Upload
cristian-petre-batusel
View
240
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
7/22/2019 Analiza numerica Partea I
1/12
PARTEA I
PRINCIPIILE MATEMATICII NUMERICE
ANALIZA STABILITII I ERORILOR
1.1. Probleme stabile (sau bine puse)
Considerm problema: calculeazxastfel nct 0dxF , (1)
unde deste mulimea datelor de care depinde soluia xiFeste relaia funcional ntrexi d.n funcie de problema particular rezolvat, xi dpot fi din R, din Rn(vectori)sau din Rmxn(matrice).
Definiia 1.DacFi d sunt date (cunoscute), problema (1) se numete direct. DacFix sunt date, problema (1) se numete invers. Dac d ix sunt date, problema (1) se numete
problem de identificare.Definiia 2. Problem (1) se numete stabil sau bine pusdac soluia xeste unic i
depinde continuu de datele d. Dac problema (1) nu este stabil, pentru rezolvarea sa numericeste necesar transformarea ei ntr-o problem stabil.
Observaie. Prin dependen continu de date nelegem faptul c perturbaii mici aledatelor ddetermin modificri mici ale soluieix. Cu alte cuvinte, dac d este perturbareaadus datelor i x este perturbarea indus soluiei i are loc relaia
0 ddxxF , (2)atunci,
dK , 0 astfel nct dxd
ddKxd ,
undex
. este norma pe spaiul soluiilor id
. este norma pe spaiul datelor.
n continuare, pentru simplificare, vom nota ambele norme cu . , faptul c o norm
este definitpe un spaiu sau cellalt fiind neles din context.
Exemplul 1. Fie polinomul 112 24 aaxaxxp . Problema 0, axF ,unde xpaxF , nu este stabil deoarece exist o variaie discontinu a numruluirdcinilor din Rale lui xp funcie de parametrul continuu a.
Evident, notnd 02 xt , rezult
01122 aatat ,
cu soluiile 11 at i at 2
Dac 1a sunt 4 soluii distincte n R Dac 1a , 1,0 21 tt i sunt 4 soluii n R(dou confundate) Dac 10 a sunt 2 soluii distincte n R Dac 0a sunt 2 soluii confundate n R Altfel, problema nu are soluii n R
Observaie. Condiia de unicitate a soluiei poate fi ndeplinit, dac prin soluienelegem un vector cu fiecare component rdcin a polinomului (vezi exemplul 2). Pentruca acest lucru s fie posibil trebuie ca, indiferent de date (aa cum este formulat problema,
a R), numrul rdcinilor s rmn acelai. De exemplu, problema devine este stabilpentru mulimea datelor satisfcnd 4a .
7/22/2019 Analiza numerica Partea I
2/12
Definiia 3.Pentru problema (1) indicatorul de condiierelativeste definit prin
dd
xxdK
Dd
sup
unde D este o vecintate a originii i desemneaz setul perturbaiilor admisibile asupradatelor dpentru care problema perturbat (2) are sens. Dac 0d sau 0x este definitindicatorul de condiie absolut, prin
d
xdK
Ddabs
sup
Definiia 4. Problema (1) este bine condiionat dac dK este mic pentru oriceperturbaie admisibil.
Observaie. Chiar dac indicatorul de condiie formal este infinit, problema poate fireformulat echivalent astfel nct s devin problem stabil (vezi exemplu 2).
Dac problema (1) admite o soluie unic, atunci exist o funcie G, numitfuncie carerezolv problema (rezolvitor), definit pe mulimea valorilor datelor dcu valori n mulimeavalorilor soluiei i astfel nct
0,, ddGFdGx (3)Pe baza relaiei(2), rezult
ddGxx (4)Dac Geste difereniabil, din dezvoltarea n serie Taylor, prin aproximare de ordinul I,
obinem, dOddGdGddG ' , pentru 0d
ddGdGddG ' Pe baza relaiilor (3) i(4), obinem,
dGddGxddGx
dd
dGddG
dd
dGdGddG
dd
xxdK
DdDdDd
'supsupsup
Observaie. Dac :G Rn Rm, atunci dG' este matricea Jacobian calculat nvectorul d.
Deoarece, dac . este norma unui vector, rezult c funciax
AxA
x 0
sup
este norma
indus pe mulimea matricelor, obinem,
dGd
ddG
Dd
''
sup
i deci
dG
ddGdK '
Similar, dGdKabs '
Observaie. Dac :G Rn Rm, atunci dG' este matricea Jacobian calculat n
vectorul d.Exemplul 2.Fie ecuaia algebric de gradul II,
7/22/2019 Analiza numerica Partea I
3/12
0122 pxx , cu 1p
Deoarece 14 2 p , rdcinile sunt 12 ppx .n acest caz 12, 2 pxxpxF , pd i x este vectorul Txx , . Funcia
rezolvitor este,
:G RR2, TxxpG ,
TpppppG 1,1 22 Obinem,
11
11
'
2
2
p
p
p
p
pG
Considernd 222 ,.. yxy
x
, rezult,
2411 22222 ppppppG
1
24
11
11'
2
22
2
2
2
p
p
p
p
p
ppG
pp
Obinem,
1'
2 p
p
pG
ppGpK
Concluzii
1. n cazul rdcinilor bine separate (de exemplu 2p ), problema 0, pxF estebine condiionat.
2. n cazul rdcinilor multiple, pentru 1p , funcia :G RR2,
TpppppG 1,1 22 nu este difereniabil, deci pK nu poate fi calculat nfuncie de G.
n plus, dac 1p , dar este apropiat de 1, pK are valori mari i problema nu este
bine condiionat. Problema poate fi reformulat ntr-o manier echivalent i astfel nct sdevin stabil.
Fie 11
,2
2
xt
txtxF , 0, txF , cu 12 ppt .
Evident, pt
t2
1 2
.
Cele dou rdcini suntt
x 1 , tx
1
11
2
2
pppp i coincid pentru
1 pt . Pentru funcia considerat, rezult
7/22/2019 Analiza numerica Partea I
4/12
T
tttG
1
T
ttG
2
11'
t
t
tttG
11 4
2
2
2
4
4
111'
t
t
ttG
Rezult,
1' tG
ttGtK
deciproblema este stabil n aceast reprezentare.
1.2. Stabilitatea i convergena metodelor numerice
Considerm c problema (1) este stabil. O metod numeric pentru aproximareasoluiei problemei (1)este n general o secven de probleme ce depind de 1n ,
1,0, ndxF nnn (5)
i astfel nct xxn cnd n , adic soluia numeric este convergent ctre soluia
exact. Pentru aceasta trebuie ca ddn i nF s aproximezeFcnd n .
Definiia 5. Dac setul de date ddin (1) este admisibil pentru nF , problema numeric
(5) se numete consistentdac
0,,, dxFdxFdxF nn cnd n . (xeste soluia problemei 1)O metod se numete consistent n sens tare dac
0,,, dxFdxFdxF nn pentru orice n(nu numai dac n ).Definiia 6.n cazul metodelor iterative, problema (5) are forma,
qndxxxF nqnnnn ,0,,...,, 1 (6)
cu 110 ,...,, qxxx valori date. n acest caz consistena n sens tare revine la verificarea
proprietii, qndxxxFn ,0,,...,, (7)
Exemplul 4. Fie metoda iterativ de aproximare a rdcinii unice a funciei:f RR, dat de relaia
1,' 1
11
nxf
xfxx
n
nnn , 0x dat. (metoda Newton)
Conform definiiei, metoda este consistent n sens tare, deoarece 1,0,, nfFn , unde
1,
',,
1
111
nxf
xfxxfxxF
n
nnnnnn
ntr-adevr,
1,0'
,, nfffFn
, deoarece este rdcina funcieif.
7/22/2019 Analiza numerica Partea I
5/12
Definiia 7.O metod numeric asociat problemei (1) este stabil (bine pus)dac,pentru orice 1n s aib loc proprietatea,
nnnnn ddKxddK ,:,0 Similar problemei (1), pentru fiecare problem din secvena (5) sunt definii indicatorii
nn
nn
Ddnn
ddxxdK
nn
sup
n
n
Ddnnabs
d
xdK
nn
sup,
i definim:
indicatorul condiie asimptotic relativ: nnknk
nnum
dKdK
suplim
indicatorul condiie asimptotic absolut: nnabsknk
nnumabs dKdK ,suplim
Metoda numeric este bine condiionat dac
num
K este suficient de mic pentru toatedatele admisibile nd .
Similar problemei (1), dac presupunem existena cte unei soluii unice nx a celei de-a
n-a probleme din secvena (5), atunci exist cte o funcie care rezolv problema(rezolvitor),
nG definit prin,
1,0,, nddGFdGx nnnnnnn Dac nG este difereniabil, similar indicilor condiie definii pentru problema (1), sunt
calculai indicii condiie asimptotic prin,
nnnnnnndGddGdK '
nnnnabs dGdK ',
Exemplul 5. Fie problema din exemplul 2 i considerm 1p (cazul rdcinilor
separate). Dac 12 ppx este evaluat direct algoritmul nu este stabil. ntr-adevr,
pentru p cu valori mari, calculul formulei
12 pp
0deapropiateste12pp induce erori mari de calcul datorit
reprezentrii aritmetice finite (vezi 1.5, situaia subdepirii de domeniu). Variantele derezolvare a problemei de subdepire:
calculeaz 12 ppx i, evident,
x
x 1
rezolv ecuaia pentru domeniu ce conine numai valoare
x cu metoda Newton
1,' 1
1
1
nxf
xfxx
n
n
nn , 0x dat
1,22
12
1
1
2
1
1
npG
px
pxxxx n
n
nn
nn
7/22/2019 Analiza numerica Partea I
6/12
px
pxxxxpxxF
n
nn
nnnn22
12,,
1
1
2
1
11
pxx
pGn
n
n
1
2
1
2
1
21
21
2
1'
px
xpG
n
n
n
px
p
pG
ppGpK
nn
nn
1
'
px
ppK
nknk
num
1
suplim
Dar 121 ppx nn deoarece 12 ppxxn sau
1
2
ppxxn Rezult,
12
p
ppKpK
num
n
deci metoda nu este bine condiionat cnd 1p , altfel metoda este bine condiionat.
Definiia 8.Metoda numeric (5) este convergent dac,
nnn ddxdxndnn
nn
,,
:,,,0
00
00
unde deste setul datelor admisibile pentru (1), dx este soluia problemei (1) i nn ddx este soluia problemei (5) cu setul de date ndd .
Observaie. Pentru a verificaproprietatea de convergen a metodei numerice (5) estesuficientverificarea urmtoarei proprieti,
2
nnn ddxddx
ntr-adevr, din regula triunghiului obinem,
2def.2
,0
nnnn
nnnn
nnnnnn
dnKddxddxx
ddxddxddxdx
ddxddxddxdxddxdx
Prin alegerea lui nd astfel nct 2
,0
ndnK , rezult,
nn ddxdx
Cele mai utilizate msuri ale convergenei irului 1nnx sunt
eroarea absolut: nn xxxE eroarea relativ: 0
xx
xx
xE n
nrel
7/22/2019 Analiza numerica Partea I
7/12
dac soluia este vector sau matrice sunt utilizate erorile pe componente,
ji
jin
jin
c
relx
xxxE
,
,
,max
Observaii.
1. Dac problema (1) este bine pus, pentru ca metoda numeric s convearg eatrebuie s fie stabil.
2. Pentru orice metod numeric cu proprietatea c este consistent, stabilitatea esteechivalent cu convergena (teorema Lax-Richtmyer)
1.3. Analiza a priori i a posteriori a stabilitii
Analiza stabilitii unei metode numerice poate fi realizat a priori n una dinurmtoarele variante
analiza nainte (forward analysis), care furnizeaz o limit a variaiei soluiei,nx , datorate perturbaiei n date i erorile intrinseci ale metodei numerice;
analiza napoi (backward analysis), care are ca scop estimarea perturbaiilor caresunt aduse datelor unei probleme specificate pentru a obine rezultatul calculatde metod. Cu alte cuvinte, dat fiind soluia calculat nx , scopul este de a
determina perturbaia n setul de date, nd , astfel nct 0, nnn ddxF .Analiza a priori poate fi utilizat i pentru investigarea proprietii de convergen a
metodelor numerice, caz n care este referit drept analiza a priori a erorilor.Analiza a posteriori are ca scop evaluarea erorii
nxx ca funcie a reziduurilor,
dxFr nn , prin intermediul unor constante numite factori de stabilitate, unde
nx
este soluia calculatnumeric, aproximare a luix, soluia problemei (1).
1.4. Surse de eroare n modelele de calcul numeric
Dac problema numeric (5) este o aproximare a problemei matematice (1) care, larndul ei este modelul unei probleme reale (fizice) PP, problema (5) este numit model decalcul al problemei PP.
Eroarea global, e, este definit ca diferena dintre soluia calculat de modelul declacul (5), nx , i soluia problemei PP, PPx modelate prin problema (1) care are soluiax.
Eroarea global poate fi interpretatca cm eee , unde,
me , eroarea modelului matematic, PPm xxe ce , eroarea modelului de calcul, xxe nc
Similar, eroarea modelului de calcul este exprimat prin suma urmtoarelor valori, ae , eroarea indus de algoritmul numeric i erorile de calcul datorate
reprezentrilor numerelor reale n calculator (ca mulime finit de numere cu unnumr finit de zecimale)
ne , eroarea determinat de procesul de transformare a problemei ntr-unadiscret, xxe nn
Situaiile desrise mai sus sunt sintetizate n figura 1.1.
7/22/2019 Analiza numerica Partea I
8/12
PP: PPx
nx
me e
ce
ne ae
Figura 1.1
0, dxF
0, nnn dxF
n general, sursele erorilor sunt urmtoarele, erori datorate modelului, care pot fi corectate printr-o alegere potrivit a
modelului matematic; erori n date, care pot fi controlate prin creterea acurateei msurtorilor; erori de trunchiere, care provin din limitarea numrului de iteraii (etape) ale
algoritmului de calcul al unei soluii;
erori de rotunjire, care sunt cauzate de faptul c n calculator pot fi reprezentatedoar un numr finit de numere reale i acestea au un numr finit de cifrezecimale.
1.5. Reprezentarea numerelor n calculator. Erori de rotunjire
Orice operaie pe calculator este afectat de erori de rotunjire (rounding errors sauroundoff), datorate faptului c din mulimea numerelor reale R, doar o mulime finit pot fireprezentate n calculator.
Reprezentarea numerelor reale(sistemul poziional)
Fie o baz, , , x cu un numr finit de cifre xk, , k=-m, , n( ).Notaia convenional:
(8)
este numit reprezentarea poziional a lui x n raport cu baza , unde s este semnul iarpunctul dintre x0i x-1este punctul zecimal (dac este 10) sau punctul binar (dac este 2).
Reprezentarea (8) este echivalent cu.
Exemplul 6. x10 = 425.31 x6 = 425.31
7/22/2019 Analiza numerica Partea I
9/12
Un numr raional poate avea un numr infinit de cifre n reprezentarea ntr-o baz i unnumr finit de cifre n reprezentarea ntr-o alt baz. De exemplu 1/3 n baza 10 estereprezentat ca 0.(3) iar n baza 3 reprezentarea este 0.1.
Orice numr real poate fi aproximat prin numere cu reprezentare finit. Pentrubaz finit, este ndeplinit urmtoarea proprietate:
(9)unde are un numr finit sau infinit de cifre.
Fie (cu numr finit sau infinit de cifre)i r ,
oarecare. Atunci numerelei
au cte r cifre i snt astfel ncti =
Dac reste astfel nct , atunci rezult (9) cu sau .
Reprezentarea numerelor reale n calculator n sistem flotant (virgul mobil)Dac sntNpoziii de memorie (bii) alocai reprezentrii unui numr n, atunci ei snt
repartizai astfel: unul pentru semn,N-k-1pentru partea ntreag i k pentru partea fracionar., (10)
(sistem virgul fix). (10) este echivalent cu(11)
Sistemul virgul fix limiteaz valorile minime i maxime care pot fi reprezentate, cuexcepia situaiilor n care N este foarte mare. Dezavantajul poate fi depit prin utilizarea uneiscale variabile pentru (11), obinndastfel reprezentarea n sistemul flotant sau virgul mobil,
astfel: (n general i 1 tm obinndu-se forma normalizat),unde:
este numrul cifrelor semnificative , este mantisa, este exponentul.
Fie e: (n general i ). Cele N poziii disponibile snt distribuiteastfel:
1 pentru semn tpentru mantis N-t-1pentru exponent.
Pentru reprezentarea n simpl precizie se folosesc 32 bii iar pentru reprezentarea ndubl precizie se folosesc 64 bii.
7/22/2019 Analiza numerica Partea I
10/12
Fig. 1.2
Fie , . Evident, dac
=> .
n plus, , , .
.
Cel mai mic numr pozitiv din normalizat este . Cel
mai mare numr pozitiv din este (
.
Observaie.Pentru ,2
Dac F nu e normalizat, atunci .
Exemplul 7. Setul conine, n reprezentarea normalizat, urmtoarelenumere pozitive:e=2:
e=1:
e=0:
e=-1:
exponent mantis
exponent mantis
1 8 23
1 11 52
semn
semn
7/22/2019 Analiza numerica Partea I
11/12
n varianta denormalizat snt adugate numere pentru e=-1 (de exemplu, pentru e=2,, deci exist deja reprezentarea):
Observaii:1. n mulimea numerele nu snt egal distanate, ele devenind mai dense ctre cel mai
mic numr care poate fi reprezentat.2. Dac , consecutive, cea mai mic distan posibil este
iar cea mai mare este , unde este denumit epsilon calculati desemneaz
distana ntre 1 i cel mai apropiat minor din F, deci este cel mai mic numr din F cuproprietatea c .
3. Pe intervale de tipul numerele din F snt egal distanate de .4. Spre deosebire de distana absolut dintre dou numere consecutive din F (dea descris la 2. i
3.), distana relativ areun comportament periodic i depinde de mantisa m.
Fie . Numrul urmtor se afl la distana , deci
distana relativ este .
n intervalul , descrete cu creterea lui x (n reprezentarea normalizat
mantisa variaz ntre i exclusiv). Cnd xdevine distana relativ revine lavaloarea i rencepe descreterea. Fenomenul oscilatoriu este cu att mai pronunat cu ct
este mai mare. Este un motiv n plus pentru care este preferatmic.Standardul folosit este IEC559: simpl precizie: , dubl precizie:
cu includerea reprezentrii denormalizate format extins.
Rotunjirea numerelor reale n operaii pe F
Fie (parametrii snt fixai) reprezentarea numerelor reale n calculator.Prima problem de ordin practic este reprezentarea n F a oricrui numr real (chiar dac, nu rezult c , op fiind un operator binar). n consecin, este necesar
definirea unei aritmetici pe F. Cea mai simpl abordare este rotunjirea numerelor. Fie nreprezentarea normalizat (12);xeste substituit cu reprezentarea ,
, unde .
Evident, 1) dac =>2) dac , cu => .
Observaii:
7/22/2019 Analiza numerica Partea I
12/12
1. dac , fl(x) nu este definit; dacxeste rezultatul unei operaii seafl n situaia depirii de domeniu (overflow).
2. Dac , operaia de rotunjire poate fi definit; dac x este rezultatul uneioperaii pe F se afl n situaia de subdepire de domeniu (underflow).
3.
Dac eroarea absolut i eroarea relativ rezultate prinsubstituirea luixcufl(x)este stabilit prin urmtorul rezultat:
, cu ,
unde ( este precizia calculatorului sau unitatea roundoff).
Obinem: pentru eroarea relativ , pentru eroarea absolut
ttttte aaaaaaaaxflxxE ~............. 212121
. Dar
1212121
2
~.............
tttt aaaaaaaa ,
deci.