Unidad temática 1.

Presentación y análisis de la información.

1.1 Naturaleza y definición de la estadística.

Naturaleza de la estadística.

La estadística surge desde tiempos antiguos en el quehacer gubernamental, su nombre se debe a que era utilizada por los empleados del Estado para estudiar información.

La palabra estadística ha sido referida frecuentemente a la información cuantitativa o numérica aunque también se usa para los métodos que tratan con la información, esto es, se debe hacer una diferencia a la información se le llama datos estadísticos y a los métodos se les llama métodos estadísticos.

Se puede definir la palabra estadística como:

La estadística descriptiva o deductiva es la parte de la estadística dedicada a la recolección, clasificación y descripción de datos numéricos.

La estadística inferencial o inductiva se refiere a las técnicas de interpretación de os valores que se obtienen a partir de las técnicas descriptivas y las técnicas de toma de decisiones sobre la base de los resultados.

Los datos estadísticos son números que pueden ser comparados, analizados e interpretados.

Se llama población al conjunto completo de datos estadísticos que son recopilados; la cual puede ser finita o infinita.

Cuando tenemos el caso de una población finita pero de grandes dimensiones, la recolección de datos es impráctico o imposible, por ello se extrae un subconjunto de elementos representativos de la población, llamada muestra, la cual es utilizada para el estudio estadístico.

La ciencia de recolectar, clasificar, presentar e interpretar datos numéricos.

Métodos o Procesos estadísticos.

Los métodos estadísticos y los pasos del método científico tienen puntos en contacto que intentaremos mostrar.

De acuerdo con el orden de aplicación en un estudio estadístico, los cinco métodos estadísticos básicos tendrían la secuencia:

1. Recopilación.2. Organización.3. Presentación.4. Análisis e 5. Interpretación.

Por otra parte, considerando al Método científico aplicado en un área no experimental como son las Matemáticas, tenemos que consiste en una serie de pasos:

1. Planteamiento del problema,2. Suposición de una hipótesis,3. Comprobación de la hipótesis,4. Construcción de un modelo y5. Resolución del problema.

Cuando se realiza la comparación entre los pasos del método Científico y los procesos o métodos estadísticos, encontramos una analogía de pasos que se han de seguir para resolver algo, es decir, podemos considerar los tres primeros procesos del estudio estadístico como correspondientes al primer paso del método científico y los restantes se corresponderán uno a uno:

A continuación señalamos brevemente en que consiste cada uno de los métodos científicos de que consta un estudio estadístico.

Recopilación de datos estadísticos.

El modo más conveniente y económico de obtener los datos estadísticos se realizan por medio de fuentes, sean internas o externas.

Fuentes internas- Son los lugares ubicados dentro de laempresa u organización cuyainformación es denominada datosinternos, por ejemplo: los sueldos delos empleados de una lista de pago,las ventas de un diario de ventas, losrecibos de caja de un libro de caja de la oficina de contabilidad de laorganización.

Los datos publicados pueden obtenerse de fuentes primarias o secundarias, por medio de guías para su localización o fuentes de datos publicados como agencias gubernamentales, asociaciones empresariales, revistas y publicaciones periódicas de empresas, periódicos y almanaques, organizaciones privadas de servicios estadísticos, organizaciones internacionales y otras organizaciones de negocios y educativas.

La obtención de la información estadística por medio de encuesta de datos originales se realizará por el método de observación directa; la formulación de preguntas para ser aplicadas por medio de entrevista personal, o por teléfono; también por medio del envió de cuestionarios por correo, casos en el que se deben considerar puntos claves para el diseño del cuestionario, por ejemplo, no elaborar preguntas que induzcan la respuesta, preguntas breves y claras, evitar preguntas ofensivas, preguntas fáciles de contestar, etc.

Organización de datos recopilados

En el momento de la recopilación podemos encontrar dos situaciones: que estén ordenados o que no lo estén. Cuando los datos son obtenidos de fuentes publicadas usualmente están ya en forma organizada.

No sucede lo mismo con los que se recopilan, por ejemplo, en una encuesta, pues frecuentemente necesitan ser corregidos y clasificados. La corrección se debe hacer tanto en los registros internos o datos publicados como en los resultados de las encuestas, las cuales pueden tener respuestas incompletas o inconsistentes, escritura no determinable o requerimientos de cálculos, etc.

La organización de la información puede darse de forma cronológica, geográfica, cuantitativa o cualitativa.

Fuentes externas- Son los lugares que se encuentranfuera de la empresa u organización,De los que se consiguen datosestadísticos a través de datospublicados o por medio de encuestasde datos originales.

Presentación de datos organizados.

Esta etapa de la estadística es necesaria para poder leer y describir fácilmente la información. Hay tres formas de presentación de los datos recopilados y organizados: escrita, cuadros o tablas y gráfica.

En la forma escrita se puede presentar la información como descripción, históricamente, como informe o como resumen.

La presentación por medio de tablas tiene propósitos generales o específicos, vía la exposición detallada de la información.

El último caso se emplea para adquirir un vasto conocimiento en un corto periodo, pero solo da un valor aproximado de los hechos. Las diferentes graficas reciben nombres como histogramas, polígonos, ojivas, diagramas de puntos, diagramas de líneas, diagramas de pastel, pictogramas, diagramas de barras, etc.

Análisis de los datos presentados.

Los métodos empleados para analizar datos estadísticos son variados, desde la simple observación de los datos hasta métodos complicados.

Los métodos matemáticos básicos aplicados en negocios y economía, y usados en un análisis estadístico son: análisis estadístico simple, inducción estadística, análisis de series de tiempo, análisis de relaciones, etc.

Análisis estadístico simple.- Tiene dos tipos: paramétrico o no paramétrico; el primero de los cuales se divide a su vez en descriptivo o probabilístico.

Inducción estadística.- Puede ser por medio del muestreo.

Análisis de series de tiempo.- Sirve para medir los cambios en los negocios y las actividades económicas.

Análisis de relaciones.- Se aplica entre dos o más conjuntos de datos por ejemplo regresión simple, múltiple, determinante, etc.

Interpretación de los datos analizados.

La interpretación se basa en el tipo de análisis aplicado y, específicamente, en los resultados arrojados por el análisis.

La interpretación bien efectuada conducirá a conclusiones validas del estudio. Estas conclusiones a su vez nos permitirán tomar decisiones correctas.

Ejemplo 1:

Si el propietario de una empresa desea tener éxito en su toma de decisiones, su gerente debe ser capaz de tratar sistemáticamente con la incertidumbre misma, mediante evaluaciones y aplicaciones cuidadosas de métodos estadísticos pertinentes a las actividades de la empresa. Así en el área de ventas el método de presentación más conveniente sería por medio de gráficas y tablas; en el área de investigación de mercados un método de análisis eficiente seria el muestreo por medio de encuestas; en el área de producción un método de análisis adecuado sería el control de calidad, etc.

La estadística permite a la gerencia el conocimiento y análisis de datos referentes a fenómenos o hechos que se desenvuelven fuera de la empresa, pero cuyo conocimiento es fundamental para ésta, en consonancia con una conducta racional de la misma en el ámbito económico en que se halla incrustada.

Las empresas necesitan informes sobre producción, sobre cotizaciones de divisas extranjeras, sobre población, sobre distribución de los ingresos de los residentes en sus zonas geográficas de mercado… Es fácil comprender que un industrial necesita apropiarse de ciertas materias primas y necesita conocer sus precios en moneda nacional o extranjera, y tener una idea lo más clara posible de su probable evolución; debe conocer los precios de venta de la competencia, la parte del mercado total del que dispone, cuales son las características más apreciadas de sus productos, la composición social y económica de su clientela, los consumidores en potencia de sus productos y las causas por las que no son efectivos, todo lo cual implica consultar estadísticas hechas por otros o hacerlas por sí mismos.

Se puede hacer uso también de la estadística para necesidades básicas, para cálculos importantes que serán utilizados en la toma de decisiones a través de herramientas como la estadística inferencial con los métodos de análisis pertinentes.

Abuso de la estadística.

También es posible el mal uso de los datos estadísticos, originados por supuestos falsos, sesgo del usuario, indicación falsa de relación, comparación impropia, errores de operaciones matemáticas, datos inadecuados, etc.

1.2. Presentación de la información estadística.

Antes de entrar en materia conviene definir algunos de los conceptos que se utilizarán:

Distribución de frecuencias.

El primer paso para la descripción de la información es la recolección de los datos estadísticos necesarios, lo cual puede hacerse por medio de una entrevista personal, el cuestionario postal, la investigación de archivos o por cualquier otro medio.

Población

Muestra

Variable

Toma de datos

Experimento

Datos numéricos

Rango o recorrido

Ordenación

Datos numéricos no agrupados

Datos numéricos agrupados

Colección completa de individuos, objetos o medidas que tienen una característica en común.

Un subconjunto de la población.

Una característica de cada elemento individual de una población o una muestra; valores distintos pertenecientes a características, en estadística pueden ser: estatura, edad, coeficiente de inteligencia, etc. Valor que nunca puede ser constante

Comprenden el conjunto de valores asignados a la variable para cada elemento perteneciente a la muestra o población, las cuales serán analizadas e interpretadas

Una actividad planificada, cuyos resultados producen un conjunto de datos que nunca pueden ser constantes.

Es la obtención de una colección de datos que no han sido ordenados numéricamente.

Es una colección de los datos numéricos tomados, en orden creciente o decreciente de magnitud.

La diferencia entre el mayor y el menor de los datos numéricos.

Menos de treinta.

Más de treinta.

Función En el sentido que hay una correspondencia entre los datos y el número de veces que ocurren.

Frecuencia Número de veces que ocurre un dato

Una vez recolectados los datos, es necesario ordenarlos, lo cual puede ser realizado formando grupos. Los datos que se encuentran sin agrupar deben ser menos de treinta para que no sean difíciles de trabajar e interpretar.

Una distribución de frecuencias, o una tabla de frecuencias, es el resultado de organizar los datos en un listado o varios grupos, es decir de tamaño uno o mayor (de más de una unidad en valor).

Un conjunto de datos puede organizarse de diferentes maneras. La forma como se elija dependerá, entre otras cosas, de la naturaleza de los datos, la cantidad de datos o el aspecto que se desea describir.

Los tipos de distribución de frecuencias son la distribución de frecuencias simple (datos no agrupados) y la distribución de frecuencias por intervalos o clases (datos agrupados).

Una distribución de frecuencias simple es la que indica las frecuencias con que aparecen los números (datos) desde el menor hasta el mayor de estos en forma de:

Los datos están enumerados en orden ascendente o descendente.

Muestra el número de casos de cada dato; está formado por dos columnas, la primera incluye los datos ordenados y la segunda el valor frecuente de ellos.

Da la información sobre cómo están diseminados los datos sobre el rango (Diagrama de frecuencias de puntos o líneas y diagrama de frecuencia acumulada o Escalonada).

Ejemplo 2:

El director de un programa de capacitación de una cierta empresa tiene 16 solicitudes para su admisión en el próximo otoño. Las calificaciones de la prueba A. C. T. de los solicitantes son:

26 27 26 28 27 25 26 28 27 28 27 28 25 27 25 26

Como tales calificaciones deben organizarse en una distribución de frecuencias; ¿cuál es ésta?

Listado

Tabla

Gráfica

A partir de los conocimientos teóricos antes referidos, la distribución de frecuencias será en este caso una distribución de frecuencias para datos no agrupados, por consiguiente el resultado de esto es:

Xi fi

25 3

26 427 528 4

Σfi = 16 Tabla 1

Una distribución de frecuencias por intervalos o clases consiste en formar clases o intervalos a partir del dato menor o mayor, donde –en forma aproximada- el número de clases puede determinarse, si se conoce el tamaño de clase, o bien determinar aproximadamente el tamaño de clase cuando se conoce el número de clases, mediante las relaciones siguientes:

Donde:

K es el número de clases

N es el número de datos

Log es la función logarítmica de base 10 o logaritmos comunes

Algunos otros elementos para indicar esta distribución de frecuencias en una tabla están dados por lo siguiente:

Regla de Sturges K = 1 + (3.33 (log N))

Numero de clases (K) = rango

tamañodeclase

Tamaño de clase = rango

númerode clases

Intervalos de clase.- Intervalos adecuados para agrupar datos para agrupar los datos, es aconsejable escoger estos intervalos de manera que sus puntos medios sean múltiplos de números como en 5 ó 10. Generalmente no debe haber menos de 5 intervalos ni más de 25.

Frecuencia de clase.- El número de datos pertenecientes a cada clase.

Límites de los intervalos de clase.- Datos extremos que forman la clase llamados límite inferior y superior, es decir, el izquierdo y el derecho respectivamente.

Anchura o amplitud de clase.- Es la diferencia entre los límites de la clase que lo forman.

Limites reales de los intervalos de clase.- Datos que están a media unidad arriba (abajo) del límite superior (inferior). Son aquellos que forman clases contiguas, es decir, el límite superior de una clase es el mismo en valor que el límite inferior de la clase siguiente superior en valor.

Tamaño de un intervalo de clase.- Es las diferencia entre los “límites reales” de cada clase.

Marca de clase.- Es el punto medio de la clase y representante de los datos que se encuentran en ésta.

Existen otros tipos de frecuencias y por consiguiente, al describir los datos con respecto a cada una de ellas en forma individual, se generan otras tablas y otras distribuciones tanto para datos no agrupados como para datos agrupados. Los otros tipos son los siguientes:

Frecuencia relativa.- Es la frecuencia absoluta respectiva de cada dato entre el número total de datos o entre la suma de las frecuencias absolutas.

Frecuencia acumulada.- La frecuencia total de todos los valores menores que la frecuencia absoluta del dato correspondiente a la obtención, más la frecuencia de este dato.

Frecuencia relativa acumulada o frecuencia porcentual.- Es la frecuencia acumulada de un dato especifico entre la suma de las frecuencias absolutas.

Con todo esto se tiene el manejo de información para contestar preguntas sobre cantidad y porcentaje.

Ejemplo 3: las comisiones ganadas por trece miembros del equipo de ventas en una cierta empresa, durante el primer trimestre del año pasado fueron en dólares:

$ 1550, 1650, 1475, 1760, 1540, 1495,1590, 1625, 1485, 1510, 1810, 1990, 1875.

Si se desea organizar los ingresos mensuales en una distribución de frecuencias utilizando de 1400 hasta 1500 como la primera clase, se tiene la siguiente respuesta:

Distribución de frecuencias para datos agrupados

Por la regla de Sturges K = 1 + (3.3 (log N))

Donde N = 13

K = 1 + 3.3 log 13

= 1 + 3.676 ≅ 5 clases

Rango = 1990 – 1475 = $515

Tamaño de la clase = rango

tamañodeclase =

5155

= 103

Como se pedía que la primera clase fuera de 1400 a 1500, se tomara el tamaño de 100 y por consiguiente, al disminuir el tamaño dado teóricamente, entonces aumentara el número de clases, así queda:

I.C. fi

1400-1500 31500-1600 41600-1700 21700-1800 11800-1900 21900-2000 1

Tabla 2

1.3. Representación gráfica de las distribuciones de frecuencias.

Para una distribución de frecuencias simple o cuando son datos no agrupados se nos presentan dos tipos de gráficas, si consideramos las frecuencias absolutas y relativas las gráficas son un diagrama de puntos o un diagrama de líneas. Para las columnas acumulativas como son frecuencia acumulada y frecuencia relativa acumulada la representación gráfica es una función escalonada llamada grafica de la distribución de frecuencias acumulativas. Se obtiene a partir del acumulamiento de un gráfico de línea con sus respectivos valores de datos o bien haciendo una correspondencia entre los datos y sus frecuencias acumuladas respectivas manteniéndose constante entre dato y dato.

Todas estas graficas se establecen en un sistema coordenado cartesiano, donde el eje X representa a los datos y el eje Y a las correspondientes frecuencias de estos datos.

Para una distribución de frecuencias por intervalos existen dos presentaciones gráficas, para cada una de las distintas frecuencias, llamadas histogramas y polígono de frecuencias.

Un histograma es una serie de rectángulos que tienen como base en el eje X las longitudes del tamaño de los intervalos de clase y como centros, a las marcas de clase; y unas alturas en el eje de las Y con el valor de las frecuencias respectivas al caso que desee.

Frecuencias

Histogramas

Frecuencias acumuladas

Frecuencias relativas o porcentajes

Frecuencias relativas acumuladas

Ejemplo 4:

Las importaciones anuales de un grupo selecto de proveedores electrónicos se muestran en la siguiente distribución de frecuencias.

Tabla 3

Lo que se desea es mostrar las importaciones en forma de un histograma

Grafica 1

Un polígono de frecuencias es un grafico de línea trazado sobre marcas de clase o las alturas correspondientes de la frecuencia en cuestión. También puede obtenerse uniendo los puntos medios de los techos de los rectángulos en el histograma.

Importaciones(millones de $)

Número de proveedores

2-5 6

5-8 13

8-11 20

11-14 10

14-17 1

Frecuencias.

Ejemplo 5:

Un minorista grande estudia el tiempo de surtido1 para un cierto número de pedidos recientes. Los tiempos de surtido se reportan en días.

Tiempo de surtido Frecuencia0-5 6

5-10 7

10-15 1215-20 820-25 7

Σ = 40

Tabla 4

Se desea construir un polígono de frecuencias, así que en primer lugar en la distribución de frecuencias se calcularan las marcas de clase.

Tiempo de surtido

Frecuencia xi

0-5 6 2.5

5-10 7 7.5

10-15 12 12.5

15-20 8 17.5

20-25 7 22.5

Σ = 40

Tabla 5

__________________________1 El transcurrido entre el momento en que se recibe el pedido y el momento en que se cumple con él.

Polígonos

Frecuencias acumuladas = Ojiva

Frecuencias relativas

Frecuencias relativas acumuladas = Ojiva porcentual

Grafica 2

Otros tipos de gráficas.

Existen otros tipos de gráficas empleados para diversos propósitos como: diagramas circulares, diagramas de disco, pictogramas, mapas estadísticos, gráficas de área y volumen y diagramas de barras.

Diagramas circulares.

Llamadas también diagramas de pastel, se emplean generalmente para representar distribuciones de razones. El círculo total es dividido en partes en forma de cuña por medio del trazado de razones. El nombre se deriva de la semejanza de sus porciones a trozos de un pastel.

Para construir un diagrama circular, se multiplicará el porcentaje de cada componente por 360 (número de grados de un círculo), luego, empezando en la parte superior, los grados para cada componente se marcan sucesivamente en la dirección de las manecillas del reloj.

Ejemplo 6: se requiere mostrar el porcentaje de estudiantes matriculados en cursos de Ingeniería:

Estudiantes

MecánicaRoboticaSistemas Automotrices

Grafica 3

Diagrama de disco.

Es una variante del diagrama circular. Los diagramas circulares y sus variantes circulares son medios particularmente efectivos para mostrar las distribuciones de dinero.

Ejercicio 1:

Los consejeros del D.F. quieren mostrar a los contribuyentes que asistan a la próxima reunión, lo que pasa con los pesos que pagan en impuestos.

La cantidad total de impuestos recaudados en un cierto tiempo es de 20 millones de pesos. Los gastos son: $4 400 000 para escuelas, $ 11 600 000 para caminos, $ 3 200 000 para administración, y 800 000 para el abastecimiento. ¿Cuál es la grafica ideal para mostrar las porciones de los pesos recaudados que van para escuelas, caminos, administración y abastecimiento?

Pictogramas.

Es llamada también gráfica pictográfica, es una gráfica que consta de un número de símbolos adecuados que son del mismo tamaño y representa cada uno de ellos la misma clase de información con un valor fijo. Un pictograma es esencialmente un tipo modificado de la gráfica de barras. El número de figuras o símbolos muestra la magnitud de un pictograma.

Ejemplo 7:

Supongamos que el número de aparatos de televisión producidos en una compañía en 1961 fue de 6000 aparatos y en 1965 de 8500 aparatos. Si se utiliza un símbolo que representa 1000 aparatos de televisión se tiene.

1961

1965

Grafica 4

Mapas estadísticos.

Muestran la información cuantitativa sobre bases geográficas. La comparación por áreas geográficas se facilita grandemente cuando la información es marcada sobre las unidades geográficas que son comparadas. Los datos pueden mostrarse en un mapa en una de las siguientes formas: puntos, símbolos, achuramientos, colores, barras o números.

Gráficas de área y volumen.

Republica Mexicana

Aguascalientes Morelos

Baja California Nayarit

Baja California Sur Nuevo León

Campeche Oaxaca

Coahuila Puebla

Colima Querétaro

Chiapas Quintana Roo

Chihuahua San Luis Potosí

Distrito Federal Sinaloa

Durango Sonora

Estado de México Tabasco

Guanajuato Tamaulipas

Guerrero Tlaxcala

Hidalgo Veracruz

Jalisco YucatánMichoacán Zacatecas

En vez de utilizar las alturas de las barras con el mismo ancho para representar datos en una gráfica, pueden emplearse superficies (áreas de dos dimensiones) o volúmenes (tres dimensiones).

Ejemplo 8: Supongamos que el número de empleados en una compañía de 2000 en 1955 y 16000 en 1965.

Una gráfica de área sería:

Un cuadrado de lado igual a 1/2 luego.

Área = 1/2 X 1/2 = 1/4

2000 en 1955

Para una gráfica de Volumen seria:

V = ½ X ½ X ½ = 1/8

en 1955 2000

Respecto a 1965, como hubo un aumento de 8 veces la información, tenemos que su representación gráfica de área sería:

Área: 8 X 1/4 = 2

en 1965

Una gráfica de volumen sería:

Volumen: 8 X 1/8 = 1

en 1965

Diagrama de barras.

Es una serie de barras rectangulares horizontales o verticales, la anchura de cada barra es visualmente igual a la de las otras y casi siempre de valor 1 y la longitud de cada barra muestra los datos representados. En comparación

con otras gráficas, éstas son usadas con variables que indican bases cronológicas, geográficas, cuantitativas o cualitativas llamadas variables nominales.

Ejercicio 2:

La cantidad de activos en las compañías de seguros de vida en los Estados Unidos de Norteamérica al final de cada año, de 1954 a 1964, está dada en la tabla siguiente, establezca si son datos agrupados o no agrupados y construya una gráfica de líneas o de barras verticales:

Final del año Activos Final del año Activos

1954 84,4861955 90,432 1960 119,5761956 96,011 1961 126,8161957 101,309 1962 133,2911958 107,580 1963 141,1211959 113,650 1964 149,470

____________________________________________________________________Activos de las compañías de seguros de vida

1954 – 1964Millones de Dólares

Tabla 6

Ejercicio 3:

Determina la gráfica respectiva para las principales fuentes de importaciones de acero de 1992.

País Miles de toneladas

Bélgica 1247Japón 1072

Alemania 460

Canadá 367Francia 299

Otros 405

Tabla 7

Ejercicio 4:

La producción anual de tres departamentos de una cierta compañía en 1998 se muestran en la siguiente tabla, realiza la gráfica de pastel correspondiente:

Departamento Unidades producidas (miles)

A 400

B 250

C 150

Tabla 8