ANALISIS MATEMATICO 2

NOMBRE JOSE LUIS PALACIOS

EVOLUTA

Se llama evoluta de una curva "C" dada, al lugar geométrico de los centros de curvatura de "C" La evoluta de una curva plana es el lugar geométrico de los centros de curvatura de una curva plana..

ECUACION

Sea la curva formada por el conjunto de puntos (x,y) donde x e y son funciones dependientes de una variable, normalmente llamada t para hacer referencia al tiempo. Entonces se puede escribir las coordenadas de la evoluta de la forma

donde a cada (x,y) - o lo que es lo mismo, a un valor de t que determina un punto de la curva - le corresponde un centro de curvatura (X,Y) en función de ese t. La relación entre ese punto y su centro de curvatura permite conocer el radio de curvatura (y por tanto su inversa, la curvatura):

Si y=f(x), es decir, una variable depende de la otra, se puede simplificar observando los resultados de tomar x=t e y=f(t). Los centros de curvatura serán entonces:

y el radio

Eliminando x e y entre ellas se tiene la ecuación de la evoluta:

EJEMPLO

Evoluta de la elipse (astroide)

Dada la elipse:

Su evoluta viene dada por:

Que, eliminando el parámetro, queda:

ENVOLVENTE

La evolvente de una curva plana es el lugar geométrico del desarrollo rectificado tangencial de la longitud de arco desde un punto dado de la curva.(cuerda o soga que se desenrolla. La evoluta y la evolvente son correspondientemente opuesta para una dada curva. Ejemplo-La tractriz es la evolvente de la catenaria y la catenaria es la evoluta de la tractriz.

Una curva es envolvente de una familia de curvas (en particular rectas o círculos) cuando para cada punto de la curva existe un miembro de la familia que toca a la curva en un solo punto y cuando para cada miembro de la familia (familia envolvente ahora) hay un punto de la curva que lo toca en un punto