Capítulo l

Dinámicas estructurales y Espectro de respuesta

1.1 Grado individual de sistema de la libertad

Figura I. l (a) muestra un modelo ideal estructura de una historia. Tiene una viga rígida con

agrupada masa m que se apoya en dos columnas sin masa con un combinado rigidez lateral

igual a k. La pérdida de energía es modelada por un amortiguador viscoso, también se

muestra en la figura. Esta estructura tiene un solo grado de libertad, el desplazamiento

lateral de la viga. Bajo la acción del movimiento telúrico, ug, la estructura se deforma, la

Figura l.l (b). El desplazamiento relativo de la viga con respecto al suelo es u. El

desplazamiento total de la viga es u - (- ug) = u + ug. Figura I. l (c) muestra el diagrama

de cuerpo libre de la viga, en que f1 denota la fuerza de inercia, f, la primavera (o la

columna) la fuerza y fD denota la fuerza de amortiguación. La ecuación de equilibrio para

la viga es simplemente

(1.1)

Nuestra estructura es lineal elástico, habiendo la relación fuerza-desplazamiento se

muestra en la Figura I. l (d). Por lo tanto, fs = ku. El amortiguamiento viscoso fuerza fD, se

supone que variar linealmente con la velocidad relativa ů, fD = c ů , la figura 1.1 (e). La

inercia fuerza f1 está dada por m (ü + üg). Un punto super (') denota la derivada temporal.

Haciendo el sustituciones en la ecuación 1.1, obtenemos

o

La ecuación 1.3 representa vibraciones amortiguadas de la estructura sometidas a la -müg

fuerza. Ahora usamos la siguiente relación básica de la dinámica estructural;

; que con la ecuación 1.3 se convierte

Donde w es la frecuencia circular de la estructura en radianes por segundo y es el

coeficiente de amortiguamiento. Para una respuesta libre a ser vibratorio, <1. Para la

mayoría de las estructuras es pequeña, digamos <0,1, o 10%. Tomamos nota de que

la frecuencia en Hertz (Hz) o ciclos por segundo (cps) 𝑓 = 𝑤/2𝜋 y que el periodo de

vibración 𝑇 = 1/𝑓 = 𝑤/2𝜋 que es en segundos. La ecuación 1.4 se puede resolver

utilizando técnicas numéricas estándar. Como resultado podemos obtener las historias de

tiempo de desplazamiento, velocidad y aceleración, del resorte y las fuerzas de

amortiguación. Y cualquier otra historia de tiempo de respuesta relacionada. Ver el

apéndice de amortiguación.

1.2 Espectro de Respuesta

Podemos resolver la ecuación 1.4 para muchos (SDOF) estructuras de un solo grado de

libertad que tienen diferentes frecuencias, cada uno sometido a la misma tierra terremoto

movimiento. Para cada estructura se puede calcular el valor máximo absoluto de la

respuesta de interés de la historia de tiempo correspondiente. En respuesta al terremoto

cálculos el signo de la respuesta a menudo no se considera. Para los propósitos de diseño

se supone que los valores máximos positivos y negativos de tener magnitudes iguales, por

lo tanto, la señal absoluta. La curva que muestra la respuesta máxima frente relación de

frecuencia estructural se llama el espectro de respuesta.

Para el diseño de una estructura, estamos más interesados en la fuerza elástica máxima

fs, que se puede evaluar si el desplazamiento relativo máximo de u es conocido. Una

parcela entre el máximo desplazamiento relativo y la frecuencia estructural se llama el

espectro de respuesta de desplazamiento. Sus coordenadas son llamados

desplazamientos espectrales,

y se denotan por SD,(f ; ) dependiendo del contexto, pueden ser también denotado por

SD,( w ; ) , SD ( f ), SD (w), o simplemente por SD. Escríbanos

La figura 1.2 muestra la tierra la historia el tiempo de aceleración de El Centro (SOOE,

1940) terremoto. El espectro de respuesta de desplazamiento correspondiente se muestra

en la Figura 1.3 (a).

Consideremos la relación fuerza-desplazamiento del resorte fs = ku. Hemos indicado

anteriormente que si el desplazamiento relativo de u es conocida, podemos encontrar la

fuerza del resorte fs. Alternativamente, si se conoce la fuerza de resorte, podemos

determinar el desplazamiento relativo correspondiente. Podemos visualizar esto como un

problema pseudo-estática se muestra en la Figura 1.4. Ahora pensemos en fs y como una

fuerza pseudo-inercia, que se puede escribir en términos de la aceleración speudo una

como ma. Las relaciones, ma = fs = ku , dan a = (k / m) u = w²u. El máximo absoluto valor

de una aceleración espectral se llama Sa. Podemos ver fácilmente

De la ecuación 1.2 se observa que cuando cu es pequeño podemos escribir m (ü + üg) = -

ku, o la aceleración total de (ü + üg) = ≈ ( - k / m) u = - w²u. Esta

significa,

Este espectro de respuesta pseudo-aceleración para el terremoto de El Centro es

graficadas en la Figura 1.3 (c).

Fig. 1.3 (a) espectro de respuesta de Desplazamiento. (b) Espectros de respuesta de

velocidad. (c) Espectro de aceleración de respuesta para terremoto de El Centro (SOOE

1.940.) coeficiente de amortiguamiento, = 0.02.

Después de haber definido los espectros de respuesta para el desplazamiento relativo y de

pseudo-aceleración, queremos definir un espectro de respuesta para la velocidad. Se

puede hacer en más de una forma. En primer lugar, vamos a definir un Sv velocidad

espectral tal que la energía cinética asociada a ella es igual a la energía máxima tensión

del resorte,

(1/2 ) m S²v = (1/2) k S²D , esto da

La velocidad Sv espectral es realmente una pseudo velocidad de porque no está

directamente relacionada con la velocidad real de la estructura. Este espectro de respuesta

pseudo-velocidad para el terremoto de El Centro se representa en la figura 1.3 (b). Ahora

tenemos tres cantidades espectrales SD, Sv y SA que tienen unidades de desplazamiento,

velocidad y aceleración, respectivamente. Sólo espectral desplazamiento SD se basa

directamente en una cantidad de respuesta real, el desplazamiento relativo máximo. Las

ecuaciones 1.6 y 1.8 dan a sus relaciones mutuas

Debido a esta relación, es posible leer SD, Sv y SA, desde el mismo gráfico logarítmico

mostrada en la Figura 1.5. Esta tabla se conoce como el gráfico tripartito porque, para

cualquier frecuencia f hay tres escalas, una para cada uno de SD, Sv y SA. Consideremos

ahora la segunda manera de definir un espectro de velocidad. Vamos a denotar la nueva

cantidad de S’v , Se define como la velocidad relativa máxima absoluta.

El espectro de velocidad relativa se muestra en la figura 1.3 (b) con las líneas de trazos.

Los dos espectros de la figura están cerca en el rango de frecuencia intermedia; el espectro

de velocidad de pseudo es mayor en el rango de alta frecuencia, y el espectro de velocidad

relativa es mayor en el rango de baja frecuencia. Por lo tanto, como regla, no podemos

sustituir un espectro para el otro.

Para la estructura SDOF, la cantidad de espectro de respuesta de interés es cualquiera

De 𝑆𝐷, 𝑆𝑉 O 𝑆𝐴.También, para el multi-grado de libertad clásicamente amortiguado

Sistemas (MDOF) definidos en la Sección 1.4, sólo unos de los tres espectros necesitan.

Nos veremos en el capítulo 5, que también necesitamos S; para no amortiguado

clásicamente MDOF sistemas.

1.3 Características del espectro respuesta al terremoto

Observemos la figura 1.5 una vez más, lo que muestra el tripartito El Centro (SOOE,

1940) espectro de respuesta, junto con el desplazamiento máximo del suelo,

los valores de velocidad y aceleración. Está claro que

en el rango de baja frecuencia

y en el rango de alta frecuencia

Este fenómeno se puede explicar fácilmente.

El rango de baja frecuencia se caracteriza por un bajo valor de la rigidez de resorte

A medida que la rigidez del resorte se hace más pequeña y más

pequeña,

cesa progresivamente para transmitir cualquier movimiento a la masa. En el límite, el total

desplazamiento de la masa tiende a cero. Desplazamiento relativo del oscilador

se convierte en

Desplazamiento relativo máximo se puede expresar como

𝑆𝐷 = 𝑈𝑚𝑎𝑥 = (𝑚𝑖𝑖 𝑘⁄ )𝑚𝑎𝑥𝑥 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑖𝑛á𝑚𝑖𝑐𝑜

Sabemos que cuando el oscilador de frecuencia (estructural) es suficientemente mayor que

las frecuencias dominantes de la fuerza de entrada (mu,), entonces el factor de

amplificación dinámico = 1.

Por Consiguiente,

Podemos pensar en el espectro de respuesta tripartita como 'anclado' en los dos

lados a los valores máximos de desplazamiento de tierra y aceleración. en el

frecuencia intermedia gama del espectro ha amplificado el desplazamiento espectral,

velocidad y aceleración. Estas observaciones serán útiles en el desarrollo de diseño

espectros en el próximo capítulo.

1.4 Sistemas de varios grados de libertad

La figura 1.6 muestra una estructura de 3 grados de libertad (DOF-3), que es un simple

ejemplo de los sistemas de un grado de libertad. La ecuación de movimiento para esta

estructura puede ser derivada de una manera similar a la de la estructura SDOF hicimos

antes. Para derivación rigurosa se remite al lector a los libros sobre la dinámica estructural

[2].

Nuestro ejemplo de estructura 3-DOF tiene tres masas de la historia, 𝑚1,𝑚2,𝑚3

,𝑦 𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑘1,𝑘2,𝑘3, Los tres DOF están asociados con el lateral (horizontal)

desplazamientos de las tres masas. La estructura se deforma bajo la acción

de terremoto de movimiento del suelo, Ug. Se da el desplazamiento relativo de la estructura

por

El vector de fuerza de inercia es:

donde Ui , es un vector de aceleración del suelo Uii, Se da el vector de fuerzas de resorte

por

Cuando amortiguación está ausente la ecuación de equilibrio se convierte simplemente en

Fi + Fs = 0, que puede ser escrito como

En la ecuación anterior M es la matriz de masa de la estructura, la rigidez K

matriz, y el vector 1 se compone de elementos unitarios. Para la estructura 3-DOF éstos

matrices se definen explícitamente anteriormente. Por otra estructura MDOF estas matrices

(a) simple 3-DOF sistema (b) Forma deformada

Fig. 1.6 Ejemplo de un sistema de múltiples grados de libertad.

se puede obtener usando procedimientos estándar [2]. Una forma más general de la

ecuación de movimiento es amortiguado

El vector 𝑈𝑏, define desplazamientos estructurales estáticos cuando la sufre de apoyo

una unidad de desplazamiento en la dirección del terremoto. Para la estructura simple en

lado, es fácil ver que 𝑈𝑏, se convierte en 1 como en la ecuación 1.13.

Las formas de los modos y las frecuencias de la estructura se obtienen resolviendo

el siguiente problema de valor propio

donde w es una frecuencia natural de la estructura. La solución de la Ecuación 1.15

da N frecuencias y las formas modales correspondientes o vectores modales, donde

N es el número de DOF de la estructura. La figura 1.7 muestra las formas de los modos y

frecuencias de la estructura 3-DOF cuando 𝑚1=𝑚2=𝑚3 , 𝑘1=𝑘2=𝑘3.Denotemos la frecuencia

del modo i de una estructura de N-DOF por 𝜔𝑖, y el vector modal ∅𝑖. Los vectores modales

tienen el siguiente ortogonal de propiedades:

Los vectores modales son a menudo "normalizado" de tal manera que

en cuyo caso, se puede demostrar que

Fig. 1.7 formas modales no normalizados y frecuencias de un sistema 3-DOF,

𝑚1=𝑚2=𝑚3 , 𝑘1=𝑘2=𝑘3

La respuesta de la estructura se representa en términos de una superposición lineal

de formas de los modos

Donde 𝛾𝑖 , los términos se denominan coordenadas normales, y son funciones del tiempo

t variable. La sustitución de la ecuación 1.17 en la ecuación 1.14, por premultiplicación

, Y la aplicación de las condiciones de ortogonalidad a partir de la ecuación 1.16 da

en el cual 𝛾, se llama el factor de participación para el modo i, y viene dada por

La ecuación 1.18 es similar a la Ecuación 1.4 para la estructura SDOF para el

caso no amortiguado.

Es difícil con precisión para definir la matriz de amortiguamiento para una estructura MDOF.

A menudo se asume que la matriz de amortiguamiento C tiene propiedades de

ortogonalidad

similares a los de M y K, y que podemos definir el factor de amortiguamiento para cada

modo tal como lo hicimos para una estructura SDOF

Las estructuras que tienen la propiedad de matriz de amortiguamiento idealizado propuesta

por la anterior ecuación se denominan clásicamente amortiguadas.

La ecuación 1.18 se sustituye por

En el método de superposición modal Ecuación 1.21 se resuelve para obtener las historias

de tiempo de las coordenadas normales Y, que con la Ecuación 1.17 dan la historia

del vector de desplazamiento relativo U, etc.

Vamos a utilizar el concepto anterior para aplicar el método de espectro de respuesta a la

estructura MDOF. La comparación de las ecuaciones 1.4 y 1.21 espectáculos,

Por lo tanto, el vector de desplazamiento máximo en el modo i-ésimo se puede escribir

como

Dado el vector de desplazamiento 𝑈𝑖𝑚𝑎𝑥 podemos determinar el valor máximo de cualquier

respuesta de interés. Los métodos de la combinación de valores de respuesta máximo de

varios modos, y de tres componentes del terremoto se presentan en Los capítulos 3 y 4,

respectivamente.

Capítulo 2 / espectro de diseño

2.1 Introducción

Hemos revisado los conceptos básicos del análisis estructural dinámico en el Capítulo 1.

Sólo comportamiento elástico lineal se ha considerado. El objetivo era establecer el

escenario para otros temas. De hecho, la teoría y técnicas de dinámica estructural han

llegado a una etapa de avance tal que es justo decir que cualquier estructura que puede

ser modelado matemáticamente se puede analizar sujetos a ninguna transitoria dado

función de forzamiento, por ejemplo, un movimiento telúrico. La estructura puede tener

cualquier dada lineal o propiedades constitutivas no lineales. Grandes efectos de

desplazamiento puede También tenerse en cuenta. Para nosotros, la clave aquí es la

definición del terremoto movimiento del suelo. Si conocemos la historia de movimiento de

tierra, podemos analizar la estructura y diseñarlo. Pero el terremoto que estamos hablando

aún no tiene ocurrió.

En muchos sentidos, el problema de la especificación de un futuro terremoto no es muy

diferente de la especificación de cualquier otra carga para el diseño. La carga viva real en

un piso del edificio varía mucho durante su vida, y no es uniformemente distribuidos en la

zona baja. Hay por lo menos tres idealizaciones implicadas en especificación de carga viva.

En primer lugar, idealizamos la distribución baja real de los muebles, personas y otras

cargas vivas como una carga uniformemente distribuida de tal forma que se diseñe

cantidades de interés: momentos en la losa -tienen aproximadamente la misma magnitud.

En segundo lugar, se estima la probabilidad máxima magnitud de esta manera uniforme

distribuida de carga durante la vida del edificio. Por último, diseñamos el suelo utilizando

los factores de carga apropiadas, factores de reducción de la capacidad o los factores de

seguridad. el producto final es una losa, que, por cierto, tiene una resistencia relativamente

definida. El arte especificando la carga y el resto del procedimiento de diseño es entonces

una "receta", que más que nada asegura una resistencia. Por lo tanto, cuando no se

especifica una carga, realmente estamos especificando la resistencia o el nivel de

resistencia en una estructura o un elemento estructural.

La especificación de la carga sísmica consiste en determinar la magnitud y la intensidad del

choque del terreno de diseño en un sitio dado, y de alguna manera convirtiéndolos en los

parámetros de movimiento de tierra. La intensidad del diseño terremoto se determina a

partir de los datos sismológicos y geológicos relativos terremotos y su ocurrencia. Es bueno

señalar que la base de los datos disponibles es mucho de ser suficiente y es la principal

fuente de incertidumbre resistente a los terremotos diseño. Es entonces poco realista en la

mayoría de los casos, esperar que podemos caracterizar un futuro movimiento del suelo en

ningún detalle sobre la base de la intensidad de diseño y cualquier otra limitada información

disponible. Procedimientos aproximados se han desarrollado para dar a la estimación de la

aceleración máxima del terreno asociada a niveles de intensidad. En algunos casos los

desplazamientos pico en tierra y la velocidad también pueden ser estimado

aproximadamente.

Teniendo en cuenta el movimiento de tierra pico parámetros de desplazamiento, velocidad

y aceleración-se han desarrollado técnicas para definir espectro lisa curvas, que son

llamados espectros de diseño. La principal diferencia entre el espectro de respuesta

presentada en el capítulo anterior y los espectro de diseño están discutiendo ahora es que

el primero representa la respuesta a una real terremoto y el segundo define el nivel de

resistencia sísmica hemos de diseñar para. Al igual que en el ejemplo de la carga en vivo,

el espectro de diseño idealiza el verdadero fenómeno que encaja en una receta de diseño.

2.2 “Promedio” espectros elásticos

Biot [I 0,2] y Housner [3] fueron algunos de los primeros investigadores que reconocieron la

potencial del espectro de respuesta como una herramienta de diseño sismo-resistente. Biot

[l.2] desarrollado un analizador mecánico para evaluar experimentalmente la respuesta de

un sistema de un solo grado de libertad sometido a terremoto registrado historias de tiempo

de aceleración. Para fines de diseño sugirió suavizar los espectros de respuesta obtenida

de los registros reales. El analizador mecánico Biot utilizado fue prácticamente undamped,

aunque reconoció que la voluntad damplng reducir los picos de los espectros de respuesta.

Más tarde, Housner [4] Diseño obtuvo espectros promediando y suavizar los espectros de

respuesta de ocho suelo registros de movimiento, dos de cada uno de las cuatro terremotos,

a saber, El Centro (1934), El. Centro (1 WO), Olimpia (1949), Tehachapi (1 952). Espectros

de Housner para varios Los valores de atenuación se muestran en la Figura 2.1. Estos

fueron los primeros espectros utilizados para la diseño sísmico de estructuras. Los

espectros muestra en la Figura 2.1 haber sido reducido para 0,125 g de aceleración máxima

del terreno. Uno podría escalar a cualquier otra planta pico aceleración consistente con la

intensidad de diseño de los terremotos en el sitio.

Newmark y compañeros de trabajo [5,6] estudiaron los espectros de respuesta de una

amplia variedad de movimientos de tierra, que van desde simples pulsos de

desplazamiento, velocidad o aceleración del suelo a través de movimientos más complejos,

como los derivados de detonaciones hornos nucleares y para una variedad de terremotos

como tomada de disponibles fuertes registros de movimiento. Observaron que la forma

general de un alisó espectro de respuesta se parece a la que se muestra en la Figura 2.2

en un tripartito logarítmica gráfico. Como observamos en el capítulo 1, en el rango de baja

frecuencia, el desplazamiento especial SD = desplazamiento d suelo máxima; y en el de

alta frecuencia gama, la aceleración espectral S, = aceleración del suelo máxima a. los

gama de frecuencia intermedia se puede dividir en cinco regiones: (i) un amplificado región

de velocidad en el centro que está flanqueada por (2) el desplazamiento y amplificada (3)

regiones de aceleración, y dos regiones de transición, (4) desde el máximo desplazamiento

del suelo para el desplazamiento espectral amplificada y (5) de la aceleración espectral

amplificada a la aceleración máxima del suelo. en una publicación anterior, Blume,

Newmark y Corning [7] había sugerido la siguiente

Fig. 2.1 (a) Housner velocidad espectros de diseño. (b) los espectros de diseño aceleración

Housner, pico aceleración del suelo = 0,125 g [4l.

Frecuencia, f (escala logarítmica)

Fig. 2.2 Forma general de un espectro de respuesta suavizada.

factores de amplificación espectral desplazamiento, velocidad y aceleración:

respectivamente 1.0, 1.5, 2.0 de 5- 10% factor de amortiguamiento; y 2, 3,4 para factor de

amortiguamiento 2%.

Los espectros elástica del tipo que estamos discutiendo aquí se utilizan principalmente para

instalaciones críticas como las plantas de energía nuclear. La Energía Atómica de los

Estados Unidos Comisión patrocinó dos estudios exhaustivos en los años setenta, una

realizado por Mohraz, Hall y Newmarkt81 de Newmark Consulting Ingeniería Los servicios

y el otro por Blume, Sharpe y Dalal [9]. En el estudio Blume [9] dos componentes de

movimiento horizontal durante dieciséis terremotos y un componente para un terremoto

adicional, un total de treinta y tres registros diferentes eran considerado. En el estudio

Newmark [8] catorce terremotos se consideraron con dos componentes del movimiento

horizontal y un componente de la vertical, movimiento para cada terremoto. Se llevaron a

cabo de forma independiente los dos estudios y hay diferencias en sus detalles. Las

conclusiones de los dos estudios fueron muy similares, sin embargo. Por lo tanto, vamos a

presentar los resultados de la Newmark estudio [8] solamente.

Para los espectros "promedio" respuesta de varios registros de movimiento de tierra que

necesitan para normalizar el uso de un parámetro de movimiento de tierra, planta máximo

desplazamiento, velocidad o aceleración. Se encontró [8] que la normalización de la

aceleración máxima del suelo dio una desviación estándar que aumentó bastante

uniformemente desde frecuencias altas a frecuencias bajas. La normalización a un máximo

desplazamiento del suelo mostró una desviación estándar, la cual se incrementó de menos

a más altas frecuencias. Además, la normalización a la velocidad máxima del terreno

mostraron una desviación estándar casi constante en todo el rango de frecuencias. La

desviación estándar más pequeña se obtuvo en cada región cuando el Normalización se

hizo para el parámetro de movimiento del suelo particular para el cual la respuesta curva

del espectro fue más casi paralela a la de coordenadas. En el Newmark estudio [8], se

asumieron las ordenadas espectrales para tener una distribución normal; el datos también

encajarían la distribución log-normal [9]. El espectro de diseño puede ser obtenido a partir

del desplazamiento máximo del suelo, velocidad y aceleración valores, si se conocen los

factores de amplificación respectivos. Estos amplificación factores se obtuvieron para el

espectro media (nivel de probabilidad del 50%) y para la significa más un espectro de

desviación estándar (nivel de probabilidad del 84,1%). Tabla 2.1 resume estos factores de

amplificación para las componentes horizontales de terremoto de cuatro valores de

amortiguación. Valores simiIar a los de la Tabla 2.1 para Nivel de probabilidad del 84,1%

ha sido adoptado por una norma ASCE reciente [Lo]. en el Newmark estudio [8], se

recomienda que la transición de amplificada aceleración de aceleración del suelo

comienzan a las 6 Hz para todos los valores de amortiguación y final a los 40, 30, 20, 20

Hz, respectivamente para la amortiguación de proporciones de 0,5%, 2,0%, 5,0% y 10,0%.

En la ASCE Standard [lo], esta transición se produce entre 9 y 33 Hz para todos los valores

de amortiguación. Correspondiente a una aceleración del suelo máxima Ig, que era

encontrado [8] que el desplazamiento máximo del suelo y la velocidad fueron

aproximadamente 36 y 48 en sec-I, respectivamente, para el suelo de aluvión, y 12 y 28 en

sección ' para el rock. Para ambos tipos de soiis, tenemos ad / u2 2: 6, el valor recomendado

por la Norma ASCE [Lo]. La figura 2.3 muestra el 'espectro Newmark' para Ig aceleración

del suelo máxima sobre un suelo de aluvión. Los conjuntos recomendados Newmark-Blume

[ll] más tarde se adoptaron en un forma modificada por la Comisión de Energía Atómica de

los Estados Unidos (ahora los EE.UU. Comisión Reguladora Nuclear, NRC) [12]. La figura

2.4 muestra la USNRC espectros de aceleración del suelo Ig. Como puede verse, no hay

diferencias importantes entre las Figuras 2.3 y 2.4. Las recomendaciones para la

componente vertical de

SD = factor.d, Sv = factor. v, SA = factor.a.

d. v, a = desplazamiento máximo de tierra, velocidad, aceleración, respectivamente.

Ad/v² = 6.

Fig. 2.3 Newmark espectros de diseño para los suelos de aluvión; máxima

aceleración del suelo = I g

Terremoto varían mucho más, y una discusión completa está más allá del alcance de este

libro. La ASCE Standard [loj recomienda que los espectros de diseño para el componente

vertical se obtiene multiplicando los espectros correspondientes para el componente

horizontal por un factor de 2/3.

Espectros 2.3 Sitio dependiente

Los factores de amplificación espectrales presentados en la sección anterior se basan en

el análisis de varios movimientos sísmicos sin consideración particular de las condiciones

del lugar. La única consideración del sitio ha sido que para parámetros máximos de

movimiento de tierra sugeridas por Mohraz, Hall y Newmark [8], d = 36 y u = 48 en el sector

'para el sitio de aluvión; 𝑦𝑑 = 12 in, 28 en sección 'para el sitio de la roca; porque yo g

aceleración del suelo máxima. Uno esperaría que las condiciones del lugar de influir en el

contenido de frecuencia en el movimiento del suelo, y Por lo tanto, los factores de

amplificación espectrales dependieran de ellos también. Mohraz. Hall y Newmark indicaron

que el espectro para un sitio de aluvión es considerablemente diferente de la de un sitio de

roca competente. Dado que sólo unos pocos acelero gramas de las estaciones en las

instalaciones de la roca fueron considerados en su estudio [8], sin Se hicieron

recomendaciones concluyentes.

Fig. 2.4 United States Atomic Energy Commission design spectra [ 12]

Un problema importante asociado con la evaluación de estos espectros dependiente del

sitio es en la descripción del sitio en sí. Un método posible es clasificar la grabación

estaciones de acuerdo a su velocidad de onda cortante. Para la mayoría de las estaciones

de las estimaciones de velocidad de onda de corte no están disponibles, ni disponibles son

los detalles de cualquier otro suelo propiedades en las estaciones. Los investigadores han,

por lo tanto, se utiliza el sitio limitado información y su experiencia, y han clasificado

subjetivamente la grabación ¿estaciones. Como es de esperar, diferentes investigadores

tienen diferentes clasificaciones. ¿Los estudios que se han realizado sí muestran

tendencias definidas, y en ese sentido,son muy valiosos.

Hayashi, Tsuchida y Kurata [l3] realizaron un estudio en el que promediaron los espectros

de respuesta normalizada de sesenta y un acelero gramas obtuvo de treinta y ocho

terremotos en Japón, incluyendo muchos con aceleraciones pico en la relativamente bajo

rango de 0,02 hasta 0,05 g. Los espectros se promediaron en tres grupos. El grupo A se

considera asociada con arenas y gravas muy densas, Grupo B con los suelos de

características intermedias y el Grupo C con muy

Suelos sueltos. Como era de esperar, se encontraron con que las condiciones del suelo

afectan espectros sustancialmente. Aunque los autores sugirieron que las formas

espectrales sean considerado preliminar en vista de las aceleraciones máximas

relativamente bajas asociado con los registros de los terremotos y los datos limitados sobre

algunos de los condiciones del subsuelo en las estaciones de registro, sus resultados fueron

encontrados más tarde para estar en acuerdo sustancial con los obtenidos por Semillas,

Ugas y Lysmer [l4]. LA estudio limitado de la influencia de las condiciones locales en formas

espectrales para Terremotos japoneses fue presentado por Kuribayashi et al. [I 51. Todos

los estudios sobre la dependencia de los espectros de sitio antes citada eran realizados

para las componentes horizontales de los movimientos de tierra. Un reciente estudio

exhaustivo de Semillas, Ugas y Lysmer [l4] También se llevó a cabo en los componentes

horizontales solamente. Consideraron cuatro condiciones del sitio: roca, rígido suelos

menos de aproximadamente 150 pies, suelos no cohesivos profundas profundas con

profundidades mayores de aproximadamente 250 ft, depósitos de suelo que consta de

suave a las arcillas rígidas medianas con asocian los estratos de arenas o gravas. Su

estudio se basó en ciento cuatro registros cada uno con la máxima aceleración> 0,05 g.

La media más una desviación espectros-84.1 percentil estándar obtenida por Semillas,

Ugas y Lysmer ratio [l4] para las cuatro condiciones del lugar, el 5% de amortiguamiento

son muestra en la figura 2.5, junto con el espectro correspondiente AEC [L2]. Todos

espectros se normalizan a 1 g de aceleración máxima del suelo. Hay grandes diferencias

en las formas espectrales para los cuatro sitios para períodos mayores que

aproximadamente 0,4 seg. En estos rangos de época, los sitios en los suelos más blandos

(suelos sin cohesión profunda y suave para arcillas y arenas medianas) tienen valores

espectrales mucho más altos que los de suelos rígidos (roca y suelo rígido). El espectro

AEC tiene el mejor acuerdo con Espectro de Semillas, Ugas y de Lysmer sobre el suelo

rígido en el período de 0,5 a 3 seg (0,3-2 Hz de frecuencia) Rango. El acuerdo entre el

espectro de AEC y de Semillas, Espectros Ugas y de Lysmer para todas las cuatro

condiciones de la obra en general es bueno en 0,1 a 0,5 seg (2- frecuencia de 10 Hz) Rango.

Para períodos <0.1 sec, o frecuencias> 10 Hz, el espectro AEC sobreestima

significativamente los valores espectrales para el suave suelos.

Otro estudio importante reciente se debe a Mohraz [16]. Su estudio incluyó las componentes

verticales de terremoto, además de los componentes horizontales habituales. Además, se

calcula y recomienda valores espectrales para varias amortiguaciones ratios. Estudió los

efectos de las condiciones geológicas en los espectros, y También en los parámetros de

movimiento de tierra, tales como la aceleración máxima del terreno, la velocidad y el

desplazamiento. A su juicio, el dos condiciones del lugar común, aluviones y el rock, y dos

sitios intermedia condiciones - depósitos de < 30 pies de aluvión, y depósitos de

aproximadamente 30 a 200 pies de aluvión, tanto sustentadas por el rock depósitos. Una

razón las dos últimas categorías se seleccionaron fue que sustancial registros del terremoto

de las estaciones situadas en tales depósitos estaban disponibles. Los sitios etiquetados

aluvión, fueron aquellos que no tienen una profundidad especificada, y puede tener una

profundidad menor o mayor de 200 ft. Mohraz analizó. Ciento seis registros de cuarenta y

seis estaciones en dieciséis eventos sísmicos.

Fig. 2.5 Semillas, espectros sitio dependiente Ugas y Lysmer y de la Comisión de

Energía Atómica espectro; significa más una desviación estándar (84,1 percentil) , la

aceleración máxima del terreno =1 g, coeficiente de amortiguamiento = 0,05 [ 14 ] .

Mohraz tenía tres componentes para cada terremoto. Las aceleraciones pico para los tres

componentes están ordenados desde el más grande hasta el más pequeño de la siguiente

manera: cuanto mayor sea horizontal una 𝑎𝐿𝐻 menor horizontal 𝑎𝑆𝐻 y la vertical un 𝑎𝑉 El

significado valor de la relaciones de Ceniza 𝑎𝑆𝐻/𝑎𝐿𝐻 y 𝑎𝑣/𝑎𝐿𝐻 para todas las condiciones

del lugar son 0,83 y 0,48, respectivamente

Los correspondientes valores del percentil 84,1 son 0,98 y 0,65. Ese significa que en el nivel

84.1 percentil la aceleración máxima del suelo para la componente horizontal más pequeña

es casi igual al horizontal máximo aceleración para la aceleración horizontal más grande, y

que la vertical máxima aceleración es casi 213 de este último. Esto es consistente con la

suposición comúnmente realizado para el diseño de instalaciones críticas [Lo].

Mohraz realizó un estudio estadístico detallado sobre las relaciones de la tierra parámetros

de movimiento 𝑢 / 𝑎 𝑦 𝑎𝑑 / 𝑣2. Cuando se conocen las relaciones, podemos calcular los

valores de 𝑢 𝑦 𝑑; el valor de un comúnmente se da basa en sismológica consideraciones.

Tabla 2.2 enumera los valores medios de los coeficientes de 𝑣 / 𝑎 y 𝑎𝑑 / 𝑣2, junto con los

correspondientes valores de u y d para diversas condiciones del sitio para un 1 g

aceleración máxima del suelo. Para la ilustración aquí, cuanto mayor sea horizontal.

Componente y el componente vertical se incluyen en la Tabla 2.2. La mesa indica que la v

/ a ratios para el rock son sustancialmente inferiores a los de aluviones. Estas relaciones

de las dos capas de aluvión yacen sobre la roca son entre los de rock y aluviones. La

𝑣 / 𝑎 ratios para las componentes horizontales de mayor tamaño son los mismos que para

la componente vertical, excepto en el caso de roca, cuando están cerca. Las relaciones

𝑎𝑑 / 𝑣2 dados en la Tabla 2.2 indican que los coeficientes de aluvión son más pequeños

que los de las capas de roca y de aluvión sustentadas por rocas.

Desde 𝑎𝑑 / 𝑢2 es una medida de la anchura de los espectros, las relaciones indican que la

espectro promedio para un sitio de rock es más plana que para el sitio de aluvión o para un

sitio con capas de aluvión sustentadas por el rock. Los valores de 𝑣/𝑎 y 𝑎𝑑/𝑣2 proporciones,

y de v y sugirió anteriormente por Mohraz, Hall y Newmark (81 para la horizontal

componente sólo se dan también en la Tabla 2.2 para la comparación. Hay pequeñas

diferencias entre el viejo y el nuevo 𝑣 / 𝑎 valore. Un relativamente mayor cambio se produce

en el valor de 𝑎𝑑 / 𝑣2 para el sitio aluvión (6-4,3) y en la correspondiente valor de d (36 a

28,9 pulgadas). Observamos que Mohraz [I 61 también da la mediana y 84.1 valores del

percentil, que sí muestran dispersión en estos valores. Para más práctico aplicaciones

creemos que el uso de los valores medios de las proporciones debe ser adecuada. Mohraz

(L61 mostró que su espectro medio del sitio web de la roca, el 5% de amortiguamiento

relación compara bien con el espectro correspondiente dada por Seed, Ugas y

Período, Segundos

Fig. 2.6 Mohraz sitio medio espectros dependiente; la aceleración máxima del

terreno, amortiguación ración=0.02 [16].

Lysmer [L4]. Espectros medios de Mohraz normalizó a1 g para los cuatro sitios son se

muestra en la Figura 2.6 para el 2% coeficiente de amortiguamiento. Observamos en la

figura 2.6 que el/ la amplificación de aceleración para los depósitos de aluvión se extiende

sobre un mayor región de frecuencia de la amplificación para otras categorías de

sitios. Además, la aceleraciones máximas espectrales para los dos sitios con capas de

aluvión yacen sobre por el rock es mayor que la máxima aceleración espectral para

cualquiera de los sitios roca o el sitio de aluvión. Para los períodos de 0. 2 seg (frecuencias>

5 Hz), lo espectral ordenadas para los sitios de aluvión son menos que los de los otros tres

tipos de sitios estudió. En los períodos de> 0,5 seg (frecuencias<2 Hz), las ordenadas

espectrales para el sitio de aluvión son mayores que los de los otros tres. El espectral

aluvión valores son aproximadamente 2,5-3 veces los valores espectrales de rock en el 1,5-

3 seg gama periodo (frecuencias, 0,3-0,7 Hz).

Mohraz [I 61 ha presentado estadísticas completas de desplazamiento, velocidad y los

factores de amplificación de la aceleración de los cuatro tipos de sitios, relaciones de

amortiguación 0-20%, y los tres componentes del terremoto. Se dan factores de

amplificación para la media (nivel de probabilidad del 50%) y la media más una desviación

estándar

(84,1% nivel de probabilidad) valores espectrales. Factores de amplificación para el más

grande componente horizontal del sitio web de aluvión solamente se reproducen en la Tabla

2.3, para tres relaciones de amortiguación (2%, 5% y 10%) y de 50% y 84,1%. niveles de

probabilidad

Tabla 2.3

Factores de amplificación para mayor componente horizontal para el sitio de aluvión

sugerido por Mohraz (16)

S p=factor.d. S v=factor v, SA=fact0r.a.

d, v, la=máximo desplazamiento del suelo, velocidad, aceleración, respectivamente; Tabla

2.2.

Para relaciones de amortiguación intermedios, Mohraz [L6] sugiere doble logarítmica

interpolación. Mohraz ha dado factores de amplificación para los otros tres sitiocondiciones

también. Por razones de brevedad, no estamos reproduciendo esa información aquí.

En cambio, en la Tabla 2.4 se dan los coeficientes de los espectros de diseño del sitio,

también reproducido de Mohraz [L6], que se puede utilizar para obtener los límites

espectrales para las otras tres condiciones del lugar de los del sitio de aluvión. Mohraz

recomienda los mismos coeficientes para los dos sitios de aluvión yacen sobre roca

Debido a que los depósitos de coeficientes para estas dos categorías no varían

significativamente de cada uno. Dado que el número de registros disponibles para estos

dos tipos de sitios es no tan grande como que, ya sea para la roca o los depósitos de

aluvión, la recomienda coeficientes están en el lado conservador

Mesa

2.4 Sitio coeficientes espectros de diseño [L6]

Coeficientes

Categoria del sitio Desplazamiento Velocitdad Aceleración

Rock 0.5 0.5 1.05

A menos de 30 pies

de aluvión sustentada0. 0.75 0. 75 1.20

por el rock

30-200 pies Aluvión 0.75 0.75 1.20

sustentada por el rock

Diseño valor del espectro en el sitio = coeficiente de sitio X diseño valor del espectro en el

sitio de aluvión

Fig. 2.7 Mohraz y Newmark sitio espectros dependiente; la aceleración máxima del

terreno =1 g. coeficiente de amortiguamiento = 0.02.

Dada la aceleración máxima del suelo, no hay información suficiente

Tablas 2.2,2.3 y 2.4 para obtener 50% o 84,1% espectros diseño de niveles de probabilidad

para la componente horizontal más grande. Aunque el estudio muestra que el Mohraz otro

componente horizontal tiene un poco menos de aceleración máxima del terreno de no la

componente horizontal más grande, es una práctica común suponer que la

Los espectros de diseño para los dos componentes horizontales son los mismos. Mohraz

[L6] hace dar muchos detalles acerca de la componente vertical del sismo. Sin embargo,

en el extremo que deriva las ordenadas espectrales de diseño vertical, como 2/3 de las

ordenadas del espectro horizontal, lo cual es consistente con la práctica actual. El Mohraz

espectros horizontal para

2% coeficiente de amortiguamiento, 84.1 nivel percentil se muestra en la figura

2,7 para las tres condiciones de la obra; (basado en la Tabla 2.4, los dos sitios de aluvión

sustentada por la roca se combinan en un solo tipo de sitio). También se muestra en la

Figura 2.7 son

Espectros de Newmark [8] para los sitios de aluvión y rock.

2.4 espectro de diseño para sistemas inelásticos

La base de la aplicación del método de espectro de respuesta a multigrado de libertad

sistemas es el método de superposición modal; véase el capítulo 1. Estrictamente

hablando,

Por lo tanto, el método no puede ser aplicado a inelástica de varios grados de libertad

sistemas debido a que la superposición ya no es válido. No existe tal dificultad, sin embargo,

existe cuando un solo grado de libertad está en estudio. En ese caso el espectro de

respuesta, simplemente representa el valor máximo de la relación desplazamiento o de

cualquier otra cantidad de intereses. El valor máximo puede ser evaluó si el sistema es

lineal o no lineal.

En esta sección vamos a presentar el espectro inelástico para el grado-de- sola sistemas

de libertad. Cuando la principal respuesta de una estructura, tal como un edificio alto, viene

del modo fundamental, entonces podemos considerar la estructura a ser un seudo solo

grado de libertad del sistema y hacen uso del espectro inelástico para la evaluación de la

resistencia requerida de los miembros estructurales. El inelástica espectro veces también

se utiliza para el cálculo de la respuesta en los modos más altos. Los exactitud de tal

enfoque es cuestionable. Se puede justificarse porque el contribución de modos superiores

es relativamente pequeño, y el error en la evaluación de respuesta de modo superior no

introduciría un error significativo en la general respuesta de la estructura. La pregunta de la

respuesta inelástica de multi-nivel-de- sistemas de libertad es complejo, y sigue siendo un

tema de activo investigación.

LA plena discusión sobre el tema está fuera del alcance del presente trabajo.

Nosotros observamos que se trata de un tema importante: la mayoría de los edificios y

muchos otras estructuras están diseñadas con base en la suposición de significativa

inelástica la respuesta en caso de un terremoto severo.

El material inelástico más simple es elástico-perfectamente plástico con igual rendimiento

valores en tensión y compresión. Para un sistema de un solo grado de libertad, el factor de

ductilidad o ductilidad

(p) se define como la relación entre el máximo deformación Uy a a la deformación

rendimiento u ,, p =urna / uy. En el análisis lineal elástico asumimos que la deformación

máxima se mantiene por debajo de u ,. El miembro es diseñado de tal manera que la

calculada analíticamente

U es menor que o igual a T ,; o que miembro de la fuerza o tensión calculada

analíticamente o es menor que o igual a la fuerza de rendimiento o el estrés o,

correspondiente a u ,.

Si el sistema es capaz de forma segura experimentar deformación inelástica, es económico

para diseñarlo de manera que el deformación máxima permisible se consigue en el

terremoto dado. Para material dado y el sistema estructural, el factor de ductilidad

admisible p puede ser juzgados a ser conocido. El objetivo del cálculo es evaluar u, de tal

manera que u, se logra bajo el terremoto dado.

En la Ecuación 1.1,. LA +fD +-f, = 0,1; es todavía m (u+u,) y fD permanece cu. Debido a

inelasticidad ahora, S, = ku cuando ) U yo G

u ,, y Y = + o, cuando ) U 12 u ,. Después de una o más excursiones de plástico estas

condiciones se modifican adecuadamente. Los solución de la ecuación no lineal es sencillo,

aunque más involucrado que la solución de una ecuación lineal; ver el Apéndice. El espectro

de respuesta consiste en la respuesta de muchos grados de libertad individuales de los

sistemas con variando las frecuencias; la amortiguación se mantiene constante para cada

espectro de respuesta curva. Ahora tenemos otra variable, la relación ductilidad p. Para el

cociente ductilidad

Capítulo 3 / Combinación de respuestas modales

3.1 INTRODUCCIÓN

La ecuación de movimiento para un N- grado de sistema de la libertad fue presentada en

Capítulo I, y es reescrita por debajo

Donde M, Cando K son masa, amortiguamiento y matrices de rigidez, respectivamente; U

es la Vector desplazamiento relativo; Ub es el vector de desplazamiento estático cuando la

base de La estructura desplaza por la unidad en la dirección del terremoto; es el

Aceleración del suelo terremoto; y un súper punto (.) representa el tiempo Derivado. La

estructura cuenta con vectores modales N – ortogonales Para el

tratamiento actual, se supone que los vectores modales se han reducido de tal manera que

. Además, nos recuerdan del Capítulo 1, y de

donde es la frecuencia circular en radianes por segundo, y viste

coeficiente de amortiguamiento, tanto para el modo i. En el método de superposición modal

usamos La siguiente transformación (o ecuación de superposición modal)

en la que 𝑦𝑖 , se llama la coordenada normal. La sustitución de la ecuación 3.2 en Ecuación

3.1, pre- multiplicación por ∅𝑗𝑇y el uso apropiado de ortogonal condiciones da

El término yi se llama el factor de participación modelo. Si 𝑆𝐷 (w) re presenta el espectro

de respuesta de desplazamiento, y que denotan la Desplazamiento espectral de 𝑆𝐷𝑖

entonces por definición (capítulo I),

La ecuación 3.5 da el desplazamiento relativo máximo para cada modo. La ecuación de

superposición, la Ecuación 3.2, se aplica sólo cuando sabemos el tiempo historias de todos

los vectores de desplazamiento modal en todos los modos. Ecuación 3.5, Sin embargo, no

proporciona esa información. En general, es poco probable que la valores máximos de 𝑈𝑖

en diferentes modos tendría lugar al mismo tiempo. Cómo Deberíamos entonces combinar

estas vaiues máximas modales? Dada la modal vector de desplazamiento 𝑈𝑖 , podemos

evaluar cualquier otra respuesta de interés en el mismo modo, Ri El vector Uimax da Rimax.

El problema con la combinación diversos Uimax modal; se ha indicado anteriormente también

se aplica a la respuesta Rimax , Para ser breve, vamos a dejar caer el subíndice max . A

partir de ahora, el término Ri, denotaría el valor máximo de la respuesta en el modo i . Es

obvio que el límite superior de la respuesta combinada es dada por el suma absoluta de los

valores modales

Goodman, Rosenblueth y Newmark [l] mostraron que la máxima probable valor de

respuesta es aproximadamente igual a la raíz cuadrada de la suma de la cuadrados '

(SRSS) de valores modales

Publicado en 1953, el imperio Goodman - Rosenblueth - Newmark , conocido como el Regla

SRSS aún se utiliza bastante ampliamente . Hay circunstancias, presentan en secciones

siguientes, en los que esta regla debe ser modificada. Para la investigación más temprana

sobre este tema , consulta Jennings y Newmark ( 1960 ) [ 2 ] , Comerciante y Hudson ( 1

962 ) [ 3 ] , Clough ( 1 962 ) [ 4 ] , y Newmark et al. (1 965) [5].

3.2 Modos con frecuencias estrechamente espaciadas

Una de las excepciones para la regla de combinación SRSS (Ecuación 3.7) surge cuando

las respuestas a ser combinados son de modos con frecuencias muy próximas entre sí.

Una situación obvia es cuando las frecuencias y amortiguaciones de dos modos son

idénticas. En este caso las historias de respuesta de los dos modos están en fase. El

máximo valores en los dos modos se producen simultáneamente, y que se deben combinar

algebraicamente. Ya estamos denotando el valor máximo de la respuesta de R. Denotemos

la historia respuesta de R (t). La ecuación de combinación en el tiempo dominio es

Definamos la desviación estándar de la respuesta de la siguiente manera:

En el que 𝑡𝑑 es la duración del movimiento. Si asumimos el terremoto a ser un proceso

ergódico estacionario, podemos escribir las respuestas máximas [6] como

donde 𝑛 𝑦 𝑛𝑖 y q, son los factores de pico. Estos factores de pico son una función de la

frecuencia, y normalmente variar de un modo a otro y para el combinado respuesta. Sin

embargo, ya que somos los principales interesados en respuestas modales con cerca

frecuencias, podemos hacer una suposición simplificadora, 𝑛 = 𝑛𝑖 , para todos los valores

de i.

Ecuaciones 3.8 y 3.9 dan

en el que 𝜀𝑖𝑗 , se denomina el coeficiente de correlación modal, y se define por

Ahora, las ecuaciones 3.10 y 3.12 dan

Las formas alternativas de la Ecuación 3.13 son

En el primero de la Ecuación 3.14 tenemos, 𝜀𝑖𝑗= 1 para i = j; y en el segundo que nos tener

en cuenta la propiedad de simetría, 𝜀𝑖𝑗 = 𝜀𝑗𝑖 .

Ecuación 3.1 3 o 3.14 se conoce popularmente como la ecuación de suma doble [7]. En la

forma correcta de la ecuación de todas las sumas son algebraicas. El Reguladora Nuclear

de EE.UU. Comisión utiliza incorrectamente una señal absoluta en .front de la doble suma

181. Considere dos modos con la igualdad de frecuencias y valores de amortiguación.

Entonces, 𝜀12, = 1, y la ecuación 3.13 da

Como se indicó anteriormente, la regla de suma doble da correctamente la respuesta

combinada como la suma algebraica de los dos valores de respuesta modal.

Por otro lado, si los dos modos tenían frecuencias suficientemente

separados, y nos gustaría conseguir.

Que es la regla SRSS. En general, la de variable varía entre cero y la unidad. Para un

movimiento telúrico dado el valor de se puede evaluar numéricamente, de acuerdo

con la ecuación 3.12. Debemos hacer dos comentarios aquí. Primero, la regla de suma

doble, o cualquier regla de combinación para el método de espectro de respuesta, es una

regla aproximada. Incluso cuando el valor de se evalúa exactamente partir de la

ecuación 3.12, las respuestas combinadas sería aproximada. Cuando los cálculos se

realizan en varios movimientos sísmicos, la regla de combinación sería, en promedio, dar

una estimación razonablemente precisa de la respuesta combinada. El segundo comentario

es sobre el método de espectro de respuesta, y se relaciona con el primer comentario. Si

el objetivo era obtener los valores de respuesta para un registro de movimiento de tierra

conocida, la técnica apropiada sería uno de los métodos de integración de la historia de

tiempo, por ejemplo, el método de superposición modal. La aplicación más adecuada del

método de espectro de respuesta es diseñar problemas para los cuales no se conoce el

futuro terremoto. Para este fin, no sólo necesitamos formas espectrales promedio que se

presentan en el capítulo 2, también necesitan valores representativos del coeficiente de

correlación modal , que en promedio le daría valores de respuesta combinadas

suficientemente precisos.

Rosenblueth y Elorduy asumieron el movimiento telúrico de ser un segmento finito de ruido

blanco, y asumieron la respuesta a amortiguar periodicidad de la forma,

Sobre la base de su trabajo, el coeficiente de correlación se puede escribir como:

En la que son las frecuencias circulares de los dos modos en radianes por

segundo son las frecuencias damped correspondientes,

y son los coeficientes de

amortiguación equivalentes que dan cuenta de la reducción en la respuesta debido a la

naturaleza finita del segmento de ruido blanco.

Donde s es la duración eficaz del segmento de ruido blanco. La duración s no es la duración

total del movimiento del suelo. No está claro exactamente cómo evaluarla. Villaverde obtuvo

valores numéricamente de s de varios movimientos del terreno mediante la explotación de

su relación con el valor esperado de los pseudo velocidades a diferentes valores de

amortiguación. Sin embargo, él no sugirió y el método de evaluación de s para un espectro

de respuesta dada.

Tomamos nota de la ecuación 3.16 que el valor de la duración efectiva tiene una

contribución significativa sólo en el rango de frecuencia más baja. En el intervalo de

frecuencia superior. Para el rango de frecuencia más baja, la duración efectiva del terremoto

puede ser representar por la duración del movimiento fuerte. Una medida de la duración

efectiva del movimiento fuerte puede obtenerse a partir de la trama Husid [11], que es la

representación gráfica de la función siguiente.

En el cual tf es el valor final de t. Por definición La trama Husid para El Centro

(SOOE, 1940) el movimiento del suelo se muestra en la figura 3.1. La función H (t) se

acumula lentamente inicialmente debido al movimiento débil en la fase temprana de los

temblores de tierra. En la duración intermedia, el H (t) aumenta rápidamente. En la fase

final, muy poco aporte sísmico se desarrolla. Se desprende de la figura 3.1 que la parte

intermedia de la trama Husid comprende la fuerte contribución de movimiento significativo.

De definitividad, pero de manera arbitraria, el primer 5 % y el último 5% se eliminan de la

trama. el restante 90% se define como la parte fuerte movimiento significativo como se

muestra en la figura 3.1 . Esta duración para el expediente el centro es de 24,5 seg. En el

uso de las ecuaciones 3.15, 3.16 junto con un espectro de diseño, se debe especificar el

valor de la duración s.

Sustituyendo las expresiones para en la ecuación de la ecuación 3.16,

obtenemos:

Para evitar la estimación de la duración efectiva s, Gupta y Cordero modificado la ecuación

anterior como sigue.

El coeficiente se evaluó numéricamente durante diez fuertes registros de movimiento

de tierra. En el básico de su estudio, se sugirió una expresión del tipo dado a continuación.

En el cual es el valor medio de amortiguación. Figura 3.2 muestra una comparación del

valor de la obtenida a partir de las ecuaciones 3.18 y 3.19, con el promedio de los

valores obtenidos a partir de diez numéricamente registros de terremotos. Ya que la

ecuación 3.19 se basa en el promedio de los valores obtenidos de varios registros, es

más apropiado utilizar para una amplia entrada terremoto banda.

Utilizando el supuesto de estacionalidad, Singh y Chu [13] una ecuación derivada similar a

la ecuación 3.13 a partir del cual una expresión para 𝜀𝑖𝑗 se puede derivar.

Suponiendo que el movimiento sísmico sea con un claro ruido, Der Kiureghian [14] además

obtenido una expresión para εij que se da a continuación:

La ecuación de doble suma en el que se utiliza la expresión de Der Kiureghian ha sido

llamado la combinación completa cuadrática (CQC) [15]. Cuando los dos modos tienen

valores de amortiguación iguales, se puede demostrar que la 𝜀𝑖𝑗, son valores obtenidos de

la Ecuación Singh -Chu [13] y aquellos a partir de la ecuación 3.20 (Der Kiureghian [14])

son sobre lo mismo. Ambos pueden ser significativamente menor que las dadas por la

Ecuación 3.15 (Rosenblueth y Elorduy [9]) y 3,18 (Gupta y Cordero [12]) dentro de los

rangos de frecuencia de interés. Como se verá más adelante, estas diferencias en la 𝜀𝑖𝑗

valores dan lugar a variaciones en la respuesta que no son insignificantes.

Hay otro elemento importante en la expresión de la correlación coeficiente que no ha sido

reconocido explícitamente en los estudios ya publicados.

Las ecuaciones 3.15 y 3.18 son propensos a sobreestimar los valores de 𝜀𝑖𝑗 cuando las

proporciones de amortiguación de dos modos son suficientemente diferentes. Considere

una situación en la 𝜔𝑖 y 𝜔𝑗 son lo suficientemente grandes que el efecto de la duración finita

en los valores de 𝜀𝑖𝑗 en estas ecuaciones se puede despreciar. Las ecuaciones 3.15 y 3.18

se pueden aproximar como sigue:

Una forma aproximada de Der Kiureghian de [14] Ecuación 3.20 es:

Ecuación 3.22 incluye un coeficiente, que la ecuación 3.21 no lo hace. La

variación en el valor del coeficiente con , la proporción se tabula a continuación.

El coeficiente es aproximadamente la unidad cuando no son muy diferentes.

Por otro lado es mucho menor que la unidad cuando son suficientemente

apartados.

Esto tendría influencia sobre los coeficientes de correlación para los modos con

frecuencias.

Veamos un ejemplo, la ecuación 3.21 nos daría

y la ecuación Además, tenga en cuenta la respuesta

de un oscilador secundario en los modos resonantes.

Asuma El primer valor de 𝜀𝑖𝑗 , Ecuación 3.21, daría

el segundo valor, la ecuación 3.22 produciría

Nuestra experimentación numérica reciente a utilizando el movimiento real del terremoto.

Los datos de la Universidad Estatal de Carolina del Norte indica que el coeficiente de

correlación y los valores de respuesta combinadas resultantes son relativamente más

realistas cuando el coeficiente, es incluido que cuando no lo es. En

consecuencia,

La ecuación 3.18 debe ser modificado de la siguiente manera:

La ecuación 3.15 también se puede modificar de la misma manera.

Una comparación de la suma doble, SRSS, y la combinación suma absoluta fue realizada

por Mason, Neuss y Kasai [16[. Analizaron la historia de quince momentos resistentes de

acero estructural de la armadura de la Universidad de California Medical Centro de Ciencias

de la Salud Oriental Edificio situado en San Francisco. Se formularon dos modelos de

edificio. Para ambos modelos era utilizada una constante 5% de amortiguamiento modal.

La primera fue la construcción “regular” en el que los centros de rigidez y masa eran

coincidentes. El segundo era un edificio irregular con masa desplazada desde el centro de

la rigidez del edificio. El edificio normal no tenía interacción entre los modos con frecuencias

muy próximas entre sí. Por lo tanto, como era de esperar la suma doble y las reglas SRSS

dieron resultados comparables, que también eran muy cercanas de los resultados de

tiempo -historia de la construcción regular; la regla absoluta suma sobre estima los valores

de respuesta significativamente. En el edificio irregular, los modos en las dos direcciones

ortogonales quedaron juntos, el conduce a interactuar modos con frecuencias muy

próximas entre sí. Se utilizaron tres movimientos de tierra: San Fernando (Pacoima Dam,

SOOE, 1971), Valle Imperial (El Centro, SOOE, 1940) y San Fernando (Orion Blvd., NOOW,

1971). Los cálculos de la suma doble se realizaron utilizando el coeficiente de correlación

modal de la Ecuación Rosenblueth-Elorduy, la ecuación 3.15, y a partir de la ecuación 3.20,

el Der Ecuación Kiureghian. En el primer caso, la duración efectiva s se tomó como 10 seg.

Un resumen estadístico de los errores se da en la Tabla 3.1. El movimiento sísmico se

aplicó en la dirección este y oeste. La respuesta en dirección norte y sur, y el par de rotación

fue generada debido a la excentricidad entre la masa y los centros de rigidez. La respuesta

de este a oeste en paralelo los valores de los dos cálculos de doble suma son comparables;

los valores SRSS,

Tabla 3.1 Error en los resultados del espectro de respuesta con respecto a los

resultados de tiempo de la historia [16]. (Reproducido con permiso de John Wiley &

Sons Ltd)

Tienen errores relativamente mayores; los errores de los cálculos de las sumas absolutas

son los más altos. Conclusiones similares se pueden hacer sobre la respuesta a la torsión,

excepto que los valores absolutos de suma ahora tienen errores mucho más altas. Toda la

combinación de reglas tienen los mayores errores en la ortogonal respuesta norte-sur. El

método de suma doble utilizando el Rosenblueth - Elorduy [9] coeficiente de correlación

modal da los mejores resultados. Los resultados de la SRSS y la suma absoluta reglas de

combinación son inaceptables. Los valores de respuesta ortogonal norte-sur de la

excitación de San Fernando - Pacoima presa se muestran en la Figura 3.3.

Fig. 3.3 Comparación de las normas modales combinación: (a) la historia deflexiones,

cizallas (b) de la historia, (c) de la historia momentos de vuelco [16]. (Reproducido con

permiso de John Wiley & Sons Ltd.)

Orden de exactitud entre las diferentes reglas de combinación observada desde la cifra es

el mismo que llegó a la conclusión sobre la base de la tabla 3.1.

3.3 De alta frecuencia modos rígido- Respuesta

Como se observó en el capítulo 1, en las frecuencias más altas de la aceleración espectral

llega a ser igual a la aceleración máxima del terreno. Idealmente, el más alto la frecuencia

es m, y el período correspondiente es cero. Por lo tanto, durante un período cero osciladores

de la aceleración espectral es igual a la aceleración máxima del terreno, que también se

llama el período cero aceleraciones (ZAP). La frecuencia mínima en el que la aceleración

espectral se vuelve aproximadamente igual a la ZPA, y sigue siendo igual a la ZPA se

denomina frecuencia ZPA o la frecuencia rígida, 𝑓𝑡 (Hz) o 𝜔𝑡 (radianes 𝑠𝑒𝑐−1). La razón de

este fenómeno-lo espectral aceleración convertirse igual a la ZPA, es el contenido de

frecuencia finita de la movimiento de entrada. A frecuencias de oscilador suficientemente

más alto que el más alto frecuencia de entrada significativa, la parte transitoria de la

respuesta, la amortiguada respuesta periódica, se hace despreciable; solo la respuesta de

estado estacionario permanece.

La respuesta de estado estacionario puede ser evaluada por un cálculo pseudo-estática de

la ecuación Este estado de equilibrio o pseudo-estática

respuesta también se llama la respuesta rígida.

Está claro a partir del cálculo de la respuesta rígida que la respuesta rígida his- tory está en

fase con el movimiento de entrada historia tiempo de aceleración. Resulta que las

respuestas en todos los modos que tienen frecuencias mayores que la frecuencia rígida

están en fase entre sí. En el método de espectro de respuesta, el combinado respuesta de

los modos se puede calcular simplemente sumando algebraicamente las respuestas. En la

ecuación de suma doble, la ecuación 3.13, 𝜀𝑖𝑗 = 1, cuando ambos 𝜔𝑖 𝑦 𝜔𝑗, son mayores que

𝜔𝑇 . Tenga en cuenta que las definiciones anteriores de 𝜀𝑖𝑗 , que son basado en la cercanía

de 𝜔𝑖 𝑦 𝜔𝑗, no se aplican aquí. Cuando 𝜔𝑖 𝑦 𝜔𝑗, son mayores de 𝜔𝑇, 𝜀𝑖𝑗 = 1,

independientemente de lo cerca o separadas una, y w, son. Sobre la base de la con-

consideraciones similares a las presentadas anteriormente, Kennedy [17] sugiere que la

respuestas de los modos con frecuencias más allá de la frecuencia rígida sean combinados

algebraicamente.

En el método de Kennedy, en efecto, hay dos grupos de modos. Aquellos con fre- fre-

menos de o y los que tienen frecuencias mayores o. Las respuestas Del segundo grupo se

suman algebraicamente. Esta respuesta combinada del segundo grupo y las respuestas

modales del primer grupo se combinan utilizando la ecuación de suma doble, la Ecuación

3.13. Este procedimiento es una mejora Mente sobre los procedimientos que no reconocen

la presencia del rígido modo. Como se demostrará más adelante, sin embargo, el límite

entre la rígida y la parte no rígida es demasiado abrupto en el método de Kennedy, que

necesita mayor consideración. Para resolver el problema, varias formas de espectros de

respuesta de aceleración relativa procedimientos basados han sido propuestos por Lindley

y Yow [18], Hadjian [19], y por Singh y Mehta [20]. Lindley y Yow [l8] realizan un análisis

estático mediante el ZPA y el análisis modal habitual utilizando una respuesta aceleración

relativa espectro, ordenadas de que son la raíz cuadrada de la diferencia de los cuadrados

de la aceleración espectral regular y la ZPA. Hadjian [l9] hace algo similar, excepto que

obtiene el espectro de aceleración relativa por directamente restando ZPA partir de las

aceleraciones espectrales regulares.

Kennedy1171 tiene señaló que este procedimiento conduce a una falta de coherencia en el

método y sugiere una modificación que haría El método de Hadjian muy similar a la de

Lindley y Yow [l8]. Singh y Mehta [20] formular el problema con la enfoque aceleración

modal y sugiero hacer uso de velocidad relativa y Los espectros de aceleración relativa. El

método Singh-Mehta es teóricamente rigurosa, y da resultados precisos. La disponibilidad

de la velocidad relativa y relativa Los espectros de aceleración puede ser un problema.

Entre los métodos propuestos por Kennedy [17), Lindley y Yow [18] y Hadjian [19], el

método Lindley-Yow parece ser más racional y es probable que dé resultados más precisos

para una estructura que tienen frecuencias en la vecindad de o mayor que la rígida

frecuencia. El método es probable que se ejecute en problemas para los modos que tienen

frecuencias significativamente menor que la frecuencia rígido. Incluso para las frecuencias

inmediatamente debajo de la frecuencia rígida, el método de cálculo de la espectral relativa

aceleración es algo arbitrario.

Ahora vamos a presentar un método desarrollado por Gupta y compañeros de trabajo

[12,21- 25].

Se ha señalado anteriormente que las respuestas de los modos que tienen frecuencias

superiores a la frecuencia rígida son perfectamente correlacionadas con la historia de

aceleración de entrada. ¿Qué pasa con una frecuencia inmediatamente debajo de la

frecuencia rígida? Llamemos a la correlación entre la respuesta modal y la aceleración de

entrada como el coeficiente de respuesta rígida, porque en frecuencias iguales o superior

a la frecuencia rígida la respuesta es rígida y la correlación es la unidad. Cifra

3.4 muestra la variación del coeficiente de respuesta rígido para la San Fernando -

terremoto (Hollywood Almacenamiento, EW, 197 1). El factor de respuesta rígido se

convierte en casi la unidad a aproximadamente 20 Hz, que es mucho menor que el rígido

frecuencia, que es de aproximadamente 30 Hz. Por debajo de 20 Hz el coeficiente muestra

una gradual disminución de la tendencia, y se convierte en cero en sobre 2.5 Hz. Esto

significa que incluso el modos que tienen frecuencias debajo de la frecuencia rígida tienen

un 'contenido rígida. Este es la consecuencia natural de los cambios gradualmente

proporciones de las contribuciones de la respuesta transitoria (respuesta periódica

amortiguado) y el estado estacionario respuesta (respuesta rígido).

Sobre la base de la discusión anterior, podemos dividir una respuesta modal. Ri, en una

frecuencia 𝜔𝑖 < 𝜔𝑇 en dos partes: la parte rígida, 𝑅𝑖𝑇 , y la parte periódica amortiguado 𝑅𝑖

𝑃

. Denotando el coeficiente de respuesta rígida por 𝑎𝑖 la parte rígida se define por:

Se supone que la parte rígida y la parte periódica amortiguado son estadísticamente

independientes

La declaración de las ecuaciones 3.24 y 3.25 de inmediato conduce a una adecuada regla

de combinación. Dado que las partes rígidas están perfectamente correlacionadas son

sumados algebraicamente:

Fig. 3.4 Variación del coeficiente de respuesta rígido con frecuencia, terremoto de San

Fernando (Hollywood almacenamiento, EW, 1971) [23].

Las sartenes periódicas amortiguadas se combinan utilizando la suma doble estándar

ecuación:

Por último, la respuesta total se convierte en:

El coeficiente de respuesta rígida puede ser evaluado numéricamente si el terremoto se

conoce la historia tiempo. Como se ha indicado antes, que no suele ser el caso cuando él

se utiliza el método del espectro de respuesta. Como se muestra en la figura 3.4, la

numéricamente coeficiente de respuesta rígida calculado puede ser idealizado por una línea

recta en el gráfico semi -log. Se da la ecuación idealizada por:

en el que 𝑓𝑖 es la frecuencia modal en Hz , 𝑓𝑖 = 𝜔𝑗/(2𝜋). la frecuencias clave 𝑓1 𝑦 𝑓2 puede

expresarse como

Las ecuaciones 3.24 a 3.28 constituyen un procedimiento de combinación modal completa,

incluyendo los casos en los modos tienen frecuencias muy próximas entre sí, y los casos

en que hay modos con un contenido de la respuesta rígida, (ai>0). Por el bien de la notación

brevedad, podemos replantear estas ecuaciones en una ecuación de suma doble

modificación:

en el cual

Las ecuaciones 3.31 y 3.32 incluyen el efecto de rigidez responsable en la modificación del

coeficiente de correlacion . Una comparación de los valores numéricos medios de

, obtuvieron de diez registros de terremotos y los valores calculados a partir de la ecuación

3.32 se muestra en la figura 3.5. El acuerdo entre los valores numéricos y La ecuación 3.32

es bueno. Singh y Mehta [20] también han propuesto una expresión para , que incluye

el efecto de la respuesta rígida.

La historia de tiempo y de la respuesta de los análisis de espectro se realizaron en cinco

años Sistemas de 3 grados de libertad, cada sometieron a tres plantas real terremoto

registros de movimiento, ya tres mociones Instructura calculada. Los cinco edificios tenían

frecuencias fundamentales 2-64 Hz. El modelo de edificio y la forma de los modos un

normalized (que son iguales para todos los cinco edificios) se muestra en la Figura 3.6. En

el método de espectro de respuesta, las respuestas modales eran combinado utilizando

cuatro métodos: SRSS, Kennedy [17], Hadjian [19], y Gupta y Chen [21]. Los valores de

espectro de respuesta combinados se compararon con los correspondientes valores

máximos desde el método de tiempo de la historia. El seguimiento Se consideraron las

respuestas: desplazamientos de la historia, las fuerzas de la historia de inercia, cizallas

historia y momentos de la historia. Se encontró que los desplazamientos de la historia

fueron dominados por el modo fundamental y sus valores de espectro de respuesta fueron

insensibles al método de combinación. Por lo tanto, los desplazamientos fueron eliminados

de la comparación. El resumen estadístico de los errores en los cuatro métodos de modal

combinación se da en la Tabla 3.2. El error medio en todos los métodos es relativamente

pequeño. El parámetro de error más importante a considerar es la norma desviación. En

relación con el valor para el método de Gupta, la desviación estándar para El método de

Hadjian es 2.4, que para el método de Kennedy es 2.9, y para el SRSS método es 4,6. LA

comparación de la respuesta de tiempo de la historia de resultados con los del método de

espectro de respuesta utilizando el método de combinación modal de Gupta es se muestra

en la Figura 3.7 para el San Fernando (Hollywood Almacenamiento, EW, 1971)

terremoto. Las líneas punteadas en la Figura 3.7 muestran los resultados espectro de

respuesta .Sólo cuando no se superponen por los resultados de historia de tiempo

mostrados por el líneas continuas.

Fig.3.5 Comparación de los coeficientes de correlación entre modos de transporte,

incluyendo el efecto rígido [12]

Fig. 3.6 El modelo del edificio y formas modales normalizada (igual para los cinco edificios)

[21]

ASCE Standard [26] ha adoptado el método de combinación modal de Gupta con una

simplificación. El estándar utiliza una ecuación de combinación modal como la Ecuación

3.32. En lugar de variar el coeficiente de respuesta rígida de una 0 a 1 entre f 1 y f 2 de

acuerdo con la ecuación 3.29, el estándar asume una repentina.

Fig.3.7 Comparación de la respuesta máxima de edificación a partir del análisis de tiempo

de la historia y desde método de espectro de respuesta utilizando el método de combinación

modal de Gupta para San Fernando terremoto (Hollywood Almacenamiento, EW, 1917) [12]

Cambiar en la forma de 0 a 1 a una frecuencia aproximadamente a medio camino entre

f 1 y f 2 a en f t / 2. En consecuencia, εij está dada por la εij ecuaciones para el periódico

amortiguado parte, a menos que tanto fi y fj son iguales a o mayor que f t / 2. En este

último caso, la norma recomienda εij = 1, independientemente de la magnitud relativa de

frecuencias. El permiso de uso estándar del procedimiento detallado se explicó

anteriormente.

3.4 Respuesta de alta frecuencia residual modos rígidos

En muchas aplicaciones prácticas, el modelo de estructura tiene el gran número de grados

de libertad. La estructura cuenta con el mayor número de modos como el número de grados

de libertad. A menudo, la respuesta significativa de la estructura puede ser obtenida a partir

de los primeros pocos modos;la contribución de respuesta de los modos más altos es

insignificante en esos casos, y puede ser despreciado. Hay situaciones en las que es no

determinado cuántos modos para incluir en el análisis. Por ejemplo, en el sistema de

tuberías de centrales nucleares, algunas partes obtienen gran parte de su respuesta modos

muy altas debido a la distribución no uniforme de rigideces. Si los mayores modos fueron

ignorados, se introduciría alta de error inaceptablemente en los valores de respuesta

calculados. Existe una clara necesidad de técnicas para la inclusión

Los efectos del modo más altas sin tener que realizar cálculos para todos los modos. b! En

un tipo de técnicas existentes [21-25,27-29], el efecto de inercia de los modos que tienen

frecuencias mayores que la frecuencia rígido se agrupan en una "falta masas "término que

se obtiene la" respuesta rígida residual. ' En otro tipo [20], el análisis se realiza por el método

de aceleración de modo. Este último método requiere el uso de aceleración relativa y los

espectros de velocidad relativa que son no están fácilmente disponibles. Presentaremos el

enfoque respuesta rígida residual [24].

Recordamos la Ub vector introducido en la Ecuación 3.1. La siguiente es una exacta

transformación lineal de este vector:

Vamos a premultiplicar ecuación 3,33 por ∅𝑖𝑇 M. La ecuación 3.3, y la ortogonalidad

condición: ∅𝑖𝑇𝑀 ∅𝑗 = 0 para i ≠ j, y = 1 para i = j, dar

Ecuación 3.1 con la ecuación 3.34 se convierte

A partir de las ecuaciones 3.2 y 3.35 inferimos

La ecuación 3.36 da la respuesta en el modo i ésimo de la vibración.

Supongamos que el número de grados de libertad es N, que es también el número de

modos de la estructura. Además, supongamos que hay modos de n que tienen frecuencias

inferiores a la frecuencia rígida, 𝑓𝑇. Denotamos la respuesta en n estos modos por U' y la

respuesta en los modos restantes por Uo

Las sumas de la Ecuación 3.37 están en el dominio del tiempo. Ecuaciones 35-37 dan

Como señalamos antes, la respuesta de la estructura en los modos que tiene frecuencias

mayor que la frecuencia rígido es pseudo-estática, es decir, 𝑈0 y 0 los términos en la

ecuación 3.38 puede ser ignorado.

El vector de desplazamiento UO , da la respuesta rígida residual. En el modal método de

superposición, la historia respuesta en los modos que tiene frecuencias de hasta la

frecuencia rígida se obtiene por los algoritmos usuales. La respuesta en todos los modos

restantes está dada por UO, en la ecuación 3.39. Aunque el vector Uo es dependiendo del

tiempo, no tenemos que resolver la ecuación simultánea en cada paso de tiempo. Desde la

dependencia del tiempo se introduce por el término 𝑈 , que en el presente caso es un

escalar, se resuelve la ecuación simultánea una vez con – M𝑈𝑏𝜃, en la mano derecha lado,

y multiplicar la solución 𝑈 , en cada paso de tiempo. El desplazamiento completo vector

está dado por la ecuación 3.37. El procedimiento anterior no sólo es económico en

comparación con la realización de cálculos para todos los modos, pero en la mayoría de los

casos También será más preciso. Por lo general es difícil evaluar las frecuencias y las

formas de los modos de los modos superiores con mucha precisión.

En el método de espectro de respuesta, las respuestas en modos que tienen frecuencias

Tabla 3.3 Algunas fuerzas importantes y momentos cerca de los soportes [24]

F - fuerza axial, V = fuerza de cizallamiento, M = momento, el subíndice X, Y, Z se refieren

a la correspondientes ejes globales. Fuerzas en kips , momentos en kips ft .

Método I - incluyendo la respuesta rígida residual.

Método I1 - sin respuesta rígida residual.

Yo hasta la frecuencia rígida se calculan mediante la Ecuación 3.5 como antes. Para la

, respuesta rígida residual, la ecuación 3.39 se sustituye por

El valor residual de cualquier respuesta, Ro, se calcula a partir de 𝑈0𝑚𝑎𝑥 , El modal

Procedimiento combinación descrita en la sección anterior , Ecuaciones 3.24 - 3.28 , se

aplica con un cambio. La ecuación 3.28 es modificado de la siguiente manera:

Este método de cálculo respuesta rígida residual se aplicó a un sistema de tuberías se

muestra en la Figura 3.8 por Gupta y mandíbula [24]. La tubería se sometió a Taft (N2 1

E, 1952) el movimiento del suelo que tiene la frecuencia rígida, 𝑓𝑇 ≈ 20 Hz. Había nueve

modos que tienen frecuencias <20 Hz, n = 9. Estamos presentando aquí algunos de Los

resultados de referencia [24], la comparación de los resultados de tiempo de la historia con

los resultados del espectro de respuesta, con o sin respuesta rígida residual. Tabla 3.3 da

las fuerzas elemento significativo y momentos en la zona de los soportes obtenido a partir

del análisis de tiempo de la historia junto con los errores en la respuesta cálculos del

espectro. Haciendo caso omiso de la respuesta residual da error tan alto como - 98,6%, lo

que significa que el valor calculado es de 1,4% de lo que debería ser, claramente una

situación inaceptable. Excluyendo la respuesta rígida residual presenta una media error de

- 43% frente al error medio de sólo el 4% cuando la respuesta rígida residual está incluida.

Esto muestra una tendencia definida en los resultados de respuesta hacia subestimación

cuando no se incluye la respuesta rígida residual. La exclusión de la respuesta rígida

residual también da desviación estándar de error mucho más grande y Error RMS que

cuando está incluido.

Capítulo 4 Respuesta a componentes múltiples del terremoto

4.1 Introducción

El movimiento sísmico en cualquier punto puede ser resuelto en tres ortogonal

componentes, dos horizontal y uno vertical. Penzien y Watabe [l] tienen demostrado que

los dos componentes horizontales, que son aproximadamente radial y tangencial con

respecto al epicentro, están correlacionadas. Cualquier otra orientación de ejes horizontales

conduce a correlacionadas parcialmente componentes horizontales. Esta que normalmente

sería el caso porque los edificios o las estructuras son, en general, poco probable que se

colocarán a lo largo de las direcciones radial y tangencial. La verticales componente del

movimiento sísmico siempre tiene cierta correlación con el componentes horizontales.

Debido al movimiento de las olas, un edificio también se somete a tres componentes de

rotación [2-71. Estos componentes de rotación son mutuamente correlacionados, y tener

una fuerte correlación con los componentes de traslación. Los estructuras apoyadas en

múltiples soportes, tales como puentes pueden considerarse ser sometido a varios

"componentes". Estos componentes tendrían variables grados de correlación.

Denotemos el componente terremoto por los subíndices de letras capitales y modos por los

pequeños subíndices de letras. Por ejemplo, R ,, representa la respuesta el valor del

espectro de una respuesta en el modo i-ésimo de la vibración debido al terremoto Ith

componente. Siguiendo un procedimiento similar al utilizado para la derivación de Ecuación

3.13, podemos escribir la siguiente ecuación para componentes y modal ecuación de

respuesta [8]:

en el que EIiJj representa la correlación entre la respuesta en el modo i debido a

Componente Ith, y la respuesta en el modo j debido a la componente de J-ésimo. Para la

derivación de una ecuación como la ecuación 4.1 consulta Amin y Ang [9]. Ghafory-Ashtiany

y Singh [lo] han realizado un estudio estocástico en la combinación de las respuestas de

los seis componentes del terremoto (tres horizontal y tres rotacional). Hacer suposiciones

peor de los casos, han demostrado que la sísmica

la respuesta del edificio puede ser influenciada significativamente dependiendo de su

orientación con respecto al epicentro del terremoto.

Si los EIi4is coeficiente de correlación conocidos, su aplicación es sencilla.

Por otro lado si el conocimiento acerca de la correlación es incierto, puede ser deseable

hacen supuestos simplificadores. Suponiendo que los dos horizontal componentes tienen

iguales intensidades, Rosenbiueth y Contreras [l 1] han concluido que uno puede tener

correlación cero entre los movimientos a lo largo de cualquiera de los dos direcciones

horizontales ortogonales. Por lo general, la intensidad de la componente tangenciales

ligeramente más pequeño que el de la componente radial. Sin embargo, un sitio dado puede

esperar recibir choques de tierra de más de una fuente. Por lo tanto es razonable suponer

que las dos componentes horizontales tienen iguales intensidades para propósitos de

diseño; y, en consecuencia, que los dos componentes no están correlacionados con

independencia de la orientación de los ejes horizontales. La componente vertical es

considerado de una significación menor que los dos componentes horizontales son.

Por lo tanto, podemos justificar ignorar la correlación entre la componente vertical y los dos

componentes horizontales. Por último, para la mayoría de los edificios y estructuras de los

componentes de rotación hacen solamente una contribución menor a la respuesta

estructural. Por lo tanto, para muchas situaciones prácticas, bastaría con considerar el

efecto de dos componentes horizontales iguales y un componente vertical, y suponer que

los tres componentes son estadísticamente correlacionados. Podemos escribir.

en la que ci, incluye el efecto de los modos con frecuencias cercanas y la de la respuesta

rígida a frecuencias más altas. En el capítulo 3, se denota la correspondiente coeficiente de

correlación por BO; estamos dejando caer la barra en la Ecuación 4.2 aquí la brevedad y

sin ninguna pérdida de significado. La ecuación 4.2 se puede reescribir como

Las ecuaciones 4.1 a 4.3 dió el valor máximo probable de cualquier respuesta. A menudo

el diseño de un elemento estructural se basa en más de una respuesta, por ejemplo, una

columna sometida a la fuerza axial P y momento flector M, o un metal elemento sometido

a esfuerzos de buey, o,, o,, T,,,,,, T T ~ .Es poco probable que la valores máximos de estas

respuestas podrían ocurrir simultáneamente. En la mayoría procedimientos de diseño

convencionales, se supone implícitamente que la máxima respuestas ocurren

simultáneamente. Esta suposición introduce un error en la caja fuerte lado que puede ser

significativo. Varios aspectos de este problema se discuten en secciones posteriores.

4,2 variación simultánea en las respuestas

El siguiente desarrollo se basa en Gupta y Chu [I 2131. En la respuesta método del espectro

de análisis, el valor máximo de la respuesta en el modo i debido a Ith componente terremoto

se conoce, denotado aquí por R,,. En un instante dado de tiempo, la respuesta puede ser

expresada como la suma algebraica ponderada de las respuestas en varios modos debido

a todos los componentes del terremoto.

El valor de R (t) dada por la ecuación 4.4 es limitado por el valor máximo de R dada por la

ecuación 4.3, que designaremos aquí por R,,. Por Consiguiente,

Antes de continuar, vamos a considerar la naturaleza de la Ecuación 4.3. Se puede ver

como la definición de la longitud de un vector R Rli en 'un espacio de Riemann-3N [141que

tiene un tensor métrico E,,, donde N es el número de modos. Ahora considere el instancia

de tiempo cuando una respuesta particular U alcanza su valor máximo Urnax.

La ecuación 4.4 da

En la Ecuación 4.6, u,, es un vector unidad en el espacio de Riemann. Ecuaciones 4.3 y

4.6 dar

Consideremos otra unidad vector arbitrario v,,

En el instante, Kli tiene un valor que T da,,, tendremos

Dado que, v, es un vector unitario arbitrario, sin ninguna pérdida de generalidad podemos

escribir

Ecuaciones 04.08 a 04.10 de dar

Veamos ahora sustituimos la ecuación 4.10 en la ecuación 4.6, lo que da

En el espacio de Riemann, el coseno del ángulo entre los vectores de unidad de Uli y es uij

dada por

Ecuaciones 4.1 2 y 4,13 rendimiento

De acuerdo con la ecuación 4.14, l CI es igual o mayor que la unidad. En el Por otra parte,

la ecuación 4.1 da I (Cl igual o menor que la unidad. La única común valor es] C I = 1. Por

lo tanto, la ecuación se convierte en 4,12

lo cual es posible cuando la unidad vectores ULL y V, son paralelas. Si suponemos que la

dirección positiva de ambos los vectores es igual, entonces se concluye

La ecuación 4.16 con la ecuación 4.10 da

La ecuación 4.17 da el valor de K ,,, en el instante en U ,,, se alcanza. Nosotros ahora

procederá a encontrar una relación de K ,, que será aplicable a cualquier respuesta

arbitraria. El coeficiente E ,, es un elemento de la matriz e NXN, donde N es el número de

modos. La matriz e es definida positiva, por definición, ver Capítulo 3. Definamos la inversa

de la matriz E por e-. La solución de La ecuación 4.17 da IS = 16, K ,, que con la Ecuación

4.6 rendimientos

En la Ecuación 4.1 8, los valores Kil (o K ,,) son desconocidos. Cualquier conjunto de valores

de Kit, que satisfacen la ecuación 4.18, dará el valor máximo de una respuesta Rr

donde r es el número de respuesta. El valor de otras respuestas en el momento en Rres

máxima, se puede obtener por otra ecuación similar a la Ecuación 4.19,

donde s # r, la K ,, valores son los mismos que los de la ecuación 4.19. Por lo tanto, toda la

R 'y yo? se evalúan los valores que ocurren simultáneamente. En las aplicaciones prácticas,

uno puede no ser capaz de identificar la respuesta Rr, que es máxima para una dado un

conjunto de K, satisfaciendo la ecuación 4.18. Sin embargo, eso no es necesario. En la

práctica, las Ecuaciones 4.18 y 4.19 se puede utilizar como sigue. Evaluar conjuntos

suficientes de K, los valores que satisfacen la ecuación 4.18. Luego, para cada conjunto de

K, los valores evalúan Rr partir de la ecuación 4.19, para todas las respuestas R 'de su

interés. Por ejemplo, en caso de una columna de viga, tenemos dos respuestas de interés:

fuerza axial P y flexión momento M. Entonces, R '= P, R * = M. Cada conjunto de valores

Rr (ejemplo, P, M) da las respuestas que se producen al mismo tiempo que deben ser

considerados en el diseño.

4.3 respuestas modales equivalentes [l2,15]

Ecuaciones 4.18 y 4.19 forma la base de la evaluación de la variación simultánea en las

respuestas. Sin embargo, la aplicación de estas ecuaciones es tedioso. Considere, por

ejemplo, tenemos tres componentes del terremoto, y para cada componente tenemos veinte

respuestas modales. Luego, cada conjunto de K, consta de 3 X 20 = 60los valores. Tener

conjuntos suficientes de K ,, que satisfacen la ecuación 4.18 para cubrir toda la posibilidades

pueden ser poco menos que imposible. Se muestra en esta sección que una gran número

de respuestas modales para todos los componentes del terremoto se puede sustituir por un

número muy reducido número de 'respuestas modales equivalentes. Considere un

problema de diseño en el que sólo un pequeño número, M, de la respuesta valores de RR,

r = 1 -M, contribuyen. Por ejemplo, para el problema de la columna de haz se hace

referencia en el apartado anterior, M = 2, R '= P, y R' = M. Hay muchosproblemas de diseño

con M = 2, 3, etc. Que se especifica el criterio de diseño como

La función de diseño @ en la ecuación 4.20 es una función lineal de las respuestas Rr,

siempre y cuando la influencia coeficientes A 'son constantes. No es inusual para un diseño

función sea una función no lineal de los valores de respuesta, en cuyo caso la influencia

coeficientes, A ', son funciones de los valores de respuesta también. Para el propósito de

la ecuación 4.20, sin embargo, A 'se supone que es localmente constante. Esta suposición

es justificable en vista del hecho de que el análisis de la respuesta que da la Rr sí los valores

es lineal. Para el modo i, componente Ith del terremoto, tenemos

Las ecuaciones 4.3 y 4.20 dan el valor máximo de respuesta de la función de diseño Como

Es obvio a partir de la ecuación 4.22 que para fines de diseño, es suficiente saber Valores

G ", y no es necesario conocer los valores de R ;,. Al menos, no es necesario trabajar con

valores de R;

Ahora vamos a introducir las "respuestas modales equivalentes" denotados aquí por una:

El subíndice en una: indica el número de modo equivalente. Los modos equivalentes se

definen de tal manera que

Considere respuestas M Rr, r = 1 - M. Por estas respuestas M, podemos especificar M

vectores únicos al :, i = 1 - M. Cada vector tiene elementos M, r = 1 - M. Por lo tanto,

necesitamos definir M ~ elementos desconocidos de un :. La matriz de respuesta G es

simétrica, Grs = G ". Por lo tanto, sólo hay M (M + 1) / 2 ecuaciones para definir los valores,

la ecuación 4.23. Eso significa que el otro M (M- 1) / 2 valores pueden ser definida

arbitrariamente. Un conjunto sugerido de estos valores arbitrarios es

Por ejemplo, cuando M = 2, la ecuación 4.23 da

De acuerdo con la ecuación 4.24, K \ = 0. Por lo tanto, E (= JG ", iF: = GI2 / W1, y = 4 [GZ2

- (W:) 2]. Los vectores modales equivalentes para M = 6 caso se dan en Tabla 4.1.

Tomamos nota de las ecuaciones 4.3, 4.22 y 4.23 que el valor máximo de un la respuesta

es dada por

Los subíndices i, j en la triple suma en la ecuación 4.25 se refieren a la real números de

modo, y la única suma se refiere al modo equivalente números. Considerando que, la

respuesta modal valores R, constituyen una 3N-Reimannian espacio con E ,, como el tensor

métrico, la ecuación 4.25 indica que: Los valores son parte

de un espacio-M cartesiano cuya tensor métrico está dada por una matriz de identidad.

Desde el espacio cartesiano es una forma especial de espacio Reimannian, también

podemos aplicar la conclusiones de la sección anterior aquí.

Las ecuaciones 4.18 y 4.19 ahora se sustituye por

Por ejemplo [L6], considere un problema viga-columna con el siguiente calculado G

matriz.

Los modos son equivalentes

De acuerdo con la ecuación 4.26, la variación de P y M está representado por

Está claro que las ecuaciones anteriores representan una elipse, que llamaremos 'elipse

interacción.' En general, cuando M> 2, la ecuación 4.26 representa una elipsoide en un

M-espacio. R ,, E2 son como cosenos directores. Para fines de diseño, varios juegos de

i ?, valores RZ que satisfacen la ecuación R: + K: = I deben ser utilizado, como se

muestra en la Tabla 4.2. Los valores calculados de P y M se representan en la Figura

4.1, los puntos se unen para formar un polígono. También se muestra en la Figura 4.1

son la elipse exacta, y un rectángulo que se obtiene cuando se supone que la valores

máximos de + P y - + M ocurren simultáneamente.

Tabla 4.2 Cálculo fuerza sísmica y el momento

4.4. Interacción elipsoidal [12, 17]

Como se muestra en la sección anterior, la ecuación 4.26 representa una forma

paramétrica elipsoide en un espacio M, que llamamos elipsoide de la interacción. Vamos

a derivar una ecuación paramétrica del elipsoide aquí. Usaremos anotaciones en la matriz

la derivación. Denotemos las respuestas R' por el vector R; el equivalente respuestas

modales R; por la matriz cuadrada K, en la que cada columna representa un equivalente

vector modal: y R, los valores están contenidos en el vector K. Ecuación 4.26 se reescribe:

(4.27)

Eliminando los parámetros K obtenemos:

(4.28)

De la ecuación 4.23

(4.29)

Denotando C "por H, ecuaciones 4:28 y 4:29 de dar

(4.30)

La ecuación 4.30 es la ecuación deseada del elipsoide interacción. Esta derivación se basa

en Gupta y Chu [12]. Una derivación alternativa está dada por Gupta y Singh [17].

4.5. Método aproximado

Las ecuaciones 4.26 y 4.30 representan la variación simultánea en los valores de diversas

respuestas debido al terremoto de carga. Deben calcularse Varios puntos en la interacción

elipsoide definido por estas ecuaciones, para representar la superficie adecuadamente

para fines de diseño. Un método aproximado basado en Gupta [18] se presenta aquí. En

este método, la superficie de interacción se sustituye por los pocos puntos discretos. Los

puntos se pueden unir para formar un poliedro convexo en el espacio M que describe

completamente la interacción de elipsoide.

Considere cualquier respuesta equivalente R1. Supongamos que los valores modales

equivalentes de la respuesta están dispuestos en un orden

descendente, La respuesta máxima se da por la ecuación 4.25,

Se propone la respuesta aproximada por:

(4.31)

En la cual C, los valores son coeficientes constantes, y están

definidas.

Esta condición puede ser satisfecha con un mínimo conservadurismo tomando:

(4.32)

Error relativo máximo en la respuesta es Los valores de C1 y los

errores

correspondientes figuran en la tabla 4.3. Rosenblueth y Contreras [l11] dar valores de C1

cuando los errores máximos en el lado seguro e inseguro son iguales. Muchos de los

problemas de interés práctico tienen M = 2 o 3. Se puede ver desde Tabla 4.3, el error

máximo en el lado conservador será sólo el 8% o 13% en los dos casos respectivamente.

El error más alta posible es 30%. Estos son errores máximos posibles. En la mayoría de

los casos, los errores serán en algún lugar entre cero y el valor máximo. Se muestra por

Gupta, Fang y Chu [19] que el error relativo máximo en el método convencional en el que

la máxima valores de todas las respuestas se supone que ocurren simultáneamente, es M

- 1. Por M = 2, 3 y 6 los valores de error son 41%, 73% y 145%, respectivamente.

Cuando hay M respuestas de interés, R´, r = 1 - M, la condición anteriormente impuesto,

no puede ser satisfacer para todos los valores de r. Por lo tanto,

reemplazamos C1 en la Ecuación 4.31 por

la variable de D1, donde:

(4.33)

Ecuación 4.33 dará 2M M! conjuntos de R´aproximado, valores. Apliquemos esto

procedimiento para el problema viga-columna de la Sección 1.2. Los valores de D1 y la

correspondiente P, puntos M se dan en la Tabla 4.4. Estos puntos se representan en la

Figura 4.2, para dar el poliedro que envuelve la elipse interacción.

Cuando M es relativamente grande, el número de permutaciones en la Ecuación 4.33

llegará a ser muy grande. Por ejemplo, para M = 6, 2M M! = 46 080.

Fig. 4.2 Elipse de la interacción y el poliedro aproximado para el problema

de la columna [16]

Aunque un gran número de puntos puede ser manejado sin mucha dificultad en el

módem computadora, puede ser deseable para hacer una aproximación aún más para

reducir el número de puntos. Se puede hacer mediante el establecimiento de:

C = 1.0, Ci = 0.41 i> 1.

Ecuaciones 4.33 y 4.34 darán puntos M 2M. Para M = 6 de nuevo, el número de puntos

= 384, la reducción por un factor de 120. En general, la reducción es por el factor (M -

1)!

4.6. Aplicación a problemas de diseño

Se puede calcular varios puntos de la interacción del elipsoide utilizando la ecuación

4.26, aproximadamente o, utilizando la ecuación 4.33 o 434. Estos puntos representan

la "Los valores de respuesta sísmica. La estructura está sometida a otras cargas

estáticas que deben resistir simultáneamente con las cargas sísmicas. Así, para el

diseño propósito,

(4.35)

Ecuación 4.35 asciende a desplazar el centro del elipsoide al punto R´estatico . Para el

diseño seguro, todos los puntos posibles R´Total deben estar dentro de la capacidad de

resistencia del elemento estructural bajo consideración.

El problema de diseño de una viga-columna de hormigón armado se ilustra en la Figura

4.3. Se muestra Que la interacción del elipse que representa la carga sísmica con

desplazado origen para la carga estática está completamente descrito por el

condensador diagrama de interacción de la sección de la viga-columna. También se

muestra en la figura es la rectángulo dado por el método convencional en el que el

máximo P sísmico y Valores de M se supone que ocurren simultáneamente. El método

convencional sería han requerido una más fuerte y por lo tanto, menos sección

económica.

Métodos similares a los que aquí se presenta se han aplicado al diseño de la

construcción de secciones transversales, placas base y columnas de hormigón armado,

y al análisis de losas de base con la ubicación de elevación por Gupta y Chu [12]. El

diseño de acero vigas-columnas han sido estudiados por Gupta, Fang Chu y [l9]. Gupta

tiene Estos métodos aplicados a la vasija de presión nuclear de hormigón armado,

muros de corte [16] y tuberías [16,20] sistemas.

CAPITULO 5 / SISTEMAS DE AMORTIGUADO NO CLÁSICO

5.1 Introducción

Ecuaciones del movimiento de la múltiples-grado de libertad clásicamente amortiguado

(MDOF) Los sistemas pueden ser transformadas en un conjunto de ecuaciones modales

independientes utilizando el vector propios y valores propios de los sistemas no

amortiguados con valores reales como se hizo en el capítulo 1. Sin embargo, en muchos

sistemas reales las ecuaciones modales están acoplados por la matriz amortiguación

no clásica [1]. En muchos casos, no clásicamente amortiguado sistema pueden ser

aproximadas por un sistema clásico amortiguado sin pérdida significativa de precisión.

Por otro lado, no son importantes práctica situaciones en las que la naturaleza no clásica

de la matriz de amortiguamiento no puede ser ignorada. Tal es el caso cuando una

estructura se compone de materiales con diferente amortiguación características en

diferentes partes. Por ejemplo, un modelo analítico de un combinado sistema de la

estructura del suelo no clásicamente amortiguado. Otro ejemplo es una acoplada

estructura de los equipos del sistema (primaria-secundaria).

Ya sea amortiguado clásico o no clásico, siempre se puede evaluar la respuesta de un

sistema MDOF mediante el análisis directo de integración de tiempo de la historia. En

clásicamente sistemas amortiguadas, la ventaja del análisis modal es que a menudo la

respuesta puede ser representada por sólo unos pocos modos. Para la no clásica

amortiguado sistema, uno puede seguir utilizando las formas modales no amortiguadas

para obtener la transformada junto ecuaciones modales como se hizo por Clough y

MojtahediI [2]. Porque las ecuaciones resultantes se acoplan, el sistema debe ser

transformado completa integrado de forma simultánea, como en el método de

integración directa. El grado de la eficiencia consigue así es mucho menor que cuando

las ecuaciones están desacoplados. Por otro lado, este procedimiento se puede utilizar

para reducir el número de grados-de-la libertad considerando sólo unos pocos de los

modos no amortiguadas.

Frecuencias y formas modales de un sistema no clásica amortiguado son complejos y

se puede calcular utilizando el método Foss "[3]. Las formas de los modos complejos y

frecuencias pueden ser utilizado para obtener primero diferencial de orden modal

desacoplado ecuaciones [4]. Itoh [5] resuelto estas ecuaciones en conjunción con el FFT

(rápido Transformada de Fourier) procedimiento.

Singh [2], utilizando el enfoque de vibración aleatoria, desarrollado una respuesta

método de espectro para sistemas no clasica amortiguadas. Implícito en el método de

la dependencia de la respuesta en dos espectros, uno basado en la relativa máxima

desplazamiento, y otro basado en la velocidad relativa máxima. Singh [6] supone que el

espectro de velocidad relativa es la misma que el relativo espectro de desplazamiento

(cuando se expresa en las mismas unidades) en el bajo y intermedio Frecuencia rangos,

que el espectro de velocidad relativa tiene cero ordenadas en el rango de frecuencia

más alto, y que hay una transición lineal en el logarítmica escala entre las frecuencias

del espectro de velocidad relativa disminuye desde equivalencia relativa de

desplazamiento a cero. Como se mostrará más adelante, estas suposiciones no son del

todo cierto. Aunque estos supuestos pueden introducir errores en determinados casos

especiales, en la mayoría de los casos, el método debe producir satisfactoria resultados.

Singh [6] También se presenta una combinación integral de la respuesta modal

procedimiento. La principal crítica del método de Singh es que es relativamente tedioso.

Villaverde y Newmark [7] realizó una partida formulación determinista con las

frecuencias y formas de los modos complejos. Para cada modalidad de forma compleja

y su conjugado, se mostró de manera explícita que la respuesta se puede representar

en dos partes, uno basado en el espectro de desplazamiento relativo y otro basado en

el espectro de velocidad relativa. Asumieron que los dos espectros son equivalente

cuando se expresan en las mismas unidades. Este supuesto no es cierto en el rango de

alta frecuencia.

Igusa y Der Kiureghian [8], y más tarde Gupta y mandíbula [9], y Veletsos y Ventura [10]

mostró que el vector de desplazamiento de un no clasico amortiguado Sistema MDOF

se puede expresar como una combinación lineal de los desplazamientos y las

velocidades de equivalente de solo grado de libertad Sistemas (un grado de libertad).

Igusa y Der Kiureghian [8] trató el terremoto como el ruido blanco y, por lo tanto, fueron

capaces de simplificar la ecuación combinación respuesta modal definitiva en gran

medida. Gupta y jaw [11], amplió su formulación anterior [9] para el método de espectro

de respuesta. También propusieron un método para estimar el espectro de velocidad

relativa que sería necesario para el análisis.

5.2 Formulación analítica

Consideremos la siguiente ecuación de movimiento para un sistema de N-DOF

Dónde M, C y K denote masa, amortiguamiento y rigidez matrices, respectivamente; U

es el vector de desplazamiento relativo; Ub es un vector de desplazamiento obtenida por

estáticamente desplazar el apoyo de la unidad en la dirección del movimiento de

entrada; Ug, es el suelo (o apoyo) de desplazamiento; super dot (.) Representa un

derivado de con respecto a la variable tiempo. En el enfoque Foss [3], la ecuación 5.1

es echado en una ecuación matricial-2N dimensional de la siguiente manera:

Donde:

El equivalente vibraciones de la Ecuación 5.2 se obtiene N vectores propios y valores

propios complejos, junto con sus conjugados. Estos vectores propios satisfacen

diversas

Condiciones de ortogonalidad [4]. Los vectores propios complejos pueden escribirse en

términos de vectores N-dimensionales como:

cuando λi es el valor propio complejo para el modo i. La respuesta está dada por:

en el que zi y 𝑧 pueden ser llamados complejos coordenadas normales. El bar (-) en la

Ecuación 5.5 y en otros lugares denota el complejo conjugado. Ecuación 5.5 con

operaciones estándar produce las siguientes ecuaciones desacopladas.

En el cual:

Donde:

Ecuaciones similares se pueden escribir para el conjugado (F_i)

Teniendo en cuenta la evolución temporal de üg, la ecuación 5.6 se puede resolver para

dar las historias del complejo coordenadas normales zi y 𝑧 [12]. En vez, podemos

calcular la historia del vector de desplazamiento T de la ecuación 5.5. Considerando que

los términos individuales en el lado derecho de la Ecuación 5.5 son complejos, la suma

de los pares conjugados dio reales U.

Ahora procedemos a desarrollar una formulación alternativa de superposición modal [9]

.Considera un elemento de orden k del vector U en el modo i, uik. De la ecuación 5.5

Escribamos diversos parámetros en las ecuaciones 5.6 y 5.9 en términos de sus partes

real e imaginaria.

Hemos omitido subíndices en el lado derecho de la ecuación 5.10 por razones de

brevedad. La expresión para M está escrito en esta forma particular en vista del sistema

de expresión OFA SDOF similares; u), - es la frecuencia circular, C, es el coeficiente de

amortiguamiento, y (DM es la frecuencia circular amortiguada correspondiente

Ecuaciones 5.9 y 5. 1O rendimiento.

Para un modo dado, 5 y T] son funciones de solamente la variable de tiempo. Los

parámetros (α, β) definen la forma del modo y difieren entre los distintos DOF como

deberían. En un sistema clásico amortiguado, la variación en (α, β) puede ser

representado en términos de un vector real, que, de hecho, representa la forma del

modo. En un sistema de nonclassically amortiguada, por otro lado, tanto α, β variar

independientemente. Así, cada DOF tiene su propia fase relativa. En un "sistema

amortiguado clásico, podemos escribir una ecuación dilïerential en cuenta: los reales

coordinar y reales coeflicients normales. En un sistema nonclassically amortiguado, si

queremos hacer frente a los valores reales, debemos escribir una ecuación dilïerential

para cada DOF.

Sustituyendo la ecuación S. l0 en la ecuación 5.6 y separar partes real e imaginaria, a

continuación, resolviendo para 5 y n, obtenemos

Ecuaciones 5.11 y 5.12 rendimiento

En el cual:

En una experimentación numérica con los sistemas 2-DOF, se encontró que 9 puede

tener prácticamente cualquier valor de 0 a 21 :. Para un sistema clásico amortiguado, 6

= O. una ecuación similar a la ecuación 5. l 3 se utiliza en el enfoque convencional para

el sistema clásicamente amortiguado. Sin embargo, en esos casos, la 'U'! término no

aparece en el lado derecho de la ecuación. Considere la siguiente ecuación normal

estándar

En términos de la solución de la ecuación 5.15 , la solución de la Ecuación 5.l3 se puede

escribir como

La ecuación 5.16 puede ser utilizado para obtener la historia de la ug desplazamiento.

Se puede escribirse como

Nos gustaría escribir la ecuación 5.17 en notaciones matriciales. Tomamos nota de las

ecuaciones 5. 1º

La sustitución de las ecuaciones 5.18 a la ecuación 5.14 da

Ecuaciones 5.19 puede reescribirse en notaciones matriciales ahora.

Las ecuaciones 5.5, 5.16 y 5.17 se convierten

La ventaja de las ecuaciones 5.2 | es que la mayoría de los actuales programas de

superposición modal se pueden adaptar a estas ecuaciones con cambio relativamente

pequeño, a diferencia de su adaptación a la Ecuación 5.5. En vez de la forma habitual

modo complejo, en este caso, se trata de formas de modo real, ¡y! y v. Estamos

utilizando la rutina de integración modal convencional, de la que también obtenemos X,

además de los habituales x, .. Se demostró por Gupta y la mandíbula [9] que el método

de superposición modal anterior muestra los valores de respuesta idénticos a los

obtenidos por el integración directa de la ecuación de movimiento, la ecuación 5.1.

Al igual que en el método de espectro de respuesta convencional, definimos el

desplazamiento espectral por

Aquí, también definimos una velocidad espectral:

La naturaleza de estas propiedades espectrales se discute con más detalle en la

siguiente sección. Ecuaciones 5.19, 5.22 y 5.23 dan

Para cada i modo complejo y su conjugado, la ecuación 5.24 da dos vectores de

desplazamiento respuesta. Estos vectores, a su vez, producen dos valores modales de

cualquier respuesta, R "y R", en la que el sufiix 'max' se ha caído por razones de

brevedad. En un caso clásico amortiguado el vector v]? será nulo, por lo que la respuesta

R1 'es cero. En esos casos, el problema se reduce a la combinación de las respuestas

máximas modales de diversos modos, Rf. Ahora, tenemos dos respuestas máximas de

cada modo. El método de combinar estas respuestas se presenta posteriormente.

5.3 Espectros de respuesta

Dos cantidades espectrales fueron definidos en el apartado anterior, un desplazamiento

espectral SS, - y una velocidad espectral 83 ,. En estas anotaciones, los superíndices

dy v (minúsculas) indican que los dos se basan en el desplazamiento relativo máximo y

velocidad, respectivamente. Los subíndices D y V (letras mayúsculas) indican la unidad

del valor espectral, es decir, el desplazamiento (D), la velocidad (V), y también pueden

incluir aceleración (A). Recordamos la convencional D-V-Una relación

(Capítulo l):

en la que todas las cantidades se basan en el desplazamiento relativo máximo.

Podemos escribir una relación similar para el otro valor espectral:

donde, ahora todas las cantidades se basan en la velocidad relativa máxima. Para

distinguir las cantidades en las Ecuaciones 5.25 y 5.26 llamaremos todas las

"cantidades en la ecuación 5.25 los valores del espectro de desplazamiento, y el S" S

cantidades en la ecuación 5.26, los valores del espectro de velocidad. Una vez más, en

ambos casos las unidades se definen por la subíndices D, V o A.

Para una historia de movimiento terremoto dado, el procedimiento para obtener el

espectro de respuesta de velocidad es sencillo. Para fines de diseño, se especifica el

espectro de desplazamiento, el espectro de velocidad no lo es. En teoría, debe ser

posible especificar el espectro de velocidad también. Vamos a investigar aquí las

características del espectro de velocidad y su relación con el espectro de

desplazamiento. El objetivo es estimar el espectro de velocidad de un espectro de

desplazamiento dado.

Figura 5.l muestra el desplazamiento y los espectros de velocidad para El Centro

(SOOE, 1940) Registro. Se añadió un pulso inicial de 2 segundos para corregir los

valores de movimiento de tierra iniciales [13, 14]. Ambos espectros están en aceleración

(g) unidades. Como tal, se trata de la 1 Valores i S y S. Observamos en la figura 5.l que

los dos espectros son aproximadamente iguales en la gama de frecuencia intermedia.

El espectro de desplazamiento es mayor en el rango de frecuencia más alto, y el

espectro de velocidad es más alta en el rango de frecuencia más baja. Observaciones

similares han sido hechas por otros en el pasado; véase, por ejemplo Nau y Hall [14].

Fig. 5.1 Desplazamiento y espectros de velocidad para El Centro Terremoto (SOOE,

i940); amortiguación ratio = 0,05 [l l].

Como es bien sabido, el espectro convencional 'alcanza una relación Si constante en el

intervalo de frecuencia superior. Esta Si, que a menudo se llama el periodo cero

aceleración (ZPA), es igual a la aceleración máxima del terreno. La razón de este

fenómeno es que en la gama de frecuencias más alta sea la estructura actúa como un

cuerpo rígido, y no hay prácticamente ninguna amplificación dinámica. En

aproximadamente la misma gama de frecuencias Si es constante, S 1 está variando

linealmente con la frecuencia (en el log-log Chan). La misma lógica por la cual S) ', es

igual a la NMS, Si puede demostrarse que es igual a' ¡Ipmx / m, lo que explica la

variación lineal en S en el gráfico log-log. En el espectro convencional, en el rango SÉ

baja frecuencia, = uu ", o Si = (n! usm", que está representado por una línea recta en el

gráfico. Del mismo modo, S = o) 12 ",", que es la otra línea. Por lo tanto, en el rango de

baja frecuencia, se puede escribir.

Y en el rango de alta frecuencia

donde, las definiciones de mL y m "son obvias:

También

Si sabemos f "y f", podemos determinar con precisión S) ', entre Si en los rangos de alta

y baja frecuencia Además, sabemos que en el rango de frecuencia intermedia, f;. Z Si

Esto, por lo general, completa el estimación de S1. la excepción es una banda de

frecuencias entre las frecuencias 'altos' 'intermedio' y. Esta es la banda de frecuencias

en el que las transiciones del espectro de desplazamiento de casi totalmente no rígida

(amortiguado periódica) para casi totalmente rígida, véase el capítulo 3. Esta transición

se caracteriza por un cambio de correlación entre la respuesta y la historia de la entrada

historia aceleración del terreno de 0 a l. Este coeficiente de correlación es llamado el

coeficiente de respuesta rígida, que se denota aquí por el coeficiente ufÏThe un "varía

de 0 a l entre dos frecuencias f 'y f 2. Estas frecuencias se estimaron a partir de las

siguientes ecuaciones

wheref'is la frecuencia mínima a la que Si 2 ii "M", y se conoce comúnmente como la

frecuencia rígida.

Ahora, para los / sf ", la ecuación 5.27 tiene; zfzf acá para allá '". S "= S", y forfzfl

Ecuación 5.28 se mantiene. En el rango de f 'zfzf', tenemos que dar cuenta de la

transición del periódico amortiguado con la respuesta rígida. Al igual que en el capítulo

3, separamos S 'en dos partes, el amortiguado periódico y la rigidez de la siguiente

manera:

Luego, aplicamos una relación similar a la ecuación 5.28 a la parte rígida:

Además,

Las relaciones anteriores se aplicaron para estimar S "y S 'durante doce registros de

terremotos [lt]. Una comparación de la prevista y los espectros de velocidad real de El

Centro (SOOE, 1940) terremoto se muestra en la Figura 5.2. En cuanto al espectro de

desplazamiento, vamos a denotar el coeficiente de respuesta rígido para el espectro de

velocidad por una S".

Fig. 5.2 Comparación de los espectros de velocidad real y la estimada para terremoto

de El Centro (SOOE, i940); amortiguación ratio = 0,05 [l l].

Ecuaciones 5.3l-5.34 rendimiento

Observamos lo siguiente de la Ecuación 5.35.

5.4 Frecuencias clave I 'y f "

Para estimar S entre Si lo que necesitamos saber dos frecuencias clave f´ y f ". Para

los movimientos de tierra reales estas frecuencias varían dependiendo del contenido de

la frecuencia y distribución. Como tal, no se esperaría una expresión exacta para estas

frecuencias. Lndeed, si solo un movimiento del terreno real es conocido no necesita

estimar estas frecuencias o el espectro de respuesta de velocidad. Tanto el

desplazamiento y los espectros de velocidad se pueden determinar directamente desde

el registro de movimiento de tierra. Para fines de diseño, los espectros representan un

fenómeno promedio.

Por lo tanto, estamos interesados en los valores medios representativos fuera andf que

se pueden utilizar en un entorno de diseño para estimar el espectro de velocidad. A

partir de un espectro de desplazamiento dado ciertas frecuencias clave pueden definirse

y la frecuencia f rígida ', definido antes. Durante doce registros de terremotos, estas

frecuencias (f ', fy f'), junto con las dos frecuencias fundamentales de interés (fL y fH, se

enumeran en la Tabla 5.1. Observamos que f0 y F son de magnitud aproximadamente

similar y que f O <f '<fH cf'. Esta observación es importante porque define el barrio de

las frecuencias claves deseadas f Tierra f H. También figuran en la Tabla 5.1 son los

cocientes f L / FO, f H / f I y f H / fr. Hay un poco de dispersión en estas relaciones entre

los diversos registros de terremotos. Tal dispersión no es inesperado. La forma suave o

ruidoso, el espectro de diseño se obtiene del promedio de valores mucho más dispersas.

Es razonable utilizar los valores medios de estas proporciones para estimar f y

frecuencias f. Por lo tanto:

Las dos estimaciones de fH son comparables en la mayoría de los casos. La ecuación

en términos de f 'puede ser preferible, puesto que la frecuencia f puede ser evaluada

directamente de la ecuación 5.36. Un cierto grado de juicio puede ser necesaria en la

definición de fr en un espectro no lisa.

5.5 combinación modal

Fue demostrado anteriormente que para cada modo complejo I y su conjugado,

cualquier respuesta tiene dos valores máximos R! y R ;. Denotemos la evolución

temporal de estos valores Rf (t) y RY (t). Por lo tanto,

La evolución temporal de la respuesta combinada está dada por

Suponiendo que el movimiento sísmico es estacionario y ergódico, la desviación

estándar se puede expresar como (capítulo 3)

donde td es la duración de

la respuesta, op es la desviación estándar para RP (t), etc

en el que a; ' es la desviación estándar de x ,, y O: 'para f ,. El valor máximo viene dado

por un factor de pico veces la desviación estándar. Si suponemos que el factor de cresta

es el mismo para todas las cantidades, y que los valores máximos son los mismos que

el máximo de los valores de tiempo de la historia, podemos escribir la ecuación

combinación deseada modal

En el R sistemas clásicamente amortiguado, "= 0, y la ecuación 5.42 degenera en la

ecuación estándar suma doble Varios autores han dado expresiones para el coeficiente

de correlación E;. Véase el capítulo 3. Para frecuencias inferiores a la frecuencia

fundamental, basado en Igusa y Der Kiureghian [8], observamos E; -. ~, jl = E ,, Además,

podemos escribir

Como es bien sabido, los coeficientes de correlación E: y ~, lj en la Ecuación

5.42 son la unidad (o casi la unidad) cuando i == j, o cuando O, = w, y 6, = 6 ,. Estos

coeficientes disminuyen rápidamente como la relación O, / o, se aparta de la unidad.

Por otra parte, el coeficiente de correlación p ,, es cero cuando i = j o cuando O, = O ,.

Este coeficiente primeros aumentos en magnitud a un valor máximo como o, / o, se

aparta de la unidad, pero pronto se disminuye también en virtud de la disminución E ,,

en la expresión.

5.6 combinación modal para modos de alta frecuencia

Al igual que en el capítulo 3 para los sistemas clásicamente amortiguadas, el

procedimiento de combinación modal debe ser modificado en el rango de alta frecuencia

para el sistema nonclassically amortiguado también. Las modificaciones de alta

frecuencia empezarían a la frecuencia f clave '. Observamos que para las frecuencias>

f ', la rígida coeficientes de respuesta ad y un ", ambos son distintos de cero y son menos

que o igual a la unidad. El valor de anuncio puede ser obtenida de Capítulo 3, la de un"

está dada por la Ecuación 5.35. Tras el capítulo 3, podemos separar el periódico

humedecido y las partes de respuesta modales rígidos.

Las partes rígidas están en fase y se pueden combinar algebraicamente

Se puede suponer que las dos partes rígidas no están correlacionadas. Por

Consiguiente,

Las partes periódicas amortiguadas se pueden combinar de acuerdo con la ecuación

5.42.

Por último, la respuesta total combinado es

Las ecuaciones anteriores se pueden condensar en una ecuación con coeficientes de

correlación modificados.

5.7 combinación modal para alta respuesta de frecuencia rígida modos-residual El

vector Q inercial de las ecuaciones 5.2 y 5.3 se puede escribir como

Vamos a ejecutar una transformación lineal,

en el que los coeficientes R, son complejos y aún por determinar. La suma de i = 1 - 2

N implica que todas las partes conjugadas están incluidos. Ahora sustituimos la

ecuación 5.52 en la ecuación 5.51, y premultiplicar la ecuación resultante por vj7.

Haciendo uso de la condición de ortogonalidad y de las ecuaciones 5.7 y 5.8 obtenemos

Por lo tanto, '

Ecuaciones 5.20 y 5.54 dan

En vista de la ecuación 5.54, la ecuación 5.1 o 5.2 se puede expresar como

El Fi v vector propio; / y debe satisfacer la ecuación vibraciones. Por Consiguiente,

el cual, con la Ecuación 5.56, da

Escribir el explícitamente pares de conjugación, tenemos

Hacer sustituciones de la Ecuación 5.10 y 5.20 obtenemos

Ecuaciones 5.57 y 5.58 dan

Hemos denotado el vector de respuesta en el complejo de par conjugado i de los modos

como Ui en la Ecuación 5.21. De la ecuación 5.59 deducimos

La estructura cuenta con pares de modos conjugadas N-DOF y N. Supongamos que

hay n pares de modos que, o bien tienen frecuencias inferiores a las frecuencias fr

rígidos o tienen valores significativos de U :. El mayor de los dos valores de n dada por

estas condiciones se debe utilizar. Denotamos la respuesta combinada en los modos

más allá de los n pares de T ,. El vector de respuesta total está dada por

Ecuaciones 5.1, 5.60 y 5.6 1 give

La respuesta de la estructura en los modos que tienen frecuencias mayores que la

frecuencia rígida 1 es pseudo-estático. Por lo tanto, y U0 y vector términos en la

ecuación 5.62 se puede ignorar y obtenemos

La formulación anterior nos permite realizar el complejo análisis de valor propio sólo

para el primer n par de modos. El término K 'M Ubin ecuación 5.63 representa n sólo un

análisis estático. El otro término y: / o: se conoce a partir del análisis l i- modal. La historia

de la respuesta residual U, se evalúa multiplicando el vector

por ii, para cada paso de tiempo. En el método de espectro de respuesta del término -

u, se sustituye por el ZPA

El vector T, da el valor de cualquier residual rígida respuesta R ,. Las ecuaciones de

combinación modales, ecuaciones 5.45-5.48 se modifican adecuadamente. Por

ejemplo, la ecuación 5.45 convertirse

5.8 Aplicación El método de espectro de respuesta se aplicó a nueve sistemas primaria-

secundaria del tipo mostrado en la Figura 5.3 [I 11. La rigidez historia y la masa del

sistema primario se mantuvieron constantes, y las del sistema de secundaria fueron

variadas, la Tabla 5.2, para obtener diferentes sistemas acoplados. Los ocho primeros

sistemas se seleccionan de tal manera que el análisis desacoplado del sistema primario

introduciría error aproximadamente el 10% en la frecuencia fundamental. El noveno

sistema fue seleccionado para hacer que las frecuencias fundamentales de los sistemas

primarios y secundarios idénticos, el caso sintonizado. Las frecuencias no acoplados y

formas modales de los sistemas primarios y secundarios se muestran en la Figura 5.4.

El coeficiente de amortiguamiento del sistema primario es 796, y del sistema secundario

es del 2%. Un método para obtener la matriz de amortiguamiento no clásica acoplado

se describe en el Capítulo 6. Las frecuencias acoplados y ratios de amortiguación para

todos los nueve casos en estudio se dan en la Tabla 5.3. Los modos acoplados que han

amortiguación proporciones cercanas al 7% están dominadas por las modalidades del

sistema de primarias, aquellas que tienen relaciones de amortiguación cerca de 2%

tienen modos de sistemas secundarios predominantes, y las que han de amortiguación

relaciones entre tener una participación significativa tanto de la primaria y secundaria

modos del sistema. El acoplado vectores modales y% nd y "se muestran en las figuras

5.5 y 5.6.

Los nueve sistemas fueron sometidos a los doce movimientos sísmicos que figuran en

la Tabla 5.1. Se utilizaron dos métodos de análisis, la integración directa de tiempo de

la historia, utilizando el método f3 del Newmark y el enfoque de espectro de respuesta

propuesto. Los tiempo de historia resultados directos de integración fueron tratados

como estándar y los resultados del espectro de respuesta se compararon contra ellos.

Los detalles del caso 2 sometidos a El Centro movimiento del suelo se dan en las Tablas

5.4 y 5.5. Se observa que el método de espectro de respuesta hace dar resultados

satisfactorios. En total, durante nueve sistemas, doce historias cada vez, había un solo

Formas de los modos y frecuencias de Unnonnalized (a) el primario desacoplado

sistema, (b) el sistema secundario desacoplado [l I].

tabla 5.3 Frecuencias acoplados y ratios de amortiguación [l I]

Frecuencia (Hz) / coeficiente de amortiguamiento (%) para el modo acoplado

Ciento ocho historias temporales directas, espectro de respuesta analiza pares. En la

mayoría casos los errores eran suficientemente pequeño. El error más alto en los

desplazamientos era 41% y que en las fuerzas de los elementos 45%. En un estudio

comparativo realizado por Maison, Neuss y Kasai en la Referencia [L6] del capítulo 3,

fue el error máximo encontró que el 67% cuando se utilizó la combinación suma doble

para un clásico amortiguado edificio. En otros métodos de combinación modal (SRSS,

suma absoluta) el error.

Tabla 5.4Comparación de los desplazamientos nodales (en), Caso 2, El Centro

(SOOE, 1940) [1 I]

Fig 5.5 Los vectores modales [I I].

Tabla 5.5 Comparación de las fuerzas de elementos (kips), Caso 2, El Centro (SOOE,

1 940) [1 1]

Fue mucho mayor. Las estadísticas de error combinados para todos los casos

analizados se resumen en la Tabla 5.6. El error medio está en el intervalo de 1%, y la

norma desviación del porcentaje de error es del orden de diez. Esto demuestra que la

respuesta método de espectro para el sistema nonclassically amortiguado es

razonablemente exacta.

El grado de precisión es del mismo orden que generalmente se espera en la respuesta

análisis de espectro de los sistemas clásicamente amortiguadas.

Tabla 5.6 Resumen de las estadísticas por ciento de error [l I]

CAPITULO 6

Respuesta de los sistemas secundarios

6.1 Introducción

En los principales edificios industriales, como las plantas de energía nuclear, como con

otros construcciones comunes, tales como edificios de gran altura, no es práctico para

realizar una junto análisis dinámico del sistema primario (edificio) y el secundario

(HVAC, tuberías, equipos, etc.) utilizando las herramientas analíticas convencionales.

Las propiedades de rigidez e inercia de los dos sistemas pueden ser muy diferentes,

que es probable que cause problemas numéricos en un análisis acoplado. Por otra

también razones prácticas, es costumbre para llevar a cabo análisis sísmico de los dos

sistemas por separado. El efecto de la disociación en el sistema primario se presenta

en el Capítulo 7. Vamos a discutir en este capítulo los problemas asociados con la

respuesta desacoplado de los sistemas secundarios, y las técnicas mediante las cuales

la respuesta precisa de un sistema secundario puede ser calculada.

Un método popular de cálculo de la respuesta de los sistemas secundarios es mediante

el uso el espectro de respuesta baja, o más exactamente, la respuesta instructure

espectro (IRS). En el método convencional IRS, la interacción entre los sistemas

primarios y secundarios se ignora, que puede tener un efecto significativo en la gama

de frecuencias de resonancia. Para los sistemas secundarios multiplican apoyados, es

acostumbra a utilizar una entrada común IRS, que se obtiene por que envuelve el IRS

en diversos grados de conexión de libertad (DOF). El efecto de los movimientos relativos

entre los soportes se incorpora mediante la realización de un análisis estático separado.

Este procedimiento puede dar lugar a una considerable sobreestimación de la respuesta

sísmica del sistema secundario.

A menudo, el terremoto de entrada al sistema primario se define en términos de una

espectro de respuesta de diseño, y el suelo historial de tiempo de movimiento no se

conoce. En el procedimiento convencional, un movimiento del suelo compatibles

espectro de respuesta se crea la historia y se utiliza para generar el IRS. La crítica

principal del procedimiento es que no es única. El problema se puede superar, en parte,

mediante el uso de varios movimiento del suelo diferentes historias compatible con la

misma entrada espectro de respuesta. Las soluciones de tiempo de la historia son

antieconómicas para empezar, y el uso de varias historias de tiempo se añade a los

costes. A la vista de todo el problemas asociados con el método convencional, las dos

últimas décadas han sido una constante búsqueda de un método directo. Penzien y

Chopra [l] estaban entre el primero (1 965) para explorar el tema. Ellos fueron seguidos

por Biggs y Roesset [2] (1 97o), y Kapur y Shao [3] (1 973).

Estos primeros esfuerzos fueron semi-empírico y heurística, y no se encontró que en

general aceptable. El procedimiento de tiempo de la historia se ha mencionado

anteriormente continuedto sea el método de uso común, como lo sigue siendo hoy.

Otras alternativas racionales, sin embargo, se han presentado, y algunos están siendo

utilizados. Tal vez el primer lugar entre estas alternativas era un método estocástico

desarrollado por Singh [4]. El modal propiedades del sistema primario se utilizan para

obtener la densidad espectral de potencia función en cualquier grado de conexión de la

libertad directamente de la respuesta de entrada espectro. El método supone que el

movimiento de tierra para ser estacionaria. Esta hipótesis conduce a la sobre-estimación

de la respuesta en el rango de frecuencia más baja.

Singh [S] más tarde sugirió medidas correctivas para subsanar algunos de los

problemas.

El método estocástico es computacionalmente eficiente. Además, el método evita el uso

de la historia tiempo para el análisis del sistema primario. En años recientes, Por lo

tanto, el método ha ido ganando en aceptabilidad. El método de Singh, como

desarrollado originalmente [4,5], tiene algunos de los mismos problemas que el

convencional Método del IRS.

Peters, Schmitz y [6] se presenta un método para determinar el IRS de Wagner mediante

la evaluación de las formas de los modos del sistema primario y secundario acoplado.

Como es habitual, el sistema secundario se supone que es un oscilador SDOF sin masa.

En este caso, se supone que las frecuencias y formas de los modos de la primaria

sistema no cambian. Uno simplemente incluye el desplazamiento modal apropiado

términos relacionados con la masa secundaria. Además, se añade un nuevo vector

modal para el DOF extra. Como la mayoría de otros métodos, este método tiene

problemas en casos de sintonía y casi en sintonía sistemas secundarios.

Peters, Schmitz y [6] Evaluación de Wagner de las formas modales del sistema acoplado

en base a las formas de los modos acoplados puede ser considerada como una punto

de inflexión en la evaluación de la respuesta del sistema de cálculo junto. Ello abrió el

camino para la consideración de los sistemas secundarios más complejos. Sackman y

Kelly han hecho mucho aporte en el ámbito de la respuesta del sistema secundario y

tienen muchas publicaciones, véase por ejemplo la referencia [7]. A su juicio, la sistema

secundario con la masa no nula e introdujo un derivado racionalmente expresión para

la relación de masa, r ,,,, entre las masas del sistema secundario y primario.

Ellos, por primera vez, racionalmente abordado el problema de afinado y casi afinado

sistemas secundarios y establecieron el papel de la relación de masa en este contexto.

Ruzicka y Robinson [8] tienen 'estudiaron los sistemas sintonizados en detalle y

proponer tres métodos aproximados diferentes. Sin embargo, concluyen, "conocimiento

del espectro de amplitud de Fourier es esencial si la respuesta de un afinado sistema

secundario debe ser estimado con precisión '. Desde entonces, hemos aprendido que

uno puede encontrar la respuesta de un sistema secundario para sistemas sintonizados

y no sintonizados sin el conocimiento del espectro de Fourier. Villaverde y Newmark [9]

han desarrollado métodos aproximados para evaluar la respuesta del sistema

secundario.

Sackman, Der Kiureghian y Nour-Omid [101 utilizaron una técnica de perturbación para

desarrollar propiedades modales del sistema acoplado. Al igual que en la referencia [7],

el sistema secundario era todavía un sistema SDOF. También representaron cambios

en las frecuencias del sistema primario y de su efecto en las formas de los modos.

Utilizaron condiciones de ortogonalidad para mejorar la forma del modo de los modos

con cerca frecuencias, una situación que se presenta cuando el sistema secundario se

sintoniza o casi afinado. A diferencia de la referencia [7], sin embargo, esta solución no

se extendió a una evaluación determinista del IRS. En lugar. en un Der documento

complementario Kiureghian, Sackman y Nour-Omid [l I] utilizan las formas de los modos

y frecuencias para evaluar la respuesta a una entrada estocástico. El nuevo método

estocástico es una mejora en el método antiguo [4,5] en el que se representa la

interacción entre equipos y la estructura, la correlación entre los modos estrechamente

espaciados, etc. Sin embargo, otros problemas inherentes en el método estocástico

permanecen. diferente a Singh [4,5], Der Kiureghian, Sackman y Nour-Omid [1 1]

asumió el terremoto ser un ruido blanco. Hernried y Sackman [L2] utilizan la perturbación

técnica para desarrollar formas modales de una primaria MDOF acoplada y MDOF

sistema secundario.

Gupta [l3], y Gupta y mandíbula [l4] desarrollaron un método aproximado para la

evaluación de los valores y vectores propios complejos de amortiguado nonclassically

sistemas primaria-secundaria. El método se aplicó para evaluar el acoplada respuesta

del sistema secundario [13,15,16]. Un método mejorado IRS también desarrollado que

representa los efectos de la interacción y la correlación entre las respuestas de los

diferentes movimientos de apoyo [13,17]. Todos estos métodos [1 3,15- 171 utilizado el

espectro de respuesta en la base del edificio como entrada sin convirtiéndolo en un

historial de tiempo compatible, o a una densidad espectral de potencia función. Igusa y

Der Kiureghian (L81 han propuesto un método de perturbación para la evaluación de los

valores propios y vectores propios de nonclassically complejos amortiguado sistemas

primaria-secundaria. Al igual que en la referencia [l 11, el énfasis está en la respuesta a

la entrada estocástico. Asfura y Der Kiureghian [l9] han aplicado una técnica similar para

desarrollar un método IRS. El presente tratamiento se basa en Referencias [I 31- [l 71.

6.2 Formulación del problema junto

La ecuación de la vibración libre del sistema acoplado es:

Cuando M, C y K son la masa, matrices de amortiguación y rigidez, respectivamente, y

T es el vector de desplazamiento. Se supone que el primario y desacoplado sistemas

secundarios son clásicamente amortiguadas. Denotemos la forma del modo i de el

sistema primario desacoplado por la forma y

el modo ath del desacoplado sistema secundario por $,. Las formas de los modos se

normalizan de tal manera que

El subíndice p denota un sistema primario la propiedad y la propiedad del sistema

secundario sa subíndice. El subíndice i y otras letras minúsculas indican los modos del

sistema primario, y el subíndice a y otras letras griegas indican los modos del sistema

secundario.

En cuanto a las formas de los modos acoplados podemos escribir:

Sustituyendo la ecuación 6.2 en la ecuación 6.1 y premultiplicando por , obtenemos

Los elementos K y C definen a continuación:

Donde y , son la frecuencia circular y el coeficiente de amortiguamiento,

respectivamente,

para el i-ésimo modo desacoplado del sistema primario; y , son los

los valores correspondientes para el modo de sistema secundario ath. En la ecuación

6.4 y

más adelante en este capítulo, el subíndice c denota el DOF primaria que están

conectados

con el sistema secundario; y s subíndice, como antes, de puntos marca el secundario

DOF. Las matrices y son la rigidez y amortiguación contribuciones del syFtems

secundarias.

Para evaluar el término con , en la Ecuación 6.4, definamos la siguiente matrices

[20]

La matriz , contiene un vector sistema secundario para cada DOF de conexión.

Cada uno de tales vector representa la forma de la deformación estática del sistema

secundario cuando el correspondiente DOF de conexión se somete a una unidad de

desplazamiento. , es una fila de factores de participación para el sistema secundario,

un elemento para cada conectar DOF. A raíz de la derivación de , en el capítulo 3,

podemos escribir:

De las ecuaciones 6.5 y 6.6. se tienen:

Por consiguiente:

Para el sistema primario y secundario SDOF degenera en la raíz cuadradade la

relación de masas .Se ha demostrado en la Referencia [19] que el producto

se puede ver como la relación de las energías cinéticas de la secundaria

y los sistemas primarios. Una relación de energía-masa es, por lo tanto, define como:

Ecuaciones 6.8 y 6.9 tenemos:

Para evaluar , vamos sometemos al sistema secundario a un movimiento de cuerpo

rígido,

lo que da:

Condensación estática de , campos

Podemos escribir

Que, con la ecuación 6.7, da:

Las ecuaciones 6.9 y 6.11

En la derivación anterior, U, se puede definir el sistema secundario no ofrece ninguna

restricción estática al sistema primario. Puede haber casos, cuando no es así. El efecto

de la restricción es para aumentar la magnitud de las frecuencias acoplados. Por lo

tanto, adoptamos la siguiente definición.

Con esto se completa esencialmente la definición de . Todas las expresiones escritas

hasta ahora son exactos dentro de los supuestos del modelo de los sistemas primarios

y secundarios. Las definiciones de y no son tan directa. Nosotros

sabemos que para un sistema de SDOF . Para las expresiones que ya están

definido para y en la ecuación 6.4, el mismo tipo de igualdad se cumple. Es por ello, es

razonable suponer que el mismo tipo de relaciones se mantendría para el término

indefinido. Basado una Ecuaciones 6.1 1 y 6,13, escribimos:

En la ecuación 6.14 se han omitido la expresión que sería equivalente a de la

ecuación 6.13.

Si el valor propio complejo acoplado es h, la ecuación 6.3 se convierte en:

Donde

Varios elementos de K* se definen a continuación:

El problema de valor propio acoplado se define de una manera similar en la Referencia

[18], lo que hace posible la comparación de los dos. En nuestras anotaciones, que

deberádefinir la matriz de coeficientes de referencia [18] como , IDK de pie para

los autores Igusa y Der Kiureghian. Varios términos de se definen a continuación.

6.3 propiedades modales acoplados

La ecuación vibraciones definido en la ecuación 6.16 representa un modal exacta

ecuación de síntesis para un sistema acoplado que consta de forma individual

clásicamente sistemas primarios y secundarios amortiguadas, independientemente de

las relaciones de masa. De hecho, para comparar la exactitud del método aproximado

en referencia [l4], exacta Se realizó un análisis de valores propios complejos utilizando

la Ecuación 6.16. Un aproximado esquema iterativo se presenta aquí [l3,14] que es

adecuado para moderadamente equipo ligero unido a una estructura.

Tenemos que calcular tanto los valores y vectores propios. Si conocemos la valor propio

de alguna manera. es relativamente sencillo para evaluar el vector propio, y viceversa.

Como regla general, si utilizamos un vector propio aproximada en la evaluación de la

valor propio. el error en valor propio es relativamente menos (de orden superior).

Usaremos esta regla para establecer nuestros valores propios. Considere la

correspondine vector propio acoplado al modo de sistema primario desacoplado i-ésimo.

En la ecuación 6.16, tome =1, y como una aproximación asumir

A partir de las Ecuaciones 6.16 y 6.17 podemos escribir:

Desde asumiendo obtenemos:

También tenemos:

que con la ecuación 6.20 da:

De las ecuaciones 6.1 7 y 6,22:

Ecuación 6.23 forma la base de la evaluación de los valores propios complejos junto

correspondiente a los modos del sistema primario.

La ecuación se resuelve iterativamente 6,23. Esta última ecuación es una cuadrática en

si la última expresión se conoce. Esta última expresión, sin embargo, incluye la

desconocida, términos. Por lo tanto, asumimos un tenedor valor de prueba ,

evaluamos la expresión y después despejar . El nuevo valor de , se utiliza como el

siguiente valor de ensayo y así sucesivamente, hasta que una se alcanza la

convergencia. Este algoritmo produce valores propios precisos [14].

Ahora que el valor propio es conocido, el vector propio se puede mejorar. Nosotros ya

tenemos y para , y los pueden calcularse a partir de la Ecuación

6.20. Se encontró que los resultados han mejorado de manera uniforme después de un

iteración [14] Utilizando los valores anteriores de , ahora calcular los valores de ,

de una variación de la Ecuación 6.21.

En la ecuación 6.24 se han omitido los términos fuera de la diagonal, excepto la que

es propenso a tener una contribución relativamente importante. A continuación, se

calcula el mejorada. La ecuación 6.19 da:

Cuando se utilizan los valores propios precisos evaluados anteriormente, se encontró

que la solución iteración también da vectores propios muy exactos. Estos vectores

propios son en coordenadas transformadas. Los vectores propios en las coordenadas

originales se puede obtener de la ecuación 6.2.

El procedimiento para la evaluación de los valores y vectores propios acopladas

correspondiente a los modos del sistema secundarias desacoplados es similar. Para

modo secundario, tomamos x = 1 y asumimos XSB = 0 para un α≠β. Ecuaciones 6.16

y 6.1 7

(6.27)

Haciendo caso omiso de los términos fuera de la diagonal, simplemente puede escribir

(6.28)

Además, de las ecuaciones 6.16 y 6.17

(6.29)

Que con la ecuación 6.28 da:

Como antes Ecuación 6.30 se resuelve iterativamente para obtener y ahora vamos a

desarrollar el esquema de una iteración de los vectores propios mejoradas.

Podemos escribir una ecuación, similar a la Ecuación 6.29, para todos los términos β.

Siguiente calculamos el X mejora de la Ecuación 6.27:

Los vectores propios calculados anteriormente también se transforman en el original

coordenadas utilizando la Ecuación 6.2. Cuando los términos de restricción del sistema

secundario , pequeño o cero y el raíces cuadradas de los términos de

proporción en masa de energía ry2 son del orden de los coeficientes de amortiguación.

Las ecuaciones 6.23 y 6.30 se pueden resolver para dar valores de forma cerrada

obtenidos por Igusa y Der Kiureghian [18]. En los modos desafinados los valores propios

de los acoplados sistema son aproximadamente iguales a los correspondientes valores

propios desacoplados.

En transformadas coordenadas, los vectores propios son dados por la ecuación 6.20 y

la ecuación 6,28, respectivamente. A modo primario y el modo secundario se

consideran sintonizados cuando

En la que E representa el error relativo permisible en la respuesta de la sintonizado

modos. El término β, se llama el parámetro de ajuste. Los valores propios acoplados en

este caso son

Vectores propios correspondientes pueden calcularse a partir de las ecuaciones 6.20 y

6.25, y de las ecuaciones, 6,28 y 6,31, respectivamente, utilizando los valores de A, y

A, calculado a partir de la ecuación 6.34. Ecuación 6.34 junto con las ecuaciones 6.20,

6.25, 6.28, y 6.31 también se puede utilizar para calcular los valores propios y los

vectores propios en los modos no sintonizados.

6.4 Cálculo respuesta Junto

Vamos a utilizar los valores propios complejos y vectores propios evaluados en la

sección anterior para calcular la respuesta del acoplado primaria-secundaria sistema. El

valor complejo 1, da la frecuencia junto w, y la amortiguación relación (Capítulo 5).

Denotemos el complejo vector propio en transformado coordina por b. De acuerdo con

la ecuación 6.2, el vector propio correspondiente en las coordenadas originales, ψ,

pueden determinarse a partir

Vamos a repetir aquí algunos de los pasos del capítulo 5 para el cálculo de la respuesta

sistemas de amortiguación. Cada forma del modo complejo da dos respuestas vectores

Donde S y SL, son los desplazamientos espectrales para la frecuencia modal del ITH,

el desplazamiento y los espectros de velocidad del movimiento de entrada para la

primaria sistema, y

El término en la ecuación anterior representa el conjugado de F, se da Por:

Donde Ub es el vector de desplazamiento estático del sistema acoplado cuando el

apoyo al sistema principal desplaza por la unidad en la dirección del terremoto, y

La ecuación 6.38 puede escribirse como

En el que Ub y U, representan la DOF primaria y secundaria, respectivamente, en el

vector de Ub. También, la ecuación 6.40 se puede escribir como

El motivo detrás de la reordenación encima de las expresiones es escribir en formas

que se pueden obtener fácilmente. Por ejemplo, la matriz de amortiguamiento C no es

definido de forma explícita, la matriz transformada es, ver la ecuación 6.4.

Vamos a volver a examinar la Ecuación 6.36. Los vectores de ψ y ω, ψ representar a la

respuestas de desplazamiento en el modo i, cuando los desplazamientos espectrales

de los espectros de desplazamiento y velocidad tanto son la unidad. Estos vectores

pueden considera que se normalizaron los vectores reales que representan el vector

modal complejo ψ.

A diferencia del complejo vector ψ, los vectores reales ψ y ω, ψ son únicos. Por lo

tanto, vamos a usar primero estos vectores para evaluar la exactitud del esquema

aproximada.

Los mismos nueve sistemas primarios secundarios acoplados, que fueron presentados

en Capítulo 5, se analizaron en la referencia [14]. Las frecuencias modales acoplados,

amortiguación ratios, y los vectores ψ , ω, ψ se evaluaron durante nueve modos para

cada de los nueve sistemas que utilizan el método exacto , el método Gupta-Jaw [14], y

el método Igusa-Der Kiureghian (IDK) [18].

Los resultados para el caso 2 son típicos de todos los casos y se presentan en las Tablas

6.1 y 6.2. Las frecuencias exactas, y ratios de amortiguación para los ocho modos

acoplados junto con el porcentaje de error introducido por el método de Gupta-Jaw 'y el

método IDK [l8] se dan en Tabla 6.1. Los vectores exactas modales ψ y ω, ψ se

muestran en el capítulo 5.

Las diferencias entre los vectores modales del presente algoritmo y los vectores exactas

eran tan pequeños que no podían ser muestran gráficamente. En la Tabla 6.2, sólo la

media y desviación estándar de los errores por ciento de los vectores modales se dan.

El vector ψ y ω, ψ tienen la misma unidad, y como se ha indicado anteriormente,

tienen un 90 diferencia. "fase A menudo ω, ψ vector es menor en magnitud. Para

evitar poner demasiado énfasis, error en una pequeña cantidad, el error por ciento para

el DOF era evaluado en contra de la suma vectorial de los elementos de los dos

vectores.

Por último, la media y la desviación estándar del porcentaje de error en frecuencia,

coeficiente de amortiguamiento y el desplazamiento modal en todos los modos para

todos los nueve casos se resumen en la Tabla 6.3. En la parte inferior de la Tabla 6.3

son las estadísticas acumulativas de todos los casos. Está claro que los errores medios

son generalmente pequeñas, mostrando la falta de un sesgo consistente. Las

desviaciones estándar del error por ciento en frecuencia, factor de amortiguamiento y el

desplazamiento modal, por otro lado, muestran una más difusión significativa entre los

dos métodos aproximados. En todos los casos la Método de Gupta-Jaw da mejores

resultados que el método IDK. Es así, como se ha indicado.

Antes, porque los problemas presentados aquí no satisfacen la asunción de la ligereza

del sistema secundario, y la suposición implícita de la falta de restricción ofrecido por el

sistema secundario hecho en la referencia [18]. Se encontró que la diferencia entre los

resultados del algoritmo de Gupta-Jaw y los basados en IDK reducido como la masa del

sistema secundario disminuido [14].

Tabla 6.2 errores por ciento en los desplazamientos Moda, Caso 2

Porcentaje de error en el desplazamiento modal

significar Desviacion estandar

Modo exacta Gupta-Jaw IDK exacta Gupta-Jaw IDK

Tabla 6.1 Comparación de las frecuencias acoplados, amortiguación ratios, Caso 2

Frecuencia, (Hz) Coeficiente de amortiguamiento (%)

Porcentaje de error Porcentaje de error

6.5 Comparación de la respuesta junto con la respuesta de método IRS

convencional

Una comparación de la respuesta acoplada desde el presente método con la respuesta

desde el método convencional IRS se ha hecho en la referencia [16]. Lo mismo nueve

sistemas primaria-secundaria, considerados en el capítulo 5 y en el anterior sección, se

analizaron.

Desde que estamos considerando los valores de respuesta del sistema secundario

solamente, los números de nodo y de elementos del sistema secundario fueron

contados por separado como se muestra en la Figura 6.1.

A nueve sistemas acoplados se analizaron por primera vez para el El Centro (SOOE,

1940) movimiento del suelo utilizando el método de tiempo de la historia. Los resultados

de este tiempo-historia método se utilizaron como los valores exactos de referencia para

fines de comparación. Los a continuación, la respuesta del sistema secundario para

todos los nueve casos se calculó mediante la presente método, y también por el método

convencional IRS.

Los valores de respuesta obtenida a partir del presente método eran casi los mismos

que los obtenidos a partir del análisis del espectro de respuesta junto usando formas

modales exactas. En el IRS método convencional, se realiza un análisis estático en el

que el compañero de apoyo máximos obtenidos en el sistema primario desacoplado

análisis se aplican fuera de fase para obtener las peores fuerzas miembro posibles

(tensiones).

La misma técnica se utilizó en la Referencia [16] en el cálculo de las fuerzas miembro

por el método convencional. El esquema particular, sin embargo, no daría el

desplazamiento máximo posible en el sistema secundario.

Case = caso

Mean = significar

All cases = todos los casos

Nodo Número n

Número de elementos de correo

Fig. 6.1 Ejemplo de un systemj secundaria

significar

Tabla 6.3 Estadísticas de errores por ciento

% Error en la frecuencia % Error en racio- amortiguación % Error en el desplazamiento modal

Además, en el presente problema, los dos nodos de soporte del sistema secundario,

tener un alto grado de correlación. Por Consiguiente los dos desplazamientos de apoyo

eran aplicados en fase de cálculo del componente 'estática' del sistema secundario

desplazamientos por el método convencional.

Una comparación de los desplazamientos nodales y las fuerzas de resorte del presente

método y los del método convencional IRS se hace en las Tablas 6.4 y 6.5. En promedio,

el presente método subestima el desplazamiento nodal un 3%, el método convencional

que sobre-estima en un 58%. El estándar desviaciones del porcentaje de error en el

desplazamiento desde el presente y el métodos convencionales son 6.9 y 44.1,

respectivamente. El presente y métodos convencionales tienen un error medio en

fuerzas de resorte de – 11.2 y 1 16.1%, respectivamente.

Las desviaciones estándar del error por ciento en primavera, las fuerzas de los dos

métodos es 9.9 (presente) y 46.9 (convencional). Nosotros notamos que los valores del

error en el presente método están en el orden de los errores comúnmente introducido

en el método de espectro de respuesta y están bien dentro de la aceptable gama. Los

errores promedio de 58% en los desplazamientos y de 1 16.1% en fuerzas de resorte

desde el método convencional son más bien alta. Muestra una tendencia consistente de

significativo sobre-estimación de los valores de respuesta. Un valor relativamente

grande de desviaciones estándar de los errores por ciento también indica una

considerable dispersión en los valores de respuesta desde el método convencional. En

comparación, desviaciones estándar del presente método son mucho más pequeñas.

En los cálculos de desplazamiento modal del método convencional, el efecto del

componente de desplazamiento estático es significativa en sólo los dos primeros casos

en:

Comparación de los desplazamientos nodales del presente método y el método de

espectro de respuesta piso convencional [L5]

Case 1, the static component helps reduce the error. In Case 2, it slightly increases the

over-estimations. A similar conclusion can also be reached for the spring forces for

elements 1 and 3. The floor response spectrum method gives zero spring force in

element 2. The spring force in element 2 is zero in the first secondary system mode,

which is symmetric. Since the earthquake motion is input inphase at the two supports,

the response in all the elements in the secondary system mode, which is antisymmetric,

is zero. As such, the consideration of the static component of the spring force in element

2 is quite important. In most cases, however, the static component of the spring force in

element 2 is much greater than the corresponding value from the coupled time-history

analysis.

Caso 1, el componente estático ayuda a reducir el error. En el caso 2, ligeramente

aumenta las estimaciones demasiado. Una conclusión similar se llega también a las

fuerzas del resorte para los elementos 1 y 3. El método de espectro de respuesta de

piso da cero fuerza del resorte en el elemento 2. La fuerza del resorte en el elemento 2

es cero en el primer modo del sistema secundario, que es simétrico. Puesto que el

movimiento del terremoto es entrado de ocupación en los dos apoyos, la respuesta en

todos los elementos en el modo del sistema secundario, que es antisimétrica, es cero.

Así, la consideración de la componente estática de la fuerza del resorte en el elemento

2 es muy importante. En la mayoría de los casos, sin embargo, el componente estático

de la fuerza del resorte en el elemento 2 es mucho mayor que el valor correspondiente

el análisis tiempo historia acoplados.

In the tuned system, Case 9, the error in displacements is the highest of all the cases.

The same is true of the spring forces in elements 1 and 3. The spring forcé in element 2

is not affected by tuning because all the response is coming from the static analysis. It

is significant to note, however, that the conventional method over-estimates the response

in all cases by a considerable margin, not only in the tuned case.

En el sistema de afinado, caso 9, el error en desplazamientos es el más alto de todos

los casos. Lo mismo es cierto de las fuerzas de resorte en los elementos 1 y 3. La fuerza

del resorte en el elemento 2 no es afectada por tuning ya que la respuesta viene desde

el análisis estático. Es importante notar, sin embargo, que el método convencional

sobreestima la respuesta en todos los casos por un margen considerable, no sólo en el

caso atento.

The 7% damping value for the primary system and 2% damping value for the secondary

system are on the high side of the commonly used damping values in the nuclear power

plant design. We expect that at lower damping values the conventional method would

introduce much larger errors in the response of the secondary system. On the other

hand, the response errors from the conventional method will be lower for relatively lighter

secondary systems. The errors in the tuned case are likely to be more significant as

compared to those in other cases for lighter secondary systems and for lower damping

values.

El 7% valor del principal sistema de amortiguación y 2% valor para el sistema secundario

de amortiguación están en la parte superior de los valores de amortiguamiento utilizados

en el diseño de la planta de energía nuclear. Esperamos que en valores más bajos de

amortiguación el método convencional introduce mucho más grandes errores en la

respuesta del sistema secundario. Por otra parte, los errores de respuesta por el método

convencional será menores para los sistemas secundarios relativamente más ligeros.

Los errores en el caso atento están probable que sean más significativas en

comparación con aquellos en otros casos para sistemas secundarios más ligeros y

menor amortiguación.

6.6 una formulación alternativa de la respuesta acoplada

vamos a desarrollar una formulación alternativa de la respuesta acoplada de sistema

secundario con vista hacia el desarrollo de un método de espectro (IRS) de respuesta

instructure. La ecuación de movimiento del sistema acoplado es

Equation 6.42 is identical to Equation 6.1, except for the right-hand side. On the right-

hand side Ub is a displacement vector obtained by statically displacing the support by

unity in the direction of the input motion, and u, is the ground displacement. We will

continue to use the notation of Section 6.2, in which subscript p denotes a primary system

property, subscript s a secondary system property, and subscript c is a subset of p which

is used to denote the primary system DOF connected to the secondary system. From

Equation 6.42, the equation of motion

for the secondary system can be written as

La ecuación 6.42 es idéntica a la ecuación 6.1, excepto por el lado derecho. En el lado

derecho que UB es un vector de desplazamiento obtenido por estáticamente

desplazando el apoyo por la unidad en la dirección de la entrada y usted, es el

desplazamiento de la tierra. Vamos a seguir utilizar la notación de la sección 6.2, en que

p subíndice denota una propiedad del sistema primario, subíndice s una propiedad del

sistema secundario y subíndice c son un subconjunto de p que se utiliza para denotar

el sistema primario que DP conectado al sistema de secundario. De la ecuación 6.42, la

ecuación de movimiento para el sistema secundario puede ser escrita como

Let us define a relative displacement vector of the secondary system 𝑈𝑠 , as follows:

Definamos un vector desplazamiento relativo de la del sistema secundario 𝑈𝑠 , como

sigue:

Where 𝑈𝑠𝑒 is defined in Equation 6.5. Substituting Equation 6.44 in Equation 6.43 we

get

Donde 𝑈𝑠𝑒 se define en la ecuación 6.5. Sustituyendo la ecuación 6.44 en ecuación 6.43

obtenemos

It is customary to ignore the damping terms of the type on the right-hand side of Equation

6.45; further we can write 𝑈𝑏𝑠 = 𝑈𝑐𝑠. 𝑈𝑏𝑐. Equation 6.45 becomes

Es costumbre ignorar los términos amortiguación del tipo en el lado derecho de la

ecuación 6.45; Además podemos escribir 𝑈𝑏𝑠 = 𝑈𝑐𝑠 . 𝑈𝑏𝑐. Se convierte la ecuación 6.45

The vector 𝑈𝑐 + 𝑈𝑏𝑐 . 𝑢 represents the total acceleration at the connecting DOF. We

can write 𝑈𝑠 in terms of the normalized mode shapes of the uncoupled secondary system

El vector 𝑈𝑐 + 𝑈𝑏𝑐 . 𝑢 representa la aceleración total en el DOF de conexión. Podemos

escribir 𝑈𝑠 en términos del modo normalizado del sistema secundario desacoplado

The secondary system normal coordinate defined here,𝑋𝑠𝑎 , is different from that

defined in Equation 6.2, 𝑋𝑠𝑎 . The latter is used to represent the displacement

vector of the secondary system relative to the primary system support displacement,

Equations 6.46 and 6.47, and the use of orthogonality conditions give

La coordenada normal sistema secundario definido aquí, 𝑋𝑠𝑎 , es diferente a la definida

en la ecuación 6.2, 𝑋𝑠𝑎 . El último se utiliza para representar el vector de desplazamiento

del sistema secundario en relación con el desplazamiento del soporte primario del

sistema, Ecuaciones 6.46 y 6.47, y el uso de la ortogonalidad

condiciones dan

en la que R, es una fila de factores de participación, uno para cada factor de participación

conectar DOF. Denotemos elementos i;. y 8, + Ubc nosotros para un determinado DOF

c

por y,, y u, + u, u,, respectivamente. La respuesta de desplazamiento relativo de una

SDOF oscilador, la frecuencia circular w,, y coeficiente de amortiguamiento, c sometido

a

la historia de aceleración u, + uk ii, se denota por LC,. La ecuación de movimiento de la

oscilador es

donde A, B,, y son conocidos coeficientes constantes. Cuando el sistema secundario no

ofrece ninguna restricción estática al sistema primario el vector de desplazamiento de la

conexión DOF, Uc, se limita a introducir el movimiento del cuerpo rígido en el sistema

secundario, y no va a causar ningún estrés. Por lo tanto, en esos casos, la coeficiente

A, será cero para los valores de respuesta relacionadas con el estrés. Por otra parte,

cuando el sistema secundario sí ofrece restricción estática, las tensiones en el sistema

secundario generado por el vector U, puede ser significativo, como se muestra en

Sección 6.1 1.

Las ecuaciones 6.5 1 y 6.52 son las ecuaciones alternativas para la respuesta acoplada

del sistema secundario. Observamos aquí la definición de lo espectral instructure

desplazamiento.

6.7 osciladores sistema equivalente secundarios

En el método convencional, los valores J ,,, que dan el IRS, se evalúan de la evolución

temporal de ii, + u, ii ,, obtiene a partir de una solución desacoplado de la Ecuación 6.49.

Tal procedimiento no tiene en cuenta la interacción entre el primario y sistemas

secundarios. En consecuencia, las Ecuaciones 6.51 y 6.52 no cedería el junto

respuesta. Este problema puede remediarse ify ',,, sí mismo, se evalúa utilizando una

sistema acoplado.

Respuesta en cada modalidad del sistema secundario puede ser visto como la

respuesta de un oscilador SDOF unido a un DOF sistema primario apropiado. Haciendo

Por lo tanto, se supone que diversos modos del sistema secundario no influyen en la la

interacción entre cualquier modo de sistema secundario (oscilador) y la sistema

primario. Esta suposición sería permitir el uso de la formulación en las Secciones 6.2 a

6.4, teniendo en cuenta un modo de sistema secundario a la vez. Un sistema secundario

modo se caracteriza por la frecuencia modal o modal ,, coeficiente de amortiguamiento

c ,. Y la relación de masa de energía r ,,. Es este parámetro r último ,, que representa la

interacción entre los sistemas secundarios y primarios. Para la interacción-less cálculos,

como se hace en el método convencional, la suposición implícita es

r ,, - 0. Como vamos a hacer frente a un modo de sistema secundario (oscilador) a un

momento, vamos a caer el subíndice a, y denotar los tres parámetros del oscilador por

nosotros, c, y r ,.

En el desarrollo de un sistema de SDOF equivalente para el presente análisis, sin

equivalencia para el ~ oi, t, existe e rm; ver las ecuaciones 6.13 y 6.17. Evaluar ~ oi ,,

w, e necesita saber las propiedades tanto de los sistemas primarios y secundarios en el

momento en el IRS se están desarrollando. La principal ventaja de un método IRS es

que los espectros para la entrada del sistema secundario se puede generar sin ningún

conocimiento del sistema secundario. Para conservar esta ventaja, por lo tanto,

pongamos hacer ;, = 0. Es evidente que si la restricción estática que ofrece el sistema

secundario afecta significativamente la respuesta acoplada del sistema primario, el

método IRS (presente o convencional) no se puede utilizar. Por otro lado, hemos

discutido anterior el efecto de la restricción estática en la respuesta acoplada del

secundario sistema, que puede ser muy importante y el presente método es capaz de

representando por ello. Se muestra más adelante que la restricción estática puede

introducir tensiones significativas en el sistema secundario, incluso cuando no lo hace

de manera significativa afectar la respuesta del sistema principal junto.

Pasemos ahora a definir el oscilador sistema secundario, cuya relaciones de frecuencia

y de amortiguación son O, y c ,, respectivamente. Supongamos que el oscilador tiene

una masa m ,. Para el normalizado 'forma el modo,' $, = 11 Jm ,, u, = 1, y, Jm = ,. La

ecuación 6.9 da:

La ecuación 6.54 se presenta un problema. Tenemos la intención de desarrollar el IRS

para especificado relaciones de masa, al igual que el IRS convencional se desarrollan

para especificado amortiguación proporciones. Para una masa oscilador dado, la

ecuación 6.54 daría una masa diferente relación de uno con respecto al modo del

sistema primario. La solución de este dilema es como sigue. El propósito de definir el r

o m, es de tener en cuenta la interacción entre los sistemas primario y secundario.

Interacción será más significativo con el modo de sistema primario. I, cuya frecuencia

o,, es más cercano al oscilador frecuencia o,. Por lo tanto, vamos a suponer que la

relación de masa especificado es entre oscilador y el modo del sistema primario I. Este

supuesto en conjunto con

La ecuación 6.54 da la masa del oscilador

Los valores de r, para otros modos del sistema principal se pueden calcular de la

ecuación

6.54. En el método convencional IRS, r, = 0, para cada curva IRS se lleva a cabo cs

constante y w, es variada. En el presente caso, r, # 0. Para cada curva de IRS, que

deberá mantenga r, y 5, constante, y luego variar w,. Para cada nuevo conjunto de r y

c,, un nuevo IRS se obtendrá. Es obvio que en el curso de la obtención de un conjunto

de varios IRS curvas, el programa de ordenador tendrán que resolver un gran número

de éstos junto

Vamos a denotar el valor propio acoplado por λ, donde λ = - ζD + iwD,

wD = w √1 − 𝜁𝐷2; en el cual w y ζ son el medio adecuado de frecuencia acoplados y

coeficiente de amortiguamiento, respectivamente. Ecuaciones para el valor propio y

vector propio que aquí han sido adoptadas en la sección 6.3. Ecuaciones derivadas en

Sección 6.3 muestran que habrá algún cambio en los valores propios del sistema

primario debido al acoplamiento. Sin embargo, los cambios son generalmente

pequeñas, excepto en el valor propio del modo 'I', cuya frecuencia es muy cercana a la

frecuencia del sistema secundario.

Por lo tanto, podemos escribir

Ignoramos la interacción entre el sistema secundario y de todos modos el sistema

primario distinto al primer modo de evaluar los auto valores λi y λs.

Modificar las ecuaciones apropiadas 6.23 y 6.30 obtenemos

Ecuación 6.57 es quartic y pueden ser resueltos exactamente. La solución daría dos

pares de autovalores conjugada.

Para cada modo de sistema principal desacoplados i, excluyendo i = I, hay un vector

propio acoplados que pueden expresarse en términos de la transformación de

coordenadas X:

Hay dos más vectores propios correspondientes al primer modo de sistema primario y

el SDOF oscilador, uno para cada par de λ, obtenido a partir de la Ecuación 6.57.

para todos los valores de la j.

6.8 Evaluación de estructura de cantidades espectrales

El acoplado y vector propio y valor propia información desarrollada anteriormente puede

usarse para obtener la estructura espectral cantidades y otra información relacionada.

Estamos interesados en el desplazamiento del DOF conexión u, y que la oscilador

SDOF us. En el modo acoplado correspondiente al ith desacoplados modo principal, el

complejo de valores modales uc y us (ψc y ψs, respectivamente) puede ser calculada

sobre la base de ecuaciones 6.2 y 6.58

Manera similar, en el modo acoplado correspondiente al modo de oscilador

desacoplados, podemos escribir, sobre la base de ecuaciones 6.2 y 6.59,

La suma en la Ecuación 6.61 es en todos los modos del sistema principal. En el método

de espectro de respuesta no clasifica sistemas amortiguados, el Capítulo 5, cada forma

y su modo complejo conjugado dar respuesta dos vectores.

Y

Dónde: SdDi y Sv

Vi son el desplazamiento espectral y la velocidad para el ith unida

frecuencia modal de los desplazamientos y los espectros de velocidad de la entrada de

movimiento para el sistema primario; SdDi y Sv

Vi ; son los valores correspondientes para

el acoplado del oscilador de frecuencia modal; λi y λs son el complejo conjugado de λi y

λs, respectivamente. Los términos Fi y Fs se definen a continuación.

El desplazamiento espectral, es el desplazamiento relativo del oscilador con respecto a

la conexión de DOF.

Los valores de los desplazamientos espectrales correspondientes a distintos valores de

uc y us en la Ecuación 6.62 puede evaluarse sobre la base de la Ecuación 6.64, y se

denota por

.Para simplificar la notación, utilizaremos el subíndice i para incluir todos

los modos acoplados, de ahora en adelante. Así, todos los espectrales

desplazadorestructurales pueden ser denotados por Scid y Sci

u

I puede ser visto desde las ecuaciones 6.58-6.63 que cuando ms = 0, expresiones de la

forma 0/0 son obtenidos. Este problema puede ser fácilmente subsanada por cualquiera

llevar sobre muchas de las sustituciones algebraicas y, en el proceso, eliminando toda

la problemática de la ms (o, ri, rj) términos; o por la normalización de los valores de xs y

xj en ecuaciones 6.58 y 6.59 dividiendo por rii/2 y rj

i/2, respectivamente, y haciendo los

cambios correspondientes en las ecuaciones 6.60-6.63.

La combinación modal ecuación de un sistema amortiguado no clasificado está dada

por en

donde R representa la máxima probable respuesta combinada, Rid es la respuesta en

la ith modo desde el desplazamiento del espectro, y Riv es que debido al espectro de

velocidad. Los términos eijd, eij

v y uij son diferentes coeficientes de correlación. La

Ecuación 6.65 es la misma que la Ecuación 5.40. Con el fin de

comprimir las notaciones, definimos eijab, en el que el superíndice a puede ser d o u, y d

o v, de forma independiente. Además,

Ecuación 6.65 puede ser reescrita como

Basados en ecuaciones 6.52 y 6.53 tenemos

El término Sciaa (a = d o v) representa el valor máximo de yca por un oscilador con

frecuencia wsa y el coeficiente de amortiguamiento ζsa en la ith modo acoplado.

Anteriormente fue denotado por Scid y Sci

v sin el subíndice a, porque en ese momento

sólo un oscilador se examina. Ecuaciones 6.66 y 6.67

Permítanos definir

y

Ecuaciones 6.68 y 6.69

en la que dan la

Ecuación 6.70 constituye la combinación modal ecuación para el método del IRS. Los

valores espectrales deseados junto con diversos coeficientes de correlación son

definidos en la Ecuación 6.69.

Enfoque del Servicio de Impuestos Internos (IRS) en las propiedades del sistema

secundario (ws, ζs , rt) no son conocidas de antemano. En el método convencional, r, se

asume que es cero, y el IRS curvas se dibujan para varios valores de ζs, variando ws.

En el método propuesto rj≠ 0, las curvas espectrales son dibujados de varios conjuntos

de (ζs , rt) valores variando ws.

Otra variable es la conexión de DOF. Separar el IRS es evaluado para cada conexión

de DOF. Básicamente, para cada punto de la curva del IRS, un análisis acoplado del

tipo descrito anteriormente se va a realizar. Los datos del análisis acoplado se guardan

para ir atrás y evaluar los coeficientes de correlación, véase la Ecuación 6.69.

Cada una de las multitudes de la unida los análisis descritos anteriormente daría un

conjunto de valores de ucia. Conjunto que debemos utilizar en la Ecuación 6.69, y en

otros lugares? Consideramos que la ucid: valores desde un sistema primario

desacoplados análisis son una aproximación razonable. Tenga en cuenta que el sistema

primario, de por sí, está clásicamente amortiguado; por lo tanto, el análisis desacoplados

daría uciv = 0.

6.9 Ejemplos de espectros de respuesta.

Coeficiente de amortiguamiento para el edificio. Estas historias de tiempo fueron

utilizados para obtener estructura de espectros de respuesta para esas plantas,

utilizando un oscilador (secundaria) sistema de amortiguación de 2%. Estos IRS

corresponden a una relación de masa de cero. El IRS para relación de masa distinto de

cero no fueron calculados usando el tiempo -- Análisis de la historia, porque eso

requeriría una gran cantidad de tiempo unida- la historia de análisis. El IRS para los

mismos doce terremotos fueron obtenidos usando el método actual directamente desde

el desplazamiento y velocidad de espectros de estos terremotos. Nota En el método

propuesto no necesitamos saber el terremoto tiempo de historia. Sólo necesitamos el

terremoto y la velocidad de desplazamiento de los espectros. Si el espectro de velocidad

no se conoce, puede estimarse a partir de la colocación de dis- espectro, consulte el

Capítulo 5. %7 del mismo edificio de seis pisos utilizados anteriormente (capítulo 5, y en

las secciones 6.4 y 6.5), como el sistema primario de Referencia [17] se utiliza para

ilustrar el actual método del IRS. Este edificio fue sometido a doce diferentes

movimientos del terremoto, y en cada caso, el total de tiempo de aceleración historias

en distintos niveles de suelo fueron evaluados, suponiendo una figura 6.2 muestra una

comparación del tiempo de la historia generada IRS con aquellos generados mediante

el método propuesto, el Centro (Imperial Valley, SOOE, 1940) terremoto. Claramente,

el acuerdo entre los espectros del método actual y aquellos del análisis histórico-tiempo

es muy buena. Acuerdo similar entre los dos conjuntos de espectros fue observado para

los otros once registros de referencia [17].

Fig. 6.2

Centro 2%. Relación de masa 0[17].

Respuesta estructura de espectro (IRS). (a) Primera planta, (b) tercer piso, (c) RDP, el

piso de

Amortiguación del sistema secundario %7 terremoto (SOOE, 1940)

Fig. 6.3 espectros de respuesta (IRS). Planta superior, el Centro terremoto (SOOE,

1940); relación de masa 0.[17]

El efecto de amortiguación de coeficientes IRS se ilustra en la Figura 6.3. Tanto el IRS

en la figura 6.3 se encuentran en el piso superior del edificio para el Centro terremoto.

En un caso el sistema primario y secundario son ratios de amortiguación de 7% y 2%

respectivamente y en otros casos 1% y 0,5%, respectivamente. Como se esperaba los

picos espectrales son muchos mayores para el caso con el menor de los valores de

amortiguación para el caso con los valores más altos. %1, respectivamente; y en el otro

caso, y la relación de amortiguamiento del oscilador del 0,5%.

El efecto de la relación de masa a IRS se muestra en la Figura 6.4. Tres IRS con ratios

de masa 0.001 y 0.1 se comparan. Todos los tres espectros están en la parte superior

del edificio y para la construcción de la relación de amortiguamiento de 1% y la oscilación

de amortiguación de 0.5%

6.10 coeficientes de correlación

El presente método IRS requiere evaluación de tres conjuntos de coeficientes de

correlación, los cuales están definidos en la Ecuación 6.69. Cuando el sistema

secundario no ofrece ninguna restricción estática, las mociones de apoyo no subrayan

el sistema secundario, y los correspondientes coeficientes de correlación no necesitan

ser evaluados. Teóricamente, el procedimiento de evaluación de los coeficientes de

correlación es sencillo. Sin embargo, implica el manejo de una gran cantidad de datos

en el momento de la evaluación de los coeficientes de correlación y, a continuación,

transmisión de un gran volumen de datos para el usuario del método propuesto. Un

algoritmo aproximado para la evaluación de dichos coeficientes se presenta aquí.

Fig. 6.4 Espectros de respuesta (IRS), la planta superior, el Centro terremoto (SOOE,

1940); la %1 de amortiguación del sistema primario de amortiguación del sistema

secundario 0,5% [17].

La correlación entre los desplazamientos en diversos conectando DOF pueden

evaluarse desde la Ecuación 6.69, y no requieren una gran cantidad de espacio de

almacenamiento para su transmisión. Nos concentraremos aquí en Eclc2ab , que es la

correlación en la respuesta del oscilador a la conexión DOF cl en αth con esa frecuencia

del oscilador en el DOF conexión C2 en la PTH frecuencia; y en Eclc2ab , que es la

correlación entre el desplazamiento al conectar DOF cl, y la respuesta del oscilador a

conectar DOF c2 en la PTH frecuencia.

Basado en la Ecuación 6.29, podemos escribir.

Representa la correlación de las respuestas de dos osciladores de frecuencias y entre

los ratios de amortiguación (wsα , ζsa) y c (wsb , ζsb), suponiendo que la respuesta está

amortiguado; un periódico rígido aac, es un coeficiente de respuesta identificar el

contenido del estado estable en el oscilador de respuesta. En la Ecuación 6.72 tanto los

osciladores están sometidos al mismo movimiento en la conexión DOF c. La nueva

expresión para Eclc2ab ,para el caso general de dos diferentes DOF, por supuesto,

deberían dar el mismo valor de correlación para el caso especial cuando los dos

conectando DOF son los mismos. Hemos observado a partir de los datos numéricos que

el efecto de la correlación entre las dos diferentes conectando DOF puede ser

aproximadamente representado por el valor de Eclc2aa en los dos extremos de la

frecuencia del oscilador wsa cuando son muy baja (- 0,01 Hz), y cuando wsa es muy

grande (- 100 Hz). En la ٭E en el que el extremo de baja frecuencia, el oscilador

respuesta es principalmente periódicos amortiguados y la respuesta la correlación es

denotada por Eclc2. En el extremo de alta frecuencia, el oscilador es rígido, la respuesta

y el apoyo que la correlación es denotada por Eclc2r . Ambas Eclc2

p y Eclc2r se convertirá

en la unidad, cuando cl = c2. La ecuación propuesta es:

Claramente, la Ecuación 6.73 da la Ecuación 6.72 cuando cl = c2 = c.

Para bajas frecuencias

y para altas frecuencias

En el desarrollo de una expresión para Eclc2ab, observamos que a mayor frecuencia, wsb,

hemos Eclc2ab = Eclc2bb = Eclc2r Proponemos que en bajas frecuencias, la correlación entre

el movimiento de CL y el oscilador en respuesta c2 disminuirá en proporción al

coeficiente de respuesta αc2b rígido.

Varios conjuntos de coeficientes de correlación dada por las ecuaciones 6.73 y 6.74 se

compararon con los obtenidos numéricamente en la ecuación 69 en la Referencia [17]

y un acuerdo razonablemente bueno fue demostrado. Algunos de estos se muestran en

la Figura 6.5.

6.1 1 Respuesta ejemplos

Del mismo primario-secundario sistemas utilizados en el Capítulo 5, y en las secciones

6.4 y 6.5, se utilizaban en la Referencia [17] para ilustrar los valores de respuesta del

actual método del IRS. Véase la figura 6.1 para el nodo y los números de los elementos.

Los resultados del análisis de todos los nueve sistemas para El Centro (SOOE, 1940) el

movimiento del suelo utilizando el método de la historia de tiempo, método de espectro

de respuesta de suelo convencional y el espectro de respuesta acoplada método son

dadas en la sección 6.5, las tablas 6.4 y 6.5. Vamos a comparar esos resultados con los

resultados del presente método del IRS. Las tablas 6.6 y 6.7 muestran la comparación

de desplazamientos nodales y elemento resorte fuerza, respectivamente, del presente

y del método del IRS de suelo convencional método de espectro de respuesta con los

del método de la historia de tiempo. Por Ciento de errores en los resultados de los dos

métodos se muestran también en las mismas tablas, utilizando el tiempo de la historia

los resultados como la referencia o valores estándar. Es evidente que los resultados del

actual método del IRS se acercan mucho más a la vez- la historia de resultados que los

del método de espectro de respuesta de suelo convencional.

Debemos señalar aquí que el método propuesto IRS es en realidad una aproximación

del método de espectro de respuesta acoplada. El espectro de respuesta es un método

bien establecido el método de análisis sísmico. Puede ser mirado como una herramienta

para evaluar un promedio de respuesta sísmica para fines de diseño. Normalmente, un

buen corresponder.

Fig. 6.5 Comparación de los coeficientes de correlación del procedimiento numérico y la

ecuación aproximada, el Centro terremoto (SOOE, 1940); la amortiguación del sistema

primario de relación de masa 0[17]. ; %2 decía entre la amortiguación del sistema

secundario el tiempo-historia resultados y el espectro de respuesta resultados existe.

Un total acuerdo entre los dos resultados es ni la intención ni es necesaria. Creemos

que los pedidos de media por ciento los errores y las desviaciones estándar de los

errores por ciento propuesto por el método del IRS en los cuadros 6.6 y 6.7 se

encuentran dentro de los márgenes aceptables.

Una mejor medida de la exactitud del método del IRS actual figura en el cuadro

6.8, en el cual los resultados del actual método del IRS son comparados con los del

método de espectro de respuesta acoplada. Los errores en los valores de respuesta,

especialmente en la muelle fuerza obtenida del método propuesto son muy bajos.

Puede haber una sensación de [19] que cuando las correlaciones entre las respuestas

de diversas mociones de apoyo se contabilizan, no necesitamos considerar.

Tabla 6.6 Comparación de desplazamientos nodales del método actual y el espectro de

respuesta de suelo convencional método [17]

Cas

o

Nud

o

Historia de

tiempo de

desplazamien

to (in)

Método presente IRS

Método del suelo

convencional del espectro

de respuesta

Desplazamien

to (in)

%

error

Desplaza

miento

(in) % error

Promedio -11.9 58

Desviación Estándar 6.8 44.1

Del efecto de compatibilidad de desplazamientos. No siempre es cierto, como se ha

indicado por las ecuaciones 6.5 1 y 6.52 y el correspondiente debate. Cuando el sistema

secundario se aplica restricción estática en el sistema primario, también desarrolla

presiones debido a desplazamientos de apoyo. Este punto en particular se ilustra en la

Tabla 6.9. El efecto de los desplazamientos de apoyo es especialmente perceptible en

el muelle fuerza en el elemento 2. Claramente, el efecto de desplazamiento de apoyo

debería considerarse junto con los valores de respuesta del IRS.

Tabla 6.7 Comparación de las fuerzas del muelle desde el actual método del IRS y el

espectro de respuesta de suelo convencional método [17]

Cas

o

Ele

ment

o

Historia de

tiempo de la

fuerza del

muelle (kips)

Método presente IRS

Método del suelo

convencional del espectro

de respuesta

Fuerza de

muelle (kips)

%

error

Fuerza

de

muelle

(kips) % error

Promedio -13.2 116.1

Desviación Estándar 9.5 46.9

Tabla 6.8 Comparación de desplazamientos nodales y las fuerzas del muelle del IRS y

el método actual espectro de respuesta acoplada método [17]

Caso Nudo Historia de

tiempo de

desplazamiento

(in)

Método presente IRS Elemento Historia de

tiempo de la

fuerza del

muelle (kips)

Método presente IRS

Desplazamiento

(in) % error

Fuerza de

muelle

(kips) % error

Promedio -7.7 -

0.5

Desviación Estándar 11.2 4.9

Tabla 6.9 Componentes de la respuesta desde el presente método IRS [17]

Caso Nudo Desplazamiento (in) Elemento Fuerza de muelle (kips)

Espectro de

respuesta

Movimiento

de soporte

Combinada Espectro

de

respuesta

Movimiento

de soporte

Combinada

CAPÍTULO 7

ANÁLISIS DEL SISTEMA PRINCIPAL DESCONECTADA

7.1 Introducción

Hemos señalado en el capítulo 6 que por diversas razones prácticas se acostumbra a

realizar los análisis del sistema primario (edificio) y el sistema secundario (HVAC,

tuberías, equipos, etc.) por separado, o suponer que los dos sistemas son

desacoplados. Se muestra allí que el análisis desacoplado del sistema secundario

introduce un error considerable en la respuesta sísmica en el lado conservador. Un

método de realizar el análisis del sistema acoplado se presenta en el Capítulo 6, que se

basa en el uso de una técnica aproximada para evaluar las formas y frecuencias de los

modos acoplados. De hecho, el mismo método puede emplearse para dar la respuesta

acoplada de ambos los sistemas primario y secundario. Hay otro problema práctico, sin

embargo. En orden cronológico, el diseño del sistema primario precede el diseño del

sistema secundario. En el momento en el sistema primario está siendo diseñado, sólo

información provisional, en su caso, sobre el sistema secundario está disponible. Por lo

tanto, el análisis desacoplado del sistema primario es un hecho que no puede ser

fácilmente alterado. Hay una necesidad de contar con criterios aproximados que pueden

utilizarse para evaluar el efecto de la disociación en la respuesta del sistema primario.

Un análisis desacoplado del sistema primario puede justificarse racionalmente si los

resultados de desacoplamiento en un error relativamente insignificante en el cálculo de

respuesta. Una condición necesaria para pequeño error en respuesta sería un pequeño

cambio en las frecuencias del sistema primario. En la práctica, esto también se ha

llevado a ser la condición suficiente.

Lin y Liu [l], Estados Unidos Comisión Reguladora Nuclear [2] y RDT estándar [3]

salieron con criterios de desacoplamiento sobre el mismo tiempo (1974-75). A su juicio,

de un solo grado de libertad (SDOF) sistemas primarios y secundarios. Las curvas se

presentaron entre la relación de frecuencia del sistema secundario-primario, rf, y la

relación de masa, rm, para designar las regiones en las que podía o no se permitirá la

disociación. Los tres conjuntos de curvas son similares en forma. Pero en ciertos rangos

de rf, rm, valores, pueden conducir a resultados muy diferentes. Estas curvas se

caracterizan por discontinuidades bruscas, la falta justificación suficiente, y hasta cierto

que retratan la dinámica como muy arbitraria. En el desarrollo de sus relaciones entre

rf, y rm Hadjian y Ellison [4] En realidad formularon la frecuencia de los sistemas SDOF-

SDOF acoplados, lo que conduce a un enfoque mucho más racional. Cuando el sistema

primario, o ambos los sistemas primario y secundario tienen múltiples grados de libertad

(MDOF), métodos heurísticos aproximados se han utilizado para evaluar las relaciones

de masa equivalente, que luego pueden ser utilizados en conjunción con el criterio

desarrollado para sistemas de SDOF-SDOF. Gupta y Tembulkar [5,6] mostraron que no

es suficiente para limitar los cambios en la frecuencia.

Desarrollaron relaciones aproximadas para predecir el cambio en la respuesta para el

SDOF o MDOF sistema primario conectado a un grado de libertad o sistema secundario

MDOF. Se emplearon procedimientos aproximados similares a la utilizada en el capítulo

6. El siguiente tratamiento se basa principalmente en Gupta y Tembulkar [5,6].

7.2 Sistema SDOF-SDOF

Considérese el sistema mostrado en la Figura 7.1. El sistema primario tiene un kp

rigidez, mp en masa y la frecuencia Wp = √ (kp / mp). Los valores correspondientes para

el sistema secundario son ks, ms y Ws. La vibración libre de este sistema está

representado por la siguiente ecuación:

[𝑚𝑝 0

0 𝑚𝑠]

𝑖𝑖𝑝

𝑖𝑖𝑠 + [

𝑘𝑝 + 𝑘𝑠 −𝑘𝑠

−𝑘𝑠 𝑘𝑠]

𝑢𝑝

𝑢𝑠 =

00

. (7.1)

Como se muestra en el Capítulo 6, los sistemas primarios y secundarios con los valores

de amortiguación desiguales dan lugar a sistemas no clásicamente amortiguadas. El

efecto de la naturaleza no clásica de amortiguación es probable que sea mucho menos

significativo en el sistema primario que en el sistema secundario. Por lo tanto, utilizamos

la ecuación de vibración libre no amortiguada.

Si las frecuencias acoplados están representados por Ω, y nos escriben Rf = Ω/Wp, rf =

Ws/Wp, rs = ms/mp, la ecuación característica se puede escribir de la siguiente forma:

𝑅𝐹4 − (1 + 𝑟𝑓

2 + 𝑟𝑚𝑟𝑓2)𝑅𝐹

2 + 𝑟𝑓2 = 0. (7.2)

Ecuación 7.2 dará dos valores positivos de RF, y por lo tanto Ω, la frecuencia del sistema

acoplado. Si desacoplamiento se ha de conseguir, una de esas frecuencias deberían

estar cerca de Wp, RF correspondiente cercano a 1, por ejemplo 𝑅𝐹2 = 1 + ε, donde ε es

pequeño. El otro modo no es probable que contribuir de forma significativa a la

respuesta. Sustituyendo (1 + ε) para 𝑅𝐹2 en la ecuación 7.2, obtenemos

𝑟𝑓2 =

𝜀 (1+ε)

𝑟𝑚(1+𝜀)+𝜀. (7.3)

La ecuación 7.3 representa relación entre rf y rm para cualquier cambio en la frecuencia.

Por ejemplo, para un cambio del 10% en la frecuencia, RF = (1 ± 0,1) = 1,1

Fig. 7.1 Un sistema primario-secundario SDOF-SDOF no amortiguado.

Fig. 7.2 Frecuencia y relación de masas (r, frente r,) Curvas de 5%, 10% y 15% los

cambios en la frecuencia natural [5].

Note, a positive E means that the

frequency of the coupled system is greater than that of the uncoupled system.

El 𝑟𝑓 versus 𝑟𝑚curvas para 5%, 10% y 15% cambios en el valor de 𝜔𝑝, se muestra en la

Figura 7.2. A grandes rasgos, Ɛ es positivo para los valores de 𝑟𝑓<I, y negativo para 𝑟𝑓>

1. La región en el lado izquierdo de cualquier curva asumirá un error menor que el

utilizado para la curva en particular.

Como era de esperar, para limitar el error, 𝑟𝑚 deben ser pequeñas y 𝑟𝑓 lejos de la

unidad. Las curvas muestran en la Figura 7.2 son similares a los obtenidos por Hadjian

y Ellison.

El sistema primario SDOF desacoplada tiene un desplazamiento relativo máximo igual

al desplazamiento espectral 𝑆𝐷 en la frecuencia 𝜔𝑝. La forma del modo del sistema

acoplado es

Usando la formulación MDOF estándar, el desplazamiento relativo de la primaria masa

en el sistema acoplado puede demostrarse que es

Si asumimos que la aceleración espectral 𝑆𝐷 no cambia significativamente entre la

frecuencia del sistema primario desacoplado y el sistema acoplado, la relación de

respuesta 𝑅𝑅 se convierte

El sistema acoplado 2DOF considerado aquí tendrá dos modos, y por lo tanto dos

valores de 𝑅𝐹 para cualquier conjunto de 𝑟𝑚, 𝑟𝑓 valores. Se puede demostrar que tanto

para éstos modos, la relación de la respuesta 𝑅𝑅, es siempre menor que la unidad, es

decir., la respuesta de la masa primaria en el análisis acoplado en cualquiera de los dos

modos es siempre menor que en el análisis desacoplado. Figura 7.3 muestra 𝑟𝑓, en

función de 𝑟𝑚, curvas para lo%, 20% y 30% de reducción en la respuesta del sistema

primario (𝑅𝑅 = 0.9, 0.8, 0.7) en el modo para que 𝑅𝑅 es la más cercana a la unidad.

Para cada valor de reducción hay dos curvas. El dominio "aceptable" (lo que limitaría la

reducción) está por debajo del curva inferior y por encima de la curva de la parte superior

para cualquier reducción dada.

Fig. 7.3 Frecuencia y relación de masa (𝑟𝑚 frente a 𝑟𝑓) curvas de 10%, 20% y 30% en

cambios valores de respuesta [5].

Hagamos algunas observaciones en relación con las curvas de frecuencia de la Figura

7.2 y las curvas de respuesta de la fig7.3. Si la relación de masa es suficientemente

pequeño, uno puede limitar el cambio en la frecuencia incluso en un sistema sintonizado

Rf = 1. Al parecer, uno no puede controlar el cambio en la respuesta a Rf = 1.

Todas las curvas son asintótica a la Rf= 1 la línea. Este aspecto particular será discutido

en más detalle más adelante. En el Rf >1 Región, la relación de la respuesta no se ve

afectada negativamente por una gran secundaria masa del sistema, incluso por lo que

podría considerarse una masa ridículamente alto.

Sin embargo, tal sistema no podría ser desacoplado debido a la restricción en el cambio

en la frecuencia. Además, el cambio en la frecuencia que acompañaría

tan grandes masas secundarias, invalidarían el supuesto de que el espectral

desplazamiento Sd no cambió. En el Rf < 1 región, por otro lado, la sistema secundario

se vuelve más y más aislados como su frecuencia disminuye, por lo tanto, los cambios

en la frecuencia y la respuesta tanto siguen siendo pequeñas, aunque su masa es

grande.

Para investigar qué pasaría con la respuesta si se desacopla el sistema secundario

basado en un cambio asumido 10% en la frecuencia, Rf = 0.9 de 1.1, hemos recogido

una serie de Rf, puntos Rm partir de la curva correspondiente en Figura 7.2. Estos Rf,

Rm valores se resumen en la Tabla 7.1. Para cada punto Rf, Rm tenemos dos

frecuencias modales del sistema acoplado o dos valores de RF, a saber.

Tabla 7.1 Junto frente proporciones de respuesta desacopladas [5]

Rf1 y Rf2. Rf1 = 0.9 se acompaña de un mayor Rf2 ,y Rf2 = 1.1 por un menor Rf1. Nota,

Rf1 y Rf2=Rf .Las relaciones de las respuestas de la masa primaria en cada modo de

los sistemas junto con la de la masa primaria desacoplado también se dan en la tabla.

Normalmente, se considera sólo uno de los dos modos para la cual Rr es mayor e

ignorar la otra. (De hecho, si el Rm y Rf los valores se seleccionan sobre esta base,

como que son en la Figura 7.3, el Rr descartada sería pequeña.) Los dos valores de RR

son combinado algebraica y por el SRSS (raíz cuadrada de la suma de la plaza)

gobernar. Los Rr1, Rr2 valores y sus dos combinaciones también se representan en la

figura 7.4. La suma algebraica es prácticamente la unidad, que se debe esperar, ya que

significa esencialmente que la inercia se conserva en los dos modos. También significa,

que en los casos sintonizados o casi sintonizados, donde la suma algebraica puede

justificarse, desacoplamiento puede ser permitido. Sin embargo, como uno va más lejos

del caso sintonizado, el SRSS sería la regla de combinación más apropiada. Caso 8

tiene un SRSS valor de 0,78 y Caso 13 tiene 0,72. Esto indicaría que el desacoplado

sistema puede sobrestimar la respuesta de hasta aproximadamente 38%, es decir,

cuando el desacoplamiento se basa sólo en el cambio de frecuencia. La estimación

actual de error ser influenciado además por posiblemente diferente Sd, los valores entre

dos modos acoplados, que se supone que es lo mismo aquí.

7.3 sistemas MDOF-MDOF

Las ecuaciones aproximadas de Capítulo 6 también se pueden usar aquí. Puesto que

somos tratar con los sistemas no amortiguadas, se simplifican las ecuaciones del

Capítulo 6. La ecuación 6.23 se convierte en:

en la que Ὡ, denota la frecuencia del sistema acoplado correspondiente a la i-ésima el

modo desacoplado , ῳpi la frecuencia de la i-ésima modo de sistema primario

desacoplado,

ῳsa es la frecuencia de αth modo de sistema secundario desacoplado, y REiα es la

relación masa de energía entre el modo de sistema secundario αth y el primario ith modo

del sistema definido en el Capítulo 6. La ecuación 6.23 también tiene ∆𝑊𝑝𝑖𝑖2 término que

representa la restricción estático ofrecido por el sistema secundario. Es asumido aquí

que tal restricción es insignificante. La

ecuación 7.7 puede reescribirse como [6]:

La ecuación 7.8 puede ser resuelto de forma iterativa para el valor Rfi deseado. El de

lado derechode la ecuación 7.8 es probable que sea dominado por algunos para que

los valores son relativamente pequeñas. Para evitar iteraciones, se puede utilizar la

ecuación con sólo un término para el cual es el más pequeño, dando

lugar a lo que se llama

La variación en las proporciones de respuesta y sus combinaciones con la relación de

frecuencia [5]

Aproximación modo único o el SMA. El signo de suma en la ecuación 7.8 es cayó. La

modificación o la ecuación de SMA es:

La ventaja de usar la ecuación 7.9 es que permite el uso de 𝑟𝑓 versus 𝑟𝑚, curvas, ver

Figura 7.2, para los sistemas SDOF-SDOF.

Si el vector modal normalizado de orden i del sistema primario es desacoplado 𝜙𝑝𝑖, el

factor de participación es 𝑦𝑖 y el desplazamiento espectral es 𝑆𝐷𝑖 .

El vector de desplazamiento respuesta está dada por 𝜙𝑝𝑖 𝑦𝑖 𝑆𝐷𝑖 . Se supone que en el

acoplada sistema, la forma primaria modo del sistema permanece aproximadamente la

misma que la en el sistema desacoplado, excepto que ya no se normaliza. Es decir 𝜙′𝑝𝑖

representa la parte principal de la forma normalizada modo de sistema acoplado. La

𝜙′𝑝𝑖 = 𝐴𝜙𝑝𝑖 donde A es un escalar.

Deje que el factor de participación que le corresponde ser 𝑦′𝑖 y asumir que 𝑆𝐷𝑖, sigue

siendo el mismo porque el cambio en la frecuencia es pequeño. La respuesta de

desplazamiento sistema primario en el sistema acoplado se convierte 𝑦′𝑖 𝜙′𝑝𝑖 𝑆𝐷𝑖. La

relación de respuesta está dada por:

Los factores de participación son:

Donde 𝑈𝑏𝑝 y 𝑈𝑏𝑠 son los vectores de desplazamiento del sistema de primaria y

secundaria, respectivamente, cuando el soporte sistema primario desplaza por la unidad

en la dirección del terremoto; 𝜙𝑠𝑖 y 𝜙′𝑠𝑖 son el desplazamiento sistema secundario

vectores correspondientes al sistema primario vectores 𝜙𝑝𝑖 y 𝜙′𝑝𝑖.

Para evaluar el escalar "A" observamos:

Ecuación 6.20 rendimientos:

En el cual 𝜙𝑠𝛼 es el modo de 𝛼th sistema secundario desacoplado, 𝜙𝑐𝑖 es parte del modo

del sistema primario desacoplado ith que contiene los grados de conexión de la libertad

sólo, y 𝑦𝑐𝛼 es una fila de factores de participación por cada grado de conexión de la

libertad.

Ecuaciones 07.10 a 07.13 de dar:

en la que R, es la relación de masa de inercia:

El numerador y el denomintor de la Ecuación 7.15 representan las fuerzas de inercia de

el sistema de secundaria y primaria, respectivamente. Además, para un SDOF-SDOF

sistema, la ecuación 7.15 se convierte en la raíz cuadrada de la relación de masa

familiar,

J (rn, / rn,); de ahí la terminología.

La ecuación 7.14 da la relación de respuesta deseada. En cuanto a la relación de

frecuencia, nos

puede utilizar la aproximación monomodo (SMA) para la relación de respuesta también.

diferente a

la relación de frecuencia, sin embargo, el SMA no permite el uso de la SDOFSDOF

rfversus r,,, curvas para el cambio de respuesta, figura 7.3, debido a la presencia

de la relación de masa de inercia, r, i,, término en la Ecuación 7.14.

7.4 Aplicación de las ecuaciones relación de frecuencia y respuesta

La relación de la frecuencia y las ecuaciones relación de respuesta se aplicaron a la

sistemas primaria-secundaria presentados en el capítulo 5, por Gupta y Temulkar [6].

En el capítulo 5, se utilizó sólo una configuración acoplada. Por otro lado, en

Referencia [6], se utilizaron tres configuraciones diferentes para investigar la

aplicabilidad

de las frecuencias y de respuesta ecuaciones relación a diferentes circunstancias.

Las tres configuraciones de sistemas acoplados se muestran en la Figura 7.5 y son

Modelos designados 1,2 y 3, respectivamente.

El sistema secundario tiene sólo un modo de cuerpo rígido independiente, pero tiene

de dos conectar DOF. Por lo tanto, tenemos un sistema más restringido. Como se ha

indicado

anterior, la presente formulación ignora el efecto de esta restricción, por lo tanto, en la

mayoría casos ligeramente subestima la frecuencia acoplada.

El efecto de acoplamiento en el modo fundamental del sistema primario utilizando el

modelo acoplado 1 se investigó primero. La masa sistema secundario y rigidez son tan

variados que un rango de r y se obtienen los valores rJ pero de RF para la modo

fundamental se mantiene aproximadamente 0,9 o 1,1. Eso equivale a un cambio de 10%

en la frecuencia, que consideramos un cambio no trivial razonable parafines de

ilustración y que sean de un valor práctico. (Un cambio mucho más pequeño sería trivial,

y un cambio mucho más grande puede ser más allá de la gama de aplicabilidad del

algoritmo). Ocho estos casos se presentan en la Tabla 7.2 en la que

Se dan los valores de RF. Tanto el de las soluciones de SMA iterativo y se encuentran

en buen de acuerdo con la solución exacta.

Las proporciones de respuesta para todos los ocho casos se dan en la Tabla 7.3. Desde

que nosotros asumen que las formas de los modos del sistema primario no cambian,

una respuesta relación se calcula para cada modo. En realidad, sin embargo, existe

algún cambio en formas modales. Por lo tanto, tenemos una relación de respuesta

exacta para cada historia en la Tabla

7.3. Tanto el iterativa y los valores de SMA de RR en la Tabla 7.3 están en buen acuerdo

con los seis valores correspondientes de la tabla.

Todos los seis modos del sistema primario fueron investigados por el sistema acoplado

Modelo 1 de la Figura 7.4, el caso 3 de las Tablas 7.2 y 7.3. Se encontró que para modos

superiores, los cambios en las frecuencias y las respuestas eran muy pequeñas, y RF

RR - 1. Por lo tanto, en las Tablas 7.4 y 7.5 los valores de RF y RR para los tres primeros

sólo en los modos son reportados. Los presentes algoritmos son capaces de predecir

los cambios una precisión de 1%.

A continuación, el efecto de acoplamiento en el modo fundamental de caso 3 para todos

los tres modelos acoplados en la Figura 7.4 se investiga. El RF y los valores de RR son:

CAPITULO N8

8.1 Introducción

La mayoría de los edificios son analizados y diseñados de acuerdo con los códigos de

construcción. Una introducción a la evolución histórica de los EE.UU. y los códigos

internacionales de construcción está dada por Berg [l].

Típicamente, la carga terremoto se define en términos de una fuerza lateral equivalente,

y se realiza un análisis estático del edificio. En los últimos años, los códigos de

construcción han adoptado más y más características del análisis estructural dinámica

formal, al tiempo que conserva su formato original.

Tal vez el código más popular y relativamente rigurosa edificio actualmente en uso en

la profesión es el Código Uniforme de Construcción (UBC) [2]. Los requisitos de diseño

y análisis sísmicos de la UBC se basan en los procedimientos desarrollados por la

Asociación de Ingenieros Estructurales de California (SEAOC) [3].

Los desarrollos de la los requisitos SEAOC UBC y han sido gradual y evolutiva en la

naturaleza. En un enfoque algo diferente, el Consejo de Tecnología Aplicada, un órgano

de investigación y desarrollo de la SEAOC, comprensión llevó a producir un modelo de

desarrollo de código sísmico en 1974 bajo el patrocinio de la Fundación Nacional de

Ciencia.

El esfuerzo fue coordinado por la Oficina Nacional de Normalización. Casi un centenar

de científicos e ingenieros han contribuido a la memoria del proyecto, «Disposiciones

provisionales para el Desarrollo de la normativa sísmica de edificios ', conocido

popularmente como ATC3-06, o simplemente como ATC3 [4]. El informe está siendo

revisado por ingenieros y funcionarios de construcción para evaluar su utilidad, el costo

y la eficacia en la conducción de las estructuras resistentes a los terremotos.

Vamos a mostrar en este capítulo que los códigos de construcción modernos, UBC,

ATC3, y otros, utilizan procedimientos de cálculo respuesta sísmicos que están

estrechamente relacionados con el método de espectro de respuesta.

8.2 Análisis

Considere el modo i de vibración, con frecuencia circular una y modal vector $ ..

Supongamos que el vector se normaliza, $ iT ~ $; = 1, donde M es la matriz de masa.del

edificio en este modo se da en el capítulo 1.

Donde Y, = (PTM U,,, el factor de participación modal, y S,, es la aceleración espectral

correspondiente a la frecuencia o,. Tal como se define antes, U, es el vector de

desplazamiento del edificio,

cuando la base del edificio se desplaza

de forma estática por la unidad en la

dirección del terremoto para edificios con solamente un grado de libertad horizontal en

la dirección del terremoto, T,, -. 1, donde 1 es un vector con cada elemento igual a la

unidad el seudo. -static fuerza que hará que el desplazamiento dado por la Ecuación 8.1

está dada por

La ecuación 8.3 da la fuerza de pseudo-estática, que, cuando se aplica a la

construcción, producirá el vector de desplazamiento dada por la ecuación 8.1. Los

elementos de la masa de matriz M tiene unidad de masa, $ i Yisa, términos tienen

unidades de aceleración. Como tal, también podemos ver el vector de fuerza Fi como

un vector de fuerza pseudo-inercia.

Es común en el modelado de edificios simples para agrupar a las masas asociadas con

una historia a nivel de suelo correspondiente.

El maxtrix masa M se define como una matriz diagonal; el CRT diagonal rn ser: la masa

de la historia rth. La fuerza de la pseudo-inercia de la historia se convierte en

en la que $: es el elemento rth del vector $ ;. El cortante basal correspondiente es

Si V, se sabe, basado en las ecuaciones 8.4 y 8.5, la fuerza de la historia puede De

Para definir el cortante basal, Ifi, de la Ecuación 8.5, tenemos que evaluar el factor de

participación y,, que se puede escribir como

Ecuaciones 8.5 y 8.7 dan

Cuando el vector + i no es normalizado, podemos ver fácilmente que la ecuación 8.8 se

convierte en

Ecuación 8.6 no cambia, si el vector se normaliza o no. Las ecuaciones 8.6 y 8.9 también

se puede escribir en términos de pesos historia wr = mrg,

Definamos un peso modal efectivo Wi, de tal manera que es una forma modificada de

la ecuación 8.1 1.

Se puede demostrar que la suma de todas lasmodal pesos, W ,, es igual al peso total

de la W. edificio1,

Las ecuaciones 8.10 y 8.12, constituyen la base de la evaluación de la cortante basal

modal y las fuerzas de la historia modales en ATC3 en su procedimiento de análisis

modal. Las respuestas de varios modos se combinan por la raíz cuadrada de la suma

del método de cuadrados (SRSS) (véase el capítulo 3). La expresión SAl / g se

denomina el coeficiente de diseño sísmico modal. Discutiremos este coeficiente en

mayor detalle más adelante. Vamos a presentar el 'procedimiento de fuerza lateral

equivalente ». En el diseño de los edificios convencionales, gran parte de la fuerza

sísmica proviene del modo fundamental. Para edificios con períodos relativamente

pequeñas (TG 0.5 sec, / 3 2 Hz), la forma fundamental se puede aproximar como una

línea recta, 9; kt cc, donde h es la altura historia sobre la base del edificio, Figura 8.l (a).

Para edificios altos, que son relativamente flexibles y tienen períodos superiores (T 3

2,5 seg, f 6 0,4 Hz), el modo fundamental se encuentra aproximadamente entre una

línea recta y una parábola con un vértice en la base. En los altos edificios de la época,

la influencia de los mayores modos de vibración puede ser significativo.

Para tener en cuenta tanto los efectos-la forma no lineal del modo y los modos

superiores, ATC3 recomienda una forma parabólica del modo fundamental, t $: a (h) ',

figura 8.l (b). Como se muestra en la figura, la forma del modo curva transfiere mayor

fuerza a las noticias destacadas. En general, ATC3 recomienda, 9: a (hr) ", donde n es

un exponente cuyos valores variar de 1 a 2 entre 0,5 3 2,5 T 2 En el procedimiento de

la fuerza lateral equivalente de ATC3, las Ecuaciones 8.10 y 8.12 convertirse.

Tenga en cuenta en la ecuación 8.13, U7, se supone que es igual al peso total de U '.

En el UBC, el efecto de un período más alto de la forma del modo fundamental y el

efecto de los modos más altos se explica por una fuerza concentrada F, aplicada en el

piso superior.

La forma fundamental el modo se asume que se mantiene lineal. Pero sólo V - F, se

aplica a varios historias. La versión UBC de la Ecuación 8.13

El efecto global de las ecuaciones ATC3 y UBC debe ser comparable. 1 La cizalla

historia se calcula sumando todas las fuerzas de la historia anterior a ~ I historia en

particular. Los elementos estructurales dentro de una historia en particular reciben

cizallamiento, debido a otra fuente, el momento de torsión que se genera debido a la

excentricidad entre los centros de rigidez y masa. ATC3 recomienda el uso de F una

excentricidad accidental de 5% de la dimensión plan de construcción perpendicular a la

dirección, que se suma a la excentricidad conocido, que pueden existir debido a las

características arquitectónicas y estructurales diseñados.

ATC3 requiere un análisis de dos componentes horizontales ortogonales de terremoto

por separado. Los efectos de los dos componentes se combinan antes de diseño. En el

procedimiento de UBC, por otro lado, el diseño de los dos componentes horizontales se

realiza de forma independiente-los efectos de los dos componentes no se combinan.

En el procedimiento de UBC, la excentricidad accidental se supone igual a 5% de la

mayor de las dimensiones en planta, independientemente de la dirección del terremoto

bajo consideración. Además, el conocido diseñados y las excentricidades accidentales

no se combinan en la UBC. Se considera que el momento de torsión debido a la mayor

de las dos. En el presente UBC, el momento de vuelco se evalúa de forma estática de

las fuerzas de la historia calculados.

En las versiones anteriores, se permitió una reducción de fuera de la fase de múltiples

modos. Esta reducción fue eliminado de UBC después SEAOC dejó caer en 1970, al

menos en parte debido a los malos resultados observados en el terremoto de Caracas,

Venezuela de 1967.

En ese terremoto, varios altos edificios diseñados de acuerdo con los códigos de

construcción sísmicas similares a la UBC tenido daños columna exterior atribuye a

momento de vuelco. El daño columna exterior puede atribuirse a otro efecto no incluido

en la UBC, como mencionamos anteriormente, a saber., El efecto combinado de las dos

componentes horizontales de terremoto. Este efecto particular se explica por ATC3.

Tal vez debido a este efecto atenuante, ATC3 sí permite una cierta reducción de vuelco

momentos calculados estáticamente de las fuerzas de la historia, para dar cuenta de los

modos múltiples fuera de fase. ATC3 no permite una reducción de las diez mejores

historias. Entre las diez y veinte principales títulos de un factor de reducción que varía

linealmente entre 1,0 y 0,8 se utiliza.

En los cimientos de los edificios (estructuras de péndulo invertido excluidos), un factor

de reducción momento de vuelco de 0.75 es recomendado por ATC3, en reconocimiento

a la observación de que overturnings fundación, actuales o la falta de ellos en los

terremotos del pasado indican que los momentos calculados estáticamente representan

una significativa sobre -Estimación. Para evitar el vuelco, ATC3 requiere que la

resultante de las fuerzas sísmicas y cargas verticales en la interfase suelo-fundación I

permanece dentro de la mitad de la mitad de la base del edificio.

8.3 FRECUENCIA EDIFICIO

En el caso de la configuración del edificio y los tamaños de los miembros ya se han

elaborado, las formas de los modos y frecuencias (períodos) se pueden evaluar

fácilmente

utilizando los programas de análisis disponibles. De hecho, la respuesta completa

edificio

se calcula utilizando el método de espectro de respuesta, o utilizando el ATC3

equivalente

método. En la etapa de diseño preliminar, o en el caso de edificios simples cuando la

diseñador elige para realizar cálculos manuales, una estimación precisa de la

frecuencia edificio se puede obtener usando el método de Rayleigh.

Dejar φ Representar la forma del modo fundamental asumido. La tensión máxima

energía asociada con la forma modal es φT K φ conocimientos tradicionales, y la cinética

máxima

la energía es w2 φT M φ, cuando o es la frecuencia circular de modo fundamental

bajo consideración. Igualando las energías máximo potencial y cinética,

obtenemos :

Sea F denota el vector de fuerza que le daría el vector φ desplazamiento,

F = K φ, la ecuación 8.16 se convierte en :

o en términos de historia masas, fuerzas y desplazamientos :

Para aplicar las ecuaciones 8.17 y 8.18, se supone un vector de fuerza F que

aproximadamente representa la distribución de la fuerza de pseudo-inercia en el

la construcción en el modo fundamental. Un análisis estático se realiza para evaluar

φ De F. El valor de W propuesta por estas ecuaciones es muy preciso y no es muy

sensible a las variaciones en el vector asumido F. Tanto ATC3 y UBC recomiendan

expresiones aproximadas para la frecuencia edificio, que pueden ser utilizados en

etapas preliminares de diseño.

8.4 COEFICIENTE SÍSMICO

El coeficiente de diseño sísmico modal, S,, / gused en la Sección 8.2 es un nondimen-

sionalized representación de la aceleración espectral. Como mostraremos aquí, la

coeficientes utilizados en ATC3 se evalúan directamente de un diseño de tipo Newmark

espectro, consulte el Capítulo 2. El coeficiente utilizado en la UBC tiene sus raíces en la

evolución histórica del diseño pseudo-estática. Sin embargo, en su forma actual,

el coeficiente sísmico UBC produce fuerzas sísmicas que son comparables a las

dada por ATC3.

La figura 8.2 muestra esquemáticamente un espectro de diseño en escalas logarítmicas.

Nosotros deberá concentrarse primero en la región de aceleración amplificada, BC, que

tiene una constante de aceleración espectral Sa; y la región de velocidad amplificada,

CD, lo cual

tiene una velocidad constante espectral Sv. Los coeficientes ATC3 se basan

nominalmente en un factor de amortiguamiento del 5%. ATC3 define dos parámetros, la

aceleración pico equivalente (EPA), y la velocidad máxima equivalente (EPV). Los dos

parámetros se obtienen dividiendo los respectivos Sa, y Sv, los valores por un factor

constante de 2,5:

El los parámetros EPV EPA y no están directamente relacionadas con la

correspondiente

valores de velocidad (u) de aceleración máxima del terreno (a) y. Los dos conjuntos de

valores

son del mismo orden de magnitud. En muchos casos, una equivalencia aproximada

entre

EPA y una, y entre EPV y v se puede observar, ver también el capítulo 2. ATC3

define dos coeficientes nondimensionalized Aa, y Av, sobre la base de la EPA y EPV.

El coeficiente de aceleración Aa, es numéricamente igual al valor de EPA en g

unidades:

El coeficiente de aceleración de velocidad relacionados, A,, se obtiene por primera

establecimiento una relación entre la velocidad y la aceleración espectral espectral. fue

observó que un 0,4 g de EPA se acompaña de 12 en sec-1 de la EPA sobre la empresa

suelo. Por lo tanto, la aceleración relacionada con EPV es (0,4 g) EPV / 12 = (EPVl30)

g, cuando EPV está en unidades de en sec -1. 'El coeficiente A, se define entonces

como :

ATC3 ha proporcionado mapas que dan los valores de los coeficientes Aa, y Av, en el

Estados Unidos.Estos mapas se basan en una probabilidad aproximada de

nonexceedance de

90% durante un período de cincuenta años. Los valores de Aa, y Av, se supone que

variar entre

0,05 y 0,4. Un Dada Aa y Av , la aceleración espectral en las regiones de CD y DE de la

figura

8.2 se puede definir basan en ecuaciones 8.19-8.2 1

En la ecuación 8.22, el valor de la aceleración espectral, Sa, es inversamente

proporcional

al tiempo 7 '. El período de un edificio aumenta con el número de historias en el mismo.

Debido a una serie de razones asociadas con el comportamiento estructural de largo

edificios de época, ATC3 decidieron que las ordenadas de los espectros de diseño no

lo hacen

disminuir a medida que rápidamente con T. La ecuación 8.22 se modificó de la siguiente

manera:

Las razones para el diseño de edificios de largo período más conservadora incluyen la

siguiendo:

(1) edificios altos tienen un mayor número de los grados de libertad,

lo que aumenta la probabilidad de que los requisitos de ductilidad se concentran en

algunas historias de la construcción;

(2) el número de posibles modos de fallo aumenta con el número de grados de libertad.

(3) la inestabilidad de un edificio es más de un problema para un edificio más alto.

En los edificios con muy largo período (T> 4 seg), sabemos que la espectral

el desplazamiento se vuelve constante, véase región DE en la figura

8.2. Para esta región, la aceleración espectral es inversamente proporcional a

T2. En vista de la conservadurismo destinado a edificios altos, T2 se sustituye por T4/3 .

En T = 4 segundos, las Ecuaciones 8.22 y 8.23 dan los mismos valores de Sa.

ATC3 ha definido tres tipos de perfiles de suelo. La siguiente descripción es

dependiendo de la versión abreviada de [1] Berg:

Tipo de suelo S, -Rock o esquisto suelo rígido sobre la roca;

Tipo de suelo S, el suelo rígido -Profunda sobre roca;

Tipo de suelo suelo S3 suave.

Como hemos visto en el capítulo 2, los suelos más blandos tienen una mayor

amplificación espectralen el intermedio y alto rango período, vea región CDE en la

Figura 8.2. en el región de aceleración amplificada, BC, el suelo blando muestra una

amplificación más pequeño, particularmente cuando el temblor de tierra es fuerte. ATC3

ha dado cabida a esta observación mediante la introducción de un factor S, y otros

cambios en las ecuaciones 8.23 y

8.24.

En la región BC de la figura 8.2, la ecuación 8.25 utiliza un factor de reducción de 0,8

por

Suelo S3 cuando Una, es grande (3 0.3). El coeficiente de suelo S modifica el espectro

en la

Ya región período. El valor deS para las tres condiciones del suelo se da como

S = 1.0 para S1 , S2 = 1,2 para St y S = 1.5 para S3.

La ecuación 8.25 da un espectro de diseño elástico. Como ya comentamos en el

Capítulo 2, una mayoría de los edificios convencionales están diseñados para

someterse a una significativa deformación inelástica cuando se somete a un terremoto

de movimiento fuerte. En efecto, el edificio absorbe la energía inelástica por un

terremoto relativamente más grande la deformación y la fuerza más pequeña de lo que

sería si tenían que absorber la energía elásticamente. La consecuencia de esta filosofía

de diseño es una fuerza reducida requisito, sino un énfasis mucho mayor en los detalles

que haría que el deformación inelástica posible sin un derrumbe de un edificio. La

relación de la deformación inelástica máxima en la estructura a la deformación

rendimiento fue de definida como la relación ductilidad,µ, en el capítulo 2. Un método

para obtener una inelástica espectro de respuesta del espectro de respuesta elástico

correspondiente fue también presentada. En la Figura 8.2, las ordenadas espectrales

en laRegión CDE se divide por la relación de ductilidad, µ, y en la región BC las

ordenadas se dividen por (2u - 1).

ATC3 reemplaza tanto µ y (2u - 1) factores por una sola modificación respuesta factor

R. Para el cálculo de las deformaciones inelásticas, otra desviación amplificación factor

de cationes Cd, se utiliza, que es similar a R, pero no el mismo. Tabla 8.1 da una

Resumen de los factores R basado en Berg [l]. Ecuación8,25 se convierte en :

ATC3 da ecuaciones espectrales casi idénticos para la carga lateral equivalente

procedimiento, que es un modo simple aproximación, y para el análisis modal proceder.

Estos son dos excepciones. Para el procedimiento de carga lateral equivalente, la

ecuación adicional para los edificios de la época más largos (T ≥ 4) no se le permite

asegurar conservadurismo suficiente en el método aproximado.

Un valor espectral reducido para edificios altos también puede ser visto como un

incentivo para llevar a cabo un análisis modal.

La segunda excepción es una reducción en el valor espectral en el rango corto período,

AB en la figura 8.2, en el procedimiento de análisis modal en modos que no sean el

el modo fundamental. La ecuación ATC3 para este rango se puede escribir como :

Cuando T es muy pequeño, la ecuación 8.27 da SA - 0,8 A, GLR. El numerador de 0,8

Aa , g es aproximadamente la aceleración máxima del suelo. El valor espectral es más

reducida por el factor de modificación de la respuesta, R. Como señalamos en el capítulo

2, la ductilidad no reduce la resistencia requerida en el rango de alta frecuencia (período

corto). Ecuación 8,27 es incompatible con esa observación. Por otro lado, en la mayoría

de los edificios, la respuesta en modos que no sean el modo fundamental no puede

contribuir de manera significativa. Por lo tanto, la ecuación 8.27 es probable que afecten

a los valores de respuesta diseño mucho.

De acuerdo con la UBC, la aceleración espectral se puede escribir como :

en los que% es un coeficiente de la zona I un factor de importancia, Ka coeficiente

estructural S:S un factor de resonancia-estructura del sitio, y C un coeficiente sísmico.

El coeficiente C se especifica como :

La UBC tiene cinco zonas. al ser más alto sísmica zona 4 y la zona más bajo 0.

Este último tiene ningún requisito de diseño sísmico. Para Zonas 4- 1, los valores de Z

son

1, 3/4, 3/8 y 3/16, respectivamente. Hay tres categorías basadas en el

importancia del edificio. Por instalaciones esenciales el factor de importancia, yo, es 1.5,

para grandes edificios de ocupación es de 1,25, y para el resto de los edificios,

1 .O. El edificiocoeficiente de ING, K, depende del tipo de estructura, que van en valor

de 213 a

4/3 de los edificios y en un máximo de 2,5 para los tanques elevados. El factor K, en

efecto,

reduce el margen de la fuerza de reservas obligatorias para los sistemas estructurales

que tienen un buen desempeño en los terremotos del pasado y eleva el margen de los

sistemas que tienen un mal desempeño. El factor-estructura del sitio de resonancia es

una función de la relación de el período de construcción para el período sitio y varía

entre

I y 1,5. Si el sitio period no está disponible, un factorde 1,5 debe ser utilizado. Sin

embargo, el valor de la pro-conducto no exceda de 0,14 CSneed. La UBC está destinado

a ser utilizado con el funcionamientométodo de diseño de estrés. El código 113 permite

un aumento en las tensiones admisibles.

Por el contrario, las cargas sísmicas se pueden multiplicar por un factor de314.

Como señalamos anteriormente, el Código Uniforme de Construcción es un código

evolutivo,

mientras que, ATC3 fue creado a partir de cero en base a los conocimientos actuales.

Claro,

el conocimiento actual que entró en ATC3 incluye la experiencia de laprofesión con el

UBC y otros códigos. Será interesante comparar lavalores de diseño de los dos códigos.

Consideremos la mayor zona sísmica

(Aa = Av = 0,4, Z = I), el tipo de sitio de S1, sin suelo-estructura de resonancia (S = I para

ATC3 y UBC), y una estructura de acero momento resistente

(R = 8, K = 2/3). Los Ecuaciones ATC3 dan :

El valor de respuesta ATC3 está destinado para el diseño de carga última. Para una

estructura de acero,el factor de reducción de la capacidad es0.9. Para obtener el

máximo valor nominal debemos dividir el valor V/W por encima de 0,9. Para comparar

el valor ATC3 con el valor UBC que necesitamos para convertir el valor ATC3 en un

valor de tensión de trabajo equivalente, que puede hacerse dividiendo el valor último

nominal por un factor de seguridad de 1,7. Completando tanto las divisiones, obtenemos

:

Las ecuaciones UBC junto con el factor de elasticidad ¾ :

Los valores de V / W de ATC3 y UBC se comparan en la Figura 8.3, observamos que

las curvas ATC3 y UBC en la Figura 8.3 son comparables.

Veamos otro ejemplo similar a la primera, excepto que ahora tenemos el tipo de sitio de

S3 , en ATC3, y tener la máxima resonancia suelo-estructura para la UBC. Ambos dan

S = 1,5. Siguiendo los pasos similares a los de arriba, obtenemos :

Los dos valores V / W se representan en la Figura 8.4. Una vez más, los dos códigos

tienen valores comparables :

Desde las zonas de máxima intensidad sísmica a la más baja, la ATC3 A, y A, valores

bajan desde 0,4 hasta 0,05, por un factor de 8; los valores UBC Z bajan desde 1- 3/16,

por un factor de solamente 5,3. En un lugar determinado, los valores de diseño real

dependerá de los respectivos mapas. Se cree, sin embargo, que para la baja sísmica

áreas, el requisito de la UBC es relativamente conservadora. Una de las razones puede

ser que los redactores de los requisitos sísmicos UBC, o los de sus padres y la SEAOC,

presta mucha más atención a la alta sísmica oeste de los Estados Unidos.

Los comités ATC3, por el contrario, parecen haber pasado una gran cantidad de

esfuerzo fortaleza en la clasificación de la sismicidad de la región oriental de Estados

Unidos y se han contabilizado por factores tales como la poca frecuencia relativa de los

terremotos en muchas regiones.

También puede añadir que ATC3 ha considerado la atenuación más baja de las ondas

sísmicas en el este de Estados Unidos. Por lo tanto, algunas regiones, que pueden

haber sido excluidos de los requisitos sísmicos en la UBC, se incluyen ahora en el

Mapas ATC3. Una discusión detallada sobre este tema está más allá del alcance de

este libro.

Los lectores interesados deben examinar los respectivos mapas sísmicos y otros

documentos de respaldo.

El rango de la R factor, que representa la ductilidad en el procedimiento ATC3, es 1,25-

8. Esto significa que un péndulo invertido con el mismo periodo como momento

resistente estructura de acero se diseñará para una fuerza sísmica que es 6.4 veces

que para este último de acuerdo con ATC3. El término correspondiente en la UBC es el

factor K, que varía de 2,5 a 0,67, dando la fuerza del péndulo invertido :

3,7 veces la fuerza de estructura de acero. Suponiendo que las fuerzas de la estructura

de acero son comparables entreUBC y ATC3, las fuerzas ATC3 calculada para el bajo

estructuras de ductilidad es probable que sean relativamente conservadora en

comparación con aquellos calculado a partir de la UBC.

-APENDICE

Apéndice / evaluación numérica de espectro de respuesta.

A.1 sistemas elásticos lineales

Como se explica en el capítulo 1, el espectro de respuesta elástica se obtiene integrando

la siguiente ecuación de movimiento para un sistema de un solo grado de libertad

en el que se definen todas las variables en el capítulo 1, a excepción de la aceleración

del suelo la historia, que ahora se denota por a (t). Un número de métodos eficientes

están disponibles para la integración de la ecuación A.1. Una técnica exacta fue

desarrollada por W.D. Iwan en un estudio no publicado en el Instituto de Tecnología de

California y fue informado más tarde por Nigam y Jennings [2]. En este método, la

ecuación se resuelve Al analíticamente dentro de cada paso de tiempo sucesivos asumir

la aceleración del suelo varía linealmente entre puntos designados.

Donde la aceleración suelo, a (t), ha sido reemplazado por su lineal a tramos

aproximación. Las soluciones para el desplazamiento relativo, u, y la velocidad, u, son

y

En estas expresiones 𝝎𝑫 es la frecuencia natural amortiguada circular, 𝝎𝑫 = ω√𝟏 − 𝜻𝟐

, y 𝐶1 y 𝐶2 son constantes. Estas constantes se evalúan mediante la definición

Por lo tanto, C, y C2 son:

El desplazamiento relativo y la velocidad al final del tiempo de paso, 𝑢𝑖+1 y ù𝑖+1, puede

ser determinada mediante la sustitución de la ecuación A.5 como en la ecuación A.3 y

el ajuste t= 𝑡𝑖+1 Fórmulas La recursividad resultante para 𝑢𝑖+1 y ù𝑖+1 puede expresarse

convenientemente en forma matricial como:

Donde

Los elementos de las matrices A y B son funciones de ζ, ω y Δ𝑡1, y se les da por Nigam

y Jennings [2]. Después de la simplificación de elementos 𝑏21 y 𝑏22 , los coeficientes de

la A y B son

Y

Si se digitaliza el registro a intervalos de tiempo iguales, los coeficientes de A y B son

constante para una frecuencia dada. Por lo tanto, dadas las condiciones iniciales para

el solo-grado- de libertad del sistema, por lo general 𝑢(0) = ù(0) = 0, cálculos de

respuesta se efectúen rápidamente mediante la aplicación de las relaciones de recursión

definida por la ecuación A.6. Seguimiento de la cantidades de respuesta como la

computación avanza permite la determinación de la desplazamiento relativo máximo,

i.e. es decir el desplazamiento espectral. Los cálculos son repetidos para una familia de

frecuencias para cada valor de atenuación seleccionado. De ese modo un todo conjunto

de espectros de respuesta elástica se desarrolla para el registro terremoto dado. El

procedimiento descrito anteriormente puede, por supuesto, ser aplicado a

acelerogramas digitalizado a intervalos de tiempo desiguales. Sin embargo, la

evaluación de las matrices A y B en cada paso de la integración, es decir, para cada

Δ𝑡𝑖, aumenta el tiempo de cálculo considerablemente. La experiencia ha demostrado

que este aumento en el tiempo de cálculo puede ser 100% o más. Para mantener la

eficiencia computacional para registros digitalizados en el momento desigual intervalos,

Nigam y Jennings [2] recomiendan un método aproximado que implica coordenada

temporal redondeo. Sin embargo, con el desarrollo de procesamiento uniforme y

procedimientos de corrección, los registros se digitalizaron rutinariamente en los pasos

de tiempo iguales de 0.0 1 o 0,02 seg. Por lo tanto, no es necesario, en la medida en la

discusión que aquí se refiere, a considerar el tratamiento de los registros digitalizados a

intervalos de tiempo desiguales. El paso de tiempo utilizado en los cálculos de respuesta

se selecciona como el menor de los intervalos digitalizado de la acelerograma terremoto

o alguna fracción del período de vibraciones, por ejemplo T/10. Para los sistemas cuya

período natural regula la selección de Δ𝑡𝑖, es decir, para las frecuencias altas, Δ𝑡𝑖 debe

ser elegido de manera que una integral número de pasos de tiempo comprende el

intervalo digitalizada de la acelerograma. Esta restricción a Δ𝑡𝑖 conserva intervalos de

tiempo uniformes y garantiza que la respuesta cantidades se computarán a tiempos

correspondientes a los del terremoto dado récord. Por ejemplo, supongamos que la

respuesta de un sistema con T = 0.12 seg es ser determinar. Además, suponga que el

acelerograma terremoto se digitaliza en intervalos de 0,02 seg. No Si el paso de tiempo

es superar, por ejemplo, T / 10 o digitalizada intervalo, Δ𝑡𝑖 debe ser seleccionado como

0,01 segundos, proporcionando dos pasos de tiempo entre los sucesivos valores

digitalizados de la aceleración.

Aparte de las incertidumbres relacionadas con el registro y tratamiento de la

acelerograma sí, los errores en los cálculos espectrales son el resultado de

aproximaciones empleado en la técnica de integración numérica utilizado para el cálculo

de respuesta. En este sentido, el método descrito en el presente documento es exacta.

Sin embargo, el error es introducido por discretizacion. Es decir, el verdadero

desplazamiento o velocidad máxima, es decir, la magnitud espectral, no, en general,

ocurren en uno de los momentos discretos en el que se hacen cálculos. El error máximo

se produce cuando los verdaderos caídas máximas a mitad de camino entre dos puntos

de tiempo consecutivos, como se representa en la figura A.1. Si la

Fig. A.1 El valor máximo y los valores calculados.

respuesta en el paso de tiempo se aproxima por una sinusoide de frecuencia igual a la

frecuencia natural del sistema de un solo grado de libertad [2], el error máximo es

Las verdaderas cantidades espectrales son mayores que las calculadas en los puntos

de tiempo discretos. Al seleccionar apropiadamente el paso de tiempo, sin embargo, el

error máximo en el ordenadas espectrales pueden ser controlados. Por ejemplo, la

expresión anterior da 4,9% error para Δ𝑡𝑖 = T/10, 1,2% para T / 20, y 0,3% para T / 40.

Por lo tanto, un paso de tiempo correspondiente a Δ𝑡𝑖 = T/20 es generalmente

adecuado.

A.2 Sistemas de histéresis bilineales

El modelo de carga-deformación bilineal histerética es muestra en la Figura A.2. En esta

figura, 𝑢𝑦 representa el nivel de rendimiento inicial; 𝑢𝑦𝑝 y 𝑢𝑦𝑛 son la corriente positiva y

negativa los niveles de rendimiento; s, el conjunto actual que queda después de una

excursión de ceder; k, la inicial rigidez elástica y descarga; y la, la relación de la rigidez

de endurecimiento por deformación a la rigidez elástica. Inicialmente, por supuesto, s =

0, 𝑢𝑦𝑝 = 𝑢𝑦 y, 𝑢𝑦𝑛 = − 𝑢𝑦 Tenga en cuenta que se muestra endurecimiento cinemático

para el sistema bilineal, en el que la corriente positiva y los niveles de rendimiento

negativas están separadas por una región de deformación elástica del linealmente

magnitud 2𝑢𝑦.

Fig. A.2 Modelo Bilineal de carga-deformación de histéresis.

Considerar en primer lugar la respuesta elástica lineal que sigue descarga. Para este

caso, la ecuación de movimiento para 𝑡 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡𝑖+1 es:

Donde todos los símbolos se definen como antes. Esta ecuación puede ser más

convenientemente expresado como

Dónde:

La notación Δā𝑖, en la ecuación A. 12 se utiliza por conveniencia desde, Δā𝑖 ≡ 𝑎𝑖 La

solución de la ecuación A. 12 se da por la ecuación A.6 con la sustitución de ā𝑖, y ā𝑖+1

para 𝑎𝑖 y 𝑎𝑖+1,

en el que los coeficientes de las matrices A y B se definen por las ecuaciones A.8 y A.9.

Los s de ajuste necesarios en la Ecuación A.13 se calculan en el momento de la

descarga. Después de una excursión de rendimiento positivo, el conjunto viene dada

por s = (1 - a) (𝑢𝑢𝑛1 − 𝑢𝑦); tras una excursión de negativo rendimiento, s = (1 - a) (𝑢𝑢𝑛1 +

𝑢𝑦). En estas ecuaciones, 𝑢𝑢𝑛1 es el desplazamiento relativo calculado en el instante

de la descarga. Al mismo tiempo, los niveles de rendimiento actuales se actualizan. Por

ejemplo, después de una excursión de un rendimiento positivo, 𝑢𝑦𝑝 = 𝑢𝑢𝑛1 y 𝑢𝑦𝑛 =

𝑢𝑢𝑛1 − 2𝑢𝑦.

Ahora considere excursiones de carga más allá de los niveles de rendimiento actuales

para el sistema bilineal. Con referencia a la figura A.2, la ecuación de movimiento para

los desplazamientos relativos mayor que el nivel actual de rendimiento positivo 𝑢𝑦𝑝 es

Esta ecuación diferencial se aplica para 𝑢 > 𝑢𝑦𝑝 hasta que se detecta la descarga,

cuando el producto ů𝑖 × ů𝑖+1 < 0. Simplificando la ecuación A.15 da:

En el cual

Y

Tenga en cuenta que 𝜁2 y 𝜔2, propiedades equivalentes asociadas a la rama de

endurecimiento por deformación del modelo de fuerza – deformación, se definen sólo

para 𝑎 > 0. Para una excursión de negativo rendimiento, para 𝑢 < 𝑢𝑦𝑛, Ecuación A.16

se aplica con la modificación,

El carácter de la solución de la Ecuación A.16 puede ser subamortiguado (𝜁2 < 1),

críticamente amortiguado (𝜁2 = 1), o sobreamortiguado (𝜁2 > 1). Sin embargo, para la

mayoría de los sistemas bilineales de interés práctico, se subamortigua la respuesta.

Por ejemplo, cuando ζ = 0.05 y α = 0.02, 0.05 y 0.10, el mayor valor de 𝜁2 es 0.05/√0.02

o 0.35. Por lo tanto, la solución tal como se expresa por la ecuación A.14 sostiene con

la sustitución de 𝜁2 y 𝜔2 para ζ y ω en los elementos de A y B que figuran en la ecuación

A.8 y A.9.

A.3 SISTEMA ELASTOPLASTICO (3)

La discusión sobre las porciones elásticas lineales de la respuesta para el sistema

bilineal también se aplica al sistema elastoplástico. Para la obtención de excursiones,

sin embargo, los ecuación de movimiento para el sistema elastoplástico es

Donde se calculan con a=0; de acuerdo con cualquiera de las

ecuaciones A.18 para que dé positivo o Ecuación A.19 para el negativo rendimiento.

La solución para la ecuación A.20 también puede ser expresada por la ecuación A.14

en el que los elementos de matrices A y B son:

Para el caso especial de ningún amortiguamiento viscoso los coeficientes de A y

B son:

Los coeficientes en las ecuaciones A.23 y A.24 pueden obtenerse en los que en la

Ecuación A.21 y A.22 tomando el límite cuando

Notas A.4 para un algoritmo computacional [ 3 ]

Para mantener la precisión satisfactoria en los cálculos de respuesta para esta bilineal

sistemas de histéresis y elastoplásticas , los puntos en los que el carácter de la solución

cambios en rendimiento y la descarga , deben ser detectados razonablemente precisa.

Esta puede llevarse a cabo convenientemente de la siguiente manera. Antes de

comenzar los cálculos de respuesta, matrices A y B son evaluados y almacenados para

el intervalo de tiempo ∆𝑡𝑖, y para uno o varios pasos de tiempo fraccionado. Los pasos

de tiempo fraccional se pueden seleccionar, por ejemplo, como ∆𝑡𝑖//10, ∆𝑡𝑖

/100, y

∆𝑡𝑖//1000. Tenga en cuenta que dos conjuntos de matrices A y B correspondientes a las

ramas lineales elásticas y endurecimiento por deformación de la carga – deformación,

se requiere modelo. Cuando rendimiento o descarga es detectado dentro de un paso de

tiempo ∆𝑡𝑖, la primera (más grande ) paso de tiempo fraccional y la correspondiente A y

B son utilizado para localizar el subintervalo de tiempo durante el cual se produce

rendimiento o descarga. Una vez que este subintervalo se determina, el segundo paso

de tiempo fraccional se emplea más para refinar el subintervalo durante el cual ceder o

descarga se lleva a cabo. El anterior esquema se repite hasta que se utiliza el paso de

tiempo fraccional más pequeño o hasta que la respuesta cantidades a ceder o descarga

se determinan dentro de algunos prescritos exactitud. Es importante observar que se

utilizan los intervalos de tiempo fraccionales progresivamente, como se describe

anteriormente, para refinar el subintervalo de tiempo determinado previamente durante

el cual se detecta un cambio en el comportamiento de respuesta. Debido a que los

cálculos en la ecuación A. 14 son exclusivamente la aritmética y las matrices A y B, se

requiere haber sido calculado de antemano y almacenado, el método de tiempo

fraccional paso a paso para detectar cediendo y la descarga es eficiente.

Para el cálculo de los espectros inelásticos, el paso de tiempo básica ∆𝑡𝑖= 𝑇/10 y tres

pasos de tiempo fraccional, ∆𝑡𝑖/10, ∆𝑡𝑖

/100, y ∆𝑡𝑖/1000, puede ser usado. Experiencia

con sistemas elastoplásticas no amortiguadas, sin embargo, ha demostrado que la

precisión es satisfactoria obtenido generalmente usando ∆𝑡𝑖= 𝑇/10 y un paso de tiempo

fraccional, ∆𝑡𝑖/10. Para esto elección, máximos respuesta difería de las que utilizan los

tres paso de tiempo fraccional esquema de aproximadamente 0,2 % [1]. Los tiempos de

cálculo utilizando tres pasos de tiempo fraccional osciló entre 3-8% mayor que aquellos

que utilizan un paso de tiempo fraccional; por lo tanto, la economía no se vea

comprometida significativamente cuando se utilizan varios pasos de tiempo

fraccionales. Un punto adicional debe mencionarse en relación con el cálculo de los

coeficientes de las matrices A y B. Es decir, se debe tener precaución en la evaluación

Ecuaciones de A.8, A.9, A.21 y A.22 para evitar errores de redondeo o truncamiento.

Por suficientemente pequeña 𝜔 ∆𝑡𝑖, pérdida de precisión puede dar cuando se tienen

diferencias entre dos valores que son casi igual, como por ejemplo 1 y 𝑒−2𝑡𝜔 ∆𝑡𝑖. Una

remedio, por supuesto, es utilizar doble (o superior) de aritmética de precisión para

ordenador calcular los coeficientes propensas a errores de redondeo. Cuan pequeño

𝜔 ∆𝑡𝑖, debe ser antes redondeo se vuelve problemático depende, por supuesto, del

número de dígitos significativos disponible para el cálculo. Sin embargo, no importa

cuántos dígitos se utilizan, un valor de 𝜔 ∆𝑡𝑖, puede elegirse de manera que los errores

de redondeo resultado.

Tal vez un mejor método de eliminar los errores de truncamiento es evaluar

los coeficientes ampliando primero las expresiones analíticas en forma de series de

potencias. En esto forma, términos de orden inferior desaparece idénticamente. Por lo

tanto, se evita de redondeo desde la primera términos restantes son de orden similar.

Los coeficientes en las cuales surgen dificultades son las dadas en las

ecuaciones A.9 y A.22 , y el coeficiente 𝑎12 en la Ecuación A.21 . La experiencia ha

demostrado que aquellos en las Ecuaciones A.21 y A.22 son especialmente

problemático para valores pequeños de

En la CDC de Cyber 175, en el que 14 cifras significativas se encuentran disponibles en

el modo de precisión simple, errores de redondeo son evidente en la

Ecuación A.22 para

menos de aproximadamente 0,06 . Ampliando coeficiente 𝑎12 en Ecuación 6.2 1 y los

coeficientes en la ecuación A.22 da:

Así, cuando es < 0,06 , las expresiones en las ecuaciones A.25 y A.26 se

utilizan para evaluar el coeficiente de elastoplástico a ,, y los coeficientes para la matriz

B.

Incluyendo los términos de cada serie hasta el octavo orden proporciona resultados

precisos hasta alrededor doce cifras significativas.

A.5 REGISTROS CON MOVIMIENTOS INICIALES NO NULOS

Los procedimientos de procesamiento Caltech acelerograma proporcionan

estimaciones de la tierra movimientos en el instante en el que el instrumento se activa y

comienza la grabación.

Estos movimientos iniciales pueden ser expresados como un a(0) = ao , v(0) = vo , y d

(0) =do , donde a(t) , v(t) y d (t) son , respectivamente , la aceleración del suelo ,

velocidad y desplazamiento.

La coordenada de tiempo 2, por supuesto, se mide desde el instante en el cual comienza

la grabación. Una dificultad surge cuando los cálculos de respuesta se hacen para

sistemas sometidos a una excitación de base con las condiciones iniciales no nulas. A

saber, la no se conocen las condiciones iniciales para el oscilador solo grado de libertad.

Para aclarar este punto, considere las condiciones iniciales para el desplazamiento

relativo y la velocidad dada por

donde x(t) y x(t) son el desplazamiento absoluto y velocidad de la masa,

respectivamente. Es evidente que los movimientos absolutos, x(0) y ẋ(0) , dependen de

la movimientos de tierra no registrados, es decir los de antes el instrumento se activa .

Por lo tanto, la x(0) y ẋ(0) son desconocidos, y u(0) y u prima(0) son desconocidos .

A pesar del problema anterior, en reposo condiciones iniciales se supone comúnmente.

Sin embargo, una contradicción surge cuando se consideran sistemas muy flexibles, es

decir, para w → 0. Con u(0) = u prima(0) = 0 , la ecuación A.27 da x(0) = do y ẋ(0) = vo

. Para el infinitamente sistema flexible, estas condiciones iniciales son obviamente

incorrecto ya que el masa del sistema debe permanecer inmóvil durante todo el tiempo.

Por lo tanto, las condiciones iniciales adecuadas para la frecuencia muy baja sistemas

resultan de x(t) = ẋ(t) = 0 , de la cual u(0) = -do y u prima(0) = -vo. Sin embargo, para

sistemas de muy alta frecuencia, es decir para w → ∞ co no hay movimiento relativo

entre la masa y el suelo, y las condiciones iniciales son precisamente u(0) = u prima(0)

= 0. En vista de estos casos límite, es evidente que uno conjunto de condiciones iniciales

no se aplica para todas las frecuencias. Por consiguiente, un enfoque temprana para el

tratamiento de los registros con movimientos iniciales no nulas era cambiar inicial

condiciones para el oscilador en algún frecuencia intermedia.

Pecknold y Riddell [4] han propuesto un método exitoso para el tratamiento de la

problemas encontrados en los cálculos de respuesta de los registros con inicial distinto

de cero movimientos. En este método, se añade un impulso de aceleración corto al

comienzo de la registro terremoto. Para este pulso prefijado, dejar que â, ῠ y d denotan,

respectivamente, el aceleración del pulso, velocidad y desplazamiento. Además,

supongamos que el pulso actúa desde

0

. El impulso de aceleración prefijo consiste El impulso de aceleración prefijada consiste

en la superposición de tres funciones de influencia que se deriva mediante la

minimización

sujeto a las restricciones

El pulso prefijado es lineal por tramos para que los métodos de integración convencional

rendimiento

la velocidad vo , y el desplazamiento do hacer al final del pulso. Las ordenadas de la

prefijado impulso de aceleración están dadas por

La funciones de influencia g1(i), g2(i) y g3(i) son polinomios cúbicos en lo discreto i

variable y están dadas por

en la que j = 1,2,3 y i = 1,2 , . . ., N. La coeficientes bj, cj, y dj, dependerá de la número

de intervalos N están dadas por

Los espectros no amortiguada computarizada del expediente Melendy Ranch (N20W,

1982) con y sin pulso prefijo de 2 segundos se muestra en la figura A.3. Se desprende

de esta figura que el comportamiento asintótico correcta a bajas frecuencias se consigue

sólo para el espectro calcula a partir del registro con el pulso prefijado. Es decir, a baja

frecuencias, el desplazamiento espectral se acerca al desplazamiento de tierra pico, dp,

en este caso 1.28 pulg. De hecho, se puede demostrar que la baja frecuencia para la

asíntota espectros calculado a partir de los registros con los movimientos iniciales no

nulas corresponde a una constante pseudovelocidad igual en magnitud a la velocidad

inicial suelo, vo. Este comportamiento es claramente evidente en la figura A.3 para el

espectro calculado a partir de la Melendy Ranch registro sin pulso prefijado, para los

que

Además, tenga en cuenta en Figura A.3 que las diferencias significativas entre los

espectros se extienden hasta una frecuencia de aproximadamente 0.5 Hz. Por encima

de aproximadamente 2 Hz, los espectros son idénticos, consistente con la discusión

anterior sobre las condiciones iniciales para alta frecuencia

sistemas. Pecknold y Riddell (41) estiman que la frecuencia por debajo del cual espectral

Fig. A.3 no amortiguado espectros para el expediente Melendy Ranch ( N20W , 1982 )

con y sin pulso prefijo.ordenadas pueden estar en error es

, que para el registro Melendy Ranch es 0.15 Hz. Es evidente a partir de la figura A.3

que los errores espectrales pueden extenderse a una de frecuencia varias veces el valor

dado por la expresión anterior .