Analisis Diferencial Aplicado a Mecanica de FLuidos I

2. Anlisis diferencial en Mecnica de Fluidos

_________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecnica de Fluidos JMC 04

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UNIVERSIDAD DE OVIEDO Escuela Politcnica Superior de Ingeniera de Gijn Ingenieros Industriales Curso 2004-2005 Apuntes de Mecnica de Fluidos ANLISIS DIFERENCIAL EN MECNICA DE FLUIDOS.

1. Cinemtica y dinmica de fluidos. 2. Ecuaciones de constitucin. 3. Ecuaciones de conservacin 4. Problemas resueltos.

Julin Martnez de la Calle rea de Mecnica de Fluidos

Gijn noviembre 2004



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ANLISIS DIFERENCIAL EN MECNICA DE FLUIDOS 1. CINEMTICA Y DINMICA DE FLUIDOS 1.1. Mtodos de anlisis en Mecnica de Fluidos: Lagrangiano y Euleriano. 3 1.2. Tipos de anlisis en Mecnica de Fluidos: Diferencial, Dimensional e Integral. 4 1.3. Cinemtica de Fluidos: propiedades del vector velocidad. 5 1.3.1. Derivada sustancial o material. 5 1.3.2. El operador NABLA: gradiente, divergencia y laplaciana. 7 1.4. Dinmica de Fluidos: fuerzas macroscpicas sobre los fluidos. 10 1.4.1. Fuerzas de volumen. 10 1.4.2. Fuerzas de superficie. 11 1.4.3. Tensor de tensiones. 11 1.5. Tipos de flujo. 14 2. ECUACIONES DE CONSTITUCIN 2.1. Comportamiento mecnico: tensor de velocidad de deformacin. 15 2.2. Fluidos Stokesianos: tensor de tensiones viscosas. 18 2.3. Fluidos Newtonianos. 18 2.3.1. Ec. de NAVIER-POISSON. 18 2.3.3. Tensor de tensiones de un fluido newtoniano. 19 2.4. Comportamiento trmico. 20 2.4.1. Ecuaciones de Estado. 2.4.2. Ecuaciones de transmisin de calor. 3. ECUACIONES DE CONSERVACIN. 3.1. Ecuacin diferencial de conservacin de masa: ecuacin de continuidad. 21 3.2. Ecuacin diferencial de conservacin de cantidad de movimiento: ecuacin de movimiento de CAUCHY. 24 3.2.1. Fluido no viscoso: ecuacin de EULER. 26 3.2.2. Flujo no viscoso en lnea de corriente: ecuacin de BERNOULLI. 28 3.2.3. Fluido newtoniano: ecuaciones de NAVIER-STOKES. 29 3.2.4. La funcin de corriente y la funcin potencial de velocidad. 30 3.3. Ecuacin diferencial de conservacin de la energa: ecuacin de la energa. 32 3.3.1. Ecuacin de energa interna. 33 3.3.2. Ecuacin de entalpa. 34 3.3.3. Ecuacin de entropa. 34 3.4. Condiciones de contorno. 35 4. PROBLEMAS RESUELTOS. 4.1. Mtodos de anlisis: Euleriano y Lagrangiano. 38 4.2. Aplicacin de la ecuacin de continuidad: criterios de incompresibilidad. 40 4.3. Aplicacin de las ecuaciones de continuidad y de BERNOULLI: descarga de depsitos. 42 4.4. Aplicacin de la ecuacin de BERNOULLI i: flujo no viscoso entre discos horizontales. 45 4.5. Aplicacin de la ecuacin de BERNOULLI i no estacionario: oscilaciones en un tubo en U. 48 4.6. Aplicacin de la ecuacin de BERNOULLI con aceleracin de arrastre: bomba rotativa. 50 4.7. Aplicacin de las ecuaciones de NAVIER-STOKES: flujo de COUETTE-POISEUILLE. 53 4.8. Aplicacin de la ecuacin de NAVIER-STOKES: flujo viscoso entre discos horizontales. 55 4.9. Aplicacin de la ecuacin de Energa: distribucin de temperaturas en flujo de Poiseuille. 59 ANEXOS. A1: Ecuaciones de conservacin en coordenadas cartesianas, cilndricas y esfricas A2: Newton, Berrnoulli, Euler, Lagrange, Laplace, Poisson, Navier, Cauchy, Stokes, Fraude, Mach, Reynolds, Weber, Prandtl, von Karman.



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A(t0) A(t1)

A(t2)

A(t3)

1. CINEMTICA Y DINMICA DE FLUIDOS 1.1. Mtodos de anlisis en Mecnica de Fluidos: Lagrangiano y Euleriano. 1.2. Tipos de anlisis en Mecnica de Fluidos: Diferencial, Dimensional e Integral. 1.3. Cinemtica de Fluidos: propiedades del vector velocidad. 1.3.1. Derivada sustancial o material. 1.3.2. El operador NABLA: gradiente, divergencia y laplaciana. 1.4. Dinmica de Fluidos: fuerzas macroscpicas sobre los fluidos. 1.4.1. Fuerzas de volumen. 1.4.2. Fuerzas de superficie. 1.4.3. Tensor de tensiones. 1.5. Tipos de flujo. 1.1. MTODOS EN MECNICA DE FLUIDOS: LAGRANGIANO Y EULERIANO. El mbito general de la Mecnica de Fluidos, es la interaccin entre fluidos y su entorno. Adems el fluido esta constituido por una sucesin continua de partculas que interaccionan entre si y entre los contornos. La partcula fluida esta formada por una sucesin continua de puntos materiales, que integran un volumen infinitesimal; que en el proceso de fluir, se deforma por la interaccin con el resto de fluido, permaneciendo su masa y su volumen elementales constantes, es decir, la densidad en toda la extensin de la partcula fluida es constante.

Como metodologa de estudio se dispone de dos alternativas: - La identificacin de cada partcula fluida y su seguimiento en el tiempo; es decir, hay que

determinan la posicin de la partcula en funcin del tiempo, adems de conocer las magnitudes asociadas a cada partcula. Este el mtodo de LAGRANGE, que es el usado normalmente en Mecnica de Slidos.

- En Mecnica de Fluidos, es suficiente conocer el valor de las propiedades en los diversos puntos

del campo fluido a lo largo del tiempo, con independencia de la partcula que lo ocupa en un instante determinado; sta es la base del mtodo de EULER, en el que las magnitudes de las propiedades de una partcula fluida en un determinado instante, vienen dadas por los valores de las propiedades en el punto que es ocupado por la partcula en el citado instante. En el mtodo Euleriano, se deben determinar los campos de propiedades; as, el campo de presiones, es la expresin espacial y temporal de la presin: p=p(x,y,z,t), con lo que una partcula que en un instante t0, ocupe una posicin (x0, y0, z0), tiene una presin dada por el campo de presiones: p=p(x0,y0,z0,t0)

Al movimiento de un fluido se le denomina flujo, y en su anlisis es interesante tener algn tipo de

representacin. Cada mtodo de anlisis utiliza diferentes procedimientos de representacin:

- En el mtodo lagrangiano, se definen las trayectorias de las partculas como lugar geomtrico de las diferentes posiciones temporales de las partculas. La trayectoria de una partcula es el lugar geomtrico de las posiciones sucesivas, a lo largo del tiempo, de la partcula, que en el instante inicial (t0) estaba en la posicin inicial ( 0r

r ). Fig.1.1.: Trayectoria de una partcula A a lo largo del tiempo: Mtodo Lagrangiano



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- En el mtodo euleriano, se definen las lneas de corriente, que son las envolventes tangenciales de los vectores velocidad de todas las partculas en un instante determinado.

Fig. 1.2. Lnea de Corriente en un instante dado (t0) en distintos puntos ocupados por distintas partculas A,B,...

El vector unitario de la velocidad, es el vector unitario de la direccin tangencial, en determinado en un punto de la lnea de corriente; con lo que las ecuaciones diferenciales que dan lugar a las lneas de corriente son:

( )dx dy dz

u x, y,z, t v(x, y,z, t) w(x, y,z, t)= =

(1.)

1.2. TIPOS DE ANLISIS EN MECNICA DE FLUIDOS. La dinmica de fluidos trata del movimiento de los fluidos, a lo que se denomina flujo, y de sus interacciones con el entorno. En el estudio de flujos hay que analizar el estado de movimiento del fluido, definido por las ecuaciones de conservacin (leyes fundamentales en el movimiento de fluidos), por las ecuaciones de constitucin (leyes del comportamiento del fluido) y por las condiciones de contorno (impuestas por la geometra y el entorno).

Las ecuaciones de conservacin y de constitucin, junto con las condiciones de contorno, aplicadas a cada

una de las partculas del fluido, dan sistemas de ecuaciones diferenciales, cuya resolucin lleva a definir el flujo, en cuanto al campo de velocidades (cinemtica) y al campo de fuerzas (dinmica). Este tipo de anlisis diferencial, da sistemas de ecuaciones simultaneas en derivadas parciales, que son de difcil o imposible resolucin; aunque pueden encontrarse soluciones analticas con hiptesis restrictivas y en determinados casos, en donde se pueden obtener soluciones parciales por clculo numrico, utilizando las tcnicas actuales de simulacin que constituye la mecnica de fluidos computacional (CFD: computational fluid mechanics), en donde las derivadas se sustituyen por relaciones algebraicas en un nmero finito de puntos del flujo (mallado).

Si lo que se pretende obtener, no es el estado de movimiento del fluido, sino sus efectos sobre una

determinada regin del flujo, se puede establecer otro tipo de anlisis que evale las caractersticas globales del flujo: caudales, fuerzas, momentos, potencias,... A la regin de estudio, en donde se consideran las interrelaciones entre entorno y flujo, se le denomina volumen de control; las modificaciones sobre el entorno que introduce el flujo en su entrada-residencia-salida del volumen de control, o que el entorno introduce en las propiedades del flujo, vienen determinadas por las ecuaciones integrales de conservacin aplicadas al sistema aislado entorno-volumen de control. Este mtodo de anlisis integral, se fundamenta en las ecuaciones integrales que dan las velocidades de variacin de las propiedades del fluido a su paso por el volumen de control.

Cuando el flujo es complejo y el anlisis diferencial no aporta soluciones (por ser insuficientes las

ecuaciones o porque la resolucin de los sistemas en derivadas parciales no es posible); y debido a que el anlisis integral da resultados globales; es necesario recurrir a un anlisis experimental, en donde los resultados se obtienen a partir de las magnitudes medidas en los experimentos. En este mtodo de anlisis aparecen dos problemas propios: el gran nmero de variables que intervienen en la descripcin del flujo y la imposibilidad, en ciertos casos, de ensayar en condiciones reales. Para abordar estos problemas, se dispone del anlisis

A(t0)

B(t0)

(x0,y0,z0)

(x1,y1,z1) v (x0,y0,z0,to)

v (x1,y1,z1,t0)



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dimensional que permite reducir el nmero de variables y la teora de modelos, con la que se correlacionan los resultados experimentales de un modelo con los que tendra su prototipo.

El anlisis diferencial puede ser utilizado para cualquier tipo de flujo, pero la dificultad de establecer y

resolver sistemas de ecuaciones diferenciales, limita el mtodo; tambin el anlisis experimental puede aplicarse a cualquier flujo, pero las dificultades inherentes a las tcnicas experimentales, presupuesto y universalidad, son las que limitan el mtodo; en cuanto al anlisis integral, si que aporta resultados en el estudio tcnico de flujos, pero siempre de magnitudes globales.

El anlisis diferencial comenz con EULER y LAGRANGE en el siglo XVIII, el anlisis dimensional tuvo

sus primeros pasos con RAYLEIG a finales del siglo XIX, y el anlisis integral, aunque propuesto por EULER, se desarrollo a mediados del siglo XX. En la actualidad las potentes tcnicas de clculo numrico, implementadas en ordenadores cada vez ms rpidos, han hecho posible, el resurgimiento del anlisis diferencial, en cuanto a la posibilidad de resolucin de flujos cada vez ms complejos, en donde se consideran los efectos viscosos. En cuanto al anlisis experimental, el desarrollo de sensores especficos (piezoelctricos de presin, extensiomtricos de fuerza,...) y de tcnicas cada vez menos intrusivas (velocimetra laser-doppler, hilo radiante,...), esta aportando medidas cada vez ms fiables.

1.3. CINEMTICA DE FLUIDOS: PROPIEDADES DEL VECTOR VELOCIDAD. El trmino cinemtica esta asociado a las propiedades del campo de velocidades. En la descripcin Euleriana del flujo, la velocidad local del fluido (x, y,z, t)vr es la variable fundamental. Se pueden tener dos casos extremos:

- flujo estacionario, cuando la velocidad es independiente del tiempo, con lo que en un determinado

punto, la velocidad (y en general cualquier propiedad) no vara con el tiempo, es decir la velocidad solo depende de la posicin:

(x, y,z) 0t

= =vv vrr r

(2.) - flujo uniforme, cuando la velocidad no depende de la posicin, con lo que en un determinado

instante, la velocidad (y en general cualquier propiedad) es la misma en todos los puntos del campo fluido, es decir la velocidad solo depende del tiempo, y su gradiente es nulo.

(t) 0= =v v vr r r (3.)

1.3.1. DERIVADA SUSTANCIAL O MATERIAL. Consideremos una propiedad intensiva del campo fluido, por ejemplo, la presin termodinmica. El campo de presiones, es tetradimensional: p=p(x,y,z,t), y para su obtencin, hay que resolver la ecuacin diferencial:

p p p pdp p(x dx, y dy,z dz, t dt) p(x, y,z, t) dt dx dy dzt x y z

= + + + + = + + + para lo cual, hay que determinar las 4 variaciones parciales de la presin: la temporal y las tres espaciales. Una vez conocido el campo de presiones, si se sigue a una partcula, la magnitud de su presin, viene dada por el valor del campo de presiones, que es funcin de la posicin en que se encuentre en un determinado instante. La variacin temporal del campo de presiones, viene dada por:

dp p dx p dy p dz pdt t dt x dt y dt z

= + + +



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en las expresiones anteriores, los espacios recorridos elementales: dx. dy, dz, representan los incrementos espaciales, en los que se conoce el campo fluido. Si los citados incrementos, los marcan las partculas en su movimiento a una determinada velocidad1; con lo que los respectivos incrementos espaciales son: dx = udt; dy = vdt; dz = wdt en donde u,v,w son las componentes cartesianas del vector velocidad: u v w= + + v i j kr r rr con todo, se tiene, que para un observador que se mueve con la velocidad del fluido, la variacin temporal de la presin es:

dt

dp p p p pu v wdt t x y z=

= + + + dr vr r

(4.) en notacin compacta, se tiene:

dt

dp p pdt t=

= + dr vvr rr

(5.)

en donde el operador t

+ vr , se denomina derivada sustancial o material, y representa la velocidad de

cambio de una determinada propiedad de una partcula de fluido en su movimiento. Se suele denotar, o bien por

dt

dpdt =dr v

r r, o bien por D

Dt. As, en el caso consideradode la presin termodinmica, su derivada material es:

Dp p pDt t

= + vr

(6.)

en donde la variacin local es: tp

, que evala la variacin temporal de la presin en un determinado punto

y la variacin convectiva es: pvr , que evala la variacin de la presin (por unidad de tiempo) de un punto a otro, al moverse el fluido por un gradiente de presiones. el termino p se denomina gradiente de presin, y su expresin depende del sistema de coordenadas:

coordenadas cartesianas: p p ppx y z

= + + i j kr r r

coordenadas cilndricas: p 1 p ppr r z

= + + r zu urr r

Si consideramos una propiedad vectorial, como por ejemplo la misma velocidad, su derivada material, viene determinada por:

Coordenadas cartesianas: D u v wDt t x y z t

= + + + = + v v v v v v v vr r r r r r r r

La aceleracin del fluido, es la derivada material de la velocidad, y es suma de una aceleracin local y una aceleracin convectiva:

DDt t

v va = = + v vr rr r r

(7.)

aceleracin local t

vr

aceleracin convectiva u u u v v v w w wu v w u v w u v wx y z x y z x y z

= + + + + + + + + v v i j kr r rr r

1 es como si el campo fluido se estuviera marcando por un observador que se mueve con la velocidad del fluido



7

El gradiente de velocidad, es un tensor, cuyas componentes cartesianas son:

( )

u v wx x x x

u v w= u v wy y y y

u v wz z z z

=

vr

(8.) Si el sistema de referencia es no inercial, para obtener la aceleracin absoluta, hay que aadir a la aceleracin relativa, calculada anteriormente, la aceleracin de arrastre del sistema de referencia no inercial2, respecto a un sistema de referencia inercial:

( )

relativa

absoluta relativa arrastreSRNI

arrastre 0 SRNI SRNI SRNI

D Dt t

d 2dt

= = + = += + + +

v va v va a a

a a r r v

r rr r rr r r r r r rr r r r r

en donde la aceleracin de arrastre, tiene 4 sumandos, respectivamente:

0 =ar aceleracin lineal del sistema de referencia no inercial (SRNI) respecto al inercial SRNId

dtr

r r = aceleracin tangencial de la partcula ( )SRNI SRNI rr r r = aceleracin centrpeta de la partcula

SRNI vr r2 = aceleracin de CORIOLIS. en SRNI

r es la velocidad de giro del SRNI, respecto al sistema de referencial inercial, y rr es su vector de posicin en el SRNI 1.3.2. EL OPERADOR NABLA. El operador NABLA: , se utiliza para compactar las expresiones cinemticas. Es un operador vectorial, que se puede aplicar a un escalar o a un vector, representando su gradiente. NABLA es un operador vectorial, que se puede operar con otro vector o con un tensor. As el producto escalar del operador NABLA representa la divergencia: si el producto escalar es con otro vector, se tiene la divergencia del vector, y si el producto escalar es con un tensor se tiene la divergencia del tensor. El producto vectorial del operador NABLA con un vector, representa el rotacional del vector:

OPERADOR NABLA en coordenadas cartesianas: x y z = + + i j k

r r r

OPERADOR NABLA en coordenadas cilndricas: r1

r r z = + + zu u

rr r

OPERADOR NABLA en coordenadas esfricas: 1 1r r rsen

= + + r u u ur r r

2 Un sistema de referencia NO INERCIAL, se mueve con velocidad no constante, respecto a un sistema de referencia INERCIAL (a velocidad constante).



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GRADIENTE: la aplicacin del operador NABLA a una magnitud, representa el gradiente de la magnitud a lo largo del espacio: es decir, su variacin de un punto a otro. Cuando el operador se aplica a un escalar se obtiene un vector que representa la variacin del escalar desde un punto a otro del flujo y que se denomina gradiente de la magnitud escalar. Cuando el operador se aplica a un vector se obtiene un tensor que representa la variacin del vector desde un punto a otro del flujo, que se denomina gradiente de la magnitud vectorial.

GRADIENTE DE PRESIN:

p p pcartesianasx x zpp 1 p pcilndricasr r z

= + + = = + + r z

i j k

u u u

r r r

r r r

GRADIENTE DE TEMPERATURA:

T T Tcartesianasx x zTT 1 T Tcilndricasr r z

= + + = = + + r z

i j k

u u u

r r r

r r r

GRADIENTE DE DENSIDAD: cartesianas

x x z1cilndricas

r r z

= + + = = + + r z

i j k

u u u

r r r

r r r

GRADIENTE DE VELOCIDAD: ( )

u v wx x x x

u v wu v wy y y y

u v wz z z z

= =

vr

DIVERGENCIA: el producto escalar del operador con un vector, es un escalar que se denomina divergencia del vector. El producto escalar del operador NABLA con el vector velocidad, es la divergencia de la velocidad; que representa la velocidad de variacin de la densidad por unidad de densidad3 (que tambin es igual a la velocidad de variacin del volumen por unidad de volumen)

DIVERGENCIA DE VELOCIDAD: ( )r zu v wcartesianasx x z

r v v v1 1cilndricasr r r z

= + + = = + + vr

El producto escalar del operador con un tensor, es un vector que se denomina divergencia del tensor; as la divergencia del tensor de tensiones es el vector de tensiones de contacto (fuerzas de superficie por unidad de rea) sobre una determinada partcula fluida:

yx xy yy zy yzxx zx xz zzx y z x y z x y z

= + + + + + + + + i j kr r r

3 Ver ecuacin de continuidad: 1 d

dt = v

r



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ROTACIONAL: el producto vectorial del operador con un vector, es un vector que se denomina rotacional. El producto vectorial del operador NABLA con el vector velocidad es el rotacional de la velocidad que representa la velocidad angular local de una partcula fluida (el doble), y que se denomina vorticidad: ROTACIONAL DE VELOCIDAD: VORTICIDAD = =v rr =2 r

Cartesianas w v u w v uy z z x x y

= + + v i j kr r rr

Cilndricas ( )z r z rr vvv v v v1 1 1r z z r r r r

= + + r zv u u ur r r r

LAPLACIANA: la divergencia de un gradiente, se denomina laplaciana; que cuando se aplica a un escalar da lugar a otro escalar, y cuando se aplica a un vector da otro vector. Como ejemplos significativos consideraremos la laplaciana de temperatura y la laplaciana de velocidad LAPLACIANA DE TEMPERATURA: ( ) 2T T =

Cartesianas 22

2

2

2

22

zT

yT

xTT

++

=

Cilndricas 22

2

2

22

22

zTT

r1

rT

rT

r1T

++

+=

Esfricas 2

2 22 2 2 2 2

1 T 1 T 1 TT r senr r r r sen r r sen

= + + LAPLACIANA DE VELOCIDAD: ( ) 2 = v vr r

Cartesianas: 2 2 2 2 2 2 2 2 2

22 2 2 2 2 2 2 2 2

u u u v v v w w wx y z x y z x y z

= + + + + + + + + v i j k

r r rr

Cilndricas:

2 2 22 r r r r r

2 2 2 2 2 2

2 2 2r

2 2 2 2 2 2

2 2 2z z z z

2 2 2 2

vv v v v v1 1 2 r r r r z r r

v v v v v v1 1 2 r r r r z r r

v v v v1 1 r r r r z

= + + + + + + + + + + + + + +

r

z

v u

u

u

r r

r

r

Esfricas:

2 2r r2

2 r2 2 2

2 r2 2

vv v2 1 v vr tg sen

vv2 1 v v 2cosr r sen

vv1 v v 2sen 2cosr sen

= + + + + + + + +

+

rv u

u

u

r r

r

r



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1.4. DINMICA DE FLUIDOS: FUERZAS MACROCPICAS. En el Anlisis Diferencial de Fluidos, hemos considerado como volumen de control a la partcula fluida, que es una porcin de fluido de dimensiones infinitesimales y arbitrarias. El tamao esta en relacin a las dimensiones del equipo de medida y del tiempo de medicin. En todo caso los valores de las magnitudes son medias temporales y espaciales, referidas a un intervalo de tiempo elemental y al conjunto de molculas que integran la partcula fluida.

Para su anlisis, la partcula fluida se asla del fluido que la envuelve mediante las superficies de

contacto partcula-fluido, y en este estado de equilibrio de la partcula aislada, se analizan las fuerzas que la mantienen en equilibrio; estas fuerzas se dividen en tres tipos: fuerzas de volumen, fuerzas de superficie y fuerzas de inercia.

1.4.1. FUERZAS DE VOLUMEN. Las fuerzas de volumen, son fuerzas dbiles de largo alcance, actan sobre cada elemento de volumen del fluido, y son debidas a campos de fuerzas externos. La fuerza elemental, que ejerce el campo externo, sobre el elemento de volumen, por unidad de volumen es:

V VddV

=F fr r

El campo externo de fuerzas, ms habitual, es el gravitatorio terrestre, en donde la fuerza por unidad de volumen, viene determinada por la densidad de la partcula fluida y la aceleracin gravitacional ( g= g krr ) V = f g

r r Si la partcula fluida, tiene una determinada densidad de carga (q=dq/dV), y esta inmersa en un campo elctrico de intensidad E

r, la fuerza elemental por unidad de volumen es:

V q= f E

r r

Si la partcula fluida, tiene una determinada densidad de carga (q=dq/dV), y esta inmersa en un campo magntico de intensidad B

r, la fuerza elemental por unidad de volumen es:

V q= f v

r rr En general, si la partcula cargada, esta en un campo electromagntico, se tiene la fuerza de LORENTZ: ( )V q= f E + vr r rr Genricamente, consideraremos como expresin de la fuerza elemental por unidad de volumen, debida a la accin de un campo de fuerzas externos:

VV

ddV

= = F f gr r r

(9.) Si el sistema de referencia es no inercial, a la aceleracin absoluta gr , hay que restarle la aceleracin de arrastre SRNIa

r (del sistema de referencia no inercial respecto a un sistema de referencia inercial), para poder establecer el equilibrio de todas las fuerzas, en el sistema de referencia no inercial.

( )V V SRNIddV = = F f g - ar r r r

( )SRNISRNI 0 SRNI SRNI SRNIda a r r 2 vdt= + + + rr r r r r r r r



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x

y

z

y=cte. x=cte.

z=cte.

1.4.2. FUERZAS DE SUPERFICIE. Las fuerzas de contacto, que sobre las superficies de una partcula fluido en movimiento, ejerce el fluido que la rodea, se denominan fuerzas de superficie. Son debidas a la agitacin molecular y a la interaccin molecular, por lo que son apreciables slo a distancias del orden de la interaccin molecular. Se puede demostrar que la resultante de las fuerzas elementales de superficie (por unidad de volumen), sobre una partcula fluida, viene determinado por la divergencia de un tensor asociado al punto por el que pasa la partcula, y que se denomina tensor de tensiones:

SS

ddV

= = F fr r

(10.) 1.4.3. TENSOR DE TENSIONES. En un determinado elemento de rea de la partcula fluida, las fuerzas de superficie son proporcionales al rea de contacto con el resto del fluido; y adems por el principio de accin-reaccin, la fuerza que el resto de fluido hace sobre la partcula a travs del citado elemento de rea, est equilibrada por la correspondiente fuerza que la partcula hace sobre el resto de fluido. A la fuerza de contacto elemental por unidad de rea de contacto, se le denomina tensin. Sobre un determinado elemento de rea, la tensin (resultante elemental de las fuerzas de superficie, por unidad de rea de contacto), se pueden descomponer en tres componentes elementales ortogonales: una componente en la direccin normal (del elemento de rea) y dos en direcciones tangenciales, es decir una tensin normal y dos tensiones tangenciales. Consideremos un punto material como interseccin de 3 planos ortogonales, cada uno de los cuales esta marcando una direccin normal y dos tangenciales, con lo que se tendr en conjunto, en el citado punto material, 3 tensiones normales y 6 tensiones tangenciales, que se agrupan en el denominado tensor de tensiones:

xx yx yz

xy yy zy

xz yz zz

=

Fig. 1.3. Tensor de tensiones en un punto.

yz

zz

xz

yx

zx

xx

yy

zy

xy



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( )xzxz dz dxdyz 2 +

( )xzxz dz dxdyz 2 +

xz

( )xyxy dy dxdzy 2 +

xy

( )xyxy dy dxdzy 2 +

( )xxxx dx dydzx 2 +

( )xxxx dx dydzx 2 +

xx

dx

x y

z

dx

dy

dz

cdg

Consideremos una partcula fluida elemental, en coordenadas cartesianas, de tamao dxdydz, en cuyo centro de gravedad, se tiene el tensor de tensiones . El balance de fuerzas elementales de superficie, en la direccin x, es: (1) sobre las caras x=cte, si la tensin normal en el cdg es xx , en la cara anterior, la fuerza de superficie en la direccin x es: ( )xxxx dx dydzx 2

+ y de sentido positivo (consideramos que el fluido que rodea la citada cara anterior es ms rpido que la propia cara), y en la cara posterior, la fuerza de superficie en la direccin x

es ( )xxxx dx dydzx 2 + y de sentido negativo ( suponemos que el fluido que rodea la citada cara posterior

es ms lento que la propia cara). Fig.1.4. Partcula fluida. Fig. 1.5. Fuerzas x en caras x=cte, (2) Anlogamente sobre las caras y=cte, z=cte.

Fig. 1.6. Fuerzas x en caras y=cte. Fig. 1.7. Fuerzas x en caras z=cte.

( ) ( )

( )

xx xxS xx xxx

xy xyxy xy

xz xzxz xz

dx dxdF dy dzx 2 x 2

dy dy + dx dzy 2 y 2

dz dz + z 2 z 2

= + + + + + + + + ( ) ( )

xyxx xzdx dy ... dxdydzx y z

= = + +

Anlogamente, las componentes y y z, de las fuerzas de superficie sobre la partcula fluida son:



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( ) ( )yx yy yzS ydF dxdydzx y z = + +

( ) ( )zyzx zzS zdF dxdydzx y z = + +

Con todo lo anterior, la resultante de las fuerzas de superficie sobre la partcula fluida es:

xy yx yy yz zyxx xz zx zzSd dVx y z x y z x y z

= + + + + + + F i + j + k

r rr r

con lo que la fuerza elemental de superficie, por unidad de volumen se puede expresar por:

xx yx zxS

xy yy zy

xz yz zz

ddV x y z

= =

Fr

Por el equilibrio dinmico de la partcula fluida, los momentos de las fuerzas elementales tangenciales deben ser nulos, lo que lleva a la igual de las tensiones tangenciales cruzadas; es decir: xy = yx xz = zx yz = zy TENSOR DE LA PRESIN TERMODINMICA: si el fluido esta en reposo, o se considera como fluido ideal (los coeficientes de transportes son idnticamente nulos), las nicas interacciones moleculares, son debidas a la agitacin trmica molecular, que tiene dos caractersticas fundamentales: no hay direccin privilegiada de los esfuerzos, y estos son exclusivamente normales y de compresin; lo que lleva a que el tensor de tensiones en un determinado punto, sea un tensor esfrico, con tensiones exclusivamente normales, iguales a la presin termodinmica:

idealp 0 0 1 0 0

0 p 0 p 0 1 0 p0 0 p 0 0 1

= = = 1

TENSOR DE TENSIONES VISCOSAS: cuando hay flujo, el fluido esta en movimiento, el tensor de tensiones se puede descomponer en dos: uno que esfrico, correspondiente a la presin termodinmica, y otro, que se denomina tensor de tensiones viscosas, y que determina la diferencia entre las tensiones en un determinado punto y las correspondientes a la presin termodinmica:

xx yx zx xx yx zx

xy yy zy xy yy zy

xz yz zz xz yz zz

p p 0 0p 0 p 0 p

p 0 0 0

+ = + = + = + + 1

en donde: es el tensor de tensiones; p es la presin termodinmica y el tensor de tensiones viscosas. La resultante de las fuerzas de contacto sobre toda la partcula fluida, (Ec. 10.), se suele expresar, como suma de la contribucin de la presin termodinmica y las tensiones viscosas:

sS

d pdV

= + F fr r

(11.)



14

1.5. TIPOS DE FLUJOS

Para poder acotar el estudio del movimiento de un fluido, se establecen las pertinentes restricciones, que determinan los siguientes tipos de flujos:

- Flujo estacionario: ( #/ t 0 # 0) = , en un determinado punto las propiedades del fluido no

varan con el tiempo, aunque puedan variar de un punto a otro (gradiente no nulo). - Flujo uniforme: ( #/ t 0 # 0) = en un determinado instante todas las partculas tienen la misma

velocidad en cualquier posicin (gradiente nulo) - Flujo transitorio o no estacionario: ( )0#0t/# r , las propiedades del fluido varan con el

tiempo en cada punto y de un punto a otro. - Flujo irrotacional: ( 00vx == rr ), el vector rotacional de velocidad es nulo y con ello la

vorticidad es nula. - Flujo rotacional: ( 00vx rr ), de vorticidad no nula. - Flujo incompresible: ( 0v.cte == r ); la densidad es constante en todos lo puntos y a lo largo

del tiempo, lo que lleva a que la divergencia de la velocidad sea nula, lo que suele expresar como flujo adivergente.

- Flujo compresible: ( .cte ), la densidad varia a lo largo del tiempo y del espacio. - Flujo no viscoso: ( 0= ), no hay transporte de cantidad de movimiento entre las partculas del flujo. - Flujo viscoso: ( 0 ), hay interaccin entre las partculas que constituyen el fluido, manifestndose

como intercambios de cantidad de movimiento, que dan lugar a fenmenos de disipacin de energa, que se denomina disipacin viscosa.

- Flujo ideal: (=0 =0 =0 ), no hay interaccin entre las partculas que constituyen el fluido, ni

de transporte de cantidad de movimiento (viscosidad), ni de transporte de calor (conductividad), ni de transporte de masa (difusividad)

- Flujo laminar: en donde las fuerzas viscosas predominan sobre las de inercia; y en la interaccin viscosa

con otras partculas, una determinada partcula de fluido no cambia su trayectoria, siendo arrastrada por la accin del resto de partculas: frenada por partculas ms lentas y acelerada por partculas ms rpidas.

- Flujo turbulento: en donde las fuerzas de inercia predominan sobre las fuerzas viscosas; y en la interaccin viscosa con otras partculas, una determinada partcula es desplazada de su trayectoria por los intercambios de cantidad de movimiento de otras partculas, adems de ser arrastrada.

- Flujo interno: en donde el fluido esta confinado por lmites; a partir de los campos de velocidades y de

presiones, se obtienen las fuerzas sobre los lmites y la perdida de energa del fluido a su paso entre los lmites; un caso tpico es el estudio de flujo en tuberas.

- Flujo externo: en donde el fluido rodea a un objeto; a partir de los campo de velocidades y presiones, se obtienen se obtienen las fuerzas del fluido sobre el objeto; un caso tpico es el estudio de perfiles aerodinmicos.



15

2. ECUACIONES DE CONSTITUCIN 2.1. Comportamiento mecnico: tensor de velocidad de deformacin. 2.2. Fluidos Stokesianos: tensor de tensiones viscosas. 2.3. Fluidos Newtonianos. 2.3.1. Ec. de NAVIER-POISSON. 2.3.3. Tensor de tensiones de un fluido newtoniano. 2.4. Comportamiento trmico. 2.4.1. Ecuaciones de Estado. 2.4.2. Ecuaciones de transmisin de calor. 2.1. COMPORTAMIENTO MECNICO: Tensor de velocidad de deformacin.

En funcin de las hiptesis restrictivas, con las que se analiza el comportamiento de los fluidos reales, se tienen las Ecuaciones de Constitucin, que son inherentes a cada fluido analizado. El comportamiento especifico de un determinado fluido, viene determinado por su comportamiento mecnico y su comportamiento trmico.

El comportamiento mecnico del fluido, viene determinado por la relacin entre las tensiones a las que

esta sometido y las velocidades de deformacin que se producen por la accin de las tensiones mecnicas. Este es el comportamiento inherente de los fluidos, es decir, las dbiles fuerzas intermoleculares, hacen que cualquier esfuerzo tangencial, deforme continuamente el fluido, originando el movimiento de las partculas o flujo. La velocidad de deformacin viene determinada por la magnitud del esfuerzo tangencial y de la capacidad de transporte de cantidad de movimiento entre partculas, que es la propiedad mas importante, inherente al fluido, y que se denomina viscosidad.

En el mtodo Euleriano, en cada punto del flujo, la velocidad de deformacin viene determinada por el

campo de velocidades. Cada punto del flujo, tiene asociado un valor del tensor de velocidades de deformacin, que marca la deformacin unitaria de una partcula fluida a su paso por el citado punto. La deformacin de una determinada partcula en su movimiento por el campo fluido, viene determinada por las posibles variaciones espaciales de la velocidad de cada uno de los puntos que la integran, es decir del gradiente de velocidad, que al ser una magnitud tensorial (9 variaciones posibles), marca la misma condicin tensorial a la velocidad de deformacin.

Se tienen dos tipos de deformacin: las debidas a alargamientos o contracciones, provocadas por los

gradientes de las componentes de la velocidad en sus respectivas direcciones, y que se determinan por la velocidad de la variacin unitaria (por unidad de longitud); y las debidas a giros, provocados por los gradientes de las componentes de la velocidad en direcciones perpendiculares a la propia componentes, y que se determinan por la velocidad de variacin angular.

Consideremos, un caso muy simple, en donde v(y)= v jrr , es decir, la nica componente de la

velocidad, es en la direccin y, y adems esa componente slo varia en la propia direccin y. Si consideramos una partcula elemental dxdydz, al cabo de un tiempo elemental, se ha deformado (en este caso slo en la direccin y), teniendo que su velocidad de deformacin unitaria (dilatacin o contraccin por unidad de longitud y de tiempo) viene dada por:

yyyy

vv dy dt v dt / dydl / dy y v

dt dt y

+ = = = &



16

que adems representa la velocidad del aumento (o disminucin) unitario de volumen :

yy

yyyy

dl dx dzdV(t dt)dl / dydV(t) dx dy dz

dt dt dt

+ = = = &

Fig.1.8. Dilatacin cbica: debida a la deformacin lineal. Si se tiene un campo de velocidades genrico: u=u(x,y,z), v=v(x,y,z), w=w(x,y,z), se obtienen las

correspondiente velocidades de dilataciones lineales unitarias, dadas por:

xx yy zzu v w x y z

= = = & & & (12.) Con lo que, la velocidad de dilatacin cbica, viene determinada por, la suma de las dilataciones

posibles en cada una de las tres direcciones; que es la divergencia de la velocidad:

1 dV u v wV dt x y z

= + + = vr

(13.) As un fluido de densidad constante, por conservacin de masa, no hay variacin del volumen, y por lo

tanto su flujo es adivergente. Cada una de las tres dilataciones cbicas, son la diagonal principal del tensor gradiente de velocidad; es

decir, el citado tensor esta marcando la dilatacin cbica que experimenta una partcula, cuando pasa por el citado punto.

Hasta ahora hemos considerado deformaciones puramente lineales de dilatacin o de contraccin,

debidas a las variaciones de cada una de componentes del vector velocidad, en sus respectivas direcciones:

u v w, ,x y z

.

Consideremos el efecto de deformacin, que tienen las variaciones cruzadas de las componentes de la

velocidad, es decir : u u v v w w, , , , ,y z x z x y

. Para lo cual, analicemos el caso ms simple, en donde el vector

x y

z

dx

dy

dz

dlyy



17

velocidad sea: u(y) + v(x)= v i jr rr ; obtenindose, que la deformacin angular por unidad de tiempo, viene dada

por: xyd 1 u vdt 2 y x

= = + & , que representa la velocidad de deformacin angular, en un plano z = cte.

Fig.1.9. Velocidad de deformacin angular, debida a gradientes velocidad cruzados: u v,y x

Anlogamente, para los gradientes cruzados, sin variacin de x, se tiene que la velocidad de

deformacin angular en un plano x = cte, es igual a: yz1 v w2 z y

= + & ; y para los gradientes cruzados, sin

variacin de y, se tiene que la velocidad de deformacin angular en un plano y = cte, es igual a

xz1 u w2 z x

= + &

Con todo, se tiene que el tensor gradiente de velocidad, en un determinado punto, provoca que las

partculas que pasan por el citado punto, se deformen con una determinada velocidad, tanto longitudinal como

angularmente. El tensor, que marca las velocidades de deformaciones, es el tensor de velocidades de

deformacin, y viene determinado por el tensor gradiente de velocidad.

En coordenadas cartesianas, el tensor de velocidad de deformacin es:

u 1 u v 1 u wx 2 y x 2 z x

1 u v v 1 v w2 y x y 2 z y

1 u w 1 v w w2 z x 2 z y z

+ + = + + + +

&

(14.)

uu dyy

+

uu dyy

+

vv dxx

+

vv dxx

+

u u

v

v

d

v dxdtx

u dydty

y

x udt

vdt

t

t+dt



18

2.2. FLUIDOS STOKESIANOS: TENSOR DE TENSIONES VISCOSAS. STOKES, estableci que la diferencia de tensiones, entre un fluido viscoso y un fluido ideal, venia

determinada por una funcin tensorial del tensor de velocidad de deformacin, que se denomina funcin de tensiones viscosas (f); con ello el tensor de tensiones para un fluido Stokesiano esta integrado por dos trminos: el debido a la presin termodinmica y el debido a la viscosidad:

p f ( )= +1 & (15.)

Como se haba visto anteriormente, el tensor de tensiones en un determinado punto, viene dado por los

esfuerzos normales y tangenciales, provocados por la interacciones entre partculas:

xx yx yz

xy yy zy

xz yz zz

=

(16.) Las 3 componentes normales, se denotan por xx, yy, zz. Las 6 componentes tangenciales, se denotan

por: xy,yx,xz, zx,yz, zy; siendo respectivamente iguales: xy=yx, xz=zx, yz=zy. Con lo que se tiene 6 tensiones distintas: 3 normales y 3 tangenciales. El tensor de tensiones viscosas, es la diferencia entre el tensor de tensiones y el tensor esfrico, correspondiente a la presin termodinmica; se denota por , y tiene 3 componentes normales: xx, yy, zz; y 6 componentes tangenciales, que coinciden con la del tensor de tensiones.

xx yx yz

xy yy zy

xz yz zz

=

(17.) 2.3. FLUIDOS NEWTONIANOS. El conocimiento de la funcin tensorial f de la Ec. 15., permitira la determinacin del campo de tensiones viscosas a partir del campo de deformaciones, que a su vez depende del campo de velocidades. El comportamiento ms simple, es que la funcin sea lineal, en donde las tensiones viscosas sean proporcionales a las velocidades de deformacin; este es el comportamiento experimental dado por NAVIER y POISSON, para el comportamiento reolgico de un gran nmero de lquidos y de gases, que se denominan fluidos newtonianos. 2.3.1. ECUACIN DE NAVIER-POISSON. En un fluido newtoniano, cada componente del tensor de tensiones viscosas, es funcin lineal de cada componente del tensor de velocidades de deformacin, pudiendo tener genricamente 9x9=81 coeficientes de proporcionalidad; pero si el medio es istropo, los coeficientes se reducen exclusivamente a 3: uno para la direccin normal, o coeficiente de viscosidad normal , y dos para cada direccin tangencial, o coeficientes de viscosidad tangencial y . Con lo que en un medio istropo el tensor de tensiones viscosas se puede expresar como: ( )' 1= + + vr& & por simetra del propio tensor, se tiene que =, con lo que +=2; quedando como expresin del tensor de tensiones para un fluido newtoniano, la denominada ecuacin de NAVIER-POISSON:

( )2= + v 1r& (18.)



19

2.3.2. TENSOR DE TENSIONES EN UN FLUIDO NEWTONIANO. El tensor de tensiones, lo hemos considerado suma de dos tensores: uno esfrico debida a la accin de la presin termodinmica, y otro debido a los esfuerzos viscosos, que en el caso de un fluido newtoniano, viene determinado por la Ec. 18 de NAVIER-POISSON; con lo que el tensor de tensiones en este caso es:

( ) ( )p p 2 p 2 = + = + + = + + 1 1 v 1 v 1r r& & (19.) Su expresin en coordenadas cartesianas es:

(20.)

A partir de las componentes de la diagonal principal del tensor de tensiones , se puede establecer la distincin entre presin termodinmica (p) y presin normal media ( p ): - Presin termodinmica: es la propiedad termodinmica que genera un estado de tensin definido por un tensor esfrico de esfuerzos; es funcin del recorrido libre medio de las partculas, de la densidad de partculas y de la agitacin trmica de las partculas (fluctuaciones de posicin debido a la temperatura). - Presin normal media: es el valor medio de las tensiones normales sobre una partcula:

+

+

+=

+

+

++=

+

+

++=

+

+

++=

++=

zw

yv

xu

32pp

zw2

zw

yv

xup

yv2

zw

yv

xup

xu2

zw

yv

xup

3p

z

x

x

zyx

(21.)

al trmino (+2/3) se le denomina viscosidad bruta : =+2/3; con lo que la ecuacin de la presin normal media puede ponerse como: ( )p p= vr .La igualdad entre ambas presiones (termodinmica y normal media), se verifica en los siguientes casos:

- viscosidad bruta nula: =0 pp = ; obtenindose por la condicin de STOKES:

STOKESDECONDICIN32

320 =+==

(22.)

- fluido incompresible: =cte. =0 p p =vr por la condicin de adivergencia.

+

+

++

+

+

+

+

+

++

+

+

+

+

+

++

==

zw2

zw

yv

xup

yw

zv

xw

zu

yw

zv

yv2

zw

yv

xup

xv

yu

xw

zu

xv

yu

xu2

zw

yv

xup



20

2.4. COMPORTAMIENTO TRMICO.

El comportamiento trmico del fluido viene determinado por las ecuaciones de estado y por la relacin entre flujo de calor y gradiente trmico.

2.4.1. ECUACIONES DE ESTADO. Las ecuaciones de estado, son las relaciones entre las diversas variables de estado del fluido: presin, temperatura, densidad, energa interna, entalpa, entropa,...:

- ecuacin trmica de estado: f(p,T,) = 0 - ecuacin calrica de estado: ),p(u),T(u)p,T(uu === - ecuacin entlpica de estado: ),p(h),T(h)p,T(hh === - ecuacin entrpica de estado: ),p(s),T(s)p,T(ss === Cada una de las funciones que aparecen en las ecuaciones de estado anteriores, vienen determinadas por

las caractersticas intrnsecas de cada tipo de fluido. As para el caso hipottico de un gas ideal, las ecuaciones de estado se simplifican notablemente:

ecuacin trmica: p = R T R = constante del gas4 = Ru/M ecuacin calrica: d=cv dT cv = calor especifico a volumen constante ecuacin entlpica: dh = cp dT cp = calor especifico a presin constante ecuacin entrpica: ds = cp dT/T-Rdp/p

Si los calores especficos son constantes, se tienen las siguientes expresiones: - 0 = cv (T-T0 ) h h0 = cp (T-T0)

s s0 = p v0 0 0 0

T p Tc ln R ln c ln R lnT p T

= + Si el proceso es isentrpico (adiabtico sin efectos disipativos), se tiene la relacin entre las variables, p,,T:

1

0 0 0

p Tp T

= =

2.4.2. ECUACIONES DE TRANSMISIN DE CALOR.

La relacin entre el flujo de calor y el gradiente trmico, viene determinada por el tipo de transmisin de calor que tenga lugar: conduccin, conveccin o radiacin. Por simplicidad, considerando exclusivamente transmisin de calor por conduccin, se puede tomar como primera aproximacin la ley de FOURIER de conduccin:

T= qr (23.)

en donde es el coeficiente de conductividad trmica del fluido (W/mK), qr el vector flujo de calor por unidad de rea (W/m2), y T el gradiente de temperatura (en coordenadas cartesianas: k

zTj

yTi

xT rrr

+

+

)

4 Ru es la constante universal de los gases, cuyo valor es en el S.I. de 8310 J/kgK



21

3. ECUACIONES DE CONSERVACIN. 3.1. Ecuacin diferencial de conservacin de masa: ecuacin de continuidad. 3.2. Ecuacin diferencial de conservacin de cantidad de movimiento: ecuacin de movimiento de CAUCHY. 3.2.1. Fluido no viscoso: ecuacin de EULER. 3.2.2. Flujo no viscoso en lnea de corriente: ecuacin de BERNOULLI.

3.2.3. Fluido newtoniano: ecuaciones de NAVIER-STOKES. 3.2.4. La funcin de corriente y la funcin potencial de velocidad.

3.3. Ecuacin diferencial de conservacin de la energa: ecuacin de la energa. 3.3.1. Ecuacin de energa interna. 3.3.2. Ecuacin de entalpa. 3.3.3. Ecuacin de entropa. 3.4. Condiciones de contorno. 3.1. ECUACIN DIFERENCIAL DE CONSERVACIN DE MASA: ECUACIN DE CONTINUIDAD.

Los principios generales, que son vlidos para cualquier tipo de entidad material, son una expresin matemtica de las leyes de conservacin. En el caso del anlisis diferencial en Mecnica de Fluidos se consideran las siguientes leyes de conservacin: conservacin de masa, conservacin de cantidad de movimiento y conservacin de energa. Consideraremos como entidad, la de una partcula fluida, que se asla del resto del fluido, y se le aplican las leyes de conservacin.

Analizaremos en primer lugar la conservacin de masa: utilizando el mtodo euleriano,

consideraremos que la partcula es indeformable y que su volumen elemental ( dzdydxdV = , en coordenadas cartesianas) es siempre el mismo y esta siempre en la misma posicin; se establece el siguiente balance de masa entre dos instantes de tiempo t y t+dt:

La variacin de masa en el volumen considerado durante el intervalo de tiempo dt, es debida al flujo

msico por las caras del elemento de volumen en el tiempo dt

con las dos expresiones de la variacin de masa de la partcula fluida considerada, se tiene:

( ) 0t

+ = vr

(24.)

Ecuacin que se denomina de continuidad, porque en la ecuacin de conservacin de masa slo se requiere la derivabilidad de las funciones que dan la densidad y las componentes de la velocidad, es decir se requiere su continuidad. Las funciones son continuas, porque estamos considerando como modelo del fluido, el formado por una sucesin continua de partculas, es decir es un medio continuo.

dtdVt

dmdVdt

t)dtt(masa

dV)t(masa

=

+=+

=

( ) ( ) ( ) dtdVtw

tv

tu...dtdz

zmmdy

ymmdx

xmmdm

dydxcaras

dzdxcaras

dzdycaras

+

+==

+

+

=

&&&&&&



22

( )dtdzdxv ( ) ( ) dtdyy

dzdxvdzdxv

+

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dtdVt

vdtdzdydx

y

vdtdy

y

dzdxvdzdxvdtdzdxvdzdxcarassalemasaentramasa

==

+=

Fig.1.10. Balance de masa en las caras dx dz, por variacin del flujo msico de una cara a la otra La ecuacin de continuidad tambin se puede expresar en funcin de la derivada total de la densidad, al

descomponer la divergencia de vr en dos trminos, y reagrupar la variacin local de la densidad con su

variacin convectiva, obteniendo:

( ) ( )( ) ( ) ( )dt t t dt

+ = + + = + + = + v v v v v vr r r r r r

( )d 0dt + =vr

(25.) En coordenadas cartesianas, y siendo el vector velocidad: u v w= + +v i j kr r rr , la ecuacin de

continuidad es:

0z

)w(y

)v(x

)u(t

=+

++

(26.)

En coordenadas cilndricas, y siendo el vector velocidad: r zv v v= + +r v u u k

rr r r , la ecuacin de continuidad es:

0z

)v()vr(r1

r)vr(

r1

tzr =

++

+

(27.)

Es interesante ver el efecto que tiene la divergencia de la velocidad sobre el flujo; de la Ec. 25.:

1 ddt = v

r (28.)

Si la divergencia es positiva, la densidad disminuye y se tiene una expansin; si la divergencia es

negativa la densidad aumenta y se tiene una compresin; y si la divergencia es nula la densidad es constante.

dx dy

dz u

v

w



23

En flujo estacionario compresible queda la ecuacin diferencial:

r z

( u) ( v) ( w)cartesianas : 0x y z( ) 0

(r v )(r v ) ( v )1 1cilndricas : 0r r r z

+ + = = + + = vr

(29.)

En flujo incompresible queda la ecuacin diferencial:

r z

u v wcartesianas : 0x y z0

(r v )(r v ) v1 1cilndricas : 0r r r z

+ + = = + + = vr

(30.) La ecuacin de continuidad para flujo incompresible es lineal y por tanto con solucin. Por ello es

interesante conocer en que condiciones es aplicable; estrictamente es vlida cuando la densidad del fluido es constante; no obstante en la mayor parte de las aplicaciones de lquidos, la densidad prcticamente no vara, as como en gases a baja velocidad.

Un criterio, para poder establecer cuando es aplicable la incompresibilidad del fluido, viene marcada

por la relacin entre la velocidad del fluido y la velocidad de pequeas perturbaciones en el seno del fluido (que se denomina velocidad snica); la relacin es el nmero de Mach, y el criterio es considerar flujo incompresible a bajos nmeros de Mach, tomando normalmente el lmite en 0,3; es decir si Ma 0,3 se puede considerar la hiptesis de incompresibilidad.

INCOMPRESIBILIDAD vv

yv

yv

yv

y)v(



24

3.2. ECUACIN DIFERENCIAL DE CONSERVACIN DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO: ECUACIN DE MOVIMIENTO DE CAUCHY.

Considerando la primera ley del movimiento de NEWTON aplicadas a una partcula fluida en el seno de

un campo fluido o flujo, se pueden establecer el principio de conservacin de cantidad de movimiento para una partcula fluida: en una partcula en equilibrio su cantidad de movimiento se conserva; ello permite establecer como nula la resultante de las fuerzas que actan sobre la partcula.

Una partcula fluida es una porcin de fluido de dimensiones infinitesimales y arbitrarias; el tamao esta en relacin a las dimensiones del equipo de medida y del tiempo de medicin. En todo caso los valores de las magnitudes son medias temporales y espaciales, referidas a un intervalo de tiempo elemental y al conjunto de molculas que integran la partcula fluida.

Para su anlisis, la partcula fluida se asla del fluido que la envuelve mediante las superficies de

contacto partcula-fluido, y en este estado de equilibrio de la partcula aislada, se analizan las fuerzas que la mantienen en equilibrio; estas fuerzas se dividen en tres tipos: fuerzas de volumen, fuerzas de superficie y fuerzas de inercia.

FUERZA DE VOLUMEN: en funcin de que la masa de fluido (contenida en el volumen de la partcula) esta en

una determinada posicin de un campo de fuerzas; lo ms usual es que el campo de fuerzas sea central, y que sea el campo gravitatorio. La evaluacin de estas fuerzas es simple si derivan de un campo central, del que se conoce su vector aceleracin, y que genricamente se denomina; en el caso de campo gravitatorio, ste vector tiene nicamente componente vertical: g= g krr . A estas fuerzas se les denomina fuerzas msicas o fuerzas de volumen. La expresin diferencial de las fuerzas de volumen de un campo central sobre una partcula fluida de volumen elemental dV y de masa dm es:

d dm

d dVdm dV

= = = v

vF g

F gr r r r

(31.) FUERZAS DE SUPERFICIE: las fuerzas de contacto, que sobre las superficies de la partcula, ejerce el fluido que la rodea, se denominan fuerzas de superficie y son debidas a los esfuerzos en las superficies de contacto partcula fluido; los esfuerzos son debidos a la presin termodinmica y a los esfuerzos viscosos que aparecen en el movimiento del fluido con gradiente de velocidad.

tensor de tensiones: xx yx zx xx yx zx

xy yy zy xy yy zy

xz yz zz xz yz zz

p p 0 0p 0 p 0 p

p 0 0 0

+ = + = + = +

+ 1

en donde p es la presin termodinmica y ij las tensiones viscosas La resultante de las fuerzas de contacto sobre toda la partcula fluida viene determinada por el gradiente de presin y por el gradiente del tensor de tensiones viscosas:

+= pdVFd sr

(32.)



25

FUERZAS DE INERCIA: las fuerzas de inercia que el fluido ejerce sobre su entorno, vienen dada por su masa y por su aceleracin; y la fuerza de inercia de reaccin correspondiente (3 ley de Newton del movimiento) del entorno del flujo sobre la partcula fluida ser:

idd dVdt

= vFrr

(33.)

Al estar la partcula en equilibrio, la resultante de las fuerzas que actan sobre ella es nula, con lo que combinando las ecuaciones anteriores se tiene:

0dtvdpg

dVdF

0dtvdpgdV

dtvddVdVpgdVdF

dtvddVdF

dVpdF

gdVdF

0dFdFdF

inercia

erficiesup

volumen

inerciaerficiesupvolumen

=

++=

=

++=

++=

=

+=

==++

=

rr

rrrr

r

rr

r

(34.)

Con lo que para una partcula fluida, la expresin de la 1 ley de Newton del movimiento o ecuacin de

conservacin de cantidad de movimiento, y que en Mecnica de Fluidos se denomina ecuacin de movimiento de CAUCHY, es:

dpdt

= + = vgrr

(35.)

En coordenadas cartesianas los trminos de la ecuacin de movimiento de CAUCHY son:

gradiente de presin: p p ppx y z

= + + i j kr r r

divergencia del tensor de tensiones viscosas:

yx xy yy zy yzxx zx xz zzx y z x y z x y z

= + + + + + + + + i j kr r r

vector aceleracin ( ddtvr ) = aceleracin local (

tvr ) + aceleracin convectiva ( ( )v vr r )

kzww

ywv

xwu

twj

zvw

yvv

xvu

tvi

zuw

yuv

xuu

tu

zvw

yvv

xvu

tv

dtvd rrrrrrrr

+

++

+

+

++

+

+

++

=+

++

=



26

La ecuacin vectorial de movimiento de CAUCHY, da lugar a tres ecuaciones diferenciales, una por cada componente; teniendo en coordenadas cartesianas las siguientes ecuaciones de movimiento de CAUCHY:

+

++

=+

+

++

+

++

=+

+

++

+

++

=+

+

++

zww

ywv

xwu

twg

zyxzp

zvw

yvv

xvu

tvg

zyxyp

zuw

yuv

xuu

tug

zyxxp

zzzyzxz

yzyyyxy

xzxyxxx

(36.)

3.2.1. FLUIDO NO VISCOSO: ECUACIN DE EULER.

Para poder utilizar la ecuacin de movimiento de CAUCHY, es necesario conocer los trminos de las tensiones viscosas; que estn relacionadas con la velocidad de deformacin. La relacin entre tensiones y velocidades de deformacin depende de la propia constitucin del fluido correspondiente.

El caso ms simple es cuando el fluido es no viscoso, y son idnticamente nulas todas las tensiones

viscosas, con lo que la ecuacin de movimiento de CAUCHY se simplifica, quedando la ecuacin de EULER del movimiento de un fluido no viscoso:

dpdt

+ = vgrr

(37.) En la ecuacin de EULER, es interesante introducir el trmino de vorticidad local del fluido, que forma

parte del vector aceleracin:

vector aceleracin: ( )ddt t

= + v v v vr r r r

aceleracin convectiva: ( )2

x2

= + v

v v vr rr r r

vorticidad: 2 x= = vr r r

vector velocidad angular. 1 w v 1 u w 1 v u2 y z 2 z x 2 x y

= + + i j kr r rr

Con todo lo anterior, la ecuacin de EULER queda como:

( ) ( )21 p x 0t 2 + + + = v v g vr r rrr r

(38.) La dificultad de trabajar con flujos con vorticidad, es inherente a la dificultad de la ecuacin anterior; no

obstante con determinadas condiciones el trmino que incluye la vorticidad es nulo, an no siendo nula la verticidad.



27

Para poder establecer las condiciones en donde el trmino de vorticidad es nulo, multipliquemos escalarmente la ecuacin anterior por un vector desplazamiento drr , arbitrario; con lo queda la ecuacin:

( ) ( )21 p x d 0t 2 + + + = v v g v rr rr rr r

(39.) En donde el trmino que incluye la vorticidad, es nulo cuando:

( x ) d 0 =v rr rr (40.)

Lo que tiene lugar bajo una de las siguientes condiciones: - 0=vr : no hay flujo, estamos en fluidoesttica y la ecuacin de EULER queda: p = gr - 0=r : flujo irrotacional, la ecuacin de Euler queda: ( )21 p 0t 2 + + =v v g

r rr - rd

r es perpendicular al vector vx r

r : se denomina flujo de BELTRAMI - rd

r es paralelo al vector velocidad v

r: la ecuacin de Euler queda como:

( )2v 1 pdr v dr dr g dr 0t 2 + + = r r r r r rr

(41.) Esta ltima condicin es la que conduce a resultados ms tiles, y se tiene en los puntos del flujo que

cumplen la condicin de que su vector desplazamiento es paralelo al vector velocidad, es decir puntos de las lneas de corriente, en donde LCv v u= r r y LCdr ds u= r r ; en donde ds es el mdulo del vector desplazamiento a lo largo de una lnea de corriente y v el mdulo del vector velocidad. Considerando adems, exclusivamente campo gravitatorio ( kgg

rr = ), los trminos de la ecuacin anterior son:

( ) ( )LC LCv uv vdr ds u dst t t = =

rr r r

( ) ( ) ( ) ( )22 2 2LC LC LC1 1 1 dv 1v dr v ds u u ds u dv2 2 2 ds 2 = = = rr r r r ( )LC LC

dp up dpdsdr ds u = =

rr r

( ) ( )g dr gk dx i dy j dz k g dz = + + = r r r rr r

Obteniendo la Ec. de EULER para puntos de una lnea de corriente:

2V 1 dpds dv g dz 0t 2

+ + + = (42.)



28

3.2.2. FLUJO NO VISCOSO EN PUNTOS DE LNEA DE CORRIENTE: EC. DE BERNOULLI.

En la ecuacin de Euler en puntos de una lnea de corriente, la nica condicin restrictiva es considerar flujo no viscoso. La ecuacin es de gran utilidad pues es posible integrarla entre dos puntos de una misma lnea de corriente, pues dos trminos son diferenciales exactas; obtenindose la ecuacin de BERNOULLI para flujo no estacionario y no viscoso:

2 22 22 1

2 11 1

v vv dpds g(z z ) 0t 2

+ + + = (43.) La ecuacin de BERNOULLI, para flujo estacionario e incompresible (adems de no viscoso), toma la

forma:

2 22 1 2 1

2 1p p v v g(z z ) 0

2 + + = (44.)

Es decir, a lo largo de una lnea de corriente, permanece constante la suma de los tres trminos:

2p v gz cte.2

+ + = (45.) La constante de la ecuacin de Bernoulli puede variar de una lnea de corriente a otra, a no ser que

adems se tenga la condicin de irrotacionalidad, con la que la ecuacin se cumple independientemente de la direccin del vector desplazamiento (d r

r), y la constante de la ecuacin de Bernoulli es la misma en todo el

flujo. En la ecuacin anterior, todos los sumandos, son dimensionalmente trminos de energa especfica (energa por unidad de masa), representando cada trmino: el trabajo de flujo, la energa cintica y la energa potencial, en un determinado punto de la lnea de corriente. La Ec. de BERNOULLI, tambin se suele expresar en trminos de presin:

21p v gz cte.2

+ + = (46.)

representando cada trmino: p = presin absoluta o termodinmica

21 v2

= presin dinmica gz = presin hidrosttica

21p v2

+ = presin de estancamiento p + gz = presin piezomtrica



29

3.2.3. FLUIDO NEWTONIANO: ECUACIONES DE NAVIER-STOKES.

Para un fluido newtoniano las tensiones viscosas son proporcionales a las velocidades de deformacin, y viene determinadas por la ecuacin de NAVIER-POISSON (Ec.18.): ( )2= + v 1r& . Con lo que en la ecuacin de movimiento de CAUCHY, la divergencia del tensor de tensiones viscosas, para el caso de un fluido newtoniano, se puede obtener a partir de la expresin de su tensor de tensiones, quedando:

( ) ( )[ ] vv 2++= (47.) Con lo que la ecuacin de movimiento para un fluido newtoniano, que se denomina ecuacin de

NAVIER-STOKES queda como:

( ) ( )[ ]dtvdvvpg 2 =+++

(48.) Con la condicin de STOKES: = -2/3, es decir (+)=/3, queda como:

( )[ ]dtvdvv

3pg 2 =++

(49.) En donde 2vr es el vector laplaciana de velocidad, y que puede descomponerse en funcin de la

divergencia y de la vorticidad: ( )2 x= v v rr r ; con lo que la ecuacin vectorial de NAVIER-STOKES para el movimiento para un fluido newtoniano se puede rescribir como:

4 dp ( ) x3 dt

+ + = vg vrrr r

(50.)

La ecuacin de NAVIER-STOKES, con la restriccin de fluido no viscoso: =0, lleva evidentemente a la ecuacin de EULER: dp

dt + = vg

rr

Las restricciones simultaneas de flujo incompresible (adivergente: vr = 0) y de flujo irrotacional (vorticidad nula: xvr = 0), tambin llevan a la ecuacin de EULER, aunque el fluido sea viscoso.

En la ecuacin de NAVIER-STOKES, con la restriccin de flujo incompresible (adivergente: vr

r = 0) , el segundo trmino es nulo por obligar la incompresibilidad, a que el flujo sea adivergente (divergencia del vector velocidad nula); con lo que se tiene la ecuacin de NAVIER-STOKES para el flujo de un fluido newtoniano incompresible:

2 dpdt

+ + = vg vrr r

(51.)



30

La ecuacin vectorial anterior, puede descomponerse en sus tres componentes cartesianas, teniendo las

siguientes ecuaciones escalares:

+

++

=+

+

+

+

+

++

=+

+

+

+

+

++

=+

+

+

+

zww

ywv

xwu

twg

z

w

y

w

x

wzp

zvw

yvv

xvu

tvg

z

v

y

v

x

vyp

zuw

yuv

xuu

tug

z

u

y

u

x

uxp

z2

2

2

2

2

2

y2

2

2

2

2

2

x2

2

2

2

2

2

(52.) Estas son las que normalmente se denominan ecuaciones de Navier-Stokes, y fueron obtenidas de forma

independiente por Louis M. NAVIER (1785-1836) y por George G. STOKES (1819-1903). Son ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de 2 orden no lineales. Las tres ecuaciones de Navier-Stokes, incluyen 4 incgnitas: la presin (p) y las tres componentes de la velocidad (u,v,w). La ecuacin que completa el sistema homogneo de ecuaciones diferenciales, es la ecuacin de continuidad (du/dx+dv/dy+dw/dz=0). Esto en el caso de flujo incompresible, en donde la densidad es constante; en el caso de flujo compresible, aparecen tres nuevas incgnitas, la densidad, la temperatura y la energa interna, necesitando para completar el sistema homogneo, 3 nuevas ecuaciones, que como veremos posteriormente son la ecuacin de energa, la ecuacin trmica de estado y la ecuacin calrica de estado.

3.2.4. LA FUNCIN DE CORRIENTE Y LA FUNCIN POTENCIAL. LA FUNCIN DE CORRIENTE

Si consideremos un flujo estacionario incompresible bidimensional, la ecuacin de continuidad se reduce a:

0yv

xu =

+

Con lo que se puede introducir una funcin , definida por:

xv

yu

==

y x = v i j

r rr

Con lo que la expresin de la vorticidad es: 2 2

22 2x ... x y

= = = + = v k k

r r rr De la ecuacin de movimiento se puede establecer:

)(y

)(xx

)(y

2222

=

(53.)

que es una ecuacin diferencial de 4 orden, con necesidad de solucin por anlisis numrico.



31

Si se aade adems la restriccin de flujo irrotacional, la ecuacin anterior se reduce a la ecuacin de

LAPLACE en dos dimensiones:

0yx

22

2

2

2==

+

Se puede obtener que en una lnea de corriente no hay cambio en la funcin , por lo que a la citada

funcin se le denomina funcin de corriente:

ecuacin lnea de corriente: 0dyudxvv

dyu

dx =+=

introduciendo la funcin de corriente: .cted0dyy

dxx

===+

LA FUNCIN POTENCIAL

Consideremos como nica restriccin que el flujo es irrotacional, con ello se tiene que la vorticidad es nula y se obtiene que el vector velocidad es el gradiente de una funcin escalar5, a la que se denomina funcin potencial de velocidad:

x 0= = = v vr r r

Conocida la funcin potencial de velocidad =(x,y,z,t), se obtienen fcilmente las componentes del

vector velocidad:

zw

yv

xu

==

= El lugar geomtrico de puntos del flujo con igual funcin potencial, se denomina superficie

equipotencial. En el caso particular de flujo bidimensional, el lugar geomtrico esta contenido en el plano en el que se fluye el fluido, son las lneas equipotenciales, y al ser bidimensional existe tambin la funcin de corriente, verificndose que las lneas de corriente son ortogonales a las lneas equipotenciales.

Si adems de irrotacional, se considera flujo incompresible, se obtiene que la funcin potencial

cumple la ecuacin de LAPLACE en tres dimensiones:

2

2 2 2

2 2 2

0x 0

( ) 00 0

x y z

== = = = + + = v vv

r rr

5 Por clculo vectorial, un vector con rotacional nulo es el gradiente de una funcin escalar.



32

+

+

+

+

+

+

+

+

=

222222

xw

zu

zv

yw

yu

xv

zw2

yv2

xu2

3.3 ECUACIN DIFERENCIAL DE CONSERVACIN DE ENERGA: ECUACIN DE ENERGA.

El principio de conservacin de energa (PRIMER PRINCIPIO DE TERMODINMICA) aplicado a una partcula fluida, establece que la energa total de la partcula fluida es constante, siempre que no existan aportes energticos por transferencia de calor o de trabajo.

Siguiendo el criterio termodinmico de signos, se consideran como positivos el trabajo desarrollado por

la partcula y el calor aportado a la partcula, y como negativos el trabajo consumido por la partcula y el calor cedido por la partcula; con todo la ecuacin de conservacin de energa es:

[ ]

2dE d(u v / 2 gz)dVdt dtQdE Q W 0 Q dV ( T)

dtW W dV pdt

=

+ += + = = = = = + v v

&

r r&

En donde: - la energa total de la partcula viene dada por la suma de la energa interna, la energa cintica y la

energa potencial: mgz2/mvumEpEcUE 2 ++=++= - la transferencia de calor (por unidad de tiempo) entre partcula y su entorno por conduccin viene

determinada por el gradiente de temperatura ( T ) y por la conductividad trmica () - el trabajo (por unidad de tiempo) intercambiado entre partcula y su entorno tiene dos trminos, el

debido a las fuerzas de presin (trabajo de flujo) y el debido a los esfuerzos viscosos. El trabajo debido a los esfuerzos viscosos, se puede expresar como suma de dos trminos, introduciendo

el concepto de funcin de disipacin viscosa de RAYLEIG :

viscosidadW ( ) ( )== = + v vr r& (55.)

)(v)v(== = rr (56.)

En coordenadas cartesianas para un fluido newtoniano, la funcin de disipacin viscosa es: En la ecuacin de disipacin viscosa todos los trminos son cuadrticos, por lo que su valor siempre es

positivo, es decir en flujo viscoso parte de su energa disponible se disipa por las irreversibilidades de los fenmenos de transporte de cantidad de movimiento entre partculas; lo que esta de acuerdo con el segundo principio de Termodinmica de que los procesos reales son irreversibles con degradacin de energa y su consiguiente aumento de entropa del universo.

2d(u v / 2 gz) p ( T) ( )dt

=+ + + = + v vr r (54.)



33

3.3.1. ECUACIN DE ENERGA INTERNA.

Introduciendo el trmino de funcin de disipacin viscosa en la ecuacin de energa (29), y utilizando la ecuacin de Navier-Stokes para un fluido newtoniano (23) multiplicada escalarmente por el vector velocidad, para que desaparezca el trmino ( ) vr , se obtiene una expresin de la ecuacin de energa en donde no aparecen las energas cintica ni potencia, solo la energa interna:

2d p( ) Tdt

= + + vr (57.)

La ecuacin anterior permite obtener la energa interna6 en funcin del flujo de calor por conduccin, del

trabajo de expansin o compresin y de la disipacin por viscosidad. Esta ecuacin de energa, es valida para un fluido newtoniano en condiciones muy generales de flujo transitorio, compresible, viscoso y conductor de calor; solo se desprecian la transferencia de calor por radiacin y por fuentes internas.

En la ecuacin de energa anterior, la derivada total de la energa interna se puede expresar como suma de

dos trminos: el de variacin local y el de variacin convectiva: du u u

dt t= + v

r .

El termino convectivo zuw

yuv

xuuuv

++

= rr , representa el transporte de calor por conveccin. Como primera simplificacin restrictiva para el manejo de la ecuacin de energa, se suele considerar que

la energa interna es proporcional a la temperatura, a travs del calor especfico a volumen constante:

vv T

c

=

considerando adems la constancia de los siguientes parmetros del fluido: calor especifico a volumen constante, viscosidad dinmica, coeficiente de conductividad trmica y densidad: cv, ,, , se tiene la forma ms simple de la ecuacin de la energa:

2v

dTc p( ) Tdt

+ = + vr (58.)

En el caso particular de flujos muy lentos o en reposo, se pueden despreciar los trminos disipativos y

convectivos, con lo que se tiene la siguiente expresin que permite obtener el campo de temperaturas; que es la ecuacin de conduccin de calor para slidos y fluidos en reposo:

TtTc 2v =

(59.)

6 La energa interna esta asociada a la agitacin trmica y a la composicin qumica; en el caso de un gas ideal no hay interrelaciones entre los tomos, y la energa interna solo depende de la temperatura termodinmica.



34

3.3.2. ECUACIN DE ENTALPA. La entalpa es la suma de la energa interna y el trabajo de flujo: += /puh ; con lo que la variacin temporal de la entalpa es:

dtdp

dtdp1

dtud

dtdh

2

+= el trmino de variacin temporal de la densidad, se puede expresar en funcin de la divergencia de la velocidad , a partir de la ecuacin de continuidad:

1 ddt = v

r con lo que se tiene:

( )dh du 1 dp pdt dt dt

= + + vr

y finalmente con la ecuacin de energa interna (48), se llega a la ecuacin de entalpa:

++= T

dtdp

dtdh 2

(60.)

3.3.3. ECUACIN DE ENTROPA. El Segundo Principio de Termodinmica se puede establecer como:

( )ds 1 du pdt T dt T

= + vr

(61.)

Con lo que utilizando la ecuacin de energa interna (48), se llega a la ecuacin de la entropa:

+= TdtdsT 2

(62.) El termino de disipacin de energa es siempre positivo, con lo que genera siempre aumento de entropa:

es lo inherente al Segundo Principio de Termodinmica: las irreversibilidades hacen aumentar la entropa; el trmino de transmisin de calor por conduccin, aumenta la entropa si el flujo de calor es positivo (es decir se calienta el flujo) y disminuye la entropa si en flujo de calor es negativo ( es decir se enfra el flujo)



35

3.4. CONDICIONES DE CONTORNO.

A partir de las ecuaciones de conservacin para una partcula fluida se han obtenido las ecuaciones:

(1) ecuacin de continuidad: ( ) 0t

+ = vr

(2)(3)(4) ecuacin de movimiento: ( ) 2 dp ( ) ( )dt

+ + + = vg v vrr r r

(5) ecuacin de energa: d p( ) ( T)dt

+ = + vr

Las ecuaciones de continuidad y de energa son ecuaciones diferenciales escalares y la ecuacin de

movimiento es vectorial, por lo que entre todas aportan 5 ecuaciones diferenciales escalares. En cuanto a las incgnitas se tienen: la densidad (), las componentes del vector velocidad (u,v,w), la presin (p), la temperatura (T) y la energa interna (), es decir se tienen 7 incgnitas, por lo que para poder tener un sistema homogneo de ecuaciones es necesario disponer de 2 ecuaciones adicionales; estas ecuaciones son las ecuaciones de estado de constitucin del propio fluido considerado:

(6) ecuacin trmica de estado: = (p,T) (7) ecuacin calrica de estado: = (p,T)

Con todo lo expuesto anteriormente, se dispone de un sistema homogneo de 7 ecuaciones diferenciales

con 7 incgnitas, cuya resolucin es posible, con las condiciones de contorno apropiadas para cada caso, y normalmente con tcnicas numricas, siendo posible solo para casos muy concretos la solucin analtica.

Con la restriccin de flujo incompresible y propiedades constantes, se tiene solo 5 incgnitas: la

presin, las tres componentes de la velocidad y la temperatura; siendo suficientes las ecuaciones de continuidad, movimiento (3) y energa: (1) continuidad: 0 =vr (2)(3)(4) movimiento: 2 dp

dt + = vg v

rr r

(5) energa: += TdtdTc 2v

adems la ecuacin de energa esta desacoplada, es decir en las cuatro ecuaciones aportadas por la continuidad y por la cantidad de movimiento, slo aparecen 4 incgnitas: presin y componentes de la velocidad, por lo que es posible su resolucin; si se requiere el campo de temperaturas, se obtiene a partir de la ecuacin de energa, previo conocimiento del campo de velocidades.



36

La solucin de los sistemas de ecuaciones diferenciales anteriores, estn condicionadas por las

condiciones de contorno apropiadas, que dependen de cada caso, y vienen determinadas por los valores de las propiedades en el instante inicial, por la geometra de las paredes y por las condiciones en las entradas y en las salidas.

En

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Analisis Diferencial Aplicado a Mecanica de FLuidos I