Upload
vuongphuc
View
222
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
Analiza matematyczna
semestr I - 2011/12
Prof. dr hab. Janina Kotus
Analiza Matematyczna - I semestr
Zakres materialu:
Ci ↪agi liczbowe, wlasnosci i dzialania.
Funkcje jednej zmiennej: granica, ci ↪aglosc, jednostajnaci ↪aglosc. Wlasnosci funkcji ci ↪aglych i jednostajnie ci ↪aglych.
Rachunek rozniczkowy funkcji jednej zmiennej.
Rachunek calkowy funkcji jednej zmiennej.
Analiza Matematyczna - I semestr
Zakres materialu:
Ci ↪agi liczbowe, wlasnosci i dzialania.
Funkcje jednej zmiennej: granica, ci ↪aglosc, jednostajnaci ↪aglosc. Wlasnosci funkcji ci ↪aglych i jednostajnie ci ↪aglych.
Rachunek rozniczkowy funkcji jednej zmiennej.
Rachunek calkowy funkcji jednej zmiennej.
Analiza Matematyczna - I semestr
Zakres materialu:
Ci ↪agi liczbowe, wlasnosci i dzialania.
Funkcje jednej zmiennej: granica, ci ↪aglosc, jednostajnaci ↪aglosc. Wlasnosci funkcji ci ↪aglych i jednostajnie ci ↪aglych.
Rachunek rozniczkowy funkcji jednej zmiennej.
Rachunek calkowy funkcji jednej zmiennej.
Analiza Matematyczna - I semestr
Zakres materialu:
Ci ↪agi liczbowe, wlasnosci i dzialania.
Funkcje jednej zmiennej: granica, ci ↪aglosc, jednostajnaci ↪aglosc. Wlasnosci funkcji ci ↪aglych i jednostajnie ci ↪aglych.
Rachunek rozniczkowy funkcji jednej zmiennej.
Rachunek calkowy funkcji jednej zmiennej.
Analiza Matematyczna - I semestr
Zakres materialu:
Ci ↪agi liczbowe, wlasnosci i dzialania.
Funkcje jednej zmiennej: granica, ci ↪aglosc, jednostajnaci ↪aglosc. Wlasnosci funkcji ci ↪aglych i jednostajnie ci ↪aglych.
Rachunek rozniczkowy funkcji jednej zmiennej.
Rachunek calkowy funkcji jednej zmiennej.
Analiza Matematyczna - I semestr
Literatura
Marian Gewert, Zbigniew Skoczylas,Analiza matematyczna 1: Definicje, twierdzenia, wzory.Seria ’Matematyka dla studentow politechnik.’
Marian Gewert, Zbigniew Skoczylas,Analiza matematyczna 1: Przyklady i zadania.Seria ’Matematyka dla studentow politechnik.’
Marian Gewert, Zbigniew Skoczylas,Analiza matematyczna 1: Kolokwia i egzaminy.Seria ’Matematyka dla studentow politechnik.’
Franciszek Leja, Rachunek rozniczkowy i calkowy. PWN
Analiza Matematyczna - I semestr
Literatura
Marian Gewert, Zbigniew Skoczylas,Analiza matematyczna 1: Definicje, twierdzenia, wzory.Seria ’Matematyka dla studentow politechnik.’
Marian Gewert, Zbigniew Skoczylas,Analiza matematyczna 1: Przyklady i zadania.Seria ’Matematyka dla studentow politechnik.’
Marian Gewert, Zbigniew Skoczylas,Analiza matematyczna 1: Kolokwia i egzaminy.Seria ’Matematyka dla studentow politechnik.’
Franciszek Leja, Rachunek rozniczkowy i calkowy. PWN
Analiza Matematyczna - I semestr
Literatura
Marian Gewert, Zbigniew Skoczylas,Analiza matematyczna 1: Definicje, twierdzenia, wzory.Seria ’Matematyka dla studentow politechnik.’
Marian Gewert, Zbigniew Skoczylas,Analiza matematyczna 1: Przyklady i zadania.Seria ’Matematyka dla studentow politechnik.’
Marian Gewert, Zbigniew Skoczylas,Analiza matematyczna 1: Kolokwia i egzaminy.Seria ’Matematyka dla studentow politechnik.’
Franciszek Leja, Rachunek rozniczkowy i calkowy. PWN
Analiza Matematyczna - I semestr
Literatura
Marian Gewert, Zbigniew Skoczylas,Analiza matematyczna 1: Definicje, twierdzenia, wzory.Seria ’Matematyka dla studentow politechnik.’
Marian Gewert, Zbigniew Skoczylas,Analiza matematyczna 1: Przyklady i zadania.Seria ’Matematyka dla studentow politechnik.’
Marian Gewert, Zbigniew Skoczylas,Analiza matematyczna 1: Kolokwia i egzaminy.Seria ’Matematyka dla studentow politechnik.’
Franciszek Leja, Rachunek rozniczkowy i calkowy. PWN
Analiza Matematyczna - I semestr
Oznaczenia
Dzialania na zbiorach Niech A, B- zbiory
- A ∪ B - suma zbiorow
- A ∩ B - iloczyn zbiorow
- A ∖ B -roznica zbiorow
Zbiory liczbowe
- ℕ - zbior liczb naturalnych tzn. ℕ = {1, 2, 3, . . .}- ℤ - zbior liczb calkowitych tzn.ℤ = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}
- ℚ - zbior liczb wymiernych
- ℝ - zbior liczb rzeczywistych
- ℂ - zbior liczb zespolonych
Analiza Matematyczna - I semestr
Oznaczenia
Dzialania na zbiorach Niech A, B- zbiory
- A ∪ B - suma zbiorow
- A ∩ B - iloczyn zbiorow
- A ∖ B -roznica zbiorow
Zbiory liczbowe
- ℕ - zbior liczb naturalnych tzn. ℕ = {1, 2, 3, . . .}- ℤ - zbior liczb calkowitych tzn.ℤ = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}
- ℚ - zbior liczb wymiernych
- ℝ - zbior liczb rzeczywistych
- ℂ - zbior liczb zespolonych
Analiza Matematyczna - I semestr
Oznaczenia
Kwantyfikatory
- ∀ - ’dla kazdego’- kwantyfikator ogolny(szkolne oznaczenie -
⋀)
- ∃ - ’istnieje’- kwantyfikator szczegolny(szkolne oznaczenie -
⋁)
- ∃! - ’istnieje jedyny’ - ’istnieje dokladnie jeden’
Iloczyn kartezjanski Iloczyn kartezjanski zbiorow A i Bnazywamy A× B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}.
Analiza Matematyczna - I semestr
Oznaczenia
Kwantyfikatory
- ∀ - ’dla kazdego’- kwantyfikator ogolny(szkolne oznaczenie -
⋀)
- ∃ - ’istnieje’- kwantyfikator szczegolny(szkolne oznaczenie -
⋁)
- ∃! - ’istnieje jedyny’ - ’istnieje dokladnie jeden’
Iloczyn kartezjanski Iloczyn kartezjanski zbiorow A i Bnazywamy A× B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}.
Analiza Matematyczna - I semestr
Oznaczenia
Kwantyfikatory
- ∀ - ’dla kazdego’- kwantyfikator ogolny(szkolne oznaczenie -
⋀)
- ∃ - ’istnieje’- kwantyfikator szczegolny(szkolne oznaczenie -
⋁)
- ∃! - ’istnieje jedyny’ - ’istnieje dokladnie jeden’
Iloczyn kartezjanski Iloczyn kartezjanski zbiorow A i Bnazywamy A× B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}.
Analiza Matematyczna - I semestr
Oznaczenia
Kwantyfikatory
- ∀ - ’dla kazdego’- kwantyfikator ogolny(szkolne oznaczenie -
⋀)
- ∃ - ’istnieje’- kwantyfikator szczegolny(szkolne oznaczenie -
⋁)
- ∃! - ’istnieje jedyny’ - ’istnieje dokladnie jeden’
Iloczyn kartezjanski Iloczyn kartezjanski zbiorow A i Bnazywamy A× B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}.
Analiza Matematyczna - I semestr
Aksjomaty dzialan w zbiorze liczb rzeczywistych
W zbiorze ℝ definiujemy dzialania ’+’ i ’⋅’, ktore spelniaj ↪anast ↪epuj ↪ace warunki zwane aksjomatami liczb rzeczywistych:
1. ∀ x , y , z ∈ ℝ x + (y + z) = (x + y) + z - ’l ↪acznoscdodawania’
2. ∀ x , y ∈ ℝ x + y = y + x -’przemiennosc dodawania’
3. ∃ 0 ∀ x ∈ ℝ x + 0 = 0 + x = x , 0-element neutralnydodawania
4. ∀ x ∈ ℝ ∃ − x ∈ ℝ x + (−x) = x + (−x) = 0, −x-element przeciwny
Analiza Matematyczna - I semestr
Aksjomaty dzialan w zbiorze liczb rzeczywistych
W zbiorze ℝ definiujemy dzialania ’+’ i ’⋅’, ktore spelniaj ↪anast ↪epuj ↪ace warunki zwane aksjomatami liczb rzeczywistych:
1. ∀ x , y , z ∈ ℝ x + (y + z) = (x + y) + z - ’l ↪acznoscdodawania’
2. ∀ x , y ∈ ℝ x + y = y + x -’przemiennosc dodawania’
3. ∃ 0 ∀ x ∈ ℝ x + 0 = 0 + x = x , 0-element neutralnydodawania
4. ∀ x ∈ ℝ ∃ − x ∈ ℝ x + (−x) = x + (−x) = 0, −x-element przeciwny
Analiza Matematyczna - I semestr
Aksjomaty dzialan w zbiorze liczb rzeczywistych
W zbiorze ℝ definiujemy dzialania ’+’ i ’⋅’, ktore spelniaj ↪anast ↪epuj ↪ace warunki zwane aksjomatami liczb rzeczywistych:
1. ∀ x , y , z ∈ ℝ x + (y + z) = (x + y) + z - ’l ↪acznoscdodawania’
2. ∀ x , y ∈ ℝ x + y = y + x -’przemiennosc dodawania’
3. ∃ 0 ∀ x ∈ ℝ x + 0 = 0 + x = x , 0-element neutralnydodawania
4. ∀ x ∈ ℝ ∃ − x ∈ ℝ x + (−x) = x + (−x) = 0, −x-element przeciwny
Analiza Matematyczna - I semestr
Aksjomaty dzialan w zbiorze liczb rzeczywistych
W zbiorze ℝ definiujemy dzialania ’+’ i ’⋅’, ktore spelniaj ↪anast ↪epuj ↪ace warunki zwane aksjomatami liczb rzeczywistych:
1. ∀ x , y , z ∈ ℝ x + (y + z) = (x + y) + z - ’l ↪acznoscdodawania’
2. ∀ x , y ∈ ℝ x + y = y + x -’przemiennosc dodawania’
3. ∃ 0 ∀ x ∈ ℝ x + 0 = 0 + x = x , 0-element neutralnydodawania
4. ∀ x ∈ ℝ ∃ − x ∈ ℝ x + (−x) = x + (−x) = 0, −x-element przeciwny
Analiza Matematyczna - I semestr
Aksjomaty dzialan w zbiorze liczb rzeczywistych
5. ∀ x , y , z ∈ ℝ x ⋅ (y ⋅ z) = (x ⋅ y) ⋅ z - ’l ↪acznosc mnozenia’
6. ∀ x , y ∈ ℝ x ⋅ y = y ⋅ x -’przemiennosc mnozenia’
7. ∃ 1 ∀ x ∈ ℝ x ⋅ 1 = 1 ⋅ x = x , 1-element neutralnymnozenia
8. ∀ x ∈ ℝ ∖ {0} ∃ x−1 ∈ ℝ x ⋅ x−1 = x−1 ⋅ x = 1,x−1-element odwrotny
9. ∀ x , y , z ∈ ℝ x(y + z) = xy + xz - ’rodzielnosc mnozeniawzgl ↪edem dodawania’
Analiza Matematyczna - I semestr
Aksjomaty dzialan w zbiorze liczb rzeczywistych
5. ∀ x , y , z ∈ ℝ x ⋅ (y ⋅ z) = (x ⋅ y) ⋅ z - ’l ↪acznosc mnozenia’
6. ∀ x , y ∈ ℝ x ⋅ y = y ⋅ x -’przemiennosc mnozenia’
7. ∃ 1 ∀ x ∈ ℝ x ⋅ 1 = 1 ⋅ x = x , 1-element neutralnymnozenia
8. ∀ x ∈ ℝ ∖ {0} ∃ x−1 ∈ ℝ x ⋅ x−1 = x−1 ⋅ x = 1,x−1-element odwrotny
9. ∀ x , y , z ∈ ℝ x(y + z) = xy + xz - ’rodzielnosc mnozeniawzgl ↪edem dodawania’
Analiza Matematyczna - I semestr
Aksjomaty dzialan w zbiorze liczb rzeczywistych
5. ∀ x , y , z ∈ ℝ x ⋅ (y ⋅ z) = (x ⋅ y) ⋅ z - ’l ↪acznosc mnozenia’
6. ∀ x , y ∈ ℝ x ⋅ y = y ⋅ x -’przemiennosc mnozenia’
7. ∃ 1 ∀ x ∈ ℝ x ⋅ 1 = 1 ⋅ x = x , 1-element neutralnymnozenia
8. ∀ x ∈ ℝ ∖ {0} ∃ x−1 ∈ ℝ x ⋅ x−1 = x−1 ⋅ x = 1,x−1-element odwrotny
9. ∀ x , y , z ∈ ℝ x(y + z) = xy + xz - ’rodzielnosc mnozeniawzgl ↪edem dodawania’
Analiza Matematyczna - I semestr
Aksjomaty dzialan w zbiorze liczb rzeczywistych
5. ∀ x , y , z ∈ ℝ x ⋅ (y ⋅ z) = (x ⋅ y) ⋅ z - ’l ↪acznosc mnozenia’
6. ∀ x , y ∈ ℝ x ⋅ y = y ⋅ x -’przemiennosc mnozenia’
7. ∃ 1 ∀ x ∈ ℝ x ⋅ 1 = 1 ⋅ x = x , 1-element neutralnymnozenia
8. ∀ x ∈ ℝ ∖ {0} ∃ x−1 ∈ ℝ x ⋅ x−1 = x−1 ⋅ x = 1,x−1-element odwrotny
9. ∀ x , y , z ∈ ℝ x(y + z) = xy + xz - ’rodzielnosc mnozeniawzgl ↪edem dodawania’
Analiza Matematyczna - I semestr
Aksjomaty dzialan w zbiorze liczb rzeczywistych
5. ∀ x , y , z ∈ ℝ x ⋅ (y ⋅ z) = (x ⋅ y) ⋅ z - ’l ↪acznosc mnozenia’
6. ∀ x , y ∈ ℝ x ⋅ y = y ⋅ x -’przemiennosc mnozenia’
7. ∃ 1 ∀ x ∈ ℝ x ⋅ 1 = 1 ⋅ x = x , 1-element neutralnymnozenia
8. ∀ x ∈ ℝ ∖ {0} ∃ x−1 ∈ ℝ x ⋅ x−1 = x−1 ⋅ x = 1,x−1-element odwrotny
9. ∀ x , y , z ∈ ℝ x(y + z) = xy + xz - ’rodzielnosc mnozeniawzgl ↪edem dodawania’
Analiza Matematyczna - I semestr
Porzadek w zbiorze liczb rzeczywistych
Zawsze o dwoch roznych liczbach rzeczywistych mozemypowiedziec, ktora z nich jest wi ↪eksza.
Aksjomaty ’porz ↪adku liniowego’
1 ∀x ∈ ℝ x ≤ x -zwrotnosc
2 ∀x , y , z ∈ ℝ x ≤ y ∧ y ≤ z =⇒ x ≤ z -przechodniosc
3 ∀x , y ∈ ℝ x ≤ y ∨ y ≤ x -spojnosc
4 ∀x , y ∈ ℝ x ≤ y ∧ y ≤ x =⇒ x = y -antysymetria
5 ∀x , y , z ∈ ℝ x ≤ y =⇒ x + z ≤ y + z
6 ∀x , y ∈ ℝ 0 ≤ x ∧ 0 ≤ y =⇒ 0 ≤ xy
Analiza Matematyczna - I semestr
Porzadek w zbiorze liczb rzeczywistych
Zawsze o dwoch roznych liczbach rzeczywistych mozemypowiedziec, ktora z nich jest wi ↪eksza.Aksjomaty ’porz ↪adku liniowego’
1 ∀x ∈ ℝ x ≤ x -zwrotnosc
2 ∀x , y , z ∈ ℝ x ≤ y ∧ y ≤ z =⇒ x ≤ z -przechodniosc
3 ∀x , y ∈ ℝ x ≤ y ∨ y ≤ x -spojnosc
4 ∀x , y ∈ ℝ x ≤ y ∧ y ≤ x =⇒ x = y -antysymetria
5 ∀x , y , z ∈ ℝ x ≤ y =⇒ x + z ≤ y + z
6 ∀x , y ∈ ℝ 0 ≤ x ∧ 0 ≤ y =⇒ 0 ≤ xy
Analiza Matematyczna - I semestr
Porzadek w zbiorze liczb rzeczywistych
Zawsze o dwoch roznych liczbach rzeczywistych mozemypowiedziec, ktora z nich jest wi ↪eksza.Aksjomaty ’porz ↪adku liniowego’
1 ∀x ∈ ℝ x ≤ x -zwrotnosc
2 ∀x , y , z ∈ ℝ x ≤ y ∧ y ≤ z =⇒ x ≤ z -przechodniosc
3 ∀x , y ∈ ℝ x ≤ y ∨ y ≤ x -spojnosc
4 ∀x , y ∈ ℝ x ≤ y ∧ y ≤ x =⇒ x = y -antysymetria
5 ∀x , y , z ∈ ℝ x ≤ y =⇒ x + z ≤ y + z
6 ∀x , y ∈ ℝ 0 ≤ x ∧ 0 ≤ y =⇒ 0 ≤ xy
Analiza Matematyczna - I semestr
Porzadek w zbiorze liczb rzeczywistych
Zawsze o dwoch roznych liczbach rzeczywistych mozemypowiedziec, ktora z nich jest wi ↪eksza.Aksjomaty ’porz ↪adku liniowego’
1 ∀x ∈ ℝ x ≤ x -zwrotnosc
2 ∀x , y , z ∈ ℝ x ≤ y ∧ y ≤ z =⇒ x ≤ z -przechodniosc
3 ∀x , y ∈ ℝ x ≤ y ∨ y ≤ x -spojnosc
4 ∀x , y ∈ ℝ x ≤ y ∧ y ≤ x =⇒ x = y -antysymetria
5 ∀x , y , z ∈ ℝ x ≤ y =⇒ x + z ≤ y + z
6 ∀x , y ∈ ℝ 0 ≤ x ∧ 0 ≤ y =⇒ 0 ≤ xy
Analiza Matematyczna - I semestr
Porzadek w zbiorze liczb rzeczywistych
Zawsze o dwoch roznych liczbach rzeczywistych mozemypowiedziec, ktora z nich jest wi ↪eksza.Aksjomaty ’porz ↪adku liniowego’
1 ∀x ∈ ℝ x ≤ x -zwrotnosc
2 ∀x , y , z ∈ ℝ x ≤ y ∧ y ≤ z =⇒ x ≤ z -przechodniosc
3 ∀x , y ∈ ℝ x ≤ y ∨ y ≤ x -spojnosc
4 ∀x , y ∈ ℝ x ≤ y ∧ y ≤ x =⇒ x = y -antysymetria
5 ∀x , y , z ∈ ℝ x ≤ y =⇒ x + z ≤ y + z
6 ∀x , y ∈ ℝ 0 ≤ x ∧ 0 ≤ y =⇒ 0 ≤ xy
Analiza Matematyczna - I semestr
Porzadek w zbiorze liczb rzeczywistych
Zawsze o dwoch roznych liczbach rzeczywistych mozemypowiedziec, ktora z nich jest wi ↪eksza.Aksjomaty ’porz ↪adku liniowego’
1 ∀x ∈ ℝ x ≤ x -zwrotnosc
2 ∀x , y , z ∈ ℝ x ≤ y ∧ y ≤ z =⇒ x ≤ z -przechodniosc
3 ∀x , y ∈ ℝ x ≤ y ∨ y ≤ x -spojnosc
4 ∀x , y ∈ ℝ x ≤ y ∧ y ≤ x =⇒ x = y -antysymetria
5 ∀x , y , z ∈ ℝ x ≤ y =⇒ x + z ≤ y + z
6 ∀x , y ∈ ℝ 0 ≤ x ∧ 0 ≤ y =⇒ 0 ≤ xy
Analiza Matematyczna - I semestr
Porzadek w zbiorze liczb rzeczywistych
Zawsze o dwoch roznych liczbach rzeczywistych mozemypowiedziec, ktora z nich jest wi ↪eksza.Aksjomaty ’porz ↪adku liniowego’
1 ∀x ∈ ℝ x ≤ x -zwrotnosc
2 ∀x , y , z ∈ ℝ x ≤ y ∧ y ≤ z =⇒ x ≤ z -przechodniosc
3 ∀x , y ∈ ℝ x ≤ y ∨ y ≤ x -spojnosc
4 ∀x , y ∈ ℝ x ≤ y ∧ y ≤ x =⇒ x = y -antysymetria
5 ∀x , y , z ∈ ℝ x ≤ y =⇒ x + z ≤ y + z
6 ∀x , y ∈ ℝ 0 ≤ x ∧ 0 ≤ y =⇒ 0 ≤ xy
Analiza Matematyczna - I semestr
Wartosc bewzgledna
Definicja
Wartosc bewzgl ↪edna (modul) liczby x ∈ ℝ definiujemynast ↪epuj ↪aco:
∣x ∣ :=
{x dla x ≥ 0,−x dla x < 0.
Lemat
Dla dowolnych x , y ∈ ℝ, 0 ≤ y mamy:
1 −∣x ∣ ≤ x ≤ ∣x ∣2 ∣x ∣ ≤ y ⇐⇒ −y ≤ x ≤ y
3 ∣x ∣ ≥ y ⇐⇒ x ≤ −y ∨ x ≥ y
4 ∀ x , y ∈ ℝ ∣x + y ∣ ≤ ∣x ∣+ ∣y ∣5 ∀ x , y ∈ ℝ ∣∣x ∣ − ∣y ∣∣ ≤ ∣x − y ∣
Analiza Matematyczna - I semestr
Wartosc bewzgledna
Definicja
Wartosc bewzgl ↪edna (modul) liczby x ∈ ℝ definiujemynast ↪epuj ↪aco:
∣x ∣ :=
{x dla x ≥ 0,−x dla x < 0.
Lemat
Dla dowolnych x , y ∈ ℝ, 0 ≤ y mamy:
1 −∣x ∣ ≤ x ≤ ∣x ∣
2 ∣x ∣ ≤ y ⇐⇒ −y ≤ x ≤ y
3 ∣x ∣ ≥ y ⇐⇒ x ≤ −y ∨ x ≥ y
4 ∀ x , y ∈ ℝ ∣x + y ∣ ≤ ∣x ∣+ ∣y ∣5 ∀ x , y ∈ ℝ ∣∣x ∣ − ∣y ∣∣ ≤ ∣x − y ∣
Analiza Matematyczna - I semestr
Wartosc bewzgledna
Definicja
Wartosc bewzgl ↪edna (modul) liczby x ∈ ℝ definiujemynast ↪epuj ↪aco:
∣x ∣ :=
{x dla x ≥ 0,−x dla x < 0.
Lemat
Dla dowolnych x , y ∈ ℝ, 0 ≤ y mamy:
1 −∣x ∣ ≤ x ≤ ∣x ∣2 ∣x ∣ ≤ y ⇐⇒ −y ≤ x ≤ y
3 ∣x ∣ ≥ y ⇐⇒ x ≤ −y ∨ x ≥ y
4 ∀ x , y ∈ ℝ ∣x + y ∣ ≤ ∣x ∣+ ∣y ∣5 ∀ x , y ∈ ℝ ∣∣x ∣ − ∣y ∣∣ ≤ ∣x − y ∣
Analiza Matematyczna - I semestr
Wartosc bewzgledna
Definicja
Wartosc bewzgl ↪edna (modul) liczby x ∈ ℝ definiujemynast ↪epuj ↪aco:
∣x ∣ :=
{x dla x ≥ 0,−x dla x < 0.
Lemat
Dla dowolnych x , y ∈ ℝ, 0 ≤ y mamy:
1 −∣x ∣ ≤ x ≤ ∣x ∣2 ∣x ∣ ≤ y ⇐⇒ −y ≤ x ≤ y
3 ∣x ∣ ≥ y ⇐⇒ x ≤ −y ∨ x ≥ y
4 ∀ x , y ∈ ℝ ∣x + y ∣ ≤ ∣x ∣+ ∣y ∣5 ∀ x , y ∈ ℝ ∣∣x ∣ − ∣y ∣∣ ≤ ∣x − y ∣
Analiza Matematyczna - I semestr
Wartosc bewzgledna
Definicja
Wartosc bewzgl ↪edna (modul) liczby x ∈ ℝ definiujemynast ↪epuj ↪aco:
∣x ∣ :=
{x dla x ≥ 0,−x dla x < 0.
Lemat
Dla dowolnych x , y ∈ ℝ, 0 ≤ y mamy:
1 −∣x ∣ ≤ x ≤ ∣x ∣2 ∣x ∣ ≤ y ⇐⇒ −y ≤ x ≤ y
3 ∣x ∣ ≥ y ⇐⇒ x ≤ −y ∨ x ≥ y
4 ∀ x , y ∈ ℝ ∣x + y ∣ ≤ ∣x ∣+ ∣y ∣
5 ∀ x , y ∈ ℝ ∣∣x ∣ − ∣y ∣∣ ≤ ∣x − y ∣
Analiza Matematyczna - I semestr
Wartosc bewzgledna
Definicja
Wartosc bewzgl ↪edna (modul) liczby x ∈ ℝ definiujemynast ↪epuj ↪aco:
∣x ∣ :=
{x dla x ≥ 0,−x dla x < 0.
Lemat
Dla dowolnych x , y ∈ ℝ, 0 ≤ y mamy:
1 −∣x ∣ ≤ x ≤ ∣x ∣2 ∣x ∣ ≤ y ⇐⇒ −y ≤ x ≤ y
3 ∣x ∣ ≥ y ⇐⇒ x ≤ −y ∨ x ≥ y
4 ∀ x , y ∈ ℝ ∣x + y ∣ ≤ ∣x ∣+ ∣y ∣5 ∀ x , y ∈ ℝ ∣∣x ∣ − ∣y ∣∣ ≤ ∣x − y ∣
Analiza Matematyczna - I semestr
Przedzialy
otwarty (a, b) = {x ∈ ℝ : a < x < b}
domkni ↪ety [a, b] =< a, b >= {x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ b}
(a, b] = {x ∈ ℝ : a < x ≤ b}, (−∞, b] = {x ∈ ℝ : x ≤ b}
[a, b) = {x ∈ ℝ : a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ ℝ : x ≥ a}
Analiza Matematyczna - I semestr
Przedzialy
otwarty (a, b) = {x ∈ ℝ : a < x < b}
domkni ↪ety [a, b] =< a, b >= {x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ b}
(a, b] = {x ∈ ℝ : a < x ≤ b}, (−∞, b] = {x ∈ ℝ : x ≤ b}
[a, b) = {x ∈ ℝ : a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ ℝ : x ≥ a}
Analiza Matematyczna - I semestr
Przedzialy
otwarty (a, b) = {x ∈ ℝ : a < x < b}
domkni ↪ety [a, b] =< a, b >= {x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ b}
(a, b] = {x ∈ ℝ : a < x ≤ b}, (−∞, b] = {x ∈ ℝ : x ≤ b}
[a, b) = {x ∈ ℝ : a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ ℝ : x ≥ a}
Analiza Matematyczna - I semestr
Przedzialy
otwarty (a, b) = {x ∈ ℝ : a < x < b}
domkni ↪ety [a, b] =< a, b >= {x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ b}
(a, b] = {x ∈ ℝ : a < x ≤ b}, (−∞, b] = {x ∈ ℝ : x ≤ b}
[a, b) = {x ∈ ℝ : a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ ℝ : x ≥ a}
Analiza Matematyczna - I semestr
Zbiory ograniczone
Definicja
Zbior X ⊂ ℝ, X ∕= ∅, nazywamy ograniczonym z gory, jesli
∃M ∈ ℝ ∀ x ∈ X x ≤ M.
Liczb ↪e M nazywamy ograniczeniem gornym zbioru X .
Przyklad
Niech
X = {x ∈ ℝ : x2 < 2} = {x ∈ ℝ : −√
2 < x <√
2}
Liczba M =√
2 jest ograniczeniem gornym zbioru X , M /∈ X .
Analiza Matematyczna - I semestr
Zbiory ograniczone
Definicja
Zbior X ⊂ ℝ, X ∕= ∅, nazywamy ograniczonym z gory, jesli
∃M ∈ ℝ ∀ x ∈ X x ≤ M.
Liczb ↪e M nazywamy ograniczeniem gornym zbioru X .
Przyklad
Niech
X = {x ∈ ℝ : x2 < 2} = {x ∈ ℝ : −√
2 < x <√
2}
Liczba M =√
2 jest ograniczeniem gornym zbioru X , M /∈ X .
Analiza Matematyczna - I semestr
Zbiory ograniczone
Definicja
Zbior X ⊂ ℝ, X ∕= ∅, nazywamy ograniczonym z dolu, jesli
∃m ∈ ℝ ∀ x ∈ X m ≤ x .
Liczb ↪e m nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru X .
Przyklad
Niech
X = {x ∈ ℝ : x2 < 2} = {x ∈ ℝ : −√
2 < x <√
2}.
Liczba m = −√
2 jest ograniczeniem dolnym zbioru X , m /∈ X .
Analiza Matematyczna - I semestr
Zbiory ograniczone
Definicja
Zbior X ⊂ ℝ, X ∕= ∅, nazywamy ograniczonym z dolu, jesli
∃m ∈ ℝ ∀ x ∈ X m ≤ x .
Liczb ↪e m nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru X .
Przyklad
Niech
X = {x ∈ ℝ : x2 < 2} = {x ∈ ℝ : −√
2 < x <√
2}.
Liczba m = −√
2 jest ograniczeniem dolnym zbioru X , m /∈ X .
Analiza Matematyczna - I semestr
Zbiory ograniczone
Definicja
Zbior X ⊂ ℝ, X ∕= ∅, nazywamy ograniczonym, jesli
∃m ∈ ℝ, ∃M ∈ ℝ ∀ x ∈ X m ≤ x ≤ M.
Twierdzenie
Niepusty zbior X ⊂ ℝ jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy
∃ 0 ≤ P < +∞ ∀x ∈ X ∣x ∣ ≤ P.
Twierdzenie
Suma, roznica, iloczyn zbiorow ograniczonych (zawartych w ℝ)jest zbiorem ograniczonym.
Analiza Matematyczna - I semestr
Zbiory ograniczone
Definicja
Zbior X ⊂ ℝ, X ∕= ∅, nazywamy ograniczonym, jesli
∃m ∈ ℝ, ∃M ∈ ℝ ∀ x ∈ X m ≤ x ≤ M.
Twierdzenie
Niepusty zbior X ⊂ ℝ jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy
∃ 0 ≤ P < +∞ ∀x ∈ X ∣x ∣ ≤ P.
Twierdzenie
Suma, roznica, iloczyn zbiorow ograniczonych (zawartych w ℝ)jest zbiorem ograniczonym.
Analiza Matematyczna - I semestr
Zbiory ograniczone
Definicja
Zbior X ⊂ ℝ, X ∕= ∅, nazywamy ograniczonym, jesli
∃m ∈ ℝ, ∃M ∈ ℝ ∀ x ∈ X m ≤ x ≤ M.
Twierdzenie
Niepusty zbior X ⊂ ℝ jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy
∃ 0 ≤ P < +∞ ∀x ∈ X ∣x ∣ ≤ P.
Twierdzenie
Suma, roznica, iloczyn zbiorow ograniczonych (zawartych w ℝ)jest zbiorem ograniczonym.
Analiza Matematyczna - I semestr
Kresy zbiorow
Definicja
Dla dowolnego niepustego podzbioru X ⊂ ℝ definiujemy jego kresgorny (’supremum’), ktory oznaczamy przez sup X .
1) Jezeli zbior X NIE jest ograniczony z gory, to przyjmujemy, ze� = sup X := +∞.
2) Jezeli zbior X jest ograniczony z gory, to liczb ↪e � nazywamykresem gornym zbioru X , jesli:
� jest ograniczeniem gornym zbioru X ,
dla kazdego ograniczenia gornego M zbioru X zachodzi� ≤ M.
Oznaczenie � = sup X (lacinskie ’supremum’ zbioru X )
Analiza Matematyczna - I semestr
Kresy zbiorow
Definicja
Dla dowolnego niepustego podzbioru X ⊂ ℝ definiujemy jego kresgorny (’supremum’), ktory oznaczamy przez sup X .
1) Jezeli zbior X NIE jest ograniczony z gory, to przyjmujemy, ze� = sup X := +∞.
2) Jezeli zbior X jest ograniczony z gory, to liczb ↪e � nazywamykresem gornym zbioru X , jesli:
� jest ograniczeniem gornym zbioru X ,
dla kazdego ograniczenia gornego M zbioru X zachodzi� ≤ M.
Oznaczenie � = sup X (lacinskie ’supremum’ zbioru X )
Analiza Matematyczna - I semestr
Kresy zbiorow
Definicja
Dla dowolnego niepustego podzbioru X ⊂ ℝ definiujemy jego kresgorny (’supremum’), ktory oznaczamy przez sup X .
1) Jezeli zbior X NIE jest ograniczony z gory, to przyjmujemy, ze� = sup X := +∞.
2) Jezeli zbior X jest ograniczony z gory, to liczb ↪e � nazywamykresem gornym zbioru X , jesli:
� jest ograniczeniem gornym zbioru X ,
dla kazdego ograniczenia gornego M zbioru X zachodzi� ≤ M.
Oznaczenie � = sup X (lacinskie ’supremum’ zbioru X )
Analiza Matematyczna - I semestr
Kresy zbiorow
Definicja
Dla dowolnego niepustego podzbioru X ⊂ ℝ definiujemy jego kresgorny (’supremum’), ktory oznaczamy przez sup X .
1) Jezeli zbior X NIE jest ograniczony z gory, to przyjmujemy, ze� = sup X := +∞.
2) Jezeli zbior X jest ograniczony z gory, to liczb ↪e � nazywamykresem gornym zbioru X , jesli:
� jest ograniczeniem gornym zbioru X ,
dla kazdego ograniczenia gornego M zbioru X zachodzi� ≤ M.
Oznaczenie � = sup X (lacinskie ’supremum’ zbioru X )
Analiza Matematyczna - I semestr
Kresy zbiorow
Definicja
Dla dowolnego niepustego podzbioru X ⊂ ℝ definiujemy jego kresgorny (’supremum’), ktory oznaczamy przez sup X .
1) Jezeli zbior X NIE jest ograniczony z gory, to przyjmujemy, ze� = sup X := +∞.
2) Jezeli zbior X jest ograniczony z gory, to liczb ↪e � nazywamykresem gornym zbioru X , jesli:
� jest ograniczeniem gornym zbioru X ,
dla kazdego ograniczenia gornego M zbioru X zachodzi� ≤ M.
Oznaczenie � = sup X (lacinskie ’supremum’ zbioru X )
Analiza Matematyczna - I semestr
Kresy zbiorow
Aksjomat kresu gornego. Kazdy niepusty zbior X ⊂ ℝograniczony z gory posiada kres gorny.
Przyklad
Niech X = {x ∈ ℝ : x2 < 2} = {x ∈ ℝ : −√
2 < x <√
2}Liczba � =
√2 jest kresem gornym zbioru X .
Uwaga
Kres gorny zbioru X jest najmniejszym ograniczeniem gornymzbioru X .
Lemat
Jezeli � = sup X , to
- ∀x ∈ X , x ≤ �,
- ∀" > 0 ∃x ∈ X x ≥ �− ".
Analiza Matematyczna - I semestr
Kresy zbiorow
Aksjomat kresu gornego. Kazdy niepusty zbior X ⊂ ℝograniczony z gory posiada kres gorny.
Przyklad
Niech X = {x ∈ ℝ : x2 < 2} = {x ∈ ℝ : −√
2 < x <√
2}Liczba � =
√2 jest kresem gornym zbioru X .
Uwaga
Kres gorny zbioru X jest najmniejszym ograniczeniem gornymzbioru X .
Lemat
Jezeli � = sup X , to
- ∀x ∈ X , x ≤ �,
- ∀" > 0 ∃x ∈ X x ≥ �− ".
Analiza Matematyczna - I semestr
Kresy zbiorow
Aksjomat kresu gornego. Kazdy niepusty zbior X ⊂ ℝograniczony z gory posiada kres gorny.
Przyklad
Niech X = {x ∈ ℝ : x2 < 2} = {x ∈ ℝ : −√
2 < x <√
2}Liczba � =
√2 jest kresem gornym zbioru X .
Uwaga
Kres gorny zbioru X jest najmniejszym ograniczeniem gornymzbioru X .
Lemat
Jezeli � = sup X , to
- ∀x ∈ X , x ≤ �,
- ∀" > 0 ∃x ∈ X x ≥ �− ".
Analiza Matematyczna - I semestr
Kresy zbiorow
Aksjomat kresu gornego. Kazdy niepusty zbior X ⊂ ℝograniczony z gory posiada kres gorny.
Przyklad
Niech X = {x ∈ ℝ : x2 < 2} = {x ∈ ℝ : −√
2 < x <√
2}Liczba � =
√2 jest kresem gornym zbioru X .
Uwaga
Kres gorny zbioru X jest najmniejszym ograniczeniem gornymzbioru X .
Lemat
Jezeli � = sup X , to
- ∀x ∈ X , x ≤ �,
- ∀" > 0 ∃x ∈ X x ≥ �− ".
Analiza Matematyczna - I semestr
Kresy zbiorow
Definicja
Dla dowolnego niepustego podzbioru X ⊂ ℝ definiujemy jego kresdolny (’infimum’), ktory oznaczamy przez inf X .
1) Jezeli zbior X NIE jest ograniczony z dolu, to przyjmujemy, ze� = inf X := −∞.
2) Jezeli zbior X jest ograniczony z dolu, to liczb ↪e � nazywamykresem dolnym zbioru X , jesli:
� jest ograniczeniem dolnym zbioru X ,
dla kazdego ograniczenia dolnego M zbioru X zachodzi M ≤ �.
Oznaczenie: � = inf X (lacinskie ’infimum’ zbioru X )
Analiza Matematyczna - I semestr
Kresy zbiorow
Definicja
Dla dowolnego niepustego podzbioru X ⊂ ℝ definiujemy jego kresdolny (’infimum’), ktory oznaczamy przez inf X .
1) Jezeli zbior X NIE jest ograniczony z dolu, to przyjmujemy, ze� = inf X := −∞.
2) Jezeli zbior X jest ograniczony z dolu, to liczb ↪e � nazywamykresem dolnym zbioru X , jesli:
� jest ograniczeniem dolnym zbioru X ,
dla kazdego ograniczenia dolnego M zbioru X zachodzi M ≤ �.
Oznaczenie: � = inf X (lacinskie ’infimum’ zbioru X )
Analiza Matematyczna - I semestr
Kresy zbiorow
Definicja
Dla dowolnego niepustego podzbioru X ⊂ ℝ definiujemy jego kresdolny (’infimum’), ktory oznaczamy przez inf X .
1) Jezeli zbior X NIE jest ograniczony z dolu, to przyjmujemy, ze� = inf X := −∞.
2) Jezeli zbior X jest ograniczony z dolu, to liczb ↪e � nazywamykresem dolnym zbioru X , jesli:
� jest ograniczeniem dolnym zbioru X ,
dla kazdego ograniczenia dolnego M zbioru X zachodzi M ≤ �.
Oznaczenie: � = inf X (lacinskie ’infimum’ zbioru X )
Analiza Matematyczna - I semestr
Kresy zbiorow
Definicja
Dla dowolnego niepustego podzbioru X ⊂ ℝ definiujemy jego kresdolny (’infimum’), ktory oznaczamy przez inf X .
1) Jezeli zbior X NIE jest ograniczony z dolu, to przyjmujemy, ze� = inf X := −∞.
2) Jezeli zbior X jest ograniczony z dolu, to liczb ↪e � nazywamykresem dolnym zbioru X , jesli:
� jest ograniczeniem dolnym zbioru X ,
dla kazdego ograniczenia dolnego M zbioru X zachodzi M ≤ �.
Oznaczenie: � = inf X (lacinskie ’infimum’ zbioru X )
Analiza Matematyczna - I semestr
Kresy zbiorow
Definicja
Dla dowolnego niepustego podzbioru X ⊂ ℝ definiujemy jego kresdolny (’infimum’), ktory oznaczamy przez inf X .
1) Jezeli zbior X NIE jest ograniczony z dolu, to przyjmujemy, ze� = inf X := −∞.
2) Jezeli zbior X jest ograniczony z dolu, to liczb ↪e � nazywamykresem dolnym zbioru X , jesli:
� jest ograniczeniem dolnym zbioru X ,
dla kazdego ograniczenia dolnego M zbioru X zachodzi M ≤ �.
Oznaczenie: � = inf X (lacinskie ’infimum’ zbioru X )
Analiza Matematyczna - I semestr
Kresy zbiorow
Definicja
Dla dowolnego niepustego podzbioru X ⊂ ℝ definiujemy jego kresdolny (’infimum’), ktory oznaczamy przez inf X .
1) Jezeli zbior X NIE jest ograniczony z dolu, to przyjmujemy, ze� = inf X := −∞.
2) Jezeli zbior X jest ograniczony z dolu, to liczb ↪e � nazywamykresem dolnym zbioru X , jesli:
� jest ograniczeniem dolnym zbioru X ,
dla kazdego ograniczenia dolnego M zbioru X zachodzi M ≤ �.
Oznaczenie: � = inf X (lacinskie ’infimum’ zbioru X )
Analiza Matematyczna - I semestr
Kresy zbiorow
Aksjomat kresu dolnego. Kazdy niepusty zbior X ⊂ ℝograniczony z dolu posiada kres dolny.
Przyklad
Niech X = {x ∈ ℝ : x2 < 2} = {x ∈ ℝ : −√
2 < x <√
2}.Liczba � = −
√2 jest kresesm dolnym zbioru X .
Uwaga
Kres dolny zbioru X jest najwi ↪ekszym ograniczeniem dolnymzbioru X .
Analiza Matematyczna - I semestr
Kresy zbiorow
Aksjomat kresu dolnego. Kazdy niepusty zbior X ⊂ ℝograniczony z dolu posiada kres dolny.
Przyklad
Niech X = {x ∈ ℝ : x2 < 2} = {x ∈ ℝ : −√
2 < x <√
2}.Liczba � = −
√2 jest kresesm dolnym zbioru X .
Uwaga
Kres dolny zbioru X jest najwi ↪ekszym ograniczeniem dolnymzbioru X .
Analiza Matematyczna - I semestr
Kresy zbiorow
Aksjomat kresu dolnego. Kazdy niepusty zbior X ⊂ ℝograniczony z dolu posiada kres dolny.
Przyklad
Niech X = {x ∈ ℝ : x2 < 2} = {x ∈ ℝ : −√
2 < x <√
2}.Liczba � = −
√2 jest kresesm dolnym zbioru X .
Uwaga
Kres dolny zbioru X jest najwi ↪ekszym ograniczeniem dolnymzbioru X .
Analiza Matematyczna - I semestr
Kresy zbiorow
Lemat
Jezeli � = inf X , to
∀x ∈ X , � ≤ x,
∀" > 0 ∃x ∈ X x ≤ � + ".
Przyklad
1 X = (−∞, 1); kres dolny � = −∞ /∈ X , kres gorny� = 1 /∈ X .
2 X = [1, 2]; kres dolny � = 1 ∈ X , kres gorny � = 2 ∈ X .
3 X = (−∞,+∞); kres dolny � = −∞ /∈ X , kres gorny� = +∞ /∈ X .
4 X = ℕ; kres dolny � = 1 ∈ X , kres gorny � = +∞ /∈ X .
Analiza Matematyczna - I semestr
Kresy zbiorow
Lemat
Jezeli � = inf X , to
∀x ∈ X , � ≤ x,
∀" > 0 ∃x ∈ X x ≤ � + ".
Przyklad
1 X = (−∞, 1); kres dolny � = −∞ /∈ X , kres gorny� = 1 /∈ X .
2 X = [1, 2]; kres dolny � = 1 ∈ X , kres gorny � = 2 ∈ X .
3 X = (−∞,+∞); kres dolny � = −∞ /∈ X , kres gorny� = +∞ /∈ X .
4 X = ℕ; kres dolny � = 1 ∈ X , kres gorny � = +∞ /∈ X .
Analiza Matematyczna - I semestr
Kresy zbiorow
Lemat
Jezeli � = inf X , to
∀x ∈ X , � ≤ x,
∀" > 0 ∃x ∈ X x ≤ � + ".
Przyklad
1 X = (−∞, 1); kres dolny � = −∞ /∈ X , kres gorny� = 1 /∈ X .
2 X = [1, 2]; kres dolny � = 1 ∈ X , kres gorny � = 2 ∈ X .
3 X = (−∞,+∞); kres dolny � = −∞ /∈ X , kres gorny� = +∞ /∈ X .
4 X = ℕ; kres dolny � = 1 ∈ X , kres gorny � = +∞ /∈ X .
Analiza Matematyczna - I semestr
Kresy zbiorow
Oznaczenia
Niech X ,Y ⊂ ℝ =⇒ X + Y := {x + y ; x ∈ X , y ∈ Y }
Twierdzenie
Niech X ,Y ⊂ ℝ b ↪ed ↪a zbiorami niepustymi. Wowczas
1 sup(X + Y ) = sup X + sup Y ,
2 inf(A + B) = inf X + inf Y ,
3 jesli X ≤ Y , to sup X ≤ inf Y ,
gdzie X ≤ Y oznacza, ze dla ∀x ∈ X ,∀y ∈ Y x ≤ y.
Analiza Matematyczna - I semestr
Kresy zbiorow
Oznaczenia
Niech X ,Y ⊂ ℝ =⇒ X + Y := {x + y ; x ∈ X , y ∈ Y }
Twierdzenie
Niech X ,Y ⊂ ℝ b ↪ed ↪a zbiorami niepustymi. Wowczas
1 sup(X + Y ) = sup X + sup Y ,
2 inf(A + B) = inf X + inf Y ,
3 jesli X ≤ Y , to sup X ≤ inf Y ,
gdzie X ≤ Y oznacza, ze dla ∀x ∈ X ,∀y ∈ Y x ≤ y.
Analiza Matematyczna - I semestr
Kresy zbiorow
Oznaczenia
Niech X ,Y ⊂ ℝ =⇒ X + Y := {x + y ; x ∈ X , y ∈ Y }
Twierdzenie
Niech X ,Y ⊂ ℝ b ↪ed ↪a zbiorami niepustymi. Wowczas
1 sup(X + Y ) = sup X + sup Y ,
2 inf(A + B) = inf X + inf Y ,
3 jesli X ≤ Y , to sup X ≤ inf Y ,
gdzie X ≤ Y oznacza, ze dla ∀x ∈ X ,∀y ∈ Y x ≤ y.
Analiza Matematyczna - I semestr
Kresy zbiorow
Oznaczenia
Niech X ,Y ⊂ ℝ =⇒ X + Y := {x + y ; x ∈ X , y ∈ Y }
Twierdzenie
Niech X ,Y ⊂ ℝ b ↪ed ↪a zbiorami niepustymi. Wowczas
1 sup(X + Y ) = sup X + sup Y ,
2 inf(A + B) = inf X + inf Y ,
3 jesli X ≤ Y , to sup X ≤ inf Y ,
gdzie X ≤ Y oznacza, ze dla ∀x ∈ X , ∀y ∈ Y x ≤ y.
Analiza Matematyczna - I semestr
Kresy zbiorow
Oznaczenia
Niech X ⊂ ℝ, � ∈ ℝ =⇒ �X := {�x ; x ∈ X}.
Twierdzenie
Niech X ⊂ ℝ, X ∕= ∅, � ∈ ℝ. Wowczas
1
sup(�X ) =
{� sup X dla � ≥ 0� inf X dla � < 0.
2
inf(�X ) =
{� inf X dla � ≥ 0� sup X dla � < 0.
Zasada Archimedesa∀ x > 0 ∀ y ∈ ℝ ∃ n ∈ ℤ (n − 1)x ≤ y < nx .
Analiza Matematyczna - I semestr
Kresy zbiorow
Oznaczenia
Niech X ⊂ ℝ, � ∈ ℝ =⇒ �X := {�x ; x ∈ X}.
Twierdzenie
Niech X ⊂ ℝ, X ∕= ∅, � ∈ ℝ. Wowczas
1
sup(�X ) =
{� sup X dla � ≥ 0� inf X dla � < 0.
2
inf(�X ) =
{� inf X dla � ≥ 0� sup X dla � < 0.
Zasada Archimedesa∀ x > 0 ∀ y ∈ ℝ ∃ n ∈ ℤ (n − 1)x ≤ y < nx .
Analiza Matematyczna - I semestr
Kresy zbiorow
Oznaczenia
Niech X ⊂ ℝ, � ∈ ℝ =⇒ �X := {�x ; x ∈ X}.
Twierdzenie
Niech X ⊂ ℝ, X ∕= ∅, � ∈ ℝ. Wowczas
1
sup(�X ) =
{� sup X dla � ≥ 0� inf X dla � < 0.
2
inf(�X ) =
{� inf X dla � ≥ 0� sup X dla � < 0.
Zasada Archimedesa∀ x > 0 ∀ y ∈ ℝ ∃ n ∈ ℤ (n − 1)x ≤ y < nx .
Analiza Matematyczna - I semestr