23. Vektorski i mexoviti proizvod vektora

Orijentacija trojki vektora u prostoru. Vektori i, j, k obrazuju bazu u dekartovom koor-dinatnom sistemu i mogu se odnositi jedan prema drugima u dva sluqaja. U jednom sluqaju onisu raspore�eni tako, da posmatraju�i sa kraja vektora k na ravan XY , kre�u �i se od vektorai ka vektoru j, odre�uju�i usmerenje suprotno kretanju kazaljki na qasovniku. Trojka vektorai, j, k raspore�ena na ukazanom naqinu naziva se desnom trojkom ili desnim bazisom. Dekartovkoordinatni sistem, koji odgovara desnoj orijentaciji vektora i, j, k naziva se desnim. Ako jeposmatramo usmerenje kao kretanje kazaljki na qasovniku, to se trojka vektora naziva levom ililevim bazisom. Pri ovome sistem koordinata se naziva levim dekartovim sistemom.

Vektorski proizvod i njegova svojstva. Neka su i, j, k desni bazis prostora R3. Vektorskiproizvod dva vektora a i b naziva se tre�i vektor c, koji zadovoljava slede�a tri uslova:1. |c| = |a||b| sin ϕ, ϕ = (a, b). (1)2. c ⊥ a, c ⊥ b,3. Vektori a, b i c obrazuju desnu trojku.

Vektorski proizvod vektora a i b oznaqavamo sa [a, b] ili a × b. Pojasni�emo svojstva vek-torskog proizvoda.

1. Du�ina vektora [a, b] brojno je jednaka povrxini paralelograma, konstruisanog nad vek-torima a i b, dovedenih na zajedniqki poqetak.

Pravilnost svojstav 1. proizilazi iz poznatog elementarnog matematiqkog fakta da povrx-ina paralelograma jednaka je proizvodu du�ina susednih strana i sinusa ugla izme�u njih.

2. Vektorski proizvod dva nenulta vektora jednak je nuli tada i samo tada kada su onikolinearni. Drugim reqima,

a‖b ⇔ [a, b] = 0.

Zaista, ako je a‖b to ili je a · b (ϕ = 0), ili je a ↑↓ b (ϕ = π), xto je istovetno sa [a, b] = 0.Obrnuto, ako je [a, b] = 0, to je |[a, b]| = 0, a kako su a , b nenulti vektori to iz (1) dobijamo daje sin ϕ = 0, a to povlaqi kolinearnost vektora a i b. U sluqaju, ako je jedan od vektora a ilib nulti vektor, svojstva 2. je oqigledno.

Prema tome, jednakost [a, b] = 0 je uslov kolinearnosti vektora a i b.3. (Antikomutativnost vektorskog proizvoda). [a, b] = −[b, a].Ako u vektorskom proizvodu [a, b] premestimo qinioce (transpoziciju) to za ispunjenje uslova

3. vektorskog proizvoda potrebno je izmeniti usmerenje vektora c u suprotnom. Du�ine vektora[a, b] i [b, a] su jednake.

4. [αa, b] = α[a, b]; [a, βb] = β[a, b], ∀α, β ∈ R.

1

2

Da va�i jednakost [αa, b] = α[a, b] sledi i definicije vektorskog proizvoda i slike 28. Odavdei svojstva 3. dobijamo jednakost [a, βb] = β[a, b]. Zaista, [a, βb] = −[βb, a] = −β[b, a] = β[a, b].

Posledica. [αa, βb] = αβ[a, b], ∀α, β ∈ R.5. (Distributivnost vektorskog proizvoda) [a + b, c] = [a, c] + [b, c].Kao posleica ovog svojstva je relacija

(2) [αa + βb, c] = α[a, c] + β[b, c].

Vektorski proizvod u koordinatnoj formi. Po definiciji vektorskog proizvoda za bazisnevektore i, j, k va�e jednakosti

[i, i] = [j, j] = [k, k] = 0

[i, j] = k, [j, k] = i, [k, i] = j;

[j, i] = −k, [k, j] = −i, [i, k] = −j.

(3)

Neka su zadati vektori a i b u obliku a = (x1, y1, z1) = x1i + y1j + z1k, b = (x2, y2, z2) =x2i + y2j + z2k. Tada koriste�i relacije (3) i svojstve vektorskog proizvoda dobijamo

[a, b] =(y1z2 − y2z1)i + (z1x2 − x2z1)j + (x1y2 − x2y1)k

=∣∣∣∣y1 z1

y2 z2

∣∣∣∣ i−∣∣∣∣x1 z1

x2 z2

∣∣∣∣ j +∣∣∣∣x1 y1

x2 y2

∣∣∣∣ k.

Primetimo, da izraz predstavlja formalno razlaganje determinate po elementima prve vrste∣∣∣∣∣∣

i j kx1 y1 z1

x2 y2 z2

∣∣∣∣∣∣

Na taj naqin dobijamo jednakost

(4) [a, b] =

∣∣∣∣∣∣

i j kx1 y1 z1

x2 y2 z2

∣∣∣∣∣∣

Formula (4) i definixe koordinatnu formulu vektorskog proizvoda. Odavde i iz geometri-jskog smisla vektorskog proizvoda dobijamo formulu za povrx paralelograma, konstruisanognad vektorima a = (x1, y1, z1) i b = (x2, y2, z2):

(5) S = |[a, b]| = mod

∣∣∣∣∣∣

i j kx1 y1 z1

x2 y2 z2

∣∣∣∣∣∣

gde mod oznaqava moduo.Mo�emo izvesti formulu za povrx takvog paralelograma. Neka je ϕ = (a, b). Tada

S2 =|[a, b]| = |a|2|b|2 sin2 ϕ = |a|2|b|2(1− cos2 ϕ)

=|a|2|b|2 − |a|2|b|2 cos2 ϕ = (a, a)(b, b)− (a, b)2

=∣∣∣∣(a, a) (a, b)(a, b) (b, b)

∣∣∣∣ .

Otuda

(6) S =∣∣∣∣(a, a) (a, b)(a, b) (b, b)

∣∣∣∣12

.

3

Dvostruki vektorski proizvod. Vektor [a, [b, c]] = a× (b× c) = a× b× c naziva se dvostrukivektorski proizvod. Na�imo prostiju formulu za njegovo izraqunavanjene koriste�i se pon-avljanjem vektorskog proizvoda. Neka je a = (ax, ay, az), b = (bx, by, bz), c = (cx, cy, cz). Oznaqimosa b× c = ((b× c)x, (b× c)y, (b× c)z). Iz formule (4) sledi

a× b× c =

∣∣∣∣∣∣

i j kax ay az

(b× c)x (b× c)y (b× c)z;

∣∣∣∣∣∣

[b, c] =

∣∣∣∣∣∣

i j kbx by bz

cx cy cz

∣∣∣∣∣∣

=∣∣∣∣by bz

cy cz

∣∣∣∣ i−∣∣∣∣bx bz

cx cz

∣∣∣∣ j +∣∣∣∣bx by

cx cy

∣∣∣∣ k.

Iz ovih relacija dobijamo, da projekcija (a× b× c)x dvostrukog vektorskog proizvoda a× b× cna osu X ima oblik

(a× b× c)x =ay(b× c)z − az(b× c)y

=ay

∣∣∣∣bx by

cx cy

∣∣∣∣ + az

∣∣∣∣bx by

cx cy

∣∣∣∣=aybxcy − aycxby + azbxcz − azcxbz.

Dodaju�i i oduzimaju�i desnoj strani ove jednakosti sabirak axbxcx dobijamo da je

(7) (a× b× c)x = bx(a, c)− cx(a, b).

Analogno dobijamo i projekcije na ose Y i Z.

(8) (a× b× c)y = by(a, c)− cy(a, b);

(9) (a× b× c)z = bz(a, c)− cz(a, b).

Iz relacije (7) – (9) dobijamo

a× b× c =(a× b× c)xi + (a× b× c)yj + (a× b× c)zk

=(bxi + byj + bzk)(a, c)− (cxi + cyj + czk)(a, b)

=b(a, c)− c(a, b).

Tako je dobijena formula za izraqunavanje dvostrukog vektoskog proizvoda:

(10) a× b× c = [a, [a, b]] = b(a, c)− c(a, b).

Primer 6.Primer 7.

Mexovit proizvod vektora i njegova svojstva. U prostoru R3 svaka trojka nekomplanarnihvektora a, b, c dovedeni na zajedniqki poqetak, odre�uju paralelopiped gde su stranice dativektori. Dopisujemo zapremini ovog paralelopipeda ”plus” ako je trojka vektora a, b, c desnoi znak ”minus” ako je ona levo orjentisana. Takav paralelopiped naziva se orijentisanim.

Mexovit (vektorsko–skalarni) proizvod tri vektora naziva se broj i oznaqava sa (a, b, c) iliabc, i jednak je skalarnom proizvodu vektora [a, b] i vektora c, tj.

(11) abc = (a, b, c) = ([a, b], c).

4

Navedimo njegova svojstve.1. Mexovit proizvod (a, b, c) jednak je zapremini orijentisanog paralelopipeda, konstru-

isanog nad nekomplanarnim vektorima a, b i c dovedenih na zajedniqki poqetak.Uzmimo za osnovu paralelopipeda paralelogram konstruisan nad vektorima a, b povrxine

koja je jednaka S = |[a, b]|. Visina paralelopipeda je h = |c| cos θ, gde je θ = (c, [a, b]) . Tadazapremina tra�enog paralelopipeda V = Sh = |[b, c]||c| cos θ = ([a, b], c). Oqigledno, ako je V > 0tada je trojka vektora a, b, c desno (0 < θ < π

2 ) i V < 0 levo orijentisan (π2 < θ < π).

2. Mexovit proizvod vektora a, b, c jednak je nuli ako su vektori a, b, c komplanarni.Zaista, (a, b, c) jednako je nuli ako i samo ako je θ = π

2 (u tom sluqaju vektor c le�i u ravnivektora a i b) ili kada je sin ϕ = 0 (u sluqaju kada su vektori a i b kolinearni, te stoga vektoria, b, c le�e u jednoj ravni). Ako je jedan od vektora nulti vektor to svojstvo 2. je oqigledno.

Dakle, jednakost (a, b, c) = 0 je uslov komplanarnosti tri vektora a, b i c.y3.

(12) ([a, b], c) = (a, [b, c]).

Jednakost (12) sledi iz relacije (a, [b, c]) = ([a, b], c) = ([a, b], c), gde trojke vektora a, b i c i b, ci a su isto orijentisane i iz svojstva 1.

Na osnovu komutativnosti skalarnog proizvoda i antikomutativnosti vektorskog proizvodaiz svojstva 3. dobijamo lanqanu jednakost

(a, b, c) = (c, a, b) = (b, c, a) =

=− (b, a, c) = −(c, b, a) = −(a, c, b).

(15)

4. Linearnost mexovitog proizvoda

(αa1 + βa2, b, c) = α(a1, b, c) + β(a2, b, c).

Va�enje ovog svojstva proizilazi iz jednakosti (15) i linearnosti skalarnog proizvoda.Koriste�i svojstvo linearnosti mexovitog proizvoda, sada mo�emo da doka�emo formulu

(2) distrubitivnosti vektorskog proizvoda:

[αa + βb, c] = α[a, c] + β[b, c].

Iz linearnosti mexovitog proizvodapo drugom qiniocu za svaki vektor d va�i jednakost

(d, [αa + βb, c]) =(αa + βb, [c, d]) = α(a, [c, d]) + β(b, [c, d])

=α(d, [a, c]) + β(d, [b, c]) = (d, α[a, c]) + β[b, c]).

Iz ove relacije i relacije (22.9) dokazuje se jednakost (2).

Mexoviti proizvod vektora u koordinatnom obliku. Neka su a = (x1, y1, z1), b = (x2, y2, z2),c = (x3, y3, z3). Tada

[a, b] =(∣∣∣∣

y1 z1

y2 z2

∣∣∣∣ ,−∣∣∣∣x1 z1

x2 z2

∣∣∣∣ ,

∣∣∣∣x1 y1

x2 y2

∣∣∣∣)

.

Znaqi

(a, b, c) =([a, b], c)

=∣∣∣∣y1 z1

y2 z2

∣∣∣∣ x3 −∣∣∣∣x1 z1

x2 z2

∣∣∣∣ y3 +∣∣∣∣x1 y1

x2 y2

∣∣∣∣ z3.

Dobijena relacije je ralo�ena determinanta∣∣∣∣∣∣

x1 y1 z1

x2 y2 z2

x3 y37z3

∣∣∣∣∣∣

5

po elementima tre�e vrste. Dakle

(16) (a, b, c) =

∣∣∣∣∣∣

x1 y1 z1

x2 y2 z2

x3 y37z3

∣∣∣∣∣∣.

Izraz (16) predstavlja koordinatni oblik mexovitog proizvoda. Odavde i svojstva 2. za-kljuqujemo da uslov komplanarnosti tri vektora, zadatih svojim koordinatama je

(17)

∣∣∣∣∣∣

x1 y1 z1

x2 y2 z2

x3 y37z3

∣∣∣∣∣∣= 0.

Iz geometrijskog smisla mexovitog proizvoda dobijamo sada da je zapremina Vn orijentisanogparalelopipeda, konstruisanog nad vektorima a = (x1, y1, z1), b = (x2, y2, z2), c = (x3, y3, z3) dove-deni na zajedniqki poqetak jednaka

(18) Vn =

∣∣∣∣∣∣

x1 y1 z1

x2 y2 z2

x3 y37z3

∣∣∣∣∣∣= V.

Napomenimo, da ako je V > 0 to trojka vektora a, b, c je desno, a ko je V < 0 levo orijentisana.Formula (18) mo�e se iskoristiti i za izraqunavanje zapremine tetrajedra, konstruisanog

nad vektorima a, b i c (Sl. 34).

Vtetr =13S∆OABh =

13

12SOADBh =

16Vn,

gde je h– visina tetrajedra. Pa je

(19) Vtetr =16|(a, b, c)|.