6. ANALIZA SISTEMA U PROSTORU STANJA

6. ANALIZA SISTEMA U PROSTORU STANJA 6.1. OSNOVNE FORME MODELA SISTEMA U PROSTORU STANJA

Jedan poseban vid zapisivanja diferencijalnih jednačina dinamičkog sistema je normalna ili Košijeova forma sistema diferencijalnih jednačina prvog reda:

111 1 ( ), (( ), ,) ,),( )( n rx t f tx ux t t u tt

112 2 ( ), (( ), ,) ,),( )( n rx t f tx ux t t u tt

11 ( ), (( ( ), , () )), ,n rn nx t f tx ux t t u tt

gde su:

1( )u t , ... , ( )ru t ulazi sistema

1( )x t , ... , ( )nx t pomoćne promenljive koje nazivamo promenljive stanja

1f , ... , nf nelinearne funkcije od 1n r argumenata

Početni uslovi sistema definisani su sa: 1(0)x , ... , (0)nx .

Sistem diferencijalnih jednačina (1) predstavlja tzv. jednačine stanja sistema.

jednačine stanja sistema (1)

(model sistema)

Pretpostavimo da su uslovi egzistencije rešenja sistema diferencijalnih jednačina (1) zadovoljeni.

Tada:

- Vrednosti promenljivih stanja u nekom trenutku 1t određuju stanje

sistema u tom trenutku.

- Poznavanje stanja u trenutku 1t i poznavanje ulaza sistema biće dovoljno

da se na bazi prethodnog modela odredi stanje sistema u bilo kom budućem trenutku 2 1t t .

Na taj način, sistem diferencijalnih jednačina (1) u potpunosti karakteriše dinamičko ponašanje posmatranog sistema.

Jednačine stanja (1) predstavljaju:

- nelinearni model jer su funkcije if nelinearne

- nestacionarni model jer funkcije if eksplicitno zavise od vremena t .

Promenljive stanja mogu, ali u opštem slučaju, ne moraju biti istovremeno i izlazi sistema.

Izlazi sistema 1 1( )y y t , ... , ( )m my y t su najčešće neke funkcije promenljivih

stanja i ulaza:

11 11 , ( ),( ), , ( )) (( ,) rny tu ux xt g t tt t

12 12 , ( ),( ), , ( )) (( ,) rny tu ux xt g t tt t

1 1, ( ),(( ) ,(( ), , ) )m m n ry tu ux xt g t tt t

Sistem algebarskih jednačina (2) predstavlja tzv. jednačine izlaza sistema.

jednačine izlaza (2)

Sistemi jednačina (1) i (2) se mogu zapisati i u vektorskom obliku:

0( ) , , , (0) )

( ) (

( )

))

(

,( ,

x t f t x x

y t g t

u t

u

x

x t t

t

1( )

( )

( )n

x t

x t

x t

vektor promenljivih stanja, 1( )

( )

( )r

u t

u t

u t

vektor ulaza,

1( )

( )

( )m

y t

y t

y t

vektor izlaza, 1( )

( )

( )n

f t

f t

f t

, 1( )

( )

( )m

g t

g t

g t

vektori nelinearnih funkcija

Strukturni dijagram nelinearnog, nestacionarnog sistema opisanog pomoću (1) i (2):

KARAKTERISTIKE MODELA U PROSTORU STANJA

0( ) , , , (0) )

( ) (

( )

))

(

,( ,

x t f t x x

y t g t

u t

u

x

x t t

t

Može opisati linearne, nelinearne, stacionarne i nestacionarne sisteme.

Matematički zapis modela je jednostavan.

Model se jednostavno implementira na digitalnom računaru.

Promenljive stanja 1( )x t , ... , ( )nx t igraju dominantnu ulogu u modelu.

Promenljive stanja 1( )x t , ... , ( )nx t ne moraju imati značenje fizičkih promenljivih sistema.

Za koordinate vektora stanja se usvajaju neke pomoćne promenljive koje treba da omoguće svođenje modela sistema na željenu formu.

Ta forma mora biti takva da je što više pogodnija sa gledišta rešavanja dobijenog modela.

Izbor promenljivih stanja nije jednoznačno određen.

Uvođenjem koordinata stanja ne gubi se informacija o realnim promenljivim stanja.

Na bazi vektora stanja i vektora ulaza koristeći model moguće je izraziti fizičke promenljive sistema.

MODEL STACIONARNIH NELINEARNIH SISTEMA U PROSTORU STANJA

Ako funkcije if i ig ne sadrže eksplicitno vreme t kao svoj argument, dobija se

stacionarni nelinearni model u prostoru stanja.

Vektorski oblik stacionarnog modela u prostoru stanja glasi:

0

)

( ) , , (0)(

(

( )

) (( ) ,

)x t f x x

y t g

u tt

x tt u

x

6.2. MATRIČNI MODEL LINEARNIH SISTEMA

Kada je sistem linearan vektorske funkcije f i g su linearne po x(t) i u(t):

, , ( ) ( ) ( ) ( )

)

( )

(, (

( )

( ) ,) ) ( ) ( ) (

f t A t x t B t u t

g t C t x tt Dt

u

t

x t

x tu u

t

MODEL LINEARNOG NESTACIONARNOG SISTEMA

0( ) ( ) ( ) ( ) ( ), (0)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x t A t x t B t u t x x

y t C t x t D t u t

( )n nA t , ( )n rB t , ( )m nC t , ( )m rD t

nestacionarne matrice

Strukturni blok dijagram

MODEL LINEARNOG STACIONARNOG SISTEMA

0( ) ( ) ( ), (0)

( ) ( ) ( )

x t Ax t Bu t x x

y t Cx t Du t

Strukturni blok dijagram linearnog stacionarnog sistema

n nA , n rB , m nC , m rD konstantne matrice

6.3. OSNOVNE FORME MODELA U PROSTORU STANJA

Najjednostavniji način formiranja modela u prostoru stanja se dobija na sledeći način:

Za elemente vektora stanja izabrati sve zavisne promenljive i sve njihove izvode osim najviših.

Primer. Mehanički sistem

( ) ( ) ( ) ( )

1( ) ( ) ( ) ( )

My t y t ky t u t

y t u t y t ky tM

Zavisna promenljiva: ( )y t

Usvojamo: 1x y , 2 2 1x y x x

Model u prostoru stanja:

1 2

2 1 2

( ) ( )

1( ) ( ) ( ) ( )

x t x t

kx t x t x t u t

M M M

Matrični oblik modela u prostoru stanja:

1 1

2 2

1

1

2

0 1 0( ) ( )

( )1( ) ( )

( )( ) ( ) 1 0 0 ( )

( )

x t x tu tk

x t x tM M M

x ty t x t u t

x t

0( ) ( ) ( ), (0)

( ) ( ) ( )

x t Ax t Bu t x x

y t Cx t Du t

0 1 0

, ,1

1 0 , 0

A Bk

M M M

C D

OSTALE VRSTE MODELA U PROSTORU STANJA

U nastavku se prezentuju postupci formiranja nekih drugih (karakterističnih) vrsta modela u prostoru stanja.

Ovi modeli imaju specijalno značenje u teoriji sistema. Nazivamo ih kanonički modelima.

Ove karakteristične forme modela izvodimo iz funkcije prenosa sistema.

Koordinate stanja ovih modela nisu fizičke promenljive, već često neka njihova linearna kombinacija.

Kanoničke forme modela u prostoru stanja

- kontrolabilna kanonička forma

- opservabilna kanonička forma

- dijagonalna kanonička forma

6.3.1. KONTROLABILNA KANONIČNA FORMA

Postupak dobijanja kontrolabilne kanoničke forme opisaćemo na jednom primeru.

Pretpostavimo da je kontinualni sistem opisan funkcijom prenosa:

2

3 21

2 4 3( )

5 7 1

s sG s

s s s

Postupak formiranja modela:

1. Svođenje polinoma u imeniocu funkcije prenosa na monik polinom

Polinom je monik ukoliko je njegov koeficijent uz najveći stepen jednak 1.

2. Uvođenje pomoćnog signala ( )C s i određivanje 1( ) ( )c t L C s i ( )y t

2

3 2

( ) 2 4 3 ( )( )

( ) 5 7 1 ( )

Y s s s C sG s

U s s s s C s

2

3 2

( ) 2 4 3 ( )

( ) 5 7 1 ( )

Y s s s C s

U s s s s C s

( ) ( ) 5 ( ) 7 ( ) ( ) ( ) ( ) 5 ( ) 7 ( ) ( )

( ) 2 ( ) 4 ( ) 3 ( )

u t c t c t c t c t c t u t c t c t c t

y t c t c t c t

3. Crtanje simulacionog dijagrama

( ) ( ) 5 ( ) 7 ( ) ( )c t u t c t c t c t , ( ) 2 ( ) 4 ( ) 3 ( )y t c t c t c t

4. Izbor elemenata (koordinata) vektora stanja

Za elemente vektora stanja biraju izlazi iz integratora na simulacionom dijagramu.

1( ) ( )x t c t , 2 ( ) ( )x t c t , 3( ) ( )x t c t

5. Formiranje modela u prostoru stanja

Za izabrane elemente vektora stanja model sistema postaje:

1 2

2 3

3 1 2 3

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 7 ( ) 5 ( ) ( )

x t c t x t

x t c t x t

x t c t x t x t x t u t

Matrična forma:

0 1 0 0

( ) 0 0 1 ( ) 0 ( )

1 7 5 1

( ) 3 4 2 ( )

x t = x t u t

y t x t

Kontrolabilna kanonička forma

Pravila pri formiranju kontrolabilne kanonične forme:

0 1 0 0

( ) 0 0 1 ( ) 0 ( )

1 7 5 1

( ) 3 4 2 ( )

x t = x t u t

y t x t

2

3 21

2 4 3( )

5 7 1

s sG s

s s s

( ) ( ) ( )x t Ax t Bu t , ( ) ( )y Cx t Du t

„-“

Matrica A je kvadratna matrica dimenzije n. Sastoji se iz sastoji se iz tri bloka: - u poslednjoj vrsti se nalaze koeficijenti karakterističnog polinoma sa promenjenim znakom i pisani u suprotnom smeru (preskačući prvi koeficijent koji mora biti jednak 1), - u gornjem desnom uglu nalazi se jedinična matrica dimenzija (n - 1) × (n - 1), dok se - u prvoj koloni osim poslednjeg elementa nalaze sve same nule.

U matrici B su svi elementi jednaki nuli osim poslednjeg koji je jednak 1. U matrici C smešteni su koeficijenti polinoma iz brojioca funkcije prenosa čitani u suprotnom smeru.

Napomena. 1. Matrica D će uvek biti jednaka nuli ukoliko je

polinom u brojiocu nižeg stepena od polinoma u imeniocu funkcije prenosa.

2. Kontrolabilna kanonična forma može da se formira samo za sisteme koji imaju JEDAN ULAZ.

6.3.2. OPSERVABILNA KANONIČNA FORMA

Postupak dobijanja opservabilne kanoničke forme opisaćemo na jednom primeru.

Pretpostavimo da je kontinualni sistem opisan funkcijom prenosa

2

3 21

2 4 3( )

5 7 1

s sG s

s s s


1. Svođenje polinoma u imeniocu na monik polinom.

2. Deljenje brojioca i imenioca najvišim stepenom polinoma u imeniocu:

2

3 2 3

3 2

2 33

2 4 3 2 4 3( )

( )5 7 15 7 1 ( )1

1

s sY ss s s sG s

s s s U s

s s ss

3. Unakrsno množenje:

2 3 2 3

5 7 1 2 4 3( ) 1 ( )Y s U s

s s s s s s

4. Rešavanje po ( )Y s :

2 3 2 3

5 7 1 2 4 3( ) ( ) ( )Y s Y s U s

s s s s s s

1 1 1

( ) 5 ( ) 2 ( ) 7 ( ) 4 ( ) ( ) 3 ( )Y s Y s U s Y s U s Y s U ss s s

int

int

int

( ) 5 ( ) 2 ( ) 7 ( ) (1 1

4 ( ) )1

3 ( )

I egrator

II egrator

III egrator

Y s Y s Y sU ss s s

UY s U s s

5. Crtanje simulacionog dijagrama.

int

int

int

( ) 5 ( ) 2 ( ) 7 ( ) 4 ( ) 3 (1

))1

(1

I egrator

II egrator

III egrator

Y s Y s U s Y s U s Us s s

Y s s

6. Izbor vektora stanja

Za elemente vektora stanja biraju izlazi iz integratora na simulacionom dijagramu.

7. Formiranje jednačine u prostoru stanja

1 1 2 3

2 1 2 3

3 1 2 3

( ) 5 ( ) ( ) 0 ( ) 2 ( )

( ) 7 ( ) 0 ( ) 1 ( ) 4 ( )

( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 3 ( )

x t x t x t x t u t

x t x t x t x t u t

x t x t x t x t u t

1 2 3( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( )y t x t x t x t u t

Matrična forma

1 1 2 3

2 1 2 3

3 1 2 3

( ) 5 ( ) ( ) 0 ( ) 2 ( )

( ) 7 ( ) 0 ( ) 1 ( ) 4 ( )

( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 3 ( )

x t x t x t x t u t

x t x t x t x t u t

x t x t x t x t u t

1 2 3( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( )y t x t x t x t u t

5 1 0 2

( ) 7 0 1 ( ) 4 ( )

1 0 0 3

( ) 1 0 0 ( )

x t x t u t

y t x t

2

3 21

2 4 3( )

5 7 1

s sG s

s s s

„-“

Matrica A je kvadratna matrica dimenzije n. Sastoji se iz sastoji se iz tri bloka: - u prvoj koloni se nalaze koeficijenti karakterističnog polinoma sa promenjenim znakom i pisani u suprotnom smeru (preskačući prvi koeficijent koji mora biti jednak 1), - u gornjem desnom uglu nalazi se jedinična matrica dimenzija (n - 1) × (n - 1), dok se - u poslednjoj vrsti osim prvog elementa nalaze sve same nule.

U matrici B se nalaze koeficijenti polinoma u brojiocu funkcije prenosa čitani u suprotnom smeru.

Matrica C ima uvek istu formu, prvi element je 1 dok su svi ostali nule.

Napomena. Samo sistemi sa jednim izlazom mogu imati opservabilnu kanoničnu formu u prostoru stanja.

6.3.3. DIJAGONALNA KANONIČNA FORMA

Postupak dobijanja dijagonalne kanoničke forme opisaćemo na jednom primeru.


Slučaj prostih polova: kontinualni sistem opisan je funkcijom prenosa

3 2

4( )

6 11 6

sG s

s s s

1. Napisati funkciju prenosa u formi zbira parcijalnih sabiraka:

4 1.5 2 0.5( )

1 2 3 1 2 3

sG s

s s s s s s

2. Predstaviti izlaz sistema kao zbir parcijalnih signala

1 2 3

1.5 2 0.5( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 3Y s G s U s U s U s U s Y s Y s Y s

s s s

1 1 1 1 1 1 1

1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) 1.5 ( ) 1.5 ( ) ( 1) ( ) ( ) , 1.51

Y s U s Y s s Y s U s y y u y ys

2 1 2 2 1 2 2

1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( 2) ( ) ( ) 2 , 21


3 3 3 3 3 3 3

1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) 0.5 ( ) 0.5 ( ) ( 3) ( ) ( ) 3 , 0.51


3. Formirati simulacioni dijagram

1 1 1 1ˆ ˆ ˆ, 1.5y y u y y

2 1 2 2ˆ ˆ ˆ2 , 2y y u y y

3 3 3 3ˆ ˆ ˆ3 , 0.5y y u y y

1 2 3y y y y

4. Izbor vektora stanja

Za elemente vektora stanja biraju izlazi iz integratora na simulacionom dijagramu

1 1 2 2 3 3ˆ ˆ ˆ, ,x y x y x y

5. Formiranje jednačine u prostoru stanja

1 1 2 3

2 1 2 3

3 1 2 3

( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 1 ( )

( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) 1 ( )

1

2

3( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) 1 ( )

x t x t x t x t u t

x t x t x t x t u t

x t x t x t x t u t

1 2 3( ) 1.5 ( ) 2 ( ) 0.5 ( ) 0 ( )y t x t x t x t u t

Vektorski oblik

0 0 1

( ) 0 0 ( ) 1 ( ), ( ) 1.5 2 0.5 ( )

0 0 1

1

2

3

x t x t u t y t x t

Matrica stanja A je dijagonalna matrica, i na njenoj dijagonali se nalaze polovi funkcije prenosa sistema (nule karakterističnog polinoma).

U matrici B se nalaze jedinice.

U matrici C nalaze koeficijenti uz odgovarajuće polove.

Slučaj višestrukih realnih polova: Funkcija prenosa sistema

1. Napisati funkciju prenosa u formi zbira parcijalnih sabiraka

3 2 2 3 2

1 ( )( )

( ) 2 5 62 5 6 2 2 6

s Y s a b c d e fG s

U s s s ss s s s s s

2. Predstaviti izlaz sistema kao zbir parcijalnih signala

2 3 2

1 2 3 1 2

1 1 1 2 3 3

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 5 62 2 6

a b c d e fY s G s U s U s U s U s U s U s U s

s s ss s s

Y Y Y Y Y Y

1

1

1 1 1 1

1 1 1 1

ˆ( 2) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ2 ,

s Y s U s

y y u y ay

2 1

1 1

2 2 1 2 2

1 1 1 1 1

ˆ ˆ( 2)

ˆ ˆ ˆ ˆ2 ,

s Y Y

y y y y by

3 2

1 1

3 3 2 3 3

1 1 1 1 1

ˆ ˆ( 2)

ˆ ˆ ˆ ˆ2 ,

s Y Y

y y y y cy

11

21

31

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

1 1 1 1 12 2

3 3 3 3 3

1 1 1 1 13 3

3 1 2 2 3

1 1 1 1 1

ˆ

ˆ

ˆ

1 1ˆ ˆ ˆ,2 2

1 1ˆ ˆ ˆ,2 2

1 1ˆ ˆ ˆ,2 2

1 1 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,2 2 2 2 2

Y

Y

Y

Y a U aY U Y Y aYs s

Y b U bY U Y Y bYs s

Y c U cY U Y Y cYs s

U Y Y Y Y Ys s s s s

2 2 2 2 2 2 2

1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( 5) ( ) ( ) 5 ,5

Y d U s dY s s Y s U s y y u y dys

13

23

1 1 1 1 1

3 3 3 3 3

2 2 2 2 2

3 3 3 3 32 2

2 1 2

3 3 3

ˆ

ˆ

1 1ˆ ˆ ˆ,6 6

1 1ˆ ˆ ˆ,6 6

1 1 1ˆ ˆ ˆ,6 6 6

Y

Y

Y a U aY U Y Y eYs s

Y b U bY U Y Y eYs s

U Y Y Ys s s

1 1 1 1 1

3 3 3 3 3ˆ ˆ ˆ ˆ( 6) ( ) ( ) 2 ,s Y s U s y y u y ey

2 1 2 2 1 2 2

3 3 3 3 3 3 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( 6) 2 ,s Y Y y y y y fy

3. Simulacioni dijagram 1 1 1 1

1 1 1 1ˆ ˆ ˆ2 ,y y u y ay

2 2 1 2 2

1 1 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ2 ,y y y y by

3 3 2 3 3

1 1 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ2 ,y y y y cy

2 2 2 2ˆ ˆ ˆ5 ,y y u y dy

1 1 1 1

3 3 3 3ˆ ˆ ˆ2 ,y y u y ey

2 2 1 2 2

3 3 3 3 3ˆ ˆ ˆ ˆ2 ,y y y y fy

1 2 3 1 2

1 1 1 2 3 3y y y y y y y

4. Izbor vektora stanja Za elemente vektora stanja biraju izlazi iz integratora na simulacionom dijagramu

1 1 2

2 2 3

3 3

2

2

2

x x x

x x x

x x u

4 4

5 5 6

6 6

5

6

6

x x u

x x x

x x u

1 2 3 4 5 6y cx bx ax dx fx ex

5. Model u prostoru stanja

1 1 2

2 2 3

3 3

2

2

2

x x x

x x x

x x u

4 4

5 5 6

6 6

5

6

6

x x u

x x x

x x u

1 2 3 4 5 6y cx bx ax dx fx ex

2 1 0 0 0 0 0

0 2 1 0 0 0 0

0 0 2 0 0 0 1( ) ( ) ( )

0 0 0 5 0 0 1

0 0 0 0 6 1 0

0 0 0 0 0 6 1

( ) ( )

x t x t u t

y t c b a d f e x t

Matrice A, B, C i D su blokovske matrice.

Matrica A je blok dijagonalna matrica. Na glavnoj dijagonali svakog dijagonalnog bloka, čije dimenzije odgovaraju višestrukosti polova funkcije prenosa sistema, nalazi se po jedan pol funkcije prenosa. U svakom dijagonalnom bloku, na sporednoj dijagonali iznad glavne dijagonale, nalaze se „1“.

6.4. ODREĐIVANJE FUNKCIJE PRENOSA IZ MODELA PROSTORA STANJA


0( ) ( ) ( ), (0)x t Ax t Bu t x x

Primenom Laplasove transformacije, uz nulte početne uslove ( (0) 0x ), dobija se:

( ) ( ) ( )sX s AX s BU s

1

( ) ( )X s sI A BU s

( ) ( ) ( )Y s CX s DU s

1 1

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

G s

Y s C sI A BU s DU s C sI A B D U s G s U s

Funkcija prenosa sistema

1( )

( )( )

Y sG s C sI A B D

U s

6.5. FUNDAMENTALNA MATRICA SISTEMA

Sistem: 0( ) ( ) ( ), (0)x t Ax t Bu t x x

Rešavanje matrične diferencijalne jednačine po promenljivim stanja:

( ) ( ) ( ) |x t Ax t Bu t L

0( ) ( ) ( )sX s x AX s BU s , 0x - vektor početnih stanja

0( ) ( )sI A X s x BU s

1 1

0( ) ( )X s sI A x sI A BU s

, 1

?sI A

Rezolventna matrica

1( )

det

adj sI As sI A

sI A

Karakteristični polinom sistema je imenilac rezolventne matrice

( ) detf s sI A

Fundamentalna matrica sistema ( )t je inverzna Laplasova transformacija rezolventne

matrice ( )s :

1( ) ( )t s L

111 1 1 1

2 3 2 31 1 1

2 3 4

2 32 2 3 3

0

( ) ( )

1 1 1 1

2! 3! 2! 3!

1

!

n

n

At

At s sI A s I

s

A A A I A A As I

s s s s s s s

I At A t A t I At At At

Atn

e

=

L L L

L L

Fundamentalna matrica sistema

( ) Att e

Napomena:

1 21 1x x x

0 !

n

n

x x

ne

6.6. JEDNAČINA KRETANJA SISTEMA U PROSTORU STANJA


0( ) ( ) ( ), (0)x t Ax t Bu t x x

Primenom Laplasove transformacije na prethodnu jednačinu dobija se:

0

1 1( ) ( )X s x BU ssI A sI A

0(( ) ) ( )) (X s x ss s BU

Primenom inverzne Laplasove transformacije na prethodnu jednačinu dobija se:

1 1 1

0

1 1

0

0

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

t

x t X s s x s BU s

s t tx s BU s x Bu d

L L L

L L

Pošto je ( ) Att e , za jednačinu kretanja u prostoru stanja dobijamo:

0

0

( ) ( )

tA tAtx t e x e Bu d

Kretanje sistema pod dejstvom početnih uslova: 0

Ate x

Kretanje sistema pod dejstvom spoljne pobude:

0

( )

tA t

e Bu d

Izlaz sistema

0

0

0

0

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

tA tAt

tA tAt

y t Cx t Du t

C e x e Bu d Du t

Ce x Ce Bu d Du t

0

0

( ) ( ) ( )

tA tAty t Ce x Ce Bu d Du t

Izlaz sistema pod dejstvom početnih uslova

0

AtCe x

Izlaz sistema pod dejstvom spoljne pobude

0

( ) ( )

tA t

Ce Bu d Du t

Grafički prikaz kretanja sistema u prostoru stanja

Ponašanje sistema možemo prikazati grafički na sledeći način:

- Promenljive stanja 1, , nx x se usvajaju za koordinate u n-dimenzionom prostoru.

- Ovako definisan n-dimenzioni prostor se naziva prostor stanja sistema.

- Za različite vrednosti vremena t , vrednosti 1( ), , ( )nx t x t predstavljaju tačke u

n-dimenzionom prostoru.

- Linija koja spaja tačke u n-dimenzionom prostoru naziva se trajektorija sistema.

Primer: Neka je sistem opisan vektorom stanja koji sadrži 3 komponente

1 2 3

Tx x x x . Promenljive 1 2 3, ,x x x

usvojimo kao koordinate u 3D prostoru.

Za različite vrednosti vremena t , vrednosti

1 2 3( ), ( ), ( )x t x t x t predstavljaju tačke u 3-

dimenzionom prostoru.

Linija koja spaja tačke u 3-dimenzionom prostoru predstavlja se trajektoriju sistema.

6.6. KONTROLABILNOST (UPRAVLJIVOST) STANJA KONTINUALNOG SISTEMA

Definicija. Stanja ( )x t kontinualnog sistema

0( ) ( ) ( ), (0)x t Ax t Bu t x x

su potpuno kontrolabilna (upravljiva) ako je za svako početno stanje (0)x i za bilo

koje željeno krajnje stanje x moguće naći upravljanje ( )u t na nekom konačnom

vremenskom intervalu 0,t tako da svaži uslov ( )x x .

Drugim rečima, stanja sistema su potpuno kontrolabilna ako

(0)x x ( ), 0,u t t , ( )x x

(0)x - početno stane

x - željeno krajnje stanje ( )u t - upravljanje

Koristeći definiciju kontrolabilnosti vrlo je teško proveriti kontrolabilnost stanja sistema.

Kako onda proveriti kontrolabilnost stanja ?

6.6.1. MATRIČNI TEST KONTROLABILNOSTI STANJA SISTEMA

Jedan od efikasnih načina za proveru kontrolabilnosti stanja sistema jeste tzv. matrični test

Definišimo sledeću matricu (koja se naziva matrica kontrolabilnosti)

2 1n

C n nrQ B AB A B A B

Teorema. Matrični test kontrolabilnosti

a) Potreban i dovoljan uslov da stanja kontinualnog linearnog stacionarnog sistema budu potpuno kontrolabilna (upravljiva) je

Crang Q n

b) Ukoliko je

Crang Q n p

postoji p stanja koja nisu kontrolabilna (nisu upravljiva).

Podela stanja sistema prema kontrolabilnosti

Kontrolabilni (upravljivi) deo vektora stanja: (n-p) stanja su kontrolabilna

- Dejstvom upravljačkog vektora moguće je kontrolabilna stanja postaviti na unapred zadate vrednosti.

Nekontrolabilni (neupravljivi) deo vektora stanja: (p) stanja nisu kontrolabilna

- Nekontrolabilna stanja se ne mogu se postaviti na unapred zadate vrednosti.

- Nekontrolabilna stanja su linearna kombinacija preostalih n-p kontrolabilnih stanja i ona se ne mogu nezavisno menjati u odnosu na kontrolabilna stanja.

KONTROLABILNA STANJA (n-p)

NEKONTROLABILNA STANJA (p)

u(t)

6.7. KONTROLABILNOST (UPRAVLJIVOST) IZLAZA SISTEMA

Definicija. Izlazi ( )y t kontinualnog sistema

0

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ), (0)

x t Ax t Bu t

y t Cx t Du t y y

su potpuno kontrolabilni (upravljivi) ako je za svaku početnu vrednost izlaza (0)y i za

bilo koju željenu krajnju vrednost izlaza y moguće naći upravljanje ( )u t u nekom

konačnom vremenskom intervalu 0,t tako da važi uslov ( )y y .

Dakle, izlazi sistema su potpuno kontrolabilni ako važi

(0)y y ( ), 0,u t t , ( )y y

(0)y - početna vrednost izlaza

y - željena krajnja vrednost izlaza

( )u t - upravljanje

Koristeći definiciju kontrolabilnosti vrlo je teško proveriti kontrolabilnost stanja sistema. Kako onda proveriti kontrolabilnost izlaza ?

6.7.1. MATRIČNI TEST KONTROLABILNOSTI IZLAZA SISTEMA

Jedan od efikasnih načina za proveru kontrolabilnosti izlaza sistema jeste matrični test.

Definišimo sledeću matricu

2 1

( 1)

n

m n rCB CAB CA B CA B D

Teorema. Potreban i dovoljan uslov da izlazi sistema budu potpuno kontrolabilni je:

2 1nrang CB CAB CA B CA B D m

gde je m - broj izlaznih promenljivih

6.8. OPSERVABILNOST (osmotrivost) STANJA SISTEMA

Definicija. Stanja kontinualnog linearnog stacionarnog sistema su potpuno opservabilna (osmotriva) ukoliko je na osnovu merenja vektora izlaza ( )y t u nekom

konačnom intervalu vremena 0,t moguće jednoznačno rekonstruisati sva

početna stanja sistema 0(0)x x .

Posledica. Stanja sistema su potpuno opservabilna ako se svaka njihova promena

odražava na svim izlaznim promenljivim.

6.8.1. MATRIČNI TEST POTPUNE OPSERVABILNOSTI

Jedan od efikasnih načina za proveru opservabilnosti sistema jeste tzv. matrični test. Definišimo sledeću matricu (koja se naziva matrica opservabilnosti)

0

1n

mn n

C

CAQ

CA

Teorema.

a) Potreban i dovoljan uslov da stanja kontinualnog linearnog stacionarnog sistema budu potpuno opservabilna jeste:

OrangQ n

b) Ukoliko je

OrangQ n p

tada postoje p stanja koja nisu opservabilna, i koja se, na osnovu izlaznog signala, ne mogu rekonstruisati. Drugim rečima, p neopservabilnih stanja sistema ne utiču na izlaz sistema.

Podela stanja sistema prema opservabilnosti

Opservabilni (osmotrivi) deo vektora stanja: (n-p) stanja su opservabilna

Na osnovu merenja izlaza sistema mogu se rekonstruisati samo opservabilna stanja sistema.

Neopservabilni (neosmotrivi) deo vektora stanja: (p) stanja nisu opservabilna

Na osnovu merenja izlaza sistema ne mogu se rekonstruisati neopservabilna stanja sistema.

OPSERVABILNA STANJA (n-p)

NEOPSERVABILNA STANJA (p)

y(t)

Podela vektora stanja sistema prema kontrolabilnosti i opservabilnosti

y(t)

KONTROLABILNI

OPSERVABILNI

KONTROLABILNI

NEOPSERVABILNI

NEKONTROLABILNI

OPSERVABILNI

NEKONTROLABILNI

NEOPSERVABILNI

u(t)

Na osnovu izlaza sistema mogu se rekonstruisati samo opservabilna stanja sistema Ulazi sistema

deluju samo na kontrolabilna stanja sistema

6.12. ZATVARANJE POVRATNE SPREGE PO STANJIMA I PODEŠAVANJE POLOVA SISTEMA

Posmatramo sistem sa povratnom spregom po stanjima sistema. Strukturni dijagram u prostoru stanja prikazan je na slici.

U povratnoj sprezi po stanjima postavljena je matrica K koju je potrebno odrediti tako da sistem poseduje zadato ponašanje.

Model sistema

( ) ( ) ( )

( ) ( )

x t Ax t Bu t

y t Cx t

Povratna sprega po stanjima

( ) ( ) ( )u t v t Kx t , dim K r n

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u t vx t Ax t B Ku tt t x

Sistem sa povratnom spregom po stanjima:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t Ax t B v t Kx t A BK x t Bv t

Usvojimo matricu A A BK . Tada sistem sa povratnom spregom glasi:

( ) ( ) ( )x t Ax t Bv t

Karakteristični polinom sistema sa povratnom spregom glasi:

( ) det detf s sI A sI A BK

Funkcija prenosa sistema sa povratnom spregom:

1 1

( )G s C sI A B C sI A BK B

Zatvaranjem povratne sprege po stanjima i pogodnim izborom matrice pojačanja K u povratnoj sprezi, polovi sistema u zatvorenoj sprezi mogu se podešavati na zadate vrednosti.

Da li je podešavanje polova moguće postići uvođenjem povratne sprege po stanjima ?

Odgovor: Moguće je pod određenim uslovima.

SLUČAJ 1: sva stanja sistema su kontrolabilna

Primer. Model kontinualnog sistema u prostoru stanja je dat pomoću:

1 1 1

( ) ( ) ( ), ( ) 1 0 ( )2 0 1

x t x t u t y t x t

Cilj: Projektovati sistem sa povratnom spregom tako da on ima faktor relativnog prigušenja 0.5 i neprigušenu prirodnu učestanost 2 /n rad s

Rešenje. Proveravamo kontrolabilnost:

1 0

21 2

rang B AB rang n

(stanja su kontrolabilna)

Karakteristični polinom otvorenog sistema:

0 1 1 1 1

( ) det det det0 2 0 2

( 1) 2 ( 1)( 1)

s sf s sI A

s s

s sss

Pol +1 je nestabilan i pokušaćemo da ga, zatvaranjem povratne sprege po stanju, postavimo u levu poluravan s-ravni. -1 1

Karakteristični polinom zatvorenog sistema

1 2

1 2

1 2

2

1 2 1 2

( ) det

1 1 1det

2 1

1 1det

2

1 3 2

f s sI A BK

sk k

s

s k k

k s k

s k k s k k

Željeni karakteristični polinom zatvorenog sistema

2 2 2 2 2

12ˆ 2 2 0.5 2 2 2 4 1 3n nf s s s s s s s p j

Izjednačavanje polinoma: 2 2

1 2 1 21 3 2 2 4s k k s k k s s

1 2

1 2

1 2

3 2 4

k k

k k

1 2 2.25 1.25K k k

-1

-1 1

SLUČAJ 2: Neka stanja sistema nisu kontrolabilna

Primer 6.7. Posmatrajmo sistem koji se od sistema iz prethodnog primera razlikuje jedinio u matrici B

1 1

( ) ( ) ( ), ( ) 1 0 ( )0

1

12x t x t u t y t x t

Cilj: Projektovati sistem sa povratnom spregom tako da on ima faktor relativnog prigušenja 0.5 i neprigušenu prirodnu učestanost 2 /n rad s :

Rešenje:

Karakterističan polinom otvorenog sistema:

( 1

0 1 1 1 1( ) det det det

0 2 0 2

)( 1) 2 ( 1)s

s sf s sI A

s s

s s s

Polovi otvorenog sistema: 1,2 1p . Pol 1 1p je nestabilan!

-1 1

Provera kontrolabilnosti:

1 2

1 21 2

CrangQ rang B AB rang n

Jedno stanje modela je nekontrolabilno.

Željeni karakteristični polinom zatvorenog sistema:

2 2 2 2 2

12ˆ 2 2 0.5 2 2 2 4 1 3n nf s s s s s s s p j

Karakterističan polinom zatvorenog sistema:

1 2

1 2 2

1

1 2

2 1 2

1 2

1 2

1 1 1( ) det det

2 1

1 1det

( 1) ( 1)( 2) ( ),

1 22

2

sf s sI A BK k k

s

s k ks k k s k k

k s k

k k as ks sk s a

2 1 21( 2)( 1) ( 1 ( ), 2)( )f s k k as ss k k s a

Pol otorenog sistema 1 1p ostaje nepromenjen nakon zatvaranja povratne sprege.

Sistem sa zatvorenom povratnom spregom će takođe biti nestabilan za bilo koji izbor matrice pojačanja K.

Drugi pol otvorenog sistema, 2 1p , moguće je izborom matrice K izmestiti na

željenu lokaciju, ali samo na realnoj osi ( 2p a ):

1 2 1 22 2k k a k k a

Zaključak: Nakon zatvaranja povratne sprege po stanju, nije moguće izmestiti polove

otvorenog sistema 1,2 1p na pozicije 12 1 3p j pošto je jedno stanje

nekontrolabilno.

6.13. ZATVARANJE POVRATNE SPREGE PO IZLAZU

Sistem: ( ) ( ) ( ), ( ) ( )x t Ax t Bu t y t Cx t

Povratna sprega po izlazu: ( ) ( ) ( )u t v t Ky t dim K r m

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

x t Ax t B v t Ky t Ax t Bv t BKCx t

A BKC x t Bv t Ax t Bv t

( ) ( ) ( )x t Ax t Bv t , A A BKC

Karakteristični polinom zatvorenog sistema: ( ) detf s sI A BKC

SLUČAJ 1: (broj ulaza r ) x (broj izlaza m) (broj stanja n) i sva stanja su kontrolabilna

Primer. )1

1

1 1( ) ( ) ( ), ( ) 1 0 (

2 0x t x t u t y t x t

Cilj: Sistem u zatvorenoj sprezi treba da ima faktor relativnog prigušenja 0.5 i neprigušenu prirodnu učestanost 2 /n rad s .

Željeni karakteristični polinom zatvorenog sistema:

2 2 2

12ˆ 2 2 4 1 3n nf s s s s s p j

Karakteristični polinom zatvorenog sistema:

A BKC , dim 2 1, dim 1 2B C dim 1 1 1K r m

21 1

( ) det d2

1 2ets k

f s sI A BKC s ss

kk

k

Određivanje matrice K : 2 2 2 41 2s s k sk s

Kada su sva stanja kontrolabilna, od n polova sistema možemo da podesimo onoliko koliko imamo slobodnih koeficijenata u matrici K, tj. ( )r m polova.

Možemo podesiti samo jedan koeficijent, drugi je linearno zavistan.

broj ulaza 1r

broj izlaza 1m

broj stanja 2n

SLUČAJ 2: r m n i sva stanja su kontrolabilna

Primer: 1 0

1 1

1 1( ) ( ) ( ), ( ) 1 0 ( )

2 0x t x t u t y t x t

Cilj: Sistem u zatvorenoj sprezi treba da ima faktor relativnog prigušenja 0.5 i neprigušenu prirodnu učestanost 2 /n rad s .

Željeni karakteristični polinom:

2 2 2

12ˆ 2 2 4 1 3n nf s s s s s p j


A BKC , dim 2 2, dim 1 2B C 1dim 2K r m , 1

2

Kk

k

1 21

2( ) det 1 2kf s sI A BKC s s kk

Određivanje matrice K :

2 2

1 1 21 2 2 4s k s k k s s 1 21, 5k k

Kada su sva stanja kontrolabilna, možemo podesiti min ,r m n polova sistema u

zatvorenoj sprezi.

broj ulaza 2r

broj izlaza 1m

broj stanja 2n

SLUČAJ 3: r m n i p stanja nije kontrolabilno

Sistem: 1 1

( ) ( ) ( ), ( ) 1 0 ( )0

1

12x t x t u t y t x t

Polovi otvorenog sistema:

1 2( ) det ( 1)( 1) 0 1, 1f s sI A s ps p

Provera kontrolabilnosti:

1 2

1 21 2

CrangQ rang B AB rang p n


21 1

( ) det d

1

et 1 22

2

s kf s sI A BKC s k s k

k

s

s

s k

Pomoću k može se pomerati samo jedan pol dok je drugi pol, 2 1p nepokretan.

Zatvaranjem povratne sprege po izlazu, može se podesiti položaj min , -r m n p

polova sistema u zatvorenoj sprezi.

broj ulaza 1r

broj izlaza 1m

broj stanja 2n

1p stanje nije

kontrolabilno.

dim 1K

K k

6.14. UTICAJ POVRATNIH SPREGA PO STANJU I IZLAZU NA OSOBINE SISTEMA

Da li se osobina kontrolabilnosti odnosno opservabilnosti može promeniti zatvaranjem povratne sprege po

po stanju? po izlazu? kontrolabilnost NE NE opservabilnost DA NE

Ako je neko stanje upravljivo onda njegova upravljivost ne zavisi od načina na koji se kreira upravljački signal.

Ako se upravljački signal kreira zatvaranjem povratne sprege po stanju ili izlazu, onda se kontrolabilnost stanja neće promeniti.

Da li se mogu proizvoljno podešavati pozicije svih polova sistema ( )n zatvaranjem povratne sprege po

po stanju? po izlazu?

sva stanja ( )n su

kontrolabilna

DA svih n polova se može

proizvoljno podesiti

NE samo min ,r m n polova se

može proizvoljno podesiti

p stanja nije

kontrolabilno

NE samo n p polova se

može proizvoljno podesiti

NE samo min , -r m n p polova

se može proizvoljno podesiti

Povratna sprega po stanju predstavlja upravljanje sa potpunom informacijom.

Povratna sprega po izlazu predstavlja upravljanje sa nepotpunom informacijom.

Documents

6. ANALIZA SISTEMA U PROSTORU STANJA