Definicin de convolucin

Cuando hemos aplicado, en el apartado anterior, una funcin ventana o hemos muestreado una funcin dada, implcitamente hemos estado efectuando una operacin de convolucin que ha sido denotada con un smbolo (*) en las figuras 4.3, 4.4 y 4.5. Esta operacin se produce de forma inevitable en el dominio tiempo, cuando tenemos un producto de espectros en el dominio frecuencia, o viceversa, cuando tenemos un producto de funciones en el dominio tiempo, ocurriendo una convolucin en el dominio frecuencia. Por eso, llegados a este punto es necesario definir la operacin convolucin y conocer cules son sus principales propiedades.

En consecuencia, definimos la convolucin de dos funciones temporales

como (Brigham, 1988)

== d)t(f)(f)t(f*)t(f)t(h 2121 esta operacin puede llevarse a cabo mediante la transformada de Fourier, cuando notamos que (Bath, 1974)

)(F)t(f)(F)t(f

22

11

)t(h)(H)(F)(F)t(f*)t(f 2121 =

donde H() es el espectro de Fourier de la funcin h(t) resultante de la convolucin. Entonces si quiero conocer la convolucin de dos funciones, en lugar de resolver la integral correspondiente, es ms rpido obtener los espectros de Fourier de cada una de ellas y luego multiplicarlos.

Anlogamente hubiramos podido definir la convolucin en el dominio frecuencia, pues esta propiedad es igualmente cierta para dicha operacin (Bath, 1974; Brigham, 1988). As, notamos que la transformada de Fourier es una herramienta muy til, para realizar multitud de operaciones habituales en el anlisis de datos.

Convolucin y Convolucin Discreta

Teorema de Parseval

Este importante teorema nos permite relacionar lo que se llama energa total de una funcin f(t), definida como

dt)t(f 2 con el espectro de potencia de dicha funcin f(t) definido como

2)(F mediante la expresin (Bath, 1974)

== 0 222 d)(F 1d)(F 21dt)t(f donde debemos notar que el espectro de fase no juega ningn papel, para obtener la energa total de una funcin, pues ella se obtiene a travs del espectro de potencia, que se escribe nicamente en funcin del espectro de amplitud. Esta propiedad ser importante en el anlisis de seales digitales, pues en muchas aplicaciones nos interesa determinar y conocer la potencia o energa asociada con una seal, ms que esa seal propiamente dicha. Convolucin discreta

Dado que las funciones empleadas en la operacin de convolucin deben ser discretizadas, como se indic en el apartado anterior, puesto que para computar esta operacin con un ordenador no tenemos otra forma de actuar, es necesario saber cmo acta la transformada de Fourier, cuando realiza una convolucin discreta. Para ello, vamos a considerar como ejemplo las funciones x(t) y h(t), representadas en la figura 5.1(a). El resultado terico de realizar la convolucin de dichas funciones es la funcin y(t), representada tambin en la figura 5.1(a).

En primer, lugar muestreamos las funciones x(t) y h(t), tal como indica la

figura 5.1(b), considerando un valor N (= 9) de muestreo total menor que la suma de P (= 6) y Q (= 6), siendo stos ltimos valores el nmero de muestras de la forma de onda de las funciones consideradas. Vemos entonces que se produce una distorsin del resultado, en comparacin con el resultado que tendra que producirse tericamente (figura 5.1(a)), si la convolucin discreta estuviera bien realizada. Vemos que la funcin y(t) producida por la convolucin discreta est truncada al final (figura 5.1(b)), parece que ha faltado espacio de muestreo para que se reproduzca el resultado completo esperado, a la vista de la figura 5.1(a). Puede comprobarse que este problema suceder siempre que N < P + Q 1 (Brigham, 1988).

Fig. 5.1. Convolucin continua y discreta: forma correcta de muestrear las funciones.

En consecuencia, la regla de oro que debe respetarse en cualquier operacin de convolucin discreta, es que el muestreo total N de las funciones a considerar en la convolucin, debe ser como mnimo N = P + Q 1, pues con valores de N ms pequeos tenemos un problema como el mostrado en la figura 5.1(b). Esto puede comprobarse en la figura 5.1(c), en la cual se ha considerado N = 6 + 6 1 = 11, obtenindose buenos resultados.

En la figura 5.1(d) podemos ver que valores de N mayores que P + Q 1, tambin son posibles y dan buenos resultados, pero la realidad es que no mejoran en nada el resultado obtenido en la figura 5.1(c), siendo estos procedimientos ms costosos en tiempo de computacin, pues el ordenador debe calcular los valores de puntos que realmente no tienen ninguna informacin. Por ello, debemos quedarnos con el nmero mnimo de puntos N, que sea necesario para realizar bien la computacin (N = P + Q 1), ya que, en caso contrario estamos desperdiciando recursos de computacin.

En este sentido, si queremos utilizar un gran nmero de puntos N, como en la

convolucin ilustrada en la figura 5.1(e), debemos disminuir la razn de muestreo de tal forma que incrementemos tambin los valores de P y Q, para que siempre se mantenga que = P + Q 1. Observando ahora que los resultados de la convolucin mostrados en la figura 5.1(e), son ms parecidos al resultado terico mostrado en la figura 5.1(a), que el resultado mostrado en la figura 5.1(c).

Definicin de correlacin

Otra importante aplicacin de usar el anlisis espectral, es la posibilidad de calcular la correlacin de dos funciones, definida como la integral (Brigham, 1988)

+== d)t(h)(x)t(h)t(x)t(z esta operacin puede llevarse a cabo mediante la transformada de Fourier, cuando notamos que (Bath, 1974)

)(H)t(h)(X)t(x

)t(z)(Z)(X)(H)t(h)t(x * =

donde Z() es el espectro de Fourier de la funcin z(t) resultante de la correlacin. Entonces si quiero conocer la correlacin de dos funciones, en lugar de resolver la integral correspondiente, es ms rpido obtener los espectros de Fourier de cada una de ellas y luego multiplicarlos, teniendo en cuenta que el segundo espectro es el complejo conjugado del original. Correlacin discreta

Dado que las funciones empleadas en la operacin de correlacin deben ser discretizadas, como se indic en el apartado anterior, puesto que para computar esta operacin con un ordenador no tenemos otra forma de actuar, es necesario saber cmo acta la transformada de Fourier, cuando realiza una correlacin discreta. Para ello, vamos a considerar como ejemplo las funciones x(t) y h(t), representadas en la figura 5.1(a), discretizadas en la forma en la que aparecen en la figura 6.1(a). En esta operacin tendremos tambin en cuenta la regla de oro descubierta en el apartado anterior, cuando estudibamos los resultados de la convolucin discreta. Esta regla nos dice que N = P + Q 1. No obstante, en la correlacin vemos que el orden en el que llevemos a cabo esta operacin afecta al resultado final (Brigham, 1988), tal y como puede verse en las figuras 6.1(b) y 6.1(c). Por otra parte, el poner un gran nmero de ceros nos obliga a consumir recursos de computacin, para calcular valores de puntos que no tienen ninguna informacin.

Correlacin y Correlacin Discreta

Fig. 6.1. Correlacin discreta: efecto del cambio de orden en la correlacin.

Fig. 6.2. Correlacin discreta con reestructuracin de datos.

En consecuencia, debemos encontrar una forma ms adecuada para realizar esta operacin, sin desperdiciar recursos de computacin en calcular valores para puntos que no tienen ninguna informacin. En este sentido, si volvemos a muestrear las funciones x(t) y h(t), representadas en la figura 5.1(a), en la forma en la que aparecen en la figura 6.2(a). Notamos que el resultado no sale como esperbamos (figura 6.1(b) o 6.1(c)). En la figura 6.2(b) el resultado aparece partido en dos trozos. Para evitar este problema, sin tener que incorporar muchos puntos adicionales sin informacin, podemos reestructurar los datos de la funcin x(t), muestrendola como indica la figura 6.2(c). Obteniendo ahora el resultado correcto, mostrado en la figura 6.2(d), en la que vemos que se han considerado el menor nmero posible de espacio vaco, para utilizar del modo ms eficiente los recursos de computacin.

Prof. Dr. Vctor Corchete Department of Applied Physics

Higher Polytechnic School - CITE II(A) UNIVERSITY OF ALMERIA

04120-ALMERIA. SPAIN FAX: + 34 950 015477 e-mail: corchete@ual.es