Conceptos bsicos del anlisis matemtico

Derivada de una funcinEl cociente incremental o cociente de Newton y la recta tangente a la curvaSea f una funcin y sea x un nmero en el dominio de f. Se llama cociente incremental de f en x a la expresin:

Este cociente, que resulta ser la tasa de variacin media entre dos puntos (x,f(x)) y (x+h,f(x+h)), representa la pendiente de la recta secante a la funcin en esos dos puntos.

La ecuacin de esta recta secante es la siguiente:

Cuando h es pequeo, el numero x+h est prximo a x, y es de esperar que el numero f(x+h) este prximo a f(x). En consecuencia los puntos (x,f(x)) y (x+h,f(x+h)) tambin sern cercanos. Entonces, al aproximarse h a 0, el punto (x+h,f(x+h)) se aproxima al punto (x,f(x)), y la recta secante se aproxima a la recta tangente:

que al analizarla en un punto x0 expresar el valor de la pendiente de la recta tangente en ese punto x0.[footnoteRef:1] Por ejemplo: [1: Aclaracin: f(x) no tiene relacin directa con f(x). Esto quiere decir que la representacin grafica de la derivada de una funcin no nos permite conocer nada de dicha funcin. En cambio al analizarla en un punto x=a nos permitir conocer la pendiente de la recta tangente a la funcin en el punto x=a.]

De esto se concluye que la pendiente de la recta tangente a f(x) en x=3 es igual a 15. Entonces la ecuacin de esa recta tangente ser:

En caso de que se pida averiguar la ecuacin de la recta tangente a la funcin que pasa por los puntos (x0,y0), verificar si estos puntos pertenecen a la grafica de f(x). Para ello evaluar la funcin en x0, lo que debe coincidir con el valor de y0.

IntegralesSituacin 1: Un auto avanza a una velocidad . Cuntos kilmetros se desplaza el auto entre t=0 y t=4?Para una funcin lineal o lineal a trozos el problema del clculo del rea encerrada por la grafica de la funcin en el intervalo dado y el eje x es simple; basta con sumar reas de rectngulos y tringulos. Pero, Cmo calcular el valor aproximado del rea bajo la curva desde t=0 a t=4?Podramos utilizar un nmero finito de rectngulos tales que la suma de sus reas aproxime al rea bajo la curva. As podramos dividir el intervalo [0,4] en 4, 8 o infinitos rectngulos, como se muestra a continuacin:

Supongamos que este intervalo [0,4] est dividido en n sub-intervalos, todos de igual longitud. Cul es esa longitud? n sub-intervalos _____ 41 sub-intervalo _____ xx= longitud de un sub-intervalo=4/n Cules son los puntos de divisin?t0=0, t1=4/n, t2=2x4/n, t3=3x4/n, ,ti-1=4(i-1)/n, ti=4i/n,, tn=4n/4, donde i indica el numero de corte. Ya definimos la longitud de un sub-intervalo, es decir que conocemos el valor de la base de cada rectngulo. Sin embargo, falta averiguar el valor de la altura. Para ello debemos evaluar la funcin en un punto arbitrario que puede ser uno de sus extremos, por ejemplo el extremo de la derecha. De tal forma, la altura h de cada rectngulo est definida por:

Entonces se obtiene que el rea de un rectngulo est dada por:

Al sumar todos estos resultados, desde i=1 hasta i=n, se tiene una aproximacin por exceso del rea de la regin considerada.

El valor as obtenido de Jn es una aproximacin por exceso del rea de la regin. Cmo mejoramos esta aproximacin?Aumentando el nmero de sub-intervalos en el que se divide el intervalo [0,4], es decir, aumentando el nmero de n. este hecho nos conduce a diferentes sumas Jn que al tender a infinito nos dar el rea exacta de la regin.

La integral definidaLa integral definida de f desde a hasta b es:

Si f es integrable en [a,b] y en ese intervalo , entonces:

Teorema de integrabilidad

Si f es continua en [a,b], o si tiene en ese intervalo [a,b] a lo sumo un numero finito de discontinuidades (es decir, presenta una discontinuidad de primer tipo o salto), entonces f es integrable en [a,b].

Tcnicas de Integracin1. Mtodo de sustitucin

Para poder aplicar este mtodo debemos tener una integral del tipo:

Ejemplo

a. Llamar u a g(x)

b. Calcular la derivada de u con respecto a x

c. Reemplazar las igualdades en la integral indefinida

d. Calcular la primitiva de f(u)

e. Reemplazar u por g(x) en la primitiva

f. Comprobar que se cumpla

2. Integracin por partes

Por desgracia, muchas integrales no pueden ser resueltas por el mtodo de sustitucin. Por ejemplo:

Para resolverla es necesario implementar la tcnica de integracin por partes.

Para llevar a cabo este mtodo se debe respetar la siguiente frmula:

Para aplicar la integracin por partes, es necesario elegir con cuidado u y dv, de modo que la integral del segundo miembro sea ms sencilla de calcular que la del primero.

Ejemplo

a. Reconocer u y dv

b. Calcular la derivada de u respecto de x y averiguar v

c. Reemplazar los datos en la formula

d. Calcular la primitiva

e. Comprobar que se cumpla

3. Integracin trigonomtrica

Muchas integrales indefinidas que comprenden productos y potencias de funciones trigonomtricas se pueden calcular con ayuda de identidades trigonomtricas. La resolucin de este tipo de integrales vara dependiendo el grado al que est elevando la identidad trigonomtrica.

Algunas identidades trigonomtricas

Ejemplo 1: la funcin esta elevada a un numero n par.

a. Para resolver esta integral es necesario realizar operaciones algebraicas con la finalidad de obtener una expresin de la que no participen ni el seno ni el coseno cuadrado.

b. Por el mtodo de sustitucin puede resolverse la segunda integral.

c. Comprobar que se cumpla

Ejemplo 2: la funcin esta elevada a un numero n impar.

a. Para resolver esta integral es necesario realizar operaciones algebraicas tal que se obtenga una identidad trigonomtrica elevada a una potencia n par.

b. Resolver la segunda integral mediante el mtodo de sustitucin.

4. Sustituciones trigonomtricasIntegrales del tipo , ,

En la siguiente tabla se representan las sustituciones adecuadas segn sea la forma del integrando:Forma del integrandoIdentidad trigonomtricaSustitucin adecuada

Consideremos la funcin como ejemplo.a. Reconocer el valor de a.

b. Realizar una sustitucin trigonomtrica adecuada dependiendo del tipo de integral que se trate.

c. Reemplazar en el integrando y realizar las operaciones necesarias para encontrar una expresin sencilla del integrando.

d. Para resolver esta nueva integral es necesario aplicar el mtodo de sustitucin.

A su vez:

5. Integracin de funciones racionales mediante fracciones parciales

Este mtodo se utiliza para integrar funciones racionales donde P y Q son polinomios y el grado de P es menor que el grado de Q. Si ocurre lo contrario se procede a realizar una divisin de polinomios, y a continuacin, si se elimina el cociente de polinomios, se lleva a cabo la integracin.

Supongamos que debemos resolver la siguiente integral:

a. Escribir la fraccin del integrando de la manera ms simple posible. (factorizacin, divisin de polinomios, races de polinomios, etc.)

b. Escribir la fraccin como suma de fracciones simples. La fraccin dada puede expresarse como:

c. Encontrar los valores de A y B

Debe cumplirse que:

Entonces:

Sumando ambos miembros, se obtiene:

Reemplazando se llega a lo siguiente:

d. Se realiza la integracin de cada una de las fracciones por separado:

Teorema de StokesEl teorema de Stokes vincula una integral alrededor de la curva frontera de S.

Sea S una superficie orientable, en la que se ha elegido una direccin normal de . C es la curva frontera de S, orientada de acuerdo a la orientacin inducida por . Si es un campo vectorial cuyas componentes admiten derivadas parciales continuas en un dominio D R3 que contiene a S y a C, entonces:Flujo de un campo Circulacin de un campo

Esto significa que el flujo de un campo rotor[footnoteRef:4], no depende de la superficie que atraviesa, sino de su frontera. [4: ]

Aplicacin del teorema de Stokes al caso de una superficie que tiene como frontera dos curvas cerradas

Como 1=-2:

Por lo tanto:

Donde C1 y C2 tienen orientacin opuesta.Teorema de GaussEl teorema de Gauss permite relacionar una integral de flujo (integral de superficie) con una integral triple.

Si es un campo vectorial, derivable con continuidad, definido en cierto dominio D R3 y S superficie cerrada orientable contenida en D, frontera de un slido V, entonces:Con normal exterior.

Siendo la divergencia del campo igual a: ; siendo

Ecuaciones DiferencialesEcuaciones diferenciales de primer ordenUna ecuacin diferencial de primer orden se le puede representar de las siguientes formas:Forma implcita

Forma explicita

Forma diferencial

Resolucin de ecuaciones diferenciales1. Ecuaciones de variables separadas o separablesUna ecuacin diferencial , en la que P depende de x y Q depende de y (o sea ) se dice de variables separadas o variables separables.La solucin general de una ecuacin de variables separadas se obtiene integrando cada termino con respecto a la variable correspondiente:

Observacin: 1) La primitiva general de cada trmino provee una constante arbitraria, al sumarse se obtiene una nueva constante C.2) En algunos casos, operando algebraicamente, es posible llevar una ecuacin diferencial a la forma de variables separadas.Ejemplo

Si dividimos ambos miembros por se tiene:

Resultando ser una ecuacin de variables separadas. Entonces se integra cada trmino respecto a la variable correspondiente:

Sin embargo, esta solucin adquiere una forma ms sencilla aplicando la funcin exponencial en ambos trminos:

2. Ecuaciones diferenciales exactas La ecuacin diferencial de 1er orden es una ecuacin diferencial exacta en cierto dominio , si existe una funcin f(x,y) en D tal que:

En tal caso, la expresin , es solucin general de la ecuacin dada.Cmo podemos reconocer una ecuacin diferencial exacta?Si es exacta, sabemos que existe f, tal que:

Suponiendo que P y Q admiten derivadas parciales continuas, necesariamente debe verificarse:

Cmo obtener la expresin de f?Una de las condiciones para que la ecuacin diferencial sea exacta es que la derivada de f con respecto a x sea igual a P. Por lo tanto podemos asegurar que f debe ser una primitiva de P, con respecto a x. A su vez, f debe incluir una constante de integracin que pueda depender de y, o sea que debe poder escribirse en la forma:

Ahora bien, a que equivale esa constante dependiente de la variable y?Como tambin debe cumplirse que:

Ejemplo:

Se busca f tal que:

Como:

Entonces, la solucin general de la ecuacin diferencial es:

3. Ecuaciones diferenciales lineales de primer ordenToda ecuacin lineal respecto de la funcin desconocida y su derivada , se llama ecuacin lineal de primer orden. La ecuacin tiene la forma:

Para resolver este tipo de ecuaciones diferenciales es necesario considerar que la solucin y es igual a:

Entonces:

Veamos un ejemplo. Supongamos que tenemos que resolver la siguiente ecuacin diferencial:

Reemplazando y e yen la ecuacin diferencial se obtiene:

Suponiendo que , esta ltima se convierte en una ecuacin de variables separables:

Integrando se obtiene:

Si , por lo que:

Integrando con respecto a x obtenemos la expresin de u(x). Como no es posible encontrar la primitiva la solucin queda expresada como una integral.

Entonces la solucin general de la ecuacin diferencial es:

Analicemos el caso en donde la ecuacin diferencial es de la forma:

Es posible convertir este tipo de ecuaciones en diferenciales lineales de primer orden.Al dividir ambos trminos por yn:

Si realizamos la siguiente sustitucin, obtenemos de esta forma una ecuacin diferencial lineal de primer orden en z:

Esta ecuacin diferencial lineal de primer orden se resuelve de la misma forma que se procedi anteriormente.

Series de TaylorDada una funcin que tiene derivadas de todo orden en , se llama serie de Taylor de esa funcin, desarrollada en , a la serie:

En el caso especial, cuando , la serie de Taylor de

Se llama serie de McLaurin.Calculo de la serie de Taylor de una . Estudio del intervalo de convergencia a Dada una funcin con derivadas de todo orden en , se puede formar la serie de Taylor de , calculando simplemente los coeficiendes mediante las sucesivas derivadas en . Se debe verificar si esa serie de Taylor tiene una suma S(x) y si esa suma coincide o no con en algn intervalo . Si la suma S(x) fuese en ese intervalo, existe la representacin en serie de dicha funcin, y tal serie es la nica serie de potencias en que la representa.Teorema de TaylorSea una funcin tal que existen todas sus derivadas hasta el orden para todo en el intervalo . Entonces para todo en el intervalo:

en donde es el polinomio de Taylor de grado k de en .

donde .La importancia de este teorema radica en el hecho de que los son las sumas parciales de la serie de Taylor y que:

Cuando , se aproxima de mejor manera a .En resumen, si tiene derivadas de todos los rdenes en todo del intervalo , y si para todo en el intervalo, entonces:

Derivacin e integracin de series de potenciasSi converge en el intervalo de radio , entonces es continua, derivable e integrable en el intervalo , . Adems la derivada y primitiva de son:

El radio de convergencia de la serie obtenida al derivar o integrar una serie de potencias es el mismo que el de la serie original. Sin embargo el intervalo puede diferir respecto del intervalo de la original.Observacin importante:Si se conoce la representacin en serie de una funcin , podemos conocer la representacin de o derivando o integrando la representacin de la funcin respectivamente.Convergencia de seriesCriterio necesario para la convergencia:

Series geomtricas

Una serie geomtrica converge a:

Si y diverge si

Series telescpicas

La caracterstica de una serie telescpica es que:

Entonces:

Criterio de la integral es continua, positiva y decreciente para x1Entonces: converge converge.

Series p

Si p>1, entonces la serie converge. Si p0, entonces ambas series son convergentes o ambas son divergentes. Si L no existe, y diverge, entonces diverge tambin.

Criterio de la razSea una serie con trminos positivos, se calcula el lmite:

Si L1, la serie diverge. Si L=1, el criterio no decide.

Criterio del cocienteSea una serie de trminos positivos y supongamos que:

Entonces: Si L1, la serie diverge. Si L=1, el criterio no decide.

Series alternantes

Las series alternadas convergen si cumplen el criterio de Leibniz.Sea : si y Entonces, la serie converge.