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Analisis Matematico en Variable
Compleja
Gerardo Rossini
Introduccion
La asignatura Matematicas Especiales I de la Facultad de Ciencias Exac-tas, UNLP, contiene el estudio del Analisis Matematico en Variable Complejay algunas de sus aplicaciones. El curso tiene entre sus objetivos
brindar los contenidos tecnicos del analisis de variable compleja, enparticular de las llamadas funciones analıticas.establecer un marco integral de los conceptos de analisis matematico,incluyendo los cursos correlativos anteriores y proyectandolos haciacasos mas generales que la variable compleja.establecer un lenguaje logico riguroso para formalizar la demostracionde resultados del analisis matematico.brindar algunas aplicaciones a la solucion de problemas planteadosen variable real.
El reglamento de cursada y examen final es el siguiente:
Se evalua el curso por temas. Se divide el curso en dos partes, concuatro temas cada una. Para aprobar la cursada se deben aprobaral menos tres temas de cada parte.Por cada parte tomamos un pre-parcial (con dos temas), un parcialcompleto y un recuperatorio. Para cerrar, habra una fecha flotantepara quienes hayan aprobado al menos cuatro temas entre los ochoplanteados.Finales: durante un ano a partir del flotante se tomara practicasolo de los temas no aprobados durante la cursada, y teorıa. Luego,practica y teorıa completas.
Bibliografıa
R.V.Churchill, J.W.Brown y R.F.Verhey, Variables complejas y susaplicaciones, McGraw Hill, New York, 1970.I. Stewart, D. Tall, Complex Analysis, Cambridge University Press,London, 1983.L.V.Alfohrs, Analisis Complejo: introduccion a la teorıa de funcionesanalıticas, McGraw Hill, New York, 1979.M. R. Spiegel, Variable Compleja, (Serie Schaum), Mc Graw Hill,New York.
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Capıtulo 1
El plano complejo
1.1. Numeros complejos
Los numeros complejos se construyen como
(1.1.1) C =(R2,+, ∗
),
es decir pares ordenados de reales (x, y) con una suma y un productodefinidos por
(1.1.2) (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2),
(1.1.3) (x1, y1) ∗ (x2, y2) = (x1x2 − y1y2,+x1y2 + y1x2).
La suma y el producto son cerrados en C.La suma es asociativa, conmutativa, existe el elemento neutro (0, 0) y
para cada complejo (x, y) existe y es unico el opuesto −(x, y) = (−x,−y).Por estas propiedades C =
(R2,+
)forma un grupo abeliano.
El producto es asociativo, conmutativo, distributivo respecto de la suma,existe el elemento neutro (1, 0) y para cada complejo (x, y) 6= (0, 0) existe yes unico el inverso multiplicativo (x, y)−1 = (x/(x2 +y2),−y/(x2 +y2)). Porestas propiedades C =
(R2,+, ∗
)forma un cuerpo. Como en todo cuerpo,
la resta se define como la suma del opuesto, y el cociente se define como lamultiplicacion por el inverso.
El subconjunto de los numeros complejos
(1.1.4) R = (x, 0) : x ∈ R
es cerrado ante la suma, resta, multiplicacion y division
(x1, 0) + (x2, 0) = (x1 + x2, 0),
−(x1, 0) = (−x1, 0),
(x1, 0) ∗ (x2, 0) = (x1x2, 0),
(x1, 0)−1 = (x−11 , 0),
se corresponde biunıvocamente con R y respeta sus operaciones. Por esto seidentifica R ≡ R y se considera a los numeros reales como subconjunto delos numeros complejos, R ⊂ C. Se anota
x = (x, 0) ∈ R ⊂ C.
En particular, 0 = (0, 0).
4
1.2. MODULO Y ARGUMENTO 5
La multiplicacion de un real α por un complejo (x, y) resulta, segun1.1.3,
α(x, y) = (αx, αy).
En consecuencia C, con la suma de complejos y el producto por reales,tiene estructura de espacio vectorial de dimension 2 sobre R, naturalmenteisomorfo a R2. La base canonica se anota
1 = (1, 0),
i = (0, 1),
por lo cual todo complejo z = (x, y) puede escribirse en forma binomica
z = x+ iy.
El numero complejo i tiene la conocida particularidad i2 = −1, quepermite calcular raıces cuadradas de reales negativos.
1.1.1. Conjugacion. Se define el conjugado de un complejo z = x+iycomo
z = x− iy.Geometricamente expresa la reflexion respecto del eje real. Permite es-
cribir
Re(z) =1
2(z + z) ,
Im(z) =1
2(z − z) ,
z−1 =z
zz,
donde zz ∈ R.
1.2. Modulo y argumento
Los numeros complejos se grafican en el plano C = R2, y se puedenvisualizar tanto como puntos como por vectores. La suma y el producto porreales se deben visualizar como las correspondientes operaciones vectorialesen R².
El modulo de un complejo z se define como su distancia euclıdea al punto0, origen del plano,
|z| =√x2 + y2 ∈ R.
Notese que |z|2 = zz.Dado z 6= 0, se puede representar en forma polar. Para eso se define el
argumento
arg(z) = ϕ ∈ R tal que z = |z| (cosϕ+ i sinϕ) ,
es decir como el angulo que forma el vector z con el semieje real positivo,siguiendo las convenciones trigonometricas usuales. Es importante notar quearg(z) es una relacion multivaluada: a cada complejo no nulo le corresponden
1.2. MODULO Y ARGUMENTO 6
infinitos argumentos reales, congruentes entre sı modulo 2π. Si φ0 es unargumento de z 6= 0, entonces
ϕk = φ0 + 2kπ : k ∈ R
es el conjunto de todos los argumentos posibles de z. El complejo 0 no tieneargumento.
1.2.1. Formula de Euler. Se define la exponencial compleja paraz = x+ iy como
exp(z) ≡ ez = ex (cos y + i sin y) .
En particular, queda expresado
eiϕ = cosϕ+ i sinϕ,
expresion conocida como formula de Euler. La notacion polar standard deun complejo z 6= 0, llamando r = |z| y ϕ = arg(z), es
(1.2.1) z = r eiϕ.
1.2.2. Producto y cociente en forma polar. El producto y el co-ciente tienen una expresion compacta en notacion polar,
(1.2.2) r1 eiϕ1 r2 e
iϕ2 = (r1r2) ei(ϕ1+ϕ2),
(1.2.3)r1 e
iϕ1
r2 eiϕ2=
(r1
r2
)ei(ϕ1−ϕ2).
1.2.3. Potencias y raıces. Las potencias naturales se expresan conla formula de De Moivre. Dado z = r eiϕ y n ∈ N
zn = rneinϕ.
Las potencias enteras se completan definiendo
z−n ≡ 1
zn= r−ne−inϕ.
La raız n-esima se define como la operacion inversa de la potencia n-esima,
w = n√z ⇐⇒ wn = z.
Si z 6= 0 se escribe z = r eiϕ, resulta w = n√r eiϕ/n. Los infinitos valores de
ϕ = arg(z) dan lugar a n valores distintos
wk = n√r ei(φ0+2kπ)/n, con k ∈ N, 0 ≤ k ≤ n− 1.
Cabe notar que wk = w0eik(2π/n).
1.3. TOPOLOGIA METRICA DEL PLANO COMPLEJO 7
1.3. Topologıa metrica del plano complejo
1.3.1. Espacios metricos. Dado un conjunto M , se llama distanciaen M a toda funcion
dist : M ×M → Rtal que se verifican las propiedades
1. positividad: ∀z1, z2 ∈ M , dist(z1, z2) ≥ 0, y dist(z1, z2) = 0 =⇒z1 = z2.
2. simetrıa: ∀z1, z2 ∈M , dist(z1, z2) = dist(z2, z1).3. desigualdad triangular: ∀z1, z2, z3 ∈M , dist(z1, z2) ≤ dist(z1, z3)+dist(z3, z2).
Se llama espacio metrico a un conjunto con una distancia (M, dist).En el plano complejo se define la distancia entre dos numeros z1 =
x1 + iy1, z2 = x2 + iy2 como la distancia euclıdea de los correspondientespuntos (x1, y1), (x2, y2) de R². Es decir,
dist(z1, z2) = |z2 − z1| =√
(x2 − x1) ² + (y2 − y1) ².
Como en toda distancia, se verifican las propiedades de positividad, simetrıay desigualdad triangular. La correspondencia z = x+ iy ∈ C↔ (x, y) ∈ R2
preserva la distancia, por definicion. El plano complejo, con la distanciaeuclıdea, es entonces un espacio metrico isometrico a R². En particular, ladesigualdad triangular se expresa
∀z1, z2, z3 ∈ C, |z3 − z1| ≥ |z3 − z2|+ |z2 − z1|
En general, en todo espacio vectorial con producto interno la distanciacanonica se define como la norma de la diferencia,
dist(v1, v2) = ||v2 − v1|| =√
(v2, v1).
Tal es el caso de R, Rn y C.
1.3.2. Topologıa metrica. Dado un conjunto M , se llama topologıaa la caracterizacion de conjuntos abiertos en M . Esto lleva a la caracter-izacion de nociones como convergencia, continuidad, conectividad, etc. Enun espacio metrico, se caracteriza naturalmenbte la topologıa a partir de ladistancia.
Manejaremos en general las siguientes definiciones, donde M es un es-pacio metrico (y en particular nos interesa M = C:
Entorno. Se llama entorno de centro z0 y radio r al conjunto
∆(z0, r) = z ∈M : dist(z, z0) < r
Entorno reducido. Se llama entorno reducido de centro z0 y radio ral conjunto
∆0(z0, r) = z ∈M : 0 < dist(z, z0) < r
1.3. TOPOLOGIA METRICA DEL PLANO COMPLEJO 8
Punto interior a un conjunto. Dado un conjunto A ⊂ M , se diceque z0 es interior a A si y solo si
∃r > 0, ∆(z0, r) ⊂ A
Conjunto abierto. Se dice que A ⊂M es abierto si y solo si
∀z ∈ A, z es interior a A
Punto exterior a un conjunto. Dado un conjunto A ⊂ M , se diceque z0 es exterior a A si y solo si
∃r > 0, ∆(z0, r) ∩A = ∅Equivalentemente, z0 es exterior a A si y solo si z0 es interior al comple-
mento de A en M (que anotaremos Ac).
Punto de frontera. Dado un conjunto A ⊂M , se dice que z0 es puntode frontera de A si y solo si z0 no es interior ni exterior a A.
Equivalentemente, z0 es punto de frontera de A si y solo si
∃r > 0, ∆(z0, r) ∩A 6= ∅ ∧∆(z0, r) ∩Ac 6= ∅
Frontera de un conjunto. Se llama frontera de un conjunto A ⊂ Ma
∂A = z ∈M : z es punto de frontera de A
Conjunto cerrado. Dado un conjunto A ⊂M , se dice que A es cerradosi y solo si ∂A ⊂ A. Es decir, un conjhunto es cerrado si contiene a todossus puntos de frontera.
Entorno cerrado. Se llama entorno cerrado de centro z0 y radio r alconjunto
∆(z0, r) = z ∈M : dist(z, z0) ≤ r
Conjunto acotado. Se dice que A ⊂M es acotado si y solo si
∃z0 ∈M, r > 0 : A ⊂ ∆(z0, r),
es decir si A puede ser encerrado en un entorno cerrado de radio finito.
Clausura de un conjunto. Se llama clausura de un conjunto A ⊂Ma la union del conjunto on su frontera. Se anota
A = A ∪ ∂A
Punto de acumulacion. Dado un conjunto A ⊂M , se dice que z0 espunto de acumulacion (o de adherencia) de A si y solo si
∀r > 0, ∆0(z0, r) ∩A 6= ∅
Punto aislado. Dado un conjunto A ⊂ M y un punto z0 ∈ A, se diceque z0 es un punto aislado de A si y solo si
∃r > 0, ∆(z0, ε) ∩A = z0
1.3. TOPOLOGIA METRICA DEL PLANO COMPLEJO 9
Propiedades. Se sugiere demostrar las siguientes propiedades:
Un entorno es un conjunto abiertoUn entorno reducido es un conjunto abiertoUn entorno cerrado es un conjunto cerrado, clausura del correspon-diente entorno abierto: ∆(z0, r) = ∆(z0, r) ∪ ∂∆(z0, r)C es abierto en CC es cerrado en Cetc.
Mencionamos otras caracterizaciones topologicas que tienen que ver con cur-vas continuas y familias continuas de curvas continuas. La nocion de con-tinuidad se repasa en la Clase 5.
Conjunto conexo. Dado un conjunto A ⊂M , se dice que A es conexopor arcos (o conexo) si y solo si
∀z1, z2 ∈ A,∃ una curva continua γ ⊂ A que comienza en z1y termina en z2
Conjunto simplemente conexo. Dado un conjunto A ⊂M , conexo,se dice que es simplemente conexo si y solo si todas las curvas que unen dospuntos dados z1, z2 ∈ A son continuamente deformables entre sı dentro deA
Conjunto multiplemente conexo. Dado un conjuntoA ⊂M , conexo,se dice que es multiplemente conexo si y solo si no es simplemente conexo.Es decir, dados z1, z2 ∈ A existen al menos dos curvas que los unen y queno son continuamente deformables entre sı dentro de A
Capıtulo 2
Sucesiones y funciones complejas
En esta clase presentamos sucesiones de numeros complejos, funcionesde variable real a valores complejos y funciones de variable compleja a val-ores complejos, con el objetivo de familiarizar al alumno con su estructura,notacion y representacion grafica. En particular se establece su relacion consucesiones y funciones reales, buscando repasar el manejo de las ultimas.
Las sucesiones y series de numeros o funciones complejas, las funcionesde una variable real a valores complejos y las funciones de una variablecompleja a valores complejos seran objeto de estudio a lo largo de todo elcurso.
Sucesiones a valores complejos
Una sucesion a valores complejos es una funcion de N en C,
z : N→ Cque a cada n ∈ N le hace corresponder un valor zn ∈ C,
n→ zn
Usaremos la notacion zn para referirnos a dicha sucesion. Tambien consid-eramos sucesiones a funciones de n ∈ N : n ≥ n0, es decir que comienzancon ındice n0.
Escribiendo en forma binomica zn = xn+iyn, la sucesion zn determinaunıvocamente dos sucesiones en R,xn y yn. Escribiendo en forma depar ordenado zn = (xn, yn), la sucesion zn determina unıvocamente unasucesion en R2,(xn, yn). En notacion vectorial, ~rn = (xn, yn) y la sucesionse puede anotar ~rn
Una sucesion zn compleja se representa como un conjunto infinito depuntos en el plano, manteniendo la nocion del orden con que aparecen enla sucesion. Conviene pensarla como una historia en el tiempo, o un caminoque se recorre.
En base a cursos anteriores, podemos estudiar la existencia de los lımitesen R
lımn→∞
xn
lımn→∞
yn
y del lımite en R2
lımn→∞
(xn, yn)
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FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA Y VALORES COMPLEJOS 11
Veremos que estos lımites estan ıntimamente relacionados con la nocion delımn→∞ zn en C.
Funciones de variable real y valores complejos
Una funcion de I ⊂ R en C,
z : I ⊂ R→ Casigna a cada valor t ∈ I un valor complejo z(t),
t→ z(t)
En particular manejaremos el caso en que I = [a, b] es un intervalo cerrado.Escribiendo en forma binomica z(t) = x(t) + iy(t), la funcion z(t) deter-
mina unıvocamente dos funciones en R, x(t) y y(t). Escribiendo en forma depar ordenado z(t) = (x(t) + iy(t)), la funcion z(t) determina unıvocamenteuna funcion en R2,(x(t), y(t)). En notacion vectorial, ~r(t) = (x(t), y(t)).
Una funcion compleja de variable real z(t) = x(t) + iy(t) se representacomo una curva orientada en el plano. En base a cursos anteriores, pode-mos estudiar lımite, continuidad y derivada de ~r(t) (en terminos de lımite,continuidad y derivadas de x(t) y y(t). Con estos conceptos sabremos car-acterizar direccion tangente, velocidad, longitud de arco, etc. Veremos queestos conceptos estan ıntimamente relacionados con sus correspondientes enla funcion z(t).
Funciones de variable compleja y valores complejos
Consideremos un conjunto A ⊂ C y una funcion
f : A→ Cque asigna a cada z ∈ A un y solo un valor w ∈ C,
z → w(z)
La anotaremos
w = f(z)
Para visualizar este tipo de funciones, a las cuales dedicaremos este cur-so, corresponde ir a la nocion basica de funcion, graficando por separado elconjunto dominio, el conjunto codominio, y flechas que describen la asig-nacion z → w(z). Es decir, graficar un plano complejo (z) para dibujar eldominio y otro plano complejo (w) para los valores que toma la funcion.
En este sentido, una funcion w = f(z) implementa un mapeo (o trans-formacion) de una region del plano en otra region del plano.
Como conjunto de puntos representativos del dominio se sugiere consid-erar distintas curvas parametrizadas
γ : z(t), t ∈ [a, b]
y sus imagenes
f(γ) : w(t) = f(z(t)), t ∈ [a, b]
FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA Y VALORES COMPLEJOS 12
Mejor aun si se considera una familia de curvas γα caracterizada por algunparametro α, como un conjunto de rectas paralelas, un haz de rectas, cir-cunferencias concentricas, etc. Se observara que la eleccion mas convenientede curvas depende de cada funcion en particular.
Para trabajar en coordenadas reales (es decir, representar los complejosen forma binomica o de par ordenado) usaremos las siguientes notacionespara distinguir parte real e imaginaria:
z = x+ iy
w = u+ iv
de forma tal quef(z) = u(x, y) + iv(x, y)
En otras palabras, la funcion w = f(z) determina univocamente dos fun-ciones reales u y v de dos variables reales x y y. El mapeo descripto porw = f(z) se escribe en variables reales como
πf : A ⊂ R2 → R2
dondeπf (x, y) = (u(x, y), v(x, y))
Cabe insistir en que cada punto (x, y) ∈ A en el plano dominio se mapea aun punto (u, v) del plano imagen.
Una vez establecida la correspondencia de w = f(z) con u(x, y), v(x, y),es claro que los conceptos de Analisis Matematico II seran de utilidad: paracada funcion u(x, y), v(x, y) se debe recordar lımite en dos variables, difer-enciabilidad, derivadas parciales y direccionales, gradiente, curvas de nivel,etc. En particular para el mapeo πf se debe recordar el significado de la ma-triz Jacobiana y las condiciones de invertibilidad (definiendo implıcitamentex y y como funciones de u y v).
Capıtulo 3
Lımite de sucesiones de numeros complejos
Lımite de sucesiones complejas. Unicidad. Relacion con los lımites departe real e imaginaria. Algebra de lımites.
Lımite infinito. Punto en infinito, plano complejo extendido y entornosde infinito. Esfera de Riemann.
Sucesion adherente a un conjunto.Sucesiones fundamentales (o de Cauchy). Completitud de R, Rn,C.Anexo - propiedades de R, Rn: existencia de ınfimo y supremo de con-
juntos acotados, principio de encaje de intervalos, existencia de maximo ymınimo de funciones continuas en dominios compactos, lema de separacionentre un conjunto compacto y la frontera de un abierto que lo incluya.
Lımite de sucesiones
Dada una sucesion zn en un espacio metrico M , se tiene una nocionintuitiva de lımite: se dice que la sucesion tiene lımite l ∈ M si se observaque los elementos zn de la sucesion se mantienen arbitrariamente cerca del cuando sus ındices son suficientemente grandes. De esta manera el lımiteno se calcula, sino que se intuye. El concepto de lımite se formaliza con lasiguiente
Definicion: Dada una sucesion zn en un espacio metrico M ,
lımn→∞
zn = l ∈M ⇐⇒ ∀ε > 0,∃N ∈ N : n > N =⇒ zn ∈ ∆(l, ε)
Ejemplo: lımn→∞n
1+in = −i.
Propiedad. Dada una sucesion zn en un espacio metrico M , si ellımite existe es unico.
Demostracion en clase. Basta suponer dos lımites distintos yy llegar aun absurdo contradiciendo la desigualdad triangular.
Sucesiones en C y en Rm
En C, y en general en Rm usamos la distancia euclıdea dist(z, z′) =|z − z′|.
13
LIMITE INFINITO EN C (O EN Rm) 14
Propiedad. Dada una sucesion zn en C, con zn = xn + iyn,
lımn→∞
zn = l = lx + ily ∈ C⇐⇒ lımn→∞
xn = lx ∈ R ∧ lımn→∞
yn = ly ∈ R
Demostracion en clase. Basta usar |xn−lx| ≤ |zn−l| y |yn−ly| ≤ |zn−l|,|zn − l| ≤ |xn − lx|+ |yn − ly|. Se hace en C y se comenta en Rm
Algebra de lımites. Sea que en M esta definida una suma, que for-ma grupo, y dist(z, z′) = |z − z′| (por ejemplo, cualquier espacio vectorialnormado). Se verifica la siguiente propiedad:
Si dos sucesiones tienen lımite en M , zn → l, wn → m, entonces lasucesion suma tiene lımite en M ,
zn + wn → l +m
Sea que en M esta definido ademas un producto, distributivo con respec-to a la suma (por ejemplo un espacio de matrices). Se verifica la siguientepropiedad:
Si dos sucesiones tienen lımite en M , zn → l, wn → m, entonces lasucesion producto tiene lımite en M ,
znwn → l m
Sea que en M es un cuerpo (Q,R,C). Se verifica la siguiente propiedad:Si dos sucesiones tienen lımite en M , zn → l, wn → m, y m 6= 0,
entonces la sucesion cociente tiene lımite en M ,
zn/wn → l/m
Estas propiedades se demuestran como ejercicios de practica. Basta cono-cer la prueba en R y repetirla.
Lımite infinito en C (o en Rm)
Dada una sucesion zn en C (o en Rm), se tiene una nocion intuitivade lımite infinito: se dice que la sucesion tiende a infinito si se observa quelos elementos zn de la sucesion se mantienen arbitrariamente lejos del origen(0) cuando sus ındices son suficientemente grandes. El concepto de lımiteinfinito se formaliza con la siguiente
Definicion: Dada una sucesion zn en C (o en Rm),
lımn→∞
zn =∞⇐⇒ ∀R > 0,∃N ∈ N : n > N =⇒ dist(zn, 0) > R
Ejemplo: lımn→∞ n2/(n+ i) =∞
Debe observarse que en esta definicion no importa el argumento (o ladireccion) de los elementos zn, solo su modulo.
SUCESIONES FUNDAMENTALES. COMPLETITUD. 15
Punto en infinito. Resulta conveniente introducir el punto en infinitocomo un elemento ∞ /∈ C que funciona como lımite de las sucesiones talesque limn→∞ zn = ∞. Una vez introducido, se define la distancia entre eseelemento y los puntos del plano complejo
∀z ∈ C, dist(z,∞) = dist(z, 0)−1,
de manera tal que cuanto mas lejos este z del origen, mas cerca esta deinfinito.
Se llama plano complejo extendido a C = C ∪ ∞. Tomando al planocomplejo como conjunto abierto, ∞ ∈ C es un punto de frontera de C ⊂ C,y C es su clausura.
Se define un entorno reducido de infinito como
∆0(∞, r) = z ∈ C : dist(z,∞) < r= z ∈ C : dist(z, 0) > 1/r
De esta manera, se puede reescribir la definicion de lımite infinito en elmismo lenguaje que la de lımite finito:
lımn→∞
zn =∞⇐⇒ ∀ε > 0,∃N ∈ N : n > N =⇒ zn ∈ ∆0(∞, ε)
Esfera de Riemmann. Es util visualizar el plano complejo extendidocomo un plano compatificado: se piensa el plano dentro del espacio (3D) y selo deforma envolviendo una esfera. El cero queda en el polo sur, mientras lospuntos arbitrariamente lejanos al origen quedan arbitrariamente cerca delpolo norte. Se interpreta que el polo norte representa el punto en infinito.
Tecnicamente, se escribe el mapeo entre puntos del plano con puntos dela esfera mediante una proyeccion estereografica.
Dibujos en clase.
Existencia del lımite, nomenclatura. Dada una sucesion zn en C(o en Rm), en este curso diremos que el lımite de la sucesion existe y es finitocuando zn → l ∈ C (ıdem en Rm) y que el lımite de la sucesion existe peroes infinito cuando zn → ∞. En otros textos se dice que el lımite existesolo cuando es finito, mientras que cuandozn → ∞ se dice que no existepero tiende a infinito.
Diremos ademas (como todos los textos) que la sucesion converge si ysolo si tiene lımite finito.
Sucesiones fundamentales. Completitud.
Hemos visto que la definicion formal del concepto de lımite requiereconocer el lımite (antes de definirlo!). El concepto de sucesion fundamentaldescribe la convergencia de una sucesion sin referirse al valor del lımite.
SUCESIONES FUNDAMENTALES. COMPLETITUD. 16
Definicion: Dada una sucesion zn en un espacio metrico M , se diceque la sucesion es fundamental (o de Cauchy) si y solo si
∀ε > 0,∃N ∈ N : n,m > N =⇒ dist(zn, zm) < ε
Es decir, la sucesion es fundamental si basta considerar ındices suficente-mente altos para que sus elementos se mantengan arbitrariamente cercanosentre sı.
Propiedad: Dada una sucesion zn en un espacio metrico M ,
zn converge =⇒ zn es fundamental
Demostracion en clase, basta usar la desigualdad triangular.Es importante que no vale la recıproca. En general,
zn fundamental ; zn converge
Ejemplo: Considerar un numero irracional (por ejemplo π) y la suce-sion en Q formada por las sucesivas aproximaciones con desarrollo decimalfinito al numero irracional: q0 = 3, q1 = 3,1, q2 = 3,14, · · · Esta sucesion esfundamental en Q pero no converge, porque no encuentra lımite dentro deQ.
Por supuesto la misma sucesion es convergente en R. Se observa que lafalta de convergencia no es un problema de la sucesion en sı misma, sino delespacio metrico en que se la considera.
Definicion: Dado un espacio metrico M , se dice que es completo si ysolo si todas las sucesiones fundamentales en M convergen en M .
Comentario: Dado un espacio metrico que no sea completo, se lo puedecompletar definiendo elementos externos al espacio que funcionen comolımite de aquellas sucesiones fundamentales que no converjan.
Propiedad: R es un conjunto completo.La nocion de completitud es la base de la definicion de R, como union de
los racionales y todos sus huecos. Los huecos se definen tecnicamente comolos lımites de sucesiones racionales fundamentales no convergentes.
Distintos axiomas que caracterizan a R, como la existencia del supremode sucesiones acotadas por encima, etc., son equivalentes a la caraterizacionde completitud. Vale decir, la definicion rigurosa de R permite demostrardichos axiomas.
No vamos a profundizar en la definicion de R. Usaremos sin demostracionalgunas caracterizaciones de conjuntos y distancias que se desprenden de lacompletitud.
Propiedad: C,Rm son conjuntos completos.Demostracion en clase, basta referirse a las componentes reales.
SUCESIONES ADHERENTES 17
Sucesiones adherentes
Dado un conjunto A ⊂ M, M espacio metrico, y dado z∗ ∈ M , se diceque zn es una sucesion en A adherente a z∗ si y solo si:
1. ∀n, , zn ∈ A2. ∀n, , zn 6= w3. zn → w
Es decir, la sucesion es un camino de puntos de A que se acercan a w sintocarlo. Mas adelante las usaremos como forma elemental de explorar lımitesde funciones, para z tendiendo a z∗.
Definicion: Dado un espacio metrico M y un conjunto A ⊂M , se diceque A es denso en M si y solo si
∀z ∈M, ∃zn en A adherente a z
Capıtulo 4
Series de numeros complejos
Series de numeros complejos. Convergencia, convergencia absoluta. Cri-terios de comparacion.
Series numericas
Dada una sucesion an en un espacio metrico M donde haya definidauna suma, con n ≥ n0, se llama sucesion de sumas parciales de an a unasucesion Sk en M definida por
Sk =
k∑n=n0
an
La serie numerica simbolizada por∞∑
n=n0
an
se define como el lımite de la sucesion de sumas parciales
lımk→∞
Sk,
que puede existir o no. Mas precisamente, si ∃limk→∞ Sk = S y es finito, sedice que la serie
∑∞n=n0
an converge en M y que su suma es S, y se anota
∞∑n=n0
an = lımk→∞
Sk.
En el caso en que limk→∞ Sk =∞ se dice que la serie diverge. Nos referire-mos formalmente a la serie
∑∞n=n0
an antes de determinar si converge, perousaremos el signo = solo cuando hayamos determinado que converge.
Ejemplo importante: series geometricas.
Dado un numero q en R o en C (llamado razon), consideramos la sucesionan = qnn≥0 y sus sumas parciales
Sk =
k∑n=0
qn
Es facil calcular que
qSk − Sk = qk+1 − 1
18
CRITERIOS DE CONVERGENCIA 19
de donde se despeja, si q 6= 1,
Sk =qk+1 − 1
q − 1
El lımite de la sucesion de sumas parciales es finito si y solo si |q| < 1, encuyo caso
∞∑n=0
qn =1
1− q
En la mayorıa de los casos no es posible hallar una expresion cerrada para lasucesion de sumas parciales. Sin embargo, se puede determinar en muchoscasos si la serie converge sin calcular su suma.
Criterios de convergencia
Condicion necesaria de convergencia. Dada la serie∑∞
n=n0zn, para
que converja es necesario que
lımn→∞
an = 0
Demostracion en clase. Basta ver que ∼ (lımn→∞ an = 0) implica que lasucesion de sumas parciales no es fundamental, luego no puede ser conver-gente.
Criterio de comparacion e series de terminos no negativos. Da-da una serie
∑∞n=n0
an con an ≥ 0 (serie de terminos reales no negativos),
si existe otra serie de terminos reales no negativos∑∞
n=n0bn, con bn ≥ an ,
convergente, entonces∑∞
n=n0an converge.
Demostracion en clase. Basta ver que la sucesion de sumas parciales de
Sk =∑k
n=n0an es monotonamente creciente y acotada por encima por la
suma∑∞
n=n0bn. Luego tiene supremo en R, que resulta ser el lımite buscado.
O bien que la sucesion de sumas parciales de Sk =∑k
n=n0an es fun-
damental, con |Sk − Sl| =∑k
n=l+1 an ≤∑k
n=l+1 bn < ε para cualquier ε > 0
con solo tomar k > l suficientemente grandes, ya que∑k
n=n0bn es funda-
mental por ser convergente.
Convergencia absoluta. Dada una serie∑∞
n=n0an con an ∈ R o an ∈
C, se puede estudiar la serie de terminos no negativos asociada∑∞
n=n0|an|.
Se dice que la serie∑∞
n=n0an converge absolutamente si y solo si la serie∑∞
n=n0|an| converge.
Propiedad. La convergencia absoluta implica convergencia puntual. Esdecir,
∞∑n=n0
|an| converge ⇒∞∑
n=n0
an converge
CRITERIOS DE CONVERGENCIA 20
Demostracion en clase. Basta ver que, dados k ≥ l,
|k∑
n=n0
an −l∑
n=n0
an| = |k∑
n=l+1
an| ≤k∑
n=l+1
|an| < ε
para cualquier ε > 0 con solo tomar k, l suficientemente grandes, ya que∑kn=n0
|an| es fundamental por ser convergente.Debe notarse que la convergencia absoluta puede ser probada con tecni-
cas de series de terminos reales no negativos (como comparacion), y asegurala convergencia (sin modulo).
Otros criterios. Se pueden trabajar otros criterios de convergencia,como el del cociente o el de la raız. Tambien se conocen criterios de con-vergencia condicional, que prueban el caso en que la serie de modulos noconverge pero la serie sin modulos sı converge.
Capıtulo 5
Lımites de funciones. Continuidad.
Lımites de funciones (en general). Unicidad. Lımites por caminos (camino=sucesionadherente). Continuidad.
Lımites y continuidad de funciones complejas de variable real. Algebrade lımites.
Lımites y continuidad de funciones complejas de variable compleja. Alge-bra de lımites.
Lımite de funciones
Dada f : Ω ⊂M →M ′, com M,M ′ espacios metricos, y dado z0 puntode acumulacion de Ω, se dice que
lımz→z0
f(z) = l ∈M ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 : z ∈ ∆0(z0, δ) ∩ Ω⇒ f(z) ∈ ∆0(l, ε)
Se debe notar que z0 puede no pertenecer a Ω, basta con que sea puntode acumulacion de Ω para que ∆0(z0, δ) ∩ Ω 6= ∅. En el mejor de los casos,z0 sera interior a Ω y la interseccion sera ∆0(z0, δ) ∩ Ω = ∆0(z0, δ).
Teorema. Dada f : Ω ⊂M →M ′,
∃ lımz→z0
f(z) = l ∈M ⇔ (∀zn en M adherente a z0)(∃ lımn→∞
f(zn) = l ∈M)
Demostracion en clase.
⇒) dada zn en M adherente a z0, y dado ε > 0, basta que n seasuficientemente grande como para que zn ∈ ∆0(z0, δ).⇐) suponer que ∼ (∃ lımz→z0 f(z) = l ∈M) y construir una zn en M adherente a z0
tal que ∼ (lımn→∞ f(zn) = l). Abs!
Corolario. Dada f : Ω ⊂ M → M ′, si existe lımz→z0 f(z) entonces esunico.
Demostracion en clase. Se suponen dos lımites l 6= m , luego cadazn en M adherente a z0 tendrıa dos lımites. Abs!
Lımite de funciones a valores complejos. Sea f : Ω ⊂ M → C, yllamemos z a los puntos de Ω ⊂M , M espacio metrico. Quedan definidas
u : Ω ⊂M → R,u(z) = Re(f(z))
v : Ω ⊂M → R,v(z) = Im(f(z))
tales quef(z) = u(z) + iv(z)
21
CONTINUIDAD 22
Teorema. Dada f : Ω ⊂M → C y z0 punto de acumulacion de Ω,
∃ lımz→z0
f(z) = l = a+ ib ∈ C⇔ ∃ lımz→z0
u(z) = a ∈ R ∧ ∃ lımz→z0
v(z) = b ∈ R
Demostracion: basta explorar con sucesiones zn en M adherentes a z0
Lımite infinito. Dada f : Ω ⊂ M → C y z0 punto de acumulacion deΩ,
lımz→z0
f(z) =∞⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 : z ∈ ∆0(z0, δ) ∩ Ω⇒ f(z) ∈ ∆0(∞, ε)
Algebra de lımites en C. Sean f : Ωf ⊂M → C y g : Ωg ⊂M → C,con Ωf ∩ Ωg 6= ∅, y sea z0 punto de acumulacion de Ωf ∩ Ωg.
Si ∃ lımz→z0 f(z) = l y ∃ lımz→z0 g(z) = m, entonces
∃ lımz→z0 (f(z) + g(z)) = l +m∃ lımz→z0 (f(z) g(z)) = l msi ademas m 6= 0, ∃ lımz→z0 (f(z)/g(z)) = l/m
Demostracion: basta explorar con sucesiones zn en M adherentes a z0
Lımite de funciones de variable compleja. Dada f : Ω ⊂ C→M ′,con Ω no acotado, se dice que
lımz→∞
f(z) = l⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 : z ∈ ∆0(∞, δ) ∩ Ω⇒ f(z) ∈ ∆(l, ε)
En el caso de f : Ω ⊂ C → C, el lımite l puede ser infinito sin cambiarla definicion.
Continuidad
Definiciones. Dada f : Ω ⊂ M → M ′, com M,M ′ espacios metricos,y dado z0 ∈M , se dice que f es continua en z0 si y solo si
1. z0 ∈ Ω2. ∃ lımz→z0 f(z)3. lımz→z0 f(z) = f(z0)
Dado A ∈ M , se dice que f es continua en A si y solo si ∀z ∈ A, f escontinua en z.
Se llama dominio de continuidad de f al mayor subconjunto del dominioΩ donde f sea continua.
Ejemplos. Probar que z : R→ C, dada por z(t) = k es continua en RProbar que z : R→ C, dada por z(t) = t es continua en RProbar que f : C→ C, dada por f(z) = k es continua en CProbar que f : C→ C, dada por f(z) = z es continua en C
CONTINUIDAD 23
Propiedades. Sean f : Ωf ⊂M → C y g : Ωg ⊂M → C, con Ωf∩Ωg 6=∅.
Si f y g son continuas en z0 ∈M , entonces
f + g es continua en z0
f g es continua en z0
si ademas g(z0) 6= 0, f/g es continua en z0
Demostracion: basta revisar que z0 este en el dominio, y asegurar la exis-tencia y valor de los lımites correspondientes.
Propiedad. Dadas f : Ω ⊂ M → M ′ continua en un punto z0 interiora Ω y zn una sucesion en M ,
∃ lımn→∞
zn = z0 ⇒ ∃ lımn→∞
f(zn) = f(z0)
Es decir, en este caso lımn→∞ f(zn) = f(lımn→∞ zn).Demostracion: basta aplicar las definiciones correspondientes. Se debe
notar que si f no es continua en z0 el resultado no se verifica.
Corolario. Sean f : Ωf ⊂ M → M ′ y g : Ωg ⊂ M ′ → M ′′. Si∃ lımz→z0 f(z) = l ∈ M ′ con l interior a Ωg y si g es continua en l, en-tonces
∃ lımz→z0
g(f(z)) = g(z0).
Es decir, en este caso lımz→z0 g(f(z)) = g (lımz→z0 f(z)).Demostracion: basta explorar con sucesiones en Ωf adherentes a z0 y
utilizar la propiedad anterior. Se debe notar que si g no es continua en l elresultado no se verifica.
Corolario: continuidad de la funcion compuesta. Sean f : Ωf ⊂M →M ′ y g : Ωg ⊂M ′ →M ′′. Si f es continua en z0 ∈M y g es continuaen g(z0) interior a Ωg , entonces gof es continua en z0.
Observacion: se llama funcion compuesta gof : Ω ⊂ Ωf → M ′′ a lafuncion dada por
gof(z) = g(f(z)),
cuyo dominio esΩ = z ∈ Ωf : f(z) ∈ Ωg
Capıtulo 6
Derivada.
Primera parte:Derivada (en general, para funciones de una variable en un cuerpo a un
espacio vectorial). Diferenciabilidad y diferenciales. Notacion de Leibnitz yde Lagrange/Newton.
Derivada de la suma, del producto y el cociente (donde el producto ycociente existan). Derivada de la funcion compuesta.
Segunda parte:Derivada de funciones complejas de variable real. Diferenciabilidad, difer-
encial y direccion tangente a curvas.Derivada de funciones complejas de variable compleja. Interpretacion
geometrica con diferenciales.
Primera parte
Derivabilidad. La nocion de derivada total se basa en el lımite delcociente incremental. Para que este cociente tenga sentido se consideranfunciones de una variable independiente z en un cuerpo K y valores en unespacio vectorial V sobre K. Ademas, las distancias en K y en V se definencomo el modulo de la diferencia.
Definicion. Dada f : Ω ⊂ K→ V y z0 ∈ Ω punto de acumulacion de Ω,se dice que f es derivable en z0 si y solo si
∃ lımz→z0
f(z)− f(z0)
z − z0.
En ese caso se llama derivada de f respecto de z en z0 a dicho lımite.Notacion. La derivada se suele anotar como
f ′(z0) = lımz→z0
f(z)− f(z0)
z − z0
(notacion de Lagrange) o como
df
dz(z0) = lım
z→z0
f(z)− f(z0)
z − z0
(notacion de Leibnitz) o como
f(z0) = lımz→z0
f(z)− f(z0)
z − z0
(notacion de Newton)
24
PRIMERA PARTE 25
Propiedades. Entre las propiedades mas inmediatas destacamos:
Si existe la derivada f ′(z0) , es unica.Linealidad: si f y g son derivables en z0, punto de acumulacion dela interseccion de los dominios de f y g, para todo par de elementosα, β ∈ K, αf + βg es derivable en z0 y
(αf + βg)′ (z0) = αf ′(z0) + βg′(z0)
Teorema. Si f es derivable en z0, entonces f es continua en z0.
Diferenciabilidad. Dada f : Ω ⊂ K → V y z0 ∈ Ω punto de acumu-lacion de Ω, se dice que f es diferenciable en z0 si y solo si
(∃A ∈ V ) (∀z ∈ Ω, f(z)− f(z0) = A(z − z0) + ε(z)|z − z0|)
con lımz→z0 ε(z) = 0 ∈ V .Se llama diferencial de la variable independiente z en el punto z0 al
desplazamiento
dz = z − z0
y diferencial de la variable dependiente f en el punto z0 al desplazamientoen V dado por
df = A(z − z0) = Adz
de manera tal que el diferencial df es la mejor aproximacion lineal al incre-mento de la funcion
∆f = f(z)− f(z0)
ante un desplazamiento dz de la variable independienteTeorema. f es derivable en z0 si y solo si f es diferenciable en z0.Demostracion
⇒) basta acomodar, para z 6= z0,
f(z)− f(z0) = f ′(z0) (z − z0) +
[f(z)− f(z0)
z − z0− f ′(z0)
](z − z0)
y observar que la expresion entre corchetes tiende a cero cuandoz → z0.⇐) basta escribir el cociente incremental como
f(z)− f(z0)
z − z0= A+ ε(z)
|z − z0|z − z0
y observar que el ultimo termino tiende a cero cuando z → z0.
De este resultado se desprende que el vector constante A en la definicion dediferenciabilidad coincide con la derivada de f en z0, A = f ′(z0)
SEGUNDA PARTE: APLICACION 26
Teorema.
Sean f : Ωf ⊂ K→ V y g : Ωg ⊂ K→ V , con Ωf ∩Ωg 6= ∅. Si f y gson derivables en z0 ∈ Ωf ∩ Ωg, entonces f + g es derivable en z0 y
(f + g)′ (z0) = f ′(z0) + g′(z0)
Sean f : Ωf ⊂ K→ K y g : Ωg ⊂ K→ K, con Ωf ∩ Ωg 6= ∅. Si f y gson derivables en z0 ∈ Ωf ∩ Ωg, entonces f g es derivable en z0 y
(f g)′ (z0) = f ′(z0) g(z0) + f(z0) g′(z0)
(regla de Leibnitz).Sean f : Ωf ⊂ K → K y g : Ωg ⊂ K → K, con Ωf ∩ Ωg 6= ∅. Sif y g son derivables en z0 ∈ Ωf ∩ Ωg y g(z0) 6= 0, entonces f/g esderivable en z0 y
(f/g)′ (z0) =f ′(z0) g(z0)− f(z0) g′(z0)
(g(z0))2
Teorema. Sean f : Ωf ⊂ K → K y g : Ωg ⊂ K → V , con f derivable enz0 y g derivable en f(z0), con f(z0) interior a Ωg. En este caso la funcioncompuesta (g0f) (z0) = g(f(z0) es derivable en z0 y
(g0f)′ (z0) = g′(f(z0))f ′(z0)
Demostracion: analizar
h(z) =
g(f(z))−g(f(z0))f(z)−f(z0) si f(z) 6= f(z0)
g′(f(z0)) si f(z) = f(z0)
para probar que es continua en z0. Luego para z 6= z0 es seguro escribir
g(f(z))− g(f(z0))
z − z0= h(z)
f(z)− f(z0)
z − z0
y tomar el lımite para z → z0.
Segunda parte: aplicacion
Funciones complejas de variable real: curvas en el plano com-plejo. Consideramos
z : [a, b]→ C, dada por z = z(t)
Tomando parte real y parte imaginaria, queda definida
~r : [a, b]→ C, dada por ~r = ~r(t) = (x(t), y(t))
con x(t) = Re(z(t)), y(t) = Im(z(t)). Tanto en complejas como reales, lafuncion parametriza una curva γ en el plano.
De acuerdo a los resultados ya probados, se verifica que z(t) es continuaen t0 ∈ [a, b] si y solo si ~r(t) es continua en t0 ∈ [a, b].
SEGUNDA PARTE: APLICACION 27
Tambien se verifica que z(t) es derivable en t0 ∈ [a, b] si y solo si ~r(t) esderivable en t0 ∈ [a, b], siendo
z′(t0) = x′(t0) + iy′(t0)
~r′(t0) = (x′(t0), y′(t0))
La interpretacion geometrica de la derivada en este tipo de funciones rep-resenta el vector velocidad con que la parametrizacion recorre la curva. Siz′(t0) 6= 0, la curva admite vector tangente, y en particular arg(z′(t0)) da laorientacion del vector tangente.
En terminos de diferenciales, en el punto z(t0) o ~r(t0) tenemos
dz = z′(t0)dt
d~r = ~r′(t0)dt
describiendo la recta tangente a la curva, con identica informacion geometri-ca en el plano en terminos de coordenadas complejas o en terminos de co-ordenadas reales.
Definimos el diferencial de longitud de arco en el punto z(t0) cuando z(t)es derivable en t0, como
dl = |z′(t0)|dt ≡ |~r′(t0)|dtReparametrizacion de curvas. Dada una curva γ con parametrizacion
z : [a, b] → C, se puede describir la misma curva con una parametrizaciondiferente. Consideremos una funcion
t : [α, β]→ [a, b], dada por t = t(s)
que sea continua en [α, β] , monotona y suryectiva; la funcion compuesta
z : [α, β]→ C, dada por z(s) = z(t(s))
parametriza la misma la curva γ. Si t(s) es creciente, la parametrizacionconserva la orientacion, en tanto que si t(s) es decreciente la curva inviertesu orientacion.
La reparametrizacion t(s) es invertible, definiendo
s : [a, b]→ [α, β], dada por s = s(t)
Si existe t′(s) 6= 0 en un punto s0, existe s′(t) 6= 0 en el correspondientepunto t0 = t(s0), con s′(t0) = 1/t′(s0).
Una buena reparametrizacion t(s) deberıa cumplir la existencia y con-tinuidad de t′(s) 6= 0 en [a, b] para no introducir problemas en la descrip-cionde una curva.
Clasificacion de curvas. Sea una curva γ con parametrizacion z : [a, b]→C, dada por z = z(t). Por simplicidad anotaremos γ : z(t), con t ∈ [a, b].
Decimos que γ es continua si y solo si la parametrizacion z(t) es continuaen [a, b] o admite una reparametrizacion que lo sea.
Decimos que γ es suave si y solo si la parametrizacion z(t) es continuaen [a, b], con derivada continua en [a, b] y derivada no nula en (a, b), o ad-mite una reparametrizacion que lo sea. En este caso, la curva admite vector
SEGUNDA PARTE: APLICACION 28
tangente en todo punto, y el vector tangente es continuo; se dibuja comouna curva sin vertices.
Decimos que γ es suave a trozos si y solo si es continua y el intervalo [a, b]es union de un numero finito de subintervalos donde la parametrizacion seasuave. En este caso, la curva admite vector tangente, excepto en un numerofinito de puntos; en principio se dibuja con vertices. Se suele llamar contornoa una curva suave a trozos.
Decimos que γ es simple si la parametrizacion z(t) es continua e inyectivaen [a, b]. En este caso, la curva no pasa dos veces por el mismo punto.
Decimos que γ es simple y cerrada si la parametrizacion z(t) es continua[a, b] e inyectiva en [a, b), con z(b) = z(a). En este caso, la curva no pasa dosveces por el mismo punto excepto el punto inicial y final, que coinciden.
Aceptaremos que una curva simple y cerrada en el plano define un con-junto Int(γ) (interior de la curva), que es un conjunto abierto, y que lacurva es su frontera, ∂(Int(γ)) = γ. Ademas, la orientacion de la curva sepuede caracterizar como antihoraria (o positiva) cuando el interior queda ala izquierda del vector tangente, u horaria (o negativa) en el caso contrario.La demostracion de estas propiedades intuitivas corresponde a un curso deTopologıa.
Se suele llamar curva de Jordan a una curva suave a trozos, simple ycerrada.
Funciones complejas de variable compleja: mapeos en el plano.Consideramos f : Ω ⊂ C→ C, dada por una receta
w = f(z)
Tomando parte real u = Re(w) y parte imaginaria v = Im(w), con z =x+ iy, quedan definidas
u : Ω ⊂ R2 → R , dada por u(x, y) = Re(f(z))
v : Ω ⊂ R2 → R , dada por v(x, y) = Re(f(z))
Tanto en coordenadas complejas como en coordenadas reales, la funcionrepresenta un mapeo del conjunto Ω en el plano en el plano. Se puede pensarcomo un mapeo del plano en si mismo, o como un mapeo del plano en unasegunda copia del plano.
Interpretacion geometrica de la derivada de funciones complejas de va-riable compleja. Sea f derivable en un punto z0 ∈ Ω. Como f es diferenciableen z0 podemos escribir
dw = f ′(z0)dz
donde el producto se hace entre numeros complejos. Si f ′(z0) 6= 0 podemosleer la relacion entre modulos y argumentos del incremento de la variableindependiente dz y el diferencial dw como
arg(dw) = arg(dz) + arg(f ′(z0))
|dw| = |f ′(z0)||dz|
SEGUNDA PARTE: APLICACION 29
La primer ecuacion indica que dw se halla rotado respecto de dz, conun angulo de rotacion arg(f ′(z0)). Debe notarse que el angulo de rotacionarg(f ′(z0)) es el mismo para todo dz que se trace a partir de z0.
La segunda ecuacion indica que el desplazamiento dw se halla escaleadorespecto de dz, con un factor de escala |f ′(z0)|. Si |f ′(z0)| > 1 se trata deuna dilatacion, si |f ′(z0)| < 1 se trata de una contraccion. Debe notarse queel factor de escala |f ′(z0)| es el mismo para todo dz que se trace a partir dez0.
Capıtulo 7
Condiciones de Cauchy-Riemann. Analiticidad ysingularidades.
Condiciones de Cauchy-RiemannDefiniciones de analiticidad, funcion entera, singularidades y clasificacion
de singularidades.
Teorema. Dada una funcion f : Ω ⊂ C → C, escrita como f(z) =u(x, y) + iv(x, y) y dado un punto z0 = x0 + iy0 interior a su dominio, f esderivable respecto de z en z0 si y solo si u y v son diferenciables respecto de(x, y) en (x0, y0) y sus derivadas parciales cumplen las relaciones
∂u
∂x (x0,y0)=
∂v
∂y (x0,y0)
∂u
∂y (x0,y0)
= −∂v∂x (x0,y0)
(7.0.1)
En ese caso, se verifica que
f ′(z0) =∂u
∂x (x0,y0)+ i
∂v
∂x (x0,y0)
Las relaciones (7.0.1) se conoicen como relaciones de Cauchy y Riem-mann.
Demostracion
⇒) basta escribir el incremento
∆f = f ′(z0)dz + ε(z)|dz|
sabiendo que lımz→z0 ε(z) = 0 y separar parte real e imaginaria paraobtener los incrementos du y dv. De allı se reconoce que u y v sondiferenciables y se leen las derivadas parciales.⇐) basta construir el incremento
∆f = ∆u+ i∆v
y usar que u y v son diferenciables para reconocer que f es diferen-ciable y leer su derivada.
Corolarios.
Si u y v tienen derivadas parciales continuas en (x0, y0) y cumplenlas condiciones (7.0.1) en (x0, y0), entonces f es derivable en z0.
30
7. CONDICIONES DE CAUCHY-RIEMANN. ANALITICIDAD Y SINGULARIDADES. 31
Si u no es diferenciable, o v no es diferenciable, o no satisfacen lascondiciones (7.0.1) en un punto (x0, y0), entonces f no es derivableen ese punto z0.
Ejemplo. Estudio de la funcion exponencial, definida en todo el planocomo
exp(z) = ex (cos y + iseny)
Resulta analıtica en todo C.
Definiciones.
Dada una funcion f : Ω ⊂ C → C, se dice que f es analıtica enz0 interior a Ω si y solo si f es derivable en z0 y en algun entornoabierto centrado en z0. Es decir,
f es analıtica en z0 ⇔ ∃r > 0 : f es analıtica en ∆(z0, r)
Se dice que f es analıtica en A ⊂ Ω si y solo si f es analıtica en cadapunto de A.Se dice que f es una funcion entera si y solo si f es analıtica en todoC.Se llama dominio de analiticidad de f al mayor subconjunto de sudominio donde f es analıtica.
Propiedad. Los dominios de analiticidad siempre son abiertosDemostracion: dado un punto z0 donde f sea analıtica, basta considerar
el entorno donde es derivable para comprobar que en ese mismo entorno fes analıtica.
Definicion.
Dada una funcion f : Ω ⊂ C → C, se dice que f es singular en z0
si y solo si z0 es un punto de frontera del dominio de analiticidadde f . Es decir, f no es analıtica en z0 pero todo entorno reducido∆0(z0, r) contiene puntos z donde f sı es analıtica.
Clasificacion.
Se dice que una singularidad z0 de una funcion f es aislada si y solosi existe un entorno reducido ∆0(z0, r) donde f es analıtica.Se dice que una singularidad z0 de una funcion f es no aislada si ysolo si en todo entorno reducido ∆0(z0, r) existen puntos donde f esanalıtica y puntos donde f no es analıtica .Las singularidades aisladas se caracterizan por el lımite de f : si existe lımz→z0 f(z) = l finito, se dice que la singularidad es
evitable. si lımz→z0 f(z) =∞, se dice que la singularidad es polar. si no existe lımz→z0 f(z) (ni finito ni infinito), se dice que la
singularidad es esencial.
Capıtulo 8
Mapeos. Transformaciones conformes.
Transformaciones conformes (contenido geometrico y caracterizacion porderivabilidad).Mapeos elementales: funcion lineal como traslacion, rotaciony dilatacion. Inversion. Funciones bilineales.
Mapeos conformes
Mapeos o transformaciones en Rn. Sea Π : Ω ⊂ Rn → Rn un mapeodescripto por funciones
y1(x1, · · · , xn)
· · ·yn(x1, · · · , xn)
diferenciables y con Jacobiano no nulo en un punto (x01, · · · , x0
n). Si unacurva suave γ pasa por (x0
1, · · · , x0n) entonces su imagen Π(γ) sera suave en
el correspondiente punto Π(x01, · · · , x0
n); es decir, si una curva admite vectortangente en (x0
1, · · · , x0n) su imagen admite vector tangente en Π(x0
1, · · · , x0n).
Mapeos conformes en Rn.Se dice que un mapeo Π es conforme en el punto (x0
1, · · · , x0n) si
y solo si Π es diferenciable en el punto (x01, · · · , x0
n) y para cadapar de curvas suaves γ1, γ2 que pasen por (x0
1, · · · , x0n) se verifica
que los vectores tangentes a sus imagenes Π(γ1), Π(γ2) en el puntoΠ(x0
1, · · · , x0n) forman el mismo angulo que los vectores tangentes a
γ1, γ2 en el punto (x01, · · · , x0
n).Mas breve, un mapeo es conforme si y solo si conserva los angulasentre curvas suaves.Se dice que un mapeo Π es conforme en una region Ω si y solo esconforme en cada punto de la region.Se dice que un mapeo Π es localmente conforme en un punto z0 si ysolo existe un entorno ∆(z0, r) donde Πes conforme.
Mapeos conformes en C. Sea un mapeo Π : Ω ⊂ R2 → R2 descriptoen coordenadas reales por
u = u(x, y)
v = v(x, y)
32
MAPEOS ELEMENTALES 33
o en coordenadas complejas por
w = f(z) = u(x, y) + iv(x, y)
y sea z0 = x0 + iy0 ∈ Ω. Se verifica el siguienteTeorema. el mapeo w = f(z) es conforme en el punto z0 si y solo si f(z)
es derivable en z0, con f ′(z0) 6= 0Demostracion
⇒) en terminos de diferenciales, basta transformar un incremento(dx, dy) mediante una rotacion y dilatacion para calcular(
dudv
)= λ
(cosφ −senφsenφ cosφ
)(dxdy
),
leer la diferenciabilidad y las derivadas parciales de u y v, verificarlas condiciones de Cauchy y Riemmann y calcular la derivada f ′(z0).La condicion de Jacobiano no nulo implica f ′(z0) 6= 0.⇐) dadas dos curvas parametrizadas por z1(t), z2(t), suaves en z0 =z1(t0) = z2(t0) (es decir derivables con derivada no nula), bastaparametrizar sus imagenes por
w1(t) = f(z1(t))
w2(t) = f(z2(t))
y calcular sus derivadas por regla de la cadena
w′1(t0) = f(z0) z′1(t0)
w′2(t0) = f(z0) z′2(t0)
y comparar sus argumentos para obtener
arg(w′2(t0))− arg(w′1(t0)) = arg(z′2(t0))− arg(z′1(t0))
Propiedades:
Si un mapeo w = f(z) es localmente conforme en z0, entonces eslocalmente invertible y la inversa es derivable en w0 = f(z0), con
(f−1)′(w0) =1
f ′(z0)
Si un mapeo w = f(z) = u(x, y) + iv(x, y) es localmente conformeen z0 = x0 + iy0, entonces las curvas de nivel u(x, y) = u(x0, y0) yv(x, y) = v(x0, y0) son ortogonales en z0.
Mapeos elementales
Funcion lineal.
w = f(z) = az + b
con a 6= 0.
Inversion.
w = f(z) = 1/z
MAPEOS ELEMENTALES 34
Transformaciones bilineales.
w = f(z) =az + b
cz + d
con ad− bc 6= 0.
Capıtulo 9
Funciones trascendentes.
Exponencial, trigonometricas, trigonometricas hiperbolicas.
35
Capıtulo 10
Funciones multivaluadas.
Invertibilidad local. Invertibilidad global. Funciones multivaluadas: cortesy superficies de Riemann.
36
Capıtulo 11
Integracion.
Integracion de funciones complejas de variable real sobre intervalos.Integracion de funciones complejas de variable compleja sobre curvas.
37
