Analiticka geometrijaˇ...Cilindar – deﬁnicija Cilindar je površ u prostoru sacinjena od pravih koje:ˇ su paralelne datoj pravi p u prostoru prolaze kroz datu krivu u ravni (koja

Analiticka geometrija

Predavanje 11

Cilindri i kvadratne površi

Novi Sad, 2018.

Milica Žigic (PMF, UNS 2018) Analiticka geometrija predavanje 11 1 / 13

Cilindar – definicijaCilindar je površ u prostoru sacinjena od pravih koje:

su paralelne datoj pravi p u prostoruprolaze kroz datu krivu u ravni (koja je normalna na pravu p)

Primer 11.1 Odrediti jednacinu cilindra generisanog krivom y = x2 u xy−ravnii pravama paralelnim z−osi.

Za proizvoljnu tacku P(x , y , z) sa datogcilindra koordinata z može da bude bilokoja vrednost, dok x i y moraju dazadovoljavaju jednacinu y = x2;

dakle, tacke sa cilindra su oblikaP(x , x2, z), x , z ∈ R;odgovarajuca jednacina cilindra je oblikay = x2, ako ništa dodatno ne pišepretpostavlja se da je x ∈ R; takodepromenljivu z ne pišemo jer za nju nemanikakvih ogranicenja i podrazumevamoz ∈ R.


Cilindar – primeriPrimer 11.2 Odrediti jednacinu kružnog cilindra generisanog kružnicomx2 + z2 = 1.

Tacke sa cilindra su oblikaP(x , y ,±

√1− x2), x ∈ [−1,1], y ∈ R;

odgovarajuca jednacina kružnog cilindraje x2 + z2 = 1; i to je cilindar duž y−ose.

Primer 11.3 Odrediti jednacinu cilindra generisanog hiperbolom y2 − z2 = 1.

Tacke sa cilindra su oblikaP(x , y ,±

√y2 − 1), |y | ≥ 1, x ∈ R;

odgovarajuca jednacina cilindra jey2 − z2 = 1; i to je cilindar duž x−ose.

GeoGebra 3D


https://www.geogebra.org/3d

Kvadratne površi u prostoru – definicija

U najopštijem obliku kvadratna površ u prostoru je skup rešenja kvadratnejednacine sa tri nepoznate, date sa

Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Hy + Jz + K = 0,

gde koeficijenti A,B,C,D,E i F nisu istovremeno jednaki nuli.

Medutim, videli smo da mešoviti clanovi Dxy + Eyz + Fxz nastaju od rotacije,a linearni Gx + Hy + Jz od translacije; te cemo mi, uglavnom, posmatratisamo one kvadratne površi oblika

Ax2 + By2 + Cz2 + K = 0,

gde koeficijenti A,B i C nisu istovremeno jednaki nuli.

Preseci površi sa ravnima paralelnim sa koordinatnim ravnima se nazivajulinije nivoa ili tragovi.


Kvadratne površi u prostoru – primeri

Primer 11.4 Nacrtati elipsoidx2

a2 +y2

b2 +z2

c2 = 1, a,b, c > 0.

Linije nivoa dobijamo u preseku saravnima:

z = 0 (tj. presek sa xy−ravni):x2

a2 +y2

b2 = 1 elipsa;

y = 0 (presek sa xz−ravni) jex2

a2 +z2

c2 = 1 elipsa;

x = 0 (presek sa yz−ravni) jey2

b2 +z2

c2 = 1 elipsa;

z = z0, za |z0| < c:x2

a2(1− z20

c2 )+

y2

b2(1− z20

c2 )= 1

elipsa.



Primer 11.5 Nacrtati elipticni paraboloidx2

a2 +y2

b2 =zc, a,b, c > 0.

Linije nivoa dobijamo u preseku saravnima:

z = 0 (xy−ravan):x2

a2 +y2

b2 = 0;

odnosno tacka (0,0,0);

y = 0 (xz−ravan):x2

a2 =zc

parabola;

x = 0 (yz−ravan):y2

b2 =zc

parabola;

z = z0, z0 ≥ 0:x2

a2 +y2

b2 =z0

celipsa;



Primer 11.6 Nacrtati kružni paraboloidx2

a2 +y2

a2 =zc

(a = b), a, c > 0.

u yz−ravni to je parabolay2

a2 =zc,

koja je rotirana oko z−ose;dakle, linije nivoa paralelne saxy−ravni su kružnice.Primetimo, jednacina kružnogparaboloida se dobija tako što se

u jednacinu paraboley2

a2 =zc,

koja se rotira oko z−ose, zameni

y → ±√

x2 + y2 ; i dobijax2 + y2

a2 =zc


Kvadratne površi u prostoru – primeriPrimer 11.7 Odrediti jednacinu kružnog elipsoida koji u xz−ravni prolazi

kroz elipsux2

a2 +z2

c2 = 1, a, c > 0 i rotiran je oko x−ose.

U jednacinux2

a2 +z2

c2 = 1

zamenimo z → ±√

y2 + z2

i dobijamo jednacinu kružnog

elipsoidax2

a2 +y2

c2 +z2

c2 = 1.

Primetimo, isti postupak smomogli sprovesti i da smo krenuliod elipse u xy−ravni, naimex2

a2 +y2

c2 = 1, i zatim zameniti

y → ±√

y2 + z2.


Kvadratne površi u prostoru – primeriPrimer 11.8 Odrediti jednacinu konusa koji nastaje rotacijom prave z = 2yoko y−ose.

Dakle, zamenimo z → ±√

x2 + z2

i dobijamo odgovarajucujednacinu konusa±√

x2 + z2 = 2y ili x2 + z2 = 4y2



Primer 11.9 Nacrtati elipticni konusx2

a2 +y2

b2 =z2

c2 , a,b, c > 0.

Linije nivoa su:

za x = 0 to su prave y = ±bc

z

za y = 0 to su prave x = ±ac

z

za z = 0 to je tacka (x , y) = (0,0)za z = z0 to je elipsax2

a2 +y2

b2 =z2

0

c2


Kvadratne površi u prostoru – primeriPrimer 11.10 Nacrtati jednograni (jednodelni) hiperboloidx2

a2 +y2

b2 −z2

c2 = 1, a,b, c > 0.

Linije nivoa su:za x = 0 je hiperbolay2

b2 −z2

c2 = 1

za y = 0 je hiperbolax2

a2 −z2

c2 = 1

za z = 0 je elipsax2

a2 +z2

b2 = 1



Primer 11.11 Nacrtati dvograni (dvodelni) hiperboloidz2

c2 −x2

a2 −y2

b2 = 1, a,b, c > 0.Linije nivoa su:

za x = 0 je hiperbolaz2

c2 −y2

b2 = 1

za y = 0 je hiperbolaz2

c2 −x2

a2 = 1

za z = 0 je prazan skup jerx2

a2 +y2

b2 = −1

za z = z0 > c (z0 < −c) je

elipsax2

a2 +y2

b2 =z2

0

c2 − 1


Kvadratne površi u prostoru – primeriPrimer 11.12 Nacrtati hiperbolicni paraboloid (sedlo)y2

b2 −x2

a2 =zc, a,b, c > 0.

Linije nivoa su:

za x = 0 je parabolay2

b2 =zc

za y = 0 je parabola −x2

a2 =zc

za z = 0 su pravexa= ±y

bza z = z0 hiperboley2

b2 −x2

a2 =z0

ci to oko y−ose za

z0 > 0; i oko x−ose za z0 < 0


Documents

Analiticka geometrijaˇ...Cilindar – deﬁnicija Cilindar je površ u prostoru sacinjena od pravih koje:ˇ su paralelne datoj pravi p u prostoru prolaze kroz datu krivu u ravni (koja