digilib.uns.ac.id/Analisis... · perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id commit to user ii ANALISIS FUNGSI GELOMBANG DAN SPEKTRUM ENERGI POTENSIAL GENDENSHTEIN DAN ROSEN MORSE II

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

ANALISIS FUNGSI GELOMBANG DAN SPEKTRUM ENERGI POTENSIAL GENDENSHTEIN DAN ROSEN MORSE II

MENGGUNAKAN FUNGSI HYPERGEOMETRY BERBASIS KOMPUTER DENGAN BAHASA

PEMROGRAMAN DELPHI 7.0

TESIS

Untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan

untuk Mencapai Derajat Magister

Program Studi Ilmu Fisika

Oleh

NURHAYATI S 911102004

PROGRAM PASCASARJANA

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

2012


commit to user

ii

ANALISIS FUNGSI GELOMBANG DAN SPEKTRUM ENERGI

POTENSIAL GENDENSHTEIN DAN ROSEN MORSE II

MENGGUNAKAN FUNGSI HYPERGEOMETRY

BERBASIS KOMPUTER DENGAN BAHASA


TESIS

Oleh


Komisi Pembimbing

Nama TandaTangan

Tanggal

Pembimbing I Dra. Suparmi, MA. Ph.D NIP. 19520915 197603 2003

...........................

Pembimbing II Viska Inda Variani, M.Si NIP. 19720617 199702 2001

............................

Telah dinyatakan memenuhi syarat

Pada tanggal..............................................2012

Mengetahui

Ketua Program Studi Ilmu Fisika

Program Pasca Sarjana UNS

Drs. Cari, M.A. M.Sc, Ph.D NIP. 19610306 198503 1002


commit to user

iii

ANALISIS FUNGSI GELOMBANG DAN SPEKTRUM ENERGI

POTENSIAL GENDENSHTEIN DAN ROSEN MORSE II

MENGGUNAKAN FUNGSI HYPERGEOMETRY

BERBASIS KOMPUTER DENGAN BAHASA


TESIS

Oleh


Tim Penguji

Jabatan Nama TandaTangan Tanggal

Ketua


...........................

Sekretaris

Drs. Harjana, M.Si. M.Sc. Ph.D 95 NIP. 19590725 198601 1001

...........................

Anggota Penguji 1. Dra. Suparmi, MA. Ph.D

NIP. 19520915 197603 2003 ...........................

2. Viska Inda Variani, M.Si NIP. 19720617 199702 2001

...........................

Telah dipertahankan didepan penguji

Dinyatakan telah memenuhi syarat

Pada tanggal.................................2012

Direktur Program Pascasarjana

Prof. Dr. Ir. Ahmad Yunus, M.S. NIP. 19610717 198601 1 001

Ketua Program Studi Ilmu Fisika



commit to user

iv

PERNYATAAN ORISINILITAS DAN PUBLIKASI TESIS

Saya menyatakan dengan benar-benar bahwa

1. Tesis yang berjudul “Analisis Fungsi Gelombang dan Spektrum Energi

Potensial Gendenshtein dan Rosen Morse II Menggunakan Fungsi

Hypergeometry Berbasis Komputer Dengan Bahasa Pemrograman

Delphi 7.0“ iniadalahkaryapenelitiansayasendiridantidakterdapatkaryailmiah

yang pernahdiajukanoleh orang lain

untukmemperolehgelarakademiksertatidakterdapatkaryaataupendapat yang

pernahditulisatauditerbitkanoleh orang lain

kecualisecaratertulisdikutipdalamnaskahinidandisebutkandalamsumberkutipan

sertadaftarpustaka. Apabilaternyata di

dalamnaskahTesisinidapatdibuktikanterdapatunsur-unsurjiplakan,

makasayabersediaTesisbesertagelar MAGISTER

sayadibatalkansertadiperosessesuaidenganperaturanperundang-undangan yang

berlaku (UU No. 20 Tahun 2003, pasal 25 ayat 2 danpasal 70).

2. Publikasi sebagian atau keseluruhan isi Tesis pada jurnal atau forum ilmiah

lain harus seijin dan menyatakan tim pembimbing sebagai author dan PPs

UNS sebagai institusinya. Apabila dalam waktu sekurang-kurangnya satu

semester (6 bulan sejak pengesahan Tesis) saya tidak melakukan publikasi

dari sebagian atau keseluruhan Tesis ini, maka Prodi Ilmu Fisika PPs UNS

berhak mempublikasikannya pada jurnal ilmiah yang diterbitkan oleh Prodi

Ilmu Fisika PPs UNS. Apabila saya melakukan pelanggaran ketentuan dari

publikasi ini, maka saya bersedia mendapatkan sanksi akademik yang berlaku.

Surakarta, 30 April2012

Nurhayati

S911102004


commit to user

v

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis haturkan kehadirat Allah SWT yang telah

melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya sehingga tesisyang berjudul “Analisis

Fungsi Gelombang dan Spektrum Energi Potensial Gendenshtein dan Rosen

MorseII Menggunakan Fungsi Hypergeometry Berbasis Komputer Dengan

Bahasa Pemrograman Delphi 7.0” dapat diselesaikan.

Penulis banyak mendapat bantuan, bimbingan, dan dorongan dari berbagai

pihak, dalam menyelesaikan tesis ini. Oleh karena itu, pada kesempatan ini

penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu

penyusunan tesis, terutama kepada :

1. Prof. Dr. Ir. Ahmad Yunus, M.S,

selakuDirekturPascasarjanaUniversitasSebelasMaret yang

telahberkenanmemberikanbantuanberupasegalasaranadanfasilitasdalammenem

puhpendidikanpascasarjana.

2. Drs. Cari, MA, M.Sc, Ph.D, selaku Ketua Program Studi Ilmu Fisika

Pascasarjana Universitas Sebelas Maret Surakarta.

3. Ibu Dra. Suparmi, MA, Ph.Dselaku dosen Pembimbing I yang telah

meluangkan waktunya untuk memberikan bimbingan dan arahan serta

motivasi kepada penulis dalam penyusunan proposal tesis ini dengan penuh

kesabaran.

4. Ibu Viska Inda Variani, M.Si selaku dosen Pembimbing II yang telah

meluangkan waktunya untuk memberikan bimbingan dan pengarahan.


commit to user

vi

5. Ibu Dr.Yofentina Iriani, M.Siselaku dosen mata kuliah Metodologi Penelitian

yang telah meluangkan waktunya untuk memberikan bimbingan dan

pengarahan.

6. Segenap dosen Program Pascasarjana Ilmu Fisika Universitas Sebelas Maret

yang telah memberikan bimbingan dan pengarahan.

7. Suamiku tercinta yang selalu memberikanku dukungan dan semangat yang

tiada hentinya untuk terus berjuang.

8. Kedua orang tuaku yang telah memberikan doa dan semangat yang tiada

hentinya untuk terus mencari ilmu.

9. Serta semua pihak yang turut membantu yang tidak dapat disebutkan satu

persatu.

Penulis menyadari bahwa dalam tesis ini masih terdapat kekurangan. Oleh

karena itu, penulis sangat mengharapkan kritik dan saran yang bersifat

membangun demi tercapainya kesempurnaan. Semoga tesis ini bermanfaat bagi

kita semua. Amin.

Solo, April 2012

Penulis


commit to user

vii

ABSTRAK

Nurhayati. S 911102004. “Analisis Fungsi Gelombang dan Spektrum Energi Potensial Gendenshtein dan Rosen Morse II Menggunakan Fungsi Hypergeometry Berbasis Komputer Dengan Bahasa Pemrograman Delphi 7.0”. Tesis: Program Pascasarjana Ilmu Fisika Universitas Sebelas Maret Surakarta. Pembimbing (1). Dra. Suparmi, MA., Ph.D, (2) Viska Inda Variani, M.Si.

Persamaan schrodinger sistem potensial yang diselesaikan secara eksak mempunyai peranan penting dalam mekanika kuantum. Spektrum energi dan fungsi gelombang digunakan untuk mendeskripsikan perilaku partikel subatomik dapat diperoleh dari penyelesaian persamaan schrodinger secara langsung dan tidak langsung. Spektrum energi dan fungsi gelombang untuk sistem partikel yang dipengaruhi oleh potensial “shape invariant” dapat dianalisis dengan penyelesaian langsung dengan cara mereduksi persamaan schrodinger menjadi persamaan diferensial fungsi khusus seperti fungsi Hermit, Legendre, Laguerre DAN Hypergeometry. Penyelesaian tidak langsung dilakukan dengan cara pendekatan operator supersimetri, WKB dan SWKB. Namun di antara fungsi-fungsi tersebut, persamaan diferensial fungsi hypergeometry yang mempunyai bentuk penyelesaian lebih umum karena persamaan diferensial fungsi yang lain dapat direduksi menjadi persamaan diferensial fungsi hypergeometry.

Spektrum energi dan fungsi gelombang untuk partikel yang dipengaruhi oleh potensial Gendenshtein I, Gendenshtein II dan hiperbolik Rosen Morse dianalisis menggunakan metode hypergeometry. Persamaan schrodinger untuk ketiga potensial tersebut diubah menjadi persamaan diferensial orde dua fungsi hypergeometry dengan substitusi variabel dan parameter secara tepat. Spektrum energi dan fungsi gelombang diperoleh secara eksak. Selanjutnya grafik dari potensial efektif, fungsi gelombang dan probabilitas disimulasikan dengan menggunakan bahasa pemograman Delphi 7.0. Kata Kunci : fungsi gelombang, spektrum energi, potensial Gendenshtein,

potensial Rosen Morse,metode hypergeometry.


commit to user

viii

ABSTRACT Nurhayati. S 911102004. “An Analysis of Energy and Wave Function of Gendenshtein and Rosen Morse IIpotential by Using Hypergeometry MethodBase On The Computer With The Ianguage of Pemrograman Delphi 7.0”. Tesis: The Graduate Program in Physics Department, Postgraduate Program Sebelas Maret University, Surakarta, 2012. The advisor are (1). Dra. Suparmi, MA., Ph.D, (2) Viska Inda Variani, M.Si.

Schrodinger equationsystemsaresolvedexactlypotentiallyhavean important rolein quantum mechanics. Spectrumenergy andwavefunctionsare usedtodescribethe behavior ofsubatomicparticlescan be obtainedfromthe completion ofthe Schrödinger equationdirectly andindirectly.Spectrumenergy andwave functionsforparticlesystemsthat are affectedby thepotential "shape invariant" can be analyzedbydirectsolutionby reducingthe Schrödinger equationintoa differential equationasa functionHermitspecialfunctions, Legendre, Laguerre, andHypergeometry. Indirecsolution bysupersymmetryoperator, WKBandSWKBapproach. But amongthese functions, differentialequationshypergeometryfunctionsthat havea more generalform ofthe settlementasafunction ofotherdifferentialequationscan bereduced todifferentialequationshypergeometryfunction.

Behavior ofatomicparticlescanbe clearly understoodif theenergyandwave functionofthe particle isknown.Energyspectrumandwavefunctionsforparticles governedby theGendenshtein I, Gendenhtein II and RosenMorsepotentialis analyzedusinghypergeometrymethod. Schrodinger equationfor the potential third is reducedintoa second orderdifferentialequationsof hypergeometryfunctionsbyappropriatevariable andparameterssubstitution. Energyspectrumisexactlyand the wave functionis expressed in the form of hypergeometry function. The graphsof theeffectivepotential, wave functionsandprobabilityare visualized usingDelphi7.0. Kata Kunci : wave function, spectrum energy,Gendenshtein potential,

Rosen Morse potential,hypergeometry method.


commit to user

ix

DAFTAR SIMBOL

m = massa atom (kg)

n = bilangan kuantum

h = konstanta Planck (6,626x10-34 J.s) ℏ = �挠气 = 1,054x10-34 J.s

Veff = Potensial Efektif z = Fungsi gelombang |z|挠 = Probabilitas fungsi gelombang 刮 = Energi 卉 = kecepatan sudut (rad/s)

P = momentum linier 晃 = panjang gelombang 归 = frekuensi


commit to user

x

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL .............................................................................. i

HALAMAN PERSETUJUAN ................................................................. ii

HALAMAN PENGESAHAN .................................................................. iii

HALAMAN PERNYATAAN ................................................................. iv

KATA PENGANTAR ............................................................................. v

ABSTRAK ............................................................................................... vii

ABSTRACT............................................................................................... viii

DAFTAR SIMBOL ................................................................................. ix

DAFTAR ISI ............................................................................................ x

DAFTAR GAMBAR ............................................................................... xiii

DAFTAR LAMPIRAN ............................................................................ xiv

BAB I. PENDAHULUAN

A. Latar Belakang ............................................................................... 1

B. Perumusan Masalah ........................................................................ 6

C. Tujuan Penelitian .......................................................................... 6

D. Batasan Masalah ........................................................................... 7

E. Manfaat Penelitian ....................................................................... 7

BAB II. KAJIAN TEORI, KERANGKA BERPIKIR DAN HIPOTESIS


commit to user

xi

A. Kajian Teori ..................................................................................... 9

1. Persamaan Hypergeometry ......................................................... 9

2. Persamaan Schrodinger .............................................................. 12

3. Fungsi Gelombang ...................................................................... 14

4. Nilai Harap (Probabilitas) ........................................................... 15

5. Energi Potensial ......................................................................... 16

6. Borland Delphi 7.0 ..................................................................... 20

B. Kerangka Berpikir ............................................................................ 22

C. Hipotesis ........................................................................................... 23

BAB III. METODOLOGI PENELITIAN

A. Lokasi dan Waktu Penelitian ......................................................... 24

B. Alat dan Bahan Penelitian ............................................................... 24

C. Prosedur Penelitian ......................................................................... 26

D. Penjabaran Penyelesaian Persamaan Schrodinger untuk Potensial

Gendenshtein I, II, dan Rosen Morse II Menggunakan Metode

Hypergeometry .................................................................................

29

E. Diagram Penelitian .......................................................................... 48

BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

A. Hasil Analitik Spektrum Energi dan Grafik Pemograman Delphi

7.0 ....................................................................................................

55


commit to user

xii

B. Pembahasan .................................................................................... 69

BAB V. KESIMPULAN, IMPLIKASI DAN SARAN

A. Kesimpulan ..................................................................................... 72

B. Implikasi Hasil Penelitian ............................................................... 75

C. Saran ................................................................................................ 76

DAFTAR PUSTAKA .............................................................................. 77


commit to user

xiii

DAFTAR GAMBAR

Halaman Gambar 2.1 Lembar Kerja Borland Delphi ............................................. 21

Gambar3.1 Diagram Penelitian .............................................................. 29

Gambar 3.2 Flowchart potensial Gendenshtein I ................................... 49

Gambar 3.3 Flowchart potensial Gendenshtein II .................................. 51

Gambar 3.4 Flowchart potensial Rosen Morse II ..................................... 52

Gambar 4.1 Grafiksimulasipotensialefektif Gendenshtein I ............. 56

Gambar 4.2 Grafiksimulasipotensialefektif Gendenshtein II ............ 58

Gambar 4.3 GrafiksimulasiFungsiGelombangDasar Potensial

Gendenshtein II ....................................................................

60

Gambar 4.4 GrafiksimulasiFungsiGelombangTingkat Pertama Potensial

Gendenshtein II .....................................................

62

Gambar 4.5 GrafiksimulasiProbabilitas Fungsi Gelombang Dasar

Potensial Gendenshtein II .....................................................

63

Gambar 4.6 GrafiksimulasiProbabilitas Fungsi Gelombang Tingkat

Pertama Potensial Gendenshtein II .......................................

65

Gambar 4.7 Grafiksimulasipotensialefektif Rosen Morse II ................ 68

Gambar 4.8 GrafiksimulasiFungsiGelombangDasar Potensial Rosen

MorseII ................................................................................

70

Gambar 4.9 GrafiksimulasiFungsiGelombangTingkat Pertama Potensial

Rosen Morse II ......................................................

72

Gambar 4.10 GrafiksimulasiProbabilitas Gelombang Dasar Potensial

Rosen MorseII .....................................................................

73

Gambar 4.11 GrafiksimulasiProbabilitas Gelombang Tingkat Pertama

Potensial Rosen Morse II ......................................................

76


commit to user

xiv

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman Lampiran 1 UraianLengkapAljabar Dari PotensialGendenshtein I,

Gendenshtein II Dan Rosen Morse

DenganMetodeHypergeometry

.....................................................................

87

Lampiran 2 GrafikPotensialEfektif, FungsiGelombang, Dan

KerapatanProbabilitasDenganPemograman Delphi 7.0 ....

101

Lampiran 3 Simulasi Potensial Gendenshtein dan Rosen Morse II ......... 126


commit to user

1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Pada akhir abad 19 sampai awal abad 20 terjadi suatu krisis dalam kancah

fisika. Serangkaian hasil-hasil eksperimen ternyata tidak dapat ditelaah secara

memuaskan dengan fisika klasik (mekanika klasik, termodinamika, teori

elektromagnetik) yang dianggap sudah terumus kokoh dan mantap pada waktu

itu.Konsep-konsep baru dan berbeda dengan fisika klasik mulai diperlukan untuk

menjelaskan hasil-hasil eksperimen tersebut.

Masalah-masalah yang dimaksud di atas muncul terutama pada objek-

objek fisis yang berukuran "kecil" (mikroskopik, atomistik), seperti partikel-

partikel elementer dan atom serta interaksinya dengan radiasi atau medan

elektromagnetik. Perbedaan-perbedaan dalam eksperimen fisika mula-mula dapat

diatasi dengan postulat-postulat dan hipotesis-hipotesis. Akan tetapi karena

jumlahnya semakin banyak dan persoalannya dipandang mendasarmaka fisikawan

terdorong untuk melakukan penyempurnaan, dan perubahan pada formulasi dan

konsep-konsep fisika. Hasilnya adalah konsep yang dinamakan "Mekanika

Kuantum".

Mekanika kuantumadalah suatu teoriuntuk mendeskripsikan perilaku

partikel-partikel kecilseperti elektron, proton, neutron, inti atom, atom, dan

molekul (Donald D. Fitts, 2002). Atom biasanya digambarkan sebagai sebuah

sistem di mana elektron (yang bermuatan listrik negatif) beredar seputar nukleus

atom (yang bermuatan listrik


commit to user

2

positif)(http://id.wikipedia.org/wiki/Mekanika_kuantum). Menurut mekanika

kuantum, ketika sebuah elektron berpindah dari tingkat energi yang lebih tinggi

(misalnya dari n=2 atau kulit atom ke-2 ) ke tingkat energi yang lebih rendah

(misalnya n=1 atau kulit atom tingkat ke-1) makaelektron akan menyerap energi

berupa paket-paket energi yang disebut foton.

Implikasi mekanika kuantum sangat luas terhadap perubahan peradaban

manusia. Penjelasan tentang atom, molekul dan zat padat telah melahirkan

material semikonduktor, laser, dan chips mikroskopis yang menghasilkan

akselerasi kemajuan di bidang teknologi dan informasi(Donald D. Fitts, 2002).

Implikasi filosofis fisika kuantum lebih dasyat diantaranya tentang prinsip

ketidakpastian Heisenberg dan participating observer (hasil eksperimen

tergantung pada pengamat dan suatu realitas tidak akan terjadi sebelum benar-

benar diamati) sehingga pada dunia subatomik, hukum fisika tidak lagi

merupakan suatu kepastian, tetapi gerak partikel diatur oleh konsep probabilitas.

Jadi, mekanika kuantum mencakup sebagian besar dari ilmu pengetahuan modern

dan teknologi.

Sejak abad kedua puluh, para ilmuwan fisika telah mengembangkan teori

kuantum.Sejak itu, muncul ilmu fisika kuantum yang dipelopori oleh Bohr,

Heisenberg, Schrodinger dan teori relativitas yang diungkapkan Einstein. Pada

tahun 1926,E.Schrodinger menyatakan bahwa perilaku elektron, termasuk tingkat-

tingkat energi elektron yang diskrit dalam atom mengikuti suatu persamaan

diferensial untuk gelombang (Beiser, 1992). Persamaan diferensial tersebut

kemudian dikenal dengan persamaan Schrodinger. Persamaan Schrodinger


commit to user

3

sekarang menjadi tulang punggung dalam memahami fenomena kuantum secara

konsepsional dan matematika.

Persamaan Schrodinger untuk sistem partikel yang dipengaruhi oleh

potensial yang mana energi potensialnya merupakan fungsi posisi dapat dianalisis

dengan cara penyelesaian langsung dan tidak langsung. Penyelesaian persamaan

schrodinger secara langsung yaitu dengan mereduksi persamaan Schrodinger

menjadi persamaan diferensial orde dua fungsi khusus seperti fungsi Hermite,

Legendre, Laguerre, hypergeometric atau confluent hypergeometric. Pengubahan

persamaan Schrodinger menjadi persamaan diferensial orde dua fungsi khusus

tersebut yaitu dengan substitusi variabel yang sesuai. Namun diantara fungsi-

fungsi tersebut, hanya persamaan diferensial fungsi hypergeometry atau confluent

hypergeometry (H-CH) yang mempunyai bentuk penyelesaian paling umum

karena persamaan diferensial fungsi yang lain dapat direduksi menjadi persamaan

diferensial H-CH. Sedangkan penyelesaian persamaan schrodinger dengan cara

tidak langsung yaitu melalui pendekatan operator supersimetri (SUSY), Wentzel,

Kramers, Brillouin (WKB) dan Supersimetry Wentzel, Kramers,

Brillouin.(SWKB).

Penyelesaian persamaan Schrodinger secara langsung dari sistem partikel

dapat menentukan energi dan fungsi gelombang suatu sistem partikel yang

digunakan untuk mendiskripsikan perilaku sekelompok partikel. Dalam dua dasa

warsa terakhir, para ilmuwan dalam bidang mekanika kuantum membahas tentang

penyelesaian persamaan schrodinger untuk sistem partikel yang dipengaruhi oleh

potensial “shape invariance” yang dapat diselesaikan secara eksak. Beberapa


commit to user

4

potensial tersebut seperti potensial Coulomb, osilator harmonik tiga dimensi

bagian radial, Morse, Rosen Morse, Manning Rosen, kelompok Poschl-Teller,

kelompok Gendenshtein, Symmetrical Top, Eckart, dan Kepler dalam sistem

hypersphere, yang mana kelompok shape invariant ini mempunyai energi

potensial yang fungsinya tidak cukup sederhana (S. Meyur and S. Debnath, 2009).

Meyur (2008) menganalisis scarf potensial (potensial Gendenshtein)

menggunakan metode Nikivorov-Uvarov. Hasil analisis diperoleh persamaan

fungsi gelombang dan tingkat energi sistem. Selain menganalisis secara analitik,

Meyur juga mensimulasikan grafik dari potensial efektif.Penelitian serupa juga

dilakukan oleh Akpan (2005) yang menganalisis potensial Rosen Morse II

menggunakan metode Nikivorov-Uvarov dan Kleinert (1991) yang juga

menganalisis potensial Rosen Morse II tetapi menggunakan sommerfeld watson

transformation.

Berdasarkan penelitian-penelitian tersebut, dilakukan penelitian lanjutan

dengan menganalisispotensial kelompok Gendenshtein dan Rosen Morse II.

Dipilihnya potensial Gendenshtein dan potensial Rosen Morse II dalam kajian

tesis ini dikarenakan potensial tersebut merupakan potensial hiperbolik yang

mempunyai peranan penting dalam sistem atomik, molekuler, dan chemical

physics yang dapat digunakan untuk menjelaskan getaran molekul dan untuk

menentukan spektrum energi pada sistem linier dan non linier. Selain itu,

potensial Rosen Morse adalah salah satu potensial yang digunakan untuk

menguraikan fungsi eigen dan spektrum energipada

ChromodynamicsQuantum(Akpan dan Louis, 2010). Persamaaan Schrodinger


commit to user

5

yang dipengaruhi oleh potensial Gendenshtein dan potensial Rosen Morse II akan

dianalisis menggunakan metode hypergeometry. Persamaan diferensial

fungsihypergeometry diaplikasikan untuk pemecahan persamaan gelombang dan

spektrum energi dari potensial-potensial tersebutdikarenakan fungsi

hypergeometrydengan shape invariance memberikan hasil secara eksak dan

merupakan metode yang lebih mudah daripada pemecahan dengan persamaan

Schrodinger (Patricio Cordero, 1994). Penyelesaian persamaan schrodinger

dengan fungsi hypergeometryyaitu dengan cara mensubstitusikan variabel ke

dalam persamaan Schrodinger agar persamaan Schrodinger berubah menjadi

persamaan diferensial orde dua fungsi hypergeometry atau confluent

hypergeometry(S. Trachanas, 2011). Bila persamaan fungsihypergeometry telah

diperoleh, tingkat-tingkat energi suatu sistem dan fungsi gelombang juga dapat

diperoleh dengan mudah. Variabel baru yang disubstitusikan biasanya diperoleh

dengan cara coba-coba, namun sekali dapat menemukan variabelbaru untuk suatu

sistem, variabel baru untuk sistem yang lain dapat ditentukan dengan cara

menebak yang lebih intelek dan terarah.

Dalam penelitian ini, peneliti tidak hanya menggunakan

metodehypergeometrysaja untuk menganalisa persamaan gelombang dan

spektrum energi, namun peneliti juga mencoba untuk memvisualisasikan

persamaan-persamaan yang diperoleh dari kajian analitik potensial-potensial

tersebut dengan menggunakan bahasa pemograman Delphi 7.0.


commit to user

6

B. Perumusan Masalah

Berdasarkan uraian dari latar belakang di atas, maka dapat dituliskan

perumusan masalah sebagai berikut:

1. Bagaimana analisis fungsi gelombang dan spektrum energi potensial

Gendenshtein I, potensial Gendenshtein II, dan potensial Rosen Morse II

menggunakan metodehypergeometry?

2. Bagaimana bentuk visualisasi grafik potensial efektif Gendenshtein I

menggunakan bahasa pemograman Delphi 7.0?

3. Bagaimana bentuk visualisasi grafik potensial efektif, persamaan gelombang

dan probabilitas (nilai harap) dari potensial Gendenshtein II dan Rosen Morse

IImenggunakan bahasa pemograman Delphi 7.0?

C. Tujuan Penelitian

Tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini adalah :

1. Mendeskripsikan hasil analisis fungsi gelombang dan spektrum energi

potensial Gendenshtein I, potensial Gendenshtein II, dan potensial Rosen

MorseII menggunakan metode hypergeometry.

2. Mengetahui bentuk visualisasi grafik potensial efektif Gendenshtein I

menggunakan bahasa pemograman Delphi 7.0.

3. Mengetahui bentuk visualisasi grafik potensial efektif, persamaan gelombang

dan probabilitas (nilai harap) dari potensial Gendenshtein II dan Rosen Morse

II menggunakan bahasa pemograman Delphi 7.0.


commit to user

7

D. Batasan Masalah

Agar pembahasan masalah dalam penelitian ini lebih terarah maka peneliti

membatasi permasalahan yang diajukan sebagai berikut :

1. Potensial yang dianalisis yaitu potensial Gendenshtein I, Gendenshtein II dan

Rosen Morse II.

2. Metode penyelesaian persamaan schrodinger yang digunakan yaitu metode

hypergeometry.

3. Penyusunan program untuk analisis secara numerik fungsi gelombang

potensial Rosen Morse II dibatasi untuk bilangan kuantum (n) = 1.

E. Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah :

1. Manfaat Teoritis

a. Hypergeometry mekanika kuantum dapat dijadikan sebagai salah satu metode

alternatif yang dapat digunakan untuk menentukan persamaan gelombang dan

spektrum energi dari suatu potensial.

b. Perumusan hypergeometry mekanika kuantum hanya menggunakan uraian

aljabar biasa sehingga tidak terlalu sulit untuk dipahami, baik oleh mahasiswa

tingkat awal sekalipun.

c. Bahasa pemrograman Borland Delphi 7.0, yang merupakan bahasa visual,

dapat digunakan sebagai suatu alat bantu untuk menganalisa grafik potensial,

fungsi gelombang serta probabilitas (nilai harap).


commit to user

8

2. Manfaat praktis

Memberikan pengalaman penelitian dalam bidang simulasi dari partikel

atomik dengan menggunakan bahasa pemrograman Delphi 7.0. Selain itu, dapat

digunakan untuk mengkaji sifat partikel atom yang bermanfaat juga untuk

pengembangan bidang lain yang terkait dengan potensialGendenshtein dan Rosen

Morse II.


commit to user

9

BAB II

KAJIAN TEORI, KERANGKA BERPIKIR DAN HIPOTESIS

A. Kajian Teori

1. Fungsi Hypergeometry

Persamaandiferensialordeduafungsihypergeometry yang

diusulkanolehGau�(Greiner, 1989) dinyatakansebagai

过纵1 − 过邹ǂ潜盘ǂ.潜+ 纵规− (� + 0 + 1)过邹ǂ盘ǂ. − �0Φ = 0 (2.1)

Persamaan (2.1) mempunyaiduabuahtitikreguler singular yaitu di titikz =

0 dan z =1, tetapi bukan merupakan singularitas yang mendasar. Parameter-

parameter �, 0,n�Ǵ 规 merupakan bilangan real. Dengan membuat perubahan yang

tepat dari variabel bebas dan variabel terikat, beberapa persamaan diferensial orde

dua dengan dua buah titik regular singular dapat ditansformasikan ke dalam

persamaan hypergeometry (2.1). Karena penyelesaian di titik z = 0

lebihsederhanadaripadapenyelesaian di titik z = 1, makamula-

muladipilihpenyelesaian di sekitartitik z = 0. Persamaan (2.1) diselesaikan dengan

bentuk deret di sekitar titik z = 0 yaitu

Φ = 过Ė ∑�坡过坡 (2.2)

Persamaan (2.2) merupakan solusi persamaan (2.1) di sekitar titik z = 0

yang dinyatakan dalam bentuk deret dengan s dan n merupakanorde dari z dan n

merupakan bilangan bulat. Persamaan (2.2) kemudian dimasukkan ke dalam

persamaan (2.1) dan ditemukan hubungan


commit to user

10

− �0Φ = − �0(�难过Ė + �囊过Ė嫩囊+ �挠过Ė嫩挠+ �脑过Ė嫩脑+ ⋯ )

试规− 纵� + 0 + 1邹守nΦn过= (规− 纵� + 0 + 1邹过)(滚�难过Ė能囊+ 纵滚+ 1邹�囊过Ė + 纵滚+ 2邹�挠过Ė嫩囊+ 纵滚+ 3邹�脑过Ė嫩挠+ 纵滚+ 4邹�恼过Ė嫩脑+ ⋯ )

过纵1 − 过邹n挠Φn过挠= (过− 过挠)(滚纵滚− 1邹�0过滚− 2 + 纵滚+ 1邹滚�1过滚− 1 + 纵滚+ 2邹纵滚+ 1邹�2过滚+ ⋯ )

− �0纵�难过Ė + �囊过Ė嫩囊+ �挠过Ė嫩挠+ �脑过Ė嫩脑+ ⋯邹+ 纵规− 纵� + 0 + 1邹过邹纵滚�难过Ė能囊+ 纵滚+ 1邹�囊过Ė + 纵滚+ 2邹�挠过Ė嫩囊+ 纵滚+ 3邹�脑过Ė嫩挠+ 纵滚+ 4邹�恼过Ė嫩脑+ ⋯邹+ 纵过− 过2邹纵滚纵滚− 1邹�难过Ė能挠+ 纵滚+ 1邹滚�囊过Ė能囊+ 纵滚+ 2邹纵滚+ 1邹�挠过Ė + ⋯邹= 0

(2.3)

过Ė能囊纵规滚�难+ 滚纵滚− 1邹�难邹+ 过Ė纵− �0�难+ 规纵滚+ 1邹�囊− 纵� + 0 + 1邹滚�难+ 纵滚+ 1邹滚�囊−滚纵滚− 1邹�难邹+ 过Ė嫩囊纵−�0�囊+ 规纵滚+ 2邹�挠− 纵� + 0 + 1邹纵滚+ 1邹�囊+ 纵滚+ 2邹纵滚+1邹�挠− 滚纵滚+ 1邹�囊邹+ 过Ė嫩挠纵− �0�挠+ 规纵滚+ 3邹�脑− 纵� + 0 + 1邹纵滚+ 2邹�挠+纵滚+ 3邹纵滚+ 2邹�脑− (滚+ 2)纵滚+ 1邹�挠邹+ ⋯ = 0 (2.4)

Persamaan (2.4) merupakan persamaan identitas sehingga koefisien dari

masing-masing suku z pangkat tertentu harus dinolkan dan dapat dijabarkan

sebagai berikut.


commit to user

11

Untuk zs-1 : 0))1(( 00 =-+ asscsa atau 0))1((0 =-+ scsa yang tidak

lain adalahmerupakan “index equation” yang memberikan harga

s = 0atau s=1 - c (2.5a)

(Arfken and Weber, 2005)

Untuk zs : − �0�难+ 规纵滚+ 1邹�囊− 纵� + 0 + 1邹滚�难+ 纵滚+ 1邹滚�囊− 滚(滚−1)�难) = 0atau�难试− �0 − 纵� + 0 + 1邹滚− 滚纵滚− 1邹守+ �囊纵规纵滚+ 1邹+纵滚+ 1邹滚邹= 0, maka diperoleh

�囊= (Ė潜嫩纵频嫩贫邹Ė嫩频贫)(Ė嫩囊)(品嫩Ė) �难atau �囊= (Ė嫩频)(Ė嫩贫)(Ė嫩囊)(品嫩Ė) �难 (2.5b)

Untuk zs+1: (− �0�囊+ 规纵滚+ 2邹�挠− 纵� + 0 + 1邹纵滚+ 1邹�囊+纵滚+ 2邹纵滚+ 1邹�挠− 滚纵滚+ 1邹�囊= 0 sehingga diperoleh

�挠= (Ė潜嫩Ė嫩纵频嫩贫嫩囊邹纵Ė嫩囊邹嫩频贫)(Ė嫩挠)(Ė嫩囊嫩品) �难 atau

�挠= (Ė嫩囊嫩频)(Ė嫩囊嫩贫)(Ė嫩挠)(品嫩Ė嫩囊) �囊= (Ė嫩频)(Ė嫩囊嫩频)(Ė嫩贫)(Ė嫩囊嫩贫)(Ė嫩囊)(Ė嫩挠)(Ė嫩品)(品嫩Ė嫩囊) �难 (2.5c)

Dari pembahasan kedua koefisien di atas dapat digeneralisasikan bahwa

�坡= 纵滚+ �邹纵滚+ 1 + �邹纵滚+ 0邹纵滚+ 1 + 0邹. . . (滚+ 纵Ǵ − 1邹+ �)(滚+ 纵Ǵ − 1邹+ 0)纵滚+ 1邹纵滚+ 2邹纵滚+ 规邹纵规+ 滚+ 1邹… .纵滚+ Ǵ邹纵滚+ Ǵ − 1邹+ 规) �难

(2.5d)

Berdasarkan “index equation” diperoleh dua macam harga s=0 atau s=1-c.

Untuk s = 0, persamaan (2.5d) menjadi


commit to user

12

�坡= 纵频邹纵囊嫩频邹纵贫邹纵囊嫩贫邹…(坡能囊嫩频)(坡能囊嫩贫)纵囊邹纵挠邹纵品邹纵品嫩囊邹…(坡)(纵坡能囊邹嫩品) �难atau

�坡= 纵频邹纵频嫩囊邹…纵频嫩坡能囊邹.(贫)(贫嫩囊)…(贫嫩坡能囊)纵品邹纵品嫩囊邹…纵坡能囊嫩品邹.坡! �难 (2.5e)

Jadi, bentuk penyelesaian PD Hypergeometry yang dinyatakan pada

persamaan (2.1) adalah

瓜囊纵�, 0;规;过邹= Φ囊纵过邹= ∑ 纵频邹叁纵贫邹叁纵囊邹叁纵品邹叁坡妮难挠过坡= ∑ 纵频邹叁纵贫邹叁坡!纵品邹叁坡妮难过坡 (2.6)

Dimana 瓜(�, 0,规;过) dikenal sebagai fungsi hypergeometry atau deret

hypergeometry dengan

纵�邹坡= �纵� + 1邹纵� + 2邹纵� + 3邹… … . .纵� + Ǵ − 1邹dan纵�邹难= 1 (2.7)

(Griffiths, 1995)

Penyelesaian di atas mempunyai harga bila semua penyebut dari deret

tersebut tidak nol, maka c≠ -n, dimana n = 0, 1, 2, 3, 4, ......

Jika a = -n atau b = -n, (2.7a)

sehingga bentuk penyelesaian yang berupa deret menjadi terputus sehingga

diperoleh penyelesaian yang berhingga yaitu polynomial pangkat n. Dari kondisi

yang dinyatakan pada persamaan (2.7a) dapat diperoleh tingkat energi sistem.

2. Persamaan Schrodinger

Persamaan Schrodinger merupakan fungsi gelombang yang digunakan

untuk memberikan informasi tentang perilaku gelombang dari partikel. Suatu


commit to user

13

persamaandiferensial akan menghasilkan pemecahan yang sesuai dengan fisika

kuantum.

Aplikasi persamaan Schrodinger dalam banyak hal akan berkaitan dengan

energi potensial, yaitu besaran yang merupakan fungsi posisi dan tidak

merupakanfungsi waktu. Perhatian kita tidak tertuju pada keberadaan elektron dari

waktu kewaktu, melainkan tertuju pada kemungkinan dia berada dalam selang

waktu yangcukup panjang. Jadi jika faktor waktu dapat dipisahkan dari fungsi

gelombang, makahal itu akan menyederhanakan persoalan. Persamaan

Schrodinger satu dimensi dan persamaan gelombang sebagai berikut. − ℎ潜挠屏扦潜洽纵9邹扦9潜 + 惯Z纵e邹= 刮Z纵e邹 (2.8)

Dalam ungkapan ini 桂 merupakan massa partikel, 惯 merupakan potensial

bebas waktu, e merupakan posisi partikel dan 刮 merupakan energi. Dengan

persamaan Schrodinger bebas-waktu (2.8) maka fungsigelombang yang dilibatkan

dalam persamaan ini juga fungsi gelombang bebas-waktu, Z(e). Dari persamaan

bentuk gelombang komposit untuk elektron 锅= 管纵e,棍邹故难硅�纵牵钳迫能瓶钳9邹dengan 管纵e,棍邹= ∑ 硅�纵呕牵叁邹迫硅能�纵呕瓶叁邹9坡 (2.9)

Dari persamaan (2.9) dapat ditentukan bentuk Z(e) sebagaiZ纵e邹=故(e)硅能�瓶9, dengan 诡难 adalah paket gelombang 足挠气企卒 dan A(x) adalah selubung

paket gelombang, untuk mencari solusi persamaan Schrodinger. Persamaan

Schrodinger adalah persamaan gelombang dan gelombang sebagai representasi

elektron atau partikel. Mencari solusi persamaan Schrodinger adalah untuk

memperoleh fungsi gelombang yang selanjutnyadigunakan untuk melihat


commit to user

14

bagaimana perilaku atau keadaan elektron. Hubungan antaramomentum p dan

energi E dengan besaran-besaran gelombang(诡,卉,归,晃)adalah 贵= ℎ诡= ℎ挠气企 = 萍企 (2.10) 刮= ℎ卉= ℎ归 (2.11)

3. Fungsi Gelombang

Persamaan Schrodinger adalah persamaan diferensial parsial dengan Zadalah fungsi gelombang, dengan pengertian bahwa Z∗Znengn过 (2.12)

Persamaan (2.12) adalah persamaan yang menyatakan probabilitas

keberadaan elektron pada waktu t tertentu dalam volume dx dy dz di sekitar titik

(x, y, z),Z∗adalah konjugat dariZ. Jadi persamaan Schrodingertidak menentukan

posisi elektron melainkan memberikan probabilitas bahwa elektron

akanditemukan di sekitar posisi tertentu. Selain itu, juga dapat dikatakan secara

pastibagaimana elektron bergerak sebagai fungsi waktu karena posisi dan

momentumelektron dibatasi oleh prinsip ketidakpastianHeisenberg.

Dalam kasus satu dimensi dengan bentuk gelombang

Z纵e邹= 2sin (9呕瓶挠 )e 故难硅能�瓶9danZ∗纵e邹= 2sin (9呕瓶挠 )e 故难硅嫩�瓶9 Maka Z∗Z = 故难挠组C纽 ̊(瑟趋塞潜 )9 钻挠 (2.13)


commit to user

15

组C纽 ̊(瑟趋塞潜 )9 钻挠pada (2.13) adalah selubung paket gelombang yang merupakan

fungsi x sedangkan A0memiliki nilai konstan. Jadi selubung paketgelombang

itulah yang menentukan probabilitas keberadaan elektron.

Persyaratan fungsi gelombang Z纵e邹hasil solusi persamaan Schrodinger

mempunyai arti fisis. Syarat-syarat tersebut adalah sebagai berikut.

1. Elektron sebagai suatu yang nyata harus ada di suatu tempat. Oleh karena

itufungsi gelombang (untuk satudimensi) harus memenuhi 董 Z∗Zdx = 1捧能捧 .

2. Fungsi gelombang Z纵x邹, harus kontinyu sebab jika terjadi ketidak-kontinuan,

halitu dapat ditafsirkan sebagai rusaknya elektron, suatu hal yang tidak

dapatditerima.

3. Turunan fungsi gelombang terhadap posisi, 拧洽拧诺, juga harus kontinu. Turunan

fungsi gelombang terhadap posisi terkait denganmomentumelektron sebagai

gelombang. Oleh karena itu persyaratan ini dapatdiartikan sebagai

persyaratan kekontinuan momentum.

4. Fungsi gelombang harus bernilai tunggal dan terbatas sebab jika tidak akan

berartiada lebih dari satu kemungkinan keberadaan elektron.

5. Fungsi gelombang tidak boleh sama dengan nol disemua posisi

sebabkemungkinan elektron haruslah nyata, betapapun kecilnya

(Greiner,1989).

4. Nilai Harap (Probabilitas)


commit to user

16

Max Born memperkenalkan suatu cara untuk menginterpretasikan secara

statistik fungsi gelombang yang menggambarkan suatu potensial dari suatu

partikel yaitu medan pemandu sebagai sebuah penginterpretasian dari fungsi

gelombang. Ide dari Max Born sebenarnya telah dimulai oleh Einstein yang

disebut “Ghosfield”. Medan pemandu merupakan fungsi skalarZdari koordinat

semua partikel dan waktu. Berdasarkan ide dasarnya, pergerakan dari suatu

partikel ditentukan hanya dengan hukum kekekalan energi dan hukum kekekalan

momentum dan oleh kondisi batas yang bergantung pada peralatan-peralatan

eksperimen. Kebolehjadian dari suatu partikel akan mengikuti bagian-bagian

tertentu yang diberikan oleh intensitas, yaitu harga mutlak kuadrat dari medan

pemandu. Dalam kasus pada penelitian ini, diartikan bahwa besarnya potensial

dari suatu partikel ditentukan pada setiap titik kebolehjadian ditemukannya

partikel (Serway dan Jewet, 2010:331).

Kuadrat dari amplitudo fungsi gelombang Z adalah intensitas. Hal ini

seharusnya untuk menentukan kebolehjadian ditemukannya suatu partikel pada

tempat-tempat tertentu. Sejak Z diperbolehkan sebagai bilangan kompleks,

dimana kebolehjadian selalu real, maka tidak didefinisikan Z挠 untuk pengukuran

intensitas, tetapi menggunakan persamaan |Z|挠= ZZ∗ (2.14)

Dimana Z∗ adalah konjugate kompleks dari Z. n7纵e,g,过,棍邹 menjadi

kebolehjadian dari penemuan partikel dalam volume tertentu dari suatu elemen n惯= ne ng n过 pada waktu 棍. Berdasarkan penginterpretasian statistik dari fungsi

gelombang, mengikuti hipotesis yang telah disetujui yaitu


commit to user

17

n7纵e,g,过,棍邹= |Z(e,g,过,棍)|挠n惯 (2.15)

Untuk memperoleh besaran yang tidak bergantung dari volume, maka

diperkenalkan suatu persamaan yang berhubungan dengan probability density

yaitu 国纵e,g,过,棍邹= ǂ票ǂ瓢 = |Z(e,g,过,棍)|挠 (2.16)

5. Energi Potensial

Energi potensial adalah bentuk energi yang dimiliki oleh suatu partikel,

benda atau sistem akibat posisinya dalam ruang parameter atau akibat

konfigurasinya (Lily Maysari, 2010:28). Energi dalam bentuk ini membuat

partikel, benda atau sistem tersebut memiliki kecendrungan untuk berubah

keadaannya (posisi atau konfigurasinya) dari keadaan dengan suatu energi

potensial tertentu menjadi keadaan dengan energi potensial yang lebih rendah atau

lebih tinggi. Ke arah mana kecenderungan tersebut menuju tak lain terkait dengan

arah dari gaya yang ditimbulkan dari energi potensial tersebut

(www.wikipedia.com).

a. Potensial Gendenshtein I

Potensial Gendenshtein I merupakan potensial fungsi sinus hiperbolik dan

secans kuadrat hiperbolik. Potensial Gendenshtein ini banyak diaplikasian dalam

ilmu fisika yaitu pada elektrodinamika dan fisika zat padat untuk teori partikel.

Pada fisika zat padat, potensial Gendenshtein I digunakan dalam mengkonstruksi

potensial periodik dalam kristal(Castillo, 2007).

Energi potensial partikel yang dipengaruhi oleh potensialGendenshtein

Idapatdituliskansebagaiberikut (Castillo, 2007):


commit to user

18

惯乒aa= ℎ潜挠屏贫潜能频(频嫩囊)品2Ė萍潜9 + ℎ潜挠屏挠贫(频嫩前潜)C纽̊ú9品2Ė萍潜9 (2.17)

Persamaan Schrodinger untuk potensial Gendeshtein I dapat dinyatakan

sebagai

− ℎ潜挠屏ǂ潜洽ǂ9潜+ 醉ℎ潜挠屏贫潜能频纵频嫩囊邹品2Ė萍潜9 + ℎ潜挠屏挠贫(频嫩前潜)C纽̊ú9品2Ė萍潜9 最Z = 刮Z (2.18)

Persamaan (2.18) dapat diubah menjadi persamaan diferensial orde dua

fungsi hypergeometry dengan cara melakukan substitusi variabel secara tepat.

Pemisalan variabel untuk persamaan (2.18) adalah 滚轨Ǵℎe = 轨(1 − 2过) (2.19)

Substitusi varabel ini (2.19) terinspirasi dari pengubah variabel pada

formula SUSY WKB (A. Inomata, A. Suparmi , and S Kurth: 1991) dan

pengubahan persamaan shcrodinger untuk potensial Poschl-Teller I (Flugge,

Siegfried: 1994).

b. Potensial Gendenshtein II

Potensial Gendenshtein II merupakan potensial fungsi cosinus hiperbolik

dan invers sinus kuadrat hiperbolik. Potensial hiperbolik ini dapat digunakan

untuk menjelaskan gaya antar atom maupun antar molekul.

Energi potensial partikel yang dipengaruhi oleh potensial Gendenshtein II

dinyatakan sebagai (Castillo, 2007):

惯乒aa= ℎ潜挠屏贫潜嫩频纵频嫩囊邹Ė平坡萍潜9 − ℎ潜挠屏挠贫(频嫩前潜)宁努Cú9Ė平坡萍潜9 (2.20)


commit to user

19

Persamaan Schrodinger untukpotensialGendenshtein II

dapatdinyatakansebagai

− ℎ潜挠屏ǂ潜Zǂ9潜+ 醉ℎ潜挠屏贫潜嫩频纵频嫩囊邹Ė平坡萍潜9 − ℎ潜挠屏挠贫(频嫩前潜)宁努Cú9Ė平坡萍潜9 最Z = 刮Z (2.21)

Persamaaan shcrodinger yang dipengaruhi oleh potensial Gendenshtein II

terdiri dari fungsi cosinus hiperbolik dan cosecans kuadrat hiperbolik, maka agar

persamaan schrodinger (2.21) hanya terdiri dari satu fungsi dilakukan pengubahan

variabel dengan mensubstitusikan variabel yang sesuai. Variabel yang akan

disubstitusikan ke dalam persamaan (2.21) adalah

coshx =1-2z makasinh x= 2税过(过− 1) (2.22)

c. Potensial Rosen Morse II

Potensial Rosen Morse terdiri dari potensial Rosen Morse I dan II.

Potensial Rosen Morse I merupakan potensial trigonometri yang terdiri dari

cosecan kuadrat dan cotangen sedangkan potensial Rosen Morse II merupakan

potensial hiperbolik yang terdiri dari fungsi secans kuadrat hiperbolik dan tangen

hiperbolik. Potensial Rosen Morse II ini mempunyai peranan yang penting dalam

atomik, molekuler, dan chemical physics. Potensial ini dapat digunakan untuk

menjelaskan getaran molekul dan untuk menentukan spektrum energi pada sistem

linier maupun non linier. Selain itu, potensial Rosen Morse II juga merupakan

salah satu potensial yang digunakan untuk menjabarkan fungsi eigen dan

spektrum energi dalam chromodynamics kuantum (Ikot, 2010).


commit to user

20

Energi partikel yang dipengaruhi oleh potensial Rosen Morse dinyatakan

sebagai (Ikot, 2010): 惯乒aa= − ℎ潜挠屏足契(契嫩囊)品2Ė萍潜9 − 2刽棍�Ǵℎe卒 (2.23)

Persamaan Schrodinger untukpotensialRosen

Morsedapatdinyatakansebagai: − ℎ潜挠屏ǂ潜Zǂ9潜− ℎ潜挠屏足契纵契嫩囊邹品2Ė萍潜9 − 2刽棍�Ǵℎe卒Z = 刮Z (2.24)

Variabel yang akan disubstitusikan ke dalam persamaan (2.24) adalah 棍�Ǵℎe = 1 − 2过 (2.25)

6. Borland Delphi 7.0

Delphi

adalahsebuahbahasapemrogramandanlingkunganpengembanganperangkatlunak.Pr

odukinidikembangkanoleh Borland.Denganmenggunakanperangkatlunakini,

dapatdibangunberbagaiaplikasiwindows (permainan, multimedia, database, dan

lain-lain) dengancepatdanmudah.Denganpendekatan visual,

dapatdiciptakanaplikasicanggih, mempersingkatwaktupemrograman,

karenatidakperlulagimenuliskankode program yang

rumitdanpanjanguntukmenggambar,

meletakkandanmengaturkomponen.Keunggulanbahasapemrogramandelphiterletak

padaproduktivitas, kualitas,pengembanganperangkatlunak,kecepatankompilasi,

poladesain yangmenarik yang menariksertadiperkuatdenganpemrogramannya

yang terstruktur. Keunggulan lain dari Delphi


commit to user

21

adalahdapatdigunakanuntukmerancang program aplikasi yang memilikitampilan

program aplikasi lain yang berbasiswindows.Delphi

menyediakancukupbanyakpilihankomponeninterfaceaplikasi, antara lain

berupatombol menu, drop down, ataupunmenu pop up, kotaktext, radio button,

check box, dansebagainya.

Delphi termasukdalambahasatingkattinggi (high level language),

dimanaperintah-perintahdalamprogramnyamenggunakanbahasa yang

mudahdipahamiolehmanusiadandapatdilakukansecara visual.Programmer

tinggalmemilihobjek yang ingindimasukkankedalamformatauwindow,

selanjutnyatingkahlakuobjeksaatmenerimaeventatauaksidisusunprogramnya.

Program Delphi dikenaldengannama IDE (Integrated development

Environment), yaitulingkunganpengembanganaplikasi yang terpadu.

MelaluiIDEinidibangunaplikasi-aplikasidarimerancangtampilanuntukpemakai

(antarmukapemakai),menuliskankodesampaimencaripenyebabkesalahan

(debugging).IDE (Integrated Development Environment) pada program Delphi

terbagimenjadidelapanbagianutama, yaitu: Main Window, ToolBar, Component

Palette, Form Designer, Code Editor, Object Inspector, Code Explorer, Object

TreeView.


commit to user

22

Gambar 2.1 Lembar Kerja Borland Delphi

Main Windowadalahbagiandari IDE yang mempunyaifungsi yang

samadengansemuafungsiutamadari program aplikasi Windows lainnya.

Jendelautama Delphi terbagimenjaditigabagian, yaitu: Main Menu, Toolbar

danComponenPallete.Toolbarterletakpadabagianbawahbaris menu.Delphi

memilikibeberapa toolbar yang masing-masing memiliki perbedaan fungsi dan

setiap tombol pada bagian toolbar berfungsi sebagai pengganti suatu menu

perintah yang sering digunakan.Component Paletteberisikumpulanikon yang

melambangkankomponen-komponen yang terdapatpada VCL (Visual Component

Library).PadaComponen Paletteterdiri daribeberapapage controlsepertistandart,

additional, win32, system, dataaccess.Form Designermerupakansuatuobjek yang

dapat dipakai sebagai tempat untuk merancang program aplikasi. Form

berbentuksebuahmejakerja yang dapatdiisidengankomponen-komponen yang

diambildariComponent Palette.Code

Editormerupakantempatuntukmenuliskankode program. Object

Inspectordigunakanuntukmengubahpropertiataukarakteristikdarisebuahkomponen

yang terdiridaridua tabyaitupropertiesdanevents. Code

Explorermerupakanlembarkerjabaru yang terdapat di dalam Delphi7 yang

tidakditemukanpadaversi-versisebelumnya.Code

Explorerdigunakanuntukmemudahkanpemakaiberpindahantar file unit yang


commit to user

23

terdapat di dalamjendelacode editor. Object TreeViewmenampilkan diagram

pohondarikomponen-komponen yang bersifat visual maupun nonvisual yang

telahterdapatdalam form, data module, atau frame

sertamenampilkanhubunganlogikaantarkomponen (Jaja, 2010).

B. Kerangka Berpikir

1. Energi potensial merupakan energi diam dari suatu partikel. Banyak macam

dari energi potensial partikel yang telah dikenal. Potensial-potensial tersebut

dikelompokkan ke dalam potensial yang invarian dan tidak invarian.

Potensial invarian diartikan juga potensial simetri yang menggambarkan

suatu sistem yang bertranslasi atau berotasi dalam ruang. Adapun potensial

yang termasuk kelompok invarian di antaranya osilator harmonik tiga

dimensi, potensial Coulumb, Rosen Morse, Gendenshtein, Eckart, Simetrikal

top, Poschl Teller, Poschl Teller termodifikasi dan potensial Manning Rosen.

Sedangkan potensial tidak invarian di antaranya potensial periodik dan

Diract. Pada buku Practical Quantum Mechanicsada beberapa potensial dapat

diubah ke persamaan hypergeometry, di antaranya osilator harmonik, dan

potensial poschl teller. Persamaan hypergeometry merupakan persamaan

diferensial yang digunakan untuk menentukan spektrum energi dan fungsi

gelombang dari suatu sistem partikel. Karena persamaan hypergeometry

mempunyai bentuk penyelesaian paling umum sehingga diduga semua jenis

potensial dapat diselesaikan menggunakan metode hypergeometry baik

potensial yang invarian maupun yang tidak invarian.


commit to user

24

2. Permasalahan-permasalahan dalam bidang fisika dapat digambarkan dalam

bentuk persamaan matematika. Persamaan-persamaantersebut dapat

diselesaikansecara analitis. Untuk lebih memahami arti secara fisis dari suatu

persamaan matematik diperlukan visualisasi menggunakan simulasi komputasi.

Visualisasi dari persamaan-persamaan matematik tersebut telah banyak

dilakukan dewasa ini. Banyak bahasa pemograman yang dapat digunakan untuk

membuat simulasi grafik suatu persamaan matematik. Diduga semua persamaan

matematik dapat divisualisasikan menggunakan simulasi komputasi.

C. Hipotesis

1. Diduga semua jenis potensial dapat diselesaikan menggunakan metode

hypergeometry.

2. Diduga semua persamaan matematik dapat divisualisasikan menggunakan

simulasi komputasi.


commit to user

24

BAB III

METODE PENELITIAN

A. Lokasi dan Waktu Penelitian

Waktu penelitian selama 8 bulan mulai dari bulan Oktober2011 sampai Mei

2012 dan penelitian dilakukan di Laboratorium Komputasi Fakultas MIPA

Universitas Sebelas Maret.

B. Alat dan Bahan Penelitian

1. Alat penelitian

Netbook Intel (R) Atom (TM) CPUN270 @ 1.6 GHz, 1GB DDR2,

software Delphi 7.0.

2. Bahan penelitian

Persamaan yang digunakan dalam kajian analitik dengan mengggunakan

metode hypergeometry dilengkapi dengan simulasi menggunakan bahasa

pemograman Delphi 7.0 adalah sebagai berikut:

a. Potensial Gendenshtein I

1) Persamaan fungsi gelombang baru � = 过崎纵1 − 过邹脐归(过) (3.1)

2) Persamaan substitusi parameter {. − k足逛+ 囊挠卒}挠+ 囊恼= − 2荒纵2荒− 1邹 (3.2a)

{. + k 足逛+ 囊挠卒}挠+ 囊恼= − 2慌(2慌− 1) (3.2b)

3) Persamaan perantara hypergeometry


commit to user

25

过纵1 − 过邹潜2H潜+ 足囊挠− 过卒2H + 势诅贫能�足频嫩前潜卒阻潜嫩前浅恼H + 诅贫嫩�足频嫩前潜卒阻潜嫩前浅恼纵囊能H邹 + 诡挠适� = 0 (3.3)

4) Persamaan tipe hypergeometry 过纵1 − 过邹归))纵过邹+ 诅足2荒+ 囊挠卒− 纵2荒+ 2慌+ 1邹过阻归)纵过邹+ 走诡挠− (荒+ 慌)挠奏归= 0(3.4)

5) Persamaan umum fungsi gelombang � = (� ȬS铺挠 )能频嫩�贫(囊嫩��n萍铺挠 )能�贫挠瓜囊 (逛),.);规),过) (3.5)

6) Persamaan energi potensial

"n = − ℎ潜挠屏 (逛− Ǵ)挠 (3.6)

b. Potensial Gendenshtein II

1) Persamaan substitusi parameter

诅足逛+ 囊挠卒− .阻挠− 囊恼= 2荒(2荒− 1) (3.7a)

诅足逛+ 囊挠卒+ .阻挠− 囊恼= 2慌(2慌− 1) (3.7b)


过纵1 − 过邹潜2H潜+ 足囊挠− 过卒2H + 醉诡挠− {足频嫩前潜卒能贫}潜能前浅恼H − {足频嫩前潜卒嫩贫}潜能前浅恼(囊能H) 最� = 0(3.8)

3) Persamaan umum fungsi gelombang potensial Gendenshtein II

� = 试囊能>Ė�萍潜铺守呛锐枪闰潜纵囊嫩>Ė�萍铺邹闰瓜挠囊纵过邹 (3.9)

c. Potensial Rosen Morse II

1) Persamaan substitusi parameter 2刽− 诡挠= 4荒挠 (3.10a) − 2刽− 诡挠= 4慌挠 (3.10b)


commit to user

26


过纵1 − 过邹潜2H潜+ 纵1 − 2过邹2H + 诅恍(恍+ 1) − 挠婆能瓶潜恼H − 能挠婆能瓶潜恼(囊能H) 阻� = 0 (3.11)

8) Persamaan tipe hypergeometry 过纵1 − 过邹归))纵过邹+ 走纵2荒+ 1邹− 纵2荒+ 2慌+ 2邹过奏归)纵过邹+ 走恍纵恍+ 1邹− (荒+ 慌)(荒+慌+ 1)奏归= 0 (3.12)

9) Persamaan umum fungsi gelombang potensial Rosen Morse II

� = 足�乒>萍铺挠卒(契能n) 足>Ė�萍铺嫩��n萍铺挠卒能桑捎呛叁瓜挠囊纵过邹 (3.13)

10) Persamaan energi potensial Rosen Morse II

"n = − ℎ潜挠屏足婆潜纵契能n邹潜+ 纵恍− Ǵ邹挠卒 (3.14)

C. Prosedur Penelitian

Dalam penelitian ini metode yang digunakan untuk menyelesaikan

persamaan schrodinger dari masing-masing potensial tersebut di atas, yaitu

metode hypergeometry. Adapun langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai

berikut:

1. Penyelesaian persamaan schrodinger potensial Gendenshtein I

a. Menggunakan persamaan potensial efektif Gendenshtein I (2.17).

b. Memasukkan persamaan potensial (2.17) ke dalam persamaan schrodinger

(2.8) sehingga menghasilkan persamaan schrodinger untuk potensial

Gendenshtein I (2.18).

c. Mengubah persamaan schrodinger (2.18) menjadi persamaan

perantarahypergeometry(3.3) dengan cara mensubstitusikan variabel yang

sesuai (2.19).


commit to user

27

d. Melakukan substitusi parameter (3.2a dan 3.2b) dan fungsi gelombang

baru (3.1) sehingga persamaan perantara hypergeometry(3.3) berubah

menjadi persamaan tipe hypergeometry (3.4).

e. Membandingkan parameter persamaan fungsi hypergeometry (2.1) dengan

persamaan tipe hypergeometry (3.4)sehingga diperoleh fungsi gelombang

(3.5) dan tingkat energi sistem(3.6).

f. Membuat program simulasi potensial Gendenshtein I dengan

menggunakan bahasa pemograman Delphi untuk menampilkan tabel

tingkat energi, dan grafik potensial.

g. Menganalisa hasil persamaan dan simulasi

2. Penyelesaian persamaan schrodinger potensial Gendenshtein II

a. Menggunakan persamaan potensial efektif Gendenshtein II (2.20).



Gendenshtein II (2.21).

c. Mengubah persamaan schrodinger (2.21) menjadi persamaan perantara

hypergeometry (3.8) dengan cara mensubstitusikan variabel yang sesuai

(2.22).





commit to user

28


persamaan tipe hypergeometry (3.4) sehingga diperoleh fungsi gelombang

(3.9) dan tingkat energi sistem (3.6).

f. Membuat program simulasi potensial Gendenshtein II dengan


tingkat energi, grafik potensial,grafik fungsi gelombang dan grafik

probabilitas.


3. Penyelesaian persamaan schrodinger potensial Rosen Morse II

a. Menggunakan persamaan potensial efektif hiperbolik Rosen Morse (2.23).



hiperbolik Rosen Morse (2.24).

c. Mengubah persamaan schrodinger (2.24) menjadi persamaan perantara

hypergeometry(3.11) dengan cara mensubstitusikan variabel yang sesuai

(2.25).





persamaan tipe hypergeometry (3.12) sehingga diperoleh fungsi

gelombang (3.13) dan tingkat energi sistem (3.14).


commit to user

29

f. Membuat program simulasi potensial hiperbolik Rosen Morse II dengan


tingkat energi, grafik potensial, grafik fungsi gelombang dan grafik

probabilitas.


D. Penjabaran Penyelesaian Persamaan Schrodinger untuk Potensial

Gendenshtein I, Gendenshtein II dan Rosen Morse II Menggunakan

Metode Hypergeometry.

1. Penjabaran Penyelesaian Persamaan Schrodinger untuk Potensial

Gendenshtein I Menggunakan Metode Hypergeometry

Persamaan potensial efektif untuk Gendenshtein I adalah:

惯乒33= ℎ潜挠屏贫潜能频(频嫩囊)>Ė�萍潜铺 + ℎ潜挠屏挠贫(频嫩前潜)Ȭ�DS铺>Ė�萍潜铺 (3.15)

Persamaan (3.15) dimasukkan ke persamaan schrodinger (2.8) sehingga

diperoleh persamaan schrodinger untuk potensial Gendeshtein I sebagai berikut.

− ℎ潜挠屏潜�铺潜+ 醉ℎ潜挠屏贫潜能频纵频嫩囊邹>Ė�萍潜铺 + ℎ潜挠屏挠贫(频嫩前潜)Ȭ�DS铺>Ė�萍潜铺最� = "� (3.16)

Pemisalan variabel yaitu 滚kǴℎ9 = k(1 − 2过) (3.17) 规e滚ℎ9 圭9= − 2k 圭过惠过惠9= 规e滚ℎ9− 2k

扦H扦铺= k税过(1 − 过) (3.18) 规e滚ℎ挠9 − 滚kǴℎ挠9 = 1


commit to user

30

规e滚ℎ挠9 = 1 + 滚kǴℎ挠9 规e滚ℎ挠9 = 1 + (k(1 − 2过))挠规e滚ℎ挠9 = 4过− 4过挠规e滚ℎ9 = 2税过(1 − 过) (3.19) 惠挠惠9挠= 惠过惠9. 惠惠过.惠过惠9. 惠惠过惠挠惠9挠= k税过(1 − 过) 惠惠过k税过(1 − 过) 惠惠过扦潜扦铺潜= −过纵1 − 过邹扦潜扦H潜− (囊挠− 过) 扦扦H (3.20)

Penggunaan Persamaan (3.17) pada pemisalan variabel yang akan

disubstitusikan ke dalam persamaan Schrodinger untuk potensial Gendenshtein I

dimaksudkan agar persamaan schrodinger dapat berubah menjadi persamaan

perantara hypergeometry. Dengan mensubstitusikan persamaan (3.17), (3.18),

(3.19) dan (3.20) ke dalam persamaan (3.16) serta memisalkan 挠弄ℎ潜E = − k挠(3.20a)

maka diperoleh persamaan perantara hypergeometry sebagai berikut.

过纵1 − 过邹潜2H潜+ 足囊挠− 过卒2H + 势诅贫能�足频嫩前潜卒阻潜嫩前浅恼H + 诅贫嫩�足频嫩前潜卒阻潜嫩前浅恼纵囊能H邹 + 诡挠适� = 0 (3.21)

Persamaan (3.21) merupakan persamaan perantara hypergeometry yang

mempunyai titik regular singular di titik z = 0 dan z = 1. Dengan mensubstitusikan

harga z mendekati nol maka persamaan (3.21) berubah menjadi

过纵1 − 过邹潜2H潜+ 足囊挠− 过卒2H + 势诅贫能�足频嫩前潜卒阻潜嫩前浅恼H 适� = 0 (3.22)

Dimana {. − k足逛+ 囊挠卒}挠+ 囊恼= − 2荒纵2荒− 1邹maka荒= 能(频嫩�贫)挠 (3.23)


commit to user

31

Dengan mensubstitusikan persamaan (3.23) ke persamaan (3.22) maka

persamaan (3.22) menjadi

过纵1 − 过邹潜2H潜+ 足囊挠− 过卒2H + 诅挠崎纵挠崎能囊邹恼H 阻� = 0 (3.24)

Penyelesaian persamaan (3.24) untuk harga z mendekati nol berbentuk

deret yang dinyatakan sebagai � ≈ 过� ∑ 规n过n~瓶妮难 (3.25) − 挠崎纵挠崎能囊邹恼H � = − 挠崎纵挠崎能囊邹恼H (规难过� + 规囊过�嫩囊+ 规挠过�嫩挠+ 规脑过�嫩脑+ ⋯ ) (3.25a)

足囊挠− 过卒2H = 足囊挠− 过卒(滚规难过�能囊+ 纵滚+ 1邹规囊过� + (滚+ 2)规挠过�嫩囊+ 纵滚+ 3邹规脑过�嫩挠+⋯ ) (3.25b)

过纵1 − 过邹潜2H潜 = 过纵1 − 过邹(纵滚− 1邹滚规难过�能挠+ 滚纵滚+ 1邹规囊过�能囊+ (滚+ 1)(滚+ 2)规挠过� +(滚+ 2)(滚+ 3)规脑过�嫩囊+ ⋯ ) (3.25c)

Persamaan (3.25a), (3.25b), (3.25c) disubstitusikan ke dalam persamaan

(3.24) sehingga diperoleh persamaan identitas atau persamaan polynomial dalam z

dimana dari harga koefisien untuk z terendah yang sama dengan nol menghasilkan

index equation sehingga diperoleh dua harga s yaitu 滚= ±荒 (3.26)

Dan penyelesaian di sekitar titik z = nol dapat dinyatakan sebagai �~过崎 (3.27)

Untuk z = 1 maka persamaan (3.21) menjadi

过纵1 − 过邹潜2H潜+ 足囊挠− 过卒2H − 诅贫嫩�足频嫩前潜卒阻潜嫩前浅恼纵囊能H邹 � = 0 (3.28)

Dimana

诅. + k 足逛+ 囊挠卒阻挠+ 囊恼= − 2慌(2慌− 1)maka慌= 频能�贫)挠 (3.29)


commit to user

32

Dengan cara yang sama seperti pada persamaan (3.24)maka

penyelesaiannya dapat ditulis �~纵1 − 过邹脐 (3.30)

Sehingga penyelesaian bentuk umum potensial Gendenshtein I dapat

dinyatakan sebagai � = 过崎纵1 − 过邹脐归(过) (3.31)

Dengan menentukan turunan pertama dan kedua terhadap fungsi z

persamaan (3.31) dan mensubstitusikan ke persamaan perantara hypergeometry

(3.21) maka diperoleh

过纵1 − 过邹潜3H潜+ 收足2荒+ 囊挠卒− (2荒+ 2慌+ 1)过寿3H + { 诡挠− (荒+ 慌)挠}归= 0 (3.32)

Persamaan (3.32) merupakan persamaan tipe hypergeometry yang

penyelesaiannya dinyatakan sebagai 归纵过邹= 挠瓜囊 (逛),.);规),过) (3.33)

dimana逛) = 荒+ 慌+ 诡, .) = 荒+ 慌− 诡dan规) = 2荒+ 囊挠 , 荒+ 慌= −逛

Persamaan (3.33) merupakan deret pangkat tinggi hypergeometry yang

akan memberikan deret terbatas bila deret pada persamaan (3.33) terputus dan

deret terputus pada derajat ke n bila 逛) = − Ǵatau.) = − Ǵ (3.34)

Bila pada persamaan (3.34) kita pilih a) = − n maka α + β + k = − n

sehingga diperoleh 诡= 逛− Ǵ (3.35)


commit to user

33

Dengan mensubstitusikan persamaaan (3.35) ke persamaan (3.20a) maka

diperoleh spektrum energi untuk potensial Gendenshtein I, yaitu 2桂ℎ挠" = −诡挠

挠屏ℎ潜" = − (逛− Ǵ)挠

"n = − ℎ潜挠屏 (逛− Ǵ)挠 (3.36)

Persamaan (3.36) mengandung variabel 逛dan Ǵ. Dengan 逛 adalah

konstanta bilangan bulat yang menunjukkan kedalaman suatu partikel di dalam

sumur potensial Gendenshtein, sedangkan Ǵ merupakan bilangan kuantum.

Persamaan gelombang untuk potensial Gendenshtein I diperoleh dengan

mensubstitusikan persamaan (3.17), (3.23), (3.29) ke persamaan (3.31) sehingga

diperoleh � = 过崎(1 − 过)脐归(过)

= (囊嫩� ��n萍铺挠 )崎(囊能� ��n萍铺挠 )挠脐瓜囊 (逛), .);规),过) =(囊嫩��n萍潜铺恼 )呛锐潜(囊能� ��n萍铺囊嫩��n萍铺)腮闰潜挠瓜囊 (逛),.);规),过) = (� ȬS铺挠 )能频嫩�贫(囊嫩��n萍铺挠 )能�贫挠瓜囊 (逛),.);规),过) (3.37)

a. Persamaan Gelombang Tingkat Dasar

Persamaan gelombang tingkat dasar diperoleh dengan penjabaran sebagai

berikut:

挠瓜囊纵逛), .);规),过邹= 1 + 频前煮贫前煮>前煮 H囊! (3.38)


commit to user

34

Dimana逛) = −逛+ 诡, .′ = −逛− 诡, 规′ = −逛− k. + 12 , 圭逛Ǵ 过= 囊能��n萍铺挠 , dengan 逛) = − Ǵ,诡= 逛− Ǵ dan Ǵ = 0, maka

挠瓜囊纵逛),.);规),过邹= 1 + (− Ǵ)(−逛− 诡)(−逛− k. + 囊挠) 过1! 挠瓜囊纵逛), .);规),过邹= 1 + (0)(− 2逛+ Ǵ)(−逛− k. + 囊挠) 1 − k滚kǴℎ92

Sehingga diperoleh persamaan gelombang tingkat dasar sebgai berikut: �难= (� ȬS铺挠 )能频嫩�贫(囊嫩��n萍铺挠 )能�贫 (3.39)

b. Persamaan Gelombang Tingkat Pertama

Persamaan gelombang tingkat pertama diperoleh dengan penjabaran

sebagai berikut:

挠瓜囊纵逛),.);规),过邹= 1 + 逛囊).囊)规囊) 过1! + 逛挠) (逛挠) + 1).挠) (.挠) + 1)规挠)纵规挠) + 1邹过挠2!

Dimana 逛) = −逛+ 诡, .′ = −逛− 诡, 规′ = −逛− k. + 12 , 圭逛Ǵ 过= 囊能��n萍铺挠 , dengan 逛) = − Ǵ,诡= 逛− Ǵ 圭逛Ǵ Ǵ = 1, maka

挠瓜囊纵逛),.);规),过邹= 1 + (− Ǵ)(−逛− 诡)(−逛− k. + 囊挠) 过1! + (− Ǵ)(− Ǵ + 1)(−逛− 诡)(−逛− 诡+ 1)足−逛− k. + 囊挠卒足−逛− k. + 脑挠卒过挠2!

挠瓜囊纵逛),.);规),过邹= 1 + (− Ǵ)(−逛− (逛− Ǵ))(−逛− k. + 囊挠) 过1!+ (− Ǵ)(− Ǵ + 1)(−逛− (逛− Ǵ))(−逛− (逛− Ǵ) + 1)足−逛− k. + 囊挠卒足−逛− k. + 脑挠卒过挠2!


commit to user

35

挠瓜囊纵逛),.);规),过邹= 1 + (− Ǵ)(− 2逛+ Ǵ)(−逛− k. + 囊挠) 过1!+ (− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− 2逛+ Ǵ)(− 2逛+ Ǵ + 1)足−逛− k. + 囊挠卒足−逛− k. + 脑挠卒过挠2!

挠瓜囊纵逛),.);规),过邹= 1 + (− 1)(− 2逛+ 1)(−逛− k. + 囊挠) 过1! + (− 1)(− 1 + 1)(− 2逛+ 1)(− 2逛+ 2)足−逛− k. + 囊挠卒足−逛− k. + 脑挠卒过挠2!

挠瓜囊纵逛),.);规),过邹= 1 + (− 1)(− 2逛+ 1)(−逛− k. + 囊挠) 1 − k滚kǴℎ92

Sehingga diperoleh persamaan gelombang tingkat pertama sebgai berikut:

�囊= (� ȬS铺挠 )能频嫩�贫(囊嫩��n萍铺挠 )能�贫醉1 + (能囊)(能挠频嫩囊)(能频能�贫嫩前潜) 囊能��n萍铺挠最 (3.40)

c. Persamaan Gelombang Tingkat Kedua

Persamaan gelombang tingkat kedua diperoleh dengan penjabaran sebagai

berikut:


+ 逛脑) (逛脑) + 1)(逛脑) + 2).脑) (.脑) + 1)(.脑) + 2)规脑)纵规脑) + 1邹纵规脑) + 2邹过脑3!

Dimana逛) = −逛+ 诡, .′ = −逛− 诡, 规′ = −逛− k. + 12 , 圭逛Ǵ 过= 囊能��n萍铺挠 , dengan 逛) = − Ǵ,诡= 逛− Ǵ 圭逛Ǵ Ǵ = 2, maka


+ (− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− Ǵ + 2)(−逛− 诡)(−逛− 诡+ 1)(−逛− 诡+ 2)(−逛− k. + 囊挠)足−逛− k. + 脑挠卒足−逛− k. + 闹挠卒过脑3!


commit to user

36

挠瓜囊纵逛),.);规),过邹= 1 + 纵−Ǵ邹试−逛− 纵逛− Ǵ邹守足−逛− k. + 囊挠卒过1!+ 纵−Ǵ邹纵−Ǵ + 1邹试−逛− 纵逛− Ǵ邹守纵−逛− 纵逛− Ǵ邹+ 1邹足−逛− k. + 囊挠卒足−逛− k. + 脑挠卒过挠2!

+ (− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− Ǵ + 2)(−逛− 纵逛− Ǵ邹)(−逛− 纵逛− Ǵ邹+ 1)(−逛− 纵逛− Ǵ邹+(−逛− k. + 囊挠)足−逛− k. + 脑挠卒足−逛− k. + 闹挠卒挠瓜囊纵逛),.);规),过邹= 1 + (− Ǵ)(− 2逛+ Ǵ)(−逛− k. + 囊挠) 过1!

+ (− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− 2逛+ Ǵ)(− 2逛+ Ǵ + 1)足−逛− k. + 囊挠卒足−逛− k. + 脑挠卒过挠2!

+ (− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− Ǵ + 2)(− 2逛+ Ǵ)(− 2逛+ Ǵ + 1)(− 2逛+ Ǵ + 2)(−逛− k. + 囊挠)足−逛− k. + 脑挠卒足−逛− k. + 闹挠卒过脑3!


+ (− 2)(− 2 + 1)(− 2 + 2)(− 2逛+ 2)(− 2逛+ 3)(− 2逛+ 4)(−逛− k. + 囊挠)足−逛− k. + 脑挠卒足−逛− k. + 闹挠卒过脑3!


+ (− 2)(− 1)(− 2逛+ 2)(− 2逛+ 3)足−逛− k. + 囊挠卒足−逛− k. + 脑挠卒纵1 − k滚kǴℎ9邹挠8

Sehingga diperoleh persamaan gelombang tingkat kedua sebagai berikut: �挠= (� ȬS铺挠 )能频嫩�贫(囊嫩��n萍铺挠 )能�贫

醉1 + (能挠)(能挠频嫩挠)(能频能�贫嫩前潜) 囊能��n萍铺挠 + (挠)(能挠频_嫩挠)(能挠频嫩脑)足能频能�贫嫩前潜卒足能频能�贫嫩遣潜卒纵囊能��n萍铺邹潜馁最 (3.41)


commit to user

37

d. Persamaan Gelombang Tingkat Ketiga

Persamaan gelombang tingkat ketiga diperoleh dengan penjabaran sebagai

berikut:


+ 逛脑) (逛脑) + 1)(逛脑) + 2).脑) (.脑) + 1)(.脑) + 2)规脑)纵规脑) + 1邹纵规脑) + 2邹过脑3!+ 逛恼) (逛恼) + 1)(逛恼) + 2)(逛恼) + 3).恼) (.恼) + 1)(.恼) + 2)(.恼) + 3)规脑)纵规脑) + 1邹纵规脑) + 2邹纵规脑) + 3邹过恼4!

Dimana逛) = −逛+ 诡, .′ = −逛− 诡, 规′ = −逛− k. + 12 , 圭逛Ǵ 过= 囊能��n萍铺挠 , dengan 逛) = − Ǵ,诡= 逛− Ǵ 圭逛Ǵ Ǵ = 3, maka


+ (− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− Ǵ + 2)(−逛− 诡)(−逛− 诡+ 1)(−逛− 诡+ 2)(−逛− k. + 囊挠)足−逛− k. + 脑挠卒足−逛− k. + 闹挠卒过脑3!

+ (− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− Ǵ + 2)(− Ǵ + 3)(−逛− 诡)(−逛− 诡+ 1)(−逛− 诡+ 2)(−逛−(−逛− k. + 囊挠)足−逛− k. + 脑挠卒足−逛− k. + 闹挠卒足−逛− k. + 呢挠卒挠瓜囊纵逛),.);规),过邹= 1 + (− Ǵ)(− 2逛+ Ǵ)(−逛− k. + 囊挠) 过1!

+ (− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− 2逛+ Ǵ)(− 2逛+ Ǵ + 1)足−逛− k. + 囊挠卒足−逛− k. + 脑挠卒过挠2!

+ (− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− Ǵ + 2)(− 2逛+ Ǵ)(− 2逛+ Ǵ + 1)(− 2逛+ Ǵ + 2)(−逛− k. + 囊挠)足−逛− k. + 脑挠卒足−逛− k. + 闹挠卒过脑3!

+ (− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− Ǵ + 2)(− Ǵ + 3)(− 2逛+ Ǵ)(− 2逛+ Ǵ + 1)(− 2逛+ Ǵ + 2)(− 2逛(−逛− k. + 囊挠)足−逛− k. + 脑挠卒足−逛− k. + 闹挠卒足−逛− k. + 呢挠卒


commit to user

38


+ (− 3)(− 2)(− 1)(− 2逛+ 3)(− 2逛+ 4)(− 2逛+ 5)(−逛− k. + 囊挠)足−逛− k. + 脑挠卒足−逛− k. + 闹挠卒过脑3!


+ (− 3)(− 2)(− 2逛+ 3)(− 2逛+ 4)足−逛− k. + 囊挠卒足−逛− k. + 脑挠卒纵1 − k滚kǴℎ9邹挠8

+ (− 3)(− 2)(− 1)(− 2逛+ 3)(− 2逛+ 4)(− 2逛+ 5)(−逛− k. + 囊挠)足−逛− k. + 脑挠卒足−逛− k. + 闹挠卒纵1 − k滚kǴℎ9邹脑48

Sehingga diperoleh persamaan gelombang tingkat ketiga sebagai berikut: �脑= (� ȬS铺挠 )能频嫩�贫(囊嫩��n萍铺挠 )能�贫

醉1 + (能脑)(能挠频嫩脑)(能频能�贫嫩前潜) 囊能��n萍铺挠 + (淖)(能挠频嫩脑)(能挠频嫩恼)足能频能�贫嫩前潜卒足能频能�贫嫩遣潜卒纵囊能��n萍铺邹潜馁 +(能淖)(能挠频嫩脑)(能挠频嫩恼)(能挠频嫩闹)(能频能�贫嫩前潜)足能频能�贫嫩遣潜卒足能频能�贫嫩谴潜卒纵囊能��n萍铺邹遣恼馁噬 (3.42)

2. Penjabaran Penyelesaian Persamaan Schrodinger untuk Potensial

Gendenshtein II Menggunakan Metode Hypergeometry

Energi potensial partikel yang dipengaruhi oleh potensial Gendenshtein II

dinyatakan sebagai

惯乒33= ℎ潜挠屏贫潜嫩频纵频嫩囊邹��n萍潜铺 − ℎ潜挠屏挠贫(频嫩前潜)� ȬS铺��n萍潜铺 (3.43)

Persamaan Schrodinger untuk potensial Gendenshtein II dapat dinyatakan

sebagai


commit to user

39

− ℎ潜挠屏潜2铺潜+ 醉ℎ潜挠屏贫潜嫩频纵频嫩囊邹��n萍潜铺 − ℎ潜挠屏挠贫(频嫩前潜)� ȬS铺��n萍潜铺最� = "� (3.44)

Variabel yang akan disubstitusikan ke dalam persamaan (3.44) adalah

cosh x =1-2z makasinh x= 2税过(过− 1) (3.45)

Dengan mensubstitusikan varibel ke dalam persamaan (3.45) maka

diperoleh bentuk umum sebagai berikut

过纵过− 1邹潜2H潜+ 足过− 囊挠卒2H –诅贫潜嫩频纵频嫩囊邹恼H纵H能囊邹 − 2. 足逛+ 囊挠卒纵囊能挠H邹恼H纵H能囊邹阻� = − 挠屏ℎ潜"� (3.46)

Jika dimisalkan

挠屏ℎ潜" = −诡挠 (3.47)

dan karena 囊H(囊能H) = 囊H + 囊囊能H, maka persamaan (3.46) menjadi

过纵1 − 过邹潜2H潜+ 足囊挠− 过卒2H + 醉诡挠− {足频嫩前潜卒能贫}潜能前浅恼H − {足频嫩前潜卒嫩贫}潜能前浅恼(囊能H) 最� = 0 (3.48)

Persamaan (3.48) merupakan persamaan perantara hypergeometry yang

mempunyai dua buah titik regular singular di titik z = 0 atau z = 1. Dengan

menggunakan langkah yang sama seperti pada potensial Gendenshtein I maka

penyelesaian umum untuk potensial Gendenshtein II dapat dinyatakan sebagai

� = 过崎(1 − 过)脐归(过) (3.49)

Untuk z = 0 maka ψ~z判(3.50a) dan untuk z = 1 maka ψ~(1 − z)叛(3.50b).

Dimana dilakukan substitusi parameter yang diperoleh dari index equation

sebagai berikut


commit to user

40

{足逛+ 囊挠卒− .}挠− 囊恼= 2荒(2荒− 1)dengan荒= 能频嫩贫挠 (3.51a)

{足逛+ 囊挠卒+ .}挠− 囊恼= 2慌(2慌− 1)dengan慌= 能频能贫挠 (3.51b)

Dengan menentukan turunan pertama dan kedua terhadap fungsi z

persamaan (3.49) dan mensubstitusikan ke persamaan (3.48) maka diperoleh

过纵1 − 过邹潜3H潜+ 收足2荒+ 囊挠卒− (2荒+ 2慌+ 1)过寿3H − {(荒+ 慌)挠− 诡挠}归= 0 (3.52)

Persamaan (3.52) merupakan persamaan tipe hypergeometry, dengan

membandingkan parameter persamaan (2.1) dengan persamaan (3.52) maka

diperoleh

逛) = 荒+ 慌+ 诡, .) = 荒+ 慌− 诡 dan规) = 2荒+ 囊挠,荒+ 慌= −逛 (3.53)

Apabila diambil逛) = − Ǵ = 荒+ 慌+ 诡maka akan diperoleh 诡= 逛− Ǵ (3.54)

Dengan mensubstitusikan persamaan (3.54) ke persamaan (3.47) diperoleh

spektrum energi potensial Gendenshtein II sebagai berikut.

"n = − ℎ潜挠屏 (逛− Ǵ)挠 (3.55)

Dengan membandingkan persamaan (2.1) dengan persamaan (3.52) dapat

diperoleh penyelesaian persamaan (3.52) yang merupakan fungsi hypergeometry

yaitu

归囊(过) = 瓜囊挠纵逛),.);规);过邹= ∑ (频煮)叁(贫煮)叁(>煮)叁 H叁n!捧n妮难 (3.56)


commit to user

41

Dengan memasukkan persamaan (3.45), (3.51a),(3.51b) dan (3.56) ke

dalam persamaan (3.49), maka diperoleh persamaan fungsi gelombang untuk

potensial Gendenshtein II yang dituliskan sebagai berikut.

� = 收1 − 规e滚ℎ92 寿呛锐枪闰潜收1 + 规e滚ℎ92 寿呛锐呛闰潜瓜挠囊纵过邹 = 试囊能>Ė�萍潜铺守呛锐枪闰潜纵囊嫩>Ė�萍铺邹闰瓜2 1 足−逛+ 诡, −逛− 诡; −逛+ . + 12 ; 囊能>Ė�萍铺挠卒 (3.57)



berikut:


Dimana逛′ = −逛+ 诡, .′ = −逛− 诡, 规′ = −逛+ . + 12 , 圭逛Ǵ 过= 囊能>Ė�萍铺挠 , dengan 逛) =− Ǵ,诡= 逛− Ǵ 圭逛Ǵ Ǵ = 0, maka

挠瓜囊纵逛),.);规),过邹= 1 + (− Ǵ)(−逛− 诡)(−逛+ . + 囊挠) 过1! 挠瓜囊纵逛),.);规),过邹= 1 + (0)(− 2逛+ Ǵ)(−逛+ . + 囊挠) 1 − 规e滚ℎ92

Sehingga diperoleh persamaan gelombang tingkat dasar sebgai berikut:

�难= 试囊能>Ė�萍潜铺守呛锐枪闰潜纵囊嫩>Ė�萍铺邹闰 (3.59)



sebagai berikut:


commit to user

42



挠瓜囊纵逛),.);规),过邹= 1 + (− Ǵ)(−逛− 诡)(−逛+ . + 囊挠) 过1! + (− Ǵ)(− Ǵ + 1)(−逛− 诡)(−逛− 诡+ 1)足−逛+ . + 囊挠卒足−逛+ . + 脑挠卒过挠2!

挠瓜囊纵逛),.);规),过邹= 1 + (− Ǵ)(−逛− (逛− Ǵ))(−逛+ . + 囊挠) 过1!+ (− Ǵ)(− Ǵ + 1)(−逛− (逛− Ǵ))(−逛− (逛− Ǵ) + 1)足−逛+ . + 囊挠卒足−逛+ . + 脑挠卒过挠2!

挠瓜囊纵逛),.);规),过邹= 1 + (− Ǵ)(− 2逛+ Ǵ)(−逛+ . + 囊挠) 过1!+ (− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− 2逛+ Ǵ)(− 2逛+ Ǵ + 1)足−逛+ . + 囊挠卒足−逛+ . + 脑挠卒过挠2!

挠瓜囊纵逛),.);规),过邹= 1 + (− 1)(− 2逛+ 1)(−逛+ . + 囊挠) 过1! + (− 1)(− 1 + 1)(− 2逛+ 1)(− 2逛+ 2)足−逛+ . + 囊挠卒足−逛+ . + 脑挠卒过挠2!

挠瓜囊纵逛),.);规),过邹= 1 + (− 1)(− 2逛+ 1)(−逛+ . + 囊挠) 1 − 规e滚ℎ92

Sehingga diperoleh persamaan gelombang tingkat pertama sebagai berikut:

�囊= 试囊能>Ė�萍潜铺守呛锐枪闰潜纵囊嫩>Ė�萍铺邹闰醉1 + (能囊)(能挠频嫩囊)(能频嫩贫嫩前潜) 囊能>Ė�萍铺挠最 (3.60)



berikut:


commit to user

43



Dimana逛′ = −逛+ 诡, .′ = −逛− 诡, 规′ = −逛+ . + 12 , 圭逛Ǵ 过= 囊能>Ė�萍铺挠 , dengan逛) =− Ǵ,诡= 逛− Ǵ 圭逛Ǵ Ǵ = 2, maka


+ (− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− Ǵ + 2)(−逛− 诡)(−逛− 诡+ 1)(−逛− 诡+ 2)(−逛+ . + 囊挠)足−逛+ . + 脑挠卒足−逛+ . + 闹挠卒过脑3!

挠瓜囊纵逛),.);规),过邹= 1 + 纵−Ǵ邹试−逛− 纵逛− Ǵ邹守足−逛+ . + 囊挠卒过1!+ 纵−Ǵ邹纵−Ǵ + 1邹试−逛− 纵逛− Ǵ邹守纵−逛− 纵逛− Ǵ邹+ 1邹足−逛+ . + 囊挠卒足−逛+ . + 脑挠卒过挠2!

+ (− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− Ǵ + 2)(−逛− 纵逛− Ǵ邹)(−逛− 纵逛− Ǵ邹+ 1)(−逛− 纵逛− Ǵ邹+(−逛+ . + 囊挠)足−逛+ . + 脑挠卒足−逛+ . + 闹挠卒挠瓜囊纵逛),.);规),过邹= 1 + (− Ǵ)(− 2逛+ Ǵ)(−逛+ . + 囊挠) 过1!

+ (− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− 2逛+ Ǵ)(− 2逛+ Ǵ + 1)足−逛+ . + 囊挠卒足−逛+ . + 脑挠卒过挠2!

+ (− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− Ǵ + 2)(− 2逛+ Ǵ)(− 2逛+ Ǵ + 1)(− 2逛+ Ǵ + 2)(−逛+ . + 囊挠)足−逛+ . + 脑挠卒足−逛+ . + 闹挠卒过脑3!

挠瓜囊纵逛),.);规),过邹= 1 + (− 2)(− 2逛+ 2)(−逛+ . + 囊挠) 过1! + (− 2)(− 2 + 1)(− 2逛+ 2)(− 2逛+ 3)足−逛+ . + 囊挠卒足−逛+ . + 脑挠卒过挠2!


commit to user

44

+ (− 2)(− 2 + 1)(− 2 + 2)(− 2逛+ 2)(− 2逛+ 3)(− 2逛+ 4)(−逛+ . + 囊挠)足−逛+ . + 脑挠卒足−逛+ . + 闹挠卒过脑3!


+ (− 2)(− 1)(− 2逛+ 2)(− 2逛+ 3)足−逛+ . + 囊挠卒足−逛+ . + 脑挠卒纵1 − 规e滚ℎ9邹挠8

Sehingga diperoleh persamaan gelombang tingkat kedua sebagai berikut:

�挠= 试囊能>Ė�萍潜铺守呛锐枪闰潜纵囊嫩>Ė�萍铺邹闰

醉1 + (能挠)(能挠频嫩挠)(能频嫩贫嫩前潜) 囊能>Ė�萍铺挠 + (挠)(能挠频_嫩挠)(能挠频嫩脑)足能频嫩贫嫩前潜卒足能频嫩贫嫩遣潜卒纵囊能>Ė�萍铺邹潜馁最 (3.61)



berikut:


+ 逛脑) (逛脑) + 1)(逛脑) + 2).脑) (.脑) + 1)(.脑) + 2)规脑)纵规脑) + 1邹纵规脑) + 2邹过脑3!+ 逛恼) (逛恼) + 1)(逛恼) + 2)(逛恼) + 3).恼) (.恼) + 1)(.恼) + 2)(.恼) + 3)规脑)纵规脑) + 1邹纵规脑) + 2邹纵规脑) + 3邹过恼4!



+ (− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− Ǵ + 2)(−逛− 诡)(−逛− 诡+ 1)(−逛− 诡+ 2)(−逛+ . + 囊挠)足−逛+ . + 脑挠卒足−逛+ . + 闹挠卒过脑3!


commit to user

45

+ (− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− Ǵ + 2)(− Ǵ + 3)(−逛− 诡)(−逛− 诡+ 1)(−逛− 诡+ 2)(−逛−(−逛+ . + 囊挠)足−逛+ . + 脑挠卒足−逛+ . + 闹挠卒足−逛+ . + 呢挠卒挠瓜囊纵逛),.);规),过邹= 1 + (− Ǵ)(− 2逛+ Ǵ)(−逛+ . + 囊挠) 过1!

+ (− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− 2逛+ Ǵ)(− 2逛+ Ǵ + 1)足−逛+ . + 囊挠卒足−逛+ . + 脑挠卒过挠2!

+ (− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− Ǵ + 2)(− 2逛+ Ǵ)(− 2逛+ Ǵ + 1)(− 2逛+ Ǵ + 2)(−逛+ . + 囊挠)足−逛+ . + 脑挠卒足−逛+ . + 闹挠卒过脑3!

+ (− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− Ǵ + 2)(− Ǵ + 3)(− 2逛+ Ǵ)(− 2逛+ Ǵ + 1)(− 2逛+ Ǵ + 2)(− 2逛(−逛+ . + 囊挠)足−逛+ . + 脑挠卒足−逛+ . + 闹挠卒挠瓜囊纵逛),.);规),过邹= 1 + (− 3)(− 2逛+ 3)(−逛+ . + 囊挠) 过1! + (− 3)(− 3 + 1)(− 2逛+ 3)(− 2逛+ 4)足−逛+ . + 囊挠卒足−逛+ . + 脑挠卒过挠2!

+ (− 3)(− 2)(− 1)(− 2逛+ 3)(− 2逛+ 4)(− 2逛+ 5)(−逛+ . + 囊挠)足−逛+ . + 脑挠卒足−逛+ . + 闹挠卒过脑3!


+ (− 3)(− 2)(− 2逛+ 3)(− 2逛+ 4)足−逛+ . + 囊挠卒足−逛+ . + 脑挠卒纵1 − 规e滚ℎ9邹挠8

+ (− 3)(− 2)(− 1)(− 2逛+ 3)(− 2逛+ 4)(− 2逛+ 5)(−逛+ . + 囊挠)足−逛+ . + 脑挠卒足−逛+ . + 闹挠卒纵1 − 规e滚ℎ9邹脑48

Sehingga diperoleh persamaan gelombang tingkat ketiga sebagai berikut:

�脑= 试囊能>Ė�萍潜铺守呛锐枪闰潜纵囊嫩>Ė�萍铺邹闰


commit to user

46

醉1 + (能脑)(能挠频嫩脑)(能频嫩贫嫩前潜) 囊能>Ė�萍铺挠 + (淖)(能挠频嫩脑)(能挠频嫩恼)足能频嫩贫嫩前潜卒足能频嫩贫嫩遣潜卒纵囊能>Ė�萍铺邹潜馁 +(能淖)(能挠频嫩脑)(能挠频嫩恼)(能挠频嫩闹)(能频嫩贫嫩前潜)足能频嫩贫嫩遣潜卒足能频嫩贫嫩谴潜卒纵囊能>Ė�萍铺邹遣恼馁噬 (3.62)

3. Penjabaran Penyelesaian Persamaan Schrodinger untuk Potensial Rosen

Morse II Menggunakan Metode Hypergeometry

Energi partikel yang dipengaruhi oleh potensial Rosen Morse II

dinyatakan sebagai:

惯乒33= − ℎ潜挠屏足契(契嫩囊)>Ė�萍潜铺− 2刽N逛Ǵℎ9卒 (3.63)

Persamaan Schrodinger untuk potensial Rosen Morse II dapat dinyatakan

sebagai:

− ℎ潜挠屏潜2铺潜− ℎ潜挠屏足契纵契嫩囊邹>Ė�萍潜铺− 2刽 N逛Ǵℎ9卒� = "� (3.64)

Dari persamaan (3.64) dapat dilihat bahwa variabel fungsi pada potensial

Rosen Morse II dapat dinyatakan sebagai fungsi tunggal yaitu tanhx, maka

substitusi variabelnya adalah N逛Ǵℎ9 = 1 − 2过 (3.65)

Dengan cara yang sama dengan uraian pada potensial Gendenshtein I dan

II, maka hasil penyelesaian persamaan schrodinger untuk potensial Rosen Morse

diperoleh sebagai berikut.

过纵1 − 过邹潜2H潜+ 纵1 − 2过邹2H + 诅恍(恍+ 1) − 挠婆能瓶潜恼H − 能挠婆能瓶潜恼(囊能H) 阻� = 0 (3.66)

Persamaan (3.66) adalah persamaan tipe hypergeometry yang mempunyai

dua buah titik regular singular di titik z=0 dan z=1, maka dapat diselesaikan

seperti pada penyelesaian persamaan (3.21) dan (3.48) sehingga diperoleh dua

buah penyelesaian pendekatan yaitu


commit to user

47

Untuk z =0, �~过崎dengan2刽− 诡挠= 4荒挠 (3.66a)

Untuk z = 1, �~(1 − 过)脐dengan− 2刽− 诡挠= 4慌挠 (3.66b)

Berdasarkan penyelesaian pendekatan di titik z=0 dan z=1 dapat diperoleh

bentuk penyelesaian secara umum yaitu � = 过崎(1 − 过)脐归(过) (3.67)

Dengan cara yang sama seperti pada potensial Gendenshtein I dan II maka

diperoleh spektrum energi untuk potensial Rosen Morse II sebagai berikut.

"n = − ℎ潜挠屏足婆潜纵契能n邹潜+ 纵恍− Ǵ邹挠卒 (3.68)

Persamaan (3.68) mengandung variabel q, ν dan n. Dengan q dan ν merupakan konstanta bilangan bulat yang menunjukkan kedalaman

partikel dalam suatu sumur potensial Rosen Morse II. Jika membandingkan

persamaan (3.36) dan (3.55) dengan (3.68) dan menganggap a = ν, tampak bahwa

persamaan (3.36), (3.55) dan (3.68) memiliki kesamaan namun pada persamaan

(3.68) terdapat faktor tambah yaitu 女潜纵跑能D邹潜 . Dimana faktor tambah ini merupakan

faktor koreksi.

Persamaan gelombang secara umum dapat dituliskan sebagai � = 过崎(1 − 过)脐归(过)

� = 足囊能迫频n萍铺挠卒崎足囊嫩迫频n萍铺挠卒脐瓜挠囊(逛), .);规),过)

� = 足囊能迫频n萍铺挠卒纵捎呛叁邹潜嫩桑潜(捎呛叁) 足囊嫩迫频n萍铺挠卒纵捎呛叁邹潜能桑潜(捎呛叁) 瓜挠囊(逛),.);规),过)

� = 足�乒>萍铺挠卒(契能n) 足囊能迫频n萍铺囊嫩迫频n萍铺卒桑潜(捎呛叁) 瓜挠囊(逛),.);规),过)

� = 足�乒>萍铺挠卒(契能n) 足>Ė�萍铺嫩��n萍铺挠卒能桑(捎呛叁) 瓜挠囊(逛), .);规),过) (3.69)


commit to user

48



berikut:


Dimana逛) = − Ǵ, .′ = 2恍− Ǵ + 1, 规′ = 恍− Ǵ + 刽恍−Ǵ + 12 , 圭逛Ǵ 过= 囊能迫频n萍铺挠 , dengan 逛) = − Ǵ 圭逛Ǵ Ǵ = 0, maka

挠瓜囊纵逛),.);规),过邹= 1 + (− Ǵ)(2恍− Ǵ + 1)(恍− Ǵ + 刽恍− Ǵ + 12) 过1! 挠瓜囊纵逛),.);规),过邹= 1 + (0)(2恍− Ǵ + 1)(恍− Ǵ + 刽恍−Ǵ + 12) 1 − N逛Ǵℎ92

Sehingga diperoleh persamaan gelombang tingkat dasar sebagai berikut:

�难= 足�乒>萍铺挠卒(契能n) 足>Ė�萍铺嫩��n萍铺挠卒能桑(捎呛叁) (3.71)



sebagai berikut:



挠瓜囊纵逛),.);规),过邹= 1 + (− Ǵ)(2恍− Ǵ + 1)(恍− Ǵ + 刽恍− Ǵ + 12) 过1!+ (− Ǵ)(− Ǵ + 1)(2恍− Ǵ + 1)(2恍− Ǵ + 2)足恍− Ǵ + 刽恍−Ǵ + 12卒足恍− Ǵ + 刽恍−Ǵ + 32卒过挠2!


commit to user

49

挠瓜囊纵逛),.);规),过邹= 1 + (− 1)(2恍− 1 + 1)(恍− 1 + 刽恍− 1 + 12) 过1! + (− 1)(− 1 + 1)(2恍− 1 + 1)(2恍− 1 + 2)足恍− 1 + 刽恍− 1 + 12卒足恍− 1 + 刽恍− 1 + 32卒过挠2!

挠瓜囊纵逛),.);规),过邹= 1 + (− 1)(2恍)(恍+ 刽恍− 1 − 12) 1 − N逛Ǵℎ92 + 0

Sehingga diperoleh persamaan gelombang tingkat pertama sebagai berikut:

�囊= 足�乒>萍铺挠卒(契能n) 足>Ė�萍铺嫩��n萍铺挠卒能桑(捎呛叁) 醉1 + (能囊)(2恍)(恍+ 刽恍− 1− 12) 囊能迫频n萍铺挠最 (3.72)



berikut:



Dimana逛) = − Ǵ, .′ = 2恍− Ǵ + 1, 规′ = 恍− Ǵ + 刽恍−Ǵ + 12 , 圭逛Ǵ 过= 囊能迫频n萍铺挠 , dengan逛) =− Ǵ 圭逛Ǵ Ǵ = 2, maka


+ (− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− Ǵ + 2)(2恍− Ǵ + 1)(2恍− Ǵ + 2)(2恍− Ǵ + 3)足恍− Ǵ + 刽恍−Ǵ + 12卒足恍− Ǵ + 刽恍−Ǵ + 32卒足恍− Ǵ + 刽恍− Ǵ + 52卒过脑3!


commit to user

50

挠瓜囊纵逛),.);规),过邹= 1 + (− 2)(2恍− 2 + 1)(恍− 2 + 刽恍− 2 + 12) 过1! + (− 2)(− 2 + 1)(2恍− 2 + 1)(2恍− 2 + 2)足恍− 2 + 刽恍− 2 + 12卒足恍− 2 + 刽恍− 2 + 32卒过挠2!

+ (− 2)(− 2 + 1)(− 2 + 2)(2恍− 2 + 1)(2恍− 2 + 2)(2恍− 2 + 3)足恍− 2 + 刽恍− 2 + 12卒足恍− 2 + 刽恍− 2 + 32卒足恍− 2 + 刽恍− 2 + 52卒过脑3!

挠瓜囊纵逛),.);规),过邹= 1 + (− 2)(2恍− 1)(恍+ 刽恍− 2 − 32) 1 − N逛Ǵℎ92+ (2)(2恍− 1)(2恍)足恍+ 刽恍− 2 − 32卒足恍+ 刽恍− 2 − 12卒纵1 − N逛Ǵℎ9邹挠8 + 0

Sehingga diperoleh persamaan gelombang tingkat kedua sebagai berikut:

�挠= 收滚硅规ℎ92 寿(契能n) 收规e滚ℎ9 + 滚kǴℎ92 寿能桑(捎呛叁)

醉1 + (能挠)(2恍− 1)(恍+ 刽恍− 2− 32) 囊能迫频n萍铺挠 + (挠)(2恍− 1)(2恍)足恍+ 刽恍− 2− 32卒足恍+ 刽恍− 2− 12卒纵囊能迫频n萍铺邹潜馁最 (3.73)



berikut:


+ 逛脑) (逛脑) + 1)(逛脑) + 2).脑) (.脑) + 1)(.脑) + 2)规挠)纵规挠) + 1邹过脑3!

+ 逛恼) (逛恼) + 1)(逛恼) + 2)(逛恼) + 3).恼) (.恼) + 1)(.恼) + 2)(.恼) + 3)规恼)纵规恼) + 1邹纵规恼) + 2邹纵规恼) + 3邹过恼4!



commit to user

51


+ (− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− Ǵ + 2)(2恍− Ǵ + 1)(2恍− Ǵ + 2)(2恍− Ǵ + 3)足恍− Ǵ + 刽恍−Ǵ + 12卒足恍− Ǵ + 刽恍−Ǵ + 32卒足恍− Ǵ + 刽恍− Ǵ + 52卒过脑3!

+ (− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− Ǵ + 2)(− Ǵ + 3)(2恍− Ǵ + 1)(2恍− Ǵ + 2)(2恍− Ǵ + 3)(2恍−足恍− Ǵ + 刽恍−Ǵ + 12卒足恍− Ǵ + 刽恍−Ǵ + 32卒足恍− Ǵ + 刽恍− Ǵ + 52卒足恍− Ǵ + 刽恍−Ǵ + 72卒挠瓜囊纵逛),.);规),过邹

= 1 + (− 3)(2恍− 3 + 1)(恍− 3 + 刽恍− 3 + 12) 过1! + (− 3)(− 3 + 1)(2恍− 3 + 1)(2恍− 3 + 2)足恍− 3 + 刽恍− 3 + 12卒足恍− 3 + 刽恍− 3 + 32卒过挠2!

+ (− 3)(− 3 + 1)(− 3 + 2)(2恍− 3 + 1)(2恍− 3 + 2)(2恍− 3 + 3)足恍− 3 + 刽恍− 3 + 12卒足恍− 3 + 刽恍− 3 + 32卒足恍− 3 + 刽恍− 3 + 52卒过脑3!+ 0

挠瓜囊纵逛),.);规),过邹= 1 + (− 3)(2恍− 2)(恍+ 刽恍− 3 − 52) 1 − N逛Ǵℎ92+ (6)(2恍− 2)(2恍− 1)足恍+ 刽恍− 3 − 52卒足恍+ 刽恍− 3 − 32卒纵1 − N逛Ǵℎ9邹挠8+ (− 6)(2恍− 2)(2恍− 1)(2恍)足恍+ 刽恍− 3 − 52卒足恍+ 刽恍− 3 − 32卒足恍+ 刽恍− 3 − 12卒过脑3!

Sehingga diperoleh persamaan gelombang tingkat ketiga sebagai berikut:

�脑= 收滚硅规ℎ92 寿(契能n) 收规e滚ℎ9 + 滚kǴℎ92 寿能桑(捎呛叁)


commit to user

52

岗纲肛1 + 纵能脑邹纵2恍− 2邹足恍+ 刽恍− 1− 52卒囊能迫频n萍铺挠 + 纵淖邹纵2恍− 2邹纵2恍− 1邹足恍+ 刽恍− 2− 52卒足恍+ 刽恍− 2− 32卒纵囊能迫频n萍铺邹潜馁+ (能淖)(2恍− 2)(2恍− 1)(2恍)足恍+ 刽恍− 3− 52卒足恍+ 刽恍− 3− 32卒足恍+ 刽恍− 3− 12卒纵囊能迫频n萍铺邹遣恼馁皋篙

杠 (3.74)

E. Diagram Penelitian

Gambar 3.1 Diagram Penelitian

Gambar 3.1 menunjukkan digram atau alur penelitian yang dilakukan.

Penelitian dimulai dari kajian potensial yang terdiri dari potensial Gendenshtein I,

Gendenshtein II dan Rosen Morse II menggunakan metode hypergeometry. Hasil

kajian ini diperoleh persamaan fungsi gelombang dan spektrum energi masing-

masing potensial. Setelah mengkaji ketiga potensial tersebut, membuat program

simulasi dengan menggunakan bahasa pemograman Delphi 7.0 untuk

memvisualisasikan persamaan-persamaan yang diperoleh. Selanjutnya

menganalisa hasil grafik dengan mengghubungkan grafik simulasi yang diperoleh

dengan persamaan yang digunakan.

1. Flowchart Pemrograman dengan operator

a. Gendeshtein I

START

Masukkannilaia dan b

Persamaan(3.15)

a. KajianpotensialGendeshtein I b. KajianpotensialGendeshtein II c. KajianpotensialRosen Morse II

Pembuatan Program

Analisa


commit to user

53

Gambar 3.2 Flowchart potensial Gendenshtein I

Gambar 3.2 menunjukkan flowchart atau diagram untuk program simulasi

potensial Gendenshtein I menggunakan bahasa Delphi 7.0. Adapun langkah-

langkah pengoperasian program sebagai berikut. Program dimulai dari start yaitu

dengan mengklik tombol run pada program yang telah dibuat. Kemudian program

akan meminta masukkan data yaitu a dan b dimana a dan b merupakan konstanta

yang nilainya berupa bilangan bulat. Data kemudian akan diolah sesuai persamaan

(3.15), (3.36), dan (3.39) untuk menampilkan grafik potensial efektif, fungsi

gelombang, probabilitas dan tabel tingkat energi. Program ini diakhiri dengan stop

artinya mengakhiri program atau keluar dari program yaitu dengan mengklik

tombol exit.

b. Gendenshtein II


potensial Gendenshtein II menggunakan bahasa Delphi 7.0. Adapun langkah-

Persamaan (3.36)


commit to user

54



akan meminta masukkan data yaitu a dan b dimana a dan b merupakan konstanta

yang nilainya berupa bilangan bulat. Jika data yang dimasukkan tidak memenuhi

syarat yang telah ditentukan (Gambar 3.3) maka program akan meminta

mengulangi masukan. Jika data memenuhi syarat maka data akan diolah sesuai

persamaan (3.43), (3.59), (3.60) dan (3.55) untuk menampilkan grafik potensial

efektif, gelombang dasar, gelombang tingkat pertama, probabilitas tingkat dasar,

probabilitas tingkat pertama dan tabel tingkat energi. Program ini diakhiri dengan

stop artinya mengakhiri program atau keluar dari program yaitu dengan mengklik

tombol exit.

START

Masukkannilai a dan b

Persamaan (3.43)

GrafikVeff,fungsi gelombang (psi), probabilitas dan tabel tingkat energi

-a+b = bilangan genap

ya

tidak

Persamaan (3.59)

Persamaan (3.60)

Persamaan (3.61)

Persamaan (3.62)

Persamaan (3.55)


commit to user

55

Gambar 3.3 Flowchart potensial Gendenshtein II

c. Rosen Morse II

START

Masukkannilai恍, q dan Ǵ

Persamaan (3.63)

Grafik Veff, fungsi gelombang (psi), probabilitas dan tabel tingkat energi

ya

恍> Ǵ

tidak

Persamaan (3.71)

Persamaan (3.72)

Persamaan (3.73)

Persamaan (3.74)

Persamaan (3.68)


commit to user

56

Gambar 3.4 Flowchart potensial Rosen Morse II


potensial Rosen Morse II menggunakan bahasa Delphi 7.0. Adapun langkah-



akan meminta masukkan data yaitu 恍, q dan n. 恍 dan q merupakan konstanta yang

nilainya berupa bilangan bulat sedangkan n merupakan bilangan kuantum (0, 1, 2,

....). Jika data yang dimasukkan tidak memenuhi syarat yang telah ditentukan

(Gambar 3.4) maka program akan meminta mengulangi masukan. Jika data

memenuhi syarat maka data akan diolah sesuai persamaan (3.63), (3.71), (3.72),

(3.73), (3.74) dan (3.68) untuk menampilkan grafik potensial efektif, gelombang

dasar, probabilitas dan tingkat energi. Program ini diakhiri dengan stop artinya

mengakhiri program atau keluar dari program yaitu dengan mengklik tombol

keluar.


commit to user

54

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

Fungsi gelombang dan spektrum energi potensial Gendenshtein I,

Gendenshtein II dan potensial Rosen Morse IIdianalisis menggunakan metode

hypergeometry. Potensial efektif, rapat probabilitas dan fungsi gelombang dari

masing-masing potensial selanjutnya divisualisasikan menggunakan program

simulasi komputer dengan bahasa pemograman Delphi7. Dalam penelitian ini

juga dihitung tingkat energi dari masing-masing potensial secara numerik. Berikut

hasil analisis simulasi untuk masing-masing potensial.

A. Hasil Analitik Spektrum Energi dan Grafik Pemrograman Delphi 7.0

Simulasi potensial Gendenshtein dijalankan untuk mendapatkan Tabel

tingkat energi, grafik potensial, grafik fungsi gelombang dan grafik probabilitas.

Berikut merupakan hasil output simulasi.

1. Potensial Gendenshtein I

a) Spektrum Energi

Persamaan energi untuk potensial Gendenshtein I dan II adalah

samaseperti yang ditunjukkan pada persamaan (3.36) dan (3.55). Dengan

menentukan nilai dari variabel �yaitu konstanta bilangan bulat yang berhubungan

dengan kedalaman partikel pada suatu potensialdan 柜merupakan bilangan

kuantum maka energi dari potensial Gendenshtein dapat dianalisis secara

numerik. Adapun hasil perhitunganenergi untuk potensial Gendenshtein dengan

ℎ:挠弄 = 1dapat di lihat pada Tabel 4.1.


commit to user

55

Tabel 4.1 Tingkat energi potensial Gendenshtein 蕉矫件矫 1 0 -1

2 0 -4 1 -1

3 0 -9 1 -4 2 -1

4

0 -16 1 -9 2 -4 3 -1

5

0 -25 1 -16 2 -9 3 -4 4 -1

Berdasarkan Tabel 4.1, tampak bahwa nilai energi untuk potensial

Gendenshtein berharga negatif. Hal tersebut menunjukan bahwa partikel berada di

dalam kotak atau sumur (boundstate).

b) Potensial efektif

Gambar 4.1 menunjukkan grafik potensial Gendenshtein Iyang diperoleh

dengan menggunakan pemograman Delphi7.0. Tampak bahwa grafik potensial

Gendenshtein I ini mirip dengan potensial sumur, di mana partikel terkurung di

dalam sumur pada batas tertentu (lihat Gambar 4.1a, 4.1b, 4.1c). Selama partikel

berada di dalam sumur, energi potensial dari sistem tidak akan terpengaruh oleh

lokasi partikel dan dapat diasumsikan bahwa energi potensial partikel sama

dengan nol dan bernilai tak terhingga jika partikel berada di luar sumur atau

batas.Oleh karena itu, syarat agar partikel dapat keluar atau berada di luar kotak

adalah jika sistem tersebut memiliki jumlah energi yang tak terhingga.


commit to user

56

Grafik Potensial Efektif Gendenshtein I

Gambar 4.1a. Grafik simulasi potensial efektif dengan a = 10, b = 5,

ℎƴƴ0 = 谜


Gambar 4.1b. Grafik simulasi potensial efektif dengan a = 5, b = 10, ℎƴƴ0 = 谜


commit to user

57


Gambar 4.1c. Grafik simulasi potensial efektif dengan a = 10, b = 10,

ℎƴƴ0 = 谜

Grafik pada Gambar 4.1a, 4.1b, dan 4.1c mempunyai bentuk yang sama

walaupun nilai dari variabel-variabelnya berubah-ubah. Hal ini dikarenakan

potensial Gendenshtein I merupakan potensial shape invariance. Bentuk grafik

menunjukkan fungsi secans kuadart hiperbolik. Semakin kecil sudut (x) maka

nilai potensial efektif semakin mendekati nol. Nilai ini disebabkan oleh fungsi

secans hiperbolik. Sedangkan semakin besar sudut (x), maka nilai potensial efektif

semakin meningkat kemudian menurun pada sudut 0,15 (dalam radian).Hal ini

disebabkan karena faktor tambah dalam fungsi sinus hiperbolik. Pada Gambar

4.1b, sumur tampak lebih dangkal dibandingkan grafik pada Gambar 4.1a dan

4.1b, hal ini dikarenakan nilai dari variabel a lebih kecil daripada b. Semakin

besar variabel a maka semakin dalam sumur potensial. Adapun persamaan yang

menunjukkan hasil grafik pada Gambar 4.1 adalah persamaan (3.15).


commit to user

58

2. Potensial Gendenshtein II

a) Potensial efektif

Gambar 4.2 menunjukkan grafik potensial Gendenshtein IIyang diperoleh

dengan menggunakan pemograman Delphi 7.0. Jika diamati, grafik potensial

Gendenshtein II mirip dengan sumur potensial dimana sebuah sumur adalah

daerah yang menghadap ke atas dari kurva dalam sebuah diagram energi

potensial. Sumur potensial adalah daerah yang tidak mendapat pengaruh

potensial. Karena dinding potensial relatif dangkal (tidak tinggi), maka

kemungkinan elektron dapat ditemukan di daerah luar batas atau daerah di luar

sumur potensial.

Grafik Potensial Efektif Gendenshtein II

Gambar 4.2a. Grafik Simulasi Potensial Efektif untuk a = 6 dan b = 10,

ℎƴƴ0 = 谜.


commit to user

59


Gambar 4.2b. Grafik Simulasi Potensial Efektif untuk a = 10 dan b = 6,

ℎƴƴ0 = 谜.


Gambar 4.2c. Grafik Simulasi Potensial Efektif untuk a = 10 dan b = 10,

ℎƴƴ0 = 谜.

Bentuk grafik (4.2adan 4.2b) menunjukkan fungsi cosecans kuadrat

hiperbolik. Dari Gambar 4.2a, dan 4.2b tampak bahwa semakin x (sudut)

mendekati nol, maka harga potensial efektif semakin menuju tak terhingga. Nilai

tak berhingga ini disebabkan oleh faktor pengurang dalam fungsi cosinus

hiperbolik.Namun pada Gambar 4.2c dengan nilai variabel a dan b sama besar,

bentuk grafiknya berbeda. Bentuk grafik menunjukkan fungsi secans hiperbolik.


commit to user

60

Adapun persamaan yang menunjukkan hasil grafik pada Gambar 4.2 adalah

persamaan (3.43).

b) Gelombang Dasar

Gambar 4.3 menunjukkan grafik fungsi gelombang dasar potensial

Gendenshtein II yang diperoleh dengan menggunakan pemograman Delphi.

Tampak bahwa secara fisis fungsi gelombang tersebut memiliki arti bahwa pada

keadaan dasar (groundstate) maka energi yang dimiliki oleh partikel

Gendenshtein II dapat dipresentasikan oleh fungsi gelombang yang

ternormalisasi. Normalisasi adalah sebuah pernyataan bahwa partikel berada pada

suatu titik dalam ruang. Semakin besar nilai x (sudut) maka nilai dari fungsi

gelombang pada keadaan groundstate semakin mendekati nol. Nilai ini

disebabkan fungsi secans hiperbolik. Karena jika melihat dari persamaan

gelombang yang dihasilkan dari persamaan (4.30), fungsi sinus hiperbolik dibagi

cosinus hiperbolik menuju nol atau mendekati nol.

Grafik Fungsi Gelombang Dasar Potensial Gendenshtein II

Gambar 4.3a. Grafik Simulasi Fungsi Gelombang Dasar dengan a = 6 dan b = 10.


commit to user

61

Grafik Fungsi Gelombang Dasar Potensial Gendenshtein II

Gambar 4.3b. Grafik Simulasi Fungsi Gelombang Dasar dengan a = 10 dan b = 10.

Berdasarkan Gambar 4.3a dan 4.3b, tampak bahwa semakin besar nilai a

maka grafik akan bergeser ke arah kiri (x negatif). Menurut Max Born pada tahun

1926 (Agus Purwanto, 2006: 51) menyatakan bahwa fungsi gelombang atau

fungsi keadaan tidak memiliki arti secara fisis tetapi diinterpretasikan sebagai

kerapatan probabilitas. Apabila fungsi gelombang dari sebuah partikel sudah

diketahui maka kita dapat menghitung posisi rata-rata di mana kita berharap untuk

menemukan partikel setelah melakukan banyak pengukuran. Adapun persamaan

yang menunjukkan hasil grafik pada Gambar 4.3 adalah persamaan (3.59).

c) Gelombang Tingkat Pertama

Gambar 4.4 menunjukkan grafik fungsi gelombang tingkat pertama untuk

potensial Gendenshtein II yang diperoleh dengan menggunakan perhitungan

Delphi. Gambar (4.4) dapat dibentuk dari simulai persamaan (3.60). Hasil

simulasi persamaan (3.60) menunjukkan fungsi gelombang terdiri dari satu bukit

dan satu lembah yang terdiri dari dua amplitudo. Nilai x (sudut) semakin besar

maka fungsi gelombangnya semakin kecil dan mendekati nol. Hal ini dikarenakan


commit to user

62

dalam persamaan (3.60) berbentuk eksponensial. Berdasarkan Gambar 4.4a dan

4.4b, dengan variasi nilai a, tampak bahwa semakin besar nilaivariabel a grafik

semakin bergeser ke arah kiri sumbu x (x negatif).

Grafik Fungsi Gelombang Tingkat Pertama Potensial Gendenshtein II

Gambar 4.4a Grafik Simulasi Fungsi Gelombang Tingkap Pertama

dengan a = 6 dan b = 10.

Grafik Fungsi Gelombang Tingkat Pertama Potensial Gendenshtein II

Gambar 4.4b Grafik Simulasi Fungsi Gelombang Tingkap Pertama



commit to user

63

d) Probabilitas Fungsi Gelombang Dasar

Gambar 4.5 menunjukkan grafik probabilitas fungsi gelombang dasaryang

diperoleh dengan menggunakan perhitungan Delphi. Berdasarkan Gambar 4.5,

tampak bahwa grafik probabilitas fungsi gelombang dasar yang dihasilkan lebih

lancip dibandingkan grafik fungsi gelombang dasar. Menurut Max Born (Halliday

dan Resnick, 1984: 883) bahwa kuantitas probabilitas 慧挠di setiap titik adalah

ukuran dari kemungkinan adanya partikel tersebut di dekat titik tersebut. Secara

lebih tepat, maka jika sebuah elemen volume dV dibentuk pada titik tersebut,

kemungkinan bahwa partikel akan ditemukan di dalam elemen volume tersebut

pada suatu saat yang diberikan adalah 慧挠. Tafsiran 慧 menyediakan sebuah

hubungan statistik di antara gelombang dan partikel yang diasosiasikan dengan

gelombang tersebut. Tafsiran tersebut menyatakan di mana partikel akan

cenderung berada, bukan di mana partikel tersebut berada.

Grafik Probabilitas Gelombang Dasar Potensial Gendenshtein II

Gambar 4.5a. Grafik simulasi Probabilitas Fungsi Gelombang Dasar



commit to user

64

Grafik Probabilitas Gelombang Dasar Potensial Gendenshtein II

Gambar 4.5b. Grafik simulasi Probabilitas Fungsi Gelombang Dasar


Untuk partikel yang dibatasi di antara dinding-dinding tegar seperti pada

Gambar 4.5a, maka kemungkinan bahwa partikel akan terletak di antara dua

bidang yang jaraknya adalah x dan x+dx dari sebuah dinding yaitu pada rentang

0,04 < x <0,24(dalam radian). Pada Gambar 4.5a, tampak bahwa partikel lebih

cenderung berada di dekat pusat (puncak) daripada di ujung-ujung. Hal ini sangat

bertentangan dengan hasil-hasil fisika klasik, dimana partikel tersebut mempunyai

kemungkinan yang sama untuk ditempatkan di mana saja di antara dinding-

dinding tersebut.Pada Gambar 4.5b, grafik bergeser kearah sumbu x negatif. Hal

ini dikarenakan nilai variabel a diperbesar. Gambar 4.5 dibentuk dari simulasi

persamaan

|慧|挠= 馗纵1 − 规Ėúℎ挠果邹呛锐枪闰:纵1 + 规Ėúℎ果邹贫馗挠


commit to user

65

e) Probabilitas Fungsi Gelombang Tingkat Pertama

Grafik Probabilitas Gelombang Tingkat Pertama Potensial Gendenshtein II

Gambar 4.6a. Grafik simulasi Probabilitas Fungsi Gelombang Tingkat Pertama


Grafik Probabilitas Gelombang Tingkat Pertama Potensial Gendenshtein II

Gambar 4.6b. Grafik simulasi Probabilitas Fungsi Gelombang Tingkat Pertama


Gambar 4.6 menunjukkan probabilitas fungsi gelombang tingkat pertama

potensial Gendenshtein II. Probabilitas ini merupakan representasi dari kuadrat

fungsi gelombang tingkat pertama yang menunjukkan peluang terdapatnya suatu

partikel dalam suatu daerah atau kawasan tertentu.Dua puncak grafik dapat


commit to user

66

direpresentasikan sebagai peluang ditemukannya partikel terbesar. Grafik pada

Gambar 4.6a menunjukkan probabilitas maksimum ditemukannya partikel pada

sudutx = 0,07 dan x = 0,17 dalam radian. Semakin menjauh dari sudut x = 0,07

dan x = 0,17 peluang ditemukannya partikel semakin kecil hingga menuju 0.

Sedangkan pada Gambar 4.6b, tampak bahwa puncak grafik semakin bergeser ke

arah sumbu x negatif. Hal ini dikarenakan nilai dari variabel a semakin diperbesar.

Gambar 4.6 dibentuk dari simulasi persamaan

|慧囊|挠= 睾睾收1− 规Ėúℎ2果寿−�+瑰2试1 + 规Ėúℎ果守瑰左1 + (− 1)(− 2�+ 1)(− �+ 瑰+ 12) 1− 规Ėúℎ果2 佐睾睾

挠

3. Potensial Rosen Morse II

a) Spektrum Energi

Persamaan energi potensial Rosen Morse IIdinyatakan pada persamaan

(3.63). Dengan menentukan nilai dari variabel 刽, 恍yaitu konstanta bilangan bulat yang menunjukkan kedalaman partikel dalam

suatu sumur potensialdan 柜merupakan bilangan kuantum maka energi dari

potensial Rosen Morse II dapat dianalisis secara analitik. Adapun hasil

perhitungan energi untuk potensial Rosen Morse II dengan ℎ:挠弄 = 1 dapat di lihat

pada Tabel 4.2.

Pada Tabel 4.2, tampak bahwa harga atau nilai energi untuk potensial

Rosen Morse dipengaruhi oleh tiga variabel yaitu variabel 刽, 恍 dan 柜. Semakin

jauh partikel (dalam hal ini elektron) dari inti atom maka nilai energinya semakin

kecil sebaliknya semakin dekat dari inti energi partikel akan semakin besar dan


commit to user

67

akan mencapai maksimum ketika partikel berada pada keadaan dasar

(groundstate).

Tabel 4.2Tingkat energi potensial Rosen Morse 仅狡矫件矫

5 5

0 -26 1 -17,5625 2 -11,7778 3 -10,25 4 -26

6 6

0 -37 1 -26,44 2 -18,25 3 -13 4 -13 5 -37

7 7

0 -50,00 1 -37,36 2 -26,96 3 -19,06 4 -14,44 5 -16,25 6 -50,00

8 8

0 -65,00 1 -50,31 2 -37,78 3 -27,56 4 -20,00 5 -16,11 6 -20,00 7 -65,00

b) Potensial Efektif

Pada Gambar 4.7 menunjukkan hasil grafik potensial efektif yang

diperoleh dengan menggunakan pemograman Delphi. Bentuk grafik menunjukkan

fungsi secans kuadrat hiperbolik. Tampak bahwa semakin jauh nilai x (sudut) dari

nol maka potensial semakin besar. Hal ini disebabkan karena faktor pengurang

dalam fungsi tangen hiperbolik.

Grafik potensial Rosen Morse IIpada Gambar 4.7a, 4.7b dan 4.7c memiliki

bentuk sama yang mirip dengan potensial sumur. Hal ini dikarenakan potensial

Rosen Morse II termasuk dalam kelompok potensial shape invariance.Potensial


commit to user

68

shape invariance yaitu potensial yang memiliki bentuk grafik yang sama

walaupun variabel-vriabelnya diubah-ubah. Dengan memvariasikan nilai dari

variabel 恍 dan q, tampak bahwa semakin kecil nilai 恍 daripada qmaka semakin

dalam potensial sumur yang terbentuk. Pada potensial sumur, partikel

diilustrasikan terkurung di dalam kotak dengan batas tertentu seperti yang

ditunjukkan pada Gambar 4.7. Sama halnya dengan potensial Gendenshtein I dan

II, bila partikel berada di dalam kotak, energi potensial elektron nol dan benilai

tak tehingga jika berada di luar kotak.Adapun persamaan yang menunjukkan hasil

grafik pada Gambar 4.7 adalah persamaan (3.63).

Grafik Potensial Efektif Rosen Morse II

Gambar 4.7a. Grafik Simulasi Potensial Efektif untuk 仅 = 10 , q = 10, dan

ℎƴƴ0 = 谜.


commit to user

69

Grafik Potensial Efektif Rosen Morse II

Gambar 4.7b. Grafik Simulasi Potensial Efektif untuk 仅 = 5 , q = 10, dan

ℎƴƴ0 = 谜. Grafik Potensial Efektif Rosen Morse II

Gambar 4.7c. Grafik Simulasi Potensial Efektif untuk 仅 = 10 , q = 5, dan

ℎƴƴ0 = 谜.

c) Gelombang Dasar

Gambar 4.8 menunjukkan grafik fungsi gelombang keadaan dasar yang

diperoleh dengan menggunakan perhitungan Delphi. Secara fisis fungsi

gelombang tersebut memiliki arti bahwa pada keadaan dasar (groundstate) maka

energi yang dimiliki oleh partikel Rosen Morse II dapat dipresentasikan oleh


commit to user

70

fungsi gelombang yang ternormalisasi. Gambar 4.8a dan 4.8c memiliki bentuk

grafik yang sama, tampak bahwa semakin jauh harga x (sudut) dari nol maka nilai

dari fungsi gelombang pada keadaan groundstate semakin mendekati nol.

Sedangkan Gambar 4.8b, terlihat puncak grafik bergeser ke arah x negatif. Hal ini

dikarenakan nilai 恍 lebih kecil daripada nilai q.

Adapun persamaan yang menunjukkan hasil grafik pada Gambar 4.8

adalah persamaan (3.71).

Grafik Fungsi Gelombang Dasar Potensial Rosen Morse II

Gambar 4.8a Grafik simulasi Fungsi Gelombang Dasar dengan 仅 = 10 , q = 10 dan n = 1.


Gambar 4.8b Grafik simulasi Fungsi Gelombang Dasar dengan 仅 = 5 , q = 10 dan n = 1.


commit to user

71


Gambar 4.8c Grafik simulasi Fungsi Gelombang Dasar dengan 仅 = 10 , q = 5 dan n = 1.

d) Gelombang Tingkat Pertama

Gambar 4.9 menunjukkan grafik fungsi gelombang tingkat pertama untuk

potensial Rosen Morse II yang diperoleh dengan menggunakan perhitungan

Delphi. Gambar 4.9 dibentuk dari simulai persamaan (3.72). Hasil simulasi

persamaan (3.72) menunjukkan fungsi gelombang terdiri dari satu lembah dan

satu bukit yang terdiri dari dua amplitudo. Nilai x (sudut) semakin besar maka

fungsi gelombangnya semakin kecil dan mendekati nol. Hal ini dikarenakan

dalam persamaan (3.72) berbentuk eksponensial atau hipebolik.


commit to user

72

Grafik Fungsi Gelombang Tingkat Pertama Potensial Rosen Morse II

Gambar 4.9a. Grafik simulasi Fungsi Gelombang Tingkat Pertama

dengan 仅 = 10 , q = 10 dan n = 1.


Gambar 4.9b. Grafik simulasi Fungsi Gelombang Tingkat Pertama

dengan 仅 = 5 , q = 10 dan n = 1.


commit to user

73


Gambar 4.9c. Grafik simulasi Fungsi Gelombang Tingkat Pertama

dengan 仅 = 10 , q = 5 dan n = 1.

e) Probabilitas Fungsi Gelombang Dasar

Sama halnya dengan pengertian probabilitas pada potensial Gendenshtein

yaitu probabilitas merupakan representasi dari kuadrat fungsi gelombang yang

menunjukkan peluang terdapatnya suatu partikel dalam suatu daerah atau kawasan

tertentu. Probabilitas akan menyangkut peluang dimana syarat probabilitas yaitu

bernilai tunggal dan fungsi gelombangnya ternormalisasi.

Grafik Probabilitas Fungsi Gelombang Dasar Potensial Rosen Morse II

Gambar 4.10a. Grafik simulasi ProbabilitasFungsi Gelombang Dasar

dengan 仅 = 10, q = 10 dan n = 1.


commit to user

74


Gambar 4.10b. Grafik simulasi Probabilitas Fungsi Gelombang Dasar

dengan 仅 = 5, q = 10 dan n = 1.


Gambar 4.10c. Grafik simulasi Probabilitas Fungsi Gelombang Dasar

dengan 仅 = 10, q = 5 dan n = 1.

Probabilitas fungsi gelombang untuk keadaan dasar, pada Gambar 4.10

menunjukkan hasil yang diperoleh dengan menggunakan pemograman Delphi.

Berdasarkan Gambar 4.10, tampak bahwa grafik probabilitas yang dihasilkan

lebih lancip dan nilai probabilitas lebih besar dibandingkan grafik fungsi

gelombang yang dihasilkan. Gambar 4.10a dan 4.10c menunjukkan bahwa

probabilitas maksimum ada di sekitar x = 0,025 sedangkan di luar x = 0,025


commit to user

75

probabilitas ditemukannya elektron dengan cepat menurun. Hal ini berarti bahwa

keberadaan elektron terkonsentrasi di sekitar x = 0,025 (dalam radian). Inilah

struktur atom yang memiliki hanya satu elektron di sekitar inti atomnya dan ini

disebut keadaan dasar atau groundstate.Sedangkan pada gambar 4.10b, puncak

grafik bergeser ke arah sumbu x negatif. Probabilitas terbesar ditemukannya

partikel yaitu pada x = 0,14.Gambar 4.10 dibentuk dari simulasi persamaan

|慧难|挠= 馗组úǴ规ℎ果2 钻(恍−柜)组规Ėúℎ果+ ú轨柜ℎ果2 钻− 刽(恍−柜)馗挠 f) Probabilitas Fungsi Gelombang Tingkat Pertama

Gambar 4.11 menunjukkan probabilitas fungsi gelombang tingkat pertama

potensial Rosen Morse II. Probabilitas ini merupakan representasi dari kuadrat

fungsi gelombang tingkat pertama yang menunjukkan peluang terdapatnya suatu

partikel dalam suatu daerah atau kawasan tertentu. Dua puncak grafik dapat

direpresentasikan sebagai peluang ditemukannya partikel terbesar. Grafik pada

Gambar 4.11a dan 4.11c menunjukkan probabilitas maksimum ditemukannya

partikel pada sudut x = -0,05 dan x = 0,03. Semakin menjauh dari sudut x = -0,05

dan x = 0,03 peluang ditemukannya partikel semakin kecil hingga menuju 0.

Sedangkan pada Gambar 4.11b,kebolehjadian ditemukannya partikel yaitu pada x

= -0,17 dan x = 0,04. Gambar 4.6 dibentuk dari simulasi persamaan

|慧囊|挠= 馗组úǴ规ℎ果2 钻(恍−柜)组规Ėúℎ果+ ú轨柜ℎ果2 钻− 刽(恍−柜)左1 + (− 1)(2恍)(恍+ 刽恍− 1 − 12) 1− 棍�柜ℎ果2 佐馗挠


commit to user

76

Grafik Probabilitas Fungsi Gelombang Tingkat Pertama Potensial Rosen Morse II

Gambar 4.11a. Grafik simulasi Probabilitas Fungsi Gelombang Tingkat Pertama

dengan 仅 = 10, q = 10 dan n = 1.


Gambar 4.11b. Grafik simulasi Probabilitas Fungsi Gelombang Tingkat Pertama

dengan 仅 = 5, q = 10 dan n = 1.


commit to user

77


Gambar 4.11c. Grafik simulasi Probabilitas Fungsi Gelombang Tingkat Pertama

dengan 仅 = 10, q = 5 dan n = 1.

B. Pembahasan

Potensial yang dianalisis dalam penelitian ini terdiri dari potensial

Gendenshtein I, Gendenshtein II dan Rosen Morse IIyang mana potensial-

potensial ini merupakan potensial yang termasuk dalam kelompok shape

invariantyang dapat diselesaikan secara eksak menggunakan metode

hypergeometry.

Penyelesaian persamaan schrodinger secara langsung dari suatu sistem

partikel tersebut dapat menentukan persamaan fungsi gelombang dan spektrum

energi yang digunakan untuk mendeskripsikan atau menjelaskan perilaku

sekelompok partikel.Fungsi gelombang dan spektrum energi untuk partikel yang

dipengaruhi oleh potensial Gendenshtein I, Gendenshtein II dan Rosen Morse

dianalisis menggunakan metode hypergeometry. Penyelesaian persamaan


commit to user

78

schrodinger dengan metode hypergeometry yaitu dengan mengubah persamaan

schrodinger menjadi persamaan diferensial orde dua fungsi hypergeometry

dengan substitusi variabel dan parameter secara tepat (S. Trachanas, 2011).

Pemisalan variabel ini terinspirasi dari pengubah variabel pada formula SUSY

WKB (A. Inomata, A. Suparmi , and S Kurth, 1991) dan pengubahan persamaan

shcrodinger untuk potensial Poschl-Teller I yang terdapat dalam buku Practical

Quantum Mechanics (Flugge, Siegfried, 1994). Bila persamaan fungsi

hypergeometry telah diperoleh, tingkat-tingkat energi suatu sistem dan fungsi

gelombang juga dapat diperoleh dengan mudah.

Pada dasarnya tujuan untuk menentukan persamaan fungsi gelombang

dasar (groundstate wave function) dan spektrum energi dari suatu potensial adalah

sebagai titik awal dalam menentukan fungsi gelombang untuk tingkat yang lebih

tinggi, nilai harap (probability density) dan tingkat-tingkat energi dari suatu

potensial (Lili Maysari, 2010:75).Mengetahui nilai dari besaran-besaran tersebut,

sangat berguna untuk menentukan baik atau tidaknya suatu material (bahan).

Selain itu, besaran-besaran tersebut juga digunakan dalam bidang nanoteknologi

yang sekarang sedang berkembang pesat, yang mengacu pada perancangan dan

aplikasi dari perangkat-perangkat yang memiliki ukuran mulai dari 1 hingga

100nm.

Setiap sistem fisis dinyatakan dengan fungsi gelombang atau fungsi

keadaan yang secara implisit memuat informasi lengkap mengenai observabel-

observabel yang dapat diketahui pada sistem tersebut. Observabel-obervabel

tersebut yaitu posisi, energi dan momentum. Oleh karena itu, dengan mengetahui


commit to user

79

persamaan gelombang dasar dari suatu potensial maka akan diperoleh persamaan

probabilitas (nilai harap). Persamaan probabilitas inilah yang menunjukkan posisi

kebolehjadian yang paling mungkin ditemukannya partikel. Untuk potensial

Gendenshtein I dan II, nilai variabel a dan b telah ditentukan dan dengan

memisalkan ℎ:挠弄 = 1, untuk menunjukkan posisi kebolehjadian yang paling

mungkin ditemukan suatu partikel ditunjukkan dengan angka real. Berdasarkan

grafik probabilitas, dapat dikatakan bahwa posisi kebolehjadian yang paling

mungkin ditemukan partikel adalah di daerah puncak grafik.

Jika ditinjau ulang perbedaan mendasar antara mekanika klasik dengan

mekanika kuantum terletak pada cara penggambarannya terhadap suatu objek.

Dalam mekanika klasik, masa depan partikel dapat ditentukan secara pasti apabila

diketahui kedudukan awal, momentum awal, serta gaya-gaya yang bekerja

padanya. Dalam dunia makro besaran ini semuanya dapat ditentukan dengan

ketelitian yang cukup, sehingga memperoleh ramalan mekanika klasik yang cocok

dengan pengamatan.

Sedangkan mekanika kuantum juga menghasilkan hubungan antara

besaran yang teramati, tetapi prinsip ketidakpastian mensyaratkan bahwa besaran

teramati bersifat berbeda dengan kawasan atomik yang bersifat mikro. Dalam

mekanika kuantum, ketentuan tentang karakteristik masa depan partikel seperti

pada mekanika klasik tidak mungkin diperoleh, karena kedudukan (posisi) dan

momentum awal suatu partikel tidak dapat diperoleh dengan pasti secara

bersamaan. Besaran yang dapat ditentukan dalam mekanika kuantum hanyalah

berupa probabilitas atau (nilai harap).


commit to user

80

BAB V

KESIMPULAN, IMPLIKASI DAN SARAN

A. Kesimpulan

Berdasarkan hasil analisa dan pembahasan, maka dapat disimpulkan

sebagai berikut:

Kesimpulan pertama, metode hypergeometry dapat digunakan dalam

menentukan persamaan fungsi gelombang dasar dan spektrum energi dari

potensial Gendenshtein I, Gendenshtein II dan Rosen Morse. Adapun hasil yang

diperoleh berturut-turut adalah

1. Persamaan gelombang dasar potensial Gendenshtein I

f难= (cosh果2 )能频嫩ǐ.(1 + ßoßhℏ果2 )能ǐ.

2. Persamaan gelombang tingkat pertama potensial Gendenshtein I

f囊= (cosh果2 )能频嫩ǐ.(1 + ßoßhℏ果2 )能ǐ. 左1 + (− 1)(− 2逛+ 1)(−逛− ß瑰+ 囊挠) 1 − ßoßhℏ果2 佐

3. Persamaan gelombang tingkat kedua potensial Gendenshtein I f挠= (宁努虐钮铺挠 )能频嫩ǐ.(囊嫩ǐ魄ǐ坡萍铺挠 )能ǐ.

左1 + (− 2)(− 2逛+ 2)(−逛− ß瑰+ 囊挠) 1 − ßoßhℏ果2+ (2)(− 2逛_ + 2)(− 2逛+ 3)足−逛− ß瑰+ 囊挠卒足−逛− ß瑰+ 脑挠卒纵1 − ßoßhℏ果邹挠8 适


commit to user

81

4. Persamaan gelombang tingkat ketiga potensial Gendenshtein I f脑= (宁努虐钮铺挠 )能频嫩ǐ.(囊嫩ǐ魄ǐ坡萍铺挠 )能ǐ.

左1 + (− 3)(− 2逛+ 3)(−逛− ß瑰+ 囊挠) 1 − ßoßhℏ果2+ (6)(− 2逛+ 3)(− 2逛+ 4)足−逛− ß瑰+ 囊挠卒足−逛− ß瑰+ 脑挠卒纵1 − ßoßhℏ果邹挠8+ (− 6)(− 2逛+ 3)(− 2逛+ 4)(− 2逛+ 5)(−逛− ß瑰+ 囊挠)足−逛− ß瑰+ 脑挠卒足−逛− ß瑰+ 闹挠卒纵1 − ßoßhℏ果邹脑48 适

5. Persamaan gelombang dasar potensial Gendenshtein II

f难= 纵oßhℏ果邹能频嫩.(1 + 规跪oℏ果).

6. Persamaan gelombang tingkat pertama potensial Gendenshtein II

f囊= 纵1 − 规跪oℏ挠果邹呛锐枪闰潜纵1 + 规跪oℏ果邹. 左1 + (− 1)(− 2逛+ 1)(−逛+ 瑰+ 囊挠) 1 − 规跪oℏ果2 佐

7. Persamaan gelombang tingkat kedua potensial Gendenshtein II

f挠= 试囊能品泼魄萍潜铺守呛锐枪闰潜纵囊嫩品泼魄萍铺邹闰


commit to user

82

左1 + (− 2)(− 2逛+ 2)(−逛+ 瑰+ 囊挠) 1 − 规跪oℏ果2+ (2)(− 2逛_ + 2)(− 2逛+ 3)足−逛+ 瑰+ 囊挠卒足−逛+ 瑰+ 脑挠卒纵1 − 规跪oℏ果邹挠8 适

8. Persamaan gelombang tingkat ketiga potensial Gendenshtein II

f脑= 试囊能品泼魄萍潜铺守呛锐枪闰潜纵囊嫩品泼魄萍铺邹闰

左1 + (− 3)(− 2逛+ 3)(−逛+ 瑰+ 囊挠) 1 − 规跪oℏ果2+ (6)(− 2逛+ 3)(− 2逛+ 4)足−逛+ 瑰+ 囊挠卒足−逛+ 瑰+ 脑挠卒纵1 − 规跪oℏ果邹挠8+ (− 6)(− 2逛+ 3)(− 2逛+ 4)(− 2逛+ 5)(−逛+ 瑰+ 囊挠)足−逛+ 瑰+ 脑挠卒足−逛+ 瑰+ 闹挠卒纵1 − 规跪oℏ果邹脑48 适

9. Persamaan gelombang dasar potensial Rosen Morse

f泼= 收o0规ℏ果2 寿(契能坡) 收规跪oℏ果+ oßhℏ果2 寿能桑捎呛叁

10. Persamaan gelombang tingkat pertama potensial Rosen Morse II

f囊= 收o0规ℏ果2 寿(契能坡) 收规跪oℏ果+ oßhℏ果2 寿能桑(捎呛叁) 势1 + (− 1)(2恍)(恍+ 刽恍− 1 − 12) 1 − 棍逛hℏ果2 适 11. Persamaan gelombang tingkat kedua potensial Rosen Morse II

f挠= 收o0规ℏ果2 寿(契能坡) 收规跪oℏ果+ oßhℏ果2 寿能桑(捎呛叁)


commit to user

83

左1 + (− 1)(2恍− 1)(恍+ 刽恍− 2 − 12) 1 − 棍逛hℏ果2 + (2)(2恍− 1)(2恍)足恍+ 刽恍− 2 − 32卒足恍+ 刽恍− 2 − 12卒纵1 − 棍逛hℏ果邹挠8 佐

12. Persamaan gelombang tingkat ketiga potensial Rosen Morse II

f脑= 收o0规ℏ果2 寿(契能坡) 收规跪oℏ果+ oßhℏ果2 寿能桑(捎呛叁)

岗港纲港肛1 + 纵− 3邹纵2恍− 2邹足恍+ 刽恍− 3 − 52卒1 − 棍逛hℏ果2 + 纵6邹纵2恍− 2邹纵2恍− 1邹足恍+ 刽恍− 3 − 52卒足恍+ 刽恍− 3 − 32卒纵1 − 棍逛hℏ果邹挠8+ (− 6)(2恍− 2)(2恍− 1)(2恍)足恍+ 刽恍− 3 + 52卒足恍+ 刽恍− 3 − 32卒足恍+ 刽恍− 3 − 12卒纵1 − 棍逛hℏ果邹脑48 皋港篙

港杠

13. Persamaan umum tingkat energi potensial Gendenshtein I

刮坡= − ℏ挠2桂(逛− h)挠

14. Persamaan umum tingkat energi potensial Gendenshtein I

刮坡= − ℏ挠2桂(逛− h)挠

15. Persamaan umum tingkat energi potensial Rosen Morse

刮坡= − ℏ挠2桂组刽挠纵恍− h邹挠+ 纵恍− h邹挠钻

Kesimpulan kedua, bahasa pemograman Delphi dapat digunakan untuk

membuat simulasi sederhana berupa grafik untuk potensial efektif, fungsi

gelombang dan nilai harap (probabilitas) dari masing-masing potensial.

1. Untuk potensial Gendenshtein I, bentuk grafik potensial mirip dengan

potensial sumur di mana partikel terkurung di dalam sumur pada batas -0,45

< x < 0,15 (x dalam radian).


commit to user

84

2. Untuk potensial Gendenshtein II, bentuk grafik potensial efektifnya mirip

dengan sumur potensial dangkal. Bentuk grafik fungsi gelombang dasar dan

probabilitas (nilai harap) berupa gelombang dengan satu bukit. Bentuk grafik

fungsi gelombang tingkat pertama terdiri dari satu bukit dan satu lembah

sedangkan bentuk grafik probabilitas fungsi gelombang tingkat pertama

terdiri dari dua bukit.

3. Untuk potensial Rosen Morse II, bentuk grafik potensial efektifnya mirip

dengan potensial sumur. Bentuk grafik fungsi gelombang dasar dan

probabilitas berupa gelombang dengan satu bukit. Bentuk grafik fungsi

gelombang tingkat pertama terdiri dari satu bukit dan satu lembah sedangkan

bentuk grafik probabilitas fungsi gelombang tingkat pertama terdiri dari dua

bukit.

B. Implikasi Hasil Penelitian

Berdasarkan kesimpulan di atas, implikasi yang dapat disampaikan adalah:

1. Implikasi Teoritik

Implikasi teoritik dalam penelitian ini yaitu dalam menerapkan metode

hypergeometry untuk menentukan persamaan gelombang dasar dari potensial-

potensial yang termasuk dalam kelompok shape invariance potential diperlukan

kejelian dan ketelitian dalam menentukan variabel yang akan disubstitusi ke

dalam persamaan Schrodinger sehingga persamaan Schrodinger berubah menjadi

persamaan diferensial orde dua fungsi hypergeometry. Sekali persamaan

diferensial fungsi hypergeometry terbentuk, spektrum energi dan fungsi

gelombang dapat ditentukan dengan sederhana.


commit to user

85

2. Implikasi Praktis

Metode hypergeometry dapat dijadikan sebagai salah satu alternatif untuk

menyelesaikan persamaan Schrodinger untuk menentukan persamaan gelombang

dan spektrum energi suatu potensial.

C. Saran

Berdasarkan hasil penelitian, maka penulis mengajukan saran kepada

peneliti selanjutnya untuk menganalisis persamaan fungsi gelombang untuk

tingkat yang lebih tinggi.

Documents

digilib.uns.ac.id/Analisis... · perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id commit to user ii ANALISIS FUNGSI GELOMBANG DAN SPEKTRUM ENERGI POTENSIAL GENDENSHTEIN DAN ROSEN MORSE II