba modal para obtener un modelo matemticode la estructura y con esto conocer o predecir su comportamiento dinmico en diversas

situaciones a partir de bases tericas fsicas. Los resultados obtenidos nos ayudan a

conocer los puntos crticos de la estructura que permiten tomar decisiones al momento de

su construccin para hacerlas ms flexibles y resistentes.

En el presente, para medir vibraciones en estructuras existen diferentes tcnicas de

medicin entre ellas el Microtremor, que contina mejorando su tcnica de evaluacin [1],[2] y las que utilizan el Laser como el mtodo LPD, Interferometra Laser [3] y el mtodo

Telemetro Laser [4], cada una con sus ventajas y desventajas. Con el mtodo LPD ya se

han hecho dos tesis para Licenciatura en la Facultad de Ciencias-UNI (Arturo Ortiz Vargas

Machuca [5] y Roosvelt Lpez Garca [6] ) cuyos objetivos fueron verificar que la tcnica

LPD mide vibraciones, para estos dos casos la fuente que genera las vibraciones en las

estructuras fue un parlante de gran potencia con frecuencia variable y un laser cuyo haz

tiene un dimetro de 5 mm aproximadamente.

En la tesis de Licenciatura presentada por Arturo Ortiz Vargas Machuca que tiene

por ttulo Estudio de Vibraciones Estructurales por Medios pticos - 2008

muestra la medida de las vibraciones por el mtodo LPD de un techo de concreto pequeo

y delgado tipo membrana (construido en el CISMID-UNI para sus ensayos) cuyas

ecuaciones de modos de vibracin aparecen en los libros de fsica, luego compara sus

resultados con la ecuacin terica. Al final de su anlisis comprueba las medidas y en una


7/164

7

de sus conclusiones manifiesta que se debe optimizar y automatizar los procedimientos de

medida para reducir los tiempos de evaluacin y aumentar la sensibilidad del equipo.

En la tesis presentada por Roosvelt Lpez Garca, cuyo ttulo tiene por nombre

Evaluacin y Medicin de las Mediciones de un Edificio por Medio de la Tcnica Laser

(LPD) - 2011 presenta la evaluacin de vibraciones de un edificio de un piso sin terminar

de construir de la Facultad de Ingeniera Electrnica (UNI), donde no se conoce sus

parmetros fsicos exactos. Observ sus resultados y comprob que el sensor LPD es capaz

de medir las frecuencias de los modos de vibracion de la Estructura, valores que compar

con el software de simulacin ETABS usado en la Ingeniera Civil.

En la actualidad, la tcnica para medir vibraciones por el mtodo LPD se ha ido

optimizando con los trabajos hechos en el Laboratorio de ptica de la Facultad de Ciencias

(UNI), de tal manera que ahora se utilizan pequeos parlantes de baja intensidad para

vibrar las estructuras y sistemas laser de haz fino respecto a los que se utilizaban

anteriormente. Adems, se observa en el osciloscopio previamente a la toma de los datos la

resonancia entre la frecuencia natural de la estructura y la frecuencia de vibracin del

parlante. Como ejemplo de la precisin en la medida de las vibraciones con esta tcnicamostramos la resonancia entre la vibracin generada por el parlante y la vibracin de la

estructura captada por el osciloscopio tal como muestra la figura I.

Figura I. Esquema de la Medicin de Frecuencias sobre la Barra y el Resultado de la

Frecuencia Evaluada Analizada en el Osciloscopio


8/164

8

Este trabajo consiste en la evaluacin de las frecuencias en vibraciones

transversales en estructuras simples (barra empotrada en sus dos extremos y en un extremo,

viga empotrada en sus dos extremos) evalundola con el mtodo LPD aplicando la tcnica

optimizada de medicin con diferentes fuentes de vibracin, para despus compararla con

los resultados obtenidos de las medidas hechas por el Microtremor, el resultado de la

simulacin hecha con el software ETABS y los resultados al aplicar las ecuaciones tericas

del movimiento transversal de las estructuras analizadas.

OBJETIVOS GENERALES

Evaluar con el sistema ptico de deteccin (LPD) las frecuencias de las vibracionestransversales en estructuras horizontales simples construidas en el laboratorio y comparar

los resultados con el obtenido por otros mtodos de evaluacin como el sistema estndar

Microtremor y a partir de all comprobar la utilidad y beneficio del nuevo sistema.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

Evaluacin de frecuencias de las vibraciones transversales con el mtodo ptico(LPD) usando un parlante de frecuencia variable como fuente de vibracin, en

estructuras simples como la barra empotrada en un extremo, barra empotrada en sus

dos extremos y la viga empotrada en sus dos extremos.

Evaluacin de frecuencias de las vibraciones transversales en estructuras simples

como la barra empotrada en un extremo, barra empotrada en sus dos extremos y la

viga empotrada en sus dos extremos con el mtodo ptico (LPD) y el Microtremor,teniendo como fuente vibracin el medio ambiente.

Simulacin con el software ETABS de las vibraciones transversales en las

estructuras construidas.

Clculo de frecuencias obtenidas por las ecuaciones tericas del movimiento

transversal de las estructuras analizadas.


9/164

9

RESUMEN

En este trabajo se miden las frecuencias de las vibraciones transversales en tres

estructuras simples: barra empotrada en sus dos extremos, barra empotrada en un extremo

y la viga empotrada en dos extremos con dos fierros en su interior.

Las ecuaciones de Euler-Bernoulli proporcionan las siguientes frecuencias: en la

primera estructura 35.29 Hz y 97.25 Hz, para la segunda estructura 21.74 Hz. Con el

software de simulacin ETABS se obtiene: en la primera estructura 33.31 Hz y 91.75 Hz,

en la segunda estructura 20.63 Hz y en la tercera estructura 68.06 Hz. Estas frecuencias la

evala el mtodo LPD (vibracin medio ambiente) pero con pequeas amplitudes convalores: en la primera estructura 35.28 Hz y 97.26 Hz, en la segunda estructura 21.69 Hz y

en la tercera estructura 67.69 Hz. En el mtodo LPD, con la fuente de vibracin hecha por

un parlante con frecuencia variable los resultados son: primera estructura 35.61 Hz y 96.37

Hz y en la segunda estructura 22.39 Hz. El Microtremor tambin lo evala pero con

pequeas amplitudes: la primera estructura 35.20 Hz y 97.88 Hz, en la segunda estructura

21.31 Hz y en la tercera estructura 67.49 Hz.

Al evaluar usando el medio ambiente como fuente de vibracin se encontr otras

frecuencias de los modos naturales de vibracin. Para el caso del Microtremor (Medio

Ambiente) las frecuencias encontradas con gran amplitud fueron: primera estructura 24.25

Hz, en la segunda estructura 10.71 Hz y en la tercera estructura con mediana amplitud

28.42 Hz y 50.16 Hz un posible modo de mediana amplitud. Para el caso del mtodo LPD

(Medio Ambiente) las frecuencias con gran amplitud fueron: la primera estructura 24.07

Hz y 25.08 Hz, en la segunda estructura 10 Hz y en la tercera estructura 32.43 Hz adems50.51 Hz un posible modo con mediana amplitud. Estos modos no lo predicen los mtodos

tericos como la ecuacin del movimiento transversal y el software ETABS.

En el mtodo LPD con el parlante a una frecuencia que tiende a ser igual al modo

de vibracin, el resultado para la tercera estructura fue: 28.15 Hz y 82.68 Hz.


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10

1. INTRODUCCIN

1.1 ECUACIN DEL MOVIMENTO TRANSVERSAL LIBRE DE LA BARRA

1.1.1 Ecuacin de Movimiento de Newton [7]

Consideramos una barra homognea de densidad y seccin transversal S ,

simtrica respecto del eje longitudinal X y elegimos el eje Y en la direccin de las

perturbaciones, considerando que cada punto de la barra tiene una dependencia del tiempo

y espacio t)(x, , figura 1.

Figura 1. Movimiento Transversal sobre una Barra

Para cada tramo de la barra, de longitud dx , se cumple la ecuacin de Newton, en

particular, para la componente transversal, se tiene:

YYNETA amF (1)

Como la masa del tramo es:

dxSm

La ecuacin para cada tramo infinitesimal de la barra (como se muestra en la figura 1),

tiene la forma

dxt

SFYNETA 2

2

(2)


11/164

11

Para llegar a la ecuacin de movimiento, nuestra siguiente tarea ser encontrar la

componente transversal de la fuerza neta.

1.1.2 Relacin entre Fuerza Neta Transversal y Torque

Para flexionar una barra es necesario aplicar un momento en cada extremo (del

tramo que estamos considerando). El momento neto es entonces la suma de ambos, tal

como muestra la figura 2.

)()( xMdxxMMN (3)

diferencia que permite un desarrollo de Taylor de primer orden

dxx

MxMdx

x

MxMM

xx

N

)()( (4)

Figura 2. Fuerzas de Corte y Momentos Asociados

Por otra parte, este momento se traduce en una fuerza transversal que acta sobre la

barra. Si lo calculamos respecto del extremo izquierdo del tramo (figura 2), obtenemos:


12/164

12

0).()( xFdxdxxFM YYN (5)

Igualando el momento neto calculado de ambas formas (ecuaciones 4 y 5), llegamos a que

en la barra flexada, la fuerza de corte transversal restauradora es igual a la derivada

espacial del momento flexor

x

MFy

(Fuerza cortante) (6)

Estamos en condiciones de calcular la fuerza neta transversal sobre el tramo de la barra(desarrollo de Taylor de primer orden en la fuerza transversal)

dxx

Mdx

x

FxFdx

x

FxFxFdxxFF

X

y

Y

X

YYYYYNETA 2

2

)()()()(

As tenemos:

dxx

MFy 2

2

(Fuerza neta transversal como derivada segunda del momento restaurador)

(7)

El siguiente paso en nuestro anlisis ser encontrar el origen de este torque M , que como

veremos, est asociado a las fuerzas longitudinales de estiramiento y comprensin dentro

de la barra.


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13

1.1.3 Torque o Momento de Flexin Restaurador Realizado por la Barra

1.1.3.1 Geometra de la Barra Flexionada

Consideremos el ngulo de torsin, que es aqul ngulo formado entre las secciones

extremas, figura 3

Figura 3. Diagrama de la Curvatura

Es decir:

)()( xdxxd

En aproximacin de ngulos pequeos: tg , que es la derivada primera de la elongacin

respecto de x

xdxx xx

xtgdxxtgd

)()( (8)

Tomando la derivada como funcin de x , podemos aproximarla en primer orden por

Taylor.

dxxxx

xxdxx

2

2

(9)


14/164

14

con lo que el ngulo de flexin de la barra queda expresado en trminos de la segunda

derivada de la elongacin, de las ecuaciones (8) y (9) (lo mismo ocurre al analizar las

vibraciones en una cuerda tensa).

dxx

d2

2

(Curvatura de la barra) (10)

Este resultado no es extrao si se recuerda que la derivada segunda es una medida de la

concavidad.

1.1.3.2. Momento Restaurador

La flexin de la barra implica estiramiento de las lminas exteriores y comprensin

de las interiores, figura 4 (con respecto al centro de curvatura). Definamos una coordenada

zpara designar la posicin relativa de cada lmina respecto de la lnea central.

Esta lnea central se corresponde, por definicin, con la lmina de la barra que no est

estirada ni comprimida. Cada lmina se estira (o comprime) una cantidad dz=dl .

Figura 4. Fuerza Elstica en una Barra


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15

Teniendo en cuenta la ecuacin (10) para la curvatura de la barra, la variacin de

longitud de cada lmina es:

dxx

z=dl

2

2

(11)

Cada lmina realiza una fuerza dF. Suponiendo que el material se comporta

linealmente (pues estamos bajo la hiptesis de pequeas perturbaciones), se cumple que la

fuerza por unidad de superficie realizada por cada lmina es igual al mdulo de Young (Y ,

o mdulo de Elasticidad) por el estiramiento unitario, es decir:

l

dlY=

dS

(z)dFx (12)

Dado que consideramos pequeas perturbaciones, podemos asumir dxl . Por su

parte, la seccin de cada lmina depende de la forma de la barra, en particular, del ancho

de cada lmina: dza(z)=ds y la ecuacin (12) de la fuerza realizada por cada lmina es:

dza(z)zx

Y=(z)dFx 2

2

(13)

y el momento realizado por cada lmina es dFz , con lo que integrando en toda la seccin

obtenemos el momento neto:

2

22

2

2

2

22

x

IY=dz(z)az

x

Y=dza(z)

x

zY=dFz=M Z

(14)

Donde: dz(z)az=IZ 2 , Momento de inercia de la seccin transversalparalelo a la

base y que pasa por el centro de gravedad, G. Tabla 1


16/164

16

1.1.4 Ecuacin de Movimiento de Euler-Bernoulli

Recapitulando, la ecuacin de Newton (2) nos dice que la fuerza transversal es

igual a la masa de cada tramo por su aceleracin transversal:

dx,

t

S=F YNETA 2

2

Densidad del cuerpo

Ya hemos calculado que para la barra flexada, esta fuerza transversal es la derivada

segunda del torque respecto a la posicin (7):

dxx

M=F YNETA 2

2

Sustituyendo en esta ecuacin el valor del momento restaurador M de la ecuacin (14),

encontrado anteriormente, se tiene:

dxx

IY=F ZYNETA 4

4

(15)

Igualando a la fuerza neta transversal encontrado anteriormente, (2) y (15) se encuentra:

dxx

IY=dx

t

S Z 4

4

2

2

02

2

4

4

=t

IY

S+

x

Z

,Ecuacin del movimientotransversal de una barra (16)

.


17/164

17

TABLA 1. VALORES DE I PARA DIFERENTES REAS TRANSVERSALES


18/164

18

1.1.4.1 Solucin de la Ecuacin de Euler-Bernoulli [7]

Nos disponemos a encontrar los modos normales por el mtodo de separacin de

variables, asumiendo que la componente temporal es peridica:

tsen(x)=t)(x, (17)

Cada punto x de la barra vibra con una amplitud )(x y con una frecuencia

angular , aplicando la ecuacin (17) en la ecuacin diferencial del movimiento

transversal de la barra dado por la ecuacin (16), se obtiene:

02

2

4

4

=t

IY

S+

x

Z

02

4

4

=IY

S

x

Z

(18)

Buscando soluciones exponenciales de la forma: xre=(x) , esta expresin se

evala en la ecuacin (18), obtenindose:

024 =eIY

Ser xr

Z

xr 24

ZIY

Sr

4/12 )(

ZIY

Sr 4/12 )(,

ZIY

Sqqr (19)

Se encuentra la ecuacin: 044 =qr , obtenindose las races:

qi=rq,i=rq,=rq,=r (20)

La solucin general viene expresado por:

xqixqixqxq eC+eC+eC+eC=(x) 4321 (21)

o de la forma equivalente:


19/164

19

(qx)A+(qx)senA+(qx)A+(qx)senhA=(x) coscosh 4321 (22)

La pendiente o derivada de (x)y , viene expresado por:

](qx)senA+(qx)A+(qx)senhA+(qx)[Aq=dx

d4321 coscosh (23)

La segunda derivada viene dado por:

](qx)A(qx)senA(qx)A+(qx)senh[Aq=dx

d2 coscosh 4321

22

(24)

La tercera derivada viene dado por:

](qx)senA+(qx)A(qx)senhA+(qx)[Aq=dx

d3 4321

33

coscosh (25)

1.1.4.2 Condiciones de Borde

En forma ideal (y a modo de ejemplo), las situaciones ms elementales en las que

pueden estar cada extremo de la barra son tres:

I. Extremo libre:

Desplazamiento del extremo = libre.

Pendiente del extremo = libre.

Torque aplicado en el extremo = 0 02

2

=|x

extremo

(26)


20/164

20

Fuerza cortante en el extremo = 0 03

3

=|x

extremo

(27)

II. Extremo fijo:

Desplazamiento del extremo = 0 0=| extremo (28)

Pendiente del extremo = libre.

Torque aplicado en el extremo = 0 02

2

=|x extremo

(29)

Fuerza cortante en el extremo = libre.

III. Extremo empotrado:

Desplazamiento del extremo = 0 0=|extremo

(30)

Torque en el extremo = libre.

Pendiente del extremo = 0 0=|x

extremo

(31)

Fuerza cortante en el extremo = libre.


21/164

21

1.1.4.3Modos Normales de Vibracin Libre de Estructuras Simples

1.1.4.3.1 Modos Normales de Vibracin de una Barra Empotrada en sus dos Extremos

Figura 5. Esquema de una Barra o Viga Empotrada

La ecuacin diferencial del movimiento de un elemento de la barra como muestra la

figura 5, viene expresado por:

02

2

4

4

=t

IY

S+

x

Z

Cuya solucin viene expresado por: tsen(x)=t)(x,

tsen(qx)]A+(qx)senA+(qx)A+(qx)senh[A=t)(x, coscosh 4321 (32)

Aplicando las condiciones de contorno:

La barra est firmemente sujeta por su extremo:

I. Para x=0


22/164

22

00=| =x

00cos00cosh00 4321 =)(A+)(senA+)(A+)(senhA=)(

042 =A+A

00 =|xd

d=x

000cos00cosh 43210 =])(senA+)(A+)(senhA+)([Aq=|dx

d=x

031

=A+A

II. Para L=x

0=| L=x

0coscosh 4321 =L)(qA+L)(qsenA+L)(qA+L)(qsenhA=(L)

Como 031 =A+A , y 042 =A+A , se tiene:

0coscosh21 =L)](qL)(q[A+L)](qsenL)(q[senhA

0=|xd

dL=x

0coscosh 4321 =]L)(qsenA+L)(qA+L)(qsenhA+L)(q[Aq=|dx

dL=x


0coscosh 21 =L)](qsen+L)(qsenh[A+L)](qL)(q[A

Eliminando los coeficientes 21 AyA de las dos ecuaciones obtenidas, obtenemos una

ecuacin transcendente en qL=

0)]cos)cosh)])])) 2 =(([+(sen+([senh(sen([senh (33)


23/164

23

Las cinco primeras races Lq= jj , encontradas por un software matemtico aplicando

mtodos numricos son:

27.17,14.14,00.11,85.7,73.4j

Conocido los valores posibles de jq y evaluando en la ecuacin (19), se calculan las

frecuencias de vibracin jj f 2 , donde:

4

2

2 LS

IY

=f z

j

j

Con los valores encontrados de jr , los valores de la frecuencia son:

41 3.56

LS

IY=f z ,

42 9.81

LS

IY=f z ,

43 19.26

LS

IY=f z ,

44 31.82

LS

IY=f z

45 47.47

LS

IY=f z (34)

La amplitud transversal de la vibracin de la barra (x) de los distintos puntos x de la

barra en el modo normal de vibracin j, es:

x)](qx)(q[

L)(qL)(q

L)(qsenL)(qsenhx)](qsenx)(q[senhA=(x) jj

jj

jj

jj coscoshcoscosh

(35)O tambin:

x)](qx)(q[L)(qsen+L)(qsenh

L)(qL)(qx)](qsenx)(q[senhA=(x) jj

jj

jj

jjj coscoshcoscosh

(36)


24/164

24

La constante jA , se halla cumpliendo las condiciones fsicas propias de la estructura

(energa entregada a la estructura, entre otros parmetros)

ctedxxL

j )(02

(37)

1.1.4.3.2 Modos Normales de Vibracin Libre de una Barra Empotrada en un Extremo

Figura 6. Esquema de una Barra Empotrada en un Extremo.

La ecuacin diferencial del movimiento de un elemento de la barra de la figura 6

viene expresado por la ecuacin (16)

02

2

4

4

=t

IY

S

+x

Z

Cuya solucin viene expresado por: tsen(x)=t)(x,

tsen(qx)]A+(qx)senA+(qx)A+(qx)senh[A=t)(x, coscosh 4321

Aplicando las condiciones de contorno:


25/164

25

La barra est firmemente sujeta por su extremo:

I . Para 0x

00=| =x

00cos00cosh00 4321 =)(A+)(senA+)(A+)(senhA=)(

042 =A+A

00 =|

xd

d=x

000cos00cosh 43210 =])(senA+)(A+)(senhA+)([Aq=|dx

d=x

031 =A+A

II. Para L=x

02

=|dxd

L=x2

](qL)A(qL)senA(qL)A+(qL)senh[Aq==|dx

dL=x2

coscosh0 43212

2


0coscosh21 =L)](q+L)(q[A+L)](qsen+L)(q[senhA

03

3

Lx

xd

d

])()(cos)()(cosh[0 43213

3

3

qLsenAqLAqLsenhAqLAqxd

d

Lx


26/164

26


0coscosh 21 =L)](qsenL)(qsenh[A+L)](q+L)(q[A

Eliminando los coeficientes 21 AyA de las dos ecuaciones obtenidas, obtenemos una

ecuacin transcendente en qL=

1coscosh =L)(q(qL) (38)

Resolviendo esta ecuacin utilizando un software matematico, se obtiene las cuatro

primeras races Lq= jj , son:

00.11,85.7,69.4,87.1j

Conocido los valores posibles de jq y evaluando en la ecuacin (19), se calculan las

frecuencias de vibracin jj f= 2 , donde:

4

2

2 LS

IY

=f z

j

j

Con los valores encontrados de jr , los valores de la frecuencia son:

41 0.56

LS

IY=f z ,

42 3.50

LS

IY=f z ,

43 9.81

LS

IY=f z ,

44 19.26

LS

IY=f z (39)


27/164

27

La amplitud transversal de la vibracin de la barra (x) de los distintos puntos x

de la barra en el modo normal de vibracin j, es:

x)](qx)(q[L)(q+L)(q

L)(qsen+L)(qsenhx)](qsenx)(q[senhA=

=(x)

jj

jj

jj

jjj coscoshcoscosh

(40)

O tambin:

x)](qx)(q[L)(qsenL)(qsenh

L)(q+L)(q

x)](qsenx)(q[senhA=(x jjjj

jj

jjj coscosh

coscosh

)

(41)

La constante jA , se halla cumpliendo las condiciones fsicas propias de la

estructura (energa entregada a la estructura entre otros parmetros).

cte=dx(x)j 2

(42)

Podemos generalizar la ecuacin (17), considerando que la estructura puede vibrar

en cualquiera de sus frecuencias propias naturales (modos de vibracin) dando lugar a una

suma infinita de trminos de la forma

1

2j1j cos=j

jjj (x)t)](B+t)sen([B=t)(x, (43)

En la prctica, con el clculo nicamente de los primeros trminos de la solucin

para un movimiento de la forma de la ecuacin (16) ser suficiente, dando lugar a una

suma truncada de productos. Esta simplificacin es debida a que a partir de un determinado

momento, segn se sigue aumentando el nmero de trminos, la variacin que sufre la

solucin es mnima.


28/164

28

Para calcular las constantes 1jB y 2jB , para un movimiento libre se recurrir a las

condiciones iniciales y a la propiedad de ortogonalidad de las autofunciones. Dichas

condiciones iniciales barra estn dadas por la relacin

f(x)=)(x,0

g(x)=)(x' ,0 (44)

Por lo tanto sustituyendo la ecuacin (44) en la ecuacin (43), para hallar 2jB , se

obtiene

(x)B=f(x)=)(x=j

j

1

2j,0

multiplicando por i , a ambos lados de la ecuacin e integrando a lo largo de la barra o

varilla, adems de aplicar las propiedades de ortogonalidad

dx(x)(x)B=dx(x)f(x) i=j

ji 1

2j

(x)dxB=dx(x)f(x) ii2

2i

(x)dxB=dx(x)f(x) ii2

2i

dx(x)

dx(x)f(x)=B

j

j

22j

(45)

Haciendo algo parecido para hallar 1jB , partiendo de la derivada respecto al tiempo

de t)(x, expresada por la ecuacin (43) y calculando 0),( ttx este valor es igual a la

expresin g(x)establecida en la ecuacin (44)

1

21 )(])()(cos[),(j

jjjjjjj xtsenBtBtx


29/164

29

1

1 )()()0,(j

jjj xBxgx



dx(x)(x)B=dx(x)g(x) i=j

jji 1

1j

(x)dxB=dx(x)g(x) iji2

1i

(x)dxB=dx(x)g(x)iii

2

1i

dx(x)

dx(x)g(x)=B

jj

j

21j

(46)

1.1.5 Ecuacin de Movimiento Considerando el Efecto Cortante e Inercia Rotacional

en Vigas y Barras [8]

El clculo de frecuencias naturales en vibracin de vigas elsticas o barras es

fundamental en ingeniera estructural. La tcnica ms realista de clculo es modelar el

material a partir de la teora de la elasticidad, seguido por la aplicacin del mtodo de los

elementos finitos.

El mtodo ms simple es el de Euler- Bernoulli (16), que slo involucra el efecto de

flexin, tipo de deformacin que presenta un elemento estructural alargado en una

direccin perpendicular a su eje longitudinal.

02

2

4

4

=t

IY

S+

x

Z


30/164

30

Una mejora es el modelo de Rayleigh, que refleja el efecto de inercia rotacional o

tendencia de un cuerpo a resistirse al cambio en su movimiento rotacional:

022

4

2

2

4

4

=xt

I

t

S+

x

IY ZZ

(47)

Una hiptesis de los modelos anteriores es que las secciones transversales

permanecen perpendiculares al eje de la viga. En la prctica esto no es as, es decir, hay un

efecto de cortante. Un modelo que involucra ambos efectos, inercia rotacional y cortante es

el modelo de Timoshenko, dado por la ecuacin:

022

4

4

4

22

4

2

2

4

4

xtIY

xI

SGKxtI

tS

xIY ZZZZ

(48)

:K Coeficiente Cortante

:G Modulo Cortante

1.2 ECUACION DEL MOVIMENTO TRANSVERSAL DE LA BARRA CON

VIBRACION FORZADA t)(x, [9]

La ecuacin que gobierna las vibraciones transversales forzadas t)(x, , en vigas

barras viene dada por

),()(2

2

2

2

2

2

txx

IYxt

S Z

(49)

Para resolverla, se har uso del mtodo de separacin de variables y de la propiedad

de ortogonalidad de las autofunciones para convertir la ecuacin diferencial en derivadas

parciales en un nmero infinito de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden

desacopladas, expresadas en trminos de las coordenadas modales, similares a las que

gobiernan la vibracin de un sistema de un grado de libertad.


31/164

31

Usando la tcnica de separacin de variables, el desplazamiento transversal t)(x, ,

viene dado por

)()(),(1

txtx jj

j

(50)

y un desplazamiento virtual en la ecuacin (50), se tendr

)()(),(1

txtx ii

i

(51)

Multiplicando la ecuacin (49) por el desplazamiento virtual e integrando a lo largo de la

longitud L de la barra se obtiene

LLZ dxtxdx

xIY

xtS

00 2

2

2

2

2

2

),(])([

(52)

y sustituyendo ahora el desplazamiento , y el desplazamiento virtual , segn las

ecuaciones (50) y (51) respectivamente

dxtxdxIYS ii

L

iijijZ

i j

L

ij

1

0

""

1 10

),(])([ (53)

El segundo termino de la parte izquierda de la expresin es una integral que se deberesolver por partes, siendo su solucin

dxIYIYIYdxIYL

ijZ

L

ijZ

L

ijZij

L

Z 0""

0

'"

0

'"""

0)()( (54)

que sustituida en la ecuacin (53), da lugar a la expresin general

0])(]),([[ 0'"

0

'"""

1 10

ij

L

jZj

L

ijzijjZj

i j

L

ij IYIYdxtxIYS

(55)Como se analiza estructuras simples, con extremos empotrado o libre y debido a las

condiciones establecidas en las ecuaciones del (26) al (31) el cuarto y quinto trmino de laecuacin (55) se cancelan, y cambiando el ndice de la serie se encuentra la siguiente

expresin


32/164

32

0]),([00

2"

10

2

j

L

j

l

jjZ

j

L

jj dxtxdxIYdxS (56)

La expresin anterior se puede volver a escribir de la siguiente manera0][

1

jjjj

j

j Qm

dxSmL

jj 02

dxIYl

jZj 02"

dxt)(x,=Q jj , (Coeficiente de Fuerza Modal) (57)

Como los cambios virtuales, j , son linealmente independientes, se obtiene

finalmente la expresin

(t)Q=+td

dm jjjj 2

2

(58)

La solucin de la ecuacin diferencial anterior, se puede obtener mediante laintegral de Duhamel [10], que tiene la forma

dtsenQm

tBtsenB jt

j

jj

jjjjj ])([)(1

)(cos)(0

21 (59)

donde las frecuencias propias, j , cumplen la relacin

j

j

j m

= (60)

son las frecuencias de vibracin libre evaluadas en las ecuaciones (34) (39) (segn sea el

caso de las condiciones de contorno de las estructuras), y los coeficientes jm y j vienen

dados por las expresiones de la ecuacin (57).


33/164

33

Para el caso de un movimiento con fuerza forzada ),( tx , para obtener las

constantes 1jB y 2jB , nuevamente se recurrir a las mismas condiciones de la ecuacin

(44) y a la propiedad de ortogonalidad de las autofunciones.

Para obtener jB2 , partimos de la ecuacin (50) y usando el valor de la ecuacin (44)

1

021 )])([)(

1)(cos)((),(

j

jj

t

j

jj

jjjj dtsenQm

tBtsenBtx

1

2)()0,(

j

jjBxfx



dx(x)(x)B=dx(x)f(x) i=j

ji1

2j

(x)dxB=dx(x)f(x) ii22i

(x)dxSB=Sdx(x)f(x) ii2

2i por la ecuacin (57)

j

L

j

L

j

L

j

jm

dxSxxf

dxSx

dxSxxfB

0

0

2

02

)()(

)(

)()(

(61)

Para obtener 1jB , partimos de la ecuacin (50) y usando el valor de la ecuacin (44)

1

2j1j )1

cosj=

jjj

jj

jj )]d)(t[sen(Qm

+t)(B+t)sen((B=t)(x, (62)

1

1j)0,(j=

jj B=g(x)=txtd

d


34/164

34

multiplicando por i , a ambos lados de la ecuacin e integrando a lo largo de la barra, adems

de aplicar las propiedades de ortogonalidad

dx(x)(x)B=dx(x)g( x) i=j

jji1

1j

(x)dxB=dx(x)g(x) iji2

1i

L

iii

L

i dxSBdxSxxg0

2

10

)()()( por la ecuacin (57)

jj

j

jj

j

m

Sd x(x)g( x)

=Sd x(x)

Sd x(x)g( x)

=B

21j

(63)

1.2.1. Ecuacin del Movimiento Transversal de la Barra con Vibracin Forzada

),( tx para un Extremo Fijo

Se va a resolver a continuacin el caso concreto de una barra en voladizo sometida a la

accin de una fuerza externa puntual )(),( tPtx , situada a una distancia d de la barra o

viga, tal como muestra la figura 7(a)

Figura 7(a). Diagrama de la Ubicacin de la Fuerza ForzadaP(t) .


35/164

35

La ecuacin que gobierna las vibraciones transversales forzadas en vigas o barras

viene dada por la ecuacin (16)

02

2

4

4

=t

IY

S+

x

Z

En este caso en concreto, las propiedades geomtricas de la viga como las propiedades del

material se han supuestos constantes, por lo que la ecuacin (16) toma la forma

d)(xP(t)=(x)P(t)=x

IY+

t

S

dZ

4

4

2

2

(64)

Al tratarse de una carga puntual, tambin se ha recurrido al uso del delta de Dirac,

(x)d , porque la fuerza P(t)est situada a una distancia d=x . Las condiciones de

contorno para la barra en voladizo son

0),0( t , 0),0(' t , 0),(" tL , 0),('" tL . (65)

que suponen desplazamiento y giros nulos en el extremo empotrado, momento y esfuerzo

cortante nulos en el extremo libre.

Las condiciones iniciales seguirn siendo, por simplicidad y lo que muestra las

barras, nulas

0,0 =f(x)=)(x , 0,0 =g(x)=)(x'

Aplicando de nuevo el mtodo de separacin de variables descrito anteriormente, se

definen

(t)(x)=t)(x, j=j

j

1

y (t)(x)x=t)(x, i=i

i

1


36/164

36

transformando las condiciones de contorno de la ecuacin (65)

0)0( j , 0)0('

j , 0)("

Lj , 0)('"

Lj (66)

Partiendo de la ecuacin (64), se obtiene la siguiente expresin

Ld

L

Z dxxtPdxx

IYt

S00 4

4

2

2

)()(][

sustituyendo por los valores dadas por las ecuaciones (50) y (51), se encuentra la expresin

siguiente

1

0

""

1 10

)()(][i

L

iidijijZji

i j

L

j dxxtPdxIYS (67)

la integral L

ij dx0

"" , se resuelve usando integral por partes

dxdnn ii'

'"""

jj hdxdh

por lo tanto

L

ij

L

ji

L

ij dxdx0

''"

0

'"

0

""

y nuevamente, integrando por partes

dxdnn ii "'

"'"

jj hdxdh

se obtiene finalmente

L

ij

L

ji

L

ji

L

ij dxdx0

""

0

"'

0

'"

0

""


37/164

37

Simplificando la expresin anterior debido a las condiciones de contorno dado por

la ecuacin (66), resulta como solucin final a la integral

L

ij

L

ij dxdx0

""

0

""

que sustituida en la ecuacin (67) permite obtener

1

0

""

1 10

)()(][i

L

iidijijZji

i j

L

j dxxtPdxIYS

0}])()([{ ""

1 10

iidjijZji

i j

Lj dxxtPIYS

aplicando las propiedades de ortogonalidad a las funciones se tiene

1

0 00

2"2 0])()()()([i

L L

iid

L

iiZii dxxtPdxIYdxS

0])()([02

2

1

Liidiii

i

i dxxtPdtdm

donde los valores de im y i , estn evaluados por la ecuacin (57). Como los

desplazamientos virtuales se definen linealmente independientes, se puede escribir

022

=dx(x)P(t)+

td

dm idiiii

dx(x)P(t)=+tdd

m idiiii 2

2

Aplicando las propiedades de la delta de Dirac, a la ecuacin anterior, se obtiene

finalmente la expresin de la ecuacin diferencial ordinaria de segundo orden


38/164

38

)()(2

2

dtPtd

dm jjj

j

j

(68)

Una vez ms, la solucin a esta ecuacin viene dada por la integral de Duhamel

[10]

dtsendPm

tBtsenB jt

j

jj

jjjjj ])([)()(1

)(cos)(0

21 (69)

las frecuencias angulares j son los valores de la ecuacin (39), valores evaluados para

vibraciones libres.

Para este caso, se tuvo que las condiciones iniciales eran nulas, por lo

tanto 0)()( xgxf , y eso hace que

021 jj BB

por lo que la ecuacin (69), solo tiene la forma

tsendPm

j

t

j

jj

j ])([)()(

1

0 (70)

Si consideramos que la fuerza forzada )0 tsen(P=P(t)=t)(x, ( , frecuencia

angular externa) por lo que se tendr que desarrollar la ecuacin (70) para esta carga en

concreto, por lo tanto

tsedsenPm

j

t

j

jj

])([)()(1

00

integrando por partes se obtiene


39/164

39

1

])([)()(

0

0

I

j

t

jj

j

j tsensenm

dP

(i)

La integral 1I

se resuelve mediante la integracin por partesdnsenn )co)(

j

j

j

thdtsendh

([co)]([

Por lo tanto

t

j

jt

j

j ttsen

001 c

])([cos])([cos)(

2

001 c])([cos])([cos

)(

I

t

j

j

t

j

jt

tsenI

La integral 2I , tambin se resuelve mediante integracin por partes

sednn )()cos(

j

j

j

tsehdtdh

([)]([cos

quedando

t

j

jt

j

js

tsentsen

002 (

])([])([)cos(

1

002 (])([])([

)cos(

I

t

j

j

t

j

jstsen

tsenI

02

])([

)cos(

tsen

I j

t

j

j

001 ()])([)cos

(])([cos

)(tset

senj

t

j

j

j

t

j

j

2

0

1

)(1

)])([)cos(

(])([cos

)(

j

j

j

j

t

j

j tsent

sen

I


40/164

40

Sustituyendo en la ecuacin (i), se obtiene

)(

()([)()(

22

0

j

jj

jj

j

j

setsen

m

dPt

(71)

Evaluando en la ecuacin (50), se encuentra la solucin general

))(

)()([)((),(1

22

0 tsetsen

m

dPtxj

j

j

jj

jj

j

(72)

1.2.2 Ecuacin del Movimiento Transversal de la Barra con Vibracin Forzada

),( tx para los dos Extremos Fijos

Figura 7(b). Diagrama de Vibracin de la Barra Empotrada y el Punto de la Fuerza

Forzada.

Para este caso, las propiedades geomtricas de la viga como las propiedades del

material se han supuestos constantes, por lo que la ecuacin (16) toma la forma

)()()()(4

4

2

2

dxtPxtPx

IYt

S dZ

(73)


41/164

41

Usando las propiedades del delta de Dirac, )(xd . Las condiciones de contorno

para la viga o barra empotrada en los dos extremos

0),0( t , 0),0 L , 0),0(' t , 0),(' tL (74)

Las condiciones iniciales seguirn siendo las mismas

0)()0,( xfx , 0)()0,( xgx (75)

Las expresiones se definen

)()(),(1

txtx jj

j

y )()(),(

1txtx i

i

i

transformando las condiciones de contorno de la ecuacin (74)

0)0( j , 0)( Lj , 0)0('

j , 0)('

Lj (76)

Partiendo de la ecuacin (73), se obtiene la siguiente expresin

L

d

L

Z dxxtPdxx

IYt

S00 4

4

2

2

)()(][

sustituyendo por las ecuaciones (50) y (51), se encuentra la expresin siguiente

1

0

""

1 10

)()(][i

L

iidijijZji

i j

L

j dxxtPdxIYS (77)

la integral L

ij dx0

"" , se resuelve usando integral por partes

dxdnn ii'

'"""

jj hdxdh

por lo tanto

L

ij

L

ji

L

ij dxdx0

''"

0

'"

0

""


42/164

42

y nuevamente, integrando por partes

dxdnn ii"'

"'"

jj

hdxdh

se obtiene finalmente

L

ij

L

ji

L

ji

L

ij dxdx0

""

0

"'

0

'"

0

""

Simplificando la expresin anterior debido a las condiciones de contorno dado por

la ecuacin (76), resulta como solucin final a la integral

L

ij

L

ij dxdx0

""

0

""

que sustituida en la ecuacin (77) permite obtener

1

0

""

1 10

)()(][i

L

iidijijZji

i j

L

j dxxtPdxIYS

0}])()([{ ""

1 10

iidjijZji

i j

L

j dxxtPIYS

Como se observa el procedimiento es el mismo que en el caso anterior, y como

estamos considerando las mismas condiciones iniciales (75), los resultados van a ser los

mismos. La solucin general para una barra empotrada en sus dos extremos viene dada por

)())(

)]()([)((),(

122

0x

tsentsen

m

dPtx

j

j

j

jj

jj

j

(78)

En general todas las estructuras vibran con frecuencias y j pero con ecuaciones

parecidas a las ecuaciones 72 y 78 y estas se deben construir de acuerdo a sus

caractersticas fsicas y geomtricas.


43/164

43

1.3. VIBRACIONES EN CONCRETO

Existen varias formas de usar el concreto en estructuras, tal como muestra la figura

8. En el concreto armado convencional se proporciona resistencia a la traccin a loselementos estructurales colocandoacero de refuerzo (pasivo) en las zonas de los elementos

estructurales donde pueden aparecer tracciones. Esta forma de proporcionar resistencia a la

traccin puede garantizar una resistencia poco adecuada al elemento y presenta el

inconveniente de no impedir elagrietamiento del hormign para ciertos niveles de carga.

En el concreto pretensado, se coloca acero tensado (activo) que precomprime el hormign,

permitiendo as que los elementos estructurales tengan una gran resistencia a la traccin

con la ventaja de impedir en agrietamiento del hormign [11].

Figura 8. Forma de Concreto Armado, Construida y Analizada en este Trabajo

1.3.1 Vibraciones en Concreto Armado[12]

Para modelar las caractersticas estructurales de la viga de Concreto Armado, la

ecuacin de Euler Bernoulli ha sido adaptada. Esta asume que las secciones planas

permanecen planas y perpendiculares al eje de la viga despus de la deformacin. Un

segmento infinitesimal de la viga est representado en la figura 9, donde u es el

desplazamiento transversal, M es el momento de flexin, V es la fuerza de corte y q es la
https://es.wikipedia.org/wiki/Acero_de_refuerzohttps://es.wikipedia.org/wiki/Grietahttps://es.wikipedia.org/wiki/Grietahttps://es.wikipedia.org/wiki/Acero_de_refuerzo


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44

carga transversal distribuida. Todas estas cantidades son funciones del eje x y tiempo t.

La ecuacin de Euler Bernoulli adaptada para el concreto armado viene dado por

2

2

2

2

t

uuqx

M

(79)

)(M

KTanhMM (80)

K: flexin inicial de la viga (x=L), M : momento de flexin final de la viga (x=0)

Figura 9. Esquema del Momento de Flexin en una Viga de Concreto Armado

1.3.2 Vibraciones en Concreto Pretensado[13]

Considerando una viga pretensada que tiene una carga distribuida no uniforme a lo

largo de la viga, las vibraciones libres descritas por la ecuacin de Euler Bernoulli

adaptada para concreto pretensado, viene dado por

02

2

2

2

4

4

xN

tm

xIY Z

(81)

N : Pretensado, parmetro que caracteriza al fierro colocado en el concreto.

m : masa por unidad de longitud de la viga


45/164

45

1.4 REPRESENTACIN DE FOURIER[14]

Existen cuatro representaciones distintas de Fourier, cada una aplicable a diferentes

tipos de seales. Estas cuatro clases estn definidas por las propiedades de periodicidad deuna seal y si el tiempo es de tipo contnuo o discreto. Las seales peridicas tienen

representacin en series de Fourier. La Serie de Fourier (FS) aplica a seales peridicas de

tiempo contnuo (figura 10) mientras que la Serie Discreta de Fourier (DTFS) aplica a

seales peridicas de tiempo discreto (figura 11). Las seales no peridicas tienen

representacin en forma de transformada. Si la seal es contnua en el tiempo y no

peridica, la representacin es llamada Transformada de Fourier (FT), figura 12. Si la

seal es discreta en el tiempo y no peridica entonces la representacin usada es latransformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT).

1.4.1 Seales Peridicas

1.4.1.1 Series de Fourier (FS)

La Serie de Fourier (FS) de una funcin peridica )(tf de periodo T , definida enun intervalo ],[ Tdd con longitud T , est dada por:

T

tni

n eCtf2

)(

(82)

dtetfT

CTd

d

T

tni

n

2

)(1

, ComplejosCn (83)

Figura 10. Grafica de una Funcin Peridica.


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46

1.4.1.2 Serie Discreta de Fourier (DTFS)

Sea una seal peridica, )(tf , de periodo T . Tomamos Nvalores discretos de )(tf en

cada periodo, separados t . Se cumple entonces que tNT . Cualquier funcin

peridica discreta de periodo tNT se puede descomponer como:

N

n

n

kni

eCtk

21

0

)(

(84)

N

k

n

ni

etkfN

C

21

0

)(1

(85)

Figura 11. Grafica de una Funcin Peridica Discreta

1.4.2 Seales no Peridicas

1.4.2.1 Transformada de Fourier (FT)

La Transformada de Fourier y la Transformada Inversa de Fourier para una funcinno peridica h(t) se define mediante:

Figura 12. Grafica de una Funcin no Peridica


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47

dtethH ti

)(2

1)( (86)

deHth ti

)()( (87)

El factor2

1, nosotros lo hemos asignado a )(H , pero tambin lo podamos haber

asignado a )(th . De hecho, no existe una solucin consensuada para este problema, y nos

podemos encontrar las siguientes definiciones para la transformada de Fourier:

dtethH ti

)(21)( deHth ti

)()( (88)

dtethH ti

)()(

deHth ti

)(

2

1)( (89)

dtethH ti

)(2

1)(

deHth ti

)(

2

1)( (90)

dtethfH tfi

2)()( dfefHth tfi

2)()( (91)

1.4.2.2 Transformada discreta de Fourier (DTFT)

Sea una seal no peridica, )( tkh , tomamos Nvalores discretos de h ,

separados t . La Transformada de Fourier y la Transformada Inversa de Fourier para una

funcin no peridica, en tiempo discreto (Discrete Time Fourier Transform, DTFT) se

definen

tkiN

k

etkhH

1

0

)()( (92)

deHt

tkh t tki

2

0)(

2)( (93)


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48

1.4.2.3. Transformada Rpida de Fourier (FFT)

FFTes la abreviatura usual (del ingls Fast Fourier Transform) de un eficiente

algoritmo que permite calcular la transformada de Fourier discreta (DTFT) y su inversa.

La FFT es de gran importancia en una amplia variedad de aplicaciones, desde el

tratamiento digital de seales y filtrado digital en general a la resolucin deecuaciones en

derivadas parciales o los algoritmos de multiplicacin rpida de grandes enteros. El

algoritmopone algunas limitaciones en la seal y en el espectro resultante

1.5 MTODO PARA EVALUAR EL MDULO DE ELASTICIDAD DELCONCRETO [15]

1.5.1 Teora de la Elasticidad

Si un material es sometido a traccin, es decir si el mismo es solicitado desde sus

extremos en direcciones opuestas, de modo similar a como se ilustra en la Figura 13(a), la

longitud del mismo aumenta y eventualmente, si la fuerza es grande, el material puederomperse. En esta seccin estudiaremos la conexin entre los efectos de las fuerzas y las

deformaciones que las mismas causan sobre una muestra de material. Si una muestra

cilndrica de material, de seccin transversal A , y longitud inicial 0L es sometida a

traccin, mediante una fuerza Fque acta a lo largo de su eje, la misma sufrir un

estiramiento de magnitud L . Si 10

L

L, se encuentra experimentalmente que para un

rango limitado de las fuerzas aplicadas, L es proporcional a la fuerza aplicada F , a sulongitud original 0L e inversamente proporcional al rea de su seccin transversal A , es

decir:

A

LFCTEL 0
http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier_discretahttp://es.wikipedia.org/wiki/Procesamiento_digital_de_se%C3%B1aleshttp://es.wikipedia.org/wiki/Filtro_digitalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parcialeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parcialeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmohttp://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmohttp://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmohttp://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmohttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parcialeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parcialeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Filtro_digitalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Procesamiento_digital_de_se%C3%B1aleshttp://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier_discreta


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49

Figura 13(a). Esquema de la Aplicacin de la Elasticidad

Esta relacin la not primero Robert Hooke (1635-1703), un contemporneo y rival

de Newton. Esta expresin fenomenolgica, vlida para una gran variedad de materiales,pero no de carcter universal (como las leyes de Newton o las Ecuaciones de Maxwell), se

puede escribir como:

A

F

L

LY

0

(94)

donde Yes una constante caracterstica del material que forma el objeto y que se

denomina mdulo de Young o mdulo de elasticidad, al modulo de elasticidad tambin se

suele designar con la letra E.

En rigor esta relacin solo vale en la llamada zona de comportamiento elstico

(Figura 13(b)). El cocienteA

Fse denomina esfuerzo (stress) y se denota con la letra ,

sus unidades son las mismas que las de presin (Pa). Al cociente0L

Lse lo denomina

deformacin unitaria (strain) y se la denota con la letra , esta magnitud es adimensional

(no tiene unidades).


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50

Figura 13(b). Esquema del Comportamiento Elstico de los Materiales

1.5.2. Alcance de la Norma ASTM C-469

Desde su fundacin en 1902, ASTM International (American Society for Testing

Materials) es una de las organizaciones internacionales de desarrollo de normas ms

grandes del mundo. En ASTM se renen productores, usuarios y consumidores, entre

otros, de todo el mundo, para crear normas de consenso voluntarias. Las normas de ASTMse crean usando un procedimiento que adopta los principios del Convenio de barreras

tcnicas al comercio de la Organizacin Mundial del Comercio (World Trade Organization

Technical Barriers to Trade Agreement). El proceso de creacin de normas de ASTM es

abierto y transparente; lo que permite que tanto individuos como gobiernos participen

directamente, y como iguales, en una decisin global consensuada. Esta es esencialmente

equivalente a la norma ASTM C469-02 (*).

Este mtodo (*) cubre la determinacin del mdulo de elasticidad (Mdulo de

Young), y la relacin de Poisson en cilindros de concreto y ncleos de concreto

bajo esfuerzos de compresin longitudinal.

Los valores indicados en unidades SI se toman como estndar.


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51

1.5.3 Equipo

1.5.3.1 Mquina de Ensayo

Usar una mquina de ensayo capaz de aplicar una carga a la velocidad y a la

magnitud prescritas. La mquina de ensayo debe conformarse a los requisitos de la Prctica

E 4 (documento de referencia para la prctica de la verificacin de fuerzas en las maquinas

de ensayo - seccin de mquinas de ensayo tipo CRT de velocidad constante). El cabezal

esfrico y los bloques de apoyo deben cumplir con la seccin 5 de equipo (Numeral 5.2)

del mtodo de ensayo C39 /C 39M (mtodo de ensayo para la determinacin de la

resistencia a la compresin de especmenes cilndricos de concreto) ver figura 14.

Figura 14. Ensayo para Hallar el Modulo de Young del Concreto del Laboratorio de

Ensayos de Materiales (LEM-FIC-UNI)

1.5.3.2 Compresmetro

Para determinar el mdulo de elasticidad usar un dispositivo sensor adherido o no

adherido que mida con una aproximacin de 5 millonsimas, la deformacin promedio en

dos lneas de base diametralmente opuestas, cada una paralela al eje axial y centrada cerca

de la mitad de la altura del espcimen.


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52

La longitud efectiva de cada lnea base no debe ser menor que tres veces el tamao

mximo del agregado en el concreto, ni mayor que dos tercios de la altura del espcimen.

Se usa deformmetros con puntos de medida que pueden estar fijados (no adheridos) o

cementados (adheridos) al espcimen y que puedan leer de manera independiente la

deformacin en las dos lneas de base; o se puede usar un compresmetro (como el que se

observa en la Figura 15) constituido por dos anillos, uno de los cuales (ver B Figura 15)

est fijado rgidamente al espcimen y el otro (ver C Figura 15) est fijado en dos puntos

diametralmente opuestos de manera que tenga libertad de rotacin.

Figura 15. Compresmetro utilizado en el laboratorio (Laboratorio de Ensayos de

Materiales de la Facultad de Ingenieria Civil (UNI) - LEM)

En un punto de la circunferencia del anillo rotativo (c), a la mitad de los dos puntos

de soporte, usar una barra pivote (ver A Figura 15) para mantener una distancia constanteentre los dos anillos.

1.5.3.3 Especmenes de Ensayo

Los especmenes deben ser cilndricos moldeados,para moldear los cilindros de

acuerdo con los requerimientos para la elaboracin de especmenes ensayados a


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53

compresin en la Prctica C 192/C 192M, o en la Prctica C 31/C 31M (practica

estndar para la fabricacin y curado de especmenes de ensayo de concreto en el

laboratorio o en obra respectivamente). Los especmenes deben someterse a las

condiciones de curado normalizado especificadas y ser ensayados a la edad para la

cual se desea la informacin del mdulo de elasticidad. Los especmenes se deben

ensayar una hora despus de ser removidos del cuarto de o tanque de curado. Los

especmenes removidos del cuarto o tanque de curado para su ensayo se deben

mantener hmedos, cubrindolos con una lona mojada durante el intervalo de

tiempo entre su remocin del curado y la realizacin del ensayo, ver figura 16.

Los extremos de los especmenes de ensayo deben de ser perpendiculares a su eje

(+/- 0.5) y planos dentro de 0.005 mm (0.0002 pulg.). Si el espcimen no cumple

con los requisitos de planicidad, se debe de efectuar su nivelacin con un

encabezado de acuerdo con la Prctica C 617 (Prctica para el cabeceo de

especmenes cilndricos de concreto), o por medio de pulido o esmerilado. Se

permite reparar los vacos de agregados que ocurren en los extremos de los

especmenes, procurando que el rea total de los vacos no exceda el 10% del rea

del espcimen y las reparaciones se hagan antes de completar el encabezado oesmerilado. La nivelacin se debe de considerar dentro de la tolerancia de 0.05 mm

(0.002 pulg.) cuando una lmina calibradora no pase entre las superficies de los

especmenes, y una regla metlica recta sostenida contra la superficie.

Figura 16. Muestra del Prototipo de las Probetas para su Ensayo.


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1.5.4 Ecuacin de Elasticidad Segn la Norma ASTM C-469

0.0(/)( 212 E (95)

E : Mdulo de elasticidad, en libra-fuerza por pulgada cuadrada.

2 : Esfuerzo correspondiente al 40 % de la carga ltima.

1 : Esfuerzo correspondiente a la deformacin unitaria longitudinal,

1 , de 50

millonsimas.

2 : Deformacin unitaria longitudinal producida por el esfuerzo 2 .

1.6 METODOS UTILIZADOS PARA TRATAR VIBRACIONES COMO SEALES

Y EVALUAR FRECUENCIAS [16]

Cuando un objeto cambia u oscilan sus puntos respecto a su posicin de equilibrio

se le conoce como vibracin. Esta se puede estudiar como las oscilaciones mecnicas en un

sistema dinmico. A travs de transductores de oscilaciones se transforman las vibracionesen seales elctricas. Un ejemplo son los acelermetros y el mtodo LPD. Los

transductores son capaces de medir la velocidad lineal, desplazamiento y aceleracin en

sistemas sometidos a vibracin. A grandes rasgos estos reciben una seal mecnica que

convierten en elctrica, la cual se encuentra en funcin de la vibracin. Pueden estar

conectados a un sistema de registro de datos o funcionar independientemente.

1.6.1 LPD (Laser Photodeflection)[17][18]

El mtodo se basa en el mtodo espectroscpico PDS (Photo Deflection

Espectroscopy) desarrollado en el laboratorio de ptica (Facultad de Ciencias, UNI) para

evaluaciones del coeficiente de absorcin de muestras semiconductoras. El mtodo PDS se

basa en la desviacin que sufre un rayo Laser dirigido sobre la superficie de la muestra

(por ejemplo, un semiconductor) cuando una muestra es irradiada superficialmente con una

luz monocromtica modulada, si la radiacin es absorbida por el material esto produce en

su superficie un microcalentamiento lo que desva el rayo por efecto mirage, siendo


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55

detectada la desviacin por un detector ptico sincronizado (Tcnica Lockin) produciendo

una seal proporcional al grado de desviacin, o respectivamente cuanto mayor sea el

poder de absorcin de la muestra.

El mtodo LPD constituye una variante del mtodo PDS, ya que en este caso no se

va a producir el calentamiento de la superficie sino que sta se va hacer vibrar

directamente, con lo cual, cualquier vibracin de la estructura alterar el camino del rayo

reflejado, induciendo as una seal en el sistema de deteccin.

El mtodo LPD para medir vibraciones consiste en colocar en algn punto de la

estructura un dispositivo lser que experimenta un desplazamientoen su reflexin sobrela estructura en la direccin que la estructura est vibrando, este cambio de la reflexin es

recibido por el fotodetector, que transforma el desplazamiento de la luz que llega sobre

ella en seal de voltaje, figura17

Figura 17. Diagrama de la Desviacin que Experimenta el Rayo Laser Reflejado

La figura 18 muestra la curva de calibracin de la respuesta en mV de la seal y el

desplazamiento lateral en mm, que experimenta el laser sobre la muestra.


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Figura 18. Dependencia del Desplazamiento Lateral del Laser y su Respuesta en mV en el

Detector

Las seales son procesadas y guardadas en la PC en formato de sonido con

aproximadamente 480 datos por centsimo de segundo mediante el programa NeroWave,

como muestra la figura 19. Las medidas de las seales son grabadas por un cierto tiempo,

la estructura es excitada por la vibracin de los parlantes o por la vibracin producida porel ambiente natural.

Figura 19. Espectro Guardado por el Programa Nero Wave


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57

Estos datos luego son importados por el programa Origin Pro, donde se hace su

Transformada de Fourier (FFT), obtenindose un espectro como muestra la figura 20, de

Amplitud (U.A) versus Frecuencias (Hz).

Figura 20. El FFT de una Seal Usando el Programa Origin Pro, con una Seal de

Vibracin de 90.2 Hz.

1.6.2 ACELERMETROS

1.6.2.1. Acelermetro

El trmino acelermetro es aplicado en la recepcin cuyas salidas de datos estn en

funcin de la aceleracin. Ahora bien un acelermetro mide la aceleracin de un objeto al

que va unido y lo hace respecto de una masa inercial interna.

Figura 21. Diferentes Tipos de Acelermetro (marca Honeywell)


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58

1.6.2.2. Principio de Funcionamiento [19] [20]

La medicin de aceleracin puede realizarse midiendo la fuerza necesaria para

acelerar un objeto de masa conocida, para lo cual a su vez bastar medir la deflexin de un

dinammetro que sostiene a dicha masa. El modelo mecnico correspondiente a esta idea y

se muestra en la figura 22.

Figura 22.Modelo Fsico del Funcionamiento de los Acelermetros Integrados

La disposicin muestra un objeto vibrante cuya aceleracin se desea medir. Sobre

este mismo est montado el dispositivo de medicin formado por una masa m y un

resorte con constante elstica k. Lo que se desea medir es la derivada segunda deldesplazamiento del objeto vibrante, es decir

)()( txta

Para ello se medir en realidad la deformacin )()( tytx del resorte, ya que no es

sencillo medir directamente la aceleracin respecto a un sistema inercial. Buscaremos, por

lo tanto, una relacin entre esta deformacin y la aceleracin )(ta . Llamando f a la

fuerza aplicada por el resorte a la masa m , tenemos:

)()]()([ tymtytxkf (96)

de donde se obtiene

)()()( txktyktym (97)


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59

Aplicando la transformacin de Laplace (suponiendo condiciones iniciales nulas), se

obtiene

22 )(1

)(

1

)()(

o

s

sX

sk

m

sXsY

(98)

m

ko

La frecuencia natural o frecuencia de resonancia del sistema. De aqu podemos

obtener, segn

)(

)(1

1

)(1

)()(

)()(2

2

0

2

2

0 sAss

ssX

sYSX

oo

(99)

donde )(sA es la transformada de la aceleracin buscada. Esta ecuacin muestra que muy

por debajo de la resonancia, es decir para 0 , la deformacin del resorte es

aproximadamente proporcional a la aceleracin, es decir

)(1

)()(2

0

tatytx

(100)

Existen varios tipos de acelermetros posibles para resolverlo. Entre ellos tenemos:

PIEZOELECTRICOS

PIEZORESISTIVOS

TERMICO

CONDENSADOR


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60

Los microtremor hacen sus evaluaciones en tres direcciones, que podemos

relacionarlos con los ejes XYZ. Los datos son guardados por el software incorporado a la

PC tal como muestra la figura 23.

Figura 23. Seal Adquirida por el Microtremor

Luego la seal es procesada realizando sobre ellas la FFT para encontrar las

frecuencias de la estructura, que por lo general se da en unidades de aceleracin (m/s 2)

versus frecuencia (Hz).


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2. TCNICAS EXPERIMENTALES

2.1 METODO LPD

Para medir las vibraciones desde los inicios de la aplicacin del mtodo LPD [5][6], se

utilizaron los siguientes equipos:

a) Un parlante y un generador de ondas con frecuencia variable

b) Una fotocelda (fotodetector)

c) Una PC el cual tiene un sistema de interfase.

d) Un Lser

Figura 24. Equipos Usados para Medir Vibraciones por el Mtodo LPD

Figura 25. Disposicin de los Equipos para Medir Frecuencias en la Barra Empotrada en

sus Dos Extremos con el Mtodo LPD


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Figura 26. Disposicin de los Equipos para Medir Frecuencias en la Barra Empotrada en

un Extremo con el Mtodo LPD

Figura 27. Disposicin de los Equipos para Medir Frecuencias en la Viga Empotrada en sus Dos

Extremos con el Mtodo LPD


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Existen tres tcnicas para evaluar las frecuencias de los modos naturales de las

estructuras evaluadas usando el mtodo LPD, los resultados al aplicar las tcnicas estn de

acuerdo a las ecuaciones 72, 78 y en general a las propiedades de vibracin en cualquier

estructura. Una de las tcnicas est caracterizada por excitar la estructura con las

vibraciones producidas por el medio ambiente, tcnica que la conoceremos como la de

vibracin con el medio ambiente.Otra tcnica consiste en hacer vibrar la estructura con

una frecuencia variable , tcnica que la conoceremos como la del parlante de

frecuencia variable. La ltima de las tcnicas consiste en hacer vibrar la estructura con

una frecuencia de valor muy cercano a algunas de las frecuencias de un modo natural

de vibracin j (cuando j ), tcnica que la conoceremos como la resonancia.

Cuando se analiza con un parlante con frecuencia variable como fuente de

vibracin de las estructuras, la tcnica usada nos dice que se debe grabar por un tiempo

corto cada vibracin generada por la frecuencia del parlante y esta frecuencia es variada

generalmente en 0.2 Hz, se hace el FFT para cada intervalo y se anota del espectro FFT el

valor de la amplitud y la frecuencia cercana a la frecuencia sometida a la estructura en

ese intervalo de grabacin. Se grafica estos datos notndose, que para una frecuencia

propia de la estructura se produce el efecto de resonancia resultado que describe la

ecuacin (72) y (78), donde la frecuencia natural de la estructura es el valor mximo, como

muestra la figura 28A.

Figura 28A. Frecuencia del Modo de Vibracin en la Estructura igual a 126.12 Hz


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64

Cuando se analiza por la tcnica de la resonancia, se obtiene por lo general

algunas frecuencias suma de los modos j y la frecuencia de vibracin (de acuerdo

con la ecuacin 72, 78 y en general con la propiedad de vibracin de cualquier estructura

sometida a una frecuencia de vibracin ) de amplitud considerable cuyos valores son las

de un modo de vibracin. En la figura 28B, se muestra el resultado de hacer vibrar una

estructura con una frecuencia igual a 28.5 Hz, obtenindose un frecuencia natural de

vibracin de 28 Hz.

Figura 28B. Frecuencias Obtenidas por Resonancia Debido a una Frecuencia Igual a 28.5

Hz

En el mtodo LPD para encontrar las frecuencias naturales de vibracin, se deja

que el medio ambiente excite la estructura, dentro de un tiempo determinado. Aqu se

obtiene muchas frecuencias pues el medio ambiente enva varias frecuencias y los

resultados estn de acuerdo con la ecuacin 72, 78 y en general en concordancia con la

propiedad de vibracin de cualquier estructura. Para encontrar las frecuencias resultantesse anota todas aquellas frecuencias de amplitud considerable que se repiten en la mayor

parte de la grabacin, y el valor de la frecuencia resultante es el promedio de las

frecuencias anotadas. En la figura 29A se muestra las frecuencias calculadas en un tiempo

de grabacin de 20:00 a 30:00 minutos obtenindose las frecuencias iguales a 10.36 Hz,

22.79 Hz, 37.42 Hz, 61.93 Hz y 82.01 Hz.


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Figura 29A. Relacin de Tiempo Evaluado y Frecuencias Obtenidas, cuando la Fuente

Excitacin es el Medio Ambiente

Para encontrar las frecuencias del modo de vibracin de una estructura se debe

considerar solo aquellas frecuencias de gran amplitud que se repiten en la mayor parte dela grabacin, como muestra la figura 29B donde el valor de 9.90 Hz es un modo de

vibracin despus de comprobar que est presente en la mayor parte de la grabacin.

Figura 28B. Frecuencias Evaluadas con Vibracin Hecha por el Medio Ambiente


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2.2 MICROTREMOR

Los equipos utilizados con este metodo (figuras 30, 31 y 32)

-Microtremor, con serie N 00105-200 CR-4.5-1, distribuido por Tokyo Soil Research Co.

Ltd, con un peso de 1.566 Kg.

-PC, con un software incorporado para guardar y procesar los datos evaluados.

Figura 30. Disposicin de los Equipos para Evaluar las Frecuencias en la Barra Empotradaen sus Dos Extremos con el Microtremor

Figura 31. Disposicin de los Equipos para Evaluar las Frecuencias en la Barra Empotrada

en un Extremo con el Microtremor


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Figura 32. Disposicin de los Equipos para Evaluar las Frecuencias en la Viga Empotrada

en sus Dos Extremos con el Microtremor

La tcnica utilizada en este mtodo, consiste en evaluar simultneamente el

microtremor sobre la estructura y otro sobre el suelo, para determinar cul era la

frecuencia en la estructura y cul fue la que estaba en el suelo. La figura 33 muestra un

ejemplo, dos lecturas de microtremor y la tercera seal es la del suelo.

Figura 33. Espectro generado por tres Microtremor


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3. RESULTADOS

3.1 PARAMETROS FISICOS DE LA BARRA

Datos proporcionados por la Empresa BOHLER (Luis Castro Ronceros 777- altura

cuadra 20 Av. ArgentinaLima), donde se compro 2.5 metros de Acero con cdigo V320.

Tabla 2. Parmetros Fsicos de la Barra Utilizada con Cdigo V320

Acero BOHLER V320

Physikalische Eigenschaften Physical properties

Dichte bei /

Density at ............................................20C ....................7,85 .........kg/dm3

Wrmeleitfhigkeit bei /

Thermal conductivity at .......................20C ....................42,0 .........W/(m.K)

Spezifische Wrme bei /

Specific heat at ...................................20C ....................460 ..........J/(kg.K)

Spez. elektr. Widerstand bei /

Electrical resistivity at...........................20C ....................0,19 .........Ohm.mm2/m

Elastizittsmodul bei /

Modulus of elasticity at ........................20C ....................210 x 103.N/mm2

3.2 PARAMETROS FISICOS DE LOS MATERIALES USADOS EN LA VIGA

3.2.1 Concreto

(Evaluado en el Laboratorio N 12 de Ensayo de Materiales UNI FIC)

Para evaluar la densidad del concreto se confecciono 4 probetas, con cdigos MM1,

MM2, MM3 Y MM4. A cada uno de ellos se evalu su largo, dimetro y por ultimo su

peso. Las probetas se muestran en la figura 34.


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Figura 34. Probetas Fabricadas con el Concreto Usado en la Viga

En la tabla 3 se muestran los datos evaluados obteniendo una densidad promedio

Tabla 3. Dimensiones y Masa de las Probetas Ensayadas

3/57.2365 mKgpro medio

Al evaluar el modulo de elasticidad del concreto utilizado (modulo de Young) en la

ecuacin proporcionada por la Norma ASTM C-469 (ecuaciones 94 y 95), se obtuvieronlos siguientes datos de tablas 4 y 5

CODIGO DIAMETRO

(cm)

ALTURA

(cm)

MASA

(Kg)

DENSIDAD

(Kg/m3

)

MM1 15.13 31.2 13.26 2363.86

MM2 15.11 30.8 13.31 2409.95

MM3 15.31 30.3 13.19 2364.62

MM4 15.37 30.8 13.28 2323.86


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70

Tabla 4. Datos de La Probeta con Cdigo MM1

0L : 20.2 cm

RUPTURA:

49200 Kg-f

E= 249059 Kg-

f/cm2

Tabla 5. Datos de la Probeta con Cdigo MM2

0L : 20.2 cmRUPTURA:

50800 Kg-fE= 242084 Kg-

f/cm2

El modulo de elasticidad promedio obtenido es: 2/5.245571 cmfKgE .

MM1

FUERZA(Kg-f) DeformacinUnitaria (x 10

-4

pulgadas)

Deformacin Unitaria (x 10-4

pulgadas)

0 0 0

2000 6 5

4000 14 12

6000 21 19

8000 27 25

10000 35 33

12000 42 40

14000 49 48

16000 56 52

18000 63 62

20000 70 68

MM2

FUERZA(Kg-f)

DeformacinUnitaria (x 10

-4

pulgadas)

Deformacin Unitaria (x 10-4

pulgadas)

0 0 0

2000 5 5

4000 12 11

6000 19 18

8000 26 25

10000 33 32

12000 41 3914000 48 46

16000 55 53

18000 62 60

20000 69 70

22000 76 75


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71

3.2.2 Parmetros Fsicos del Fierro Corrugado de Aceros Arequipa [21]

La fabricacin del fierro corrugado esta normada por los reglamentos ASTM A 615

Grado 60 y la Norma Tcnica Peruana NTP 341.031 2001. Estas normas establecen las

diversas caractersticas del producto entre las que podemos citar: el peso mtrico y su

variacin permisible, las corrugas su forma y su geometra.

Tabla 6. Medidas Fsicas de los Fierros Corrugados Aceros Arequipa

De los valores de la tabla anterior se encuentra

2926

/102.196/102 mNmKgE 3/7.7851 mKg

Dimetro = 6 mm

Denominacin

de la Barra

Norma Tcnica Peruana (N.T.P) 341.031 2001 Grado 60 o

American Standard for Testing and Materials (ASTM) A 615 Grado 60

Peso Mtrico Nominal (Kg/mm) Peso Mtrico Nominal Permitido

(-6 %) (Kg/mm)

6 mm 0.220 0.207

8 mm 0.395 0.371

3/8 0.560 0.526

12 mm 0.888 0.835

1/2 0.994 0.934

5/8 1.552 1.459

3/4 2.235 2.101

1 3.973 3.735

1 3/8 7.907 7.432


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72

3.3 DIMENSIONES DE LAS BARRAS Y VIGA EVALUADA

3.3.1 Dimensiones de la Barra Empotrada en sus dos Extremos

Figura 35. Dimensiones de la Barra Empotrada en sus Dos Extremos

mL 694.1

mmdiametrod 7.20)(

2410801.3)( mxltransversaareaS

484

10150.12

mxradio

IZ

, de la Tabla 1


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73

3.3.2 Dimensiones de la Barra Empotrada en un Extremo

Figura 36. Dimensiones de la Barra Empotrada en un Extremo.

mL 856.0

mmdiametrod 7.20)(

2410801.3)( mxltransversaareaS

484

10150.12

mxradio

IZ

, de la Tabla 1


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74

3.3.3 Dimensiones de la Viga Empotrada en sus Dos Extremos

Figura 37. Dimensiones de la Viga Empotrada en sus Dos Extremos

Debemos mencionar que la viga tiene incorporado en su interior dos fierros deconstruccin corrugado de 6 mm de dimetro.

mL 77.1

cmalturahcmbaseb 5.10)(10)(

2410105)( mxltransversaareaS

483

106875.964

12

mxhb

IZ , de la Tabla 1


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3.4 FRECUENCIAS OBTENIDAS SEGN LA TEORIA

Al aplicar la solucin de la ecuacin (16) de Euler- Bernoulli se dejo de lado la

solucin de la ecuacin de Rayleigh (47) y la solucin de la ecuacin de Timoshenko

(48), por las siguientes razones [22][23]

Por lo sealado en la seccin 1.1.2 y 1.1.5, la dimensin de la longitud de la

estructuras construidas es alargada en comparacin a la dimensin de su rea

transversal

Considerando que la Viga Construida y las Barras utilizadas son bien regulares (la

viga fue construida por el LEM-FIC-UNI, la barra comprada en la empresa Bohler)

La fuente de excitacin es el medio ambiente y los parlantes , esta no genera una

rotacin del rea transversal a lo largo de la estructura (ecuacin de Rayleigh) ni

tampoco la seccin transversal en cualquier punto de la estructura deja de ser

perpendicular al eje de la barra (ecuacin de Ti

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