ECUACIONES DE CONTINUIDAD

1.-OBJETIVO: Determinar las densidades de los flujos de entrada salida y acumulado Determinar el contenido de soluto en cada uno de los flujos Comparar el contenido de sal en la salida , atravez de la ecuacin de continuidad y compararlo con el valor experimental

2.- FUNDAMENTO.

ANLISIS INTEGRAL. SISTEMA Y VOLMEN DE CONTROLEn ocasiones, en ingeniera no se est tan interesado en el conocimiento exacto de los campos de velocidad, presin, temperatura, etc., como en las consecuencias macroscpicas de los mismos. Ello significa que para el tcnico las descripciones precisas de estas distribuciones no son un fin, sino un medio para determinar variables de mayor inters prctico: empujes, momentos, caudales, rendimientos, potencias, etc. En consecuencia, el estudio profundo del flujo, ya sea por mtodos analticos o numricos, slo se efecta para problemas muy complejos, para los cuales se justifica el empleo de recursos importantes, en tiempo y dinero.

Por todo ello, resulta evidente la necesidad de disponer de un mtodo que conjugue en la medida de lo posible, simplicidad y rigor. Es por este motivo por el cual surgieron ya en el siglo XIX los llamados Mtodos Integrales, los cuales consisten en efectuar una aplicacin de las ecuaciones bsicas de la Mecnica y la Termodinmica a unos determinados dominios del flujo, con caractersticas definidas, en los cuales tenga lugar el fenmeno objeto de estudio.

En rigor, estos mtodos no son exclusivos de la Mecnica de Fluidos, sino que son vlidos en su formulacin general para todo sistema deformable. Sin embargo es evidente que es en el estudio de flujos de materia donde tienen el mayor posibilidad de utilizacin, tanto por la necesidad que de ellos se tiene como por la relativa facilidad de su empleo y grado de exactitud de las soluciones.

La naturaleza del medio material, las caractersticas del flujo y las propiedades asociadas al dominio merecen una especial consideracin, pues de las hiptesis que respecto a ellos se realicen, se derivar por una parte una mayor o menor bondad de los resultados, y por otra, un distinto grado de complejidad del clculo. La validez de los mtodos integrales viene condicionada por las hiptesis de clculo adoptadas.

En consecuencia, deber elegirse adecuadamente el dominio en el cual se aplicarn los principios, de tal forma que se puedan definir unas caractersticas de forma inequvoca, que sea posible definir su evolucin temporal si procede, que puedan formularse hiptesis razonables respecto a la direccin y distribucin de la velocidad del fluido en determinadas secciones, as como la distribucin de presin y temperatura y que puedan efectuarse consideraciones sobre la estacionariedad o variacin cclica del flujo.

Consideracin aparte merece la naturaleza del fluido. As, debern efectuarse hiptesis respecto a la compresibilidad o incompresibilidad del mismo, y en caso de ser precisa, utilizar una ecuacin de estado. Adems, cuando no sea legtima la suposicin de flujo ideal sin disipacin viscosa, debern efectuarse hiptesis para la determinacin de la misma. Por ltimo, cuando exista transferencia de calor debern efectuarse hiptesis respecto al mecanismo de transmisin.

Los principios de conservacin (de masa, energa, cantidad de movimiento) son aplicables a conjuntos definidos de partculas dentro de un medio material. Es lo que se denomina habitualmente un sistema, y precisa para su reconocimiento la previa determinacin de la identidad y propiedades del conjunto de dichas partculas. Dado que se usar la descripcin Euleriana para la formulacin del movimiento, es necesario obtener expresiones para las leyes de variacin de las variables fluidodinmicas ligadas a volmenes de fluido o, en general, a volmenes que pueden variar con el tiempo de forma arbitraria, que desde ahora se denominarn volmenes de control (espacio que limita el dominio del flujo objeto de estudio), tal y como se muestra en la siguiente figura:

La dificultad de la aplicacin de los principios de conservacin en el volumen de control deriva del hecho de que estos son vlidos para los sistemas materiales, no para los espacios ocupados coyunturalmente por ellos. En consecuencia, es preciso deducir un mtodo que permita obtener la variacin de una magnitud asociada a un sistema en funcin de las propiedades del flujo en un determinado volumen de control ocupado, para un instante dado, por dicho sistema. El Teorema de Arrastre de Reynolds permite efectuar esta relacin entre magnitudes, como se mostrar a continuacin. En la figura siguiente se muestran distintas posibilidades de volumen de control:

TEOREMA DE TRANSPORTE DE REYNOLDSAsociadas a formulaciones diferenciales se tienen las magnitudes intensivas, que son aqullas cuyo valor no depende de la cantidad de materia que interviene en el fenmeno en cuestin. Ejemplos de tales magnitudes seran la velocidad y la temperatura.

Las magnitudes extensivas estn asociadas a formulaciones integrales y son aqullas cuyo valor s depende de la cantidad de materia que interviene. Son ejemplos de tales magnitudes la masa, la cantidad de movimiento y la entalpa.

Los ejemplos dados de magnitudes intensivas y extensivas sugieren una relacin entre ambas. Si se denomina ( x , t) una magnitud intensiva genrica, funcin de la posicin y del tiempo, existe una magnitud extensiva B( x , t ) asociada a ella, funcin tambin del tiempo y de la posicin del conjunto de partculas del sistema, estando relacionadas ambas por la expresin:

La integral est definida en el volumen ocupado por el sistema. Las magnitudes ( x , t) y B( x , t ) pueden tener carcter escalar o vectorial. Es sabido que la magnitud ( x , t) , por ser intensiva, admite la operacin derivada material, en la forma:

Sin embargo, la magnitud extensiva B( x , t) no admite dicho operador, por lo cual hay que determinar las variaciones por otro mtodo, tenindose como primera expresin:

En la expresin de la derivada material de una magnitud extensiva no es posible permutar el orden de los operadores derivada e integral, puesto que el volumen de integracin es dependiente de la variable temporal. Se tiene pues, necesidad de hacer una transformacin Lagrangiana, a fin de poder aplicar los principios de conservacin, vlidos para sistemas de partculas en evolucin y que ocupan posiciones cambiantes en el tiempo, al espacio definido por un volumen de control que, en un instante, aloje al sistema.

A continuacin se va realizar una deduccin del Teorema de Arrastre de Reynolds. En la figura se muestra una situacin inicial (instante t) en el que un sistema ocupa exactamente un volumen de control.En un instante posterior (instante t+t) una porcin del sistema ha abandonado en volumen de control y nueva masa de fluido ocupa el volumen de control. En un instante posterior (instante t+2t) el sistema ha abandonado completamente el volumen de control.

La cantidad total de B en el sistema es

La variacin temporal de B es:

Por la definicin anterior:

En el instante t: VSistema = VControl y en el instante t+t: VSistema)t + t = VII + VIII = VControl - VI + VIII. Por tanto:

que se puede reescribir como:

El primer trmino del segundo miembro representa la variacin de B en el Volumen de control:

El segundo trmino representa la cantidad de B que sale del volumen de control entre t y t+ t, y el tercer trmino representa la cantidad de B que entra en el volumen de control entre t y t+ t:

Los flujos msicos entrante y saliente se pueden representar como:

Siendo el ngulo formado por el vector velocidad al atravesar la superficie del volumen de control y la direccin normal saliente a dicha superficie.

Agrupando los diferentes trminos, se obtiene:

En la que el primer trmino del segundo miembro representa la variacin de la suma de la propiedad intensiva en el interior del volumen de control, mientras que el segundo trmino es el flujo de dicha propiedad intensiva a travs de la superficie de control que encierra dicho volumen. v r = v v VC es la velocidad relativa entre el fluido y el volumen de control.

En definitiva, el Teorema de Arrastre de Reynolds establece la relacin existente entre la derivada material de una magnitud extensiva de un sistema B( x , t ) , con la derivada temporal de la integral de la magnitud intensiva asociada, en el volumen de integracin definido, y el trmino de flujo de dicha magnitud intensiva a travs de las superficies del volumen.

ECUACIN DE CONSERVACIN DE MASA

Recibe el nombre de ecuacin de continuidad la expresin obtenida de la aplicacin simultnea del Principio de Conservacin de la masa y del Teorema de Arrastre de Reynolds a un volumen de control. La magnitud extensiva es la masa m mientras que la magnitud intensiva asociada sera = 1

Por el principio de conservacin de masa, la masa de un sistema no vara, de tal manera que se puede escribir:

Por el Teorema de Arrastre se tendra:

Igualando ambas expresiones, se deduce la llamada ecuacin de continuidad o de conservacin de la masa para un volumen de control:

Dicha expresin indica que la variacin de masa (aumento o disminucin) en el interior del volumen de control se obtiene mediante el flujo de masa (hacia el interior o hacia el exterior) a travs de las superficies del mismo.

3.- MATERIALES Y EQUIPOS

1. Dos tanques2. Termmetro3. Probeta 4. Vasos de pp5. Ajitador6. Refractmetro7. Soluciones :a. 1 litro de Nacl al 10%b. 1 litro de Nacl al 3%

4.- PROCEDIMIENTO. En una fiolo de 1 litro preparar las soluciones ,y determinar la densidad , y el contenido de soluto x de ambas soluciones

Preparar el flujo de ingreso de la solucin ,500 ml en 30 min

Colocar en el tanque un litro de agua con 30gr de sal agitar y aadir el flujo de ingreso

Esperar unos 30 min y tomar la muestra en la salida del rector, la cual debe tener un flujo igual al de ingreso al reactor

Medir la densidad y el contenido de solutos en el frlujo de salida

Anotar los datos en una tabla

5.- RESULTADOS

Tabla N1 resultados de la prctica V(ml)M1 (gr)M2 (gr) gr/mlX gr

solucin 1645.651.91.050.105

solucin 2646.651.81.03330.035

mescla6.145.652.11.06550.057

De la ecuacin de continuidad

Integrando

Para t1 = 0

Donde :es 0.035t =30 min

6.- CONCLUSIONES

Para determinar la densidad se us el mtodo de las probetas que consiste en pesa la probeta vaca y seca (wo), enseguida se llena con V = 6.00 mL del lquido problema y luego se pesa todo el conjunto (wf). La diferencia wf- wocorresponde a DLos valores se muestran el al tabla 1 Se comprob el contenido de soluto en la salida del reactor, y al comparar el valor obtenido experimentalmente con el valor obtenido desde la ecuacin de continuidad se hall un % de error 6.6% .

esto puede deberse a variaciones en los caudales de entrada y de salida

7.- BIBLIOGRAFA

http://fluidos.eia.edu.co/fluidos/cinematica/transporte.htmhttp://www.unioviedo.es/Areas/Mecanica.Fluidos/docencia/_asignaturas/hidraulica/Tema_2_Analisis_Integral_04_EPSGS.pdfhttp://practicasintegrales.files.wordpress.com/2007/05/balancedemateria.pdfhttp://sgcg.es/articulos/2011/09/30/teorema-del-transporte-de-reynolds/