Analītiskā ģeometrijaDatorikas nodaļas 2. kurss

1998. gada rudenī

1. daļa. Telpas.

Vektoru un punktu telpas: Priekšvārds

Ģeometriskas figūras sastāv no punktiem. Punkti parastidzīvo 2D vai 3D telpās.Elementārajā ģeometrijā vārdi ir tikai dažiem punktiem, piemēram, trijstūra ABC virsotnēm, bet analītiskajā ģeometrijā katram punktam dod savu vārdu.Tā kā punktu ir ļoti daudz, arī vārdu vajag ļoti daudz.

Katra punkta vārds ir divi vai trīs reāli skaitļi jeb koordinātes. Par punktu vārdiem var lietot arī vektorus, kuros koordinātes apvieno skaitļu masīvā. Vektori palīdz noslēpt punktu koordinātes tāpat kā to dara objektorientētajā programmēšanā. Vektori dzīvo līdzās punktiem nedaudz savādākās telpās.Pirmā bilžu daļa veltīta šīm telpām.

Ģeometrijā par vektoriem parastisauc orientētus nogriežņus, pie kam

BAAB raksta ja nogriežņi ir vienāda garuma, paralēli unvienādi vērsti.

Pie šīs intuīcijas vektorus saskaita, lietojot t.s. “trijstūra” vai “paralelograma” likumu: OCACOAOBOA

A

A

B

B

B

A

C

O a

b ba b

Vektori: Ievads

AB BA BA BA

Ko nozīmē “vienādi vērsti” nogriežņi?

Iespējama atbilde: Vektori un ir vienādi, ja viduspunkts sakrīt ar viduspunktu.

Tagad jāpierāda, ka vektoru vienādība ir ekvivalences attiecība:

BAABBABABAAB

ABBABAAB

ABAB

)(:3

:2

:1

Īpašību pierādīt nav īpaši vienkārši. Definējot vektorus kāorientētus nogriežņus rodas arī citas tehniskas grūtības. Tādēļrīkosimies pretēji - definēsim vektorus vispirms un punktus pēc tam.

3

Kā formalizēt vektoru intuīciju

)]())[(,,(:1 cbacbacba L])[,(:2 abbaba L

])[)((:3 aa0a0 LL])()[)()((:4 0aaaa LL

]))[()(,(:5 aaaaR lklkLlk

])()[,)((:7 bababaR kkkLk )]())[()(,(:6 aaaR lkklLlk

]1)[(:8 aaa L

Vektori veidokomutatīvu grupu

Reāli skaitļiir operatori vektoru telpā

Par Lineāru telpu sauc ikvienu kopu , kuras treknos elementus var saskaitīt un reizināt ar reāliem skaitļiem, iegūstot atkal elementus; pie tam izpildās 8 aksiomas:

Par vektoriem sauc lineāras telpas elementus.

D

D

L

Lcba ,,

Lineāra telpa

Komutativitāte

abba

b

baa

c

cb

O

BA

C OCACOA

BCOB

Nullvektors

aa0

Asociativitāte

)()( cbacba

Pretējais vektors

0aa )(

O A

B C

a

bb

a

OCBCOB

ACOA

A

B ABABAA

B

A

AABAAB

A

A

A

A

Aksiomu ilustrācijas - I

a a2

3a

2

3Vektors ir k reizes garāks par a, paralēls a, vērsts tāpat kā a (k>0), vai pretēji a (k<0).

,, Ra kk

Distributivitāte1

aaa lklk )(

Operatoru asociativitāte

)()( aa lkkl

Distributivitāte2

baba kkk )(

Reizināšana ar 1: aa1 ab

ak

bk

D

A

A

A

A

Aksiomu ilustrācijas - II

L - n skaitļu virknītes: ),...,( 1 naa

L - nm matricas:

mnm

n

aa

aa

1

111

: vismazākā lineārā telpa}{0LP

L - orientēti nogriežņi uz taisnes, plaknē vai telpāP

L - nepārtrauktās funkcijas, kas definētas [0,1]

0 1

P

P

L - kvadrāttrinomi: cbxax 2P

P

Lineāru telpu piemēri

T Nullvektors ir viens vienīgs.

2211 0000

P Apgrieztais vektors ir viens vienīgs:

.0caba Pieņemsim, ka

Pieskaitīsim abām pusēm, piemēram, b. cabbab jeb .c0b0

P

Tad

].0)[( 0aa L Distributivitāte:

.0)00(00 aaaa Pieskaitām .)0( a

Lineāru telpu īpašības

T vektoru summa nav atkarīga no izliktajām iekavām.(Bez pierādījuma.)

))(( 4321 aaaa )()( 4321 aaaa

+

+

+

a1

a2

a3 a4

+

+

+

a1 a2 a3 a4

Katram kokam atbilstkāda izteiksme ariekavām un otrādi: katrai izteiksmei atbilst koks.

saskaitāmajiem dažādo iekavu izlikšanas veidu skaitu apzīmēsim ar .n

nK

n

1

1

654321 ,42,14,5,2,1,1n

iinin KKK

KKKKKK

Saskaitīšanas asociativitāte

D

D

D

P

P

Par vektoru saimes lināru kombināciju ar koeficientiem sauc

Lineāru kombināciju sauc par triviālu, ja

Vektoru saimi sauc par lineāri atkarīgu, ja eksistē netriviāla lineāra kombinācija Ja vektoru saime nav lineāri atkarīga, to sauc par lineārineatkarīgu. Tukšu vektoru saimi uzskata par lineāri neatkarīgu.

Viens vektors a ir lineāri neatkarīgs tad un tikai tad, ja

Saime ir lineāri atkarīga tad un tikai tad, ja kāds vektors tajā ir lineāra kombinācija no pārējiem.

maa ,,1 mkk ,,1 .11 mmkk aa

.01 mkk

.0a

maa ,,1 .011 mmkk aa

Vektoru lineāras kombinācijas

T Saime ir lineāri neatkarīga tad un tikai tad, ja katru vektoru var izteikt kā šīs saimes lineāru kombināciju ne vairāk kā vienā veidā.

mmkk aaa 11

maa ,,1

Pieņemsim, ka vektoru var izteikt divos veidos:ammll aaa 11

.)()( 111 mmm lklk aa0

un

Atņemam šīs vienādības vienu no otras:

""

Tā kā vektori ir lineāri neatkarīgi, tadmaa ,,1 ]0)[( ii lki

"" Ja saime būtu lineāri atkarīga, tiem eksistētunetriviāla lineāra kombinācija, kas vienāda ar To varētu nesodīti pieskaitīt katra vektora izteiksmeiar šiem vektoriem, iegūstot citu izteiksmi.

maa ,,1 0

a

Lineāri neatkarīgas saimes

D Divus vektorus sauc par kolineāriem, ja tie ir lineāri atkarīgi.Trīs vektorus sauc par komplanāriem, ja tie ir lineāri atkarīgi.

Dažādas situācijas,kad 3 vektori ir komplanāri

Viens vektors ir lineāri atkarīgs tad un tikai tad, ja tas ir nullvektors. Divu un trīs vektoru lineārajai atkarībai ieviesti īpaši, daiļi vārdi:

Kolineāri un komplanāri vektori

D Vektoru sistēma veido lineāras telpas Lbāzi, ja šī sistēma ir (1) pilna, t.i. katru var izteikt ar bāzes vektoriem; (2) neatkarīga, t.i. katru varizteikt ar bāzes vektoriem ne vairāk kā vienā veidā.

LaLa

nee ,,1

T Lineārai telpai L visas bāzes ir ar vienādu vektoru skaitu ko sauc par L dimensiju.Ln dim

P Ja L ir taisne, ; ja plakne, ; ja telpa, .

1dim L 2dim L3dim L

P Viena mainīgā polinomu telpai ir bezgalīga dimensija;vektorus var ņemt par tās bāzi.},,,1{ 2 xx

Telpas bāze

D Ja ir bāzes vektori telpā L un , tad skaitļus saucpar vektora a koordinātēm.

nee ,,1 n

naa eea 11 naa ,,1

T Vektora koordinātes ir viennozīmīgi noteiktas.

tad,un Ja 11

11

nn

nn bbaa eeaeea

nnn baba ee0 )()( 1

11 Tā kā ir lineāri neatkarīgi, tad .nee ,,1 0 ii ba

D Koordinātu sistēma punktu telpā sastāv no bāzes vektoriemun koordinātu sākumpunkta O (raksta ).

D

nO ee 1

Punkta M koordinātes ir koordinātes rādiusvektorambāzē . nee ,,1

OM

Koordinātes

2221

122

2211

111

eee

eee

cc

ccJaunos bāzes vektorus izsaka ar vecajiem

.)()(

)()(

222

221

11

12

211

1

2221

12

22

211

11

1

22

11

22

11

ee

eeee

eeeea

cacacaca

ccacca

aaaaTas pats vektors a vecajāsun jaunajās koordinātēs.

222

112

2

221

111

1

acaca

acacaBāzes maiņas formula:

Vektora koordinātes bāzē tātad ir gan gan21,ee ),( 21 aa

222

112

221

111 ,

acacacac

Koordinātēm abos gadījumos jābūt tām pašām, tādēļ:

Bāzes maiņa koordinātu pierakstā

.,,1kur ,un 2 :Dots1

nicn i

n

i

iii

ee

n

ii

n

i

ii

in

ii

n

i

ii

i

n

ii

n

i

ii

ii

n

i

ii

n

i

i

n

ii

ii

n

i

i

caca

caca

aa

1 11 1

1 111

11

.ee

ee

eea Vektors a vecajās un jaunajāskoordinātēs

Atver iekavas, mainasummas vietām un sagrupē

in

i

ii

i aca

1

Bāzes maiņas formula

Bāzes maiņa summu pierakstā

},,1{,kur ,un 2 :Dots niicn iiii ee

.)()( iii

ii

ii

ii

ii

i cacaaa eeeea

Bāzes maiņas formula: ii

ii caa

Bāzes maiņa Einšteina apzīmējumos

2

221

12

11

2121 ),(),( :Dotscc

cceeee

2

1

22

21

12

11

21

2

1

212

1

21

),(

),(),(

a

a

cc

cc

a

a

a

a

ee

eeeea

Bāzes maiņas formula:

2

1

22

21

12

11

2

1

a

a

cc

cc

a

a

Einšteina apzīmējumi matricās: augšējais indekss ir rindiņas numurs, apakšējais indekss ir kolonnas numurs.

Bāzes maiņa matricu apzīmējumos

D Par svērtas punktu sistēmas masu centru sauc tādu punktu O,kam

),(,),,(),,( 2211 nn mAmAmA nmmm ,,, 21

.2211 0 nn OAmOAmOAm

D Par svērtu punktu sistēmu ),(,),,(),,( 2211 nn mAmAmA sauc punktu kopu kam piekārtoti attiecīgireāli skaitļi, ko sauc par punktu masām.

nAAA ,,, 21 nmmm ,,, 21

P Svērtai divu punktu sistēmaimasu centrs atrodas uz taisnes tuvāk tam punktam, kura masa ir lielāka.

Tā kā visas masas var reizināt ar patvaļīgu nenulles skaitli, nemainotmasu centru, turpmāk pieņemsim, ka .121 nmmm

),(),,( 2211 mAmA

21AA

P Svērtai trīs punktu sistēmaimasu centrs atrodas trijstūra mediānu krustpunktā.

)31,(),31,(),31,( 321 AAA

321 AAA

Masu centrs

T Katrai punktu sistēmai ar masām eksistē viens vienīgsmasu centrs.

Izvēlamies patvaļīgu punktu P un aplūkojam summu:

.2211 nn PAmPAmPAm xPunktu izvēlamies tā, lai (pieņemot, ka ).

xPO

Viegli redzēt, arī ka ir vienīgais svērtās sistēmas masu centrs.

O

O

121 nmmm Iegūstam:

.)(1

)()(

)()(

111

11

11

0xx

nnn

nn

nn

PAmPAmOPmm

PAOPmPAOPm

OAmOAm

Masu centra eksistence un unitāte

L ir patvaļīga vektoru telpa. Attēlojumu kas katriem diviem vektoriem piekārto reāluskaitli ab sauc par skalāro reizinājumu telpā L, jaizpildās sekojošas īpašības:

]0[ )( : 4][ ),( : 3

)]()()([ )( ),( : 2])([ ),,( : 1

2

a0aabaabba

babaabRbaacabcbacba

LL

kkkkLL

L L R ,ba,

D

Skalārais reizinājums

Vektora garums Leņķis starp vektoriem un :

Skalārais reizinājums ļauj ieviest vektoru telpā leņķus un attālumus.

|| || cos

baba

2 || : aa

]0[ )( 2 aa L

Ja , tā ir aksioma 0a 4

Ja , iegūstam 0a 22 )2(2 000000

Tādēļ 02 0 Tādēļ katram vektoram ir

garums, t. i. vienmēr ir definēta.2a

a

a b

T

D

Garumi un leņķi

] )( [ ),( 222 baabba L

Aplūkosim reāla argumenta funkciju

.)(2)()( 2222 bababa ttttf

Pēc skalārā reizinājuma īpašībām, katram Tādēļ kvadrāttrinoma diskriminants No šejienes

.0)( , tfRt

.04)(4 222 baab222)( baab

Tādēļ ja , tad ir definēts ar|| || ba

ba

0ba ,

vērtību no [-1,1], t. i. katriem diviem nenullesvektoriem ir definēts leņķis.

T

Košī-Buņakovska nevienādība

Kosinusu teorēma:

Paralelograma diagonāļu kvadrātu summavienāda ar malu kvadrātu summu

] || || || || || [ ),( babababa LTrijstūra nevienādība:

). || || (|| || || 2 ||

2)(||22

2222

babbaa

babababa

Otru nevienādību pierāda analoģiski

( , , ) [ cos ] a b c L c a b c a b ab 2 2 2 2

Paralelograma identitāte:

a

b a+ba-b

ab c

T

T

T

Košī-Buņakovska nevienādības sekas

ir projekcijas garums (reāls skaitlis).

a

b

.|||| ||

|| cos|| )(pra

ba

ba

babbba

Ja , tad .)( abba pr

)(bapr

Atbilstošais projekcijas vektors ir .||

)(a

abapr

Ja ir ortonormēta bāze, tad katramvektoram , t. i. koordinātes ir

321 ,, eee

332211 )()()( eeaeeaeeaa ).,,( 321 eaeaea a

1a

T

Vektoru ortogonālās projekcijas

Fiksējam vektoru , kam . Tad apmierina visi vektori , kuru projekcijas uz ir garumā .

Iegūstam, ka katram punktam uztaisnes, kas perpendikulāra un atrodas attālumā no punkta .

dOAi n

drn1|| nn

nr

d

1A 2A 3A

iA

On

nO

d

1r 2r3r d

Konstanta rādiusvektora projekcija

Ja bāzes vektori apmierina

vienādības: ,

tad bāzi sauc par ortonormētu.

Ortonormētā bāzē vektoru unvektoru skalārais reizinājums ir

nee ,,1

ji

jiji ja 1

; ja 0ee

), ... ,( 1 naaa), ... ,( 1 nbbb

. ... 11 nnbaba ba

221

11

11

11

) ... ( ) ... (

nnn

nn

nn

baba

bbaa

ee

eeeeba

T

D

Ortonormēta bāze

Ikvienu bāzi var pārveidot parortonormētu , veicot vektoru darbībasar .

nee , ... ,1

nee , ... ,1

nff , ,1

Aplūkosim sekojošu algoritmu:

1. solis . Tad sistēma ir ortonormēta.|| 1

11 e

ef 1f

k. solis Pieņemsim, ka jau uzkonstruēta ortonormēta sistēma . Definēsim vektoru , kas

ortogonāls . Ņemam

11 , , kff 11 , ... , kff

11

11 ...

kk

kk aa ffee

Definējam

ke

|| k

kk e

ef

T

ikia fekur

Grama-Šmita ortogonalizācija

3

2

1

332313

322212

312111

321

33

22

11

33

22

11

)( tad

,un Ja

b

b

b

aaa

bbbaaa

eeeeee

eeeeee

eeeeee

ba

eeebeeea

Ja ir bāzes vektori, tad matrica321 ,, eee

),,( 321

3

2

1

eee

e

e

e

A

ir stingri pozitīvi definēta, t. i. katram vektoram ,0a

.0 aa AT

Izriet no skalārā reizinājuma aksiomas 4 .

T

Skalārais reizinājums koordinātēs

)])()[,,(:1 cabacbacba ])()()[)(,(:2 babaRba kkk

]0[,(:4 b)b(ab)a(ab)a)]()[,(:3 abbaba

T ])[( 0aaa

Sk . īpašību 3

][,(:5 2222 ba(ab)b)(ab)a

T Ja ir ortonormētā bāze ar labo orientāciju , tadvektorialo reizinājumu tabula

321 eee ,,

1e

2e

3e

1e 2e 3e

00

0

3e2e 1e

3e 2e1e

Pirmo reizinātāju izvēlieties nokreisās kolonnas, otro - no virsējāsrindiņas.

Vektoriālā reizinājuma īpašības

T Ja un , tad

321 eeea 321 aaa 321 eeeb 321 bbb

321

321

bbb

aaa321 eee

ba

Formulu pārbauda , atverot iekavas reizinājumā

)()( 321321321321 eeeeee bbbaaa un

lietojot bāzes vektoru reizināšanas tabulu.

Vektoriālais reizinājums koordinātēs

Trim telpas vektoriem piekārtojam reālu skaitli , kas vienāds ar paralēlskaldņa tilpumu , kas konstruēts uz vektoriem

cb,a, a,b,c

ba, cun

0abc

0abc

0abc

Ja vektoriem ir labā orientācija

Ja vektoriem ir krejsā orientācija

Ja vektori ir komplanāri.b

a

c

Jauktā reizinājuma intuīcija

])[,,(:1 abdabcd)ab(cdc,ba

)],,(:3 (acb(cba)(bac)c)[abcba ])()()[)(,,(:2 bcaabccba kkRk

])(,,(:4 cbac)[abcba

T ],( 0b)[aaba

Sk . īpašību 3

T Ja ir ortonormētā bāze ar labo orientāciju, tad

321 eee ,,

1321 eee

Jauktā reizinājuma īpašības

T

321

321

321

ccc

bbb

aaa

abc

Ja tad

Ortonormētas koordinātesar labo orientāciju.

)(),()( 321321321 ,c,cc,b,bb,,a,aa cba

Izmantojam īpašību kopā ar vektoriālā un skalārāreizinājuma izteiksmēm koordinātēs.

4

Jauktais reizinājums koordinātēs