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2013
ANALISIS HIDROLOGICO
Toribio Marcos Reyes Rodríguez
PRESENTACION
En esta publicación plasmo mis experiencias hidrológicas que tuve como profesor
universitario en pregrado y postgrado, y como consultor en el área de recursos
hídricos durante más de 22 años.
Se consideran conceptos y aplicaciones que se emplean con más frecuencia en
temas relacionados al cambio climático, ecohidrología e hidroeconomía.
Aprovecho la ocasión para agradecer a mis alumnos de pregrado y postgrado, a
los profesionales y empresas que me permiten ir aprendiendo cada día más esta
apasionante ciencia.
Espero esta modesta publicación les sea útil a muchos estudiantes y profesionales
relacionados a los recursos hídricos.
Toribio Marcos Reyes Rodríguez
INDICE
I. Cuenca hidrográfica 1 - 4
II. Hidrología estadística
2.1 Coeficiente de variación y asimetría 5
2.2 Análisis de multicolinealidad 5
2.3 Distribución de probabilidades discretas aplicadas a la hidrología 5 – 12
2.4 Distribución de probabilidades para eventos extremos máximos 12 – 17
2.5 Caudales máximos instantáneos anuales en la cuenca del río Santa 18
2.6 Prueba de normalidad mediante el método de Anderson – Darling 18 – 19
Bibliografía 20
III. Análisis de sequías 21 – 23
Referencias bibliográficas 24
IV. Análisis de infiltración en suelos
4.1 Modelo de Kostiakov 25 – 27
4.2 Modelo de Horton 27 - 30
4.3 Modelo de Philip 30 – 32
4.4 Modelo de Green – Ampt 33 – 41
Referencias bibliográficas 42
V. Análisis de la evapotranspiración potencial
5.1 Evapotranspiración potencial 43 – 45
Bibliografía 46
VI. Análisis del proceso de precipitación – escorrentía
6.1 Deducción de la ecuación de la precipitación efectiva (SCS – USA) 47 – 48
6.2 Deducción de la ecuación para la abstracción continuada 48 – 52
6.3 Hidrograma unitario del SCS 52 – 53
6.4 Generación de escorrentía con HEC – HMS 53 – 61
Referencias bibliográficas 62
VII. Análisis de tormentas
7.1 Modelos de curvas de intensidad – duración – frecuencia 63 - 64
7.2 Relación entre las precipitaciones sus duraciones 64 - 65
7.3 Hietograma triangular 65 – 66
7.4 Hietograma por el método de bloques alternos 66
7.5 Variabilidad de las tormentas desde el centro de su origen 66
Problemas 66 – 72
Referencias bibliográficas 73
VIII. ANALISIS DE HIDROGRAMAS PRODUCIDOS POR TORMENTAS
8.1 Hidrograma unitario (HU) 74
8.2 Hidrograma unitario para diferentes duraciones 74
8.3 Propiedades importantes de los hidrogramas 74
Problemas 75 – 83
Referencias bibliográficas 84
IX. Hidrología para embalses
9.1 Pérdida anual de la capacidad de un embalse por sedimentación 85
9.2 Escorrentía media anual 85
9.3 Coeficiente de variación de la escorrentía media anual 85
9.4 Probabilidad que la presa esté llena 86
9.5 Estimación de la producción de sedimentos en una cuenca 86
9.6 Caudal de diseño para el vertedero de excedencias 87 – 88
Referencias bibliográficas 89
X. Tránsito hidrológico a través de embalses
10.1 Tránsito a través de embalses 90 - 91
10.2 Tránsito de avenidas – método manual 91 – 95
10.3 Tránsito de avenidas con HEC – HMS 3.3 95 -114
Referencias bibliográficas 115
XI. Tránsito hidrológico en ríos 116 – 124
Referencias bibliográficas 125
XII. Generación de caudales a partir de lluvias
12.1 Método de Langbein para zonas áridas 126
12.2 Método de Langbein para zonas lluviosas 126 – 127
12.3 Evapotranspiración media multianual real 127 – 128
12.4 Longitud de mezcla en confluencia de un río 128
Referencias bibliográficas 129
I. LA CUENCA HIDROGRAFICA
En cuanto a las denominaciones de cuenca pequeña, mediana y grande no hay un acuerdo definido. Sin embargo, como referencia se tiene: Cuenca pequeña: A ≤ 50 km2 Cuenca mediana: 50 ≤A ≤ 100 km2
Cuenca grande: A 100 km2
Parámetros geomorfológicos de una cuenca a) Tiempo de concentración
Ecuación de Ven Te Chow:
[
√ ]
Donde: Tc = Tiempo de concentración (min) L = Longitud del curso principal (km) S = Pendiente del curso principal (%) Ecuación de Sheridan:
[
√ ]
Donde: Tc = Tiempo de concentración (h) L = Longitud del curso principal (km) S = Pendiente del curso principal (m/m)
b) Coeficiente de Gravelius (Kc) Es un parámetro que relaciona el perímetro (P) de la cuenca con el perímetro equivalente de un círculo que tiene un área (A) igual al de la cuenca. Es un parámetro de forma de la cuenca, cuando Kc >1 la cuenca es alargada y los caudales picos durante un tormenta no ocurrirán rápido.
√
Donde: Kc = Coeficiente de Gravelius A = Área de la cuenca P = Perímetro de la cuenca El Kc es una medida de similitud geométrica de la cuenca
c) Coeficiente de elongación de una cuenca (E) Es la relación entre el diámetro equivalente del área (A) de la cuenca y la longitud del cauce principal (L) Es un parámetro de forma de la cuenca, cuando E ≤ 1 la cuenca es alargada
√
Donde: E = Coeficiente de elongación de una cuenca A = Área de la cuenca L = Longitud del curso principal
d) Coeficiente de circularidad de una cuenca (C) Es la relación entre el área de la cuenca (A) y el área equivalente del perímetro (P) de la cuenca Es un parámetro de forma de la cuenca, cuando C ≤ 1 la cuenca es alargada
Donde: C = Coeficiente de circularidad de una cuenca A = Área de la cuenca (km2) P = Perímetro de la cuenca (km)
e) Densidad de drenaje (Dd)
Si 0.6 ≤ Dd < 3 km/km2 la cuenca es bien drenada Los valores altos de la densidad de drenaje indican cuencas con suelos fácilmente erosionables o relativamente impermeables, con pendientes fuertes y escasa cobertura vegetal.
f) Ley de Hack
Hack determinó que existe una relación del tipo:
Donde: L = Longitud del río principal (km) A = Área de la cuenca (km2)
g) Índice de forma Horton Horton definió el índice de forma de una cuenca como:
A/(Lrecta)2
Donde: If = Índice de forma de Horton A = Área de la cuenca (km2) Lrecta = Longitud del río principal medida en línea recta (km)
h) Índice de densidad lacustre Está dada por la relación siguiente:
i) Pendiente longitudinal del río principal
Aplicando la ecuación de Chezy para canales abiertos se obtiene la ecuación de Taylor Schwarz
(
∑
∑ √
)
Problema: Demuestre la relación anterior si la ecuación de Chezy para canales abiertos
es √
j) Coeficiente orográfico (Co)
Donde: Co = Coeficiente orográfico Hm = Altitud media, cota topográfica correspondiente al 50% de áreas de la
curva hipsométrica A = Área de la cuenca Sirve para estimar el grado erosión de las cuencas, también es una medida de la similitud dinámica de las cuencas.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Natural Resources Conservation Service (2003). National Water Quality Handbook. USA.
Linsley, Ray. et. al. (1988). Hidrología para Ingenieros. Editorial McGraw - Hill,
México. Universidad Nacional de Cuyo (2005). Hidrología (PDF), Argentina. Vente, Chow (1996). Hidrología Aplicada. Editorial McGraw – Hill, primera edición,
México.
II. HIDROLOGIA ESTADISTICA
2.1 Coeficiente de variación y asimetría (Fair, 199), dice que un valor bajo del coeficiente de variación indica un flujo estable de los caudales, y una posible existencia de lagos en las partes altas de las cuencas. El coeficiente de asimetría es fuertemente influenciado por los valores extremos altos que los valores extremos bajo.
2.2 Análisis de multicolinealidad La multicolinealidad se presenta cuando no hay independencia entre las variables explicativas de un modelo de regresión. Sus efectos son: a) Los coeficientes de la regresión no son significativos b) El signo del coeficiente de regresión no explica el fenómeno físico, es
decir, se invierte el signo.
2.3 Distribuciones de probabilidades discretas aplicadas a la hidrología
Existen un conjunto de distribuciones discretas que son de aplicación frecuente en hidrología, se describen a continuación cada una de ellas: a) Distribución de probabilidad binomial La distribución de probabilidad para una variable aleatoria binomial está dada por:
xnxqpx
nxp
)(
Donde: p(x) = Probabilidad de x éxitos con n pruebas p = Probabilidad de éxito en una sola prueba q = 1 – p n = Número de prueba x = Número de éxitos en n pruebas La media y la varianza de la variable aleatoria binomial son respectivamente: μ = np σ2 = npq Problema La probabilidad de encontrar agua subterránea en la perforación de un pozo tubular en un determinado valle de la costa del Perú es 0.20. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar 2 pozos tubulares con agua subterránea si perforarán 10 pozos?
Solución
xnxqpx
nxp
)(
2102 )20.01()20.0(2
10)2(
xp
302.0)2( xp
Problema ¿Cuál es la media y la varianza de la perforación de pozos tubulares? Solución μ = np = 10(0.20) = 2 pozos tubulares σ2 = npq = 10(0.20)(0.80) σ = 1.26 pozos tubulares Problema Hallar p(μ - 2 σ ≤ x ≤ μ + 2 σ ) Solución p(μ - 2 σ ≤ x ≤ μ + 2 σ ) = p(2 – 2*1.26 ≤ x ≤ 2 + 2*1.26) p (– 0. 52 ≤ x ≤ 4.52) = p(0≤ x ≤ 4) = 0.9672 ~ 0.95 (Regla empírica) b) Distribución de probabilidad multinomial La distribución de probabilidad para una variable aleatoria multinomial está dada por:
nxn
xx
nn ppp
xxx
nxxxp )...()()(
!!...!
!),...,,( 21
2121
21
Donde: p(x1, x2, …,xn) = Probabilidad de x1, x2, … xn éxitos con n pruebas pi = Probabilidad del resultado i en una sola prueba p1 + p2 + …+ pn = 1 n = Número de prueba x i = Ocurrencias del resultado i en n pruebas La media y la varianza de la variable aleatoria multinomial xi son respectivamente: μ = npi σ2 = npi (1-pi)
Problema En río en durante una avenida puede dividirse en tres ramales con probabilidades de p1 = 0.25, p2 = 0.30 y p3 = 0.45 respectivamente tal como se indica en el esquema:
Durante 10 años de máximas avenidas: 1) Calcule la probabilidad que el río se dividirá 2 veces por el ramal 1, 4
veces por el ramal 2 y 4 veces por el ramal 3 2) Calcule E(x2) y V (x2) Solución
1) nxn
xx
nn ppp
xxx
nxxxp )...()()(
!!...!
!),...,,( 21
2121
21
0654.04)45.0()30.0()25.0(!4!4!2
!10)4,4,2( 42 p
2) E(x2) = 10*0.30 = 3 V (x2) = 10*0.30*0.70 = 2.1
c) Distribución de probabilidad geométrica La distribución de probabilidad para una variable aleatoria geométrica está dada por:
1)( xpqxp
Donde: p(x) = Probabilidad de x éxitos en una sola prueba p = Probabilidad de éxito en una sola prueba q = 1 – p x = Número de éxitos en una prueba La media y la varianza de la variable aleatoria geométrica son respectivamente: μ = 1/p σ2 = q/p2
Problema Suponga el hecho de encontrar un pozo con agua subterránea en un sitio es independiente de encontrarlo en otro en una región determinada, la probabilidad de éxito en un sitio individual es de 0.30.
Ramal 1
Ramal 3
Ramal 2
Río Río
Solución: 1) ¿Qué probabilidad hay que un perforador encuentre un pozo con agua
subterránea en su tercera perforación, o antes? 2) Si x es el número de perforaciones hasta que ocurra el primer éxito, calcule
la media y la desviación estándar 3) ¿Es probable que x sea mayor que 10? Solución
1) 1)( xpqxp
30.0)70.0(*30.0)1( 0 p
21.0)70.0(*30.0)2( 1 p
147.0)70.0(*30.0)3( 2 p
p(0<x<4) = p(1)+ (2)+ p(3) = 0.657 2) μ = 1/p = 1/0.30 = 3.33 perforaciones σ2 = q/p2 = 0.70/(0.30)2 = 7.78 σ = 2.79 perforaciones 3) No, porque con 3 perforaciones ya se tiene 65.7 % de probabilidad d) Distribución de probabilidad hipergeométrica
La distribución de probabilidad para una variable aleatoria hipergeométrica está dada por:
n
N
xn
rN
x
r
xp )(
Donde: p(x) = Probabilidad de x éxitos en una muestra de n elementos N = Número total de elementos r = Número de resultados favorables en los N elementos n = Número de elementos extraídos x = Número de resultados favorables en los n elementos La media y la varianza de la variable aleatoria hipergemétrica geométrica son respectivamente: μ = nr/p σ2 = rn(N-r)(N-n)/(N2(N-1)) Problema Se tienen 10 datos hidrometeorológicos de los cuales 4 son consistentes y 6 son no consistentes. Si se saca una muestra de 3 elementos. 1) Calcule la probabilidad de que la muestra no tenga ningún dato consistente
2) Calcule la probabilidad que la muestra tenga un dato consistente 3) Halle μ y σ Solución
1)
n
N
xn
rN
x
r
xp )(
17.0
3
10
03
410
0
4
)0(
xp
2)
n
N
xn
rN
x
r
xp )(
50.0
3
10
13
410
1
4
)1(
xp
3) μ = nr/p = 1.2 datos
σ2 = rn(N-r)(N-n)/(N2(N-1)) σ = 0.748 datos
e) Distribución binomial negativa
La distribución de probabilidad para una variable aleatoria binomial negativa está dada por:
( ) (
) ( )
Donde: p(n/r) = Probabilidad de que de x ensayos ocurran r éxitos r = Número de éxitos en n ensayos p = Probabilidad de ocurran r éxitos La media y la varianza son respectivamente: μ = r/p σ2 = rp/(1-p)
Problema La probabilidad de falla de una presa por overttoping es 0.10 ¿Cuál es la probabilidad de falla en 10 overttopings? Solución
( ) (
) ( )
( ) (
) ( )
f) Distribución de probabilidad Poisson
La distribución de probabilidad Poisson para una variable aleatoria Poisson es:
!
)(x
exp
x
; (x = 0,1, 2,…)
La media y la varianza de una variable aleatoria Poisson son: μ = λ σ2 = λ Problema Suponga que el número de goteros con falla por lote de goteros (x) tiene una distribución Poisson aproximadamente. Además, suponga que el número promedio de goteros con falla por lote es 2.5 a) Calcule la media y desviación estándar de x b) Calcule la probabilidad de que un lote de goteros escogido al azar tenga
exactamente cinco goteros con falla c) Calcule que p(μ - 2σ < x μ + 2σ). ¿El resultado concuerda con la regla
empírica? Solución a) μ = 2.5 goteros con falla por lote
σ2 = 2.5 σ = 1.58 goteros con falla por lote
b) !
)(x
exp
x
00548.0!5
)5.2()5(
5.25
e
p
c) p(2.5 – 2*1.58 < x < 2.5 + 2*1.58) = p(0.662 < x < 5.662) = p(0 ≤ x ≤ 5) = p(x=0)+p(x=1)+p(x=2)+p(x=3)+p(x=4)+p(x=5) = 0.9581
Problema El número de truchas muertas por año en una laguna se indica: Año 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
Truchas muertas/año
20 25 32 40 38 32 33
¿Cuál es la probabilidad de encontrar 20 truchas muertas por año? Solución Media = 31.48 truchas muertas/año
!
)(x
exp
x
00814.0!20
)48.31()20(
48.3120
e
p
Problema El número de cortes de agua potable observadas diariamente en una ciudad durante 100 días consecutivos es como se indica: No días 19 26 26 15 9 4 1
No de cortes por día
0 1 2 3 4 5 6
Verifique si el número de cortes de agua de agua potable por día se ajusta a una distribución de probabilidades Poisson. Solución
diacortesX /85.1100
1*64*59*415*326*226*119*0
La prueba se hará con la distribución de probabilidad Chi – cuadrado, para la cual se hará la tabulación siguiente: N° de cortes/día 0 1 2 3 4 5 6
!)(
x
exp
x
0.157 0.291 0.269 0.166 0.077 0.028 0.009
N° de días de corte esperado
15.7 29.1 26.9 16.6 7.7 2.8 0.9
N° de dias de corte observados
19 26 26 15 9 4 1
n
i ei
ioie
cF
EFX
1
22 )(
952.11
)19.0(...
7.15
)197.15( 222
cX
XT2 n-1, 5% = XT
2 6, 5% = 18.55;
Luego, los datos se ajustan a la distribución Poisson (Xc2 < XT
2) g) Función de distribución normal
Para 0 ≤ z ≤ 5.5, se tiene:
165)/703(
562)35183(exp5.0)(
z
zzzZp
Problema Después de realizar el monitoreo de la calidad de aguas en un río se obtuvo que la media de los coliformes totales es 149 organismos/100ml y la desviación estándar es 493 organismos/100ml. Si el límite máximo permisible es 200 organismos/100 ml. ¿Cuál es la probabilidad que el LMP sea excedido? Solución
458.0)103.0( Zp
2.4 Distribuciones de probabilidades para eventos máximos extremos
Para eventos hidrometeorológicos máximos existen un conjunto de distribuciones de probabilidades tales como: Log Pearson tipo III o Gamma de tres parámetros, Gumbel y la distribución generalizada de Pareto. a) Distribución Log Pearson tipo III
Esta distribución fue utilizada en hidrología por primera vez por Foster en 1924 para realizar el análisis de probabilidades de ocurrencia de crecientes máximos anuales. Esta distribución se recomienda usar cuando los datos hidrometeorológicos tienen coeficiente de asimetría positiva alta. Las ecuaciones más usadas son:
)(
________
*)()( XLogTT SKXLogXLog
n
XLogXLog
)()(
________
1
))()((
_________2
)(
n
XLogXLogS XLog
)( 2TLnW
32
2
001308.0189269.0432788.11
010328.0802853.0515517.2
WWW
WWWZ
3)(
3________
)2)(1(
)()(
XLogSnn
XLogXLogn
Cs
6
CsK
3)1(
3
)6()1()1(
54322
332 K
ZKKZKKZ
KZZKZZKT
Problema Realizar el análisis de frecuencias para los caudales máximos instantáneos que se indican:
Año Q (M3/S)
1978 26.8
1979 29.4
1980 34.0
1981 28.4
1982 42.3
1983 40.3
1984 28.0
1985 28.9
1986 53.3
1987 26.8
Solución Haciendo los cálculos y tabulaciones correspondientes de acuerdo a las fórmulas indicadas se tiene:
Año Q (M3/S) LOGQ (M3/S)
1978 26.8 1.43
1979 29.4 1.47
1980 34.0 1.53
1981 28.4 1.45
1982 42.3 1.63
1983 40.3 1.61
1984 28.0 1.45
1985 28.9 1.46
1986 53.3 1.73
1987 26.8 1.43
MEDIA 33.8 1.52
S 8.8 0.10
Cs 1.4 1.14
T (Años) P (Q≥Qo) W Z KT Qo (m3/s)
1.01 0.99 3.04 -2.33 -1.508 23.1
2 0.50 1.18 0.00 -0.183 31.5
5 0.20 1.79 0.84 0.736 39.2
10 0.10 2.15 1.28 1.334 45.1
15 0.07 2.33 1.50 1.665 48.7
20 0.05 2.45 1.65 1.894 51.4
25 0.04 2.54 1.75 2.069 53.6
50 0.02 2.80 2.05 2.601 60.8
100 0.01 3.03 2.33 3.120 68.7
200 0.01 3.26 2.58 3.629 77.4
b) Distribución Gumbel
Esta distribución también es conocida como Distribución de Valor Extremo tipo I, se utiliza para realizar el análisis de probabilidades de eventos hidrometeorológicos máximos. Las ecuaciones más usuales y conocidas son:
F(x) = p(X<Xo) = exp(-exp(-y))
uxy
5772.0
xu
2825.1
xS
XT = u – ln(-ln(1-1/T))α
Prueba de la Bondad de Ajuste de Kolmogorov – Smirnov Se aplica a datos no agrupados y para cualquier distribución teórica. Pasos: 1. Se ordenan los datos en forma ascendente 2. Se halla la probabilidad empírica pE(X< Xo) Para distribución normal:
pE(X< Xo)= (i-0.375)/(n+0.025) (Ec. de Bloom) Para distribución de valores extremos máximos (Weibull) pE(X< Xo)= i/(n+1) (Ecuación Weibull)
Donde: i = Posición del dato ordenado n = Número de datos hidrometeorológicos
3. Se halla la probabilidad teórica correspondiente pT(X<Xo) 4. Se halla la diferencia D = Máx│pE(X<Xo) - pT(X<Xo)│ 5. Si D ≤ D crítico los datos se ajustan al modelo probabilística teórico
Problema Realizar la prueba de la bondad de ajuste de los caudales máximos instantáneos anuales de la estación Recreta (Ancash).
Año i QMIA (m3/s) QMIA (m3/s) PE (Q<Qo) PT (Q<Qo) Abs(D)
1953 1 18.40 6.17 0.033 0.003 0.031
1954 2 38.20 8.80 0.067 0.011 0.056
1955 3 23.50 11.90 0.100 0.039 0.061
1956 4 23.00 13.20 0.133 0.060 0.073
1957 5 21.50 17.08 0.167 0.157 0.010
1958 6 38.00 18.40 0.200 0.200 0.000
1959 7 25.78 21.48 0.233 0.315 0.081
1960 8 21.48 21.50 0.267 0.315 0.049
1961 9 37.60 21.97 0.300 0.334 0.034
1962 10 34.10 23.00 0.333 0.374 0.041
1963 11 27.01 23.10 0.367 0.378 0.012
1964 12 21.97 23.50 0.400 0.394 0.006
1965 13 17.08 25.19 0.433 0.460 0.027
1966 14 29.09 25.78 0.467 0.482 0.016
1967 15 8.80 26.96 0.500 0.526 0.026
1968 16 13.20 27.01 0.533 0.528 0.005
1969 17 39.90 27.65 0.567 0.551 0.016
1970 18 40.00 29.09 0.600 0.600 0.000
1971 19 53.55 31.26 0.633 0.667 0.034
1972 20 26.96 34.10 0.667 0.742 0.075
1973 21 40.35 37.60 0.700 0.815 0.115
1974 22 27.65 38.00 0.733 0.822 0.088
1975 23 31.26 38.20 0.767 0.825 0.059
1976 24 25.19 38.80 0.800 0.835 0.035
1977 25 11.90 39.90 0.833 0.852 0.019
1978 26 23.10 40.00 0.867 0.854 0.013
1979 27 6.17 40.35 0.900 0.859 0.041
1980 28 54.70 53.55 0.933 0.964 0.030
1981 29 38.80 54.70 0.967 0.968 0.001
Media 28.22
STD 11.96
α 9.32
μ 22.83
D máx 0.115
Los datos se ajustan a la distribución Gumbel con 95 % de confiabilidad Límites de Confianza para una Variable XT
Para la distribución Gumbel para calcular el intervalo de confianza se utilizan las siguientes fórmulas: Intervalo de confianza: XT ± Se Z α/2
2/12
)1.11396.11(1
TTe KK
nSS
Problema Hallar el intervalo de confianza para QT = Q25 con un nivel de significación de α= 5%, para una distribución Gumbel. Solución XT ± Se Z α/2
2/12
)1.11396.11(1
TTe KK
nSS
82.7))04.2(*1.104.2*1396.11(10
18.8
2/12
eS
XT ± Se Z α/2
51.832 ± 7.82*1.96 = [36.50, 67.16] m3/s
Tabla 2.1 Valores Críticos de Kolmogorov – Smirnov
n D 0.20 D 0.10 D 0.05 D 0.02 D 0.01
1 0.900 0.950 0.975 0.990 0.995
2 0.684 0.776 0.842 0.900 0.929
3 0.565 0.636 0.708 0.785 0.829
4 0.493 0.565 0.624 0.689 0.734
5 0.447 0.509 0.563 0.627 0.669
6 0.410 0.468 0.519 0.577 0.617
7 0.381 0.436 0.483 0.538 0.576
8 0.359 0.410 0.454 0.507 0.542
9 0.339 0.387 0.430 0.480 0.513
10 0.323 0.369 0.409 0.457 0.486
11 0.308 0.352 0.391 0.437 0.468
12 0.296 0.338 0.375 0.419 0.449
13 0.285 0.325 0.361 0.404 0.432
14 0.275 0.314 0.349 0.390 0.418
15 0.266 0.304 0.338 0.377 0.404
16 0.258 0.295 0.327 0.366 0.392
17 0.250 0.286 0.318 0.355 0.381
18 0.244 0.279 0.309 0.346 0.371
19 0.237 0.271 0.301 0.337 0.361
20 0.232 0.265 0.294 0.329 0.352
21 0.226 0.259 0.287 0.321 0.344
22 0.221 0.253 0.281 0.314 0.337
23 0.216 0.247 0.275 0.307 0.330
24 0.212 0.242 0.269 0.301 0.323
25 0.208 0.238 0.264 0.295 0.317
26 0.204 0.233 0.259 0.290 0.311
27 0.200 0.229 0.254 0.284 0.305
28 0.197 0.225 0.250 0.279 0.300
29 0.193 0.221 0.246 0.275 0.295
30 0.190 0.218 0.242 0.270 0.290
35 0.177 0.202 0.224 0.251 0.269
40 0.165 0.189 0.210 0.235 0.252
45 0.156 0.179 0.198 0.222 0.238
50 0.148 0.170 0.188 0.211 0.226
55 0.142 0.162 0.180 0.201 0.216
60 0.136 0.155 0.172 0.193 0.207
65 0.131 0.149 0.166 0.185 0.199
70 0.126 0.144 0.160 0.179 0.192
75 0.122 0.139 0.154 0.173 0.185
80 0.118 0.135 0.150 0.167 0.179
85 0.114 0.131 0.145 0.162 0.174
90 0.111 0.127 0.141 0.158 0.169
95 0.108 0.124 0.137 0.154 0.165
n grande 1.07/n0.5
1.22/n0.5
1.36/n0.5
1.52/n0.5
1.63/n0.5
2.5 Caudales máximos instantáneos anuales en la cuenca del río Santa
(Reyes, 2009), al estudiar los caudales máximos instantáneos en la cuenca del Río Santa (Perú) encontró las siguientes ecuaciones: Para cuencas de 48 a 500 km2:
Para cuencas de 500 a 10400 km2:
( ( ))
( ( )) Donde: Q = Caudal máximo instantáneo anual (m3/s) A = Área de la cuenca (km2) T = Período de retorno (años) 2.6 Prueba de normalidad mediante el método de Anderson – Darling
Se calcula AD mediante la ecuación:
{[∑( )[ ( ) ( ( )]
] }
Para hallar F (Zi ) se puede utilizar :
165)/703(
562)35183(exp5.0)(
z
zzzZp ; 0 ≤ z ≤ 5.5:
Después se calcula el valor crítico al 95 % de confiabilidad para datos menores o iguales de 10 mediante la ecuación:
( )
Si n> 10 ADc = 0.752
Problema Realice la prueba de AD para averiguar si las precipitaciones mensuales de enero de la estación de Huari – Ancash se ajustan a la distribución normal.
Prueba de Normalidad de Anderson Darling
i Xi OA (Xi) Zi F(Zi) OD(Xi) Zi 1- G(Zi) ln(F(Zi)) ln(1-G(Zi)) (1-2i)/n c(a+b)
(a) (b) ( c )
1 77.7 7.8 -2.151 0.0157 193.4 2.011 0.0222 -4.151 -3.810 -0.0417 0.3317
2 97.6 34.1 -1.561 0.0593 167.1 1.421 0.0776 -2.826 -2.556 -0.1250 0.6727
3 144.1 46.2 -1.290 0.0986 164.3 1.359 0.0872 -2.317 -2.440 -0.2083 0.9909
4 193.4 52.5 -1.148 0.1254 153.4 1.114 0.1327 -2.076 -2.020 -0.2917 1.1946
5 7.8 58.4 -1.016 0.1548 144.1 0.906 0.1827 -1.865 -1.700 -0.3750 1.3371
6 89.6 77.7 -0.583 0.2799 130.4 0.598 0.2749 -1.273 -1.292 -0.4583 1.1756
7 34.1 79.4 -0.545 0.2928 128.4 0.554 0.2900 -1.228 -1.238 -0.5417 1.3358
8 107.7 85.5 -0.408 0.3415 121.1 0.390 0.3483 -1.075 -1.055 -0.6250 1.3307
9 58.4 89.6 -0.317 0.3758 120.9 0.385 0.3500 -0.979 -1.050 -0.7083 1.4369
10 46.2 97.6 -0.137 0.4454 112.2 0.190 0.4245 -0.809 -0.857 -0.7917 1.3186
11 102.0 102.0 -0.038 0.4846 107.9 0.094 0.4626 -0.724 -0.771 -0.8750 1.3084
12 128.4 107.5 0.085 0.5338 107.7 0.089 0.4644 -0.628 -0.767 -0.9583 1.3366
13 130.4 107.7 0.089 0.5356 107.5 0.085 0.4662 -0.624 -0.763 -1.0417 1.4454
14 153.4 107.9 0.094 0.5374 102.0 -0.038 0.5154 -0.621 -0.663 -1.1250 1.4443
15 121.1 112.2 0.190 0.5755 97.6 -0.137 0.5546 -0.553 -0.590 -1.2083 1.3800
16 164.3 120.9 0.385 0.6500 89.6 -0.317 0.6242 -0.431 -0.471 -1.2917 1.1651
17 79.4 121.1 0.390 0.6517 85.5 -0.408 0.6585 -0.428 -0.418 -1.3750 1.1632
18 85.5 128.4 0.554 0.7100 79.4 -0.545 0.7072 -0.342 -0.346 -1.4583 1.0048
19 107.5 130.4 0.598 0.7251 77.7 -0.583 0.7201 -0.321 -0.328 -1.5417 1.0016
20 52.5 144.1 0.906 0.8173 58.4 -1.016 0.8452 -0.202 -0.168 -1.6250 0.6011
21 120.9 153.4 1.114 0.8673 52.5 -1.148 0.8746 -0.142 -0.134 -1.7083 0.4721
22 167.1 164.3 1.359 0.9128 46.2 -1.290 0.9014 -0.091 -0.104 -1.7917 0.3494
23 112.2 167.1 1.421 0.9224 34.1 -1.561 0.9407 -0.081 -0.061 -1.8750 0.2661
24 107.9 193.4 2.011 0.9778 7.8 -2.151 0.9843 -0.022 -0.016 -1.9583 0.0750
Media 103.7 103.7
STD 44.6 44.6
n 24 24
Suma 24.138
AD 0.138
ADc 0.752
Los datos se ajustan a la distribución normal AD < ADC
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Fair – Geyer – Okun (1999). Abastecimiento de Agua y Remoción de Aguas Residuales. Editorial Limusa, México.
Reyes Rodríguez, Toribio (2009). Regionalización de los Caudales Máximos
Instantáneos Anuales de la Cuenca del Río Santa. I Congreso Nacional del Agua. Lima, Perú.
Reyes Rodríguez, Toribio (2005). Métodos de Optimización en Ingeniería Agrícola.
UNASAM, Huaraz. Vente, Chow (1996). Hidrología Aplicada. Editorial McGraw – Hill, primera edición,
México.
III. ANALISIS DE SEQUIAS
El análisis de sequías se realiza actualmente mediante el Standard Precipitation Index (SPI), que fue creada por (McKee, 1995) el cual consiste en: 1) Ajustar los registros de precipitaciones a la distribución gamma de 2
parámetros o a la distribución log Pearson III. En caso que se utilice la distribución gamma de dos parámetros, los parámetros alfa (parámetro de forma) y parámetro beta (parámetro de escala) se calcula así:
( )
2) Con la distribución adecuada se calcula p(X< Xo) para todos los datos 3) Se halla la variable tipificada de la distribución normal empleando p(X<Xo)
que viene a ser el valor de SPI.
Categorización del PSI según (Agnew, 2000)
Tabla 3.1 Categorización de SPI
SPI Categorización
< 1.65 Extremadamente húmedo
1.28 a 1.64 Muy húmedo
0.84 a 1.28 Moderadamente húmedo
-0.84 a 0.84 Normal
-0.84 a -1.28 Moderadamente seco
-1.28 a -1.64 Muy seco
< -1.65 Extremadamente seco
En el cuadro adjunto se indica el SPI de las precipitaciones anuales de la estación Chavín (Huari – Ancash):
SPI estación Chavín
Año Precipitación P(X<Xo) SPI
mm Gamma
1964 618.7 0.112 -1.21588752
1965 488.7 0.015 -2.17059373
1966 607.9 0.099 -1.28961809
1967 993.6 0.825 0.93470434
1968 610.2 0.101 -1.27384159
1969 825.4 0.521 0.05231575
1970 1010.4 0.845 1.01725404
1971 1034.6 0.872 1.13459785
1972 769.8 0.395 -0.26553542
1973 829.1 0.529 0.07295358
1974 778.9 0.416 -0.21248433
1975 959.3 0.777 0.76327339
1976 871.1 0.619 0.30303311
1977 809.4 0.485 -0.03764608
1978 740.1 0.329 -0.44166667
1979 937.5 0.743 0.65220974
1980 1072.4 0.906 1.31434608
1981 1203.6 0.972 1.90798928
1982 1106.6 0.930 1.47344605
1983 851.1 0.577 0.19441412
1984 794.4 0.451 -0.12307061
1985 1031.2 0.868 1.11822084
1986 790.9 0.443 -0.14315798
1987 649.2 0.156 -1.01230148
1988 733.8 0.316 -0.47963647
1989 657.8 0.170 -0.95607802
1990 805.5 0.476 -0.05975394
1991 693.4 0.233 -0.72850767
1992 484.2 0.014 -2.20664292
1993 1125 0.940 1.55772201
1994 865.2 0.607 0.2711644
1995 855.4 0.586 0.21790924
1996 751.3 0.354 -0.3746984
Promedio 828.96 0.506
D. estándar 179.30 0.295
Alfa 21.375
Beta 38.781
SPI de la estación Chavín (Huari - Ancash)
-2.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
19
64
19
66
19
68
19
70
19
72
19
74
19
76
19
78
19
80
19
82
19
84
19
86
19
88
19
90
19
92
19
94
19
96
SPI
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Borgo, Marco (2005). Regional Rainfall Depth – Duration – Frequency Equations for an Alpine Region. Italia. PDF. 29/12/2010.
Dal- RéTenreiro, Rafael (2003). Pequeños Embalses de Uso Agrícola. Ediciones
Mundi – Prensa, España. McCuen, Richard (2005). Hydrologic Analysis and Desig.Editorial Prentice Hall,
New Jersey. Moncho, Robert (2006). Estudio Climático del Exponente n de las Curvas IDF:
Aplicación para la Península Ibérica. España: Departamento de Física y Termodinámica, Universidad de Valencias. PDF. 29/12/2010
IV. ANALISIS DE LA INFILTRACION EN SUELOS
El análisis de la infiltración es muy importante en diferentes especialidades de la ingeniería: en ingeniería agrícola sirve para la planificación, diseño y ejecución de sistemas de riego; en ingeniería ambiental para el análisis de la infiltración de contaminantes disueltos en el agua, etc.
Tabla 4.1 Tasa mínima de infiltración en suelos
Grupo hidrológico fc (mm/h)
A 7.62 a 11.43
B 3.81 a 7.62
C 1.27 a 3.81
D 0.00 a 1.27
Fuente: WWW.Oasificación.com
4.1 Modelo de Kostiakov
4.1.1 Velocidad de infiltración
battf )( (1)
Donde: f(t) = Velocidad de infiltración en el tiempo t > 0 t = Tiempo de infiltración t>0 a, b = Constantes (a>0, 0<b<1)
f(t)
t
4.1.2 Lámina de infiltración acumulada Integrando la ecuación (1) respecto al tiempo:
1
0
)()(
bt
tba
adttftF
1)(
bt
ba
atF (2)
F(t) = Lámina de infiltración acumulada en el tiempo t
t = Tiempo de infiltración t >0 a, b = Parámetros
F(t)
t 4.1.3 Tiempo de encharcamiento (tp) El encharcamiento ocurre bajo las siguientes condiciones: i = f(t) (3) F(t) = itp (4) Donde: i = Intensidad de precipitación
De la ecuación (3):
bati (5) De la ecuación (5):
b
a
it
/1
(6)
Sustituyendo (4) y (6) en (2):
)1(
)/(
1
)/1(1
b
ai
i
t
b
atp
bb
(7)
)1(
)/( )/1(
b
aitp
b
(8)
4.1.4 Tiempo de inicio de infiltración (to)
La infiltración no inicia inmediatamente después del inicio de la lluvia sino
un tiempo to después que inicia la lluvia.
Sea Fp la lámina infiltrada en el tiempo (tp - to), reemplazando estos
valores en (2):
)1/(1()1(
b
ppo Fa
btt (9)
Fp = itp (10)
Para calcular la lámina infiltrada después del tiempo to hacer t – to y
reemplazar en la ecuación (2)
4.2 Modelo de Horton
4.2.1 Velocidad de infiltración
La ecuación diferencial de la velocidad de infiltración se obtiene a partir de la analogía con ley de enfriamiento de Newton: ( )
( ( ) ) (1)
kt
coc effftf )()( (2)
Donde: f(t) = Velocidad de infiltración en el tiempo t fc = Velocidad de infiltración en el tiempo t ~ ∞ fo = Velocidad de infiltración en el tiempo t = 0 k = Constante e = Base de los logaritmos neperianos t = Tiempo de infiltración
f(t)
fo
fc
t
Relación de (Bouwer, 1966):
Ks = Conductividad hidráulica de saturación
4.2.2 Lámina de infiltración acumulada
Integrando la ecuación (2) respecto al tiempo:
ktcoc
t tkt
coc ek
fftfdteffftftF
1
)()()()(
0 0
ktcoc e
k
fftftF
1
)()( (3)
F(t) = Lámina de infiltración acumulada en el tiempo t fc = Velocidad de infiltración en el tiempo t ~ ∞ fo = Velocidad de infiltración en el tiempo t = 0 k = Constante e = Base de los logaritmos neperianos t = Tiempo de infiltración
F( t )
t
4.2.3 Tiempo de encharcamiento (tp) El encharcamiento ocurre bajo las siguientes condiciones: i = f(t) (4) F(t) = itp (5) Donde: i = Intensidad de precipitación
De la ecuación (2):
ktcoc efffi )( (6)
De la ecuación (5):
co
c
ff
fi
kt ln
1 (7)
De las ecuaciones (4) y (6) en (2):
pfi
ff
kco
c
coc itek
ff
fi
ff
k
fc
co
)(
1
1ln (8)
c
cocop
fi
fffif
kit ln
1 (9)
4.2.4 Tiempo de inicio de infiltración (to)
La infiltración no inicia inmediatamente después del inicio de la lluvia sino un tiempo to después que inicia la lluvia.
Sea Fp la lámina infiltrada en el tiempo (tp - to), haciendo i = f(t) y tomando logaritmos a la ecuación (1):
ln(i-fc) = ln(fo –fc) – k(tp-to)
)ln(1
c
co
kpofi
fftt
(10)
Para calcular la lámina infiltrada después del tiempo to hacer t – to y reemplazar en la ecuación (3)
4.3 Modelo de Philip
4.3.1 Velocidad de infiltración
KSttf
2
1
2
1)( (1)
Donde: f(t) = Velocidad de infiltración en el tiempo t S = Sortividad que representa la influencia de la capilaridad en el proceso
de infiltración K = Conductividad hidráulica del suelo t = Tiempo de infiltración
f(t)
K
T
La sortividad se puede calcular mediante la ecuación:
( )
4.3.2 Lámina de infiltración acumulada
Integrando la ecuación (1) respecto al tiempo:
KtStdtKSttFt
2/1
0
2/1
2
1)(
KtSttF 2/1)( (2)
F(t) = Lámina de infiltración acumulada en el tiempo t S = Sortividad que representa la influencia de la capilaridad en el proceso de infiltración K = Conductividad hidráulica del suelo t = Tiempo de infiltración F( t )
t 4.3.3 Tiempo de encharcamiento (tp)
El encharcamiento ocurre bajo las siguientes condiciones: i = f(t) (3) F(t) = itp (4) Donde: i = Intensidad de precipitación
Igualando (1) y (3):
KSti 2/1
2
1 (5)
De la ecuación (5):
2
2
4 Ki
St
(6)
Reemplazando (6) en (2):
2
22/1
2
2
)(4)(4
1
Ki
KS
Ki
SS
it p (7)
2
2
)(2
)2/(
Kii
KiSt p
(8)
4.3.4 Tiempo de inicio de infiltración (to)
La infiltración no inicia inmediatamente después del inicio de la lluvia sino un tiempo to después que inicia la lluvia.
Sea Fp la lámina infiltrada en el tiempo (tp - to) y sustituyendo estos valores en (2):
)()( 2/1opopp ttKttSF (9)
Haciendo cambio de variable: x = (tp - to) reemplazando en (9) y
ordenando: 02 pFSxKx (10)
Resolviendo (10):
2
22
4
4(
K
SKFS
ttxp
op
2
22
4
4(
K
SKFS
ttp
po
(11)
pp itF (12)
Para calcular la lámina infiltrada después del tiempo to hacer t – to y
reemplazar en la ecuación (2)
4.4 Modelo de Green - Ampt
4.4.1 Velocidad de infiltración, f(t)
Z
Frente de mojado Agua
Suelo saturado
L
Área (A) Zo
Sea F(t) la profundidad de lámina infiltrada en el suelo, si el contenido inicial de humedad en volumen es θi y la porosidad del suelo es η. Además se sabe que contenido de humedad en el suelo en volumen se define como:
L
tF
AL
tAF
V
V
t
w )()( (1)
De la ecuación (1): LtF )( (2)
Adecuando la ecuación para condiciones del problema:
LLtF i )( (3)
)(tF
L (4)
Aplicando la ecuación de Darcy:
L
hhKAQ 12 (5)
Donde: h2 = Zo – Ψ = Carga en el frente de humedecimiento (6) h1 = Zo + L = Carga en la parte superior del frente de humedecimiento
(7) Ψ = Carga de succión en el frente de humedecimiento Sustituyendo (5) y (6) en (4):
L
LZZKAQ oo
L
LZZKq oo
L
LKq
(8)
Sustituyendo (4) en (8):
)(
)(
tF
tF
Kq
Simplificando la ecuación anterior:
)(
)(
tF
tFKq
(9)
Si f(t) = q (10)
Entonces
)(
)()(
tF
tFKtf
(11)
Tabla 4.2 Parámetros de infiltración de Green – Ampt
Clase de suelo Porosidad
η
Porosidad Efectiva
Θe
Cabeza de succión en el
frente de mojado, Ψ
(cm)
Conductividad Hidráulica
K
(cm/h)
Arena 0.437 0.417 4.95 11.78
Arena margosa 0.437 0.401 6.13 2.99
Marga arenosa 0.453 0.412 11.01 1.09
Marga 0.463 0.434 8.89 0.34
Marga limosa 0.501 0.486 16.68 0.65
Marga arenoarcillosa 0.398 0.330 21.85 0.15
Marga arcillosa 0.464 0.309 20.88 0.10
Marga limo - arcillosa 0.471 0.432 27.30 0.10
Arcillosa arenosa 0.430 0.321 23.90 0.06
Arcilla limosa 0.479 0.423 29.22 0.05
Arcilla 0.475 0.385 31.63 0.03
Fuente: Vente Chow. Hidrología. 1998
4.4.2 Lámina de infiltración acumulada, F(t)
)(
)()(
tF
tFK
dt
tdF (12)
Ordenando la ecuación (12):
KdttF
tdFtF
)(
)()(
(13)
Rescribiendo la ecuación (13) para facilitar la integración:
KdttdFtFtF
tF
)(
)()(
)(
(14)
Integrando la ecuación (14):
ttF
KdttdFtF 0
)(
0
)()(
1
(15)
KttF
tF
)(ln)(
)(1ln)(
tFKttF (16)
4.4.3 Ecuaciones complementarias para el modelo de Green - Ampt
e
ri
r
riSe
(17)
De la ecuación (17):
reei S (18)
er (19)
Sustituyendo (18) y (19) en la ecuación siguiente:
eSeSS eeereei )1()(
eSe )1( (20)
Donde:
Se = Saturación efectiva
θi = Contenido de humedad inicial del suelo en volumen
θr = Contenido de humedad residual del suelo en volumen
η = Porosidad del suelo
η - θr = Porosidad efectiva
4.4.4 Tiempo de encharcamiento (tp)
El encharcamiento ocurre bajo las siguientes condiciones: i = f(t) (21) F(t) = itp (22) Donde: i = Intensidad de precipitación
Igualando (21) y (11):
)(1
tFKi
(23)
Sustituyendo (22) en (23):
)1
pitKi
(24)
Despejando tp de la ecuación (24):
)( Kii
Ktp
(25)
4.4.5 Tiempo de inicio de infiltración (to)
La infiltración no inicia inmediatamente después del inicio de la lluvia sino un tiempo to después que inicia la lluvia.
Sea Fp la lámina infiltrada en el tiempo (tp - to) y sustituyendo estos valores en (16):
pop
FttKFp 1ln)( (26)
FpFp
Ktpto 1ln
1 (26)
Problemas adicionales
Problema Calcule la tasa de infiltración y la infiltración acumulada después de una hora de infiltración en un suelo que tenía una saturación efectiva de 30 %. Suponga que el agua se encuentra encharcada en la superficie con una profundidad pequeña pero despreciable. Además se sabe que la porosidad efectiva θe es igual a 0.486 y el potencial de succión en el frente de humedecimiento ψ es igual a 16.7 cm y la conductividad hidráulica K es 0.65 cm/h. Solución
a) Cálculo de la lámina acumulada, F(t):
eSe )1(
3402.0486.0)30.01(
)(1ln)(
tFKttF
)3402.0(65.0
)(1ln3402.07.16165.0)(
tFtF
68.5
)(1ln68.565.0)(
tFtF
Resolviendo por tanteos la ecuación anterior:
F(t) = 3.17 cm
b) Cálculo de la velocidad de infiltración, f(t):
)(
)()(
tF
tFKtf
17.3
17.368.565.0)(tf
81.1)( tf cm/h
1) Con los datos del problema anterior grafique F(t) y f(t) versus t, para las
primeras tres horas utilizando intervalos de 0.5 horas.
Solución
68.5
)(1ln68.565.0)(
tFttF
Empleando la ecuación anterior se hizo la tabulación:
T F(t)
0.0 0.00
0.5 0.16
1.0 0.33
1.5 0.49
2.0 0.67
2.5 0.84
3.0 1.02
Graficando los datos de la tabla anterior:
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
F(t
), c
m
Tiempo (h)
F(t) versus t
)(
)68.5165.0)(
tFtf
Empleando la ecuación anterior se hizo la tabulación:
t F(t) f(t)
0.1 0.03 123.72
0.6 0.16 23.73
1.1 0.33 11.84
1.6 0.49 8.18
2.1 0.67 6.16
2.6 0.84 5.05
3.1 1.02 4.27
Graficando los datos de la tabla anterior:
Problema Con los datos del problema 01, calcular el tiempo de encharcamiento. Considere la intensidad de la lluvia igual a 5 cm/h.
Solución
)( Kii
Ktp
17.0)65.05(5
68.5*65.0
tp horas
0.00
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
120.00
140.00
0.1 0.6 1.1 1.6 2.1 2.6 3.1
f(t)
, cm
/h
Tiempo (h)
f(t) versus t
Problema
Con los datos del problema 01 y 03, calcular el tiempo de inicio de la infiltración. Tasa de intensidad de la precipitación i = 5 cm/h
Solución
17.0tp horas
Fp = iTp = 0.85 cm
FpFp
Ktpto 1ln
1
081.067.5
85.01ln67.585.0
65.0
117.0
to horas
Problema
Con los datos que se indican calcular los modelos de Kostiakov y Philip.
t(horas) F(t), cm
0.00 0.00
1.07 0.54
1.53 0.75
2.30 1.00
3.04 1.20
3.89 1.40
4.85 1.60
7.06 2.00
Solución
Empleando el software SPSS se obtuvieron los siguientes de infiltración acumulada:
Modelo de Kostiakov:
647.0572.0)( ttF
997.02 R Donde:
F(t) = Infiltración acumulada, cm t = Tiempo de infiltración, horas
Modelo de Philip:
tttF 106.0485.0)( 5.0
997.02 R Donde:
F(t) = Infiltración acumulada, cm t = Tiempo de infiltración, horas Problema
Hallar los valores de a y b de la ecuación de Kostiakov, según el problema 01.
Solución
572.01
b
a
647.01b
Resolviendo las ecuaciones anteriores se tienen:
a = 0.370
b = -0.353
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Monsalve Saenz, Germán (1996). Hidrología en la Ingeniería. Editorial Escuela Colombiana de Ingeniería, Primera edición. Colombia.
Linsley Ray, et. al (1998). Hidrología para Ingenieros. Editorial McGraw Hill,
Primera edición. México. Reyes Rodríguez, Toribio Marcos (2004). Técnicas del Riego Superficial.
Programa Cordillera Negra: Convenio República del Perú y la Unión Europea. Huaraz.
Vente, Chow (1996). Hidrología Aplicada. Editorial McGraw – Hill, primera edición,
México.
V. ANALISIS DE LA EVAPOTRANSPIRACION POTENCIAL
Evapotranspiración potencial
Existen muchas ecuaciones para estimar la evapotranspiración potencial, sólo se indicará las usadas en el Perú. a) Ecuación de Christiansen
Donde:
ETP = Evapotranspiración potencial (mm/día)
Rt = Radiación extraterrestre (Tabla 5.1)
(
) (
)
T = Temperatura media diaria (°C)
(
) (
)
V = Velocidad media diaria del viento (Km/h) a 2 m de altura
(
) (
)
HR = Humedad relativa media diaria (decimal)
(
) (
)
S = Porcentaje de luz solar medio diario (decimal), tabla 5.2
(
)
Z = Altitud del lugar (msnm)
Tabla 5.1 Radiación extraterrestre, expresada en evaporación equivalente (mm/día)
Latitud Sur ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SET OCT NOV DIC
5 15.81 15.98 15.75 14.88 13.76 13.12 13.39 14.41 15.46 15.96 15.89 15.72
10 16.45 16.33 15.67 14.37 12.95 12.18 12.51 13.76 15.20 16.15 16.45 16.44
15 16.98 16.55 15.48 13.76 12.06 11.17 11.54 13.01 14.82 16.21 16.89 17.06
20 17.40 16.66 15.16 13.05 11.09 10.10 10.51 12.17 14.33 16.16 17.22 17.57
25 17.72 16.65 14.73 12.24 10.05 8.97 9.42 11.25 13.73 15.99 17.43 17.97
30 17.91 16.52 14.19 11.34 8.95 7.80 8.28 10.25 13.03 15.70 17.54 18.27
35 17.99 16.27 13.54 10.36 7.80 6.61 7.10 9.18 12.23 15.29 17.52 18.46
40 17.98 15.92 12.79 9.31 6.61 5.40 6.89 8.06 11.33 14.78 17.40 18.54
45 17.86 15.46 11.94 8.19 5.41 4.19 4.69 6.89 10.35 14.16 17.18 18.54
50 17.66 14.90 11.00 7.02 4.20 3.02 3.49 5.68 9.29 13.45 16.87 18.46
55 17.40 14.25 9.98 5.81 3.01 1.90 2.34 4.46 8.16 12.64 16.49 18.33
60 17.12 13.54 8.88 4.57 1.88 0.91 1.28 3.24 6.97 11.76 16.07 18.20
Fuente: FAO, Irrigation and Drainage, N° 24
Tabla 5.2 Porcentaje de horas de sol medio diario
Latitud Sur ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SET OCT NOV DIC
5 28 28 28 27 27 27 27 27 27 28 28 28
10 29 28 28 27 26 26 26 27 27 28 28 29
15 29 28 28 27 26 25 26 26 27 28 29 29
20 30 29 28 26 25 25 25 26 27 28 29 30
25 31 29 28 26 25 24 24 26 27 29 30 31
30 31 30 28 26 24 23 24 25 27 29 31 32
35 32 30 28 25 23 22 23 25 27 29 31 32
40 33 31 28 25 22 21 22 24 27 30 32 34
45 34 32 28 24 21 20 20 23 27 30 34 35
50 35 32 28 24 20 18 19 23 27 31 34 36
55 38 33 28 23 18 16 17 21 26 32 36 39
60 40 34 28 22 17 13 15 20 26 32 38 41
Fuente: Martínez Alfaro, Pedro. Fundamentos de Hidrogeología, 2006.
Problema
Calcular la evapotranspiración potencial correspondiente al mes de enero en un lugar ubicado a 10° S de latitud y altitud 3100 msnm. Temperatura media diaria 15 °C, velocidad del viento media diaria 7.2 km/h, humedad relativa media diaria 80%
Solución
Empleando los datos y las tablas correspondientes se tiene:
b) Ecuación de Hargreaves
Donde: ETP = Evapotranspiración mensual (mm/día)
Rt = Radiación extraterrestre (Tabla 01)
( ) ≤ 1
HR = Humedad relativa media diaria (decimal)
(
)
Z = Cota topográfica del lugar (msnm)
Problema
Calcular la evapotranspiración potencial correspondiente al mes de enero en un lugar ubicado a 10° S de latitud y altitud 3100 msnm. Temperatura media diaria 15 °C y humedad relativa media diaria 80% Solución:
Empleando los datos y las tablas correspondientes se tiene:
REFERENCIAS BIBLIOGRAFIAS
Martínez Alfaro, Pedro et. al. (2006). Fundamentos de Hidrogeología. Editorial Ediciones Mundi-Prensa,España.
Universidad Nacional de Cuyo (2005). Hidrología (PDF), Argentina. Vente, Chow (1996). Hidrología Aplicada. Editorial McGraw – Hill, primera edición,
México.
VI. ANALISIS DEL PROCESO DE PRECIPITACION - ESCORRENTIA
Cuando se produce una tormenta en una cuenca después de un breve tiempo se produce escorrentía. Para el análisis de esta escorrentía se desprecia la pérdida por evapotranspiración porque el tiempo de escorrentía es relativamente breve. 6.1 Deducción de la ecuación para la generación de la precipitación efectiva,
método del Soil Conservation Service – USA
Para la deducción de la ecuación se utilizará el siguiente gráfico auxiliar:
P
Pe
Ia Fa
t
Supuestos y evidencias empíricas: 1. La abstracción continuada (Fa) es proporcional a la retención potencial
máxima (S) como la precipitación en exceso (Pe) es proporcional precipitación total menos la abstracción inicial (P-Ia):
a
ea
IP
P
S
F
(1)
2. La siguiente ecuación de continuidad es válida:
P = Pe + Ia + Fa (2) 3. Empíricamente se ha verificado que:
Ia = 0.20S (3)
De las ecuaciones (1) y (2):
)(
)(
a
eea
IP
P
S
PIP
(4)
De la ecuación (4) se tiene:
)(
)( 2
SIP
IPP
a
ae
(5)
Sustituyendo (3) en (5):
)8.0(
)2.0( 2
SP
SPPe
(6)
Además, según la SCS para las condiciones normales de humedad antecedente normal se tiene:
254)(
25400
IICNS (7)
Donde: S = Retención potencial máxima (mm) CN (II) = Número de curva para la condición de humedad antecedente normal
(adimensional) Fórmulas para el número de curvas en condición seca (CN(I)) y húmeda (CN(III)):
)(058.010
)(2.4)(
IICN
IICNICN
(8)
)(13.010
)(23)(
IICN
IICNIIICN
(10)
6.2 Deducción de la ecuación para la abstracción continuada
De la ecuación (2): Pe = (P- Ia) - Fa (11) Sustituyendo (11) en la ecuación (1):
a
a
a
aaa
IP
F
IP
FIP
S
F
1
)( (12)
111
aa
IPSF
)
)(
SIP
IPSF
a
aa
(13)
Sustituyendo la ecuación (3) en (11):
SP
SPSFa
8.0
)20.0(
(14)
Problema
Calcular la precipitación en exceso para una cuenca que tiene CN(II) = 80. Además la precipitación registrada en la cuenca es:
Tiempo(h) Lluvia
acumulada
(cm)
0 0
1 0.51
2 2.29
3 3.22
4 5.87
5 11.81
6 13.44
7 13.61
Solución
Se calcula la retención potencial máxima:
254)(
25400
IICNS
5.6325480
25400S mm
Empleando las fórmulas correspondientes se tiene:
Tiempo(h) Lluvia acumulada Abstracción Pe Prec. Exc.
Incremental
(cm) Ia, cm Fa,cm cm cm
0 0 0 0.00 0.00
1 0.51 0.51 0.00 0.00 0.00
2 2.29 1.27 0.88 0.14 0.14
3 3.22 1.27 1.49 0.46 0.32
4 5.87 1.27 2.67 1.93 1.47
5 11.81 1.27 3.96 6.58 4.64
6 13.44 1.27 4.17 8.00 1.42
7 13.61 1.27 4.19 8.15 0.15
Problema
Calcular la precipitación en exceso para una cuenca constituida por suelos de marga arenosa. Si ψ = 11.01 cm, K = 1.09 cm/h, saturación efectiva (Se = 0.40) y porosidad efectiva θe = 0.412.
La información de la precipitación se indica en el cuadro:
Tiempo Precipitación
Min cm
0.00 0.00
10.00 0.18
20.00 0.39
30.00 0.65
40.00 0.97
50.00 1.34
60.00 1.77
70.00 2.41
80.00 3.55
90.00 6.73
100.00 8.38
110.00 9.19
120.00 9.71
130.00 10.13
140.00 10.49
150.00 10.77
160.00 11.01
170.00 11.20
180.00 11.37
0
1
2
3
4
5
6
7
1 2 3 4 5 6 7
Lám
ina d
e A
gua, cm
Horas
Precipitación versus Precipitación Efectiva
Precipitación total
Precipitación efectiva
Solución
eSe )1( = (1- 0.40)0.412 = 0.247
Ψ∆θ = 11.01*0.247 = 2.72 cm
)(
)(72.209.1)(
tF
tFtf
Para calcular la infiltración acumulada antes del encharcamiento se usa la siguiente ecuación:
titFttF )()(
Hasta que F (t+∆t) = P Para calcular la infiltración acumulada después del encharcamiento, se combinan las siguientes ecuaciones:
)(1ln)(
tFKttF (1)
)(1ln)()(
ttFttKttF (2)
De las ecuaciones (1) y (2):
tKtF
ttFtFttF
)(
)(ln)()( (3)
Empleando las ecuaciones indicadas se tiene el siguiente cuadro:
Tiempo Precipitación Intensidad Infiltración Tasa Exceso Prec. Exc.
min Cm cm/h Acumulada
Cm infiltración
cm/h precipitación, cm Incremental
cm
0.00 0.00 1.08 0.00 0.00
10.00 0.18 1.26 0.18 17.56 0.00
20.00 0.39 1.56 0.39 8.69 0.00
30.00 0.65 1.92 0.65 5.65 0.00
40.00 0.97 2.22 0.97 4.15 0.00
50.00 1.34 2.58 1.34 3.30 0.00
60.00 1.77 3.84 1.77 2.77 0.00
70.00 2.41 6.84 2.21 2.43 0.20 0.20
80.00 3.55 19.08 2.59 2.23 0.96 0.76
90.00 6.73 9.90 2.95 2.10 3.78 2.82
100.00 8.38 4.86 3.29 1.99 5.09 1.31
110.00 9.19 3.12 3.61 1.91 5.58 0.49
120.00 9.71 2.52 3.92 1.85 5.79 0.21
130.00 10.13 2.16 4.22 1.79 5.91 0.12
140.00 10.49 1.68 4.51 1.75 5.98 0.07
150.00 10.77 1.44 4.80 1.71 5.97
160.00 11.01 1.14 5.08 1.67 5.93
170.00 11.20 1.02 5.36 1.64 5.84
180.00 11.37 5.63 1.62 5.74
En el cuadro en la parte sombreada se indica el proceso durante el encharcamiento.
6.3 Hidrograma Unitario del SCS
Tr
qp
D Exceso de lluvia
t
Tp 1.67 Tp
Tb = 2.67 Tp
Ecuaciones:
Tp
Aq p
08.2
Donde:
qp = Caudal pico (m3/s.cm) A = Área de la cuenca (Km2)
crp TD
TD
T 6.022
5.0
7.08.0
1900
91000
7.287
S
CNL
Tc
Tp = Tiempo de ocurrencia del pico (Horas) D = Duración de la tormenta (Horas) Tc = Tiempo de concentración (Horas) L = Longitud del río principal de la cuenca (m) S = Pendiente de la cuenca (%) 6.4 Generación de escorrentías con HEC – HMS
Problema
En día 10 de Enero del 2006 ocurrió una tormenta en una cuenca de 31.5 Km2, tiempo de concentración igual a 1.2 horas, CN (II) = 80. Determine la escorrentía generada con HEC – HMS
Tormenta
Tiempo Precipitación
(Horas) (mm)
0 0
1 5.08
2 22.86
3 32.26
4 58.67
5 118.11
6 134.37
7 136.14
Solución
Se resolverá por el método de la SCS:
5.6325480
25400254
)(
25400
IICNS mm
Ia = 0.2S = 12. 5 mm (Abstracción inicial) TL = 0.6Tc = 0.72 horas
No se considera el aporte de agua subterránea ni porcentaje de área impermeable. Después de introducir los datos pertinentes y correr el programa HEC-HMS 2.2.2 se tiene:
Este método es más recomendable por su facilidad de generación de los datos de entrada.
Problema
En día 10 de Enero del 2006 ocurrió una tormenta en una cuenca de 31.5 Km2, tiempo de concentración igual a 1.2 horas. Si la conductividad hidráulica K = 10.9 mm/h, ψ=110.1mm, humedad inicial en volumen θi = 0.20 y la porosidad η=0.437. Determine la escorrentía generada con HEC – HMS Registro de la Tormenta
Tiempo Precipitación
(Horas) (mm)
0 0
1 5.08
2 22.86
3 32.26
4 58.67
5 118.11
6 134.37
7 136.14
Solución
Se resolverá por el método de la SCS:
5.6325480
25400254
)(
25400
IICNS mm
Ia = 0.2S = 12. 5 mm (Abstracción inicial)
TL= 0.6Tc = 0.72 horas
No se considera el aporte de agua subterránea ni porcentaje de área impermeable. Después de introducir los datos pertinentes y correr el programa HEC-HMS 2.2.2 se tiene:
Problema
En día 10 de Enero del 2006 ocurrió una tormenta en una cuenca de 31.5 Km2, tiempo de concentración igual a 1.2 horas, CN (II) = 50. Determine la escorrentía generada con HEC – HMS Registro de la Tormenta
Tiempo Precipitación
(Horas) (mm)
0 0
1 5.08
2 22.86
3 32.26
4 58.67
5 118.11
6 134.37
7 136.14
Solución Se resolverá por el método de la SCS:
25425450
25400254
)(
25400
IICNS mm
Ia = 0.2S = 50.8 mm (Abstracción inicial) TL= 0.6Tc = 0.72 horas Después de introducir los datos pertinentes y correr el programa HEC-HMS 2.2.2 se tiene:
Problema
En día 18 de Marzo del 2006 ocurrió una tormenta en una cuenca de 44.3 Km2, tiempo de concentración igual a 2.2 horas, CN (II) = 61. En la cuenca se tiene un pluviógrafo y un pluviómetro totalizador. El registro de pluviógrafo se indica en el cuadro siguiente, el pluviómetro registró en 24 horas 125 mm. Determine la escorrentía generada con HEC – HMS. Registro del Pluviógrafo
Hora Precipitación Hora Precipitación Hora Precipitación Hora Precipitación Hora Precipitación
Mm Mm mm mm mm
1 0 6 2.1 11 4.5 16 6.2 21 13
2 0.5 7 4.5 12 4.7 17 1.7 22 5.3
3 2.1 8 6.3 13 11.5 18 0 23 1.6
4 2.3 9 1.2 14 25.2 19 0 24
5 2.1 10 3.1 15 39.8 20 6.8
Solución
Se resolverá por el método de la SCS:
39.16225461
25400254
)(
25400
IICNS mm
Ia = 0.2S = 32.48 mm (Abstracción inicial)
TL= 0.6Tc = 1.32 horas
Después de introducir los datos pertinentes y correr el programa HEC-HMS 2.2.2 se tiene: La cantidad de lluvia registrada por el pluviómetro es 125 mm y 127.8 mm No se considera el flujo base ni suelos impermeables.
Problema
En día 18 de Marzo del 2006 ocurrió una tormenta en una cuenca de 25.9 Km2, tiempo de retardo igual a 2 horas. Asuma una pérdida inicial por infiltración de 50.8 mm y una pérdida por infiltración continuada de 12.7 mm/h. En la cuenca se tiene un pluviográfo, cuyo hietograma se indica, además se tienen 4 pluviómetros.
Instrumento % de área de influencia
Precipitación Total (mm)
Pluviógrafo 0.27 254
Pluviómetro 1 0.10 22.86
Pluviómetro 2 0.25 45.72
Pluviómetro 3 0.23 86.36
Pluviómetro 4 0.15 71.12
Solución
Corriendo los datos con el HEC –HMS 2.2.2 se tiene:
Problema
En día 19 de Marzo del 2006 ocurrió una tormenta en una cuenca de 25.9 Km2, tiempo de retardo igual a 2 horas. Asuma una pérdida inicial por infiltración de 25.4 mm. En la cuenca se tiene un pluviográfo, cuyo hietograma se indica, además se tienen 4 pluviómetros.
Instrumento % de área de influencia
Precipitación Total (mm)
Pluviógrafo 0.27 254
Pluviómetro 1 0.10 22.86
Pluviómetro 2 0.25 45.72
Pluviómetro 3 0.23 86.36
Pluviómetro 4 0.15 71.12
Registro del Pluviógrafo
El déficit de humedad del suelo en la cuenca es 0.20, la conductividad hidráulica del suelo es igual a 3 mm/h y el frente de succión de humedad igual a 316.3 mm. Determine el hidrograma de salida de la cuenca correspondiente. Solución Procesando los datos con el HEC – HMS 2.2.2 se tiene:
Problema
En día 19 de Marzo del 2006 ocurrió una tormenta en una cuenca de 25.9 Km2, tiempo de retardo igual a 2 horas y el número de curva CN (II) igual a 84. En la cuenca se tiene un pluviográfo, cuyo hietograma se indica, además se tienen 4 pluviómetros.
Instrumento % de área de influencia
Precipitación Total (mm)
Pluviógrafo 0.27 254
Pluviómetro 1 0.10 22.86
Pluviómetro 2 0.25 45.72
Pluviómetro 3 0.23 86.36
Pluviómetro 4 0.15 71.12
Además el porcentaje de área impermeable en la cuenca es 5 %
Registro del Pluviógrafo
Solución
Se calcula la pérdida inicial mediante el método de la SCS:
38.4825484
25400254
)(
25400
IICNS mm
Ia = 0.2S = 9.68 mm (abstracción inicial)
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Dal - Ré Tenreiro, Rafael (2003). Pequeños Embalses de Uso Agrícola. Ediciones Mundi – Prensa, España.
Reyes Rodríguez, Toribio (2004). Técnicas del Riego Superficial. Programa
Cordillera Negra – Convenio República del Perú y La Unión Europea. Huaraz. Ven Te, Chow (1996). Hidrología Aplicada. Editorial McGraw – Hill, primera
edición, México.
VII. ANALISIS DE TORMENTAS
El análisis de tormentas es muy importante para el diseño de alcantarillas pluviales, cunetas, en conservación de suelos, tránsito de avenidas, etc. Sin embargo, la disponibilidad de la información es muy escasa, es decir se tienen pocos pluviográfos que permitan registrar las alturas de lluvia en función del tiempo. Si se dispone de información el análisis es relativamente fácil. 7.1 Modelos de curvas Intensidad – duración – frecuencia (IDF)
(Vélez, 2005) hace referencia a la ecuación de Kothyari (2000):
( )
( )
Donde: I = intensidad de la tormenta T = período de retorno D = duración de la tormenta P24 = precipitación máxima anual de 24 horas N = números de días con precipitaciones por año PMA = precipitación media anual Z = altitud a,b,c,d,e,f,g = parámetros (Minhn Nhat, 2006) indica la ecuación de Bernard (1931) y la ecuación de Sherman - Horner respectivamente:
( )
También indica la ecuación de la Organización Meteorológica Mundial (1994):
( ( ))
( )
(Pereyra – Díaz, 2004) cita la ecuación de Demetris Koutsoyiannis (1998), tal como se indica en la ecuación:
( ( (
)))
( )
Donde: I = intensidad de la tormenta T = período de retorno
D = duración de la tormenta (Reyes, 2011), encontró para la estación de Yanacancha (Mina Antamina):
( ( (
)))
( )
R2 = 0.999
Donde:
I D, T = Intensidad de la tormenta de duración D y período de retorno T D = Duración de la tormenta (min) T = Período de retorno de la tormenta (años) R2 = Coeficiente de determinación (Ollier – Poirce, 1986), señalan las siguientes leyes referentes a las tormentas: Primera ley En una estación determinada, una lluvia de duración dada tiene una frecuencia de aparición tanto más débil cuanto más fuerte es la intensidad. Segunda ley Una lluvia de frecuencia de aparición dada, tiene una intensidad tanto más fuerte cuando su duración es más corta. 7.2 Relación entre las precipitaciones y sus duraciones
( )
Tabla 7.1 Valores de n y tipo de precipitación
Valores de n Precipitación
0.0 ≤ n < 0.4 Advectiva
0.4 ≤ n < 0.6 Efectiva
0.6 ≤ n < 1.0 Convectiva
Fuente: Moncho, 2006
(Borga, 2005), indica que entre las precipitaciones máximas anuales y sus duraciones presentan escalamiento simple si:
( ) ( ) Donde: P = Precipitación máxima anual (mm) D = Duración de la precipitación máxima anual (min) λ = Factor de escala
n = Parámetro cuyos valores varían de 0.3 a 0.5 (Reyes, 2006), para la cuenca del Río Jequetepeque y Cuencas Vecinas encontró las siguientes ecuaciones:
1) P(24,T) = 1.592Z
0.4119(0.525 + 0.680Log(T))
2) P(24,T) = 5.3906(Z-80)0.27
(0.525 + 0.680Log(T))
3) P(24,T) = 2.571Z0.325
T0.189
Donde:
P (24, T) = Precipitación máxima anual de 24 horas de duración y con período de retorno T
Z = Cota topográfica del lugar (m.s.n.m)
7.3 Hietograma triangular
Si se conoce la altura de la precipitación P(D,T) = P para una determinada duración y período de retorno, se puede calcular el histograma triangular:
i Ta Tb
Imáx
D Duración
De la figura:
DIP máx2
1 (3)
D
PImáx
2 (4)
Coeficiente de avance la tormenta ( r ):
D
Tr a (5)
De la ecuación (5):
rDTa (6)
DrTb )1( (7)
En USA el valor de r promedio es 0.338
7.4 Hietograma por el método de bloques alternos
Consiste en generar un hietograma a partir de una curva IDF o de una ecuación tipo Wenzel o Bernard.
Intensidad
i1
i2
i n T
∆t 2∆t (n-1)∆t n∆t Duración
Tabulación de Datos para Hietograma
Tiempo Intensidad Precipitación acumulada
Profundidad incremental
Hietograma
∆t I1 I1∆t I1∆t
2∆t I2 I2∆t I2∆t – I1∆t
(n-1)∆t I n-1 I n-1∆t
n∆t In In∆t In∆t – In-1∆t
Para obtener el hietograma se ordenan las profundidades incrementales, de tal manera que el mayor valor quede al centro y el resto de los valores se distribuyen simétricamente a cada lado de este valor en forma descendente.
7.5 Variabilidad de las tormentas desde el centro de su origen
Con los datos del US Army Corps of Engineers, tomado de (Linsley, 1994), se llegó a determinar que la profundidad de la precipitación disminuye a medida que se incrementa el radio de acción de la formante medida desde su centro de origen y para un mismo radio de acción a mayor duración de la tormenta le corresponde mayor profundidad de lluvia.
Profundidad de lluvia – Duración y Area (USA)
Área Duración (horas)
(Km2) 6h 12h 18h 24h 36h 48h 72h
26 627 757 922 983 1062 1095 1148
259 498 668 826 894 963 988 1031
518 455 650 798 869 932 958 996
1295 391 625 754 831 889 914 947
2590 340 574 696 767 836 856 886
5180 284 450 572 630 693 721 754
12950 206 282 358 394 475 526 620
25900 145 201 257 307 384 442 541
51800 102 152 201 244 295 351 447
129500 64 107 135 160 201 226 292
259000 43 64 89 109 142 168 226
Fuente: (Linsley, 1994)
Al representar los valores anteriores se obtuvo el siguiente gráfico:
La ecuación correspondiente para los datos indicados es:
245.0
421.016.887
A
DP
Donde: P = Profundidad de lluvia, mm D = Duración de la tormenta, horas A = Área de influencia del centro de la tormenta, Km2
Grafico: PAD
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
26
259
518
1295
2590
5180
12950
25900
51800
1E+05
3E+05
Area (Km2)
Pro
fundid
ad d
e ll
uvia
(m
m)
D = 6h
D = 12 h
D = 18 h
D = 24 h
D = 36 h
D = 48 h
D = 72 h
PROBLEMAS
Problema
Para la estación pluviográfica Melozal de la VII Región de Chile, se tiene el siguiente registro:
Año DURACION (HORAS)
1 2 4 6 8 12 24
1982 9.20 18.40 28.90 36.90 37.70 56.20 75.70
1983 12.70 21.00 31.00 41.80 51.60 66.40 87.40
1984 8.80 10.60 18.30 26.20 30.80 32.80 32.80
1985 8.00 9.30 16.80 20.60 18.00 24.00 35.00
1986 9.30 14.80 25.90 30.60 33.60 42.70 69.10
1987 9.50 16.00 26.60 34.20 39.40 48.10 70.60
1988 7.70 13.80 26.30 37.40 42.30 43.50 45.20
1989 8.20 14.00 20.80 27.10 32.50 30.00 50.40
1990 5.90 7.50 13.70 14.80 17.90 23.80 38.40
1991 13.10 19.00 27.60 35.90 37.70 43.70 56.70
1992 23.00 37.90 57.20 65.80 85.20 111.80 133.70
1993 9.60 9.60 10.60 13.20 15.20 10.90 19.30
1994 7.40 10.70 13.80 16.20 20.90 18.90 30.00
1995 7.60 9.80 18.60 15.70 19.60 19.60 19.60
1996 10.10 10.10 12.70 13.10 13.10 13.10 14.90
1997 14.60 26.40 29.50 44.10 43.80 46.10 52.30
1998 8.40 11.80 18.40 22.60 21.70 29.30 47.60
Fuente: PIZARRO TAPIA, Roberto (2001).
Halle modelos estadísticos que relacionen las precipitaciones de diferentes duraciones en función de las precipitaciones de 24 horas de duración .
Solución
Con el software SPSS 12.0 se hizo las regresiones con los datos de la tabla, obteniéndose las siguientes fórmulas:
2
24241 00139.0091.00132.10 PPP ; R = 0.86
2
24242 00116.00632.0007.8 PPP ; R = 0.88
2
24244 00148.0139.096.10 PPP ; R = 0.95
246 427.013.7 PP ; R = 0.90
971.02412 828.0 PP ; R = 0.95
Problema Determine las curvas IDF para el registro de tormentas que se indica:
Lluvias máximas anuales (mm) (Estación Melozal – Chile)
AÑO DURACION (HORAS)
1 2 4 6 8 12 24
1982 9.20 18.40 28.90 36.90 37.70 56.20 75.70
1983 12.70 21.00 31.00 41.80 51.60 66.40 87.40
1984 8.80 10.60 18.30 26.20 30.80 32.80 32.80
1985 8.00 9.30 16.80 20.60 18.00 24.00 35.00
|1986 9.30 14.80 25.90 30.60 33.60 42.70 69.10
1987 9.50 16.00 26.60 34.20 39.40 48.10 70.60
1988 7.70 13.80 26.30 37.40 42.30 43.50 45.20
1989 8.20 14.00 20.80 27.10 32.50 30.00 50.40
1990 5.90 7.50 13.70 14.80 17.90 23.80 38.40
1991 13.10 19.00 27.60 35.90 37.70 43.70 56.70
1992 23.00 37.90 57.20 65.80 85.20 111.80 133.70
1993 9.60 9.60 10.60 13.20 15.20 10.90 19.30
1994 7.40 10.70 13.80 16.20 20.90 18.90 30.00
1995 7.60 9.80 18.60 15.70 19.60 19.60 19.60
1996 10.10 10.10 12.70 13.10 13.10 13.10 14.90
1997 14.60 26.40 29.50 44.10 43.80 46.10 52.30
1998 8.40 11.80 18.40 22.60 21.70 29.30 47.60
Fuente: PIZARRO TAPIA, Roberto (2001).
Asuma que los datos se ajustan a la distribución Gumbel y considere períodos de
retorno iguales a 5, 10, 20, 25 y 50 años.
Solución Consideraciones para solucionar el problema: Intensidad = Precipitación/Duración Fórmulas para la distribución Gumbel:
5772.0
X
xS7797.0
TXT
11lnln
Después de hacer las tabulaciones correspondientes se tienen los siguientes cuadros:
Intensidades versus Duración (mm/h)
Año DURACION (HORAS)
1 2 4 6 8 12 24
1982 9.20 9.20 7.23 6.15 4.71 4.68 3.15
1983 12.70 10.50 7.75 6.97 6.45 5.53 3.64
1984 8.80 5.30 4.58 4.37 3.85 2.73 1.37
1985 8.00 4.65 4.20 3.43 2.25 2.00 1.46
1986 9.30 7.40 6.48 5.10 4.20 3.56 2.88
1987 9.50 8.00 6.65 5.70 4.93 4.01 2.94
1988 7.70 6.90 6.58 6.23 5.29 3.63 1.88
1989 8.20 7.00 5.20 4.52 4.06 2.50 2.10
1990 5.90 3.75 3.43 2.47 2.24 1.98 1.60
1991 13.10 9.50 6.90 5.98 4.71 3.64 2.36
1992 23.00 18.95 14.30 10.97 10.65 9.32 5.57
1993 9.60 4.80 2.65 2.20 1.90 .91 .80
1994 7.40 5.35 3.45 2.70 2.61 1.58 1.25
1995 7.60 4.90 4.65 2.62 2.45 1.63 .82
1996 10.10 5.05 3.18 2.18 1.64 1.09 .62
1997 14.60 13.20 7.38 7.35 5.48 3.84 2.18
1998 8.40 5.90 4.60 3.77 2.71 2.44 1.98
Media 9.67 7.35 5.73 4.93 4.34 3.73 3.37
STD 3.98 3.83 2.72 2.33 2.21 2.02 1.23
Parámetros μ y α de Gumbel
Duración μ α
1 7.8788 3.103
2 5.6263 2.986
4 4.5059 2.121
6 3.8814 1.817
8 3.3454 1.723
12 2.8209 1.575
24 2.8164 0.959
Intensidades (mm/h) – Período de Retorno (años) – Duración (horas)
Duración Período de Retorno (Años)
(Horas) 5 10 20 25 50
1 12.53 14.86 17.10 17.80 19.99
2 10.11 12.35 14.50 15.18 17.28
4 7.69 9.28 10.81 11.29 12.78
6 6.61 7.97 9.28 9.69 10.97
8 5.93 7.22 8.46 8.86 10.07
12 5.18 6.37 7.50 7.86 8.97
24 4.25 4.97 5.66 5.88 6.56
Curvas IDF
Problema Calcule un modelo para la estación de Melozal – Chile.
Solución Procesando los datos del cuadro anterior al gráfico con el software SPSS se obtuvo:
388.0
219.0498.45
D
Ti ; R = 0.985
Donde: i (mm/h), T (años) y D (minutos)
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
1 2 4 6 8 12 24
Inte
nsid
ad (
mm
/h)
Duración (Horas)
Curva IDF - Estación Melozal
T = 5 Años
T = 10 Años
T= 20 Años
T= 50 Años
T = 25 Años
Problema Hallar el hietograma para la estación de Melozal para un período de retorno de 25 años y 120 minutos de duración, utilice el método de los bloques alternos Solución
Haciendo el cuadro para el hietograma por el método de bloques alternos
Duración Intensidad Profundidad Profundidad Tiempo Precipitación
(minutos) (mm/h) acumulada
(mm) incremental
(mm) (minutos) mm
10 37.68 5.46 5.46 0 - 10 1.30
20 28.80 8.35 2.89 10 - 20 1.40
30 24.60 10.70 2.35 20 - 30 1.62
40 22.01 12.76 2.06 30 - 40 1.87
50 20.18 14.62 1.87 40 - 50 2.35
60 18.80 16.35 1.73 50 - 60 2.89
70 17.71 17.97 1.62 60 - 70 5.46
80 16.82 19.50 1.53 70 - 80 2.06
90 16.07 20.96 1.46 80 - 90 1.73
100 15.42 22.35 1.40 90 - 100 1.53
110 14.86 23.69 1.34 100 - 110 1.46
120 14.37 24.99 1.30 110 -120 1.34
0
1
2
3
4
5
6
0 -
10
10 -
20
20 -
30
30 -
40
40 -
50
50 -
60
60 -
70
70 -
80
80 -
90
90 -
100
100 -
110
110 -
120
Pre
cip
itació
n (
mm
)
Tiempo (Minutos)
Hietograma (120,25)
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Borgo, Marco (2005). Regional Rainfall Depth – Duration – Frequency Equations for an Alpine Region. Italia. PDF. 29/12/2010.
Dal-Ré Tenreiro, Rafael (2003). Pequeños Embalses de Uso Agrícola. Ediciones
Mundi – Prensa, España. Moncho, Robert (2006). Estudio Climático del Exponente n de las Curvas IDF:
Aplicación para la Península Ibérica. España: Departamento de Física y Termodinámica, Universidad de Valencias. PDF. 29/12/2010.
Linsley Ray, et. al (1994). Hidrología para Ingenieros. Editorial McGraw – Hill,
segunda edición, México. Pizarro Tapia, Roberto (2001). Análisis Comparativo de las Curvas IDF en Seis
Estaciones Pluviográficas de la VII Región de Maule. Documento en PDF Chile.
Reyes Rodríguez, Toribio Marcos (2011). Modelos de las Curvas de Intensidad –
Duración y Frecuencia en la Estación Meteorológica de Yanacancha (San Marcos – Huari – Ancash). Oficina de Investigación y Cooperación Técnica de la Universidad Nacional Santiago Antúnez de Mayolo, Huaraz.
Ven Te, Chow (1996). Hidrología Aplicada. Editorial McGraw – Hill, primera
edición, México.
VIII. ANALISIS DE HIDROGRAMAS PRODUCIDOS POR TORMENTAS
8.1 Hidrograma unitario (HU)
Es un hidrograma producido por una tormenta de una duración dada sobre una cuenca, con las siguientes características relevantes: a) La lámina de agua equivalente al volumen escurrido (flujo directo) es igual a
1 cm en el sistema métrico. b) El tiempo de duración del HU se conoce como tiempo base. Tormentas de
igual duración sobre una misma cuenca generan hidrogramas de igual tiempo base.
c) La convolución del HU y la precipitación efectiva produce la escorrentía directa del hidrograma de una tormenta.
8.2 Hidrogramas unitario para diferentes duraciones
Si se suma un HU generada por una tormenta de duración de t horas con otro HU pero retrasado t horas, el hidrograma resultante tiene una lámina escurrida equivalente de 2 cm producida por una tormenta de 2t horas de duración
8.3 Propiedades importantes de los hidrogramas
a) Tormentas de igual duración sobre una cuenca producen hidrogramas de flujo directo de igual tiempo base, indistintamente de las láminas de agua generadas por estas tormentas
b) Tormentas de igual duración sobre una cuenca producen hidrogramas de flujo directo de igual tiempo base, las ordenadas de estos hidrogramas son directamente proporcionales a las láminas de agua generadas por estas tormentas. (Principio de afinidad)
c) Tormentas sucesivas de igual duración pero con diferentes láminas de agua sobre una cuenca producen un hidrograma de flujo directo que se obtienen sumando las ordenadas de los hidrogramas generados por las tormentas individuales pero desfasadas igual al tiempo de duración de estas tormentas. (Principio de superposición)
PROBLEMAS
Problema
A continuación se registran los caudales producidos por una tormenta de 3 horas de duración en un río que drena un área de 315.84 Km2. Obtenga el hidrograma unitario.
Día Hora Caudal total Caudal base
(m3/s) (m
3/s)
1 6 16.80 16.8
9 168.00 16.8
12 266.00 16.8
15 224.00 16.8
18 196.00 16.8
21 170.80 16.8
24 148.40 16.8
2 3 128.80 16.8
6 112.00 16.8
9 98.00 16.8
12 86.80 16.8
15 75.60 16.8
18 67.20 16.8
21 58.80 16.8
24 53.20 16.8
3 3 47.60 16.8
6 42.00 16.8
9 36.40 16.8
12 30.80 16.8
15 25.20 16.8
18 22.40 16.8
21 19.60 16.8
24 16.80 16.8
Solución
Haciendo las tabulaciones correspondientes se tiene el siguiente cuadro:
Día Hora Caudal total Cauda base Caudal directo HU (1,3)
(m3/s) (m
3/s) (m
3/s) (m
3/cm*s)
1 6 16.80 16.8 0.00 0.00
9 168.00 16.8 151.20 25.63
12 266.00 16.8 249.20 42.24
15 224.00 16.8 207.20 35.12
18 196.00 16.8 179.20 30.37
21 170.80 16.8 154.00 26.10
24 148.40 16.8 131.60 22.31
2 3 128.80 16.8 112.00 18.98
6 112.00 16.8 95.20 16.14
9 98.00 16.8 81.20 13.76
12 86.80 16.8 70.00 11.86
15 75.60 16.8 58.80 9.97
18 67.20 16.8 50.40 8.54
21 58.80 16.8 42.00 7.12
24 53.20 16.8 36.40 6.17
3 3 47.60 16.8 30.80 5.22
6 42.00 16.8 25.20 4.27
9 36.40 16.8 19.60 3.32
12 30.80 16.8 14.00 2.37
15 25.20 16.8 8.40 1.42
18 22.40 16.8 5.60 0.95
21 19.60 16.8 2.80 0.47
24 16.80 16.8 0.00 0.00
Suma 1724.80 292.34
Lámina Directa 5.90 cm 1.00 cm
Graficando los hidrogramas de flujo directo y el hidrograma unitario producidos por una tormenta de 3 horas de duración
Problema
Calcular el hidrograma producido por una tormenta de 10 cm de altura y tres horas de duración. Utilice el hidrograma del problema 1.
0
50
100
150
200
250
300
6
12
18
24 6
12
18
24 6
12
18
24
Caudal (m
3/s
)
Tiempo (horas)
Hidrograma de Flujo Directo
05
1015202530354045
6
15
24 9
18 3
12
21
Caudal (m
3/s
*cm
)
Tiempo (horas)
Hidrograma Unitario (1,3)
Solución
Aplicando el principio de linearidad: a cada ordenada del HU (1,3), se multiplica por 10 cm, obteniéndose:
Problema Dado el hidrograma unitario producida por una tormenta de 6 horas de duración y si la tormenta se produjo sobre una cuenca de 393 Km2 . Genere el hidrograma unitario producida por una tormenta de 12 horas de duración sobre la misma cuenca.
Tiempo HU (1,6)
(Horas) (m3/s*cm)
0 0.00
6 1.80
12 30.90
18 85.60
24 41.80
30 14.60
36 5.50
42 1.80
0.00
50.00
100.00
150.00
200.00
250.00
300.00
350.00
400.00
450.00
6
12
18
24 6
12
18
24 6
12
18
24
Caudal (m
3/s
*cm
)
Tiempo (horas)
Hidrograma (10,3)
Solución Aplicando el principio de superposición se tiene:
Tiempo HU (1,6) H (2,12) H (1,12)
(Horas) (m3/s*cm) (m
3/s) (m
3/s)
0 0.00 0.00 0.00
6 1.80 0.00 1.80 0.90
12 30.90 1.80 32.70 16.35
18 85.60 30.90 116.50 58.25
24 41.80 85.60 127.40 63.70
30 14.60 41.80 56.40 28.20
36 5.50 14.60 20.10 10.05
42 1.80 5.50 7.30 3.65
48 1.80 1.80 0.90
Suma 182.00 364.00 182.00
Lámina, cm 1.00 2.00 1.00
A continuación se representa los diagramas de HU (1,6) y HU (1,12):
Problema
Dado el hidrograma unitario producida por una tormenta de 6 horas de duración. Calcule el hidrograma producida por una tormenta que en las 6 primeras horas produjo un exceso de lluvia de 5 cm y en las siguientes 6 horas 15 cm de exceso de lluvia.
0.0010.0020.0030.0040.0050.0060.0070.0080.0090.00
0.0
0
12.0
0
24.0
0
36.0
0
48.0
0Cau
da
l (m
3/s
*cm
)
Tiempo (Horas)
HU (1,6) y HU (1,12)
HU(1,6)
HU(1,12)
Tiempo HU (1,6)
(Horas) (m3/s*cm)
0 0.00
6 1.80
12 30.90
18 85.60
24 41.80
30 14.60
36 5.50
42 1.80
Solución Realizando las tabulaciones correspondientes se tiene:
Tiempo HU (1,6) H (5,6) H (15,6) H (20,12)
(Horas) (m3/s*cm) (m
3/s) (m
3/s) (m
3/s)
0 0.00 0.00 0.00
6 1.80 9.00 0.00 9.00
12 30.90 154.50 27.00 181.50
18 85.60 428.00 463.50 891.50
24 41.80 209.00 1284.00 1493.00
30 14.60 73.00 627.00 700.00
36 5.50 27.50 219.00 246.50
42 1.80 9.00 82.50 91.50
48 27.00 27.00
Suma 182.00 2730.00 3640.00
Lámina, cm 1.00 15.00 20.01
Problema
Determine el hidrograma unitario para la siguiente información de una cuenca con un área de 216 Km2, suponiendo una tasa de abstracción de lluvia constante y un flujo base constante de 20 m3/s.
oras Lluvia Q Qb
cm (m3/s) (m3/s)
1 1.5 26 20
2 3.5 71 20
3 2.5 174 20
4 1.5 226 20
5 173 20
6 99 20
7 49 20
8 33 20
9 26 20
10 22 20
11 21 20
Solución
Para calcular el hidrograma unitario correspondiente se calculará el flujo directo:
Horas Lluvia efectiva Q Qb Qd
cm (m3/s) (m3/s) (m3/s)
1 1.5 26 20 6
2 3.5 71 20 51
3 2.5 174 20 154
4 1.5 226 20 206
5 173 20 153
6 99 20 70
7 49 20 29
8 33 20 13
9 26 20 6
10 22 20 2
11 21 20 1
El hidrograma unitario se calculará empleando la siguiente fórmula:
nnnn UPUPUPQ 1211 ...
Q1 = P1U1
6 = 1.5U1, U1 = 4 m3/s*cm
Q2 = P2U1+ P1U2
51 = 3.5*4+ 1.5U2, U2 = 24.67 m3/s*cm
Q3 = P3U1+ P2U2 + P1U3
154 = 2.5*4+ 3.5*24.67 + 1.5U3, U3 = 38.43 m3/s*cm
Q4 = P4U1+ P3U2 + P2U3 + P1U4
206 = 1.5*4+ 2.5*24.67 + 3.5*38.43 + 1.5U4, U4 = 2.55 m3/s*cm
Q5 = P5U1+ P4U2 + P3U3 + P2U4 +P1U5
153 = 0*4+ 1.5*24.67 + 2.5*38.43 + 3.5*2.55 + 1.5U5, U5 = 7.33 m3/s*cm
Así se sigue calculando las otras ordenadas de HU
Problema
El hidrograma unitario de una hora para una cuenca está dado por a continuación. Determine la escorrentía para esta cuenca producida por el patrón de tormenta dado. Las abstracciones tienen una tasa constante de 0.76 cm/h.
Tiempo Lluvia HU(1,1)
(horas) (cm) (m3/s*cm)
1 1.27 0.11
2 2.54 1.10
3 3.81 2.20
4 1.27 1.65
5 1.10
6 0.55
Resuelva el problema con el HEC – HMS
Solución
Después de introducir los datos al HEC – HMS se tiene:
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Dal-Ré Tenreiro, Rafael (2003). Pequeños Embalses de Uso Agrícola. Ediciones Mundi – Prensa, España.
Monsalve Saenz, Germán (1995). Hidrología en la Ingeniería. Editorial Escuela
Colombiana de Ingeniería, primera edición. Reyes Rodríguez, Toribio Marcos (2006). Modelos Altimétricos y Frecuenciales de
las Precipitaciones Máximas Diarias en la Cuenca del Río Jequetepeque y Cuencas Vecinas. Oficina General de Investigación de la Universidad Nacional Santiago Antúnez de Mayolo. Huaraz.
Ven Te, Chow (1996). Hidrología Aplicada. Editorial McGraw – Hill, primera
edición, México.
IX. HIDROLOGIA PARA EMBALSES
9.1 Pérdida anual de la capacidad de un embalse por sedimentación
La pérdida anual de la capacidad de un embalse por sedimentación se puede estimar de una manera bastante gruesa mediante la siguiente ecuación de (Tomarr, 2009):
Donde: V t = Volumen de sedimentos después del año t (m3) V o = Volumen inicial del embalse (m3) t = Tiempo en años
9.2 Escorrentía media anual
La escorrentía media anual en una cuenca con fines de embalse se puede estimar mediante la ecuación:
Donde: EMA = Escorrentía media anual (mm) C = Coeficiente de escorrentía (adimensional) PMA = Precipitación media anual (mm) Empíricamente Hill 1980) dedujo la siguiente ecuación:
( ) Donde: EMA = Escorrentía media anual (mm) PMA = Precipitación media anual (mm) AVA = Proporción de área de oasis, varía de 0 a 1
9.3 Coeficiente de variación de la escorrentía media anual
En los lugares donde no se dispone de información se puede estimar el coeficiente de variación de la escorrentía media anual mediante la ecuación:
( ) Donde:
CV = Coeficiente de variación porcentual de la escorrentía media anual (%) EMA = Escorrentía media anual (mm)
9.4 Probabilidad que la presa esté llena
La probabilidad que la presa esté llena se puede calcular mediante la ecuación siguiente:
(
)
Donde: p = Probabilidad que la presa esté llena desde que está vacía c, n = f (CV) V = Capacidad del embalse (m3) I = Volumen promedio anual de entrada al embalse (m3)
Tabla 9.1 Valores de CV, c y n
CV (%) c n
60 0.90 1.72
70 0.91 1.45
80 0.94 1.26
90 0.97 1.11
100 1.00 1.00
110 1.05 0.91
120 1.11 0.84
130 1.17 0.78
140 1.24 0.73
Fuente: Department for International Development (2004)
9.5 Estimación de la producción de sedimentos en una cuenca
La producción de sedimentos en una cuenca se puede estimar mediante la ecuación siguiente:
( ) ( ) ( ) ( )
Donde: S p = Producción de sedimentos (T/Km2*año) A = Área de la cuenca (Km2) PMA = Precipitación media anual (mm) S = Pendiente longitudinal del río desde la cabecera de la cuenca hasta la
presa (decimal) SEA = Signo de erosión activa del suelo TSD = Tipo de suelo y drenaje CV = Cobertura vegetal del suelo
Tabla 9.2. Score para estimar la producción de sedimentos
Factor Extremo Score Alto Score Normal Score Bajo Score
Tipo de suelo
Cobertura no efectiva
Pobremente drenado, compactado Moderadamente bien Bien drenado
y drenaje del suelo 40 Almacenamiento de
agua alto 30 drenado 20 Textura gravosa 10
TSD después de una
tormenta Textura media del
suelo
Cobertura Suelo
desnudo > 50 % cultivos anuales (20 - 30 ) % cultivos < 20 % cultivos
Vegetal > 80% 40 15 anuales 15 anuales 5
CV < 30 % forestación (30 - 60)% forestación > 60 %
forestación
Signos Erosión activa Poca erosión activa
de erosión
del suelo hacia 40
Erosión moderada del suelo 20 del suelo hacia 10 Enxistencia 5
activa el embalse
hacia el embalse el embalse erosión
SEA
Fuente: Department for International Development (2004)
9.6 Caudal de diseño para el vertedero de excedencias (spillway)
Para las cuencas de Zimbabue en el año 1977 se dedujo la ecuación:
( ) ( ( )) Donde:
QMP = Caudal máximo probable (m3/s)
A = Área de la cuenca (km2)
Q150 = 0.2QMP
Q1000 = 0.3QMP
Q10000 = 0.5QMP
El período de retorno se puede seleccionar en función de varios criterios entre
ellos se tienen:
Tabla 9.3 Período de retorno para el diseño del vertedero de excedencias
Peligro potencial
Pérdida de vida
Pérdida económica
Período de Retorno (años)
Muy bajo Extremadamente improbable
Mínimo 250
Bajo Improbable Marginal 750
Moderado Posible Apreciable 2000
Alto Probable Excesivo 10000
Fuente: Department for International Development (2004)
Tabla 9.4. Período de retorno para el diseño del vertedero de excedencias
√ < 5 5 a 30 30 a 100 100 a 700 700 > 700
T (años) 100 500 1000 5000 10000
Fuente: Jacques Lavabre Cenagref (2005)
Donde:
H = Altura de la presa (m)
V = Volumen del embalse (Hm3)
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Department for International Development (2004). Guidelines for Predicting and Minimizing Sedimentation in Small Dams. HR Wallingford.
Jacques Lavabre Cenagref (2005). Preliminary Determination of Design Flood.
PDF. Reyes Rodríguez, Toribio Marcos (2009). Regionalización de los Caudales
Máximos Instantáneos Anuales de la Cuenca del Río Santa. Primer Congreso Nacional del Agua, Lima – Perú.
X. TRANSITO HIDROLOGICO A TRAVES DE EMBALSES
El tránsito de avenidas a través de embalses es muy importante para el diseño de vertederos de demasías en obras de represamiento, porque permite dimensionar la estructura de excedencias a la vez que se pueden simular diferentes condiciones de funcionamiento del aliviadero de demasías. 10.1 Tránsito de avenidas a través de embalses
a) Método de Puls modificado
I Q
Ii+1 ∆S Q i+1 Ii Q i t i t i+1 t t i t i+1 ∆t ∆t
De la ecuación de continuidad para flujo permanente y transitorio se tiene:
QIt
S
(1)
De la ecuación (1): tQtIS (2)
Escribiendo la ecuación (2) en forma discreta:
tQrtQQ
tII
SS iiiiii
22
111 (3)
Multiplicando por t
2 la ecuación (3):
QrQQIIt
S
t
Siiii
ii 2)()(22
11
1
(4)
Qr
QrQt
SIIQ
t
Si
i
iii
i 22
)(2
11
1
(5)
También se tiene que:
111
11 2
22
ii
ii
i QQt
SQ
t
S (6)
Las ecuaciones (5) y (6) sirven para analizar el tránsito de avenidas en embalses.
10.2 Tránsito de avenidas en embalses – método manual
Problema El hidrograma de entrada a un embalse se indica a continuación:
T I
(Horas) (m3/s)
0.00 200.00
10.00 960.00
20.00 1720.00
30.00 2480.00
40.00 3240.00
50.00 2860.00
60.00 2480.00
70.00 2100.00
80.00 1720.00
90.00 1340.00
100.00 960.00
110.00 580.00
120.00 200.00
La ecuación del aliviadero de demasías está dada por:
2/321.2 LHQ
Donde: Q = Caudal que sale por el vertedero de demasías (m3/s) L = Longitud del aliviadero de demasías (m) H = Carga sobre la cresta del vertedero (m), H ≤ 3 m
La descarga a través del vertedero de demasías y el volumen de almacenamiento se indican a continuación:
H S (106) Q
M m3 m
3/s
0.50 45.00 156.00
1.00 90.00 443.00
1.50 138.00 814.00
2.00 188.00 1253.00
2.50 243.00 1751.00
3.00 300.00 2302.00
Realice el tránsito de avenidas.
Solución
Para emplear las ecuaciones (5) y (6) se hizo la siguiente tabulación:
H S (106) Q 2S/∆t +Q
M m3 m
3/s m
3/s
0.50 45.00 156.00 2656.00
1.00 90.00 443.00 5443.00
1.50 138.00 814.00 8480.67
2.00 188.00 1253.00 11697.44
2.50 243.00 1751.00 15251.00
3.00 300.00 2302.00 18968.67
Para facilitar el proceso de cálculo se obtuvo por regresión empleando los datos del cuadro anterior, la ecuación:
3695.12
003296.0
Q
t
SQ
Asumiendo un S = 0 y Q = 0 se obtuvo el cuadro siguiente:
T I Ii+Ii+1 Qi+1 2Si+1/∆t - Qi+1 2Si+1/∆t + Qi+1
(Horas) (m3/s) (m
3/s) (m
3/s) (m
3/s) (m
3/s)
0.00 200.00 0.00 0.00
10.00 960.00 1160.00 51.85 1056.30 1160.00
20.00 1720.00 2680.00 257.30 3221.70 3736.30
30.00 2480.00 4200.00 658.63 6104.44 7421.70
40.00 3240.00 5720.00 1246.41 9331.62 11824.44
50.00 2860.00 6100.00 1794.80 11842.02 15431.62
60.00 2480.00 5340.00 2079.32 13023.38 17182.02
70.00 2100.00 4580.00 2149.47 13304.44 17603.38
80.00 1720.00 3820.00 2069.78 12984.88 17124.44
90.00 1340.00 3060.00 1893.20 12258.48 16044.88
100.00 960.00 2300.00 1657.20 16858.48 14558.48
110.00 580.00 1540.00 1501.13 12042.95 13544.08
120.00 200.00 780.00 1392.76 10037.43 12822.95
Problema
Realice el tránsito de avenidas con la siguiente información:
Almacenamiento – caudal de salida
S*106 Q
(m3) (m
3/s)
75.00 57.00
81.00 227.00
87.50 519.00
100.00 1330.00
110.20 2270.00
Tránsito de Avenidas en un Embalse
0.00
500.00
1000.00
1500.00
2000.00
2500.00
3000.00
3500.00
0.0
0
10.0
0
20.0
0
30.0
0
40.0
0
50.0
0
60.0
0
70.0
0
80.0
0
90.0
0
100.0
0
110.0
0
120.0
0
Tiempo (horas)
Caudale
s (
m3/s
)
I (m3/s)
Q(m3/s)
Hidrograma de entrada
T I
(Horas) (m3/s)
0.00 60.00
2.00 100.00
4.00 232.00
6.00 300.00
8.00 520.00
10.00 1310.00
12.00 1930.00
14.00 1460.00
16.00 930.00
18.00 650.00
Solución
Para emplear las ecuaciones (5) y (6) se hizo la tabulación siguiente:
S*106 Q 2S/∆T+Q
(m3) (m
3/s) (m
3/s)
75.00 57.00 20890.33
81.00 227.00 22727.00
87.50 519.00 24824.56
100.00 1330.00 29107.78
110.20 2270.00 32881.11
Después se hizo el análisis de regresión entre Q y 2S/∆t + Q:
26 2
10*13641.82
251982.02353.1762
Q
t
SQ
t
SQ
R2=0.999
Finalmente, se hizo el tránsito de avenidas:
T I Ii+Ii+1 Qi+1 2Si+1/∆T-Qi+1 2Si+1/∆T+Qi+1
(Horas) (m3/s) (m
3/s) (m
3/s) (m
3/s) (m
3/s)
0.00 60.00 57.00 20776.33
2.00 100.00 160.00 53.09 20830.15 20936.33
4.00 232.00 332.00 73.54 21015.07 21162.15
6.00 300.00 532.00 110.30 21326.47 21547.07
8.00 520.00 820.00 172.36 21801.75 22146.47
10.00 1310.00 1830.00 351.32 22929.11 23631.75
12.00 1930.00 3240.00 740.09 24688.93 26169.11
14.00 1460.00 3390.00 1101.81 25875.31 28078.93
16.00 930.00 2390.00 1140.29 25984.73 28265.31
18.00 650.00 1580.00 998.58 27564.73
10.3 Tránsito de avenidas con HEC – HMS 3.3
Problema (Tomarr, 2009)
Realizar el tránsito de avenidas a través de un embalse con la información
que se indica:
Hidrograma de entrada al embalse
t(horas) 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
I (m3/s) 5 35 75 140 212 285 297 270 216
t(horas) 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0
I (m3/s) 165 112 80 55 30 13 5.0 5.0
La curva de altura – área y volumen es:
Cota (m.s.n.m)
Area (Km2)
Volumen (103 *m3)
3338.50 0.0 0.0
3340.00 0.0282 24
3341.00 0.0575 67
0.00
500.00
1000.00
1500.00
2000.00
2500.00
0.0
0
2.0
0
4.0
0
6.0
0
8.0
0
10.0
0
12.0
0
14.0
0
16.0
0
18.0
0
Caudale
s (
m3/s
)
Tiempo (Horas)
TRANSITO DE AVENIDAS EN UN EMBALSE
I (m3/s)
Q(m3/s)
3342.00 0.0872 140
3343.00 0.1252 247
3344.00 0.1602 389
3345.00 0.2035 571
3346.00 0.2482 797
3347.00 0.3095 1416
3349.00 0.3702 1830
3350.00 0.4593 2332
3351.00 0.5442 2937
3352.00 0.6645 3655
3353.00 0.7722 4495
3354.00 0.1052 5476
3355.00 0.1212 6608
3356.00 0.1364 7896
3357.00 0.1614 9386
La cota de la cresta de vertedero de demasías es 3340 m.s.n. m, la ecuación del vertedero es: Q = 1.7LH3/2
Donde: Q = Caudal sobre el vertedero de demasías (m3/s) L = Longitud de la cresta del vertedero (m) H = Cota sobre el vertedero Solución: 1. Configuración del sistema hidrológico
2. Suministrar información a los componentes del sistema y asumir la cota de la cresta del vertedero igual 3340 m.s.n.m y longitud de la cresta del vertedero igual a 10 m
3. Después de correr el programa HEC – HMS 3.3 se tiene: 3.1 Hidrograma de entrada al embase (dato de entrada), que se puede
generar a partir de un hidrograma unitario sintético y los datos de tormenta para el período de análisis considerado
3.2 Hidrograma de salida 3.2.1 Es caudal que pasa por la cresta del vertedero dependiendo de la
longitud de la cresta del vertedero
Los valores tabulares se indican a continuación:
El caudal pico de entrada es 297 m3/s y el caudal pico de salida es 244.1 m3/s, se observa la atenuación del caudal pico de entrada por efecto del almacenamiento temporal en el embalse
Problema (Tomarr, 2009)
Realizar el tránsito de avenidas a través de un embalse con la información que se indica:
Hidrograma de entrada al embalse
t(horas) 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
I (m3/s) 5 35 75 140 212 285 297 270 216
t(horas) 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0
I (m3/s) 165 112 80 55 30 13 5.0 5.0
La curva de altura – área y volumen es:
Cota (m.s.n.m)
Area (Km2)
Volumen (103 *m3)
3338.50 0.0 0.0
3340.00 0.0282 24
3341.00 0.0575 67
3342.00 0.0872 140
3343.00 0.1252 247
3344.00 0.1602 389
3345.00 0.2035 571
3346.00 0.2482 797
3347.00 0.3095 1416
3349.00 0.3702 1830
3350.00 0.4593 2332
3351.00 0.5442 2937
3352.00 0.6645 3655
3353.00 0.7722 4495
3354.00 0.1052 5476
3355.00 0.1212 6608
3356.00 0.1364 7896
3357.00 0.1614 9386
La cota de la cresta de vertedero de demasías es 3340 m.s.n. m, la ecuación del vertedero es: Q = 1.7LH3/2
Donde: Q = Caudal sobre el vertedero de demasías (m3/s) L = Longitud de la cresta del vertedero (m) H = Cota sobre el vertedero Además considere que la fuente (source) y el reservorio están unidos por un río, para tránsito en el río considere el modelo de flujo de Muskingum donde X = 0.10 y K = 0.15 horas Solución
1. Configuración del sistema hidrológico
2. Suministrar información a los componentes del sistema y asumir la cota de la cresta del vertedero igual 3340 m.s.n.m y longitud de la cresta del vertedero igual a 10 m 2.1 El hidrograma de entrada al río
2.2 El hidrograma de entrada al embalse
2.3 El hidrograma de salida del embalse
El caudal pico de entrada es 297 m3/s y el caudal pico de salida es 244.1 m3/s, se observa la atenuación del caudal pico de entrada por efecto del almacenamiento temporal en el embalse
Problema (Tomarr, 2009)
Realizar el tránsito de avenidas a través de un embalse con la información que se indica:
Hidrograma de entrada al embalse
t(horas) 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I (m3/s) 200 960 1720 2480 3240 2860 2480 2100 1720 1340 960
La curva de altura y volumen es:
Cota (m.s.n.m)
Volumen (106 *m3)
3000,5 45
3001.0 90
3001.5 138
3002.0 188
3002.5 243
3003.00 300
La cota de la cresta de vertedero de demasías es 3000.5 m.s.n.m, la ecuación del vertedero es: Q = 2.0LH3/2
Donde: Q = Caudal sobre el vertedero de demasías (m3/s) L = Longitud de la cresta del vertedero (m) H = Cota sobre el vertedero
1. Configuración del sistema hidrológico
2. Suministrar información a los componentes del sistema y asumir la cota de la cresta del vertedero igual 3000.5 m.s.n.m y longitud de la cresta del vertedero igual a 100 m
3. Después de correr el programa HEC – HMS 3.3 se tiene: a. Hidrograma de entrada al embase (dato de entrada), que se
puede generar a partir de un hidrograma unitario sintético y los datos de tormenta para el período de análisis considerado
b. Hidrograma de salida
Es caudal que pasa por la cresta del vertedero dependiendo de la longitud de la cresta del vertedero es:
El caudal pico de entrada es 3240 m3/s y el caudal pico de salida es 173.90 m3/s, se observa la atenuación del caudal pico de entrada por efecto del almacenamiento temporal en el embalse, la carga sobre el vertedero de demasías es 0.70 m
Problema (Tomarr, 2009) Realizar el tránsito de avenidas a través de un embalse con la información que se indica:
Hidrograma de entrada al embalse
t(horas) 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
I (m3/s) 0 2 5 9 21 38 56 51 43 35 28
t(horas) 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5 10.0
I (m3/s) 22 17 13 10 7 5 3 2 1 0
La curva de altura y volumen es:
Cota (m.s.n.m)
Volumen (103 *m3)
4000,0 0
4000.5 31
4001.0 69
4001.5 175
4002.0 268
4002.5 376
4002.5 490
La cota de la cresta de vertedero de demasías es 4000.0 m.s.n.m, la ecuación del vertedero es: Q = 2.0LH3/2
Donde: Q = Caudal sobre el vertedero de demasías (m3/s) L = Longitud de la cresta del vertedero (m) H = Cota sobre el vertedero Calcule la longitud de la cresta del vertedero de demasías de tal manera que el caudal de descarga sea menor de 32 m3/s y la altura de agua sobre la cresta del vertedero sea menor de 2.0 m 1. Configuración del sistema hidrológico
2. Suministrar información a los componentes del sistema y asumir la cota de la cresta del vertedero igual 4000.0 m.s.n.m y longitud de la cresta del vertedero igual a 10 m, 8m y 6m se tiene: a) Hidrograma de entrada al embalse b)
c) Hidrograma de salida a través del vertedero de demasías
Para L = 10 m se tiene Q = 37.5 m3/s y carga sobre el vertedero igual a 1.5
m
Para L = 8 m se tiene Q = 34.6 m3/s y carga sobre el vertedero igual a 1.7 m
Para L = 6 m se tiene Q = 31.1 m3/s y carga sobre el vertedero igual a 1.9 m
Problema (Tomarr, 2009)
Realizar el tránsito de avenidas a través de un embalse situada aguas abajo de una cuenca de 3,4 millas cuadradas, el ndice Φ = 0.8 pulg/h que se utiliza para tener en cuenta las pérdidas en la cuenca, el flujo base asuma igual a cero.
El hidrograma unitario de media hora
t(horas) 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
I (cfs/pulg) 0 200 500 800 700 600 500 400 300 200 100
t(horas) 5.5 6.0
I (cfs/pulg) 50 0.0
La curva de almacenamiento y descarga a través del spillway es:
Almacenamiento acre-pie
Q cfs
0 0
200 2
300 20
400 200
500 300
600 350
700 450
1100 1200
1700 1230
Hietograma
t(horas) 0 0.5 1.0 1.5 2.0
P (pulg) 0 1.0 3.00 4.00 4.50
Solución:
1. Configuración del problema
2. Después de suministrar los datos se tiene:
a) Hietograma e hidrograma de entrada
b) Hidrograma de salida
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS Hydrologic Engineers Center (2006). User’s Manual of HEC – HMS. USA. Novak p – Moffat a – Nalluri c. (2001). Estructuras Hidráulicas. Editorial Mc Graw
Hill, segunda edición, Colombia. Reyes Rodríguez, Toribio (2006). Ingeniería Hidrológica. UNASAM, primera
edición, Huaraz, Perú Ven Te, Chow (1996). Hidrología Aplicada. Editorial McGraw – Hill, primera
edición, México.
XI. TRANSITO HIDROLOGICO EN RIOS
Durante el tránsito hidrológico en ríos se dos tipos de almacenamiento:
1) Almacenamiento en prisma:
KQS 1 (1)
2) Almacenamiento en cuña:
)(2 QIKXS (2)
Sumando las ecuaciones (1) y (2) se tiene el almacenamiento total:
)( QIKXKQS (3)
Ordenando la ecuación (3) se tiene:
QXXIKS )1( (4)
Dando los subíndices correspondientes a los términos de la ecuación (4) para el
almacenamiento temporal:
111 )1( iii QXXIKS (5)
iii QXXIKS )1( (6)
Restando la ecuación (6) de (5):
iiiiii QXXIQXXIKSS )1()1( 111 (7)
Además por ecuación de continuidad se conoce que:
tQQ
tII
SS iiiiii
22
111 (8)
Igualando (7) y (8):
iiii QCICICQ 32111 (9)
Donde:
)1(2
21
XKt
KXtC
)1(2
22
XKt
KXtC
)1(2
)1(23
XKt
tXKC
Además se cumple: C1 + C2 + C3 = 1
La ecuación (9) es llamada ecuación de Muskingum
K es el tiempo requerido para que la onda de creciente incremental atraviese el
tramo del río.
LK (10)
Donde:
L = Longitud del tramo
ω = Velocidad promedio del pico de avenida
ω = 1.5 V
V = Velocidad media del agua
También el valor de K se puede estimar con las siguientes fórmulas según
(Linsley, 1998):
S
AbLK (11)
Donde:
b = 0.01 – 0.03
K = Tiempo requerido para que la onda de creciente incremental atraviese el
tramo del río (horas)
L = Longitud del cauce (Km)
A = Area de la cuenca (Km2)
S = Pendiente longitudinal del fondo del río (adimensional)
S
CLK (12)
Donde:
c = 0.5 – 1.0
K = Tiempo requerido para que la onda de creciente incremental atraviese el
tramo del río (horas)
L = Longitud del cauce (Km)
S = Pendiente longitudinal del fondo del río (adimensional)
De las ecuaciones (7) y (8) se obtiene:
iiii
iiii
QQXIIX
QQIItK
11
11
1
5.0 (13)
PROBLEMAS DIVERSOS
Problema
Calcular K y X para los hidrogramas de entrada y salida de un río que se indican:
t (min) I (cfs) Q (cfs)
0.00 0.00 0.00
3.00 60.00 0.00
6.00 120.00 13.00
9.00 180.00 42.00
12.00 240.00 81.00
15.00 300.00 127.00
18.00 364.00 178.00
21.00 446.00 231.00
24.00 530.00 293.00
27.00 613.00 363.00
30.00 696.00 437.00
33.00 776.00 514.00
36.00 855.00 593.00
39.00 932.00 672.00
42.00 948.00 757.00
45.00 932.00 822.00
48.00 914.00 861.00
51.00 911.00 879.00
54.00 921.00 888.00
57.00 941.00 897.00
60.00 958.00 910.00
63.00 975.00 924.00
66.00 982.00 940.00
69.00 980.00 954.00
72.00 969.00 964.00
75.00 951.00 968.00
78.00 925.00 965.00
81.00 890.00 956.00
84.00 852.00 938.00
87.00 810.00 919.00
90.00 767.00 884.00
93.00 717.00 851.00
96.00 668.00 812.00
99.00 618.00 769.00
102.00 566.00 725.00
105.00 514.00 677.00
108.00 462.00 629.00
111.00 410.00 579.00
114.00 359.00 528.00
117.00 309.00 478.00
120.00 261.00 427.00
123.00 248.00 373.00
126.00 238.00 332.00
129.00 229.00 302.00
132.00 222.00 278.00
135.00 216.00 260.00
138.00 210.00 246.00
141.00 205.00 235.00
144.00 199.00 225.00
147.00 194.00 217.00
Solución
Utilizando la ecuación:
iiii
iiii
QQXIIX
QQIItK
11
11
1
5.0
Donde: N = Numerador D = Denominador Para calcular K se asumen arbitrariamente valores de X, pero teniendo en cuenta que experimentalmente se verificado que:
0≤X≤0.5
Con el valor asumido se X se determinan los valores de N y D que luego se plotean sobre un diagrama de dispersión, si hay buen ajuste la nube de puntos tiende a una recta, el valor de K es la pendiente de la recta que pasa por la nube de puntos.
t (min) I (cfs) Q (cfs) N D
0.00 0.00 0.00
3.00 60.00 0.00 90.00 15.00
6.00 120.00 13.00 250.50 24.75
9.00 180.00 42.00 367.50 36.75
12.00 240.00 81.00 445.50 44.25
15.00 300.00 127.00 498.00 49.50
18.00 364.00 178.00 538.50 54.25
21.00 446.00 231.00 601.50 60.25
24.00 530.00 293.00 678.00 67.50
27.00 613.00 363.00 730.50 73.25
30.00 696.00 437.00 763.50 76.25
33.00 776.00 514.00 781.50 77.75
36.00 855.00 593.00 786.00 79.00
39.00 932.00 672.00 783.00 78.50
42.00 948.00 757.00 676.50 67.75
45.00 932.00 822.00 451.50 44.75
48.00 914.00 861.00 244.50 24.75
51.00 911.00 879.00 127.50 12.75
54.00 921.00 888.00 97.50 9.25
57.00 941.00 897.00 115.50 11.75
60.00 958.00 910.00 138.00 14.00
63.00 975.00 924.00 148.50 14.75
66.00 982.00 940.00 139.50 13.75
69.00 980.00 954.00 102.00 10.00
72.00 969.00 964.00 46.50 4.75
75.00 951.00 968.00 -18.00 -1.50
78.00 925.00 965.00 -85.50 -8.75
81.00 890.00 956.00 -159.00 -15.50
84.00 852.00 938.00 -228.00 -23.00
87.00 810.00 919.00 -292.50 -24.75
90.00 767.00 884.00 -339.00 -37.00
93.00 717.00 851.00 -376.50 -37.25
96.00 668.00 812.00 -417.00 -41.50
99.00 618.00 769.00 -442.50 -44.75
102.00 566.00 725.00 -465.00 -46.00
105.00 514.00 677.00 -483.00 -49.00
108.00 462.00 629.00 -495.00 -49.00
111.00 410.00 579.00 -504.00 -50.50
114.00 359.00 528.00 -507.00 -51.00
117.00 309.00 478.00 -507.00 -50.00
120.00 261.00 427.00 -502.50 -50.25
123.00 248.00 373.00 -436.50 -43.75
126.00 238.00 332.00 -328.50 -33.25
129.00 229.00 302.00 -250.50 -24.75
132.00 222.00 278.00 -193.50 -19.75
135.00 216.00 260.00 -150.00 -15.00
138.00 210.00 246.00 -120.00 -12.00
141.00 205.00 235.00 -99.00 -9.50
144.00 199.00 225.00 -84.00 -9.00
147.00 194.00 217.00 -73.50 -7.25
X 0.2500
R 0.9996
K (minutos) 9.9952
Los valores de X y K son 0.25 y 9.9952 minutos respectivamente.
-600.00
-400.00
-200.00
0.00
200.00
400.00
600.00
800.00
1,000.00
-100.00 -50.00 0.00 50.00 100.00
N
D
DIAGRAMA DE DISPERSION N & D
Problema
Si K = 10 minutos y X = 0.25 y se tiene el hidrograma de entrada a un río determine el hidrograma de salida.
t (min) I (cfs)
0.00 0.00
3.00 60.00
6.00 120.00
9.00 180.00
12.00 240.00
15.00 300.00
18.00 364.00
21.00 446.00
24.00 530.00
27.00 613.00
30.00 696.00
33.00 776.00
36.00 855.00
39.00 932.00
42.00 948.00
45.00 932.00
48.00 914.00
51.00 911.00
54.00 921.00
57.00 941.00
60.00 958.00
63.00 975.00
66.00 982.00
69.00 980.00
72.00 969.00
75.00 951.00
78.00 925.00
81.00 890.00
84.00 852.00
87.00 810.00
90.00 767.00
93.00 717.00
96.00 668.00
99.00 618.00
102.00 566.00
105.00 514.00
108.00 462.00
111.00 410.00
114.00 359.00
117.00 309.00
120.00 261.00
123.00 248.00
126.00 238.00
129.00 229.00
132.00 222.00
135.00 216.00
138.00 210.00
141.00 205.00
144.00 199.00
147.00 194.00
Solución
Se conoce que:
iiii QCICICQ 32111
Donde:
)1(2
21
XKt
KXtC
)1(2
22
XKt
KXtC
)1(2
)1(23
XKt
tXKC
Además se cumple: C1 + C2 + C3 = 1 Con las fórmulas indicadas se hizo la tabulación siguiente:
C1 -0.111
C2 0.444
C3 0.667
t (min) I (cfs) Q (cfs)
0.00 0.00 0.00
3.00 60.00 -6.66
6.00 120.00 8.88
9.00 180.00 39.22
12.00 240.00 79.44
15.00 300.00 126.25
18.00 364.00 177.00
21.00 446.00 230.17
24.00 530.00 292.72
27.00 613.00 362.52
30.00 696.00 436.72
33.00 776.00 514.18
36.00 855.00 592.60
39.00 932.00 671.43
42.00 948.00 756.42
45.00 932.00 821.99
48.00 914.00 860.62
51.00 911.00 878.73
54.00 921.00 888.37
57.00 941.00 897.01
60.00 958.00 909.77
63.00 975.00 923.95
66.00 982.00 940.17
69.00 980.00 954.32
72.00 969.00 964.09
75.00 951.00 967.73
78.00 925.00 965.04
81.00 890.00 955.59
84.00 852.00 937.97
87.00 810.00 914.00
90.00 767.00 884.14
93.00 717.00 850.68
96.00 668.00 811.61
99.00 618.00 769.34
102.00 566.00 724.71
105.00 514.00 677.63
108.00 462.00 628.92
111.00 410.00 579.10
114.00 359.00 528.45
117.00 309.00 477.58
120.00 261.00 426.77
123.00 248.00 373.01
126.00 238.00 332.49
129.00 229.00 302.03
132.00 222.00 278.48
135.00 216.00 260.34
138.00 210.00 246.24
141.00 205.00 234.73
144.00 199.00 225.49
147.00 194.00 217.23
Problema
Si K = 10 minutos y X = 0.25 y se tiene el hidrograma de entrada a un río
determine el hidrograma de salida, con HEC - HMS
t (min) I (cfs)
0.00 0.00
3.00 60.00
6.00 120.00
9.00 180.00
12.00 240.00
15.00 300.00
18.00 364.00
21.00 446.00
24.00 530.00
27.00 613.00
30.00 696.00
33.00 776.00
36.00 855.00
39.00 932.00
42.00 948.00
45.00 932.00
48.00 914.00
51.00 911.00
54.00 921.00
57.00 941.00
60.00 958.00
63.00 975.00
66.00 982.00
69.00 980.00
72.00 969.00
75.00 951.00
78.00 925.00
81.00 890.00
84.00 852.00
87.00 810.00
90.00 767.00
93.00 717.00
96.00 668.00
99.00 618.00
102.00 566.00
105.00 514.00
108.00 462.00
111.00 410.00
114.00 359.00
117.00 309.00
120.00 261.00
123.00 248.00
126.00 238.00
129.00 229.00
132.00 222.00
135.00 216.00
138.00 210.00
141.00 205.00
144.00 199.00
147.00 194.00
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Aparicio Mijares, Francisco Javier (1996). Fundamentos de Hidrología de Superficie. Editorial Limusa, México.
Hydrologic Engineers Center (2000). User’s Manual of HEC – HMS. USA. Linsley, Ray (1994). Hidrología para Ingenieros. Editorial McGraw – Hill, segunda,
México. Ven Te, Chow (1996). Hidrología Aplicada. Editorial McGraw – Hill, primera
edición, México.
XII. GENERACION DE CAUDALES A PARTIR DE LLUVIAS
Existen muchas metodologías para generar caudales medios a partir de precipitaciones, sólo indicaré algunos métodos más importantes: 12.1 Método de Langbein para zonas áridas
Esta metodología fue propuesta por la Organización Meteorológica Mundial (OMM) y se usan en cuencas que no tienen aporte glaciar ni lacustre, sirve para estimar caudales multianuales medios:
Procedimiento:
1) ( ) ( ), está ecuación fue obtenida por (Reyes, 2010), a partir de la ecuación original de la OMM.
2) Empleando el calculo anterior se halla P/F(T) después Q/F(T) de la tabla adjunta:
P/F(T) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 10 12 14
Q/F(T) 0.009 0.026 0.075 0.200 0.475 1.000 1.900 2.700 3.400 5.000 7.000 9.000
Donde: P = Precipitación multianual media (mm) T = Temperatura media multianual (°C) Q = Caudal medio multianual (mm)
Problema Si T = 20°C y P = 53 cm Hallar Q. Solución
( ) ( ) ; P/F(T) = 1.98 De la tabla Q/F(T) = 0.075, entonces Q = 0.075*26.7 = 2 cm.
12.2 Método de Langbein para zonas lluviosas a) Evapotranspiración media multianual
Donde: ETP = Evapotranspiración multinanual (mm) T = Temperatura media multianual (°C)
12.3 Evapotranspiración media multianual real
√ ( )
P = Precipitación media multianual (mm) Problema Si T = 20°C y P = 53 cm Hallar Q. Solución
√ (
)
Entonces Q = P - ETR = 31.4 mm
Método de Turc para zonas lluviosas a) Parámetro heliotérmico
Donde: L = Parámetro heliotérmico (mm) T = Temperatura media multianual (°C) b) Déficit hídrico
√ ( )
P = Precipitación media multianual (mm) Problema Si T = 20°C y P = 53 cm
Hallar Q. Solución
L
√ ( )
Entonces Q = P - D = 23.53 mm
12.4 Longitud de mezcla en la confluencia de un afluente de un río No es recomendable tomar muestras para la calidad de aguas dentro del tramo del río principal denominado longitud de mezclado (Lm), sino aguas debajo de esta longitud. La longitud de mezclado se estima mediante la ecuación dada por (NRCS, 2003):
Donde: Lm = Longitud de mezclado (m) b = Ancho del río principal en el punto de confluencia (m) y = Tirante del río principal en la zona de confluencia (m) V = Velocidad del río en la zona de confluencia (m)
√ V* = Velocidad de corte (m/s) Problema La velocidad media del río principal en la zona de confluencia es 0.457 m/s, el radio hidráulico igual 0.70 m, el ancho del río en es 6.1 m, el tirante es 0.914 m, la pendiente longitudinal 0.005. Determine el ancho de mezclado en el río. Solución
√
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Natural Resources Conservation Service (2003). National Water Quality Handbook. USA.
Linsley, Ray. et. al. (1988). Hidrología para Ingenieros. Editorial McGraw - Hill,
México. Ven Te, Chow (1996). Hidrología Aplicada. Editorial McGraw – Hill, primera
edición, México.