Analisis Matematico IV Lunes

UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA FACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERA

ESCUELA ACADMICO PROFESIONAL DE INGENIERA CIVIL- HUANCAVELICA

Lic. Mg. Cesar castaeda Campos Pgina 1

I.- Determinar si es o no es exacta cada uno de las siguientes ecuaciones diferenciales

ordinarias. Si es exacta, determinar su solucin.

. + + =

Solucin:

Determinamos si es exacta o no es exacta.

= 2

= 2 + 4

Para esto hallamos la derivada.

= 2 ;

= 2

Como son exactas se halla la solucin.

;

= 2 . ;

;

= 2 + 4 .

integramos la ecuacin I .

; = 2

; = 2y + g y .

Derivamos la ecuacin (*) con respecto y.

;

= 2 + g` y . .

Igualando las ecuaciones II y III.

2 + 4 = 2 + g y

g` y = 4 .

g y = 4

g y = 22 +

reemplazando en (*).

; = 2y + g y

; = 2y + 22 +




. + + + =

; = 32 + 6 2 ; ; = 32 2 + 32

= 6 2 ;

= 6 2

=

(; )

= 32 + 6 2

; = 3 + 32 2 + ()

(; )

= 32 2 + = 32 2 + 32

()

= 3 +

3 + 32 2 + 3 =

3).

=

+ , =

Solucin:

=

22=

1

2

=

2 + 2 1

Derivamos:

=

22 2 2

22 2

=

2 + 2 4 + 22

2 + 2 2

Como:

La EDO no es exacta

. ) +

( + )+

=

Solucion:

2 + + ( + )2 = 0

2 + + + 2 = 0

2 + + 2 + 2 + 2 = 0




2 + 2 + 2 + 3 = 0

= 2 =

= 2

= 2 + 2 + 3 =

= 2 + 3

) + + + = ,

Solucin:

= +

= + + + 1

= 1 + + 2

= + 2

= + 2 + + 2

= 1 + + 2( + )

Como:

6) ( ) ++

+

+

dy= 0

= ln + +

; =

+

=

`

+

+ ` `( + )

( )2

=

+ 2

2

=

+

( )2




=

`

+ ` `( + )

( )2

=

+ 2

( )2=

+

( )2

=

, la ecuacion es exacta

,

=

,

= ln +

+

, = ln +

=ln(x-y)

=

, = + + 2

= =

= =

, = + + 2 +

, = + + + + 2 +

, = + + +

,

=

+

+ ln + 1 + ` =

1 + ` = 0

= 1 = +

, = + ln + +

(x+y)ln(x-y)=k

) + [ + + ()] =

Solucin:

= sec tan tan = sec tan tan sec 2




= sec + sec 2 + tan()

= sec tan sec 2 sec 2

= sec tan + sec 2

. .

8): Solucin:

1 + tan() + sec tan + 2 + = 0

1 + tan() + sec tan + + 2 + sec tan

+ 2 = 0

1 + tan + sec tan + 2 + sec tan + 2

= 0

, = 1 + tan + sec tan + 2

, = 2 + tan sec tan + 2

+ 3 + 2 + 22 2 tan()

, = sec tan + 2

, = + tan sec tan + 2 + 3

+ 2 + 2 + 22 2

, = ,

, = (, )

, = sec tan + 2

, = sec tan + 2

, = sec + + . .1

= , sec +

Derivando:




=

, sec + + 2

Remplazando:

= 1 + tan + sec tan + 2 sec +

+ 2

Integrando:

= + 2

Remplazando: 2 en 1

, = sec + + +

II.- resolver las siguientes EDOs. Como lineales o como ecuaciones de Bernoulli.

1) + = ()

= cos = ()

SOLUCIN

UTILIZANDO ECUACION LINEAL DE PRIMER ORDEN

= () () () +

= cos()

= ()

= () () () +

= () +

= ( + )




). =

Solucion:

=

23

2

= 3

2

2= 3

= ()

=

= 12

ln()

=1

2

= () +

= 1

2 () 1

2 +

= 1

2 2

1

2 +

= 1

2

1

2 2 +

= 1

4 2 +

Integrando por partes

2 =

: = , = 2 =

; =

3

3

:

2 = 2 3

3

2 = 2 1

3

3

3 +




2 =3

3

3

9+

= 1

4

3

3

3

9 +

3) + + =

Solucin:

+ 2 + = 2

+ 2 = 2

Donde:

= 2

() = 2

=

= 2

= 2

Teniendo la frmula de la EDO lineal

= () +

Reemplazando en la frmula

= 2 (2 )2 +

= 2 22 + 2 3 +

=6

4 2 2

2 + ..1

Integrando por partes:

= 2

= 2

= 2 = 2

=

22 = 2

2

22

22 = 2

2 2

2 ..2

Volviendo a integrar por partes:




= =

= 2

= 2

2

= 2

2

2

= 2

2

+ .3

Reemplazando la ecuacin 3 en la ecuacin 2

22 = 2

2 2

2

22 = 2

2 2

2

2 + ..4

Reemplazando la ecuacin 4 en la ecuacin 1

=6

4 2 2

2 +

=6

4 2 2

2 2

2

2 +

=6

4 2 2

2 2

2+

2 +

=6

4 4

2+ 23

2 2

2+

4.-

+ = , ,

Solucin:

+ =

+

=

Donde:

=

; () =

Entonces:

=

=

Reemplazando en la formula:

=

+




=

+

=

+

7) + =

SOLUCIN:

:

2 + 3 43 = 0

2 + 3 = 43

2:

+ 3

= 4

=3

; = 4

: = ()

= 3 = ln(

3)

:

= 3

:

= () . () +

= 3 3 4 +

= 43 5

5 +

= 4

58 +

9). x2y + 2xy y3 = 0

dy

dx+

2xy

x2=

y3

x2 formando la ecuacion de Bernuolli , n 0,1

dy

dx+

2

x y =

1

x2 y3 siendo n = 3 ; P x =

2

x , Q x =

1

x2

multiplicando por y3 con el fin de obtener una ecuacion lineal.

y3dy

dx+

2

x yy3 =

1

x2 y3y3




y3dy

dx+

2

x y2 =

1

x2 (i)

tomando y1n = z y2 = , derivando respecto a x para otener 3y2dy

dx

y2 = 2y3dy

dx=

dz

dx y3

dy

dx=

dz

2dx remplazando en i

dz

2dx+

2

x z =

1

x2

dz

dx+

4

x z =

2

x2 se obtiene una ecuacion lineal de primer orden en z.

donde: P x =4

x, Q x =

2

x2

Entonces:

z = e

4x dx

2

x2 e

4x dx

dx + c

= e4 1x

dx 2 1

x2 e4

1x

dx dx + c

= e4ln x 2 1

x2 e4ln x dx + c

= eln

1x4

2

1

x2 eln x

4 dx + c

=1

x4 2 x2 dx + c . . (ii)

=1

x4 2

x3

3+ c

z =2

3x+

c

x4

Remplazando en y(1n) = z y2 =

y2 =2

3x+

c

x4




). + =

Solucin:

2 + 2 2 = 2

Primero dndole la forma de la ecuacin de BERNOULLI

2 + 2 2

= 2

2 + 2 2

2=

2

2+

2

2

2

2=

2+

2

2

2=

=

1

2+

1

2

211

2

1

2=

1

2

211

2

Multiplicando la igualdad por x

21

2=

2

21

2 (1)

Haciendo un cambio

= 2

= 2

1

2

=

. . (2)

Reemplazando (2) en (1)

1

2

1

2=

2

21

2

1 = 21

+ 1 = 21 . . 3

Resolviendo la (3) por EDO lineal de primer orden

Donde:




= 1 ; = 21

=

=

= () = = = =

= +

= 21 1

= 1 22

= + 21 + = 2 + 2 +

= 2 + 2 +

Reemplazando su valor inicial a z

2 = 2 + 2 +

2 = 2 + + 2 .

12). + + =

Solucin:

3 + + 1

32=

3 + + 1 = 32

3

32+

32+

1

32=

32

32

1

3 +

+ 1

32=

1

3 =

+ 1 2

3 (1)




= 1(2)

= 3 = 3

= 32

=1

32

(2)

Remplazamos 2 en 1:

1

3 =

+ 1 2

3

1

3( 3

)2()

1

3 3

= + 1 (

3)2

3

Multiplicamos a todo 2 3 :

3

3=

+ 1

3

= + 1

= 1 , = + 1

Remplazamos en:

=

= 1

=

Trabajamos con ecuacin lineal:

= () +

Trabajando con Z:

= ( + 1) +

= + + +

= + 2 +

Remplazamos z:




3 = + 2 +

= + 2 + 3

III.- resulvase cada una de las ecuaciones siguientes, sujetas a las condiciones dadas.

2) y``y`=1 Y(0)=5 , Y`(0)=1

y`2`

= 1 y`2 ` =

y`3

3= +

Y = 5 , Y` = 1 1

3= 5 + =

14

3

y`3

3=

14

3 ` = 3 14

3

= 3 14

3

3 143

= +

= 3 14 = 3

313

= +

23

2= +

3 14 23

2= + = 0, = 0

= 1963

2

= 2 + 196

3 + 14

3




IV.- determinar si los siguientes conjuntos de funciones son linealmente independientes

para el intervalo que se indica.

1) 1,; en todos los intervalos de

Solucin:

1; ; 22 = 1 22

0 42

0 82

:

1; ; 22 = (82 42)

Por lo tanto:

1; ; 22 = 12 0

2) en cualquier intervalo I

Solucin:

W ; 2 ; 3 = 2 3

22 33

42 93

Hallamos la determinante:

2 3

22 33

42 93 = (2293 + 423+ 233)

-( 3222+3342+932

W ; 2 ; 3 = 26 0

W ; 2 ; 3 0

Por lo tanto 2 3 si son linealmente independientes

). , (), ()

Solucin

W ( , cos(), () ) =

(W ( , cos(), () ) = 2 + 2 +

( + )




W ( , cos(), () ) = + ( + )

, , = + + 2 + 2

, , = + + 2 + 2

, , = + 2 + 2

, , = + (2 + 2)

, , = +

, , = 2 2 0 ; . . .

4) , , ;

SOLUCIN:

, , , 23 , =

2 3

100

(1 + )

(2 + )

(3 + )

(3 + 1)(3 + 4)(3 + 7)

=

(1 + ) (3 + 1)

(2 + )

(3 + )(3 + 4)(3 + 7)

1 (1 + ) (3 + 1)0 (2 + )

0 (3 + )(3 + 4)(3 + 7)

+ 1 (3 + 1)

0

0 (3 + 4)(3 + 7)

(2 + 3) 1 (1 + )

0

0 (2 + )

(3 + )

= 2 2 + 3 + 7 + 2(3 + )(3 + 4)

1 + 2 3 + 7 + 2 3 + 4 (3

+ 1) 2 3 + 2(2 + )

2 2 + 3 + 7 + 2 3 + 4 3 + + 1 + 0

3 + 1 0 + 2 3 + 7 + 2 3 + 4 0 + 0 (2

+ 3) 2 3 + 2 2 + 0 + 0

= 3 13 + 14 + 32 + 3(13 + 12 + 32)

1 32 72 + 32 + 42 (3

+ 1) 32 + 2 22 2

:

, , , 23 , = 0 + 23 33 22 32

, , , 23 , 0

. .




).

,

(,

Como son 2 funciones: f x 1 = x12 , f x 2 = x

13

entonces de dirivara una ves a ambos, al hallar su determinate.

= x

12 x

13

1

2 x

12

1

3 x

23 = x

12

1

3 x

23

1

2 x

12 x

13

=1

3 x

16

1

2 x

16

1

6 x

16

= 1

6 x

16 por lo tanto las funciones: x

12 , x

13 son linealmente independientes

para 0 < < , 1

x6 > 0

) , . en cualquier intervalo I

Tendr dos determinantes:

: > 0; 1 = 2 ; 2 = . =

2

1 ; 2 = 2 2

2 2 = 23 23 = 0

.

: < 0; 1 = 2 ; 2 = . =

2

1 ; 2 = 2 2

2 2 = 23 + 23 = 0

.

2 , . ; Son linealmente dependientes

8). , , () en cualquier intervalo

Solucin:

cos , cos , () =

cos cos ()sen sen ()cos cos ()

= ()2 cos 2 sen cos cos

+ sen cos cos sen




= ()2 cos 2 2 + sen

+ cos 2 cos + sen sen cos

+ cos + 2 sen

cos cos sen sen 2 sen

= ()2 cos 2 2 cos 2

+ sen sen cos

+ sen 2 sen 2

cos cos ()sen sen ()cos cos ()

= 1 0

cos , cos , () son L. I.

) , , en cualquier intervalo I

Solucin:

= 1, 2 , 1 = 1 2 1 0 2 0 2 cos cos

= 1, 2 , 1 = 2() ()2cos() cos()

= 1, 2 , 1 = 2 (2)

= 1, 2 , 1 = 0

1, 2 , 1

V.-hllese la solucin general de cada uno de las ecuaciones siguientes.

) `` + ` + =

y` = D

2 + 5 + 4 = 0

+ 4 + 1 = 0

D=-4,D=-1

= 14 + 2

= 1 + 2

4

2). + 4 21 = 0




Solucin:

=

2 + 4 21 = 0

3

7

3 + 7 = 0

3 = 0 ; + 7 = 0

1 = 3 ; 2 = 7

Como las races son reales y diferentes, entonces su ecuacin diferencial ser:

= 11 + 2

2

= 13 + 2

7

= 13 + 2

7 .

3: Solucin:

+ + =

2 =

Remplazando:

42 + 20 + 25 = 0

5

2

2

= 0

1 = == 5

2

2 = == 5

2

Entonces:

= 1

52 + 2

52




4). + + =

=

2 + 4 + 13 = 0

12 =4 16 4(13)

2

12 =4 2 4 13

2

12 = 2 3i

1 = 2 + 3i

2 = 2 3i

= 12cos(3)

+ 22(3)

. + + =

Solucin:

4 + 4 + 5 = 0

Usamos el operador D=y

42 + 4 + 5 = 0

hallamos las soluciones.

12 =4 42 4 5 4

2 4

12 = 4 64

12 =4 64

8

12 = 1

2

= 12 cos + 2

2 sin + 3

2 cos + 4

2 sin




7)

+

=

Solucin:

2

2 6

+ 9

3

= 0

2

2 6

+ 9 = 0

Reemplazando:

=

Obtenemos:

2 6 + 9 = 0

3 3 = 0

las raices son reales e iguales por lo tanto:

3 = 3 =

La ecuacin es:

= 13 + 2

3

).

+

+ =

Solucin:

4 ,, + 4 , + = 0

42 + 4 + 1 = 0

(2 + 1)2 = 0

1 = 1

2 2 =

1

2

= 1/2 + 2

/2 .

11) + 6 + 13 5 = 0

Solucin:

+ 6 + 13 = 0

=

2 + 6 + 13 = 0




:

=6 36 52

2= =

6 16

2

= 3 2

1 = 3 + 2

2 = 3 2

= 1 cos + 2

. . (1)

(1)

= 13 cos 2 + 2

3 2 + 33 cos 2 + 4

3 2

= 13 cos 2 + 2

3 2 + 33 cos 2 4

3 2 .

9) 10" + 6+ = 0

Solucin:

Por definicin tenemos:

= D

= D

Reemplazando:

102 + 6 + 1 = 0..(factorizamos)

a= 10, b= 6, c= 1

x1,2 = 24

2

x1,2 =6 624(10)(1)

2(10) =

6 4

20 =

62

20

Por lo tanto:

X1 = 3+

10 ; X2 =

3

10

Reemplazamos en la frmula:

= c1 cos + c2 ()

= c1

3

10 cos

1

10 + c2

3

10 sen

1

10 +c3

3

10 cos

1

10 + c4

3

10 sen

1

10




10) =

SOLUCIN:

2 2 1 = 0

:

=2 22 4(1)(1)

2(1)

1 = 1 + 2 ; 2 = 1 2

:

= 1(1+ 2) + 2

(1 2)

= 1(1 2) + 2

(1+ 2)

12). 4y(6) 20y(5) + 25y(4) = 0

se toma y = D el polinomio caracteristico de la ecuacion deferencial es.

= 4D(6) 20D(5) + 25D(4) = 0

= D(4) 4D(2) 20D + 25

= D(4) D 5

2

2

= 0

D1 = 0, D2 = 0, D3 = 0, D4 = 0, 5

2D5 =

5

2

Y = C1e0x + C2xe

0x + C3x2e0x + C4x

3e0x + C5e5x

2 + C6xe5x

2

Y = C1 + C2x + C3x2 + C4x

3 + C5e5x

2 + C6xe5x

2

1). y + 5y + 4y = 0

se tomara: = D, remplazando , el polinomio caracteristico de la ecuacion deferencial es.

= 4D(6) 20D(5) + 25D(4) = 0

= D(4) 4D(2) 20D + 25

= D(4) D 5

2

2

= 0




D1 = 0, D2 = 0, D3 = 0, D4 = 0, 5

2D5 =

5

2

Y = C1e0x + C2xe

0x + C3x2e0x + C4x

3e0x + C5e5x

2 + C6xe5x

2

Y = C1 + C2x + C3x2 + C4x

3 + C5e5x

2 + C6xe5x

2

13) 16 7 8 6 + 5 = 0 ; =

167 86 + 5 = 0

5(162 8 + 1) = 0

5(4 1)2 = 0

1,2,3,4,5 = 0 ; 6,7 =1

4

= 10 + 2

0 + 320 + 4

30 + 540 + 6

0 + 70

= 1 + 2 + 32 + 4

3 + 54 + 6 + 7

). ( + ) =

Solucion:

=

Entonces

42 8 + 7 = 0

4(2 2 +7

4) = 0

2 2 +7

4= 0

( 1)2 1 +7

4= 0

( 1)2 +3

4= 0

( 1)2 = 3

4

= 1 3

4




= 1 3

2

1 = 1 + 3

2 ; 2 = 1

3

2

Las soluciones son complejas entonces tenemos.

= 1 cos

3

2 + 2

sen 3

2 + 3

cos 3

2 + 4

sen 3

2

= 1 cos

3

2 + 2

sen 3

2 + 3

cos 3

2 4

sen 3

2

= 1 + 3 cos

3

2 + 2 4

sen 3

2

= 1 + 3 cos

3

2 + 2 4

sen 3

2

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