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ANALISIS MATEMATICO I (2018)(Grupo Ciencias)
TRABAJO PRACTICO 1
1. Encontrar una expresion para las siguientes funciones indicando el dominio de lasmismas.
(a) El perımetro p de un cuadrado como funcion de la longitud l del lado.
(b) El costo p de l lamparas si cada una cuesta 4 pesos. ¿Que diferencia hay entreesta funcion y la del inciso anterior?
(c) El area de un triangulo equilatero como la funcion de la longitud x de un lado.Lo mismo para el perımetro.
(d) La longitud de un lado de un cuadrado como funcion de la longitud d de ladiagonal.
2. No toda curva del plano es el grafico de una funcion. En vista de la definicion defuncion y de su grafico, indique cuales de los siguientes dibujos corresponden a lagrafica de alguna funcion:
–2
–1
1
2
y
–1 1 2 3
x
,
–2
–1
0
1
2
y
–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1
x
,
–1
–0.5
0.5
1
1.5
2
y
–1 –0.5 0.5 1 1.5 2
x
–2
–1
0
1
2
3
4
5
y
–1 –0.5 0.5 1 1.5 2
x
,
–10
–8
–6
–4
–2
0
2
4
6
8
10
y
–4 –2 2 4 6
x
,
5
10
15
20
y
–3 –2 –1 1 2 3
x
1
3. Determinar, justificando, si y es una funcion de x para cada uno de los siguientescasos:
(a) x2 + y2 = 9
(b) y2 = x2 − 1
(c) x2 + y = 3
(d) x2y − x2 + 4y = 0
4. Determinar los dominios de las siguientes funciones:
(a) k(x) = x4 + 5x−√x
(b) f(y) = 3
√y+1y3−1
(c) g(u) =√u3 − 3u
(d) f(x) = xx2+x
5. Use las graficas dadas de f y g para evaluar cada expresion, o bien, explique porqueno esta definida.
(a) f(g(2))
(b) g(f(0))
(c) (f ◦ g)(0)
(d) (g ◦ f)(6)
(e) (g ◦ g)(−2)
(f) (f ◦ f)(4)
6. Sean f(x) = 1x
y g(x) =√x. Sabiendo que el dominio de f es IR−{0} y el dominio
de g es [0,+∞), hallar la expresion de las siguientes funciones y sus dominios:
(a) (g ◦ f)(x)
(b) f(g(x))
(c) g(g(x))
(d) (f ◦ f)(x).
2
7. Si la funcion h(x) tiene la grafica de la figura, dibuje la grafica de las siguientesfunciones:
(a) h(x + 4)
(b) h(x) + 4
(c) 2h(x)
(d) −13h(x− 1)
8. Hacer una representacion grafica de las siguientes funciones lineales:
(a) f(x) = x
(b) f(x) = −12x + 4
(c) f(x) = 3x + 1.
Definicion: La variacıon promedio de f(x) entre x1 y x2 se define como el cocientef(x2)−f(x1)
x2−x1y representa la razon de cambio promedio a la que cambio f(x) entre x1
y x2.
9. (a) ¿Como se interpreta geometricamente la variacion promedio de f(x) entre x1
y x2?
(b) Probar que si f es una funcion lineal entonces para cada x1 y x2 la variacionpromedio es la misma.
(c) Si para cada x1 y x2 la variacion promedio de una funcion f es constante eigual al numero m, ¿como es f? (Sugerencia: considerar los casos m = 0 ym 6= 0.)
(d) Si bien el grafico de toda funcion lineal es una recta, no toda recta es el graficode una funcion lineal (justifique esta observacion).
(e) Halle una ecuacion de la recta r, su pendiente y su ordenada al origen, sabiendoque:
i. Pasa por los puntos (2, 1), (3, 4).
ii. Pasa por los puntos (−1,√
3), (−1, 5).
iii. Pasa por el punto (1, 0) y tiene pendiente −2.
iv. Pasa por el punto (4,−3) y tiene pendiente√
7.
10. Encontrar y graficar las funciones lineales que satisfacen las siguientes condiciones:
(a) f(−1) = 0 y f(1) = 2.
(b) Su grafica pasa por el origen y su pendiente es igual a 3.
3
(c) Pasa por el punto (2, 1) y es paralela a la recta de ecuacion 3x− 4y = 0.
11. Un escritor esta por firmar un contrato que establece que ganara 400.000 pesos mas100 pesos por libro vendido. Graficar la funcion ganancia y establecer cual es larazon de cambio. Observar que todos los puntos de la grafica de la funcion estan enuna recta.
Una nueva editorial le ofrece al escritor un contrato de 300.000 pesos pero le pagara120 pesos por cada libro vendido. ¿Que decision tomara el escritor? ¿Le convienecambiar de editorial?
(a) Analizar el problema haciendo una grafica.
(b) Plantear la desigualdad que dara respuesta al problema.
12. Graficar el triangulo determinado por los puntos (−1, 2), (4, 0), (1,−5) y calcular superımetro y superficie.
13. Graficar las siguientes funciones e indicar el dominio e imagen de las mismas:
(a) f(x) =
{2x + 3 si x > 2−x− 2 si x ≤ 2
(b) f(x) =
{1 si x ≤ 0
−2x + 1 si x > 0
(c) f(x) =
x si x ≤ 00 si 0 < x ≤ 1
x− 1 si x > 1
(d) f(x) =
{−x + 2 si −3 < x ≤ 2x− 2 si 2 < x ≤ 5
14. Dadas las siguientes funciones, calcular f ◦ g y g ◦ f . Indicar sus dominios.
(a) f(x) = x + 3 y g(x) = 14x−2
(b) f(x) = x2 − x− 6 y g(x) =√x
(c) f(x) = |3− x| y g(x) =√x
15. Analizar si las siguientes funciones admiten inversa y, en caso afirmativo, dar suexpresion e indicar su dominio.
(a) f(x) =√x
(b) f(x) = 1x
(c) f(x) = 4− x2
(d) f(x) = 2− |x|
Observacion: Algunas de las funciones anteriores pueden tener mas de una funcioninversa segun el dominio que se considere. ¿Cuales?
4
16. Demostrar:
(a) Toda funcion lineal no constante admite inversa. Ademas, la inversa es otrafuncion lineal.
(b) Toda funcion homografica admite inversa en algun dominio adecuado. Darla expresion de dicha inversa indicando su dominio (Aclaracion: Una funcionhomografica es de la forma f(x) = ax+b
cx+d, donde bc− da 6= 0)
17. Definimos g(x) = x1n , n ∈ IN como la inversa de f(x) = xn.
(a) Encontrar dominio e imagen de g para los distintos valores de n
(b) Graficar aproximadamente dichas funciones.
(c) ¿Como podrıa definir xq para q ∈ IQ? ¿Cuando esta funcion tiene inversa?
5
ANALISIS MATEMATICO I (2018)(Grupo Ciencias)
TRABAJO PRACTICO 2
1. Resolver y representar graficamente en la recta numerica los conjuntos de numerosreales que cumplen cada una de las siguientes condiciones.
(a) |4x| = |4x+ 1|(b) |x2 + 1| = |x2 − 1|(c) −3|4
3x− 1| ≤ 1
(d) |1 + x| ≥ 1 + |x|
2. Para cada ıtem graficar en el mismo sistema de ejes cartesianos cada uno de lossiguientes conjuntos de funciones a valores reales.
(a) f(x) = |x|, h(x) = |x− 3|, v(x) = |x| − 3
(b) f(x) = −|x|, g(x) = −|x+ 1|, u(x) = −|x|+ 1,
3. Reescribir las siguientes funciones como funciones a trozos utilizando la definicionde valor absoluto y a continuacion graficarlas:
(a) f(x) = |3x− 1|+ 2
(b) g(x) = −|x− 1|+ x
(c) h(x) = |3x− 5|+ |2x+ 1|
4. (a) Graficar una funcion f : IR → IR que cumpla simultaneamente las siguientescondiciones:
i. f(x) < 0 si x ∈ (−∞,−1) ∪ (4, 6)
ii. f(x) > 0 si x ∈ (−1, 4) ∪ (6,∞)
iii. f(x) = 0 si x = −1, x = 4 y x = 6.
(b) A partir del grafico de f realizado en el inciso anterior, graficar |f(x)|.
5. Hallar las ecuaciones de las parabolas que verifican:
(a) pasa por los puntos (0,3), (1,4) y (-2,13).
(b) su vertice esta en el punto (1, 1) y corta al eje x en 3.
(c) pasa por el origen y en x = 2 alcanza su valor mınimo que es −5.
(d) pasa por el origen y en x = 2 alcanza su valor mınimo.
6. Graficar y senalar raıces, vertice y eje de simetrıa de las siguientes parabolas
(a) y = −x2 + 2x− 1
1
(b) y = 2x2 − 4x− 3
(c) y = −1/2 x2 − 3x+ 7/2
(d) y = x2 − 3x+ 2
7. Analizar el signo de las funciones del inciso anterior.
8. Determinar el o los valores de k tales que
(a) y = x2 + 7x+ k tiene una sola interseccion con el eje x,
(b) y = x2 − 2kx+ k2 − 3k + 2 pasa por el origen.
9. Graficar en el mismo sistema de ejes cartesianos las siguientes funciones a valoresreales: f(x) = 2x2 − 10x+ 8, g(x) = |2x2 − 10x+ 8|
Definicion: Una funcion f se dice par si f(x) = f(−x) e impar si f(x) = −f(−x)para todo x ∈ Dom(f).
Por ejemplo, la funcion f(x) = x2 es una funcion par (grafica de la izquierda) yaque
f(−x) = (−x)2 = x2 = f(x),
y la funcion f(x) = x3 es impar (grafica de la derecha) porque
f(−x) = (−x)3 = [(−1)x]3 = (−1)3x3 = −x3 = −f(x).
0
10
20
30
40
50
60
y
–8 –6 –4 –2 2 4 6 8
x
–60
–40
–20
0
20
40
60
y
–8 –6 –4 –2 2 4 6 8
x
10. Determinar analıticamente si las siguientes funciones son pares o impares y cuandosea posible verificarlo graficamente: (a) f(x) = 2x2 + 1, (b) f(x) = 3x3, (c) f(x) =x4 − x2.
11. Hay funciones que no son pares ni impares, verificar que f(x) = x7 − x2 es una deellas.
12. Mostrar que g(x) = f(x) + f(−x) es siempre una funcion par. ¿Como se podrıaconstruir una funcion impar a partir de otra funcion f dada?
2
Definicion:
• Reflexiones respecto de los ejes: Dada una funcion conocida y = f(x),consideremos la funcion compuesta g(x) = f(−x). Graficamente vemos que lagrafica se copia, como por un espejo, reflejada con respecto al eje y. Por estarazon, g(x) se llama reflexion de f(x) con respecto al eje y. Si se considera lafuncion h(x) = −f(x) se obtiene la reflexion de f(x) con respecto al eje x.
• Traslaciones en el plano: Si conocemos la grafica de una funcion f(x) pode-mos construir una nueva funcion g(x) cuya grafica sea como la de f(x), perotrasladada horizontalmente a unidades mediante la composicion g(x) = f(x−a)donde a es un numero real. Y si queremos construir una funcion que tenga lamisma grafica que f(x) pero trasladada verticalmente b unidades, lo hacemosmediante la suma h(x) = f(x) + b donde b es un numero real.
• Dilataciones y compresiones: Cambio de escala vertical: si multiplicamosel valor de f(x) por un numero c > 0, obtenemos la funcion cf(x). Cuandoc > 1 la grafica de cf(x) es como la de f(x) pero extendida verticalmente.Mientras que si 0 < c < 1 la grafica se comprime verticalmente. Se conocencon el nombre de dilatacion o compresion vertical, respectivamente.
Cambio de escala horizontal: si utilizamos un numero c > 0 para realizar lacomposicion f(x/c) generamos una transformacion en el eje horizontal. Cuandoc > 1 , la funcion compuesta f(x/c) se representa con la grafica dilatada hor-izontalmente en un factor c. Cuando 0 < c < 1 la grafica se contrae horizon-
3
talmente. Se denominan compresiones o dilataciones horizontales , respectiva-mente.
13. (a) A partir de la grafica de f(x) = 1x, usando traslaciones apropiadas, graficar las
siguientes funciones
i. g(x) = 1x−2
ii. h(x) = 1x+2
(b) Verificar que
i. xx+2
= 1− 2x+2
ii. −x+4x−2
= −1 + 2x−2
(c) A partir de lo realizado en los incisos previos graficar las siguientes funciones(usando traslaciones, dilataciones y/o reflexiones) e indicar cual es el dominiode cada una de ellas.
i. w(x) = xx+2
ii. z(x) = −x+4x−2
(d) Determinar en base a las graficas realizadas en el inciso anterior para quevalores de x se satisfacen las siguientes condiciones:
i. w(x) = 0
ii. z(x) > 0
iii. w(x) < 1
iv. z(x) > −1
14. Indicar el dominio y hacer un grafico aproximado de las siguientes funciones racionales:
(a) f(x) =3x
−x+ 4
(b) f(x) =x+ 4
−2x− 4
(c) f(x) =4
3x+ 9
4
Algunas Conicas
Algunas curvas que aparecen frecuentemente en distintos tipos de problemas no son elgrafico de una funcion, pero son representadas por distintas ecuaciones. Analizaremoslas llamadas conicas que, junto con la parabola se obtienen al seccionar un cono cirulardoble con un plano es distintas posiciones.
• Circunferencia
– Una circunferencia es un conjunto de puntos del plano que equidistan de unpunto llamado centro de la circunferencia.
– La ecuacion que la representa es
(x− α)2 + (y − β)2 = r2
y es claro que para determinar una circunferencia basta conocer su centro y suradio.
– Las posiciones relativas de una circunferencia y una recta pueden ser
∗ exterior: no existen puntos de interseccion
∗ tangente: existe un solo punto de interseccion
∗ secante: existen dos puntos de interseccion
5
• Elipse
– Una elipse puede verse como una circunferencia “deformada”.
– La ecuacion llamada canonica de la elipse centrada en el punto C = (α, β)esta dada por
(x− α)2
a2+
(y − β)2
b2= 1
• Hiperbola
– Si bien los graficos de todas las funciones homograficas son curvas llamadashiperbolas cuyas asıntotas son verticales y horizontales, estas no son lasunicas.
6
– Las ecuacionesx2
a2− y2
b2= 1 (1)
y2
a2− x2
b2= 1 (2)
corresponden a hiperbolas centradas en el origen. En el caso de la ecuacion(1), la hiperbola corta al eje x en los puntos (a, 0) y (−a, 0) y las ecuacionesde las asıntotas son
y =b
ax y y =
−bax.
En el caso de la ecuacion (2), la hiperbola corta al eje y en los puntos (0, a) y(0,−a) y las ecuaciones de las asıntotas son
y =a
bx y y =
−abx.
Observar que los resultados mencionados para la ecuacion (2) provienen deintercambiar los roles de x e y en los resultados correspondientes a la ecuacion(1).
– De manera analoga toda ecuacion de la forma
(x− α)2
a2− (y − β)2
b2= 1 o
(y − β)2
a2− (x− α)2
b2= 1
representa una hiperbola centrada en el punto C(α, β). En el caso de la primeraexpresion, se tiene que las ecuaciones de las asıntotas son
y − β =b
a(x− α) y y − β =
−ba
(x− α).
Intercambiando los roles de (x−α) e (y− β) se pueden obtener las ecuacionesanalogas de las asıntotas para la segunda expresion.
7
1. Dar la ecuacion de la circunferencia que verifica las siguientes condiciones y graficar.
(a) Centro C(−1, 2) y radio 1
(b) Centro C(−2, 3) y tangente al eje x
(c) Pasa por los puntos (0, 3), (0,−1) y (2, 1)
2. Dada la circunferencia de ecuacion x2 + y2 = 4, indicar para que valores de k larecta de ecuacion y + x = k es
(a) exterior
(b) secante
(c) tangente
3. Graficar las siguientes conicas:
(a) 2x2 − 4x+ 2y2 − 8y − 2 = 0
(b) 4x2 + (2y + 2)2 = 1
(c)x2
12+y2
9= 1
(d) x2 +y2
16= 1
(e) 3(x− 1)2 + 5(y + 3)2 = 15
(f)(x+ 2)2
9− y2
4= 1
(g) −x2 + 4y2 = 4
4. Encontrar b para que la elipse de ecuacionx2
4+y2
b= 1 sea tangente a la recta y = 1.
5. Determina los puntos de interseccion de la hiperbola x2 − 2y2 = 1 con cada una delas siguientes curvas (verificar los resultados graficamente):
(a) x+ y − 1 = 0
(b) x2 + 4y2 = 25
(c) x2 + y2 = 10
(d) y2 − x2
4= 1
1 Problemas de aplicacion
1. Encontrar las coordenadas de un punto cuya distancia al (0, 0) y al (4, 4) sea 2√
2.
2. Un colectivo parte desde la terminal de un pueblo hacia otro a las 17 hs. a unavelocidad constante de 96km/h, por una carretera recta.Un pasajero que no llego a horario a tomar el colectivo decide alcanzarlo en un remıs.A las 17:20 hs comienza el viaje en remis a una velocidad constante de 120km/h.
8
• Consideren las funciones de posicion del colectivo y el remıs, teniendo en cuentaque ambas miden la distancia que separa a cada vehıculo de la terminal delpueblo de partida. si el instante t = 0 representa las 17hs y las funciones deposicion se consideran medidas en km, encuentren las expresiones de cada unade ellas y realicen las graficas.
• ¿A que hora el pasajero alcanza al colectivo?
• ¿A que distancia del pueblo de partida se produce el encuentro?
3. Se sabe que cierto gallinero rectangular tiene un perımetro de 30 m. Expresar lasuperficie del gallinero en funcion de su ancho. Si se sabe que el ancho es de 6 maveriguar la superficie del gallinero. ¿Cual es el ancho si se sabe que la superficie esde 44 m2? ¿Puede ser el ancho de 18 m?
4. Una flecha se lanza hacia arriba en direccion al horizonte y viaja trazando un arcoparabolico dado por la ecuacion y = ax2 +x+c. Utilizar el hecho de que la flecha selanza a una altura vertical de 1,5 m y que vuelve a alcanzar la misma altura luegode recorrer una distancia horizontal de 60 m, para hallar a y c. ¿Cual es la maximaaltura alcanzada por la flecha? ¿En que intervalo sube la flecha? ¿En que intervalobaja?
5. Los gastos mensuales, en pesos, de una empresa por la fabricacion de x relojes vienendados por la funcion G(x) = 2000+25x, y los ingresos que se obtienen por las ventasson I(x) = 60x − 1
100x2, tambien en pesos. ¿Cuantos relojes deben fabricarse para
que el beneficio (ingresos-gastos) sea maximo?
6. Con un cuadrado de carton de 1 metro de lado se desea construir una caja de basecuadrada (sin tapa) cortando cuadrados de las esquinas y doblando los lados haciaarriba. Expresar el volumen de la caja en funcion de la altura.
9
ANALISIS MATEMATICO I (2018)(Grupo Ciencias)
TRABAJO PRACTICO 3
Ejercicio 1. Dada la funcion determinada por la grafica siguiente:
5
84
4
3
2
Calcular los lımites de la funcion en los puntos x = 2, x = 4 y x = 8.
Ejercicio 2. Grafique y use la grafica para hallar limx→1
f(x) :
a) f(x) = x2 + 1,
b) f(x) =
x2 + 1 si x 6= 1
3 si x = 1
Ejercicio 3. Hallar los siguientes lımites
a) limx→1
3x3 − 2x2 + 4
b) limx→−3
2
x + 2
c) limx→1+
|x− 1|x− 1
d) limx→1
|x− 1|x− 1
e) limx→2
x2 + 3x− 1
x4 + 6x2 + 5
f) limx→3−
x− 2
x− 3
g) limx→3
x− 2
x− 3
h) limx→4
2−√x
x2 − 5x + 4
i) limx→1
(x− 1)2√x + 3− 2
Ejercicio 4. Analizar si las siguientes afirmaciones son ciertas. Justificar.
a) Si no existen limx→a
f(x) y limx→a
g(x); ¿puede existir limx→a
(f(x) + g(x))?
1
b) Si existen limx→a
f(x) y limx→a
(f(x) + g(x)); ¿debe existir limx→a
g(x)?
c) Si existe limx→a
f(x) y no existe limx→a
g(x); ¿puede existir limx→a
(f(x) + g(x))?
d) Si existen limx→a
f(x) y limx→a
(f(x).g(x)); ¿se puede asegurar que existe limx→a
g(x)?
Ejercicio 5. Hallar los siguientes lımites utilizando los datos.
a) Si limx→x0
f(x) = 5 y limx→x0
g(x) = −2, encontrar limx→x0
f(x)− 2
f(x)− g(x).
b) Si limx→−2
f(x)
x2= 1, hallar lim
x→−2
f(x)
x.
c) Si limx→0
f(x)
x= 1, hallar lim
x→0
f (x2)
x.
Funciones continuas.
Ejercicio 6. Determinar si las siguientes funciones son continuas
a) f(x) =x− |x|
2
b) f(x) =
{3x + 1 si x ≥ 0x + |x| si x < 0
Ejercicio 7. Graficar f(x) =x2 − 4
|x− 2|. Hallar los lımites laterales de f(x) cuando x tiende
a 2. ¿Existe limx→2 f(x)? ¿Puede definirse f(2) para que f sea continua?
Ejercicio 8. Averiguar si f(x) =
x2 − 2x + 1
x− 1si x 6= 1
2 si x = 1
es continua en x = 1. En
caso negativo, ¿puede redefinirse f(1) para que resulte continua?
Ejercicio 9. Dadas dos funciones continuas, probar que la suma, la diferencia, el productoy el cociente son funciones continuas en su dominio.
Definicion: La funcion parte entera esta dada por [x] = m donde m es el mayor numeroentero que satisface m ≤ x.
Ejercicio 10. Dada f(x) = [x] (la parte entera de x) , calcular limx→2+
f(x) y limx→2−
f(x).
En x = 2 la funcion salta de un valor finito a otro. ¿Podrıa indicar una manera de medirese salto?
Ejercicio 11. Construya ejemplos de funciones f y puntos x0 tales que
a) f esta definida en x0, existe limx→x0
f(x) y limx→x0
f(x) = f(x0)
2
b) f esta definida en x0, existe limx→x0
f(x) y limx→x0
f(x) 6= f(x0)
c) f no esta definida en x0 y existe limx→x0
f(x)
d) f esta definida en x0 y no existe limx→x0
f(x)
Definicion: La funcion signo esta dada por sg(x) =
1 si x > 0
−1 si x < 0.
Ejercicio 12. Calcular los lımites laterales de f(x) cuando x tiende a 0; decir si existelimx→0
f(x) y si puede redefinirse f(0) de manera que resulte continua.
a) f(x) = sg(x)
b) f(x) = [x + 1]
Ejercicio 13. ¿Como extenderıa la definicion de continuidad en un intervalo cerrado?
Ejercicio 14. Dada f(x) continua en [a,b], construir una funcion que sea continua en Ry que coincida con f en [a,b] (en realidad existe una infinidad de dichas funciones).
Ejercicio 15. Determinar el valor de c para el cual la funcion f es continua en R.
f(x) =
{x + 3 si x ≤ 2cx + 6 si x > 2
Ejercicio 16. Hallar los valores de b y c para los cuales la funcion f resulta continua enR.
f(x) =
{x + 1 si 1 < x < 3x2 + bx + c si |x− 2| ≥ 1
Ejercicio 17. Sea f una funcion continua definida en [0, 48] tal que f(0) = f(48). Mostrarque hay algun valor x ∈ [0, 48] para el cual f(x) = f(x + 24).
Ejercicio 18. Un docente sube y baja una montana por el mismo camino en 48 hs (partea las 0 hs de un dıa y llega a las 24 hs del dıa siguiente. Mostrar que independientementede la velocidad a la que vaya en cada momento y de los descansos que pueda haber hecho,hay un punto del camino por el cual paso ambos dıas a la misma hora.
Ejercicio 19. Para cada uno de los siguientes polinomios, hallar un entero n tal quep(x) = 0 para algun x entre n y n + 1.
a) p(x) = x3 − x + 3
b) p(x) = x5 + x + 1
c) p(x) = 4x2 − 4x + 1
Ejercicio 20. Sea f una funcion continua definida en [0, 1] tal que su imagen esta con-tenida en el intervalo [0, 1]. Demostrar que f(x) = x para algun numero x. (Sugerencia:Dibujar tal funcion)
3
ANALISIS MATEMATICO I (2018)(Grupo Ciencias)
TRABAJO PRACTICO 4
Ejercicio 1. a) Calcular la derivada de las siguientes funciones en los puntos indicados:
i) f(x) = 2x2, en el punto de abscisa x = 1.
ii) g(x) =1
x, en el punto de abscisa x = 1.
iii) h(x) =√x, en el punto de abscisa x0 > 0.
b) Hallar la ecuacion de la recta tangente a la grafica de cada una de las funciones delinciso anterior en los puntos indicados. Graficar.
Definicion: Una funcion f es estrictamente creciente si para cualquier par de puntos a,b ∈ Dom(f) con a < b se verifica que f(a) < f(b).
Ejercicio 2. Dada f(x) = x3,
a) Mostrar por definicion que f(x) es estrictamente creciente.
b) Hacer un grafico aproximado de la funcion.
c) Hallar la pendiente de la curva en x = 0.
d) Hallar la ecuacion de la recta tangente a la grafica en (1, 1). Observar que esa rectatangente tambien corta a la grafica en (−2,−8).
Ejercicio 3. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la grafica de f(x) = x2 + 1que pasan por el punto (2,1). Graficar la funcion y ambas rectas.
Ejercicio 4. ¿Cuantas rectas tangentes a la grafica de y = x2 + 3 pasan por el punto(1, 0)? Hallar la ecuacion de cada una. Graficar.
Ejercicio 5. A partir de las graficas de
a) f(x) = x+ |x|
b) g(x) = x.|x|
c) f(x) =
{3x+ 1 si x ≥ 03 si x < 0
determinar en cada caso si existe la tangente a la grafica en (0,0). Luego en cada casodemostrarlo analıticamente.
Ejercicio 6. Determinar el valor de la constante c para que la recta de ecuacion y = xsea tangente a la grafica de f(x) = x2 + c. Graficar.
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Ejercicio 7. Calcular por definicion la derivada de las siguientes funciones:
a) f(x) = k, con k constante.
b) f(x) = x
c) f(x) = x3
d) f(x) = x4
e) f(x) =1
x
f) f(x) =√x
Ejercicio 8. Dadas las siguientes funciones, calcular su derivada:
a) f(x) =1
3x4 − (5x)3 + x2 − 2
b) f(x) = 12x−
12
c) f(x) = πx7 − 8x5 + x+ 1
d) f(x) = (x3 + x).(x− 1)
e) f(x) = (x−12 + x2).(x3 + 1
x)
f) f(x) = 2x+1x+5
Ejercicio 9. Calcular la derivada de las siguientes funciones. En cada caso indicar eldominio de definicion y el dominio de derivabilidad
a) (x−√x)(x2 + x−3)
b)1
x√x
c)x4(x+ 1)
x− 1
d)1
1 + 1x+1
Ejercicio 10. Utilizando la ecuacion del cırculo, realice un grafico de f(x) =√
4− x2.Calcule f ′(0) y f ′(
√2) sin derivar, solo usando argumentos geometricos. Luego verifique
los resultados hallados calculando la derivada.
Ejercicio 11. En cada caso, hallar g◦f y f ◦g, su dominio natural y calcular su derivada.
a) f(x) =1
xg(x) = x2 + 1
b) f(x) =x√
1− x3g(x) = x2
Ejercicio 12. Calcular la funcion derivada de las siguientes funciones
a) f(x) = x−n con n ∈ N
b) f(x) = xq con q ∈ Q. (Observacion importante: ¿Son derivables en x=0? Por ejemplo,pensar en f(x) = x1/3)
Ejercicio 13. Calcular la derivada de las siguientes funciones. En cada caso indicar eldominio de definicion y el dominio de derivabilidad.
a) f(x) = x−34 + 10x
b) f(x) = (x4 + x2 + π)−34
2
c) f(x) = 3
√2x4 + 4x3 − 1
2x
d) f(x) = (3x+ 2x)4
e) f(x) = 5√
(x+ 1)3
f) f(x) = x3√(1−x2)3
Ejercicio 14. a) Calcular las derivadas laterales de f(x) =x− |x|
2en x = 0 y determinar
si es derivable.
b) Determinar si g(x) =(f(x)
)2es derivable en x = 0. Graficar la funcion.
Ejercicio 15. Sea f(x) = x g(x) con g continua en x = 0. Probar que f es derivable enx = 0. ¿Cuanto vale f ′(0)?
Ejercicio 16. Sea la funcion
f(x) =
{x2 − x+ 1 si x > 1x3 si x ≤ 1
a) Graficar.
b) Probar que f es continua en x = 1.
c) Analizar si f es derivable en x = 1.
Ejercicio 17. Analizar la continuidad y la derivabilidad de las siguientes funciones ensus respectivos dominios:
a) f(x) =
{(x− 2)2 si x ≥ 2−(x− 2)2 si x < 2
b) g(x) = |x− 2|
Graficar las funciones f y g.
Ejercicio 18. Sea la funcion
f(x) =
{2x+ 1 si x < 1x+ a si x ≥ 1
a) Determinar el valor de a para que la funcion sea continua en x = 1.
b) ¿Es f(x) derivable en x = 1?
Ejercicio 19. Sea la funcion
f(x) =
{x2 si x < 1ax+ b si x ≥ 1
Hallar el valor de a y b para que la funcion resulte continua y derivable en x = 1.
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Ejercicio 20. Consideremos la siguiente situacion: desde una altura de 40 metros se dejacaer un objeto. Si t es el tiempo (en segundos) transcurrido desde que se lo suelta, laposicion del objeto (medida en metros desde el suelo) esta dada por la funcion h(t) =40− 5t2.
a) En el contexto descripto, entre que valores de t es valida la expresion h(t) = 40− 5t2.
b) Haga un grafico que represente la posicion del objeto en funcion del tiempo.
c) Estime en ese grafico la velocidad del objeto despues de 2 segundos.
d) Determine la velocidad del objeto a los t segundos. Entre que valores es correcta laexpresion encontrada?
e) Grafique la velocidad en funcion del tiempo.
f) Calcule la razon de cambio instantanea de la funcion velocidad ¿Que representa?
Ejercicio 21. Se debe doblar un pedazo de alambre de 60 cm para formar un rectangulo.Encontrar las dimensiones del rectangulo de area maxima.
Ejercicio 22. La funcion f(x) = −x2 + bx + c tiene un valor maximo de 12 en x = −2.Hallar las constantes b y c.
Ejercicio 23. Graficar las siguientes funciones. En cada caso determinar la region decrecimiento y decrecimiento; maximos y mınimos locales y absolutos.
a) g(x) = −3x2 − 4x
b) h(x) = x|x|
c) g(x) = |1− |x||
d) f(x) =|1 + x|+ |1− x|
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e) Demostrar que f(x) ≥ 1,∀x ∈ R. Determinar para que valores de x, g(x) > 1.
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ANALISIS MATEMATICO I (2018)(Grupo Ciencias)
EJERCICIOS PRELIMINARES
Estos ejercicios preliminares son para realizar durante la primera semana de clases.
Ejercicio 1. Resolver las siguientes ecuaciones
(a)2x
x+ 1=
2x− 1
x
(b) 2x2 + 4x+ 1 = 0
(c) x4− 3x2 + 2 = 0
Ejercicio 2. Simplificar las siguientes expresiones indicando el conjunto de validez de las opera-ciones
(a)x2 + 3x+ 2
x2 − x− 2
(b)2x2 − x− 1
x2 − 9
·x+ 3
2x+ 1
(c)x2
x2 − 4
−x− 1
x+ 2
Ejercicio 3. Reescribir las siguientes expresiones completando cuadrados
(a) x2 + x+ 1
(b) −1
5x2 +
1
5x−
1
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Ejercicio 4. Encontrar los valores de x que verifiquen las siguientes desigualdades (analizar pre-viamente para que valores de x tienen sentido las expresiones dadas).
(a) x (x− 3) < 0.
(b)x2
x− 1≤ 8.
(c) x3< 8.
(d) x4 + x ≥ 0.
(e) x+1
x> 0.
(f)x2
x2 + 1
> 1.
(g)x
x2 − 2x
> 2.
1
