1. Nelinearni regulacijski sustavi

1.1. Osnovna svojstva linearnog regulacijskog sustava

Osnovna struktura linearnog regulacijskog sustava prikazana je pomoću blok-dijagrama na Slici 1.1. Sadrži četiri glavna sastavna dijela: proces (regulacijski objekt), mjerni član, regulator i izvršni član. Regulator, po određenom algoritmu (zakonu upravljanja) obrađuje regulacijsko odstupanje (pogrešku) e(t), djelujući preko izvršnog člana na proces.

Slika 1.1. Blok-dijagram linearnog regulacijskog sustava

Vrijedi:

gdje je - referentna (ulazna) veličina- regulirana (izlazna) veličina- regulacijsko odstupanje (pogreška)- upravljačka ili izvršna veličina

Često puta, iz razloga izvedbe, regulacijski krug nije moguće podijeliti u navedena četiri dijela, pa se koristi pojednostavljeni blokovski prikaz kao na Slici 1.2.

Slika 1.2. Pojednostavljeni blok-dijagram linearnog regulacijskog sustavaRegulacijski uređaj kombinacija je regulatora i izvršnog člana dok proces uključuje i mjerni član.

Nadalje, linearni regulacijski sustavi se, u vremenskom području, obično opisuju pomoću jedne linearne diferencijalne jednadžbe n-tog reda oblika:

1

(1)

U razvijenom obliku, gornja se jednadžba može napisati na način:

Uvedemo li supstituciju:

.

.

.

promatrani linearni sustav se može opisati i pomoću n linearnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda (tzv. jednadžbe varijabli stanja) koje u općenitom, matričnom obliku, možemo pisati na način:

gdje je:

- matrica regulacijskog sustava- ulazna (upravljačka) matrica- izlazna matrica- vektor stanja- referentna (ulazna) veličina- regulirana (izlazna) veličina

2

U frekvencijskom području linearni regulacijski sustav se opisuje pomoću prijenosne funkcije. Izvršimo li Laplaceovu transformaciju jednadžbe (1), uz pretpostavku da su svi početni uvjeti jednaki nuli, dobijemo:

iz čega slijedi:

W(s) je prijenosna funkcija sustava.

Jedno od važnih svojstava linearnih sustava je da za njih vrijedi i princip superpozicije, tj.ako vrijedi:

gdje je veza između ulazno/izlaznih veličina dana općenito preko operatora T, onda vrijedi i:

za proizvoljnu linearnu kombinaciju ulaznih veličina , gdje je:

i = 1,2, … , nki – realne konstante

Za linearne regulacijske sustave u potpunosti je zaokružena teorija, što nije slučaj za nelinearne sustave.

1.2. Nelinearni regulacijski sustavi

Kod nelinearnih regulacijskih sustava ulogu regulatora i izvršnog člana preuzima nelinearni element N (Slika 1.3.). Na ulaz mu se dovodi signal pogreške, ovdje označen sa x(t), a izlaz y(t) predstavlja diskretnu funkciju čiji oblik ovisi o fizičkim karakteristikama promatrane nelinearnosti. Pobudna funkcija označena je sa f(t), a izlaz iz čitavog regulacijskog sustava sa z(t). Signal h(t) predstavlja odziv linearnog dijela sustava (procesa) na jediničnu odskočnu pobudu.

3

Slika 1.3. Blok-dijagram nelinearnog regulacijskog sustava

1.3. Pregled tipičnih nekontinuiranih nelinearnosti

Analizu nelinearnih sustava obavit ćemo najbolje ako najprije uočimo sve nelinearnosti koje se najčešće pojavljuju u regulacijskim sustavima. To su prije svega kontinuirane nelinearnosti kakve pokazuju npr. Statičke karakteristike motora, pojačala, ventila itd. Ako postoje velika odstupanja od linearnih odnosa i ako linearizacija nije fizikalno prihvatljiva, najpogodnije je da zakrivljene karakteristike aproksimiramo pomoću izlomljenih pravaca, što se svodi na prikaz pomoću nekontinuiranih nelinearnosti koje obuhvaćaju i važne sklopove s relejnom karakteristikom. Općenito, svaki nelinearni element opisan je svojom jednadžbom koja daje funkcijsku vezu ulaznog i izlaznog signala i koju u općenitom obliku možemo pisati na način:

gdje je: - nelinearna funkcija x - ulazni signal y - izlazni signal

Karakteristični nelinearni elementi, kao i jednadžbe koje opisuju njihovo ponašanje dani su u daljnjem tekstu:

4

1) Nelinearnosti relejnog tipa

● preklopni element ili dvopoložajni relej (idealni relej):

● preklopni element sa zonom neosjetljivosti ili tropoložajni relej

● dvopoložajni relej s histerezom

5

Napomenimo da ćemo histerezu sa naznačenim smjerom obilaženja nazivati pozitivna histereza. Ukoliko unutar petlje histereze, promjenom predznaka , ne dolazi do preklapanja tada se takva histereza naziva pasivnom, a ukoliko unutar petlje, promjenom predznaka , dolazi do preklapanja, histereza se naziva aktivnom. Shematski, pozitivna, aktivna histereza dana je na donjoj slici:

● tropoložajni relej s histerezom

6

b) ostale nelinearnosti

● zasićenje

● pojačanje s mrtvom zonom

● labavost (backlash) – javlja se kod zupčastih prijenosa gdje pogonski zupčanik mora izvršiti određeni zakret prije nego što se pokrene labavo vezani prihvatni zupčanik

7

1.4. Pregled nelinearnih elemenata programskog paketa MATLAB – Simulink

U ovom poglavlju bit će dat pregled osnovnih nelinearnosti, te objašnjen način njihove uporabe u programskom paketu MATLAB – Simulink

dvopoložajni (idealni) relej 1

Idealan dvopoložajni relej možemo modelirati pomoću matematičke funkcije signum, koja ima vrijednost -1 za varijable manje od nule, a vrijednost 1 za varijable veće od nule. Znači da će odziv na sinusnu pobudu odgovarati odzivu idealnog releja koji za ulazne vrijednosti manje od nule na izlazu daje -1, a za ulazne vrijednosti veće od nule na izlazu daje 1.

Na slici 1.4. prikazan je odziv dvopoložajnog (idealnog) releja na sinusoidnu pobudu

Slika 1.4. Dvopoložajni relej u simulinku

Dvopoložajni idealni relej može se modelirati i na drugi način:

dvopoložajni (idealni) relej 2

Na slici 1.5. prikazan je odziv dvopoložajnog (idealnog) releja na sinusoidnu pobudu

Slika 1.5. Dvopoložajni relej u simulinku

8

Tablicom na slici 1.6. prikazana su svojstva korištene nelinearnosti (idealnog releja)

Slika 1.6. Tablica parametara dvopoložajnog releja

Tablica parametara prikaže se tako da se kursor pozicionira na blok koji predstavlja dotičnu nelinearnost te pritisne na desnu tipku miša. Ispunjavanjem ove tablice moguće je kreirati različite nelinearne modele releja, pa je tako očito da će u slučaju potrebe korištenja nelinearnosti tipa histereze biti korišten isti blok u programskom paketu Simulink, ali će parametri tog releja biti drugačije podešeni. Pri tom se prvenstveno misli na Točke uključenja i isključenja releja (Switch on point & Switch off point).

dvopoložajni relej s histerezom

Na slici 1.7. prikazan je odziv dvopoložajnog releja s histerezom na sinusoidnu pobudu

Slika 1.7. Dvopoložajni relej s histerezom u simulinku

9

Tablicom na slici 1.8. prikazana su svojstva korištene nelinearnosti (dvopoložajnog releja s histerezom)

Slika 1.8. Tablica parametara dvopoložajnog releja s histerezom

pojačanje s mrtvom zonom

Na slici 1.9. prikazan je odziv nelinearnosti tipa pojačanje s mrtvom na sinusoidnu pobudu

Slika 1.9. Pojačanje s mrtvom zonom u simulinku

Tablicom na slici 1.10. prikazana su svojstva korištene nelinearnosti (pojačanje s mrtvom zonom)

10

Slika 1.10. Tablica parametara pojačanja s mrtvom zonom

Za vrijeme dok je signal na ulazu u nelinearnost unutar granica početka i završetka mrtve zone (u ovom slučaju od -0.5 do +0.5) na izlazu iz nelinearnosti nema signala (tj. vrijednost signala na izlazu je 0V). Kada signal na ulazu ''izađe iz mrtve zone'' , tj. prijeđe vrijednosti ±0.5, na izlazu nelinearnost daje pojačan signal s ulaza.

zasičenje

Na slici 1.11. prikazan je odziv zasičenja na sinusoidnu pobudu

Slika 1.11. Zasičenje u simulinku

Tablicom na slici 1.12. prikazana su svojstva korištene nelinearnosti (zasičenja)

11

Slika 1.12. Tablica parametara zasičenja

Nelinearnost signal sa svogu ulaza prenosi na izlaz uz određeno pojačanje sve dok signal na ulazu ne dosegne vrijednost gornje ili donje točke isključivanja. Nakon toga signal na izlazu poprima karaktar konstante po iznosu jednake točki u kojoj je došlo do preklapanja (u ovom slučaju radi se o točki ±0.5 ).

1.5. Jednadžbe relejnih sustava

Jednostavna blok shema relejnog sistema dana je na slici 1.13.

Slika 1.13. Relejni sustav upravljanja

Jednadžba linearnog dijela glasi:

Jednadžba relejnog elementa glasi:

12

Jednadžba signala upravljanja glasi:

ili u Laplaceovom području

Iz gore navedene tri jednadžbe slijedi da je pogreška:

ili uvedemo li “t“ varijablu:

Ako nas interesira izlazni signal, a ne signal upravljanja, na analogni način slijedi:

Prema tome, da bi odredili izlaz iz nelinearnog sustava potrebno je poznavati ulaznu pobudu f(t), karakteristiku nelinearnog elementa i prijenosnu funkciju linearnog člana W(s).

1.6. Prijelazne pojave u relejnim sustavima

Iz specifičnosti karakteristika relejnih elemenata proizlazi da na njihovom izlazu gotovo u pravilu imamo ± KP ili 0. Impulsi konstantne amplitude dolaze na linearni dio i odziv se traži poznatim metodama za linearne sustave.

1.6.1. Prijelazne pojave u sustavima s idealnim relejem

Iz dosad izloženog znamo da za sustav na Slici 1.14. vrijedi:

13

Slika 1.14. Nelinearan sustav

Za idealni relejni element, relejna funkcija glasi:

Damo li funkciji x(t) neki proizvoljni oblik, lako se može odrediti oblik izlaznog signala y(t) iz relejnog elementa. Točke u kojima y(t) mijenja predznak nazivaju se “točkama preklapanja” i nastupaju u trenutcima x(tk) = 0, odnosno f(tk) = z(tk). Dobiveni izlazni signal y(t), pravokutni je valni oblik koji se može rastaviti na zbroj međusobno pomaknutih odskočnih funkcija amplitude KP, odnosno ±2KP. Ovaj postupak prikazan je na slici 1.15.

14

Slika 1.15. Signali na ulazu x(t) i izlazu y(t) iz dvopoložajnog (idealnog) releja

15

U skladu sa Slikom 1.15., izlaz iz nelinearnog elementa y(t), odziv na proizvoljni signal x(t), može se napisati kao suma odskočnih pobuda amplitude KP na način:

ili općenito

Laplace-ova transformacija tog izraza daje:

Primjenimo li već prije smo napisan izraz da je jednadžba linearnog dijela

odnosno

uz

možemo pisati

izvršimo li inverznu Laplaceovu transformaciju gornjeg izraza dobijemo:

što predstavlja općeniti oblik odziva iz nelinearnog sustava za slučaj kada je u direktnoj

grani u seriju sa objektom vezan idealni preklopni element.

U razvijenoj formi možemo pisati:

16

Iz napisanog, lako je zaključiti – da bi utvrdili tok prijelaznog procesa u relejnim sustavima sa idealnim relejem potrebno je poznavati:

Odziv linearnog dijela sustava na jediničnu odskočnu funkciju Točke preklapanja

Budući da određivanje točaka preklapanja slijedi iz uvjeta:

f(t) = z(t)

gornjim uvjetima je potrebno dodati i poznavanje pobudne funkcije f(t)!

Točke preklapanja možemo odrediti ili pomoću grafičkog konstruiranja ili numerički pomoću izraza za z(t). I jedan i drugi način bit će ilustrirani na primjeru koji slijedi.

1.6.1.1. Grafička metoda određivanja točaka preklapanja

Sustav je zadan blok-dijagramom prema slici 1.16.:

Slika 1.16. Blok –dijagram zadanog sustava

Pobudna funkcija oblika je jedinične odskočne pobude, nelinearni element je idealni relej koji preklapa na KP = ±3, a odziv linearnog dijela sustava na jediničnu odskočnu pobudu lako izračunamo na način:

uz:

slijedi:

17

što rastavljeno na parcijalne razlomke daje:

Inverznom Laplaceovom transformacijom, dobijemo:

Izračunajmo i KP·h(t):

Poznavajući ulaznu pobudu, karakteristiku nelinearnog člana i KP·h(t), grafički

konstruiramo oblik izlaznog signala z(t) i određujemo točke preklapanja iz uvjeta f(t)=z(t)

na način:

1. u početnom trenutku na ulazu u nelinearni element dolazi signal x(t)=f(t)=1, a na

izlazu iz nelinearnog elementa imamo odskočnu pobudu amplitude KP=+3

2. odskočna pobuda amplitude KP= +3 dolazi na ulaz linearnog dijela sustava i na

njegovom izlazu imamo odziv KP·h(t)

3. odziv iz linearnog dijela sustava, u tom početnom trenutku, je ujedno i odziv iz

čitavog sustava tj. vrijedi: z(t)=KP·h(t)

4. gornji izraz vrijedi sve do trenutka kada relej preklopi, a preklapanje nastupa u

trenutku t1, kada izlazna funkcija z(t) postane jednaka ulaznoj funkciji f(t) tj.

z(t)=f(t)

5. u trenutku t1, nelinearni element preklopi sa vrijednosti +3 na vrijednost -3 što se na

ulazu linearnog člana manifestira kao odskočna pobuda kašnjenja t1 i amplitude -6,

odnosno -2KP

6. na izlazu iz linearnog dijela sustava sada je signal -2KPh(t-t1)u(t-t1), a na izlazu iz

čitavog regulacijskog sustava je z(t)=KPh(t)-2KPh(t-t1)u(t-t1)

7. novo preklapanje nastupi u trenutku t2, kada ponovno izlazni signal postane jednak

ulaznom signalu

18

8. u trenutku t2, nelinearni element preklopi sa vrijednosti -3 na vrijednost +3 što se na

ulazu linearnog člana manifestira kao odskočna pobuda kašnjenja t2 i amplitude +6,

odnosno +2KP

9. na izlazu iz linearnog dijela sustava sada je signal +2KPh(t-t2)u(t-t2), a na izlazu iz

čitavog regulacijskog sustava je z(t)=KPh(t)-2KPh(t-t1)u(t-t1)+ 2KPh(t-t2)u(t-t2)

10. postupak ponavljamo sve dok ne dobijemo onoliko preklopnih točaka koliko ih

želimo

Ilustracija gore navedenog, dana je na slici 1.17.:

Slika 1.17. Grafički postupak određivanja vremena preklapanja

za sustav sa idealnim relejem u direktnoj grani

19

Poznavajući odziv sustava z(t), lako je rekonstruirati oblik signala na izlazu iz nelinearnog

elementa y(t), a poznavajući oblik signala y(t), lako je doći i do oblika signala pogreške

x(t), što je prikazano na slici 1.18.

Slika 1.18. Signal na izlazu iz relejnog elementa y(t) i signal pogreške x(t)

1.6.1.2. Numerička metoda određivanja točaka preklapanja

Da bi numeričkim putem odredili točke preklapanja potrebno je poznavati:

a) odziv linearnog dijela sustava na jediničnu odskočnu pobudu, tj. funkciju h(t):

b) općeniti oblik izraza za funkciju na izlazu iz sustava z(t), ovisno o zadanoj nelinearnosti

u direktnoj grani:

20

za promatrani slučaj vrijedi (za prva četiri vremena preklapanja):

0 < t < t1

t1 < t < t2

t2 < t < t3

t3 < t < t4

gdje su:

c) uvjet preklapanja koji ovisi o zadanom relejnom elementu:

x(t) = f(t) – z(t)

z(t) = f(t) – x(t)

za zadani idealni relejni element, preklapanje nastupi u trenutku kada je x(t)=0, pa vrijedi:

z(t) = f(t) = 1

što znači da svaki put kada vrijednost izlazne funkcija z(t) bude jednaka ulaznoj funkciji

f(t) zadani relejni element preklopi sa +KP vrijednosti na –KP ili obratno!

T

[sek]z(t)=H0

21

0.1 0.061

0.2 0.209

0.3 0.410

0.4 0.630

t1 0.5 0.855 H1 z(t)=H0+H1

0.6 1.076 -0.033 1.043

t2 0.7 1.286 -0.255 1.031 H2 z(t)=H0+H1+H2

0.8 1.480 -0.610 0.870 0.033 0.903

0.9 1.660 -1.033 0.627 0.255 0.882

t3 1.0 1.820 -1.480 0.340 0.610 0.950 H3

1.1 1.970 -1.930 0.040 1.033 1.073 …

1.2 2.096 -2.370 -0.280 1.480 1.200 …

1.3 2.210 -2.770 -0.560 1.930 1.370 …

1.4 2.310 -3.150 -0.840 2.370 1.530 ...

1.5 2.399 -3.487 -1.088 2.770 1.682 ...

Prvi prijelaz funkcije z(t) sa vrijednosti koja je manja od jedan na vrijednost veću od jedan

desi se negdje između 0.5 i 0.6 [sek]. Proizvoljno odaberemo da je z(t) = 1 na polovini tog

intervala tj. t1 = 0.55. Isto vrijedi i za intervale od 0.6 do 0.7 [sek] i od 1.0 do 1.1 [sek].

Slijede, numeričkim putem, dobivene približne vrijednosti za prva tri vremena preklapanja:

t1 0.55 [sek]

t2 0.75 [sek]

t3 1.05 [sek]

22

1.7. Primjeri određivanja prijelaznih pojava relejnih sustava

Primjer 1:

Blok shemom na slici 1.19. zadan je nelinearan sustav

Slika1.19. Nelinearni regulacijski sustav

Pri čemu je nelinearnost idealni reley :

f(t)=3

Kp=1 _

z(t)=?

23

Odziv linearnog dijela sustava na jediničnu odskočnu funkciju:

i prikazan je na slici 1.20.

Slika1.20. Odziv na jediničnu odskočnu pobudu - h(t)

točke preklapanja:

za idealan reley vrijedi:

za 0 < t < t1

Slikom 1.21. prikazan je izračunati signal pogreške

Slika 1.21. Signal pogreške – x(t)

Da bi došlo do preklapanja x(t) mora poprimiti vrijednost 0 ( x(t)=0 ). Sa slike 1.21. se vidi da uvjet preklapanja nikad neće biti zadovoljen pa je odziv sustava jednak odzivu linearnog dijela sustava na jediničnu odskočnu funkciju, tj. vrijedi :

z(t) = h(t)

Općenito, za idealan reley, do preklapanja do preklapanja dolazi kad je ispunjen uvjet :

budući da preklapanje nastupa kad je : x(t) = 0, tj. f(t) = z(t)

Primjer 2:

Za sustav sa slike 1.22. gravički i numerički odrediti prve 3 točke preklapanja

Slika 1.22. Nelinearni regulacijski sustav

nelinearnost je histereza:

f(t)=1

Kp=3

x = 0.1 _

z(t)=?

Odziv linearnog dijela sustava na jediničnu odskočnu funkciju:

Slika1.23. Odziv na jediničnu odskočnu pobudu - h(t)

točke preklapanja:

Dvopoložalni reley s histerezom ima dvije točke preklapanja, i to za:

1.) slučaj rastučeg signala pogreške x(t)

Preklapanje nastupa kada pogreška poprimi vrijednost 0.1 x(t) = 0.1

tj. kad izlazni signal z(t) padne na vrijednost 0.9 x(t) = f(t) – z(t) _

z(t) = 0.9

2.) slučaj opadajučeg sugnala pogreške x(t)

Preklapanje nastupa kada pogreška poprimi vrijednost -0.1 x(t) = - 0.1

tj. kad izlazni signal z(t) naraste na vrijednost 1.1 x(t) = f(t) – z(t) _

z(t) = 1.1

grafička metoda određivanja točaka preklapanja:

numerička metoda određivanja točaka preklapanja

Za zadanu nelinearnost, histerezu, opći oblik izraza za funkciju na izlazu je:

za 0 < t < t1 : z(t) = Kp*h(t) = H0

za t1 < t < t2 : z(t) = Kp*h(t) – 2Kp*h(t-t1)u(t-t1) = H0 + H1

za t2 < t < t3 : z(t) = Kp*h(t) – 2Kp*h(t-t1)u(t-t1) + 2Kp*h(t-t2)u(t-t2) = H0 + H1 + H2

gdje su :

Računaju se vrijednosti izlazne funkcije z(t). Preklapanje nastupa kad, pri svom porastu, funkcija z(t) dosegne vrijednost 1.1, te kad pri opadanju dosegne vrijednost 0.9. Rezultati se upisuju u tablicu.

t [sek] z(t)=H0

0.1 0.061

0.2 0.209

0.3 0.410

0.4 0.630

0.5 0.855

t1 0.6 1.076 H1 z(t)=H0+H1

0.7 1.286 -0.010 1.186

t2 0.8 1.480 -0.385 1.095 H2 z(t)=H0+H1+H2

0.9 1.660 -0.779 0.887 … …

1.0 1.820 -1.210 0.610 0.122 0.732

1.1 1.970 -1.660 0.310 0.419 0.729

1.2 2.096 -2.110 -0.170 0.815 0.798

1.3 2.210 -2.530 -0.320 1.257 0.937

t3 1.4 2.310 -2.930 -0.616 1.709 1.093 H3

1.5 2.399 … … … … ...

Prvi prijelaz funkcije z(t) sa vrijednosti koja je manja od 1.1 na vrijednost veću od 1.1 dogodi

se negdje između 0.6 i 0.7 [sek]. Proizvoljno odaberemo da je z(t) = 1.1 u trenutku 0.61s tj. t1

0.61.

Drugi prijelaz funkcije z(t) sa vrijednosti veće od 0.9 na vrijednost manju od 0.9 dogodi se u

intervalu od 0.8 do 0.9 [sek] i to dosta blizu vrijednosti 0.9, pa proizvoljno biramo t2 0.9

kao drugo vrijeme preklapanja.

Slijede, numeričkim putem, dobivene približne vrijednosti za prva tri vremena preklapanja:

t1 0.61 [sek]

t2 0.9 [sek]

t3 1.4 [sek]

Primjer 3

Za sustav sa slike 1.24. grafički i numerički odrediti prve četri točke preklapanja

Slika 1.24. Nelinearni regulacijski sustav

nelinearnost je histereza s mrtvom zonom:

f(t)=1

Kp=2

x = 0.1 _

z(t)=?

Odziv linearnog dijela sustava na jediničnu odskočnu funkciju:

Slika1.25. Odziv na jediničnu odskočnu pobudu - h(t)

točke preklapanja:

Dvopoložalni reley s histerezom ima četri točke preklapanja, po dvije za:

a) slučaj rastučeg signala pogreške x(t), tj. slučaj opadajučeg izlaznog signala z(t)

1.) Preklapanje nastupa kada pogreška poprimi vrijednost 0.1 x(t) = x0

tj. kad izlazni signal z(t) padne na vrijednost 0.9 x(t) = f(t) – z(t) _

z(t) = 0.9

2.) Preklapanje nastupa kada pogreška poprimi vrijednost ax0 x(t) = - a x0

tj. kad izlazni signal z(t) padne na vrijednost 1 + a x0 x(t) = f(t) – z(t) _

z(t) = 1 + a x0

b) slučaj opadajučeg sugnala pogreške x(t), tj. slučaj rastučeg izlaznog signala z(t)

1.) Preklapanje nastupa kada pogreška poprimi vrijednost - 0.1 x(t) = - x0

tj. kad izlazni signal z(t) poraste na vrijednost 1.1 x(t) = f(t) – z(t) _

z(t) = 1.1

2.) Preklapanje nastupa kada pogreška poprimi vrijednost ax0 x(t) = a x0

tj. kad izlazni signal z(t) poraste na vrijednost z(t) = 1 - a x0 x(t) = f(t) – z(t) _

z(t) = 1 - a x0

Ako pretpostavimo da je u početnom trenutku (t = 0) izlazni signal z(t) = 0 x(t) = 1, očito je da će za t>0, do prvog preklapanja, izlazni signal z(t) rasti, a signal pogreške x(t) opadati. S obzirom na ovo, te činjenicu da je nelinearnost histereza s mrtvom zonom, vrijedi:

prvo preklapanje nastupa u trenutku t1 za x(t) = a x0 , tj. z(t) = 1 - a x0 signal pogreške nakon prvog preklapanja nastavlja padati, tj. izlazni signal nastavlja rasti.

drugo preklapanje nastupa u trenutku t2 za x(t) = - x0 , tj. z(t) = 1 + x0 = 1.1 nakon drugog preklapanja signal pogreške počinje rasti, tj. izlazni signal počne opadati

treće preklapanje nastupa u trenutku t3 za x(t) = - ax0 , tj. z(t) = 1 + ax0 signal pogreške nakon trečeg preklapanja nastavlja rasti, tj. izlazni signal nastavlja padati

četvrto preklapanje nastupa u trenutku t4 za x(t) = x0 , tj. z(t) = 1 - x0 = 0.9 nakon četvrtog preklapanja signal pogreške ponovno počinje padati, tj. izlazni signal

počinje rasti

numerička metoda određivanja točaka preklapanja

Za zadanu nelinearnost, histerezu s mrtvom zonom, opći oblik izraza za funkciju na izlazu je:

za 0 < t < t1 : z(t) = Kp*h(t) = H0

za t1 < t < t2 : z(t) = Kp*h(t) - Kp*h(t-t1)u(t-t1) = H0 + H1

za t2 < t < t3 : z(t) = Kp*h(t) - Kp*h(t-t1)u(t-t1) - Kp*h(t-t2)u(t-t2) = H0 + H1 + H2

za t3 < t < t4 : z(t) = Kp*h(t) - Kp*h(t-t1)u(t-t1) - Kp*h(t-t2)u(t-t2) + Kp*h(t-t2)u(t-t2)

= H0 + H1 + H2 + H3

gdje su :

grafička metoda određivanja točaka preklapanja:

Na slici 1.26. prikazana je grafička metoda određivanja točaka preklapanja, kao i oblik signala pogreške x(t), upravljačkog signala y(t), te oblik izlaznog signala z(t).

Slika 1.26. Signali x(t), y(t), z(t);

grafička metoda određivanja točaka preklapanja

2. Režimi rada relejnih sustava

Da bi definirali moguće režime rada relejnih sustava pretpostaviti ćemo da karakteristika relejnog elementa ima oblik:

Slika 2.1. tropoložajni relej (relej s zonom neosjetljivosti)

te, da narinuti vanjski signal f(t) djeluje kratkotrajno, pobudi sustav i prestane djelovati.

S obzirom na oblik odziva razlikujemo tri vrste relejnih sustava:

Prigušeni procesi

Rastući procesi

Ograničeni procesi

Prigušeni procesi

Prigušeni procesi karakterizirani su: - signalom x(t) koji s porastom vremena, teži ka nuli- stabilnim režimom rada- y(t) predstavljen je konačnim brojem impulsa

Slika 2.2. grafički prikaz ulaznog i izlaznog signala prigušenog procesa

Rastući procesi

Karakteristike rastućih procesa su:- signal x(t) s porastom vremena raste bez ograničenja- nestabilan režim rada- upravljački signal y(t) predstavljen je beskonačnim nizom impulsa

kojima raste duljina trajanja

Slika 2.3. grafički prikaz ulaznog i izlaznog signala rastućeg procesa

Ograničeni procesi

Kod ograničenih procesa dolazi do tzv. autooscilacija, odnosno ulazna funkcija x(t) se periodički mijenja prolazeći kroz ± x0 u jednakim vremenskim intervalima . Izlazna funkcija y(t) je također periodična impulsna funkcija s impulsima jednake duljine.

Slika 2.3. grafički prikaz ulaznog i izlaznog signala ograničenog procesa