Analisis Dimensional Del Teorema de Buckingham

7/18/2019 Analisis Dimensional Del Teorema de Buckingham

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INTRODUCCION

No todos los problemas de ingeniería pueden resolverse mediante ecuaciones

basadas en leyes o balances (de materia, energía, cantidad de movimiento..,

debido a !ue por un lado pueden resultar muy comple"os y por otro lado los

problemas involucran un gran n#mero de variables. $or e"emplo, para el %lu"o

de un %luido ne&toniano en r'gimen laminar se pueden deducir ecuaciones de

%lu"o y p'rdidas de %riccin al aplicar un balance microscpico de cantidad de

movimiento, tal y como se )a demostrado previamente* sin embargo, para el

%lu"o de un %luido ne&toniano en un r'gimen turbulento no se pueden obtener

ecuaciones tan simples. Como consecuencia de esta situacin se empleanecuaciones empíricas basadas en e+perimentos. Una %orma de %acilitar la

resolucin de este tipo de problemas y de otros similares consiste en agrupar

las variables en una nueva pseudovariable adimensional para simpli%icar el

an-lisis.



I. UND/01NTO T1ORICO

1n el estudio de la %ísica, para resolver algunos problemas es

necesario establecer algunas )iptesis o consideraciones !ue son

ob"etables (por e"emplo despreciamos el e%ecto de la resistencia del

aire en el estudio de la caída libre. / trav's de esto obtenemossoluciones apro+imadas a los resultados reales. $ara los casos en

los !ue estas soluciones apro+imadas no resultan adecuadas se

re!uiere utili2ar las ecuaciones completas sin consideraciones. 3in

embargo, la solucin de dic)as ecuaciones es e+tremadamente di%ícil

y en muc)os casos imposibles con los m'todos m-s elaborados, por

lo !ue muc)as veces es necesario basarse en resultados

e+perimentales.

1l desarrollo de muc)as de las ramas de la %ísica (como la mec-nica

de %luidos )a dependido de los resultados e+perimentales por!uemuy pocos problemas reales pueden resolverse de manera e+acta

#nicamente por m'todos analíticos. 4a solucin de problemas %ísicos

reales implica una combinacin de in%ormacin analítica (terica y

e+perimental. 1n general, primero se apro+ima la situacin %ísica real

con un modelo matem-tico !ue sea su%icientemente simple para

obtenerse una solucin. Despu's se e%ect#an mediciones

e+perimentales para veri%icar la valide2 de los resultados analíticos.

5as-ndose en estas mediciones, se pueden )acer re%inamientos al

an-lisis y despu's se sigue veri%icando e+perimentalmente la valide2

de los resultados !ue se van obteniendo. 4os resultadose+perimentales son esenciales en este proceso. /dem-s, soluciones

sin una revisin de los datos e+perimentales disponibles usualmente

son malas y poco adecuadas para aplicar.

$or otro lado, la obtencin de datos e+perimentales en laboratorio no

siempre es posible o es muy cara y re!uiere de muc)o tiempo. $or lo

!ue normalmente se trata de obtener la mayor in%ormacin posible

del mínimo n#mero de e+perimentos. 1l an-lisis dimensional es una

de las )erramientas !ue e+iste para lograr este ob"etivo. 4os

par-metros adimensionales !ue se obtienen sirven paracorrelaciones los datos y encontrar una presentacin ob"etiva con el

mínimo n#mero posible de representaciones gr-%icas.

$ara mostrar m-s claramente esto supngase !ue se !uiere calcular

una %uer2a !ue es %uncin de cuatro variables independientes

di%erentes. $ara poder determinar cmo esta %uer2a va dependiendo

de cada una de las variables con%orme estas van cambiando )abría

!ue probar el e%ecto de variar la primera y mantener las dem-s

constantes. 4uego ir variando la segunda manteniendo el resto

constante y así sucesivamente. $ara poder tra2ar una gr-%ica



adecuada se re!uerirían 67 variaciones por cada una de las

variables. /sumiendo 67 variaciones por variable se tiene !ue se re!uerirían

67777 e+perimentos di%erentes, lo cual representa muc)ísimo tiempo

sin considerar el re!uerido para el an-lisis de todos esos

e+perimentos. / trav's del an-lisis dimensional se puede encontrar !ue !ui2- dic)a %uer2a se pueda e+presar mediante una relacin

%uncional entre slo dos par-metros adimensionales cuya %orma debe

determinarse e+perimentalmente. 1n este caso se tendría !ue con

slo 67 e+perimentos se podría encontrar la misma relacin !ue con

los 67777. /dem-s de a)orrar muc)o tiempo, el an-lisis se

simpli%icaría considerablemente.

1+isten varios procedimientos dentro del an-lisis dimensional, uno de

los cuales es el teorema p de 5uc8ing)am. 1ste teorema permite

obtener los par-metros adimensionales apropiados para cual!uier %enmeno %ísico.

Dado un problema %ísico en el !ue el par-metro dependiente es%uncin de n-1 par-metros independientes, se puede e+presar larelacin entre las variables de manera %uncional como9

donde q1 es el par-metro dependiente y q2 ,q3 ,...,qn son n-1 par-metrosindependientes. 0atem-ticamente se puede e+presar la ecuacinanterior como9

donde g es una %uncin no especi%icada, pero di%erente de f .

1l Teorema π de 5uc8ing)am establece !ue dada una relacin

entre n par-metros de la %orma

los n par-metros pueden agruparse en n-m par-metros

adimensionales independientes (o par-metros π !ue se e+presan

de manera %uncional como9

o de otra %orma



1l n#mero m usualmente (pero no siempre es igual al n#meromínimo de dimensiones independientes !ue se re!uieren paraespeci%icar las dimensiones de todos los par-metrosq1 ,q2 ,...,qn.

1l teorema no predice la %orma %uncional de G o G1. 1stas deben ser

determinadas e+perimentalmente.

Procedimiento para el empleo del Teorema de Buckingham en

un análisis dimensional.

1l an-lisis dimensional de un problema se lleva a cabo en tresetapas. Dentro de la segunda de estas etapas se aplica el

Teorema π de 5uc8ing)am para obtener los par-metros

adimensionales !ue el problema re!uiera. 4a aplicacin del Teoremade 5uc8ing)am consta de seis pasos.

6. 1stablecer una lista apropiada de par-metros.

:. Obtener los par-metros Π adimensionales usando el

teorema π de 5uc8ing)am.

1. 4istar todos los par-metros signi%icativos. (3ea n el

n#mero de par-metros.

:. 3eleccionar un con"unto %undamental (primario dedimensiones.

3. 4istar las dimensiones de todos los par-metros,e+pres-ndolos en %uncin de las dimensiones primarias.(3ea r el n#mero de dimensiones primarias.

4. 3eleccionar de la lista de par-metros !ue se elabor enel Paso 1, a!uellos !ue se repetir-n en los par-metrosadimensionales !ue se )an de %ormar. 1stospar-metros !ue se repiten deber-n ser iguales enn#mero a las dimensiones primarias y deber- evitarseomitir alguna de ellas. (3ea m el n#mero de par-metros!ue se repiten.

5. 1stablecer las ecuaciones dimensionales !ue combinenlos par-metros !ue se repiten y !ue se seleccionaronen el Paso 4 con cada uno de los par-metros restantes,buscando %ormar par-metros adimensionales. (3ean n-

m el n#mero de ecuaciones !ue se obtendr-n.



Resolver estas ecuaciones dimensionales para obtenerlos n-mpar-metros adimensionales.

;. <eri%icar !ue cada par-metro obtenido resulteadimensional.

6. Determinar e+perimentalmente la relacin %uncional entre los

par-metros Π .

Ejemplo de Aplicación.

1n el tema <II de Ondas se vio !ue la velocidad de propagacin de

una onda es %uncin de la longitud de onda (λ y la %recuencia (% de

dic)a onda y en el caso de ondas estacionarias generadas en ellaboratorio tambi'n era %uncin de la %uer2a ( aplicada a una

cuerda y de la densidad lineal (µ de dic)a cuerda para generar la

onda.

6. ....

:. .

1. V λ f F µ n = > par-metros

2. Dimensiones primarias9 [M], [L] y [T]

3. V λ f F µ

r = ? dimensiones primarias

4. λ , f, µ m = r = ? par-metros repetitivos

5.

3e obtendr-n n-m

= 2par-metro adimensionales.1stableciendo la ecuacin dimensional

Igualando los e+ponentes de 0, 4 y T



De manera seme"ante

;. <eri%icando los resultados

4a relacin %uncional es Π 1=g( Π 2 ), o bien

4a %orma de la %uncin g debe determinarse

e+perimentalmente.

6. 1+perimentalmente y aplicando teoría se sabe !ue

y si se igualan las e+presiones se puede obtener!ue

1+perimentalmente lo #nico !ue tiene !ue variarse para ver la

relacin con la < es el cociente (F/ λ 2 f 2 µ ) lo cual se puede obtener con

slo variar la %uer2a aplicada o con slo variar la %recuencia.

II. CONC4U3ION13



• 1l procedimiento anterior en el !ue m = r casi siempre permite

obtener el n#mero correcto de par-metros adimensionales $ .

• 1n algunos casos el valor correcto de m se deber- establecer

determinando el rango de la matri2 de dimensiones.

• 4os n-m par-metros adimensionales !ue se obtienen con este

procedimiento son independientes, pero no son #nicos. 3i seselecciona un con"unto di%erente de par-metros repetitivos, seobtienen di%erentes par-metros adimensionales.

• 3i n-m=1, entonces se obtiene un solo par-metro

adimensional $ . 1n este caso el teorema indica !ue el

par-metro $ #nico debe ser una constante.@

III. 5I54IOAR/I/

• Shames H. Irving , La Mecánica de los Fluidos, McGraw-Hill

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