Upload
lynguyet
View
221
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Analisis Numerico
Metodos directos para la resolucion de sistemas lineales
CNM-425
Departamento de MatematicasFacultad de Ciencias Exactas y Naturales
Universidad de Antioquia
Copyleft © 2010. Reproduccion permitida bajo los
terminos de la licencia de documentacion libre GNU.
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Contenido
1 Algebra de matrices
2 Sistemas de ecuaciones lineales
3 Factorizacion de matrices
4 Pivoteo
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Notacion
Definicion 1.1
Escalares: numeros reales o complejos, los denotamos en minusculas:
a, b, c, x, y, z...
Matrices: arreglos rectangulares de escalares, las denotamos en negrilla:
A, B, C, X, Y, Z, u, v . . .
A =
2
6
6
6
6
6
6
6
6
4
a11 a12 · · · a1j · · · a1n
a21 a22 · · · a2j · · · a2n
......
......
ai1 ai2 · · · aij · · · ain
......
......
am1 am2 · · · amj · · · amn
3
7
7
7
7
7
7
7
7
5
⇐⇒A = [aij ]m×n
i : fila
j : columna
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Matrices en Octave
Ejemplo:
A =
2
4
2 3 5 −31 0 3 7−2 4 6 0
3
5 =⇒ a11 = 2, a14 = −3, a34 = 0, etc.
En Octave:
octave:#> A = [2 3 5 -3; 1 0 3 7; -2 4 6 0]A =
2 3 5 -31 0 3 7-2 4 6 0
octave:#> A(1,1)ans = 2
octave:#> A(1,4)ans = -3
octave:#> A(3,4)ans = 0
octave:#> A(3,1)ans = -2
octave:#> A(1,3)ans = 5
octave:#> A(2,1)-A(1,3)*A(2,4)ans = -34
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Notacion
Definicion 1.2
vector columna: matrices que consisten de una sola columna
vector fila: matrices que consisten de una sola fila
vector: vector columna
octave:#> x = [8 6 -4 7]x =
8 6 -4 7
octave:#> y = [1; 6; 8]y =
168
octave:#> x(1,3)ans = -4
octave:#> x(3)ans = -4
octave:#> x(3,1)error: invalid row index = 3
octave:#> y(2,1)ans = 6
octave:#> y(2)ans = 6
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Definicion 1.3 (Igualdad de matrices)
Dos matrices A = [aij ]m×ny B = [bij ]p×q
son iguales si tienen el mismonumero de filas (m = p) y columnas (n = q), y ademas
aij = bij , para todo i, j
octave:#> xx =
8 6 -4 7
octave:#> yy =
168
octave:#> x == yerror: mx el eq: nonconformantarguments (op1 is 1x4, op2 is 3x1)
octave:#> z = [8 -6 4 7]z =
8 -6 4 7
octave:#> x == zans
1 0 0 1
octave:#> z(2)=6; z(3)=-4;
octave:#> zz =
8 6 -4 7
octave:#> x == zans
1 1 1 1
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Comandos para manipulacion de arreglos
Comando Descripcion
inicio:incremento:final Crea vector fila con sus elementos igualmente espaciadoslinspace(inicio,final,n) Crea vector fila con n elementos igualmente espaciadoszeros(m,n) Crea matriz de puros ceros con m filas y n columnasones(m,n) Crea matriz de puros unos con m filas y n columnasrand(m,n) Crea matriz m×n con entradas aleatoriasmagic(n) Crea “cuadrado magico” n×n
eye(n) Crea la matriz identidad n×n
octave:#> a = 0:0.25:1a =
0.00000 0.25000 0.5000 0.75000 1.00000
octave:#> b = linspace(0,1,5)a =
0.00000 0.25000 0.5000 0.75000 1.00000
octave:#> c = zeros(3,2)c =
0 00 00 0
octave:#> u = ones(2,3)u =
1 1 11 1 1
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Comandos para manipulacion de arreglos
Comando Descripcion
inicio:incremento:final Crea vector fila con sus elementos igualmente espaciadoslinspace(inicio,final,n) Crea vector fila con n elementos igualmente espaciadoszeros(m,n) Crea matriz de puros ceros con m filas y n columnasones(m,n) Crea matriz de puros unos con m filas y n columnasrand(m,n) Crea matriz m×n con entradas aleatoriasmagic(n) Crea “cuadrado magico” n×n
eye(n) Crea la matriz identidad n×n
octave:#> r = rand(2,3)r =
0.75845 0.54151 0.336710.33042 0.11906 0.31983
octave:#> m = magic(3)m =
8 1 63 5 74 9 2
octave:#> unos = ones(3)unos =
1 1 11 1 11 1 1
octave:#> id = eye(3)id =
1 0 00 1 00 0 1
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Funciones sobre arreglos
Funcion Descripcion
length(x) Retorna el numero de elementos de un vector x
[m.n] = size(X) Retorna el numero de filas y columnas de una matriz X
reshape(X,m,n) Retorna una matriz m×n con elementos tomados de X
max(x) Retorna el mayor elemento de un vector x
max(X) Retorna vector fila con los elementos mayores de cada columna de X
min(x) Retorna el menor elemento de un vector x
min(X) Retorna vector fila con los elementos menores de cada columna de X
octave:#> t = 1:6u =
1 2 3 4 5 6
octave:#> length(t)ans = 6
octave:#> uu =
1 1 11 1 1
octave:#> [m,n] = size(u)m = 2n = 3
octave:#> Q = reshape(t,2,3)Q =
1 3 52 4 6
octave:#> max(Q)ans =
2 4 6
octave:#> max(max(Q))ans = 6
octave:#> min(min(Q))ans = 1
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Notacion
A =
2
6
6
6
6
6
6
6
6
4
a11 a12 · · · a1j · · · a1n
a21 a22 · · · a2j · · · a2n
......
......
ai1 ai2 · · · aij · · · ain
......
......
am1 am2 · · · amj · · · amn
3
7
7
7
7
7
7
7
7
5
⇐⇒ A = [aij ]m×n
Fila i-esima de A:
Ai∗ =ˆ
ai1 ai2 · · · ain
˜
octave:#> A(i,:)
Columna j-esima de A:
A∗j =
2
6
6
6
4
a1j
a2j
...anj
3
7
7
7
5
octave:#> A(:,j)
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Comandos para extraer elementos de un arreglo
Comando Descripcion
A(i,:) Fila i-esima de A
A(:,j) Columna j-esima de A
A(:) Retorna una columna con todos los elementos de A
A(j:k) Retorna A(j), A(j+1), . . . , A(k)A(:,j:k) Retorna A(:,j), A(:,j+1), . . . , A(:,k)A(i,[1:i-1,i+1:n]) Retorna la fila i-esima sin el elemento A(i,i)
octave:#> AA =
2 3 5 -31 0 3 7-2 4 6 0
octave:#> A(1,:)ans =
2 3 5 -3
octave:#> A(:,2)ans =
304
octave:#> A(:)ans =
21-2304536-370
octave:#> A(3)ans = -2
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Comandos para extraer elementos de un arreglo
Comando Descripcion
A(i,:) Fila i-esima de A
A(:,j) Columna j-esima de A
A(:) Retorna una columna con todos los elementos de A
A(j:k) Retorna A(j), A(j+1), . . . , A(k)A(:,j:k) Retorna A(:,j), A(:,j+1), . . . , A(:,k)A(i,[1:i-1,i+1:n]) Retorna la fila i-esima sin el elemento A(i,i)
octave:#> AA =
2 3 5 -31 0 3 7-2 4 6 0
octave:#> A(:,2:4)ans =
3 5 -30 3 74 6 0
octave:#> A(1:2,:)ans =
2 3 5 -31 0 3 7
octave:#> A(2,[1:1,3:4])ans =
1 3 7
octave:#> A([1:1,3:3],3)ans =
56
octave:#> A(2:3,1:2)ans =
1 0-2 4
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Algebra de matrices
Definicion 1.4 (Suma de matrices)
Si A y B son matrices m× n, la suma de A y B es la matriz m× n que seobtiene al sumar las entradas correspondientes de cada matriz, i.e.,
A + B = [aij + bij ]
octave:#> X = [1 0 -1; 2 -3 5]X =
1 0 -12 -3 5
octave:#> Y = [-2 3 1; 2 4 -5]Y =
-2 3 12 4 -5
octave:#> X+Yans =
-1 3 04 1 0
octave:#> AA =
2 3 5 -31 0 3 7-2 4 6 0
octave:#> A+Xans =
error: operator +: nonconformantarguments (op1 is 3x4, op2 is 2x3)error: evaluating binary operator ‘+’near line 41, column 2
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Algebra de matrices
Definicion 1.5 (Multiplicacion por escalar)
Si A es una matriz m× n y α un esclar, el producto de α por A es lamatriz m× n que se obtiene al multiplicar cada entrada de A por α, i.e.,
αA = [αaij ]
octave:#> XX =
1 0 -12 -3 5
octave:#> YY =
-2 3 12 4 -5
octave:#> X-Yans =
3 -3 -20 -7 10
octave:#> 2*Xans =
2 0 -24 -6 10
octave:#> -3*YY =
6 -9 -3-6 -12 15
octave:#> 2*X-3*Yans =
8 -9 -5-2 -18 25
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Algebra de matrices
Definicion 1.6 (Transpuesta de una matriz)
Si A es una matriz m× n, su transpuesta, denotada por AT es la matrizn×m que se obtiene al intercambiar filas por columnas en A, i.e.,
A = [aij ] =⇒ AT = [aji]
octave:#> M = [1 2; 3 4; 5 6]M =
1 23 45 6
octave:#> M’ans =
1 3 52 4 6
octave:#> N = [1; 3; 0; 5]N =
1305
octave:#> transpose(N)ans =
1 3 0 5
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Algebra de matrices
Definicion 1.7 (Definicion de matriz adjunta)
Para una matriz A = [aij ], su conjugada esta definida por A = [ aij ]. Lamatriz transpuesta de A, denotada por A∗, es la transpuesta de laconjugada, i.e.,
A∗ = A
T
»
1− 4i i 23 2 + i 0
–∗
=
2
4
1 + 4i 3−i 2− i
2 0
3
5
octave:#> P = [1-4i i 2; 3 2+i 0]P =
1 - 4i 0 + 1i 2 + 0i3 + 0i 2 + 1i 0 + 0i
octave:#> ctranspose(P)P =
1 + 4i 3 - 0i0 - 1i 2 - 1i2 - 0i 0 - 0i
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Definiciones
Definicion 1.8 (Propiedades de la transpuesta)
Si A y B son matrices del mismo tamano y α es un escalar, entonces
(A + B)T = AT + B
T y (A + B)∗ = A∗ + B
∗
(αA)T = αAT y (αA)∗ = αA
∗
Observaciones
Para escalares reales los conceptos de transpuesta y adjunta son losmismos
A∗ = A
T.
Algunas veces la transposicion no cambia nada. Por ejemplo, si
A =
0
@
1 2 32 4 53 5 6
1
A , entonces AT = A.
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Definiciones
Matriz diagional
D =
2
6
6
6
4
λ11 0 · · · 00 λ22 · · · 0...
.... . .
...0 0 · · · λnn
3
7
7
7
5
octave:#> D = diag ([1, 2, 3])D =
1 0 00 2 00 0 3
Matrices diagonales son simetricas:
D = DT octave:#> D’
ans =
1 0 00 2 00 0 3
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Algebra de matrices
Definicion 1.9 (Simetrıas)
Sea A = [aij ] una matriz cuadrada.
A es una matriz simetrica si AT = A
A es una matriz anti-simetrica si AT = −A
A es una matriz hermitiana si A∗ = A
A es una matriz anti-hermitiana si A∗ = −A
octave:#> A = [1 2+4i 1-3i; 2-4i 3 8+6i; 1+3i 8-6i 5]A =
1 + 0i 2 + 4i 1 - 3i2 - 4i 3 + 0i 8 + 6i1 + 3i 8 - 6i 5 + 0i
octave:#> B = [1 2+4i 1-3i; 2+4i 3 8+6i; 1-3i 8+6i 5]B =
1 + 0i 2 + 4i 1 - 3i2 + 4i 3 + 0i 8 + 6i1 - 3i 8 + 6i 5 + 0i
octave:#> transpose(A)- A
ans =
0 + 0i 0 + 8i 0 - 6i0 - 8i 0 + 0i 0 + 12i
0 + 6i 0 - 12i 0 + 0i
octave:#> ctranspose(A)- Aans =
0 - 0i 0 + 0i 0 + 0i
0 + 0i 0 - 0i 0 + 0i0 + 0i 0 + 0i 0 - 0i
octave:#> transpose(B)- Bans =
0 0 0
0 0 00 0 0
octave:#> ctranspose(B)- B
ans =
0 + 0i 0 - 8i 0 + 6i0 - 8i 0 - 0i 0 - 12i
0 + 6i 0 - 12i 0 - 0i
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Producto de matrices
Definicion 1.10 (Producto interno)
Si
x =ˆ
x1 . . . xn
˜
y y =
2
6
4
y1
...yn
3
7
5,
entonces el producto interno de x por y esta dado por
xy := x1y1 + x2y2 + · · ·+ xnyn =nX
i=1
xiyi.
Observaciones
x debe ser 1× n e y debe ser n× 1 y el resultado es un escalar:
x1×n yn×1 = [ · ]1×1 = escalar
Ejemplo:
ˆ
2 4 −2˜
2
4
123
3
5 = (2)(1) + (4)(2) + (−2)(3) = 4
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Producto de matrices
Definicion 1.11 (Producto de matrices)
SiA = [aij ]m×p
y B = [aij ]p×n,
entonces el producto de A por B es una matriz
C = [cij ]m×n
cuya entrada cij viene dada por el producto interno de la i-esima fila deA con la j-esima columna de B, i.e.,
cij =ˆ
ai1 ai2 . . . aip
˜
2
6
6
6
4
b1j
b2j
...bpj
3
7
7
7
5
=
pX
k=1
aikbkj .
Observaciones
El numero de columnas de A debe coincidir con el numero de filas de B:
Am×p Bp×n = Cm×n
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Producto de matrices
Operacion Matriz Elemento a elemento
Multiplicacion ∗ .∗Potencia ∧ .∧
octave:#> x = [2 4 -2];octave:#> y = [1; 2; 3];
octave:#> x*yans = 4
octave:#> S = y*xS =
2 4 -24 8 -46 12 -6
octave:#> T = [1 2 3; 3 4 5]T =
1 2 34 5 6
octave:#> S*Tans =
28 56 -2852 104 -52
octave:#> T*S
ans =
error: operator *: nonconformant arguments
(op1 is 3x3, op2 is 2x3)error: evaluating binary operator ‘*’ near
line 111, column 2
octave:#> x.*xans =
4 16 4
octave:#> x.∧2ans =
4 16 4
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Producto de matrices
Proposicion 1.1 (Propiedades de la suma y producto)
Si A, B y C tienen las dimensiones adecuadas,
A + B = B + A
A(B + C) = AB + AC
A(BC) = (AB)C
IA = AI = A
λ(AB) = (λA)B = A(λB)
Observacion
Si A, B y C son matrices n× n,
AB 6= BA
AB = AC ; B = C
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Inversa de una matriz
Equivalencia entre sistemas lineales y matrices:
x1 − 4x2 = 33x1 + 7x2 = 1
⇐⇒
»
1 −43 7
– »
x1
x2
–
=
»
31
–
Para un sistema m× n:
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2
......
......
...an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = bn
⇐⇒ Ax = b
donde
A =
2
6
6
6
4
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
......
. . ....
an1 an2 · · · ann
3
7
7
7
5
, x =
2
6
6
6
4
x1
x2
...xm
3
7
7
7
5
, b =
2
6
6
6
4
b1
b2
...bm
3
7
7
7
5
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Inversa de una matriz
Definicion 1.12 (Inversa de una matriz)
An×n es una matriz no singular si existe una matriz Bn×n tal que
AB = BA = I (1)
Observaciones
Si A es no singular, la matriz B que satisface (1) es unica
A la matriz B se le denomina inversa de A
A la inversa de A se le denota por A−1
Ejemplo
A =
»
1 21 3
–
=⇒ A−1 =
»
3 −2−1 1
–
porque
AA−1 =
»
1 21 3
– »
3 −2−1 1
–
=
»
1 00 1
–
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Inversa de una matriz
Proposicion 1.2 (Propiedades)
Sea A una matriz no singular n× n. Entonces:
A−1 es no singular y su inversa satisface
`
A−1´−1
= A
Si B es una matriz n× n no singular, AB es no singular y
(AB)−1 = B−1
A−1
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Sistemas de ecuaciones
Problema: calcular (si es posible) una solucion del sistema de m
ecuaciones lineales algebraicas y n incognitas
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxm = b1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxm = b2
......
......
...am1x1 + am2x2 + · · · + amnxm = bm
(2)
Tres posibilidades:
Solucion unica: existe uno y solo un conjunto de valores
x1 , x2 , . . . , xn
que satisfacen (2)
No existe solucion: no existe un conjunto de x′is que satisfagan
simultaneamente las ecuaciones de (2)
Infinitas soluciones: existen infinitos conjuntos de x′is que satisfacen
simultaneamente las ecuaciones de (2)
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Sistemas de ecuaciones
Ecuacion i-esima del sistema (2)
Ei : ai1x1 + ai2x2 + · · ·+ ainxm = bi (3)
El sistema (2) se puede escribir como
S =
8
>
>
>
<
>
>
>
:
E1
E2
...En
9
>
>
>
=
>
>
>
;
Dos sistemas
S =
8
>
>
>
<
>
>
>
:
E1
E2
...En
9
>
>
>
=
>
>
>
;
y S′ =
8
>
>
>
<
>
>
>
:
E′1
E′2
...E′
n
9
>
>
>
=
>
>
>
;
son equivalentes si tienen las mismas soluciones
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Sistemas de ecuaciones
Proposicion 2.1 (Operaciones elementales)
Dado un sistema lineal S, las siguientes operaciones elementalestransforman a S en un sistema equivalente S′:
1 Intercambiar la ecuacion i-esima por la ecuacion j-esima:
Ei ←→ Ej
2 Reemplazar la ecuacion i-esima por un multiplo no nulo de si misma:
λEi −→ Ei , λ 6= 0
3 Reemplazar la ecuacion i-esima por una combinacion de si misma y unmultiplo no nulo de la ecuacion j-esima:
Ei + λEj −→ Ei , λ 6= 0
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Eliminacion Gaussiana
Ejemplo 2.1
Emplee operaciones elementales para resolver el sistema lineal
2x1 + x2 + x3 = 16x1 + 2x2 + x3 = −1−2x1 + 2x2 + x3 = 7
(4)
Solucion
2x1 + x2 + x3 = 16x1 + 2x2 + x3 = −1
−2x1 + 2x2 + x3 = 7
E2 − 3E1 −→ E2
−→
2x1 + x2 + x3 = 1− 2x2 + x3 = −1
−2x1 + 2x2 + x3 = 7
E3 + E1 −→ E3
−→
2x1 + x2 + x3 = 1−1 x2 − 2x3 = −4
3x2 + 2x3 = 8
3E2 + E3 −→ E3
−→
2x1 + x2 + x3 = 1−1 x2 − 2x3 = −4
− 4x3 = −4
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Eliminacion Gaussiana
El sistema (16) es equivalente al sistema
2x1 + x2 + x3 = 1x2 − 2x3 = −4
− 4x3 = −4(5)
El sistema (5) es triangular y se resuelve por sustitucion hacia atras:
x3 = 1
x2 = 4− 2x3 = 4− 2(1) = 2
x1 =1
2(1− x2 − x3) =
1
2(1− 2− 1) = −1
Procedimiento desarrollado: eliminacion Gaussiana
Numero de operaciones realizadas para un sistema n× n:
n3
3+ n2 − n
3multiplicaciones/divisiones
n3
3+ n2
2− 5n
6sumas/restas
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Eliminacion Gaussiana
Representacion matricial
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2
......
......
...an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = bn
⇐⇒ Ax = b
donde
A =
2
6
6
6
4
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
......
. . ....
an1 an2 · · · ann
3
7
7
7
5
, x =
2
6
6
6
4
x1
x2
...xn
3
7
7
7
5
y b =
2
6
6
6
4
b1
b2
...bn
3
7
7
7
5
Matriz aumentada del sistema
[A|b] =
2
6
6
6
4
a11 a12 · · · a1n b1
a21 a22 · · · a2n b2
......
. . .... b3
an1 an2 · · · ann b4
3
7
7
7
5
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Algoritmo Eliminacion Gaussiana
Fase de eliminacion
2
6664
a11 a12 · · · a1n b1a21 a22 · · · a2n b2...
.... . .
......
an1 an2 · · · ann bn
3
7775
| {z }
[A|b]
aij − λakj −→ aij
bi − λbk −→ bi
−→j = k, k + 1, . . . , n
2
6664
a′11 a′
12 · · · a′1n b′1
0 a′22 · · · a′
2n b′2...
.... . .
......
0 0 · · · a′nn b′n
3
7775
| {z }
[A′|b′]
for j = 1:n-1
for i = j+1:n
if A(i,j) != 0 % para evitar dividir por 0
lambda = A(i,j)/A(j,j);
A(i,j+1:n) = A(i,j+1:n) - lambda*A(j,j+1:n);
b(i)= b(i) - lambda*b(j);
end
end
end
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Algoritmo Eliminacion Gaussiana
Fase de sustitucion hacia atras:
2
6
6
6
4
a′11 a′
12 · · · a′1n b′1
0 a′22 · · · a′
2n b′2...
.... . .
......
0 0 · · · a′nn b′n
3
7
7
7
5
a′nx′
n = b′n =⇒ x′n =
b′n
a′nn
a′iix
′i + a′
i,i+1x′i+1 + · · ·+ a′
inx′n = b′i =⇒ x
′i =
b′i −
nX
j=i+1
a′ijx
′j
!
1
a′ii
for = n:-1:1
x(i) = (b(i) - A(i,i+1:n)*x(i+1:n))/A(i,i);
end
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Eliminacion Gaussiana
gauss.m
function x = gauss(A,b)
% Resuelve sistema A*x=b por eliminacion Gaussiana
n = length(b);x = zeros(n,1);
for j = 1:n-1 % fase de eliminacion
for i = j+1:n
if A(i,j) != 0
lambda = A(i,j)/A(j,j);
A(i,j+1:n) = A(i,j+1:n) - lambda*A(j,j+1:n);
b(i)= b(i) - lambda*b(j);
end
end
end
for i = n:-1:1 % fase sustitution hacia atras
x(i) = (b(i) - A(i,i+1:n)*x(i+1:n))/A(i,i);
end
end
octave:#> A = [2 1 1; 6 2 1; -2 2 1];
octave:#> b = [1; -1; 7]
octave:#> gauss(A,b)ans =
-12
1
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Eliminacion Gaussiana
Ejemplo 2.2 (Infinitas soluciones)
Utilice eliminacion Gaussiana para resolver el sistema
x + y + 4 = 42x + 2y + z = 6x + y + 2z = 6
Solucion
2
4
1 1 1 42 2 1 61 1 2 6
3
5
E2 − 2E1 −→ E2
−→
2
4
1 1 1 40 0 −1 −20 0 1 2
3
5
=⇒x + y + z = 4
−z = −2z = 2
Solucion = {(x, 2 − x, 2)|x ∈ R}
octave:#> A = [2 1 1; 6 2 1; -2 2 1];A =
2 1 16 2 1
-2 2 1
octave:#> b = [4; 6; 6]b =
4
66
octave:#> gauss(A1,b1)
ans =
Nan
Nan2
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Eliminacion Gaussiana
Ejemplo 2.3 (Sin solucion)
Utilice eliminacion Gaussiana para resolver el sistema
x + y + 4 = 42x + 2y + z = 4x + y + 2z = 6
Solucion
2
4
1 1 1 42 2 1 41 1 2 6
3
5
E3 − E1 −→ E3
−→
2
4
1 1 1 40 0 −1 −40 0 1 2
3
5
=⇒x + y + z = 4
−z = −4z = 2
Solucion = ∅
octave:#> b2 = [4; 4; 6]
b =
44
6
octave:#> gauss(A1,b2)ans =
Inf
-Inf2
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Eliminacion de Gauss-Jordan
Variacion del metodo de eliminacion Gaussiana
En cada paso, el elemento pivote es forzado a ser 1
En cada paso, los terminos por encima y por debajo del pivote son eliminados
La solucion (en caso de existir) aparece en la ultima columna
2
6664
a11 a12 · · · a1n b1a21 a22 · · · a2n b2...
..
.. . .
..
....
an1 an2 · · · ann bn
3
7775
| {z }
[A|b]
Operacioneselementales
−→
2
6664
1 0 · · · 0 s1
0 1 · · · 0 s2
..
....
. . ....
..
.0 0 · · · 1 sn
3
7775
| {z }
[I|s]
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Eliminacion de Gauss-Jordan
Ejemplo 2.4
Utilice el metodo de Gauss-Jordan para resolver el sistema lineal
2x1 + 2x2 + 6x3 = 42x1 + x2 + 7x3 = 6−2x1 − 6x2 − 7x3 = −1
(6)
Solucion
2
4
2 2 6 42 1 7 6
−2 −6 −7 −1
3
5
12
E1 −→ E1−→
2
4
1 1 3 22 1 7 6
−2 −6 −7 −1
3
5
E2 − 2E1 −→ E2E3 + 2E1 −→ E3
−→
2
4
1 1 3 20 −1 1 20 −4 −1 3
3
5
−E2 −→ E2−→
2
4
1 1 3 20 1 −1 −20 −4 −1 3
3
5
E1 − E2 −→ E1E3 + 4E2 −→ E3
−→
2
4
1 0 4 40 1 −1 −20 0 −5 −5
3
5
−15
E3 −→ E3−→
2
4
1 0 4 40 1 −1 −20 0 1 1
3
5
E1 − 4E3 −→ E1E2 + E3 −→ E2
−→
2
4
1 0 0 00 1 0 −10 0 1 1
3
5 =⇒
2
4
x1
x2
x3
3
5 =
2
4
0−1
1
3
5
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Inversa de una matriz
Sistema lineal n× n:
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2
......
......
...an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = bn
⇐⇒ Ax = b
Si A es no singular,
Ax = b =⇒ A−1 (Ax) = A−1b
=⇒`A−1A
´x = A−1b
=⇒ x = A−1b
octave:#> A\b
Retomando el ejemplo anterior:
x1 + 2x2 = 2x1 + 3x2 = −1
⇐⇒ Ax = b
»x1
x2
–
= A−1b
=
»3 −2−1 1
– »2−1
–
=
»8−3
–
octave:#> A2 = [1 2; 1 3];
octave:#> b3 = [2 -1];
octave:#> gauss(A2,b3)
ans =
8-3
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Inversa de una matriz
Proposicion 2.2 (Propiedades)
Sea A una matriz no singular n× n. Entonces:
A−1 es no singular y su inversa satisface
`
A−1´−1
= A
Si B es una matriz n× n no singular, AB es no singular y
(AB)−1 = B−1
A−1
¿Como distinguir las matrices no singulares de las singulares?
Proposicion 2.3 (Existencia de la inversa)
Sea A una matriz n× n. Los siguientes enunciados son equivalentes:
A−1 es no singular (su inversa existe)
AGauss−Jordan
−−−−−−−−−>I
Ax = 0 =⇒ x = 0
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Proposicion 2.4 (Filas y columnas de un producto)
Suponga A una matriz m× p y B una matriz p× n.
[AB]i∗ = [A]
i∗B
[AB]∗j = A[B]∗j
[AB]i∗ = ai1[B]1∗ + ai2[B]2∗ + · · ·+ aip[B]p∗
[AB]∗j = [A]∗1b1j + [A]∗2b2j + · · ·+ [A]∗pbpj
Ejemplo
AB =
»
1 −2 03 −4 5
–
2
4
3 −5 12 −7 21 −2 0
3
5 =
»
−1 9 −36 3 −5
–
[AB]2∗ = [A]2∗B =ˆ
3 −4 5˜
2
4
3 −5 12 −7 21 −2 0
3
5 =ˆ
6 3 −5˜
[AB]∗j= A[B]∗j
=
»
1 −2 03 −4 5
–
2
4
−5−7−2
3
5 =
»
93
–
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Ecuaciones con matrices
Proposicion 2.5 (Ecuaciones con matrices)
Si A una matriz n× n no singular, entonces la ecuacion
An×n Xn×p = Bn×p (7)
tiene solucion unica y esta dada por
X = A−1
B (8)
Observaciones
Resolver la ecuacion matricial (7) es equivalente a resolver los p
sistemas lineales
Ax = B1∗ , Ax = B2∗ , . . . , Ax = Bp∗ (9)
Si X∗j es la solucion del sistema j-esimo en (9),
X = [X∗1|X∗2| · · · |X∗p]
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Ecuaciones con matrices
Algoritmo para hallar la inversa
Hallar A−1 ⇐⇒ Resolver AX = I ⇐⇒ Resolver AX = I∗i
para j = 1, . . . , n.
Para el sistema j-esimo aplicamos Gauss-Jordan2
6664
a11 a12 · · · a1n 0a21 a22 · · · a2n 1...
.... . .
......
an1 an2 · · · ann 0
3
7775
| {z }
[A|I∗j ]
operacioneselementales−→
2
6664
1 0 · · · 0 x1j
0 1 · · · 0 x2j
......
. . ....
...0 0 · · · 1 xnj
3
7775
| {z }
[I|X∗j ]
Aplicando Gauss-Jordan simultaneamente a los n sistemas:
2
6664
a11 a12 · · · a1n 1 0 . . . 0a21 a22 · · · a2n 0 1 . . . 0...
.
... . .
.
.....
.
... . . 0
an1 an2 · · · ann 0 0 . . . 1
3
7775
| {z }
[A|I]
GaussJordan−→
2
6664
1 0 · · · 0 x11 x12 . . . x1n
0 1 · · · 0 x21 x22 . . . x2n
.
.....
. . ....
.
.....
. . ....
0 0 · · · 1 xn1 xn2 . . . xnn
3
7775
| {z }
[I|A−1]
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Proposicion 2.6 (Computo de la inversa)
Dado A una matriz n× n, el metodo de eliminacion de Gauss-Jordan puedeser utilizado para hallar la inversa de A en caso de existir:
[A|I]Gauss-Jordan
−→ˆ
I|A−1˜
(10)
Observaciones
El algoritmo (10) falla cuando en lugar de la identidad I se obtiene unamatriz con una fila de ceros (A es singular)
Debido a la cantidad de calculos involucrados, el algoritmo (10) notiene aplicaciones practicas (sino teoricas):
n3 productos/divisiones n3 − 2n2 + n sumas/restas
Resolver el sistema Ax = b, calculando primero A−1 y luego A−1b
requiere
n3 + n2 productos/divisiones n3 − n2 sumas/restas
Eliminacion Gaussiana con sustitucion hacia atras requiere alrededor
de n3
3productos/divisiones y n3
3sumas/restas
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Determinantes
Definicion 2.1 (Ecuaciones con matrices)
Si A = [a], entonces detA = a
Si A es n× n, el menor Mij asociado a A es el determinante de lasubmatriz (n− 1)× (n− 1) que se obtiene al subprimir la fila i-esima yla columna j-esima de A
El cofactor Aij se define como
Aij = (−1)i+jaijMij
Si A es n× n con n > 1, su determinante esta dado por
detA =nX
j=1
aijAij =nX
j=1
(−1)i+jaijMij (11)
o tambien por
detA =nX
i=1
aijAij =nX
i=1
(−1)i+jaijMij (12)
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Eliminacion Gaussiana
Ejemplo 2.5
Calcule el determinante de
A =
2
6
6
4
2 −1 3 04 −2 7 0−3 −4 1 5
6 −6 8 0
3
7
7
5
Solucion
detA = −0M14 + 0M24 − 5M34 + 0M44
= −5M34
= −5 det
2
4
2 −1 34 −2 76 −6 8
3
5
= −5
„
2 det
»
−2 7−6 8
–
− (−1) det
»
4 76 8
–
+ 3det
»
4 −26 −6
–«
= −30
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Propiedades
Proposicion 2.7 (Efectos de las operaciones elementales)
Sea B la matriz que se obtiene de A por medio de alguna de las operacioneselementales:
Tipo I: Ei ←→ Ej
Tipo II: αEi −→ Ei, α 6= 0
Tipo III: λEi + Ej −→ Ej
Entonces:
detB = −detA si B se obtuvo de operaciones del tipo I
detB = α detA si B se obtuvo de operaciones del tipo II
detB = detA si B se obtuvo de operaciones del tipo III
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Propiedades
Proposicion 2.8 (Otras propiedades)
Sean A y B matrices n× n
detAt = detA
det(AB) = detAdetB
Si A es no singular, det`
A−1´
= (detA)−1
Si A = [aij ] es triangular (superior o inferior) o diagonal, entonces
detA =nY
i=1
aii
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Relacion entre no singularidad y determinantes
Proposicion 2.9 (Propiedades)
Sea A una matriz n× n. Los siguientes enunciados son equivalentes:
La matriz A es no singular
detA = 0
La ecuacion Ax = 0 tiene solucion unica x = 0
El sistema Ax = b tiene solucion unica para todo vector b
Eliminacion Gaussiana con intercambio de filas puede realizarse en elsistema Ax = b para todo vector b
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Factorizacion de matrices
Descomposicion de una matriz como producto de matrices en alguna“forma canonica”
La factorizacion permite expresar una matriz como producto dematrices mas “sencillas”
Segun las aplicaciones se tiene:
Factorizacion LU
Factorizacion de Cholesky
Factorizacion QR
Metodo Forma inicial Forma final
Eliminacion Gaussiana Ax = b Ux = b
Eliminacion Gauss-Jordan Ax = b Ix = b
Factorizacion LU Ax = b LUx = b
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Factorizacion LU
Se busca descomponer una matriz An×n como
A = LU
donde
U =
2
6
6
6
4
u11 u12 · · · u1n
0 u22 · · · u2n
.
.
....
. . ....
0 0 · · · unn
3
7
7
7
5
y L =
2
6
6
6
4
l11 0 · · · 0l21 l22 · · · 0
.
.
....
. . ....
ln1 ln2 · · · lnn
3
7
7
7
5
Matrices triangulares simplifican los computos:
Lx = b ⇐⇒
2
6
6
6
4
l11 0 · · · 0 b1l21 l22 · · · 0 b2
.
.
....
. . ....
.
.
.ln1 ln2 · · · lnn bn
3
7
7
7
5
=⇒
l11x1 = b1l11x1 + l22x2 = b2
.
.
. =...
l11x1 + l22x2 + · · · + lnnxn = bn
“Sustitucion hacia adelante”
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Factorizacion LU
Se busca descomponer una matriz An×n como
A = LU
donde
U =
2
6
6
6
4
u11 u12 · · · u1n
0 u22 · · · u2n
.
.
....
. . ....
0 0 · · · unn
3
7
7
7
5
y L =
2
6
6
6
4
l11 0 · · · 0l21 l22 · · · 0
.
.
....
. . ....
ln1 ln2 · · · lnn
3
7
7
7
5
Matrices triangulares simplifican los computos:
Lx = b ⇐⇒
2
6
6
6
4
l11 0 · · · 0 b1l21 l22 · · · 0 b2
.
.
....
. . ....
.
.
.ln1 ln2 · · · lnn bn
3
7
7
7
5
=⇒
l11x1 = b1l11x1 + l22x2 = b2
.
.
. =...
l11x1 + l22x2 + · · · + lnnxn = bn
“Sustitucion hacia adelante”
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Proposicion 3.1 (Matrices elementales)
Una matriz elemental n× n es una matriz que surge cuando operacioneselementales se le aplican las filas (columnas) de la matriz idendidad n× n:
Tipo I: Ei ←→ Ej
Tipo II: αEi −→ Ei, α 6= 0
Tipo III: λEi + Ej −→ Ej
Ejemplo
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Proposicion 3.1 (Matrices elementales)
Una matriz elemental n× n es una matriz que surge cuando operacioneselementales se le aplican las filas (columnas) de la matriz idendidad n× n:
Tipo I: Ei ←→ Ej
Tipo II: αEi −→ Ei, α 6= 0
Tipo III: λEi + Ej −→ Ej
Ejemplo
E1 ←→ E2:2
4
1 0 00 0 10 1 0
3
5
2
4
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
3
5 =
2
4
a11 a12 a13
a31 a32 a33
a21 a22 a23
3
5
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Proposicion 3.1 (Matrices elementales)
Una matriz elemental n× n es una matriz que surge cuando operacioneselementales se le aplican las filas (columnas) de la matriz idendidad n× n:
Tipo I: Ei ←→ Ej
Tipo II: αEi −→ Ei, α 6= 0
Tipo III: λEi + Ej −→ Ej
Ejemplo
E1 ←→ E2:2
4
1 0 00 0 10 1 0
3
5
2
4
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
3
5 =
2
4
a11 a12 a13
a31 a32 a33
a21 a22 a23
3
5
λE2 −→ E2:2
4
1 0 00 λ 00 0 1
3
5
2
4
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
3
5 =
2
4
a11 a12 a13
λa21 λa22 λa23
a31 a32 a33
3
5
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Proposicion 3.1 (Matrices elementales)
Una matriz elemental n× n es una matriz que surge cuando operacioneselementales se le aplican las filas (columnas) de la matriz idendidad n× n:
Tipo I: Ei ←→ Ej
Tipo II: αEi −→ Ei, α 6= 0
Tipo III: λEi + Ej −→ Ej
Ejemplo
E1 ←→ E2:2
4
1 0 00 0 10 1 0
3
5
2
4
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
3
5 =
2
4
a11 a12 a13
a31 a32 a33
a21 a22 a23
3
5
λE2 −→ E2:2
4
1 0 00 λ 00 0 1
3
5
2
4
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
3
5 =
2
4
a11 a12 a13
λa21 λa22 λa23
a31 a32 a33
3
5
λE2 + E3 −→ E3:
2
4
1 0 00 1 00 λ 1
3
5
2
4
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
3
5 =
2
4
a11 a12 a13
a21 a22 a23
λa21 + a31 λa22 + a32 λa23 + a33
3
5
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Proposicion 3.1 (Matrices elementales)
Una matriz elemental n× n es una matriz que surge cuando operacioneselementales se le aplican las filas (columnas) de la matriz idendidad n× n:
Tipo I: Ei ←→ Ej
Tipo II: αEi −→ Ei, α 6= 0
Tipo III: λEi + Ej −→ Ej
Ejemplo
E1 ←→ E2:2
4
1 0 00 0 10 1 0
3
5
2
4
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
3
5 =
2
4
a11 a12 a13
a31 a32 a33
a21 a22 a23
3
5
λE2 −→ E2:2
4
1 0 00 λ 00 0 1
3
5
2
4
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
3
5 =
2
4
a11 a12 a13
λa21 λa22 λa23
a31 a32 a33
3
5
λE2 + E3 −→ E3:
2
4
1 0 00 1 00 λ 1
3
5
2
4
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
3
5 =
2
4
a11 a12 a13
a21 a22 a23
λa21 + a31 λa22 + a32 λa23 + a33
3
5
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Matrices elementales
El algoritmo para determinar la inversa se puede enunciar en terminosde matrices elementales
[A|I]Gauss-Jordan
−→ˆ
I|A−1˜
(13)
Si E1,E2, . . . ,Em son las matrices elementales asociadas a lasoperaciones elementales involucradas en (15), entonces
EmEm−1 · · ·E2E1A = I =⇒ A−1 = EmEm−1 · · ·E2E1 (14)
Proposicion 3.2 (Producto de matrices elementales)
An×n una matriz no singular si, y solo si, A se puede expresar como elproducto de matrices elementales
Demostracion
Por (1),
A = (EmEm−1 · · ·E2E1)−1 = E1
−1E2
−1 · · ·Em−1
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Matrices elementales
El algoritmo para determinar la inversa se puede enunciar en terminosde matrices elementales
[A|I]Gauss-Jordan
−→ˆ
I|A−1˜
(13)
Si E1,E2, . . . ,Em son las matrices elementales asociadas a lasoperaciones elementales involucradas en (15), entonces
EmEm−1 · · ·E2E1A = I =⇒ A−1 = EmEm−1 · · ·E2E1 (14)
Proposicion 3.2 (Producto de matrices elementales)
An×n una matriz no singular si, y solo si, A se puede expresar como elproducto de matrices elementales
Demostracion
Por (1),
A = (EmEm−1 · · ·E2E1)−1 = E1
−1E2
−1 · · ·Em−1
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Factorizacion LU
Metodo de eliminacion Gaussiana para Ax = b:
[A|b]operacioneselementales−→
ˆ
U|b′˜ (15)
donde U es triangular superior
Si E1,E2, . . . ,Em son las matrices elementales asociadas a lasoperaciones elementales involucradas en (15), entonces
EmEm−1 · · ·E2E1A = U =⇒ A = E1−1
E2−1 · · ·Em
−1U = LU
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Factorizacion LU
Metodo de eliminacion Gaussiana para Ax = b:
[A|b]operacioneselementales−→
ˆ
U|b′˜ (15)
donde U es triangular superior
Si E1,E2, . . . ,Em son las matrices elementales asociadas a lasoperaciones elementales involucradas en (15), entonces
EmEm−1 · · ·E2E1A = U =⇒ A = E1−1
E2−1 · · ·Em
−1U = LU
Ejemplo
2
4
2 2 24 7 76 18 22
3
5
−2E1+E2→E2−→
2
4
2 2 20 3 36 18 22
3
5
−3E1+E3→E3−→
2
4
2 2 20 3 30 12 16
3
5
−4E2+E3→E2−→
2
4
2 2 20 3 30 0 4
3
5 = U
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Factorizacion LU
Metodo de eliminacion Gaussiana para Ax = b:
[A|b]operacioneselementales−→
ˆ
U|b′˜ (15)
donde U es triangular superior
Si E1,E2, . . . ,Em son las matrices elementales asociadas a lasoperaciones elementales involucradas en (15), entonces
EmEm−1 · · ·E2E1A = U =⇒ A = E1−1
E2−1 · · ·Em
−1U = LU
Ejemplo
2
4
2 2 24 7 76 18 22
3
5
−2E1+E2→E2−→
2
4
2 2 20 3 36 18 22
3
5
−3E1+E3→E3−→
2
4
2 2 20 3 30 12 16
3
5
−4E2+E3→E2−→
2
4
2 2 20 3 30 0 4
3
5 = U
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Factorizacion LU
En terminos de matrices elementales:
E3E2E1 =
2
4
1 0 00 1 00 −4 1
3
5
2
4
1 0 00 1 0−3 0 1
3
5
2
4
1 0 0−2 1 0
0 0 1
3
5 =
2
4
1 0 0−2 1 0
5 −4 1
3
5
A = E1−1
E2−1
E3−1
U =
2
4
1 0 0−2 1 0
5 −4 1
3
5
2
4
2 2 20 3 30 0 4
3
5 = LU
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Factorizacion LU
En terminos de matrices elementales:
E3E2E1 =
2
4
1 0 00 1 00 −4 1
3
5
2
4
1 0 00 1 0−3 0 1
3
5
2
4
1 0 0−2 1 0
0 0 1
3
5 =
2
4
1 0 0−2 1 0
5 −4 1
3
5
A = E1−1
E2−1
E3−1
U =
2
4
1 0 0−2 1 0
5 −4 1
3
5
2
4
2 2 20 3 30 0 4
3
5 = LU
Proposicion 3.3 (Factorizacion LU)
Si A es una matriz n× n tal que al aplicarle eliminacion Gaussiana noresulta un pivote cero, entonces A puede factorizarse como el productoA = LU donde:
1 L es una matriz triangular inferior y U es triangular superior
2 ℓii = 1 y uii 6= 0 para i = 1, . . . , n
3 Bajo la diagonal de L la entrada ℓij = 1 es el multiplo de la fila j-esimaque es restada de la fila i-esima con el fin de cancelar la entrada (i, j)
4 U es la matriz que se obtiene al aplicar eliminacion Gaussina
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Factorizacion LU
En terminos de matrices elementales:
E3E2E1 =
2
4
1 0 00 1 00 −4 1
3
5
2
4
1 0 00 1 0−3 0 1
3
5
2
4
1 0 0−2 1 0
0 0 1
3
5 =
2
4
1 0 0−2 1 0
5 −4 1
3
5
A = E1−1
E2−1
E3−1
U =
2
4
1 0 0−2 1 0
5 −4 1
3
5
2
4
2 2 20 3 30 0 4
3
5 = LU
Proposicion 3.3 (Factorizacion LU)
Si A es una matriz n× n tal que al aplicarle eliminacion Gaussiana noresulta un pivote cero, entonces A puede factorizarse como el productoA = LU donde:
1 L es una matriz triangular inferior y U es triangular superior
2 ℓii = 1 y uii 6= 0 para i = 1, . . . , n
3 Bajo la diagonal de L la entrada ℓij = 1 es el multiplo de la fila j-esimaque es restada de la fila i-esima con el fin de cancelar la entrada (i, j)
4 U es la matriz que se obtiene al aplicar eliminacion Gaussina
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Errores aritmeticos y de redondeo
Notacion punto flotante normalizada
Un numero en punto flotante con k dıgitos viene dado por
f = ±.d1d2 . . . dk × 10n, con d1 6= 0
y 0 ≤ di ≤ 9 para i = 1, . . . k.
Podemos aproximar un numero real x por una aproximacion en puntoflotante fl(x) por medio dos metodos:
Truncamiento: Si x = .d1d2 . . . dkdk+1dk+2 . . .× 10n, la aproximacionen punto flotante fl(x) viene dada por
fl(x) = .d1d2 . . . dk × 10n
Redondeo: Si x = ±.d1d2 . . . dkdk+1dk+2 . . .× 10n, la aproximacion enpunto flotante fl(x) viene dada por
fl(x) =
.d1d2 . . . dk × 10n si dk+1 < 5
.`d1d2 . . . dk + 10−k
´× 10n si dk+1 ≥ 5
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Eliminacion Gaussiana y errores de redondeo
Ejemplo 4.1
Utilice aritmetica de redondeo a 3 dıgitos para resolver el sistema
−10−4x + y = 1x + y = 2
(16)
cuya solucion exacta viene dada por
x =1
1.0001y y =
1.0002
1.0001
Solucion
»
−10−4 1 11 1 2
–
104E1 + E2 −→ E2
»
−10−4 1 10 104 104
–
=⇒x = 0y = 1
Porque:
fl(104 + 1) = fl(0.10001 × 105) = 0.100 × 105 = 104
fl(104 + 2) = fl(0.10002 × 105) = 0.100 × 105 = 104
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Pivoteo parcial
En el ejemplo anterior (4.1), multiplicar por 104 amplifico el error
Tecnica de pivoteo parcial:
2
6664
⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆0 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆0 0 a ⋆ ⋆ ⋆0 0 b ⋆ ⋆ ⋆0 0 c ⋆ ⋆ ⋆
3
7775
Ejemplo (4.1) con pivoteo parcial:
»
−10−4 1 11 1 2
–
E1 ←→ E2
»
1 1 2−10−4 1 1
–
10−4E1 + E2 −→ E2
»
1 1 20 1 1
–
=⇒x = 1y = 1
Porque:
fl(104 + 1) = fl(0.10001 × 101) = 0.100 × 101 = 1fl(2× 104 + 1) = fl(0.10002 × 101) = 0.100 × 101 = 1
Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo
Referencias
R.L. Burden, J.D. Faires.Analisis numericoSeptima Edicion. Editorial Thomson. 2002.http://www.as.ysu.edu/∼faires/Numerical-Analysis/
J.W. EatonGNU Octave: A high-level interactive language for numericalcomputationsNetwork Theory Ltd., 2002http://www.network-theory.co.uk/octave/manual/