Upload
vonga
View
235
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
2012
www.alfirosyadi.wordpress.com
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG
1/1/2012
ANALISIS VARIABEL REAL 2
2
IDENTITAS MAHASISWA
NAMA :
NIM :
KELAS :
KELOMPOK :
3
PENDAHULUAN
Modul ini disusun untuk membantu mahasiswa dalam mempelajari materi :
1. Turunan
a. Kekontinuan
b. Teorema nilai rata-rata
c. Teorema L’Hospital
2. Integral
a. Jumlah Riemann
b. Teorema dasar Kalkulus
c. Integral dengan Pendekatan Limit
Modul ini terdiri dari peta konsep, aplikasi materi pada bidang teknologi,
kegiatan belajar. Pada masing-masing kegiatan belajar, Anda diberi kesempatan
untuk melakukan diskusi dengan kelompok Anda untuk menyelesaikan
permasalahan yang sudah diberikan. Hasil diskusi Anda, tuliskan pada lembar
jawaban yang sudah disediakan.
Anda diharapkan mempelajari modul ini dengan baik, kemudian jika ada
kesulitan dalam mempelajarinya coba tanyakan pada dosen pengampu.
Selamat Belajar !
4
Materi turunan yang kita bahas dalam modul ini dapat disajikan dalam peta konsep berikut!
Turunan
definisi
teorema
aturan pencarian turunan
aturan rantai
aplikasi
Teorema nilai rata-rata
Kekontinuan
5
DEFINISI TURUNAN
Turunan fungsi f adalah fungsi lain f’ (dibaca f aksen) yang nilainya pada
sebarang bilangan c adalah
Asalkan limit ini ada
DEFINISI KEKONTINUAN FUNGSI
(Kekontinuan di satu titik). Kita katakana bahwa f kontinu di c jika
beberapa selang terbuka di sekitar c terkandung dalam daerah asal f dan
KEGIATAN BELAJAR 1
Diskusikan dengan anggota kelompok Anda tentang definisi turunan dan kekontinuan
suatu fungsi yang sudah pernah Anda peroleh di kalkulus I.
6
Setelah melakukan diskusi dengan kelompok Anda, selesaikan, permasalahan berikut!
Tuliskan hasil diskusi Anda pada lembar jawaban yang sudah disediakan!
1. Berikan penjelasan tentang definisi dari turunan dengan menggunakan
ilustrasi secara geometri! (kaitkan dengan konsep gradien)
2. Apakah ada suatu fungsi f sedemikian hingga f’=f ? Jika ada, berikan
contohnya!
3. Apakah keterkaitan antara limit dengan turunan?
4. Apakah keterkaitan antara kekontinuan dengan turunan?
5. Misalkan , tentukan nilai dari !
Lembar Jawaban
7
LATIHAN SOAL 1
1. Tentukan fungsi kontinu atau tidak di !
2. Misalkan . Definisikan f agar kontinu di
3. Tentukan di titik mana saja tak kontinu?
Lembar Jawaban
8
TEOREMA NILAI RATA-RATA
Jika f kontinu pada selang tertutup dan terdiferensialkan pada titik-
titik dalam dari , maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam
dimana
Atau dapat dituliskan
Setelah melakukan diskusi dengan kelompok Anda, selesaikan, permasalahan berikut!
Tuliskan hasil diskusi Anda pada lembar jawaban yang sudah disediakan!
1. Jelaskan maksud teorema rata-rata tersebut dengan menggunakan ilustrasi
grafik !
2. Buktikan teorema nilai rata-rata tersebut! (gunakan ilustrasi secara
geometri)
3. Kaitkan teorema nilai rata-rata tersebut dengan turunan dan kekontinuan
yang sudah Anda pelajari sebelumnya!
9
Lembar Jawaban
10
LATIHAN SOAL 2
Pada soal nomor 1-3, didefinisikan sebuah fungsi dan diketahui sebuah selang
tertutup. Tentukan, apakah teorema nilai rata-rata dapat digunakan pada fungsi
yang diketahui pada selang yang diberikan? Jika iya, carilah nilai c yang mungkin!
Cika perlu, sketsakan grafiknya pada selang yang diberikan!
1.
2.
3.
Lembar Jawaban
11
Lembar Jawaban
12
ATURAN L’HOPITAL untuk bentuk
Andaikan lim diartikan untuk salah satu lambang ini: ,
, , atau .
Andaikan dan .
Apabila lim ada , baik ia terhingga atau tak terhingga,
maka
Setelah melakukan diskusi dengan kelompok Anda, selesaikan, permasalahan berikut!
Tuliskan hasil diskusi Anda pada lembar jawaban yang sudah disediakan!
Gunakan aturan L’Hospital untuk menentukan nilai dari
1.
2.
3.
4.
5.
13
Lembar Jawaban
14
Andaikan lim diartikan untuk salah satu lambang ini: ,
, , atau .
Andaikan dan .
Apabila lim ada , baik ia terhingga atau tak terhingga,
maka
ATURAN L’HOPITAL untuk bentuk
Setelah melakukan diskusi dengan kelompok Anda, selesaikan, permasalahan berikut!
Tuliskan hasil diskusi Anda pada lembar jawaban yang sudah disediakan!
Gunakan aturan L’Hospital untuk menentukan nilai dari:
1.
2.
Lembar Jawaban
15
Materi turunan yang kita bahas dalam modul ini dapat disajikan dalam peta konsep berikut!
Integral
Integral Tentu
Aturan Trapesium
TeoremaDasar Kalkulus
Jumlah Riemann
16
JUMLAH RIEMANN
Misalkan sebuah fungsi f yang didefinisikan pada selang tertutup .
Pandang suatu partisi P dari selang menjadi n selang bagian (tidak perlu
panjangnya sama) memakai titik-titik .
Andaikan . Pada setiap selang, ambillah sebarang titik, kita
sebut sebagai titik sampel untuk suatu selang bagian ke-i.
Bentuklah penjumlahan
Yang selanjutnya kita sebut sebagai jumlah Riemann untuk f yang
berpadanan dengan partisi P
Setelah melakukan diskusi dengan kelompok Anda, selesaikan, permasalahan
berikut! Tuliskan hasil diskusi Anda pada lembar jawaban yang sudah
disediakan!
1. Berikan contoh sebuah fungsi, definisikan batasnya, selanjutnya tentukan
luasnya dengan menggunakan jumlah Riemann!
2. Ilustrasikan soan nomor 1 secara geometri!
17
Lembar Jawaban
18
Setelah melakukan diskusi dengan kelompok Anda, selesaikan, permasalahan berikut!
Tuliskan hasil diskusi Anda pada lembar jawaban yang sudah disediakan!
Hitunglah integral tentu memakai definisi
1. (gunakan )
2. (gunakan )
INTEGRAL TENTU
Andaikan f suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tutup . Jika
ada, kita katakan f adalah terintegralkan pada .
Lebih lanjut, disebut integral tentu (Integral Reimann) f dari a
ke b, diberikan oleh
19
Lembar Jawaban
20
Setelah melakukan diskusi dengan kelompok Anda, selesaikan, permasalahan
berikut! Tuliskan hasil diskusi Anda pada lembar jawaban yang sudah
disediakan!
1. Buktikan teorema dasar kalkulus tersebut dengan menggunakan jumlah
rieman dan teorema nilai rata-rata!
2. Carilah semua sifat-sifat integral tentu, kemudian tuliskan pada lembar
jawaban!
TEOREMA DASAR KALKULUS
Andaikan f kontinu (karena terintegralkan) pada dan andaikan F
sebarang anti turunan dari f disana, maka
21
Lembar Jawaban
22
TUGAS PROYEK
Carilah aturan Integral yang Anda ketahui, misalnya aturan trapezium,
aturan parabol/simpson, dll. Kemudian buatlah rangkumannya, berikan satu
contoh soal, dan presentasikan hasil kerja Anda