ECUACION DIFERENCIAL DE LA ENERGÍA

…….. (1)

, debido a que no hay trabajo sobre el volumen de control por no haber partes móviles dentro de un volumen infinitesimal fijo.El elemento es tan pequeño que la integral de volumen se reduce al término diferencial.

Trabajamos por partes, analizamos el segundo miembro, entonces resulta:

Donde : y reemplazamos y acomodamos la ecuación:

Agrupamos:

La ecuación: debido a que: que es la ecuación de la continuidadPor el tamaño tan pequeño del elemento entonces el segundo miembro toma la forma:

….. (2)Entonces reemplazamos (2) en la ecuación general :

Ahora para el calor:

Hacemos balance de calor en la dirección “x”: donde:

Análogamente hacemos lo mismo para “y” y “z”:En “y”: En “z”:

Entonces el calor neto será:

…. (3) donde :

dx

dzdy

𝑞𝑥 𝑞𝑥+𝑑𝑥

Ahora para el :

Haciendo un balance de la energía que producen los esfuerzos viscosos en la dirección “x”:

Sabiendo que:

Análogamente hacemos esto para la dirección “y” y “z”:En “y”: En “z”:

dx

dy

dz

�̇� 𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 (�̇� 𝑥+𝜕�̇� 𝑥

𝜕𝑥𝑑𝑥)𝑑𝑦𝑑𝑧

La potencia neta debido a las fuerzas viscosas queda:

….. (4)

Juntamos los términos anteriores (4), (3), (2) en (1), entonces la ecuación queda de la sgte. forma:

De relaciones anteriores, tenemos:

Agrupamos:

Pero:

…. (5)

Entonces obtenemos: …….. (6)

Reemplazando (6) en (5) y luego (5) en (4), resulta:

De las ecuaciones de Navier -Stokes:

Considerando solo los términos del recuadro:

Resolviendo y arreglando:

Donde:

es la función de disipación viscosa

Pero bajo condiciones de flujo incompresible, viscoso, newtoniano:

…… (7)

Ahora reemplazando (7) en el recuadro, entonces la ecuación queda:

…. (8)

Ahora juntamos las ecuaciones (3, (2) y (7) en la ecuación (1), resulta del sgte. modo:

Además se sabe que:

De la ecuación de la cantidad de movimiento:

Multiplicamos por en ambos miembros:

Reemplazando:

l.q.q.d.