Analiticka geometrija u ravni

(Tacka i prava, Krive drugog reda

Amar Bapic

Bos. Krupa, 2012.

Sadrzaj

Uvod 3

1 Tacka i prava 41.2. Translacija i rotacija koordinatnog sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1. Translacija koordinatnog sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.2. Rotacija koordinatnog sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. Udaljenost izmedu tacaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4. Podjela duzi u zadanom omjeru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5. Povrsina trougla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.6. Jednacina prave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6.1. Eksplicitni oblik jednacine prave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6.2. Implicitni oblik jednacine prave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6.3. Segmentni oblik jednacine prave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6.4. Normalni (Hesseov) oblik jednacine prave . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.7. Ugao izmedu dvije prave, Uvjet okomitosti i paralelnosti . . . . . . . . . . . 131.8. Medusobni polozaj dvije prave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.9. Jednacina prave kroz jednu zadanu tacku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.10. Pramen pravih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.11. Jednacina prave kroz dvije zadane tacke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.12. Rastojanje date tacke od prave, Jednacina simetrale ugla . . . . . . . . . . . 15

2. Konusni presjeci - Krive drugog reda 162.1. Jedacina kruznice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.1. Medusobni polozaj prave i kruznice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2. Jedacina elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.1. Medusobni polozaj prave i elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3. Jedacina hiperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.1. Medusobni polozaj prave i hiperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4. Jedacina parabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4.1. Medusobni polozaj prave i parabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.5. Ugao presjeka izmedu dvije krive drugog reda . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.6. Zajednicka tangenta dvije krive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2

Uvod

Kao sto smo bezbroj puta dosad vidjeli, brojevi imaju vrlo vaznu ulogu u geometriji. Uznjihovu pomoc mi ocjenjujemo i razmjere predmeta. Tako se duzine, povrsine, zapremine,poslije izbora jedinice mjere, izrazavaju brojevima. Logicno pitanje je, da li se uz pomocbrojeva moze opisati oblik predmeta, odnosno oblik raznih geometrijskih figura? Znamo,npr., da uglovi trougla odrediuju njegov oblik (”dva trougla sa jednakim unutrasnjim uglo-vima slicni su”, tj,: imaju isti oblik). Ali, da li se oblik svake geometrijske figure moe opisatipomocu brojeva? Pozitivan odgovor daje metod koordinata, metod kojeg su u matema-tiku uveli (istovremeno i nezavisno jedan od drugog), u prvoj polovini XVII vijeka, poznatifrancuski naucnici Pierre de Fermat (1601.-1665.) i Rene Dekart (1596.-1650.). To jetzv.analiticki nacin izucavanja geometrijskih figura, tj. uz pomoc brojeva, koji su nazvanikoordinatne tacke. Grana geometrije koja izucava geometrijske likove i figure na ovaj nacinzove se ANALITICKA GEOMETRIJA. Njene osnovne principe je formulisao Dekart.

Pocev od XVIII vijeka analiticka geometrija se znatno razvila i s obzirom na mjesto tre-tiranja geometrijkog lika, odnosno figure, obraduju se :1) Analiticka geometrija u ravni2) Analiticka geometrija u prostoru

3

1. Tacka i prava

1.1. Koordinatni sistemi

Koordinatni sistem koji se sastoji od 2 proizvoljne medusobno okomite orijentirane pravena kojima su izabrane, proizvoljno, jedinice za mjerenje duzine naziva se PRAVOUGLI(DEKARTOV ILI KARTEZIJEV) KOORDINATNI SISTEM U RAVNI.

−2 −1 1 2 3 4 5 6 7

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

0

Prave se nazivaju koordinatnim osama.x - osa apscisay - osa ordinataTacka u kojoj se sijeku ose oznacava se sa O i naziva se koordinatni pocetak ili ishodistekoordinatnog sistema. Pored pravouglog imamo jos i : kosougli, polarni, trokutasti, itd.

4

1.2. Translacija i rotacija koordinatnog sistema

1.2.1. Translacija koordinatnog sistema

Translacija koordinatnog sistema je ”pomjeranje” koordinatnog sistema za neki vektor ~v.xOy O(0, 0) M(x, y)x′O′y′ O′(a, b) M(x′, y′)x = a+ x′ → x’=x-ay = b+ y′ → y’=y-b

1.2.2. Rotacija koordinatnog sistema

Pravougli koordinatni sistem rotiramo oko tacke O za unaprijed zadani ugao α u pozitivnomsmjeru.xOy O(0, 0) M(x, y)x′O′y′ O′(a, b) M(x′, y′)x = x′cosα− y′sinα→ x′ = xcosα + ysinαy = x′sinα + y′cosα→ y′ = −xsinα + ycosα

5

1.3. Udaljenost izmedu tacaka

Neka su zadane tacke sa koordinatama A(x1, y1) i B(x2, y2), gdje je d = |AB|.

Pitagorina teoremad = |AB| → hipotenuza

|AC| = x2 − x1 i |BC| = y2 − y1 → katete

=> |AB|2 = |AC|2 + |BC|2

d2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

d =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

1.4.Podjela duzi u zadanom omjeru

Neka je u pravouglom koordinatnom sistemu xOy data duz AB, cije su krajnje tackeA(x1, y1)i B(x2, y2). Ako je M(x,y) proizvoljna tacka koja pripada toj duzi, onda ona dijeli tu duz nadva dijela :AM i BM , koji stoje u nekom omjeru λ. To znaci da postoji realan broj λ, takavda je:

|AM | : |BM | = λ→ λ = −mn

U ovom slucaju radi se o tzv. unutrasnjoj podjeli duzi AB, danom tackom M, u omjeru λ.

6

Ukoliko tacka ne pripada duzi AB, vec jednoj od polupravih AB ili BA, onda se opet mozenaci takav realan broj λ, da je: λ = m

n. Onda se radi o vanjskoj podjeli duzi u zadanom

omjeru.

Treba razlikovati : 1) vanjsku podjelu ( λ > 0) 2) unutrasnju podjelu ( λ < 0) Koordinatedjelicne take M(x,y) racunamo po formulama:

x =x1 − λx2

1− λ

y =y1 − λy2

1− λ

1.5.Povrsina trougla

Neka je u ravni pravouglog koordinatnog sistema xOy zadan proizvoljan trougao ABC sasvojim vrhovima : A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) kao na slici.

Da bi smo povrsinu P trougla ABC izrazili kao funkciju koordinata njegovih vrhova, po-smatrajmo pravougle trapeze : A’C’CA, C’B’BC, A’B’BA, te njihove povrsine P1, P2, P3

napisane respektivno. Sa slike zakljucujemo da e povrsina trougla P jednaka zbiru povrsinatrapeza P1 i P2 umanjenom za povrsinu P3, tj:

P = P1 + P2 − P3

7

Prema datoj slici lahko nalazimo:P1 = (y1+y2)(x3−x1)

2za trapez A’C’CA

P2 = (y2+y3)(x2−x3)2

za trapez C’B’BC

P3 = (y1+y3)(x2−x1)2

za trapez A’B’BA

=> P = (y1+y2)(x3−x1)2

+ (y2+y3)(x2−x3)2

− (y1+y3)(x2−x1)2

Nakon sredivanja dobijemo:P = 1

2· [x1(y2 − y3) + x2(y3 − y1) + x3(y1 − y2)]

Posto P mora biti pozitivno:

P =1

2· |x1(y2 − y3) + x2(y3 − y1) + x3(y1 − y2)|

1.6.Jednacina prave

Geometrijsko mjesto tacaka u ravni je takva geometrijska figura sastavljena od svihtacaka ravni koje imaju jednu zajednicku osobinu, a istovremeno ne sadrzi niti jednu tackukoje nema tu osobinu.

Jednacina neke linije( prave ili krive ) je odredeni zakon preko kojeg se zajednicka oso-bina tacaka linije izrazava analiticki, tj.formulom. Pri izvodenju jednacina prave u ravnitreba voditi racuna i o elementima pomocu kojih je odreden polozaj te prave u pravouglomkoordinatnom sistemu. Taj se polozaj moze utvrditi na razne nacine , tj. pomocu raz-nih elemenata od cega zavisi i oblik odgovarajuce linearne jednacine koja predstavljajednacinu prave.

8

1.6.1. Eksplicitni oblik jednacine prave

U ovom slucaju uzimamo kao elemente pomocu kojih je odreden polozaj prave u pravouglomkoordinatnom sistemu njen odsjecak na y-osi i ugao koji prava zatvara sa pozitivnim smjeromose x.

tanα = |MN ||PN |

|MN | = y − n|PN | = xn - odsjecak na y-osi.α - ugao koji prava zatvara sa pozitivnim smjerom ose x.

tanα = y−nx

x tanα = y − ny = x tanα + ny = tanαx+ n

tanα = ky = kx+ n

9

Specijalni slucajevi:1.Ako je n = 0, k 6= 0→ y = kx2.Ako je n 6= 0, k = 0→ y = n3. Ako je n = 0, k = 0→ y = 0(jednacina ose x)4. Ako je prava paralelna osom y onda je njena jednacina x = a, specijalno x = 0(jednacinaose y)

10

1.6.2. Implicitni oblik jednacine prave

Implicitni(opci, skriveni, nerjeseni) oblik jednacine prave glasi:

Ax+By + C = 0A,B,C ∈ R; A,B 6=0 (bar jedan)

Prelazak sa implicitnog na eksplicitni oblik jednacine praveAx+By + C = 0By = −Ax− C / : By = −A

Bx− C

B

y = kx+ n

Specijalni slucajevi:1) C = 0Ax+By + C = 0→ By = −Ax→ y = −A

Bx (prava prolazi kroz koordinatni pocetak)

2) A = 0By + C = 0→ y = −C

Bx (prava je paralelna sa osom x)

3) B = 0Ax+ C = 0→ x = −C

Ax (prava je paralelna sa osom y)

4) A = 0, C = 0By = 0→ y = 0 (jednacina ose x)

5) B = 0, C = 0Ax = 0→ x = 0 (jednacina ose y)

1.6.3. Segmentni oblik jednacine prave

Ax+By + C = 0Ax+By = −C / : (−C)−ACx− B

Cy = 1

x−C

A

+ y

−CB

= 1

m = −CA

, n = −CB

(m,n - segmenti na koordinatnim osama)

xm

+ yn

= 1 - Segmentni oblik jednacine prave

11

1.6.4. Normalni (Hesseov) oblik jednacine prave

Neka je zadana proizvoljna tacka M(x,y) na pravoj (p1), a E je njena presjecna tacka sanormalom (p2).Neka je ω ugao sto ga normala (p2) zatvara sa pozitivnim smjerom ose x, a p udaljenostprave (p1) od koordinatnog pocetka.

Imamo:|OF |+ |FE| = p

4OM1M → cosω = |OF |x→ |OF | = xcosω

4GM1M → sinω = |GM1|y

= |FE|y→ |FE| = ysinω

→ xcosω + ysinω = p -Normalni(Hesseov) oblik jednacine prave

12

1.7.Ugao izmedu dvije prave, Uvjet okomitosti i paralel-

nosti

Dvije prave koje se sijeku odreduju dva suplementarna neorjentirana ugla, ako prave nisuokomite mjera jednog od uglova manja je od 90 ◦, a drugog je veca od 90 ◦. Ugao izmedupravih definisemo kao manji od dva ugla i uvjek je 0 ≤ ϕ ≤ 90 ◦.Neka su zadane dvije prave jednacinama u eksplicitnom obliku:(p1) . . . y = k1x+ n1

(p2) . . . y = k2x+ n2

α1-ugao sto ga prava (p1) zatvara sa pozitivnim smjerom ose x.α2-ugao sto ga prava (p2) zatvara sa pozitivnim smjerom ose x.ϕ - ostri ugao izmedu (p1) i (p2)4NMPα2 je vanjski ugaoImamo: α2 = α1 + ϕ→ ϕ = α2 − α1

tgϕ = tg(α2 − α1) = tgα2−tgα1

1+tgα2·tgα1(1 + tgα2 · tgα1 6= 0)

tgα1 = k1tgα2 = k2

tgϕ = k2−k11+k2k1

, 1 + k2k1 6= 0

Specijalno za 0 ≤ ϕ ≤ 90 ◦:

1)ϕ = 0 ◦

tg0 ◦ = k2−k11+k2k1

0 = k2−k11+k2k1

k2 − k1 = 0k2 = k1 - UVJET PARALELNOSTI 2 PRAVE

2)ϕ = 90 ◦

tg0 ◦ = k2−k11+k2k1

+∞ = k2−k11+k2k1

1 + k2k1 = 0k1k2 = −1 - UVJET OKOMITOSTI 2 PRAVE

13

1.8. Medusobni polozaj dvije prave

Neka su zadane jednacinama u implicitnom obliku prave:(l1) . . . A1x+B1y + C1 = 0(l2) . . . A2x+B2y + C2 = 0Promotrimo medusobni polozaj(odnos) te dvije prave. Imamo 3 karakteristicna slucaja:

1) Dvije prave u ravni imaju jednu i samo jednu zajednicku tacku, pa kazemo da sesijeku u toj tacki.UVJET : A1

A26= B1

B2

2) Dvije prave u ravni nemaju niti jednu zajednicku tacku pa kazemo da su paralelne.UVJET: A1

A2= B1

B26= C1

C2

3) Dvije prave u ravni imaju sve tacke zajednicke pa kazemo da se poklapaju, tj. da pred-stavljaju istu pravu.UVJET: A1

A2= B1

B2= C1

C2

1.9. Jednacina prave kroz jednu zadanu tacku

y = kx+ n4M1NM → pravougli

tgα = |MN ||M1N |

|MN | = y − y1|M1N | = x− x1M(x, y) - proizvoljna tacka,α - ugao sto ga prava zatvara sa pozitivnim smjerom ose xImamo:y = kx+ ntgα = y−y1

x−x1 / · x− x1(x− x1) · tgα = y − y1y − y1 = (x− x1) · tgαy − y1 = k · (x− x1)- Jednacina prave kroz jednu zadanu tacku

14

1.10. Pramen pravih

Neka su zadane dvije prave u implicitnom obliku:A1x+B1y + C1 = 0 . . . (p1)A2x+B2y + C2 = 0 . . . (p2)Jednacina pramena pravih je:

A1x+B1y + C1 + λ(A2x+B2y + C2) = 0

1.11. Jednacina prave kroz dvije zadane tacke

Analognim radom kao i kod jednacine prave kroz jednu zadanu tacku, mozemo napisatiformulu za racunanje jednacine prave kroz dvije zadane tacke, a ona glasi:

(y − y1) =y2 − y1x2 − x1

(x− x1)

1.12. Rastojanje date tacke od prave, Jednacina sime-

trale ugla

Neka su zadane prava (p) . . . Ax+By+C=0 i tacka M(x1, y1). Rastojanje prave od date tackeracuna se po formuli:

d(M, p) = |Ax1 +By1 + C

±√A2 −B2

|

Neka su zadane dvije prave u implicitnom obliku:(p1) . . . A1x+B1y + C1 = 0(p2) . . . A2x+B2y + C2 = 0Jednacinu simetrale ugla koju grade date prave racunamo po formuli:

|A1x+B1y + C1

±√A2

1 −B21

| = |A2x+B2y + C2

±√A2

2 −B22

|

15

2. Konusni presjeci - Krive drugogreda

U daljnem radu upoznat cemo cetri osnovne krive linije drugog reda, poznate pod zajednickimnazivom KONUSNI PRESJECI ili KONIKE. One predstavljaju presjek ravni i dvostrukog,uspravog konusa (stosca, kupe) odnosno dvostruke uspravne konusne povrsi. Na slici istak-nuta su cetiri karakterisitcna polozaja ravni koje sijeku dvostruku konusnu povrs.Cetiri osnovne konike su:a) PARABOLAb) ELIPSAc) KRUZNICAd) HIPERBOLA

16

2.1. Jednacina kruznice

Kruznica je skup svih tacaka ravni jednako udaljenih od jedne cvrste tacke (centra kruznice).Neka je S(p,q) srediste kruznice i neka je r poluprecnik, T(x,y) je neka proizvoljna tacka nakruznici.

|ST | = r

|ST | =√

(x− p)2 + (y − q)2

→√

(x− p)2 + (y − q)2 = r /2

(x− p)2 + (y − q)2 = r2- Opca jednacina kruznice sa centrom S(p,q) i poluprecnikom r

Ukoliko zadana kruznica ima srediste u koordinatnom pocetku, tj. S(0,0) onda njena jednacinaglasi:x2 + y2 = r2 - Centralna jednacina kruznice

Podrucje ravni odredeno kruznicom naziva se krug, neka je d udaljenost bilo koje tackeT od sredista kruznice . Tada imamo 3 mogucnosti:1) d < r tacka lezi u krugu2) d = r tacka lezi na kruznici3) d > r tacka lezi izvan krugaKrug sa sredistem S(p,q) je skup svih tacaka (x,y) ravni za koje vrijedi:(x− p)2 + (y − q)2 ≤ r2 - Jednacina zatvorenog kruga

(x− p)2 + (y − q)2 < r2 - Jednacina otvorenog kruga

Imamo i jednacinu kruznice u razvijenom obliku: Ax2 + Ay2 + Dx + Ey + F = 0. Odavdemozemo izracunati p,q i r:p = − D

2A

q = − E2A

r2 = D2+E2−4AF4A2

17

2.1.1. Medusobni polozaj prave i kruznice

Prava i kruznica mogu biti u tri razlicita polozaja:1) Prava sijece kruznicu u dvije tacke2) Prava dira kruznicu3) Prava i kruznica nemaju zajednickih tacaka

Neka su zadane prava i kruznica svojim jednacinama:(p) . . . y = kx+ n(k) . . . (x− p)2 + (y − q)2 = r2

Rjesavanjem ovog sistema dobit cemo kvadratnu jednacinum, a njena diskriminanta D jejednaka:

D = 4[r2(k2 + 1)− (kp− q + n)2]

Medusobni polozaj prave i kruznice analiticki odredujemo na slijedeci nacin:

1) Prava sijece kruznicu u dvije tacke (sekanta) cije koordinate odredujemo rjesavanjemsistema jednacina koje se sastoje od jednacine prave i jednacine kruznice.UVJET: r2(k2 + 1) > (kp− q + n)2

D > 0 - rjesenja su realna i razlicita

2) Prava dira kruznicu (tangenta)UVJET: r2(k2 + 1) = (kp− q + n)2

D = 0 - rjesenja su realna i jednostrukaJednacina tangente : (x1 − p)(x − p) + (y1 − q)(y − q) = r2 , gdje su (x1, y1) koordinatedodirne tacke

3) Prava i kruznica se ne sijeku, tj. nema zajednickih tacaka.UVJET: r2(k2 + 1) < (kp− q + n)2

D < 0 - rjesenja su konjugirano kompleksna

18

2.2. Jednacina elipse

Za proizvoljne tacke F1 i F2 ravni oznacimo njihovu udaljenost sa 2e = F1F2. Neka je Tproizvoljna tacka ravni i neka je r1 = |F1T | i r2 = |F2T |, i neka je a ∈ R, a > 0 i a > e.Elipsa je skup svih tacaka ravni za koje vrijedi : r1 + r2 = 2a.

F1 i F2 su zize, zarista ili fokusi elipse. Njihove koordinate su F1(−e, 0) i F2(e, 0), gdje jee > 0.~F1T i ~F2T su radijus vektori elipse.r1 i r2 su duzine radijus vektora.O - centar elipse (poloviste F1F2).Tacke A, B, C i D su vrhovi ili tjemena elipse, njihove koordinate su: A(-a,0), B(a,0), C(0,-b),D(0,b).AB je velika, fokalna ili glavna os elipse.OA i OB se nazivaju velika poluos elipse.2a - je duzina velike osi elipsea - je duzina velike poluosi elipseCD je mala os elipse, naziva se jos i sporedna os elipse.OC i OD su male poluosi elipse ili sporedne poluosi.2b - je duzina male osi elipse.b - je duzina male poluosi elipse.e - je polovina F1F2, a zove se linearni ekscentricitet.(EF) i (GH) su ravnalice ili direktrise elipse.Duzina tetive elipse koja prolazi fokusom zove se parametar elipse i duzina joj je 2p (duzinaPP1). Duzinu polutetive PF2 = P1F2 = p zovemo poluparametrom elipse i vrijedi: p = b2

a.

Kolicnik ea

dviju duzina (linearnog ekscenticiteta i velike poluosi elipse) je ”obican” broj koji

se zove NUMERICKI EKSCENTRICITET elipse i oznacavamo ga sa ε, tj: ε = ea< 1.

Jednacina elipse sa centrom u koordinatnom pocetku i osama koje leze na koor-dinatnim osama glasi:

b2x2 + a2y2 = a2b2 (osna jednacina)ili

x2

a2+ y2

b2= 1 (Kanonski oblik jednacine elipse)

Kod elipse vrijedi : e2 = a2 − b2

19

2.2.1. Medusobni polozaj prave i elipse

Prava i elipse mogu biti u tri razlicita polozaja:1) Prava sijece elipsu u dvije tacke2) Prava dira elipsu3) Prava i elipsa nemaju zajednickih tacaka

Neka su zadane prava i elipsa svojim jednacinama:(p) . . . y = kx+ n(e) . . . b2x2 + a2y2 = a2b2

Rjesavanjem ovog sistema dobit cemo kvadratnu jednacinum, a njena diskriminanta D jejednaka:

D = a2k2 + b2 − n2

Medusobni polozaj prave i elipse analiticki odredujemo na slijedeci nacin:

1) Prava sijece elipsu u dvije tacke (sekanta) cije koordinate odredujemo rjesavanjem sis-tema jednacina koje se sastoje od jednacine prave i jednacine elipse.UVJET: a2k2 + b2 > n2

D > 0- rjesenja su realna i razlicita

2) Prava dira elipsu (tangenta)UVJET: a2k2 + b2 = n2

D = 0 - rjesenja su realna i jednostrukaJednacina tangente : b2x1x+ a2y1y = a2b2 , gdje su (x1, y1) koordinate dodirne tacke

3) Prava i elipsa se ne sijeku, tj. nema zajednickih tacaka.UVJET: a2k2 + b2 < n2

D < 0 - rjesenja su konjugirano kompleksna

20

2.3. Jednacina hiperbole

Za proizvoljnu tacku F1 i F2 ravni oznacimo njihovu udaljenost sa 2e, gdje je 2e = |F1F2|.Neka je T proizvoljna tacka ravni i neka je r1 = |F1T | i r2 = |F2T |, i neka je a neki realni ipozitivan broj , te je a < e.Hiperbola je skup svih tacaka u ravni za koje vrijedi: |r1 − r2| = 2a.

F1 i F2 su zize, zarista ili fokusi hiperbole. Njihove koordinate su F1(−e, 0) i F2(e, 0), gdje jee > 0.~F1T i ~F2T su radijus vektori hiperbole.r1 i r2 su duzine radijus vektora.O - centar hiperbole (poloviste F1F2).Tacke A i B su vrhovi ili tjemena hiperbole, njihove koordinate su: A(-a,0), B(a,0).AB je glavna ili realna os hiperbole.OA i OB se nazivaju realnim poluosima hiperbole.2a - je duzina glavne osi hiperbole.a - je duzina glavne poluosi hiperbole.CD je imaginarna ili nepresjecna os hiperbole.OC i OD su imaginarne poluosi hiperbole.2b - je duzina imaginarne osi hiperbole.b - je duzina imaginarne poluosi hiperbole.e - je polovina F1F2, a zove se linearni ekscentricitet.Duzina tetive hiperbole koja prolazi fokusom okomito na realnu os hiperbole zove se para-metar hiperbole i duzina joj je 2p (duzina PP1), a polovinu te duzine zovemo polupara-metrom p hiperbole.Kolicnik e

adviju duzina (linearnog ekscenticiteta i realne poluosi hiperbole) je ”obican” broj

koji se zove NUMERICKI EKSCENTRICITET hiperbole i oznacavamo ga sa ε, tj: ε = ea> 1.

Hiperbola kojoj srediste lezi u koordinatnom pocetku, a realna os na osi apscisa,odnosno osi x ima jednacinu:

b2x2 − a2y2 = a2b2 (osna jednacina)ili

x2

a2− y2

b2= 1 (Kanonski oblik jednacine hiperbole)

Kod hiperbole vrijedi : e2 = a2 + b2

21

2.2.1. Medusobni polozaj prave i hiperbole

Prava i hiperbola mogu biti u tri razlicita polozaja:1) Prava sijece hiperbolu u dvije tacke2) Prava dira hiperbolu3) Prava i hiperbola nemaju zajednickih tacaka

Neka su zadane prava i hiperbola svojim jednacinama:(p) . . . y = kx+ n(h) . . . b2x2 − a2y2 = a2b2

Rjesavanjem ovog sistema dobit cemo kvadratnu jednacinum, a njena diskriminanta D jejednaka:

D = −(a2k2 − b2 − n2)

Medusobni polozaj prave i hiperbole analiticki odredujemo na slijedeci nacin:

1) Prava sijece hiperbolu u dvije tacke (sekanta) cije koordinate odredujemo rjesavanjemsistema jednacina koje se sastoje od jednacine prave i jednacine hiperbole.UVJET: a2k2 − b2 < n2

D > 0- rjesenja su realna i razlicita

2) Prava dira hiperbolu (tangenta)UVJET: a2k2 − b2 = n2

D = 0 - rjesenja su realna i jednostrukaJednacina tangente : b2x1x− a2y1y = a2b2 , gdje su (x1, y1) koordinate dodirne tacke

3) Prava i hiperbola se ne sijeku, tj. nema zajednickih tacaka.UVJET: a2k2 − b2 > n2

D < 0 - rjesenja su konjugirano kompleksna

22

2.4. Jednacina parabole

Parabola je skup svih tacaka ravni koje su jednako udaljene od jedne cvrste prave d i jednecvrste tacke F u toj ravni koja ne lezi na toj pravoj.

F (p2, 0) - ziza ili zariste parabole.

d - direktrisa ili ravnalica parabole,

Udaljenost zarista od ravnalice ili direktrise nazivamo poluparametar parabole, p.~TF - radijus vektor paraboler - duzina praboleO - vrh parabolex = −p

2- ravnalica

Postavili smo koordinatni sistem tako da se tjeme ili vrh podudara sa koordinatnim pocetkom,os sa osi apscisa, a zariste lezi na pozitivnoj strani ose apscisa, takvu parabolu cemo nazvativrsna parabola.Vrh O polovi udaljenost od zarista do ravnalice, ta udaljenost jednaka je poluparametrup parabole.Parabola kojoj tjeme lezi u O, a zariste na pozitivnom dijelu ose x ima jednacinu:

y2 = 2px

23

2.4.1. Medusobni polozaj prave i parabole

Prava i parabola mogu biti u tri razlicita polozaja:1) Prava sijece parabolu u dvije tacke2) Prava dira parabolu3) Prava i parabola nemaju zajednickih tacaka

Neka su zadane prava i parabola svojim jednacinama:(l) . . . y = kx+ n(p) . . . y2 = 2pxRjesavanjem ovog sistema dobit cemo kvadratnu jednacinum, a njena diskriminanta D jejednaka:

D = 4p(p− 2kn)

Medusobni polozaj prave i parabole analiticki odredujemo na slijedeci nacin:

1) Prava sijece parabolu u dvije tacke (sekanta) cije koordinate odredujemo rjesavanjemsistema jednacina koje se sastoje od jednacine prave i jednacine parabole.UVJET: p > 2knD > 0- rjesenja su realna i razlicita

2) Prava dira parabolu (tangenta)UVJET: p = 2knD = 0 - rjesenja su realna i jednostrukaJednacina tangente : y1y = p(x+ x1) , gdje su (x1, y1) koordinate dodirne tacke

3) Prava i parabola se ne sijeku, tj. nema zajednickih tacaka.UVJET: p < 2knD < 0 - rjesenja su konjugirano kompleksna

24

2.5. Ugao presjeka izmedu dvije krive drugog reda

Imamo dva slucaja:1) Ugao pod kojim se sijeku dana prava i dana kriva drugog reda definira se kao ugaoizmedu te prave i tangente dane krive povucene u presjecnoj tacki s danom pravom.

Postupak odredivanja ugla je slijedeci:a) ODREDITI TACKE PRESJEKA DANE PRAVE I DANE KRIVE DRUGOG REDAb) U ODABRANOJ PRESJECNOJ TACKI KAO TACKI DODIRA ODREDITI JEDNACINUTANGENTE DANE KRIVEc) IZRACUNATI UGAO IZMEDU DANE PRAVE I DOBIVENE TANGENTE

2) Ugao pod kojim se sijeku dvije krive drugog reda definira se kao ugao izmedutangenti povucenih na dane krive u istoj presjecnoj tacki.

Postupak odredivanja ugla je slijedeci:a) ODREDITI TACKE PRESJEKA DANIH KONIKAb) U ODABRANOJ PRESJECNOJ TACKI KAO TACKI DODIRA ODREDITI JEDNACINETANGENTI DANIH KONIKAc) IZRACUNATI UGAO IZMEDU TAKO DOBIVENIH TANGENTI

2.6. Zajednicka tangenta dvije krive

Prava linija koja istovremeno dodiruje dvije krive drugog reda zove se ZAJEDNICKOMTANGENTOM tih krivih.Obicno se za jednacinu zajednicke tangente dviju krivih uzima njen eksplicitni oblik y =kx + n. Ukoliko se uzme ovaj oblik jednacine zajednicke tangente, onda ostaje jos da seprovjeri da li posmatrane krive imaju zajednicku tangentu cija je jednacina oblika x = a.Prema tome, problem odredivanja jednacine zajednicke tangente (nije paralelna y-osom)svodi se na problem odredivanja parametara k i n. S obzirom da prava data sa y = kx+ n,istovremeno dodiruje obje krive drugog reda, to ona istovremeno zadovoljava uvjet dodira sajednom i uvjet dodira sa drugom krivom.Kako uvjet dodira prave y = kx + n, sa bilo kojom od navedenih krivih drugog reda pred-stavlja vezu u kojoj su prisutni parametri k i n, onda je jasno da neophodne dvije jednacineza njihovo odredivanje predstavljaju upravo dva uvjeta dodira koje prava y = kx + n zado-voljavaju i sa jednom i sa drugom krivom.

Postupak odredivanja jednacine zajednicke tangente je slijedeci:a) POSTAVITI UVJET DODIRA PRAVE y = kx+ n I SA JEDNOM I SA DRUGOM KO-NIKOM, UVRSTAVAJUCI PRITOM SVE POZNATE ELEMENTE. TAKO SE DOBIJASISTEM OD DVIJE JEDNACINE SA DVIJE NEPOZNATE PO k I n.b) RIJESITI DOBIJENI SISTEM JEDNACINA PO k I n, TE JEDNACINU ZAJEDNICKETANGENTE NAPISATI U EKSPLICITNOM OBLIKU y = kx+ n.

25