ANÁLISIS ESPECTRAL DE DATOS - iac.es · Descomposición de Fourier de una función periódica. Sea f(x) una función periódica de periodo T . Ésta se puede desarrollar en base

Universidad de La Laguna Curso: 2005-06

NOTAS de

ANÁLISIS ESPECTRAL DE

DATOS

Jesús J. Fuensalida Instituto de Astrofísica de Canarias

Una introducción al análisis de Fourier experimental

Universidad de La Laguna 2/48 Curso: 2005-06

ADVERTENCIA Estas “Notas” no deben considerarse como la materia única del curso. De hecho, su contenido es parcial respecto al programa de la asignatura, aunque refleja una parte considerable del temario. Ha de entenderse como una herramienta de aclaración y consulta, ya que en algunos apartados extiende conceptos (muy especialmente en el Cap. 6), además del soporte de las figuras.


ÍNDICE 1.- INTRODUCCIÓN 2.- SERIES DE FOURIER 5/48 2.1.- Descomposición de Fourier de una función

periódica 5/48

2.2.- Representación en frecuencias 6/48 2.3.- Aplicación a una onda cuadrada 6/48 2.4.- Ortogonalidad 11/48 2.5.- Representación módulo y fase 12/48 2.6.- Potencia media de una función 15/48 3.- INTEGRAL DE FOURIER 18/48 3.1.- Anotación compleja 18/48 3.2.- Descomposición de Fourier de una función no-

periódica 19/48

3.3.- Transformada de Fourier 20/48 3.4.- Propiedades de simetría 23/48 3.5.- Teorema de escalado 24/48 3.6.- Teorema de desplazamiento 24/48 3.7.- Teorema de la derivada 24/48 3.8.- Catálogo de transformadas de funciones

relevantes 25/48

4.- CONVOLUCIÓN Y CORRELACIÓN 27/48 4.1.- Convolución y deconvolución (sin ruido) 27/48 4.2.- Propiedades de la convolución 28/48 4.3.- Correlación cruzada 29/48 4.4.- Teorema de Parseval 31/48


4.5.- Función de autocorrelación 32/48 5.- TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER 34/48 5.1.- Muestreo de una señal 34/48 5.2.- Transformada de Fourier discreta (DFT) 38/48 5.3.- Transformada rápida de Fourier (FFT) 39/48 5.4.- Efecto de píxel 40/48 6.- ESTADÍSTICA CON TRANSFORMADA DE FOURIER. RUIDO 42/48

6.1.- Probabilidad y parámetros (introducción) 42/48 6.2.- Esperanza estadística 42/48 6.3.- Función característica y momentos 43/48 6.4.- Momentos centrales 45/48 6.5.- Probabilidad condicional e independencia

estadística 46/48

6.6.- Distribución de una suma de variables aleatorias independientes 46/48

6.7.- Teorema del límite central 48/48

Análisis Espectral de Datos 5/48 Jesús J. Fuensalida Universidad de La Laguna Instituto de Astrofísica de Canarias

2.- SERIES DE FOURIER 2.1.- Descomposición de Fourier de una función periódica. Sea f(x) una función periódica de periodo T. Ésta se puede desarrollar en base a cosenos y senos de la siguiente forma:

(∑∞

=

++=1

0 sencos )(n

bnbn tnbtnaatf ωω ) si Tbπω (2.1) 2

≡

en donde

( )( ) χχ

πχ

χχ π

ππ

π

π

π d 21

d1

d1

0 ⋅=⋅

⋅⋅= ∫

∫

∫−

−

− ff

a siendo tbωχ ≡ (2.2)

( )( ) χχχ

πχχ

χχχ π

ππ

π

π

π d cos1

dcos

dcos

2

⋅=⋅

⋅= ∫

∫

∫−

−

− nfn

nfan (2.3)

( )( ) χχχ

πχχ

χχχ π

ππ

π

π

π d sen1

dsen

dsen

2

⋅=⋅

⋅= ∫

∫

∫−

−

− nfn

nfbn (2.4)

Al término ao se le denomina componente continua o d.c. (direct current) habitualmente en ingeniería. Un desarrollo expresado de esta forma se conoce como desarrollo en serie de Fourier. Se puede apreciar que los sucesivos términos del desarrollo están fijados por frecuencias múltiplos de ω b, que se denominan harmónicos de ω b y a los términos de orden n=1, es decir los de ω b se llama harmónico fundamental. Las expresiones anteriores pueden también escribirse de forma más general como

∑∞

=

++=

10

2sen2cos )(n

nn Tnxb

Tnxaaxf ππ

( ) xxfT

aT

T

d 1 2

2

0 ⋅= ∫+

−

Análisis Espectral de Datos 6/48 Universidad de La Laguna

( ) xTnxxf

Ta

T

Tn d 2cos

2

1 2

2

⋅= ∫+

−

π

( ) xTnxxf

Tb

T

Tn d 2sen

2

1 2

2

⋅= ∫+

−

π

donde x puede representar la variable espacio o tiempo. Este desarrollo en serie converge a f(x) si se cumplen las condiciones de Dirichlet: a) f(x) esté definida y sea uniforme excepto, como mucho, en un número finito de

puntos en ]-T/2,T/2[. b) f(x) sea periódica fuera de ]-T/2,T/2[ con periodo T. c) f(x) y f '(x) son cuasicontinuas en ]-T/2,T/2[. Las condiciones (a), (b) y (c) exigidas a f(x) son suficientes, pero no necesarias, aunque generalmente se cumplen en la práctica. 2.2.- Representación en frecuencias. Una vez expresada la función f(t) como serie de Fourier según el apartado anterior, dicha función puede quedar absolutamente representada con los coeficientes an y bn. Éstos pueden ser considerados como una función discreta respecto a la variable ω=nωb. Es decir, los coeficientes an pueden ser representados por la función a(nωb) y los bn como b(nωb). Por tanto, f(t) quedaría representada por estas funciones expresadas de la siguiente forma:

)()(0

bn naa ωωδω −= ∑∞

)()(1

bn nbb ωωδω −= ∑∞

Es decir, un conjunto de deltas de Dirac equidistantes con un intervalo ωb. 2.3.- Aplicación a una onda cuadrada. Una onda cuadrada es una función periódica respecto al tiempo o espacio unidimensional que toma dos valores diferentes alternativamente y de igual duración. En la fig. 2.3.1, se representa una onda cuadrada de amplitud la unidad, es decir, alterna entre los valores 1 y -1, respecto a χ=ωbt de modo que el periodo es 2π rad.

Instituto de Astrofísica de Canarias 7/48 Jesús J. Fuensalida

1

π−π χ

fc u a

i ii iii

Fig. 2.3.1.- Onda cuadrada de amplitud 1 y periodo 2π rad. Para expresar esta función como serie de Fourier, aplicaríamos las expresiones 2.2, 2.3 y 2.4. Dado que la función se repite cada periodo, extendemos las integrales entre +π y -π:

( )( ) 0d

21

d1

d1

0 =⋅=⋅

⋅⋅= ∫

∫

∫−

−

− χχπ

χ

χχ π

ππ

π

π

π ff

a

ya que en un periodo, la parte positiva es idéntica que la negativa. Es decir, la componente d.c. es nula, porque oscila alrededor de y=0. Si lo hiciera para y=c, ∀c∈ R constante, sería a0=c.

( )( ) χχχ

πχχ

χχχ π

ππ

π

π

π d cos1

dcos

dcos

2

⋅=⋅

⋅= ∫

∫

∫−

−

− nfn

nfan

⋅⋅−+⋅⋅++⋅⋅−= ∫∫∫+

+

+

−

−

− 44 344 2144 344 2144 344 21iiiiii

dndndnπ

ππ

π

π

π

π

χχχχχχ2

2

2

2

cos1cos1cos11

siendo cada término i, ii, y iii correspondiente a las partes indicadas en la fig. 2.3.1.

[ ] [ ] [ ]{ }πππ π

π

π

π

χχχ ++

+−

−− −+−=

2

2

2

2 sensensen 1111 nnn nnn

( ){ } { }22

222 sen2sensen π

πππ

π nnn nn =+−−=


Por tanto, los primeros valores son

... , ,0 , ,0 , ,0 451

544

31

324

10 πππ ==−==== aaaaaa Para los coeficientes bn,

( )( ) χχχ

πχχ

χχχ π

ππ

π

π

π d sen1

dsen

dsen

2

⋅=⋅

⋅= ∫

∫

∫−

−

− nfn

nfbn

⋅⋅−+⋅⋅++⋅⋅−= ∫∫∫+

+

+

−

−

− 44 344 2144 344 2144 344 21iiiiii

dndndnπ

ππ

π

π

π

π

χχχχχχ2

2

2

2

sen1sen1sen11

[ ] [ ] [ ]{ }π

ππ π

π

π

π

χχχ ++

+−

−− −+−=

2

2

2

2 coscoscos 1111 nnn nnn

( ){ } 0coscos 222 =+−−= πππ nnn

Es decir, bn = 0. Luego,

fcua= 4/π (cos ωbt - 1/3 cos 3ωbt + 1/5 cos 5ωbt - 1/7 cos 7ωbt + 1/9 cos 9ωbt - ...) En las figuras 2.3.2a y 2.3.2b, se muestran los resultados con diferentes harmónicos. Se puede apreciar que las amplitudes de los harmónicos de mayor orden son menores y sin embargo son las encargadas de ajustar los saltos bruscos, es decir, cuanto más saltos bruscos tenga la señal, mayor composición en altas frecuencias tendrá.

Serie de Fourier de Onda Cuadrada (f=10 Hz)

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 0,05 0,1 0,15

tiempo (s)

Cuadrada

Sum(1..5)

Cos1

Cos3

Cos5

Fig. 2.3.2a.- Comparación de una onda cuadrada con el desarrollo de Fourier hasta el

harmónico 5.


Serie de Fourier de Onda Cuadrada (f=10 Hz)

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 0,05 0,1 0,15

tiempo (s)

Cuadrada

Sum(1..9)

Cos1

Cos3

Cos5

Cos7

Cos9

Fig. 2.3.2b.- Comparación de una onda cuadrada con el desarrollo de Fourier hasta el

harmónico 9.

Composición en Frecuencias de Onda Cuadrada

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160

Frecuencia (Hz)

Am

plitu

d

Fig. 2.3.3.- Composición en frecuencias de un onda cuadrada.

Sin embargo, si tratamos el caso de la misma función pero desplazada respecto al Y (Fig. 2.3.4), podemos advertir que los valores de los coeficientes de la serie de Fourier cambian.


1

π−π χ

fc u a

i ii

Fig.2.3.4.- Onda cuadrada desplazada respecto al eje Y Siguiendo la fig. 2.3.4,

( )( ) χχχ

πχχ

χχχ π

ππ

π

π

π d cos1

dcos

dcos

2

⋅=⋅

⋅= ∫

∫

∫−

−

− nfn

nfan

⋅⋅++⋅⋅−= ∫∫

+

−

π

ππ χχχχ

0

01 cos1cos1 dndn

[ ] [ ]{ }πππ χχ +

− +−= 01011 sensen nn nn

( ){ } 00sensensen0sen1 =−+−+−= πππ nnn

Es decir, an = 0. Para los coeficientes bn,

( )( ) χχχ

πχχ

χχχ π

ππ

π

π

π d sen1

dsen

dsen

2

⋅=⋅

⋅= ∫

∫

∫−

−

− nfn

nfbn

⋅⋅++⋅⋅−= ∫∫

+

−

π

ππ χχχχ

0

01 sen1sen1 dndn

[ ] [ ]{ }π

ππ χχ +− −+= 0

1011 coscos nn nn

( ){ } { }πππ ππ nnn nn cos10coscoscos0cos 21 −=+−−−=


Por tanto, los primeros valores son

... , ,0 , ,0 , 451

544

31

324

1 πππ ===== bbbbb Hay que resaltar que no son iguales a los an del caso par. Se puede generalizar de este ejemplo que si la función es par, el desarrollo de Fourier no contendrá componentes impares, es decir, los términos de senos serán nulos, como es el caso de la fig. 2.3.1. Y, si la función es impar, el desarrollo de Fourier no contendrá componentes pares, es decir, los términos de cosenos serán nulos, como es el caso de la fig. 2.3.4. Además, se aprecia que para una función determinada expresada como par, los coeficientes an no son iguales a los bn de la función expresada como impar. 2.4.- Ortogonalidad. Se dice que 2 funciones, f(χ) y g(χ) son ortogonales si y solo si

∫ =⋅⋅2

1

0)()(χ

χ

χχχ dgf en el intervalo (χ1, χ2)

Esto quiere decir que f(χ) no contiene componentes de g(χ), y viceversa. Las funciones sinusoidales de diferentes frecuencias pueden formar una base ortogonal en ∀ intervalo (χ1, χ1+Χ). ¿Son ortogonales cos nχ y sen mχ?

?sencos2/

2/

=⋅⋅∫+

−

dttt b

T

Tb ωω

[ ] 02cos41

22sensencos =−=⋅=⋅⋅ +

−

+

−

+

−∫ ∫ π

π

π

π

π

π

χχχχχχ dd

χχχ cossen22sen =

[ ] 0sen32cossen22sensen 32 ==⋅⋅⋅=⋅⋅

+

−

+

−

+

−∫ ∫

ππ

π

π

π

π

χχχχχχχ dd

χχχ 22 sencos2cos −=

⇒ cos χχ 2sen212 −=χχ 22 sen1cos −=


χχχχχχχχπ

π

π

π

π

π

ddd ⋅⋅−⋅=⋅⋅∫ ∫ ∫+

−

+

−

+

−

cossen2cos2coscos 2

[ ] [ ] 0sen32sen 3 =−=

+

−+−

ππ

ππ χχ

Es decir, senχ y cosχ son ortogonales así como senχ y sen2χ y también cosχ y cos2χ. Y así se puede extender entre sen nχ y cos mχ y sen kχ y cos lχ ∀n,m,k,l∈ N. NOTA: Dos funciones f(χ) y g(χ) son ortonormales si y solo si, además de ser ortogonales, cumplen:

[ ] [ ] 1)()(2

1

2

1

22 ==∫ ∫ χχχχχ

χ

χ

χ

dgdf

sen nχ y cos mχ no son ortonormales porque,

2cos

2

2

2 TdxxnT

T

b =⋅∫+

−

ω

2sen

2

2

2 TdxxnT

T

b =⋅∫+

−

ω

(Ver apartado 2.6) 2.5.- Representación módulo y fase. Como hemos visto en el apartado 2.4 que cos nωbt y sen nωbt son ortogonales, podemos representar an cos nωbt + bn sen nωbt a modo de vectores. Por lo tanto,

φn

θn

cn

an

bn

nnn cb φsen=

nnn ca φcos=

y entonces, la suma de cada orden,

nbnnbnbnbn tnctnctnbtna φωφωωω sensencoscossencos +=+

)cos( nbn tnc φω −=


Y del gráfico obtenemos,

22nnn bac +=

n

nn

n

nn a

bab

arctg,,tg == φφ

Con lo que, el desarrollo de Fourier podemos expresarlo,

)cos()(1

0 nbn

n tncatf φω −+= ∑∞

=

De forma similar, podemos obtener una expresión respecto a θn.

nnn cb θcos=

nnn ca θsen=

tnctnctnbtna bnnbnnbnbn ωθωθωω sencoscossensencos +=+

)sen( nbn tnc θω += Y, como más arriba,

22nnn bac +=

n

nn

n

nn b

aba

arctg,,tg == θθ

De esta forma, el desarrollo de Fourier queda,

)sen()(1

0 nbn

n tncatf θω ++= ∑∞

=

En las figuras 2.5.1a y b mostramos las representaciones para dos casos de valores an y bn.


Desfase de coseno + seno (f=10 Hz)

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 0,05 0,1 0,15

tiempo (s)

1*Seno

1*Cos

1*Cos + 1*Seno

Fig. 2.5.1a.- Resultante de una cierta componente con φn=θn=π/4.

Ocurre cuando an = bn.

Desfase de coseno + seno (f=10 Hz)

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 0,05 0,1 0,15

tiempo (s)

0,4142*Seno1*Cos

1*Cos + 0,4142*Seno

Fig. 2.5.1b.- Resultante de una componente con φn=π/8 y θn=3π/8. En las gráficas 2.5.1 obtenemos la suma a partir de un coseno y seno con diferentes amplitudes. Podemos apreciar φ como la distancia en radianes desde el máximo de la resultante al máximo de la componente coseno y θ la distancia de la resultante al máximo de la componente seno. Para el caso mostrado en 2.5.1a, calculamos,

radab

n

nn 41

1arctgarctg πφ ===

radba

n

nn 41

1arctgarctg πθ ===


222 =+= nnn bac que se puede comprobar en la gráfica. Para el caso mostrado en 2.5.1b, calculamos,

radab

n

nn 81

4142.0arctgarctg πφ ===

radba

n

nn 8

34142.01arctgarctg πθ ===

0824.14142.01 222 =+=+= nnn bac

que se puede comprobar en la gráfica. 2.6.- Potencia media de una función La potencia media que desarrolla la función f(x) (recordamos que a lo largo del curso utilizaremos indistintamente la variable x y t como variable independiente, excepto en ejemplos específicos) a lo largo de un periodo se define,

[ ] dxxfT

PT

T

f

22

2

)(1∫+

−

=

Si usamos el desarrollo en an y bn,

dxxnbxnaaT

PT

Tn

nbnbnf

2

10

2

2

)sencos(1∫ ∑+

−

++=

∞

= Ξ4444 34444 21ωω

444 3444 21444 3444 2143421iii

nn

ii

nn

i

dxaT

dxT

dxaT

T

T

T

T

T

T∫ ∑∫ ∑∫+

−

+

−

+

−

∞

=

∞

=

Ξ+

Ξ+=

2

2

2

2

2

21

0

2

1

20 )(21)(11

0

a02

De desarrollar ii aparecerán términos del tipo:

(I) ∫+

−

⋅⋅2

2

sencos1T

T

dxxmxnbaT bbmn ωω


(II) ∫+

−

⋅⋅2

2

coscos1T

T

dxxmxnaaT bbmn ωω

(III) ∫+

−

⋅⋅2

2

sensen1T

T

dxxmxnbbT bbmn ωω

Calculemos cada uno de estos términos, (I) Si tenemos en cuenta que

[ ])sen()sen(21cossen βαβαβα ++−= entonces,

[ ] 0)sen()sen(211 2

2

=⋅++−= ∫+

−

dxxnmxnmbaT

T

T

bbmn ωω

cada integral de los senos es =0, tanto para m≠n como para m=n.

(II) Si tenemos en cuenta que

[ ])cos()cos(21coscos βαβαβα ++−= entonces,

[ ] dxxmnxmnaaT

T

T

bbmn ⋅++−= ∫+

−

2

2

)cos()cos(211 ωω

=0 Si m≠n (ortogonales)

[ ] Ta

Tdxxna

Tn

bn

T

T 212cos1

211 2

22

2

=⋅+= ∫+

−

ω Si m=n

(III) Si tenemos en cuenta que

[ ])cos()cos(21sensen βαβαβα +−−= entonces,

[ ] dxxmnxmnbbT

T

T

bbmn ⋅+−−= ∫+

−

2

2

)cos()cos(211 ωω


=0 Si m≠n (ortogonales)

[ ] Tb

Tdxxnb

Tn

bn

T

T 212cos1

211 2

22

2

=⋅−= ∫+

−

ω Si m=n

Por lo tanto, la POTENCIA MEDIA:

( ) ∑∑∑∞

=

∞

=

∞

=

+=++=

++=

1

220

1

2220

1

2220 2

121

22 nn

nnn

n

nnf cabaa

baaP

Como hemos visto en el apartado 2.4 y en éste más arriba, la potencia media de cada componente con amplitud 1 es 1/2. Por lo tanto, la potencia media de f(x) es la suma de la potencia de cada componente, más la potencia de la componente continua (TEOREMA DE PARSEVAL de series de Fourier). De este resultado, podemos atisbar el interés de una representación de la potencia en función de la frecuencia con lo que apreciaremos fácilmente la contribución de cada harmónico a la potencia de la función completa. A esta representación se denomina ESPECTRO DE POTENCIAS, que se tratará con más detalle en el próximo capítulo.


3.- INTEGRAL DE FOURIER 3.1.- Anotación compleja Sabemos que,

[ ]ααα ii ee −+= 21cos

[ ]ααα ii eei −−−= 2

1sen luego,

xninxninbn

bb ea

ea

xna ωωω −+=22

cos

xninxnin

bnbb e

bie

bixnb ωωω −+−=

22sen

Por lo tanto,

( ) ∑ ∑∑∞

=

∞

−∞=

−∞

=

=+

+−

+=11

0 22 n n

xnin

xninnxni

n

nn bbb edeiba

eiba

axf ωωω (3.1)

siendo,

00 ad =

2nn

niba

d−

=

*

2 nnn

n diba

d =+

=− (* conjugada)

Entonces, podemos expresar estos coeficientes:

2nn

niba

d−

=

−= ∫∫

+

−

+

−

2/

2/2

2/

2/2

sen)(1cos)(121 T

TbTb

T

TT

dxxnxfidxxnxf ωω


[ ] dxxnixnxfT

T

Tbb∫

+

−

−=2/

2/

sencos)(1 ωω

∫+

−

−=2/

2/

)(1 T

T

xni dxexfT

bω (3.2)

Expresión que es válida para ∀ valor entero n, es decir, positivo, negativo o cero. Queda claro, por tanto, que los coeficientes dn son complejos, por lo que,

22

21

nnn bad +=

n

nn a

bd arctg)arg( −=

Los dn se pueden relacionar con la representación módulo y fase:

nn dc 2=

)arg( nn d−=φ 3.2.- Descomposición de Fourier de una función no-periódica En el desarrollo de Fourier de una función periódica, el intervalo de frecuencias entre términos consecutivos es,

bb nn ωωω −+=∆ )1( Es decir,

Tbπωω 2

==∆

Pero, podemos considerar una función no-periódicas como una periódica con un T = ∞. Luego, si T → ∞ ⇒ ∆ω → 0. (3.3) Por lo tanto, ya no tiene sentido hablar de una distribución discreta de componentes sino continua. Sustituyendo (3.2) en (3.1), es decir,


∫+

−

−=2/

2/

)(1 T

T

xnin dxexf

Td bω en

( ) ∑ ∫∑∞

−∞=

+

−

−∞

−∞=

==n

xniT

T

xni

n

xnin

bbb edxexfT

edxf ωωω2/

2/

)(1

pero, como hemos visto antes,

ωππ

ω∆==

21

21 b

T

Luego, la expresión anterior quedaría,

( ) ωπ

ωω ∆= ∑ ∫∞

−∞=

+

−

−

n

xniT

T

xni bb edxexfxf2/

2/

)(21 (3.4)

Si ahora, como mencionamos al principio, consideramos que ω es una variable continua, es decir, ∆ω → 0 , ⇒ nωb → ω , es decir, una variable continua. Y, Σ → ∫ ∆ω → dω Con esto, (3.4) quedaría como,

( ) ωπ

ω

ω

ω dedxexfxf xi

F

xi∫ ∫+∞

∞−

≡

+∞

∞−

−=44 344 21

)(

)(21

∫+∞

∞−

= ωωπ

ω deFxf xi)(21)(

3.3.- Transformada de Fourier. Las expresiones obtenidas en el apartado anterior,

∫+∞

∞−

−= dxexfF xi ωω )()(


∫+∞

∞−

= ωωπ

ω deFxf xi)(21)(

se denominan ecuaciones integrales de Fourier. F(ω) es la transformada de Fourier de f(x), y f(x) es la transformada inversa de Fourier de F(ω). Las condiciones suficientes (no necesarias) para que las integrales se cumplan son: a) f(x) esté definida y sea uniforme excepto, como mucho, en un número finito de

puntos. b) f(x) y f '(x) son cuasicontinuas.

c) f(x) se reemplace por [ )0()0(21

−++ xfxf ], si x es un punto de discontinuidad.

d) ∫+∞

∞−

dxxf )( converja. Es decir, f(x) sea absolutamente integrable en (-∞, +∞).

En la definición de las integrales, existe una controversia, o falta de acuerdo, en la elección de la constante. Está claro que, al aplicar sucesivamente la Transformada de Fourier y la transformada inversa de Fourier, debería resultar la función original f(x). Es decir,

( ) ωπ

ω

ω

ω dedxexfxf xi

F

xi∫ ∫+∞

∞−

≡

+∞

∞−

−=44 344 21

)(

)(21

Pero, dependiendo de las variables utilizadas, la constante a multiplicar será diferente para que resultado vuelva a ser f(x). Veamos TRES posibles formas: I) La utilizada hasta ahora.

∫+∞

∞−

−= dxexfF xi ωω )()(

∫+∞

∞−

= ωωπ

ω deFxf xi)(21)(


II) Si utilizamos la frecuencia, ω = 2 π u ⇒ dω = 2 π du. NOTA: utilizaremos la letra u para indicar la variable conjugada de x, es decir la frecuencia espacial. Recordad que la variable conjugada de t es ν.

∫+∞

∞−

−= dxexfuF xui π2)()(

∫+∞

∞−

= dueuFxf xui π2)()(

III) A partir de la opción (I), algunos autores (Mathews & Walker, 1970, p.102), por

razones de simetría en las expresiones, definen,

∫+∞

∞−

−= dxexfF xi ω

πω )(

21)(

∫+∞

∞−

= ωωπ

ω deFxf xi)(21)(

Realmente, en cada campo de la Ciencia se han venido utilizando definiciones de la Transformada de Fourier con ligeras diferencias, lo que provoca algunos inconvenientes al consultar textos de distintas disciplinas. Obliga, indudablemente, a una atención más vigilante. Englobando las distintas convenciones, y si suponemos que r es la variable conjugada de la variable s en dominio de medida, se pueden expresar como,

( )( )

( )∫∞+

∞−−

−= dssfrF e sri 22)11(

212

2κ

κπκ

( )( )

( )∫∞+

∞−+= dsrFsf e sri 2

2)11(

212

2κ

κπκ

donde,

κ1 κ2 Campo 0 -1 Física Cuántica 1 1 Matemáticas e Ingeniería de Sistemas 1 -1 Estadística -1 -1 Física Clásica 0 2π Procesamiento de Señal y Óptica


La elección (I) corresponde a κ1 =1 y κ2 =1. La (II) se obtiene con κ1 =0 y κ2 =2π, y será la que usaremos habitualmente desde ahora para la transformada de Fourier y la transformada inversa. 3.4.- Propiedades de simetría. Como hemos visto,

∫ ∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−

+∞

∞−

− −== dxxuxfidxxuxfdxexfuF xui πππ 2sen)(2cos)()()( 2

el término del coseno transforma la parte par de la función, mientras que el término del seno transforma la parte impar de la función.

f(x) F(u) Real y Par Real y Par

Real e Impar Imaginario e Impar Imaginario y Par Imaginario y Par Complejo y Par Complejo y Par

Complejo e Impar Complejo e Impar Real y Asimétrico Complejo y Hermítico

Imaginario y Asimétrico Complejo y Antihermítico Real y Par + Imaginario e Impar Real Real e Impar + Imaginario y Par Imaginario

Par Par Impar Impar

ATENCIÓN: La relación que se indica en la tabla también se cumple de la columna derecha hacia la izquierda. Es decir que, por ejemplo, si f(x) (DOMINIO DE MEDIDA) es imaginaria e impar, entonces F(u) (DOMINIO DE FRECUENCIAS) será real e impar. NOTA: Hermítico (C ≡ función compleja):


C(-u) = C* (u) ⇒ a) Parte real par, Re[C(-u)] = Re[C(u)] b) Parte imaginaria impar, Im[C(-u)] = -Im[C(u)] Antihermítico (C ≡ función compleja): C(-u) = - C* (u) ⇒ a) Parte real impar, Re[C(-u)] = - Re[C(u)] b) Parte imaginaria par, Im[C(-u)] = Im[C(u)] Por otra parte, F(u) será, generalmente, una función compleja. Como hemos visto en el apartado 3.1, la potencia que contribuye cada frecuencia es el módulo cuadrado. Por tanto, llamaremos ESPECTRO DE POTENCIAS de f(x) a |F(u)|2 . Es decir, como ya vimos en los apartados 2.5 y 2.6, la fase no desarrolla potencia. 3.5.- Teorema de escalado. Si F(ν) = F [f(t)]

⇒ F [ ] )/()( 1 aFataf ν−= ∈∀a ú Es decir, si estiramos una función en un dominio, se encoge en el otro. Y viceversa. 3.6.- Teorema de desplazamiento. Si F(u) = F [f(x)]

⇒ F [ ] )()( )(2 uFeaxf uai −=− π

Es decir, una traslación de la función (desplazamiento) en un dominio, conlleva la existencia de una fase lineal en la transformada de la función. 3.7.- Teorema de la derivada. Si F(u) = F [f(x)]


⇒ F [ ] )(2)( uFuixf π=′ Es decir, la derivada de la función en el dominio transformado correspondiente, además de multiplicar por una recta con pendiente 2π, produce un intercambio de las partes real e imaginaria. Aplicando dos veces este teorema, obtenemos,

F [ ] )(4)( 22 uFuxf π−=′′ Y consecuentemente,

F [ ] ( ) )(2)(( uFuixfnn π=

3.8.- Catálogo de transformadas de funciones relevantes

f(x) F(u) = F [f (x)] δ (x) 1

Delta en el origen Constante

A cos 2πuox [ ])()(2 ooA uuuu ++− δδ

Coseno Dos deltas reales (par)

A sen 2πuox [ ])()(2 ooA uuuui −−+ δδ

Seno Dos del as imaginarias (im ar) t p

xui oeA ⋅⋅ π2

[ ])( ouuA −δ

Seno + coseno Una delta en la frecuencia

( )

>

<<−−<

=∏

LxLxLA

LxxA L

,,0,,,,0

2

2AL sinc(2π uL)

Función pulso centrado en el origen y ancho 2L Sinc (1er cero en 1/2L)


345.2,,

22

2

21 Γ

=−

σπσ

σx

eA πσ

σσ

21,,

2

2

21

=⋅−

u

u

ueA

(Γ≡ Ancho a mitad de altura) Gaussiana Gaussiana

Γ−

⋅x

eA2

Γ=

Γ

Γ+

Γ

ππ1

2,,

2

212

2

u

u

u

u

Exponenciales en modo par Lorentziana

E(x)=

><

0,,10,,0

xparaxpara ( )

uiu

πδ

21

21

+

Escalón (Heaviside)

( )∑+∞

−∞=

−n

onxxδ ∑+∞

−∞=

−

n oo xnu

xδ1

Peine (tren de deltas) Peine (tren de deltas)

Adviertan que,

∫+∞

∞−

= dxxfF )()0(

y por tanto, si max[f(x)]=f(0), el ancho equivalente we, es,

∫

∫∞+

∞−

+∞

∞− =≡duuF

Ff

dxxfwe

)(

)0()0(

)(

Se usa habitualmente con funciones de pico, como la gaussiana o la función sinc.


4.- CONVOLUCIÓN Y CORRELACIÓN 4.1.- Convolución y deconvolución (sin ruido) Si F [f(t)]=F(ν) y F [g(t)]=G(ν) entonces ¿Cuál será la F [f(t) · g(t)] ? Sea h(t) ≡ f(t) · g(t) y F [h(t)]=H(ν) .

dttgtfH e ti∫

+∞

∞−

−⋅= πνν 2)()()(

Definición de Transformada de Fourier

dtdGtf ee ti

tg

ti πνπµ µµ 2

)(

2)()( −∞+

∞−

∞+

∞−∫ ∫

⋅=

444 8444 76

dtdGtf e ti ⋅= ∫∫+∞

∞−

−−+∞

∞−

µµ µνπ )(2)()(

µµ µνπ ddttfG e ti

= ∫∫

+∞

∞−

−−+∞

∞−

)(2)()(

= (1) ∫+∞

∞−

⋅−⋅ µµνµ dFG )()(

De igual forma, es fácil ver que:

444 3444 21∫∫

+∞

∞−

+∞

∞−

−⋅=⋅ dsstgsfdGF e ti )()()()( 2 ννν πν (2)

Se denomina CONVOLUCIÓN de f por g. Y se representa por f ✲ g


O lo que es igual:

(3) F [f(t) ✲ g(t)]=F(ν) G(ν)

Para interpretar la operación de convolución habría que tener en cuenta que,

f(t) ✲ g(t) = [ ] dstsgsf ⋅−−⋅∫+∞

∞−

)()(

Es decir, los valores de la función convolución es el resultado del producto de f(t) por g(t), cuando g(t), una vez girada respecto al eje de ordenadas, corre el eje de abscisas. En algunos procesos experimentales se conoce g(t) (o f(t) ) y se puede medir f(t) ✲ g(t) , de modo que se puede obtener f(t) :

F [f(t) ✲ g(t)]

f (t) = F -1 (4)

G(ν)

A esta operación se le llama DECONVOLUCIÓN. En presencia de ruido este proceso es mucho más complicado requiriendo siempre una etapa de filtrado y, por ello, se verá en el apartado 7.6. 4.2.- Propiedades de la convolución La función de convolución cumple las siguientes propiedades: a) Conmutativa

f ⊛ g = g ⊛ f (4.5) b) Asociativa

f ⊛ ( g ⊛ h ) = (f ⊛ g ) ⊛ h (4.6) c) Distributiva

f ⊛ ( g + h ) = f ⊛ g + f ⊛ h (4.7)


Además cumple las siguientes relaciones:

F [f ⊛ g ⊛ h]=F · G · H (4.8)

F [f ⊛ ( g · h )]=F · ( G ⊛ H ) (4.9) 4.3.- Correlación cruzada Una función similar a la convolución, aunque con implicaciones diferentes es la función correlación cruzada. Antes de tratarla, veamos, primeramente, qué es la transformada de f *, si f(t) = F -1 [F(ν)]. Por la definición de transformada de Fourier,

νννν πννφπν dFdFtf ee titi )2)((2 )()()( ++∞

∞−

+∞

∞−∫∫ ==

eiFF )()()( νφνν =

⇒ νν πννφ dFtf e ti )2)((* )()( +−+∞

∞−∫=

νν πννφ dF ee tii )(2)()( −−+∞

∞−∫=

∴ νν πννφ dFtf ee tii 2)(* )()( −+∞

∞−∫=−

⇒ f*(-t) = F -1 [F

F*(ν)

*(ν)]. (4.10)


¿Cuál será, entonces, la F -1 [G (ν) · F*(ν)] ? si f(t) = F -1 [F(ν)] y g(t) = F -1 [G(ν)] Por otra parte, sabemos por la expresión 2-4.1 y por el apartado 4.3 que,

dsstqsp ⋅−⋅∫+∞

∞−

)()(

F -1 [Q (ν) · P (ν)] =

dssqstp ⋅⋅−∫+∞

∞−

)()(

Entonces, siguiendo la pregunta anterior, F -1 [G (ν) · F*(ν)] = F -1 [G (ν)] ✲ F -1 [F*(ν)]

g= ∫ s = k+t, t = s-k dstsfs ⋅−⋅+∞

∞−

)()( *

g= ∫ (4.11) dkkftk ⋅⋅++∞

∞−

)()( *

f *(-t)g(t)

Cualquiera de estas 2 integrales se denomina CORRELACIÓN CRUZADA de f con g. Y se representa por f k g


O lo que es igual: (4.12) Téngase en cuen 4.4.- Teorem Siguiendo la expr

∫+∞

∞−

⋅ xgxf )()(

que se debe cump

∫+∞

∞−

⋅⋅ dxxgxf )()(

Si f(x) es real ⇒

que es el Teorem Y si además es el

Es decir, como er 1 También se conoceEn tal caso, habitualpara los casos más p

F [f(t) k g(t)] = F

⋅+⋅∫

+∞

∞−

dstsgsf )()(*

F [f(t) k g(t)] =F *(ν) G(ν)

ta que f y g pueden ser complejas.

a de Parseval 1

esión (1-4.1) del apartado anterior,

∫+∞

∞−

− ⋅−⋅= ξξξπ duFGdxe uxi )()(2

lir también para u = 0 , es decir,

∫+∞

∞−

⋅−⋅= ξξξ dFG )()(

F(u) es hermítico, o sea, F(- ξ ) = F* (ξ ).

∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

⋅⋅=⋅⋅ ξξξ dGFdxxgxf )()()()( *

a de Parseval.

caso que f(x) = g(x) ⇒

[ ] ∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

⋅=⋅ duuFdxxf 22 )()(

a de esperar, la energía en los dos dominios tiene que ser igual.

como teorema de Plancherel (1885-1967), ya que lo demostró de forma más general. mente se reserva el nombre de Parseval (1755-1836), que lo expuso con anterioridad, articulares de funciones periódicas.


Para el caso general de funciones complejas en los dos dominios,

∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

⋅⋅=⋅⋅ duuGuFdxxgxf )()()()( **

4.5.- Función de autocorrelación Se llama función de autocorrelación de f(t) a la correlación cruzada consigo misma. Es decir f = g, entonces

⋅+⋅∫

+∞

∞−

dstsfsf )()(*

Se denomina AUTOCORRELACIÓN de f.Y lo representaremos por f k f

De modo que, (4.13)

F [f(t) k f(t)] =F *(ν) F(ν) = |F(ν) |2 que se conoce como

Teorema de Wiener-Khinchin Es decir, la Transformada de Fourier de la Función de Autocorrelación de una cierta función es igual al Espectro de Potencias de la misma. También se utiliza como función de autocorrelación normalizada la siguiente definición:

dsxsfsf ⋅+⋅∫+∞

∞−

)()(*

γ (x) = (4.14)

f∫ ( dssfs ⋅⋅+∞

∞−

)()*

De modo que, γ (0) = 1


El ancho equivalente de la autocorrelación wa (Apart. 3.8) es,

[ ] ∫

∫∞+

∞−

+∞

∞− === duuF

F

xfxf

dxxfxfw

x

a2

2

)(

)0(

)()(

)()(

0*

*

k

k

∫

∫ ∫∞+

∞−

+∞

∞−

+∞

∞−

dxxfxf

dxxfdxxf

)()(

)()(

*

*

=


5.- TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER

5.1.- Muestreo de una señal En la actualidad es muy poco corriente el tratamiento de la información en forma analógica. Una parte fundamental de la experimentación científica es el procesamiento de los datos, que se hace en forma digital, única viable utilizando ordenadores. Además, una vez transformada la información en forma digital, ésta se almacena y transfiere mucho más eficientemente. El primer paso en este proceso es muestrear la función que alberga la información, es decir, seleccionar algunos valores de la función, de los infinitos posible, separados un intervalo constante de la variable independiente. Por tanto, obtendremos un conjunto de valores discretos de la función. Llegados a este punto, nos irrumpe una pregunta, ¿cuál debería ser el intervalo de muestreo requerido para que la serie de muestras defina totalmente la función original?. La respuesta más simple sería que el intervalo de muestreo fuera tan pequeño como fuera posible. Aun asumiendo la vacuidad de la contestación, subyace que debe existir un cierto intervalo crítico para el cual la serie de datos aloje toda la información. Adelantamos que, de existir ese valor, el uso de intervalos menores no proporcionarían más información que la obtenida con aquel, y, si al contrario, usamos un intervalo de muestreo mayor, la información extraída falsearía la función verdadera. La elección de un intervalo de muestreo menor que el crítico, implica la necesidad y el consumo de mayores recursos, tanto en las prestaciones de la instrumentación para lograrlo como para el almacenamiento y transmisión. ¿Cuántas muestras necesitaríamos conocer en un periodo de un coseno para que fuera posible reconocerle como tal? Parece claro que menos de 2 muestras equidistantes en un periodo nos llevaría a confundir la amplitud y el periodo verdadero del coseno. Estudiemos, de un modo práctico, el comportamiento de varios intervalos de muestreo aplicados a una función simple. En la Fig. 1, se representa, en color rojo, la suma de dos cosenos de frecuencia de 20 Hz y 40 Hz. Utilizaremos esta función para estudiar el efecto del intervalo de muestreo. En la figura 2 se señalan con líneas verticales las posiciones correspondientes a las muestras de la función con un intervalo de 0.025 s. Apreciamos que la función continua que ajusta a estos valores es un coseno de amplitud 0.75 y frecuencia 20 Hz con una continua de 3.


0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0 0.05 0.1 0.15tiempo (s)

1+0.75*Cos201+1*Cos40(1+1*Cos 40) +(1+ 0.75*Cos20)

Fig. 1.- Generación de una función simple (en rojo)para estudiar el efecto del intervalo de muestreo,como suma de 2 cosenos (en azul y verde).

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0 0.025 0.05 0.075 0.1 0.125 0.15 0.175tiempo (s)

3+0.75*Cos20(1+1*Cos 40) +(1+ 0.75*Cos20)

Fig. 2.- Ajuste (curva en azul) a las muestras de lafunción (en rojo) con un intervalo de 0.025 s.Corresponde a un coseno de amplitud 0.75, frecuencia20 Hz y componente continua de 3.

En la figura 3 encontramos que el mejor ajuste de una función continua es también un coseno de 20 Hz pero con una amplitud de 1.75 y componente continua de 2. Nos percatamos así que sólo para intervalos menores que 0.0125 (líneas verticales de la figura 1) queda definida la función original (en rojo).
0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0 0.017 0.033 0.05 0.067 0.083 0.1 0.117 0.133 0.15 0.167tiempo (s)

2+1.75*Cos20

(1+1*Cos 40) +(1+ 0.75*Cos20)

Fig. 3.- Como en la figura 2 pero con un intervalo de0.01666 s.

Teorema del muestreo (o de Nyquist-Shannon).- Sea f(t) una función debanda limitada, es decir, cumple que F [f (t)]=F (ν) = 0 para | ν | > νM . Entonces f(t)está unívocamente determinada (sería totalmente reconstruida) por las muestras de lafunción f(n τ), n = 0, ±1, ±2, ... siempre que

νm > 2 νM donde νm = 1/τ , que se denomina frecuencia de muestreo.

Es decir, el intervalo de muestreo τ tiene que ser ≤ el inverso de 2 veces la frecuencia máxima νM.


A partir de los ejemplos expuestos en este apartado, resaltemos algunos resultados donde subyacen consecuencias valiosas de aplicación general. Para simplificar, consideramos una representación de los coeficientes an , ya que las funciones utilizadas son cosenos.

1

1.75

3

0.75

22

0.75

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0 10 20 30 40 5Frecuencia (Hz)

Originalcon 0.01666con 0.025

Fig. 4.- Representación de las amplitudes an de lascomponentes de la función original y de los resultados demuestrearla con diferentes intervalos. Se indica también loslímites de frecuencia fijados en cada caso por el intervalo demuestreo.

an

40 Hz = 1/ (2*0.0125 s)

30 Hz = 1/ (2*0.01666 s)

20 Hz = 1/ (2*0.025 s)

0

En la figura 4, apreciamos que, aunque la frecuencia del coseno resultante con los intervalos de muestreo de 0.01666 s. y 0.025 s. es la misma, la amplitud y la componente continua son distintas. En ambos casos se detecta una sola componente, cuando la función original está compuesta por dos diferentes. Se señala también las frecuencias (flechas) que corresponden a los límites impuestos por los intervalos usados. Aunque este punto se discutirá más profundamente en el siguiente apartado, advertimos que los valores de las amplitudes detectadas en caso, son la suma de las amplitudes de la función original a cada lado referido a la frecuencia límite correspondiente. Por ejemplo, en el caso de 0.025 s, la componente continua es la suma de la original más la amplitud en 40 Hz de la original. De igual forma, en el caso de 0.01666 s, la componente continua es igual que la original pero la amplitud en 20 Hz (1.75) es la suma de la amplitud en 20 Hz y en 40 Hz de la original. Para un cierto intervalo de muestreo τ, la frecuencia máxima que puede ser registrada es

τν

21

=N , y se denomina frecuencia de Nyquist.


5.2.- Transformada de Fourier discreta (DFT) Tratemos ahora el caso de la transformada de Fourier de una función “discreta”. Asumimos en este término el concepto de una función muestreada equidistantemente. Llamaremos ( )[ ]τ,tfD a la función resultante de muestrear la función f(t) con un intervalo de muestreo τ. Es decir,

( )[ ] ( )∑+∞

∞−

−⋅= τδτ nttftf )(,D

F F F

( )[ ]{ } ( ) ∑+∞

∞−

−∗=

τνδ

τντ nFtf 1,DF

De modo que si F(ν)=F[f(t)], y Mν

τ2

1= entonces,

-1/τ 1/τνΜ

F{D[f(t),τ]}

ν

νΜ ν

F(ν) Donde la parte en línea discontinua se repite desde -∞ hasta +∞ en intervalos de 1/τ. De modo que, F{D[f(t),τ]} es una función periódica y continua. Nótese la justificación del teorema de muestreo explicado en el apartado 5.1 y, por tanto, el efecto de Aliasing si

Mντ

21

> .

El muestreo de una función no puede ser de extensión infinita. Es decir, la toma de datos siempre se producirá en un tiempo finito. Llamaremos ( )[ ]τ,tfND la función discreta en el sentido anterior con N datos. Es decir,


( )[ ] ( )∑−

=

−⋅=1

0)(,

N

nN nttftf τδτD

( )∑−

=

−=1

0

)(N

n

ntnf τδτ

La transformada de Fourier F{DN[f(t),τ]} es una función discreta de N datos separados por el intervalo de frecuencia 1/Nτ.

( )[ ] e nNmi

N

NnNm tf

Nd τ

τπτ

ττ 2

2/

2/, −

+

−=∑= D

que no depende de τ, luego es una sucesión de N datos según el orden m,

( ) e nNmi

N

Nnm nf

Nd π2

2/

2/

1 −+

−=∑=

donde f (n) es la sucesión de N datos según el orden n. Es decir, la transformada de Fourier discreta (DFT), se puede obtener numéricamente como una sucesión de datos sin considerar, durante los cálculos, la variable independiente. El tiempo consumido por un ordenador para el cálculo de una DFT es proporcional a N 2. 5.3.- Transformada Rápida de Fourier (FFT) Para mantener la consistencia en la nomenclatura, denominaremos {F(m)}m a la sucesión de valores que corresponden a la transformada de Fourier numérica de la sucesión de datos {f(n)}n , que representa a la función original f(t). Por tanto,

( ) ( ) e Nnm

iN

nnf

NmF π2

1

0

1 −−

=∑=

Supongamos, por simplicidad, que N sea un número par. Entonces, podemos escribir,

( ) ( )( )

( )( )

++=

+−

−

=

−−

=∑∑ ee N

nmi

N

n

Nnm

i

N

n

nfnfN

mF12

21

2

0

22

12

0

1221 ππ


Observemos que, {f(2n)}n es la selección de los datos que ocupar una posición par de la sucesión {f(n)}n y los {f(2n+1)}n , los que ocupan una posición impar. Entonces,

( ) ( )

( )

( )

( )

++=

≡

−−

=

−

≡

−−

=∑∑

4444 34444 21444 3444 21m

Nnm

i

N

n

Nmi

m

Nnm

i

N

n

F

nfN

F

nfNmF

ip

eee 22

12

0

22

21

2

012

2

122

121 πππ

Es decir,

( ) ( ) ( )

+= − mFmFmF iN

mip e π2

21

donde Fp(m) es la Transformada de Fourier de la parte de la sucesión {f(n)}n que ocupan una posición par (n par, incluyendo n=0). Y Fi(m), lo mismo para los n impar. Con esta expresión sólo obtenemos la mitad de los datos de la transformada completa. Así, si aplicamos esta fórmula a los restantes m+N/2 órdenes, tenemos,

( ) ( )

−=

+ − mFmFNmF iN

mip e π2

21

2

El proceso se puede repetir en cascada. Este concepto es la base del algoritmo Cooley & Tukey (1965), fundamento de todas las rutinas de cálculo de la transformada rápida de Fourier. 5.4.- Efecto de píxel Hasta ahora, hemos considerado el muestreo de una función como el resultado de multiplicar por una función tren de deltas, espaciadas por un cierto intervalo constante. Sin embargo, en realidad el proceso es una integración de la función en un entorno de la posición de cada delta. Al ancho de ese entorno se le llama píxel (picture element). Supongamos que la respuesta de cada píxel la podemos representar por una única función p(x).


xo

ΣnN δ (x-n xo)

p(x)

x

x

x

f(x) p Si llamamos P [f(x),xo,p] a la función resultante de muestrear la función f(x) con un intervalo de muestreo xo y tamaño de píxel p,

[ ] [ ] ( )∑ −⋅∗=N

n

nxxxpxfpxxf 00 )()(,),( δP

Y el efecto en la transformada de Fourier se deduce de la expresión,

[ ]{ } [ ] ∑

−∗⋅=

N

m xmuuPuFpxxf

00 )()(,),( δPF


6.- ESTADÍSTICA con Transformada de FOURIER. RUIDO

6.1.- Probabilidad y parámetros (introducción) Supongamos una función g(t) que varía aleatoriamente con el tiempo. Si hacemos una representación de la cantidad de veces que la función toma cada valor específico g, obtenemos otra función P(g) que se denomina distribución de probabilidades. Si

hacemos 100)(

)(⋅

∫∞+

∞−

dggP

gP , lo tendríamos en tanto por ciento (%).

Otros nombres usados son: “distribución de frecuencias estadísticas”, “ley de probabilidad”, “función de densidad de probabilidad” y “función de distribución”. La cantidad P(g)dg es la “frecuencia estadística relativa” o probabilidad con la que la función g(t) toma valores entre g y g+dg. 6.2.- Esperanza estadística Se define la esperanza estadística de una función f(t), E[f(t)] = <f(t)>, con una distribución P(t) de la variable t, a las expresiones,

∑∑

>=<

t

t

tP

tPtftf

)(

)()()( para una distribución discreta (1)

∫∫>=<

dttP

dttPtftf

)(

)()()( para una distribución continua (2)


6.3.- Función característica y momentos La función Θ(h), resultante de hacer la transformada de Fourier de P(g), se denomina función característica1 asociada a la distribución de probabilidad P(g). Es decir, según la definición (convención) asumida en este curso (Apart. 3.3),

( ) ∫+∞

∞−

−=Θ dggPh e ghi π2)(

Por lo tanto, también podemos expresarlo en términos de una esperanza estadística,

( ) >=<Θ−e ghi

hπ2

Utilizando la exponencial en forma de serie de Taylor,

+∞<<∞−=++++= ∑∞

=θθθθθθ

0

32

!...

!31

!211

k

k

ke

entonces (recordemos que 0!=1),

( ) +∞<<∞−>=<Θ ∑∞

=

−g

kh

k

kghi

0

)2(

!π

La esperanza estadística de una suma de funciones es la suma de las esperanzas de cada término si la variable estadística es la misma, es decir si la distribución de probabilidad es la misma. Por lo tanto, aplicando la definición de esperanza estadística,

( )∫

∫∑ ∞+

∞−

+∞

∞−∞

=

−=Θ

dggP

dggPg

kh

k

k

khi

)(

)(

!0

)2( π

Se designa momento de orden k de g(t) a la esperanza estadística de las correspondientes potencias de la variable estadística g. Por lo tanto,

1 En el campo de la Estadística, habitualmente se utiliza la convención κ1=1, y κ2=-1 en la definición de la Transformada de Fourier (ver Apart. 3.3). Esta elección conlleva distintas constantes en algunas expresiones deducidas de la función característica, por ejemplo en los momentos. Para más detalles ver el Apéndice 6-A, al final del capítulo.


∫

∫∞+

∞−

+∞

∞−=><dggP

dggPgg

k

k

)(

)(

Es corriente usar el símbolo µ k ≡<gk>. Si g toma valores discretos, toma la expresión,

∑

∑∞+

−∞=

+∞

−∞==><

nn

nn

kn

k

P

Pgg

El momento de orden 1, se denomina media µ de la distribución, µ ≡µ 1 =<g>. Esto implica que podemos expresar la función característica en función de sus momentos. Esto es,

( ) kk

khi

kh µ

π∑∞

=

−=Θ

0

)2(

!

Ahora bien, siguiendo el Apart. 3.7, como Θ(h) es la transformada de Fourier de P(g), entonces,

[ ] )(2)('1 gPgih π−=Θ−F aplicando sucesivamente,

[ ] )()2()((1 gPgih kk π−=Θ−F

[ ])()2()(( gPgih kk π−=Θ F

∫+∞

∞−

−−=Θ dggPgih e ghikkk ππ 2( )()2()(

para h=0,

∫+∞

∞−

−=Θ dggPgi kkk )()2()0(( π

y como,

∫+∞

∞−

=Θ dggP )()0(

los momentos estadísticos se pueden expresar,


)0()0(

21 (

ΘΘ

−=>≡<

kkk

k ig

πµ

6.4.- Momentos centrales Se llama momento central de orden k, mk, de la variable aleatoria g, a la siguiente esperanza estadística,

>><−=< kk ggm )(

luego,

∫

∫∞+

∞−

+∞

∞−

−=

dggP

dggPgm

k

k

)(

)()( µ

entonces, m1=0. El momento central de orden 2, m2, es la varianza σ2,

2222

2 )( ><−>>=<><−=<≡ ggggmσ Es decir,

222

2 µµσ −=≡ m En general, los momentos centrales en forma de serie son,

lkl

lkk

lk l

km −−

=−

= ∑ 1

0)1( µµ si µ0=1

Los momentos centrales son, por tanto, los momentos tomados alrededor de la media µ (momento de orden 1). Si se toman alrededor de cualquier valor go será,

>−=< kk gggm )()( 00

A veces es útil expresar las derivadas del logaritmo neperiano ln Θ(h) en función de los momentos centrales (la primera derivada es directamente proporcional a la media, µ). Las 7 primeras derivadas son, [ ] µπ )2()(ln

1(

0ih

h−=Θ

=

[ ] 22)2()(ln

2(

0mih

hπ−=Θ

=


[ ] 33)2()(ln

3(

0mih

hπ−=Θ

=

[ ] [ ]224

4 3)2()(ln4(

0mmih

h−−=Θ

=π

[ ] [ 2355 10)2()(ln

5(

0mmmih

h−−=Θ

=π ]

[ ] [ ]32

23246

6 301015)2()(ln6(

0mmmmmih

h+−−−=Θ

=π

[ ] [ ]22334257

7 2103521)2()(ln7(

0mmmmmmmih

h+−−−=Θ

=π

De modo que, se puede obtener el ln Θ(h) en función de los momentos centrales sustituyendo las derivadas anteriores en el desarrollo de Taylor alrededor de h=0,

[ ] [ ] [ ] ...)(ln)2(!3

1)(ln)2(21)(ln)2()(ln

3(

032(

021(

0+Θ−+Θ−+Θ−=Θ

=== hhhhhihhihhih πππ

6.5.- Probabilidad condicional e independencia estadística Consideremos que en un experimento se produce un suceso A con una probabilidad P(A) y nos preguntamos por la probabilidad de otro suceso B una vez conocido el suceso A, es decir la probabilidad condicional de B conocido A, P(BA).

)()()|(

APBAPABP I

=

Teorema de Bayes: Si P(A) y P(B) no son cero,

)()|()()|( BPBAPAPABP =

P(A…B) es la probabilidad conjunta de A y B o, denotado de otra forma, P(AB). Si A y B son estadísticamente independientes

)()|( BPABP = Por lo tanto,

)()()( BPAPABP = 6.6.- Distribución de una suma de variables aleatorias independientes Sean 2 funciones g1(t) y g2(t) (variables aleatorias) que toman valores independientemente con distribuciones P1(g1) y P2(g2). ¿Cuál es la distribución y los momentos de la variable suma gT =g1+g2?


Como g1 y g2 toman valores en el mismo dominio, escribiremos P1(g) y P2(g). Según el Apart. 6.3, la función característica de gT es,

( ) >⋅>=<=<Θ−−− eee ghighighi

gT

Th 21 222 πππ

Como los valores de g1(t) y g2(t) son independientes1 también lo serán las exponenciales respectivas, entonces,

( ) >><=<Θ−− ee ghighi

g hT

21 22 ππ

Por lo tanto,

( ) ( ) ( )hhh gggg 2121Θ⋅Θ=Θ +

Como la función característica es la transformada de Fourier de la respectiva distribución de probabilidad, la correspondiente a la suma de las variables será la convolución entre las distribuciones de cada variable individual,

)()()(2121

gPgPgP gggg ∗=+

A partir de esto, podemos obtener fácilmente los primeros momentos más utilizados. ¿Cuál es la media de la variable suma, µg1+g2? Hemos visto en el apartado anterior 6.4 que, y como ( ) ( ) (hhh gggg 2121

Θ⋅ )Θ=Θ + ,

[ ]0

1(1(1(

0 )()(

)()()()(

)2(1)(ln

)2(1

21

21212121

==

++

ΘΘ

ΘΘ+ΘΘ

−=Θ

−=

hgg

gggg

hgggg hh

hhhh

ih

i ππµ

444 3444 21444 3444 212

2

2

1

1

121 )0(

)0(

)2(1

)0(

)0(

)2(1

1(1(

g

g

g

g

g

ggg ii

µ

π

µ

πµ

Θ

Θ

−+

Θ

Θ

−=+

De forma similar podemos obtener la varianza de la suma de 2 variables independientes.

[ ] 2(

022 )(ln

)2(1

2121 =++ Θ−

=hgggg h

i πσ

1 Si dos variables aleatorias z1 y z2 son independientes entonces, (z1-<z1>) y (z2-<z2>) son ortogonales, es decir, la covarianza entre z1 y z2 es igual a cero (cuidado, no siempre cuando la covarianza es cero implica que las variables son independientes): <(z1-<z1>)(z2-<z2>)>=0 fl <z1 z2>=<z1><z2>

jjf

47


( ) ( )0

2

21(2(

2

21(2(

22

)(

)()()(

)(

)()()(

)2(1

2

222

1

11121

=

+

Θ

Θ−ΘΘ+

Θ

Θ−ΘΘ

−=

hg

ggg

g

ggggg h

hhh

h

hhh

i πσ

444444 3444444 21444444 3444444 212

21(2(

2

2

21(2(

22

2

2

2

2

2

1

1

1

1

121 )0(

)0(

)0(

)0(

)2(1

)0(

)0(

)0(

)0(

)2(1

g

g

g

g

g

g

g

g

g

ggg ii

σ

π

σ

πσ

Θ

Θ−

Θ

Θ

−+

Θ

Θ−

Θ

Θ

−=+

6.7.- Teorema del límite central Si g1, g2, ..., gn son variables aleatorias con distribuciones de probabilidad Pi(g), no necesariamente idénticas, con medias <g1>, <g2>, ..., <gn> y con varianzas σ1

2, σ22, ...,

σn2 y si componemos la nueva variable aleatoria,

∑=

><−=

n

i i

ii ggn

gS1

1σ

cada término del sumatorio es una variable de µ =0 y σ =1 y, por tanto gS tiene µS =0 y σS =1. Entonces, bajo ciertas condiciones,

eSg

S ngP

n2

2

1)(lim−

∞→=

Es decir, la distribución PS(g) de la variable gS tiende a una gaussiana cuando el número de variables es suficientemente grande.

Condiciones suficientes: Deben existir 2 números p y q tal que,

iqggp

ii

i∀

<><−>>>< 302σ

Fijémonos que gS es la suma de variables, por lo tanto, su distribución de probabilidad será la convolución de las distribuciones de cada término del sumatorio. Al incrementar n, la convolución mutua de las distribuciones se acerca a una gaussiana.

jjf

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ANÁLISIS ESPECTRAL DE DATOS - iac.es · Descomposición de Fourier de una función periódica. Sea f(x) una función periódica de periodo T . Ésta se puede desarrollar en base