GEOMETRIJA 6. Nevtralna geometrija, 2matijac/NevtrGeom2.pdfKoti ob preˇcnici Saccheri-Legendrov izrek Stirikotnikiˇ GEOMETRIJA 6. Nevtralna geometrija, 2.del Matija Cencelj Geometrija,

Koti ob precniciSaccheri-Legendrov izrek

Stirikotniki

GEOMETRIJA6. Nevtralna geometrija, 2.del

Matija Cencelj

Geometrija, Pedagoska fakulteta UL 2008

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 6. Nevtralna geometrija, 2.del


Stirikotniki

Tu si bomo ogledali kote, ki jih naredi presecnica (transverzala),ko preseka dve dani premici. Eden pomembnejsih izrekovnevtralne geometrije je izrek o protikotih (Evklidova trditev 27).



Stirikotniki

Tu si bomo ogledali kote, ki jih naredi presecnica (transverzala),ko preseka dve dani premici. Eden pomembnejsih izrekovnevtralne geometrije je izrek o protikotih (Evklidova trditev 27).



Stirikotniki

A B C

A′ B′ C′`′

`

t

Definicije: Naj bosta ` in `′

razlicni premici. Ce je t taka premica, da seka premico ` v enitocki (recimo ji B), premico `′ pa v drugi tocki (recimo B′),recemo, da je t precnica ali transverzala na premici ` in `′.Parom kotov ob precnici t , od katerih ima en drugi krak na `,drugi pa na `′ pravimo koti ob precnici ali transverzalni koti.Notranji kot ima en krak na premici t z izhodiscem v B (ali B′) ingre skozi B′ (ali B), drugi krak pa je na ` (ali (`′).Zunanji kot ima en krak na premici t z izhodiscem v B (ali B′) inne gre skozi B′ (ali B), drugi krak pa je na ` (ali (`′).



Stirikotniki

A B C

A′ B′ C′`′

`

t





Stirikotniki

A B C

A′ B′ C′`′

`

t





Stirikotniki

A B C

A′ B′ C′`′

`

t





Stirikotniki

A B C

A′ B′ C′`′

`

t

Definicije

Protikota sta kota na isti strani precnice in je eden notranji drugipa zunanji kot.Izmenicna kota sta kota na razlicnih bregovih precnice in staoba notranja ali oba zunanja kota.Prikota sta kota na istem bregu precnice in sta oba notranja alioba zunanja.



Stirikotniki

A B C

A′ B′ C′`′

`

t

Definicije




Stirikotniki

A B C

A′ B′ C′`′

`

t

Definicije




Stirikotniki

Izrek o izmenicnih kotihNaj bosta ` in `′ premici, ki jih sece precnica t tako, da staizmenicna kota skladna. Tedaj sta premici ` in `′ vzporedni.

Dokaz: Naj bodo premice kot v predpostavki izreka in denimo,da sta izmenicna kota notranja. Izberimo tocke A, B, C in A′,B′, C′ kot na prejsnji sliki in naj bo ∠A′B′B ∼= ∠B′BC. Dokazatimoramo ` ‖ `′.Pa denimo, da je ` ∩ `′ = D.

A B CD

A′B′

C′

t

`

`′

Ce je D na isti strani transverzale t kot C, je ∠A′B′B zunanji kottrikotnika 4BB′D, ∠B′BD pa je njemu neprilezni notranji kot.



Stirikotniki



A B CD

A′B′

C′

t

`

`′




Stirikotniki



A B CD

A′B′

C′

t

`

`′




Stirikotniki



A B CD

A′B′

C′

t

`

`′




Stirikotniki



A B CD

A′B′

C′

t

`

`′




Stirikotniki

To pa nasprotuje izreku o zunanjem kotu.Ce pa je D na isti strani precnice t kot tocka A, pa je ∠B′BCzunanji kot trikotnika 4BB′D, kot ∠A′B′B pa njemu neprilezninotranji kot istega trikotnika. Spet smo v protislovju z izrekom ozunanjem kotu.Ce se premici ` in `′ sekata, se morata po aksiomu o separacijiravnine sekati na eni strani precnice t . Ker nas obe moznostipripeljeta do protislovja, moramo zavreci moznost, da se ` in `′

sekata.Podobno bi dokazali izrek tudi v primeru, da sta oba izmenicnakota zunanja. Zaradi suplementarnosti, sta namrec izmenicnanotranja kota skladna natanko tedaj, ko sta izmenicna zunanjakota skladna. �



Stirikotniki





Stirikotniki





Stirikotniki





Stirikotniki





Stirikotniki





Stirikotniki





Stirikotniki

Posledica- izrek o protikotih

Naj bosta ` in `′ premici, ki jih sece precnica p tako, da staprotikota skladna. Tedaj sta premici ` in `′ vzporedni.

Dokaz: vaja! �

PosledicaNaj bosta ` in `′ premici, ki jih sece precnica p tako, da staprikota suplementarna. Tedaj sta premici ` in `′ vzporedni.

Dokaz: vaja! �Kot naslednjo posledico izreka o izmenicnih kotih dokazimoobstoj vzporednice (za katero pa seveda v nevtralni geometrijine morem dokazati, da je ena sama) premici skozi danozunanjo tocko (Evklidova trditev 31).



Stirikotniki



Dokaz: vaja! �





Stirikotniki



Dokaz: vaja! �





Stirikotniki



Dokaz: vaja! �





Stirikotniki



Dokaz: vaja! �





Stirikotniki

Posledica – obstoj vzporednic

Ce je ` premica in tocka P izven nje, obstaja premica m: m ‖ `in P ∈ m.

Dokaz: Naj bosta ` in P kot v predpostavki. Skozi P potegnimopravokotnico t na ` (to lahko naredimo po izreku). Skozi Ppotegnimo se pravokotnico m na t (kar lahko naredimo poaksiomu o kotomeru). Po izreku o izmenicnih kotih sta premici `in m sta vzporedni.

P

Q

t

m

`

�



Stirikotniki




P

Q

t

m

`

�



Stirikotniki




P

Q

t

m

`

�



Stirikotniki




P

Q

t

m

`

�



Stirikotniki




P

Q

t

m

`

�



Stirikotniki




P

Q

t

m

`

�



Stirikotniki

Podobno situacijo bomo se srecali, zato si kar zapomnimo vse:pri dani premici ` in tocki P 6∈ `, obstajata premici t in m, P ∈ t ,P ∈ m, da je m ‖ ` in je t taka transverzala na ` in m, da jen ⊥ ` in n ⊥ m.Obstoj vzporednic med drugim pove, da je elipticni aksiom ovzporednicah v protislovju z aksiomi nevtralne geometrije.

PosledicaElipticni aksiom o vzporednicah je nepravilen v vsakem modelunevtralne geometrije.

Pogosto je koristen naslednji posebni primer izreka oizmenicnih kotih.

Posledica

Ce so `, m in n take premice, da velja m ⊥ ` in n ⊥ `, je alim = n ali m ‖ n.



Stirikotniki




Posledica




Stirikotniki




Posledica




Stirikotniki




Posledica




Stirikotniki




Posledica




Stirikotniki

Naslednji izrek (imenovan po matematikih, ki sta prispevala krazumevanju le-tega v nevtralni geometriji) je prvi izrek, ki seocitno loci od Evklidove geometrije (in s tem tudi od ”solskegeometrije”) in prvi, kjer uporabimo Arhimedovo lastnost realnihstevil.

Definicija

Naj bodo A, B in C nekolinearne tocke. S simobolom σ(4ABC)oznacimo vsoto notranjih kotov trikotnika:

σ(4ABC) = µ(∠CAB) + µ(∠ABC) + µ(∠BCA) .

Ocitno imajo skladni trikotniki enako vsoto notranjih kotov.Dokazali bomo, da ima vsak trikotnik v nevtralni geometrijivsoto notranjih kotov kvecjemu 180◦. Kot smo videli, na sferiimamo trikotnika z vecjo vsoto notanjih kotov kot 180◦, zato tatrditev ni trivialna.



Stirikotniki


Definicija






Stirikotniki


Definicija






Stirikotniki


Definicija






Stirikotniki


Definicija






Stirikotniki

Kasneje bomo videli, da obstajajo modeli nevtralne geometrije,v katerih je vsota notranjih kotov trikotnika strogo manj od 180◦

in da je vsota notranjih kotov trikotnikov bistveno drugacna vevklidski geometriji kot v neevklidskih geometrijah.

Saccheri-Legendrov izrek

Za poljuben trikotnik 4ABC velja σ(4ABC) ≤ 180◦.

Dokaz tega izreka je nekaj daljsi in bomo zanj fomulirali nekajlem.

LemaZa poljuben trikotnik 4ABC velja µ(∠CAB) + µ(∠ABC) < 180◦.

Dokaz: vaja! �



Stirikotniki







Dokaz: vaja! �



Stirikotniki







Dokaz: vaja! �



Stirikotniki







Dokaz: vaja! �



Stirikotniki







Dokaz: vaja! �



Stirikotniki

Lema

Za poljuben trikotnik 4ABC in tocko E v notranjosti daljice BCvelja

σ(4ABE) + σ(4ECA) = σ(4ABC) + 180◦ .

B E C

A

Dokaz: vaja! �



Stirikotniki

Lema


σ(4ABE) + σ(4ECA) = σ(4ABC) + 180◦ .

B E C

A

Dokaz: vaja! �



Stirikotniki

Lema


σ(4ABE) + σ(4ECA) = σ(4ABC) + 180◦ .

B E C

A

Dokaz: vaja! �



Stirikotniki

LemaNaj bodo A, B in C nekolinearne tocke. Tedaj obstaja takatocka D, D 6∈

←→AB, da je σ(4ABC) = σ(4ABD) in neki notranji

kot trikotnika 4ABD meri kvecjemu (1/2)µ(∠CAB).

Dokaz: Naj bodo tocke A, B in C nekolinearne. Naj bo Esredisce daljice BC. Naj bo D tocka na poltraku

−→AE , da velja

A ∗ E ∗ D in AE = ED.

A B

C D

E



Stirikotniki





−→AE , da velja


A B

C D

E



Stirikotniki





−→AE , da velja


A B

C D

E



Stirikotniki





−→AE , da velja


A B

C D

E



Stirikotniki

Pokazali bomo, da je σ(4ABC) = σ(4ABD) in da veljaµ(∠BAD) ≤ (1/2)µ(∠CAB) ali µ(∠ADB) ≤ (1/2)µ(∠CAB).Ker je ∠AEC ∼= ∠DEB (sovrsna kota), velja 4AEC ∼= 4DEB(SKS) in je zato σ(4AEC) = σ(4DEB). Dvakrat uporabimolemo o vsoti kotov razdeljenega trikotnika, da dobimo

σ(4ABC) = σ(4ABE) + σ(4AEC)− 180◦

inσ(4ABD) = σ(4ABE) + σ(4DEB)− 180◦.

Torej res σ(4ABC) = σ(4ABD).Po aksiomu kotomera velja µ(∠BAE) + µ(∠EAC) = µ(∠BAC).Torej mora veljati µ(∠BAE) ≤ (1/2)µ(∠BAC) aliµ(∠EAC) ≤ (1/2)µ(∠BAC). Ker je ∠EAC ∼= ∠ADB, sleditrditev leme. �



Stirikotniki


σ(4ABC) = σ(4ABE) + σ(4AEC)− 180◦

inσ(4ABD) = σ(4ABE) + σ(4DEB)− 180◦.




Stirikotniki


σ(4ABC) = σ(4ABE) + σ(4AEC)− 180◦

inσ(4ABD) = σ(4ABE) + σ(4DEB)− 180◦.




Stirikotniki


σ(4ABC) = σ(4ABE) + σ(4AEC)− 180◦

inσ(4ABD) = σ(4ABE) + σ(4DEB)− 180◦.




Stirikotniki


σ(4ABC) = σ(4ABE) + σ(4AEC)− 180◦

inσ(4ABD) = σ(4ABE) + σ(4DEB)− 180◦.




Stirikotniki


σ(4ABC) = σ(4ABE) + σ(4AEC)− 180◦

inσ(4ABD) = σ(4ABE) + σ(4DEB)− 180◦.




Stirikotniki


σ(4ABC) = σ(4ABE) + σ(4AEC)− 180◦

inσ(4ABD) = σ(4ABE) + σ(4DEB)− 180◦.




Stirikotniki

Dokaz Saccheri-Legendrovega izreka: Naj bo 4ABCtrikotnik. Denimo, da bi veljalo σ(4ABC) > 180◦. Naj bo torejσ(4ABC) = 180◦ + ε◦, kjer je ε > 0. Po Arhimedovi lastnostirealnih stevil obstaja tak n ∈ N, da velja 2nε◦ > µ(∠CAB).Po lemi obstaja trikotnik 4A1B1C1, da jeσ(4ABC) = σ(4A1B1C1) in en kot trikotnika 4A1B1C1 merikvecjemu (1/2)µ(∠CAB).Ce to lemo uporabimo se enkrat, dobimo trikotnik 4A2B2C2, daje σ(4ABC) = σ(4A2B2C2) in en kot trikotnika 4A2B2C2 merikvecjemu (1/4)µ(∠CAB).Po n takih korakih pridemo do obstoja trikotnika 4AnBnCn, daje σ(4ABC) = σ(4AnBnCn) in en kot trikotnika 4AnBnCn merikvecjemu (1/2n)µ(∠CAB) < ε◦.To pa pomeni, da je vsota ostalih dveh kotov trikotnika4AnBnCn strogo vecja od 180◦, kar pa je v protislovju s prvolemo zgoraj. �



Stirikotniki




Stirikotniki




Stirikotniki




Stirikotniki




Stirikotniki




Stirikotniki




Stirikotniki




Stirikotniki




Stirikotniki

PosledicaVsota dveh notranjih kotov trikotnika je manjsa ali enakavelikosti neprileznega zunanjega kota.

Posledica - obrat Evklidovega petega aksioma

Naj premici ` in `′ sece precnica p. Ce se premici ` in `′ sekatana eni strani precnice p, je vsota velikosti notranjih kotov obprecnici na tej strani strogo manjsa od 180◦.

BD

B′

t

`

`′



Stirikotniki

PosledicaVsota dveh notranjih kotov trikotnika je manjsa ali enakavelikosti neprileznega zunanjega kota.

Posledica - obrat Evklidovega petega aksioma

Naj premici ` in `′ sece precnica p. Ce se premici ` in `′ sekatana eni strani precnice p, je vsota velikosti notranjih kotov obprecnici na tej strani strogo manjsa od 180◦.

BD

B′

t

`

`′



Stirikotniki

Poleg trikotnikov zelimo vsaj na kratko obravnavati tudistirikotnike.

Definicije

Naj bodo A, B, C in D take tocke, da nobene tri od njih nisokolinearne in poljubni dve od daljic AB, BC, CD in DA ali nimataskupne tocke ali pa imata skupno le krajisce.Tedaj tocke A, B, C in D dolocajo stirikotnik, ki je unija daljic:

�ABCD = AB ∪ BC ∪ CD ∪ DA.

Zgornjim daljicam recemo stranice stirikotnika, tockam A, B, Cin D pa oglisca tega stirikotnika.Stranicama AB in CD recemo nasprotni stranici, prav tako tudistranicama BC in DA.Strikotnika sta skladna, ce obstaja taka bijekcija med njunimioglisci, da so pri tem vse stiri ustrezne stranice skladne in tudivsi stirje ustrezni koti.



Stirikotniki


Definicije






Stirikotniki


Definicije






Stirikotniki


Definicije






Stirikotniki


Definicije






Stirikotniki


Definicije






Stirikotniki

Tudi pri stirikotnikih je pomemben vrstni red oglisc, ce je�ABCD stirikotnik, ni receno, da je tudi �ACBD stirikotnik, sajse morda AC in BD sekata.

A

D

B

C

A

D

B

C

Definicija

Diagonali stirikotnika �ABCD sta daljici AC in BD.



Stirikotniki


A

D

B

C

A

D

B

C

Definicija




Stirikotniki


A

D

B

C

A

D

B

C

Definicija




Stirikotniki

Definicija

Stirikotniku �ABCD recemo, da je konveksen, ce je vsakooglisce v notranjosti kota, ki ga tvorijo ostala oglisca vzeta vciklicnem vrstnem redu.

Nekonveksen stirikotnik:

A C

B

D

Notranjosti stirikotnika niti ne bomo definirali (nasploh to nipresek polravnin, ki jih dolocajo stranice), se pa to da narediti inv tem primeru je strikotnik je konveksen natanko tedaj, ko jenjegova notranjost konveksna mnozica.



Stirikotniki

Definicija



A C

B

D




Stirikotniki

Definicija



A C

B

D




Stirikotniki

Tudi vsoto notranjih kotov bomo definirali le za konveksnestirikotnike (spomnimo se, da smo definirali le kote velikosti do180◦).

Definicija

Ce je �ABCD konveksen stirikotnik, definiramo njegovo vsotonotranjih kotov:

σ(�ABCD) = µ(∠ABC) + µ(∠BCD) + µ(∠CDA) + µ(∠DAB) .

Izrek

Ce je �ABCD konveksen stirikotnik, velja σ(�ABCD) ≤ 360◦.

Dokaz: vaja! �



Stirikotniki


Definicija



Izrek


Dokaz: vaja! �



Stirikotniki


Definicija



Izrek


Dokaz: vaja! �



Stirikotniki


Definicija



Izrek


Dokaz: vaja! �



Stirikotniki

Oglejmo se se nekaj drobnih dejstev o strikotnikih, ki jih bomopotrebovali kasneje.

Definicija

Strikotniku �ABCD pravimo paralelogram, ce velja←→AB ‖

←→CD in

←→BC ‖

←→AD.

IzrekVsak paralelogram je konveksen stirikotnik.

Dokaz: vaja! �



Stirikotniki


Definicija


←→CD in

←→BC ‖

←→AD.


Dokaz: vaja! �



Stirikotniki


Definicija


←→CD in

←→BC ‖

←→AD.


Dokaz: vaja! �



Stirikotniki


Definicija


←→CD in

←→BC ‖

←→AD.


Dokaz: vaja! �



Stirikotniki

Izrek

Ce je 4ABC trikotnik in je tocka D v notranjosti daljice AB, Epa tocka v notranjosti daljice AC, je stirikotnik �BEDCkonveksni stirikotnik.

A E B

C

D

Dokaz: vaja!



Stirikotniki

Izrek


A E B

C

D

Dokaz: vaja!



Stirikotniki

Izrek


A E B

C

D

Dokaz: vaja!



Stirikotniki

Izrek

Stirikotnik �ABCD je konveksen natanko tedaj, ko imatadiagonali AC in BD neko notranjo tocko skupno.

A

D C

B

E

Dokaz: (⇒): Naj bo �ABCD konveksni stirikotnik, tedaj je C vnotranjosti kota ∠DAB. Po izreku o precki sece poltrak

−→AC

daljico BD v neki tocki E . Podobno sledi, da poltrak−→BD sece

daljico AC v neki tocki E ′. Premici←→AC in

←→BD pa se lahko sekata

v kvecjemu eni tocki, torej E = E ′, ki lezi na obeh teh premicah.Smer (⇐) je za vajo. �



Stirikotniki

Izrek


A

D C

B

E


−→AC







Stirikotniki

Izrek


A

D C

B

E


−→AC







Stirikotniki

Izrek


A

D C

B

E


−→AC







Stirikotniki

Izrek


A

D C

B

E


−→AC







Stirikotniki

Izrek


A

D C

B

E


−→AC







Stirikotniki

Izrek


A

D C

B

E


−→AC







Stirikotniki

Posledica

Ce sta �ABCD in �ACBD stirikotnika, �ABCD ni konveksenstirikotnik. Ce je �ABCD nekonveksni stirikotnik, je tudi�ACBD stirikotnik.

A C

B

D

A C

B

D

Dokaz: vaja! �



Stirikotniki

Posledica


A C

B

D

A C

B

D

Dokaz: vaja! �



Stirikotniki

Posledica


A C

B

D

A C

B

D

Dokaz: vaja! �



Stirikotniki

Posledica


A C

B

D

A C

B

D

Dokaz: vaja! �


Documents

GEOMETRIJA 6. Nevtralna geometrija, 2matijac/NevtrGeom2.pdfKoti ob preˇcnici Saccheri-Legendrov izrek Stirikotnikiˇ GEOMETRIJA 6. Nevtralna geometrija, 2.del Matija Cencelj Geometrija,