Embed Size (px)
Citation preview
UNIVERZA V MARIBORU
FAKULTETA ZA GRADBENIŠTVO, PROMETNO INŢENIRSTVO IN ARHITEKTURO
Jasna Kruškić
ANALIZA »SHEAR LAG« EFEKTA NA
NAKNADNO PREDNAPETI BETONSKI
PLOŠČI Z NOSILCI
Magistrsko delo
Maribor, december 2016
II
Smetanova ulica 17
2000 Maribor, Slovenija
Magistrsko delo na študijskem programu 2. stopnje UM
ANALIZA »SHEAR LAG« EFEKTA NA NAKNADNO PREDNAPETI BETONSKI
PLOŠČI Z NOSILCI
Študentka: Jasna Kruškić
Študijski program: 2. stopnja, Gradbeništvo
Smer: Gradbene konstrukcije
Mentor: doc. dr. Milan Kuhta, univ. dipl. inţ. grad.
Somentor: Predrag Presečki, dipl. inţ. grad.
Lektorica: Ana Brunčič, mag. inţ. grad., univ. dipl. nov.
Maribor, december 2016
III
IV
Zahvaljujem se mentorju dr. Milanu Kuhti za pomoč in
vodenje pri opravljanju magistrskega dela. Prav tako se
zahvaljujem somentorju Predragu Presečkemu.
Posebna zahvala velja staršem, ki so mi omogočili študij.
V
ANALIZA »SHEAR LAG« EFEKTA NA NAKNADNO PREDNAPETI BETONSKI
PLOŠČI Z NOSILCI
Ključne besede:
»Shear lag« efekt, Evrokod 2, prednapenjanje, prednapeta plošča,
T-prerez, efektivna širina, nevtralna os, MKE, modeliranje,
kinematične vezi
UDK: 624.072.1.012.46(043.2).
Povzetek
V analizi konstrukcij »shear lag« upoštevamo z modeliranjem efektivne širine pasnice. V
magistrski nalogi je analiziran »shear lag« efekt na naknadno prednapeti monolitni plošči
z nosilci. Obravnavani so tudi nekateri aspekti modeliranja in izračuna prednapete plošče
z nosilci. Analizirane so normalne napetosti v plošči v smeri x-osi in narejena je
primerjava vrednosti efektivnih širin, dobljenih z računalniško analizo na MKE-modelu, ob
variiranju različnih parametrov, ki lahko vplivajo na »shear lag« efekt, z efektivno širino,
določeno s pomočjo izrazov standarda Evrokod 2. Ocenjevana je upravičenost upoštevanja
»shear lag«-a z modeliranjem efektivne širine določene po Evrokod 2 v primeru
prednapete plošče z nosilci majhne togosti. Izkaže se, da je upoštevanje »shear lag«-a z
modeliranjem efektivne širine v tem primeru precej konzervativen pristop.
VI
ANALYSIS OF »SHEAR LAG« EFFECT IN POST-TENSIONED CONCRETE
SLAB WITH BEAMS
Key words: »Shear lag« effect, Eurocode 2, post-tensioning, post-tensioned
slab, T-section, effective width, neutral axis, FEM, modeling,
kinematic constraints
UDK: 624.072.1.012.46(043.2).
Abstract
In global analysis, shear lag effect is usually taken into account by using simplified method
with effective flange width. Master's thesis deals with analysis of shear lag effect in post-
tensioned slab with beams. Paper emphasizes some important aspects of post-tensioned
slab with beams design. Calculation of normal stresses in plate (in x-directions) is
performed for different models, and the influence of some parameters on the shear lag
effect is analysed. Comparison is made between the effective width calculated according to
Eurocode 2 standard and the effective width calculated on finite element models. Accuracy
of the simplified approach to shear lag with effective width in the case of post-tensioned
slab with beams is evaluated. According to results of the analysis, simplified method with
effective width is quite conservative approach.
VII
UPORABLJENI SIMBOLI
Ab površina prereza
Ab,neto neto površina prereza
Ao nazivna površina kablov za prednapenjanje
Ap prerez vseh prednapetih kablov
bo Širina pasnice T-prereza
beff efektivna (sodelujoča) širina pasnice T-prereza
bw širina stojine
c oddaljenost zgornjeg roba prereza od nevtralne osi prereza
D zunanji premer cevi
d dolţina namišljeno toge palice
e Ekscentriciteta
E modul elastičnosti betona
Ecm modul elastičnosti betona
Ep modul elastičnosti jekla za prednapenjanje
F Sila
f puščica loka
F(x,y) Airy-eva funkcija napetosti
fp0,1k karakteristična natezna trdnost jekla pri 0,1 % nepovratne deformacije
fpk karakteristična natezna trdnost jekla za prednapenjanje
H višina nosilca
hf višina pasnice T-prereza
Iy vztrajnostni moment
Iy,b vztranostni moment
k koeficient neravnosti kabla (koeficient valovanja)
L razpon nosilca
l razpon plošče (razmak nosilcev v prečni smeri)
l0 razdalja momentnih ničelnih točk
l1 razpon nosilca
VIII
l2 razpon nosilca
M upogibni moment
Mekviv upogibni moment od celotne obteţbe
Mp upogibni moment od prednapenjalne sile
Mx upogibni moment nosilca okoli x-osi
mxx upogibni moment ploskovnega elementa po koordinati x okoli x-osi
mxy upogibni moment ploskovnega elementa po koordinati x okoli y-osi
My upogibni moment nosilca okoli y-osi
myy upogibni moment ploskovnega elementa po koordinati y okoli y-osi
N osna sila
Np osna sila od prednapenjalne sile
Nx osna sila v smeri x-osi
nxx membranska sila v plošči v smeri x-osi
nyy membranska sila v plošči v smeri y-osi
nzz membranska sila v plošči v smeri z-osi
P(x) sila prednapenjanja
Pm0(x) začetna sila prednapenjanja
Pmax maksimalna vrednost sile prednapenjanja po izgudbah
∆P izgudbe sile prednapenjanja
∆Pel izgudbe sile prednapenjanja zaradi elastične deformacije betona
∆Psl izgudbe sile prednapenjanja na napenjalni glavi
∆Pμ(x) izgudbe sile prednapenjanja zaradi trenja vzdolţ osi kabla
R minimalni radij ukrivljenosti kabla
u pomik v smeri x-osi
u(x,y) funkcija deformacije pasnice v smeri x-osi
u nadomestna obteţba, zvezna linijska obteţba
U nadomestna obteţba, koncentrična sila
U1 nadomestna obteţba, koncentrična sila
u1 nadomestna obteţba, zvezna linijska obteţba
U2 nadomestna obteţba, koncentrična sila
u2 nadomestna obteţba, zvezna linijska obteţba
v pomik v smeri y-osi
IX
V deformacijska energija prereza
V1 deformcijska energija pasnice
V2 deformacijska energija rebra
Vp prečna sila od prednapenjalne sile
Vy prečna sila v smeri y-osi
Vz prečna sila v smeri z-osi
z oznaka koordinate
zp oddaljenost teţišča kabla od teţišča prereza
zT,b teţišče prereza merjeno od zgornjeg roba prereza
w pomik v smeri z-osi
Wsp odpornostni moment „spodaj“
Wzg odpornostni moment „zgoraj“
x oznaka koordinate
x poloţaj nevtralne osi merjeno od zgornjeg roba prereza
y oznaka koordinate
ρ polmer ukrivljenosti
kot spremembe linije poteka kabla za prednapenjanje
µ koeficient trenja med kablom in cevjo
σp,max maksimalna normalna napetost v prerezu od sile prednapenjanja
σpm0(x) začetna napetosti v kablu za prednapenjanje
σx normalna napetost plošče v smeri x-osi
σx,max maksimalna vrednost normalne napetosti zgornjeg roba plošče v smeri x-osi
σx,min minimalna vrednost normalne napetosti zgornjeg roba plošče v smeri x-osi
σx,N normalna napetost v nosilcu v smeri x-osi
σx,Nsp
normalna napetost v nosilcu v smeri x-osi spodaj
σx,Nzg
normalna napetost v nosilcu v smeri x-osi zgoraj
σx,p normalna napetost v srednji ravnini plošče v smeri x-osi
σx,sp normalna napetost v smeri x-osi (spodnji rob prereza)
σx,zg normalna napetost v smeri x-osi (zgornji rob prereza)
σy normalna napetost v smeri y-osi
σz normalna napetost v smeri z-osi
τxy striţna napetost
X
τxz striţna napetost
τyz striţna napetost
υi zasuk vozlišča i
υj zasuk vozlišča j
𝜅 ukrivljenost palice
ɸx zasuk okoli x-osi
ɸy zasuk okoli y-osi
ɸz zasuk okoli z-osi
q zvezna obteţba
XI
UPORABLJENE KRATICE
AB Armiranobetonska
ACI American Concrete Institute
BEAM linijski končni element
EA osna togost
EC 2 Eurocode 2 SIST EN 1992-1-1: 2005
FEMA Federal Emergency Management Agency
KE končni elementi
MKE metoda končnih elementov
n. o. nevtralna os
NSK notranje statične količine
NZS New Zeland Standard
PT »post-tensioned« (naknadno prednapeta)
QUAD ravninski končni element (štirikotnik)
RA računalniška analiza
SIST Slovenski institut za standardizacijo
SP Spodaj
TS Turkish Standards
ZDA Zdruţene drţave Amerike
ZG Zgoraj
XII
VSEBINA
1 UVOD ......................................................................................................... 1
1.1 OPREDELITEV PROBLEMA MAGISTRSKEGA DELA 1
1.2 METODOLOGIJA 2
1.3 OMEJITVE 2
1.4 OČRT MAGISTRSKEGA DELA 3
2 STRIŢNO ZAOSTAJANJE (»SHEAR LAG«) ......................................... 4
2.1 KAJ JE »SHEAR LAG«? 4
2.1.1 Vzrok pojava “shear lag” efekta 4
2.2 NEVTRALNA OS PREREZA IN »SHEAR LAG« 6
2.3 EFEKTIVNA ŠIRINA PASNICE 7
2.3.1 Zakaj računamo efektivno širino? 7
2.3.2 Teoretični pristop k izračunu efektivne širine 8
2.3.3 Izračun efektivne širine po EC 2 11
2.3.4 Izračun efektivne širine na MKE modelu 16
2.4 »SHEAR LAG« V PREDNAPETI PLOŠČI Z NOSILCI 18
3 NAKNADNO PREDNAPETE PLOŠČE ................................................. 20
3.1 PREDNAPETI BETON V VISOKI GRADNJI - PREDNAPENJANJE PLOŠČ 20
3.1.1 Od klasične armiranobetonske do naknadno prednapete plošče 21
XIII
3.2 PROJEKTIRANJE PREDNAPETIH PLOŠČ 22
3.2.1 Nadomestna obteţba prednapenjanja 27
4 MODELIRANJE T-PREREZA ................................................................ 36
4.1 OSNOVE MODELIRANJA T-PREREZA 36
4.2 PRIMER MODELIRANJA T-PREREZA 41
4.2.1 Dimenzije in statični sistem obravnavane konstrukcije 41
4.2.2 Materiali 43
4.2.3 Obteţba plošče 43
4.2.4 Robni pogoji podpiranja in simetrije 43
4.2.5 Model A 45
4.2.6 Model B 47
4.2.7 Model C 48
4.2.8 Model D 49
4.3 PRIMERJAVA REZULTATOV VSEH MODELOV 52
4.3.1 Upogibni moment My 52
4.3.2 Povesi v z-smeri 56
4.3.3 Normalne napetosti v prerezu v smeri x-osi 58
5 ANALIZA »SHEAR LAG«-A .................................................................. 62
5.1 VHODNI PODATKI 62
5.2 PARAMETRIČNA ANALIZA 63
5.2.1 Višina nosilca H 64
5.2.2 Debelina plošče h 68
5.2.3 Razpon nosilca L 71
5.2.4 Tip nadomestne obteţbe prednapenjanja (linija poteka kablov za
prednapenjanje) 75
6 SKLEP ....................................................................................................... 82
XIV
7 VIRI IN LITERATURA ........................................................................... 88
8 PRILOGE .................................................................................................. 90
8.1 DIAGRAMI NORMALNE NAPETOSTI V SMERI X-OSI ZA ŠTIRI MODELE 90
8.2 DIAGRAMI IZ GRAFEM-A (MODEL 0) 94
8.3 SEZNAM SLIK 96
8.4 SEZNAM PREGLEDNIC 100
1
1 UVOD
1.1 OPREDELITEV PROBLEMA MAGISTRSKEGA DELA
Uporaba prednapetih plošč (v nadaljevanju PT-plošče) v visoki gradnji je zaradi
arhitektonskih ţelja po večjih svetlih razponih in ekonomsko-tehnoloških prednosti PT-
plošč zelo pogosta in v zadnjih desetletjih še narašča. Manjša debelina plošče na večjih
razponih ter povečana hitrost gradnje (hitrejše razopaţevanje elementov) predstavlja
investitorju optimalno rešitev. S PT-ploščami premoščamo razpone, kateri bi v primeru
armiranobetonskih plošč (v nadaljevanju AB-plošč) bili povsem neracionalni. Konstrukcije
iz prednapetega betona so v sodobnem gradbeništvu nenadomestljive.
Trenutna praksa v projektiranju PT-plošč še vedno ni »podprta« z Evrokod predpisi,
predvsem zaradi specifike razvoja tehnologije prednapenjanja, ki se ne razvija na podlagi
raziskovanj, pač pa na podlagi empiričnega znanja in inovativnosti inţenirjev. Posledica
tega je, da Evrokod predpisi še vedno nimajo dela, ki bi se nanašal na aspekte projektiranja
in izračuna PT-plošč, čeprav je prednapenjanje plošč v visoki gradnji praktično prisotno v
Evropi ţe 60 let.
V primeru PT-plošč, ojačenimi z nosilci se (zaradi drugačnih dimenzij: nizki nosilci, veliki
karakteristični razpon, široke pasnice...) poloţaja prečne in vzdolţne nevtralne osi
spreminjata po »drugačnih« zakonitostih kot v primeru AB-plošč. Kjer je »obnašanje« PT-
plošč bliţje izračunu po teoriji elastičnosti (zaradi prednapenjanja), večji poudarek je treba
v analizi PT-plošč nameniti omejitvi povesov in izračunu napetosti v plošči za različne
faze (faza napenjanja, faza uporabe...). Zanesljive rezultate glede napetosti in povesov je
moţno zagotovit edino s pravilnim modeliranjem PT-plošč z nosilci (ki so zaradi majhne
togosti, pravzaprav elastične podpore plošči). Pri računalniški analizi takšnih konstrukcij
je, zaradi majhne striţne togosti plošče, pričakovati pojav neenakomerne razporeditve
normalnih napetosti v smeri x-osi- »shear lag« efekt. V računalniški analizi »shear lag«
efekt načeloma upoštevamo z modeliranjem efektivne (sodelujoče) širine pasnice. Uporaba
izrazov za določitev efektivne širine T-prereza po Evrokodu 2 (SIST EN 1992-1-1: 2005, v
Those who go beneath the surface, do so at
their peril. Oscar Wilde
2
nadaljevanju EC 2), ki se nanaša na klasične armiranobetonske T-prereze, pri PT-ploščah z
nosilci morda ni več povsem upravičena. Lahko se pojavita vsaj dve vprašanji:
1. kateri način modeliranja PT-plošč z nosilci je primeren za analizo »shear lag«-a in
2. ali je upoštevanje »shear lag«-a z modeliranjem efektivne širine po izrazih za AB-
plošče z nosilci primeren način v primeru PT-plošč z nosilci.
Cilj magistrskega dela je podrobneje spoznati pojav »shear lag«-a na PT-ploščah z nosilci
ter vzroke in faktorje, ki vplivajo na intenziteto tega pojava. Poskušamo ugotoviti, kateri
od načinov modeliranja T-prereza nam sočasno zagotovlja zanesljivo računalniško analizo
»shear lag«-a na PT-plošči z nosilci. V nalogi tudi ocenjujemo upravičenosti uporabe
priporočil za določitev efektivne širine T-prereza po standardu EC 2 v primeru PT-plošč z
nosilci.
1.2 METODOLOGIJA
Magistrsko delo vsebuje teoretično razlago »shear lag«-a in njegovo analizo. Podani so
osnovni napotki za konstrukcijsko zasnovo PT-plošč, kot tudi osnovni principi določanja
nadomestne obteţbe zaradi prednapenjanja. Teoretični del vsebuje tudi načine modeliranja
T-prereza, ter izbiro primernega načina modeliranja T-prereza za primer PT-plošče z
nosilci majhne togosti, ki sočasno upošteva pojav »shear lag«-a v plošči.
V analitičnem delu so analizirane normalne napetosti v plošči σx in narejena je primerjava
vrednosti efektivnih širin, dobljenih z računalniško analizo na MKE-modelu, ob variiranju
različnih parametrov, z efektivno širino, določeno s pomočjo izrazov standarda EC 2.
1.3 OMEJITVE
Vsebina tega magistrskega dela je omejena na/z:
- Analiziramo »shear lag« efekt na primeru naknadno napete plošče z nosilci manjše
togosti (nosilci majhnih dimenzij).
- Analizirana plošča je del konstrukcije podzemne garaţne hiše Kapucinski trg v
Varaţdinu.
- Rezultate, dobljene pri različnih načinih modeliranja plošče z nosilci, primerjamo
medseboj kot tudi z rezultati računalniške analize iste konstrukcije plošče narejene v
avtorskem programu GRAFeM (Presečki, Kovač).
- Opazovanje napetosti smo omejili na opazovanje napetosti σx v plošči nad prvo
podporo na mestu najbolj izraţene neenakomernosti razporeditve napetosti v
zgornjem robu plošče in v polju na mestu maksimalne vrednosti upogibnega momenta
3
My (za kontinuirani nosilec se maksimalni moment pojavlja v prvem polju na mestu ~
0,414 L).
- Za modeliranje in izračun smo uporabili računalniški program Sofistik.
- V analizi je uporabljen desnoročni kartezični koordinatni sistem, z z-koordinato
usmerjeno navzdol (v smeri gravitacijske sile).
Slika 1.1: Kartezični (desnoročni) koordinatni sistem.
- Vrednosti parametrov, ki smo jih spreminjali, smo večinoma določali izhajajoč iz
priporočil za PT-plošče z ozkimi nosilci (0,40 - 0,50 m) povzetimi po literaturi
(Expertenforum, 2005).
- Zaradi obsega smo naredili primerjavo vrednosti efektivne širine po EC 2 in računskih
vrednosti, ki jih dobimo iz MKE-modela za prerez nad podporo. V polju smo analizo
omenili le na opazovanje neenakomernosti razporeditve napetosti σx in vpliv parametrov
na »velikost« neenakomernosti (z vpeljavo faktora α).
- V analitičnem delu smo spreminjali le štiri parametre (višina nosilca H, debelina plošče h,
razpon L, tip nadomestne obteţbe prednapenjanja), ki lahko vplivajo na intenziteto »shear
lag«-a.
1.4 OČRT MAGISTRSKEGA DELA
Drugo poglavje vsebuje teoretično ozadje »shear lag«-a in obstoječi izračun efektivne
širine pasnice T-prereza po standardu EC 2.
V tretjem poglavju so podani osnovni napotki za konstrukcijsko zasnovo in izračun PT-
plošč. Predstavljeni so osnovni koncepti metode nadomestne obteţbe od prednapenjanja in
najpogostejše linije poteka kablov za prednapenjanje v PT-ploščah.
V četrtem poglavju so predstavljeni nekateri načini modeliranja T-prereza. Rezultate
analize smo primerjali med seboj kot tudi z rezultati računalniške analize narejene s
programom GRAFeM. Izbran je primeren način modeliranja T-prereza za analizo »shear
lag«-a.
V petem poglavju smo izvedli računalniško analizo modelov PT-plošče z različnimi
vrednostmi parametrov, ki lahko vplivajo na intenziteto »shear lag«-a, z ţe omenjenimi
omejitvami. Narejena je primerjava vrednosti efektivne širine določene po EC 2, z
vrednostmi dobljenimi z izračunom efektivne širine iz MKE-modela.
4
2 STRIŽNO ZAOSTAJANJE (»SHEAR LAG«)
2.1 KAJ JE »SHEAR LAG«?
Fenomen neenakomerne razporeditve normalnih napetosti v pasnici T-prereza, od stika s
stojino do zunanjega roba imenujemo »shear lag« efekt.
Na »shear lag« je opozoril prvič T. von Karman, madţarski letalski inţenir, v svoji knjigi
»Festschrift Angust Föppl« ţe leta 1928. Takrat je predstavil koncept efektivne širine
pasnice, kjer je v izračunih upoštevan neenakomeren razpored napetosti v primeru
tankostenskih jeklenih prerezov. Timoshenko in Goodier sta leta 1970. v knjigi »Theory of
elasticity« (Timoshenko, 1970) predstavila koncept efektivne širine kot nadaljevanje
Karmanovega »koncepta«. V tistem času projektanti v analizi mostov na primer niso
upoštevali »shear lag«-a, za katerega se je na koncu izkazalo, da je vzrok za odpoved ali
izgubo stabilnosti številnih mostov škatlastega prereza. Vzroki porušitve
armiranobetonskega in prednapetega mosta Koror-Babeldaob Bridge1, škatlastega prereza,
so bili zelo natančno raziskani. Kot eden izmed vzrokov porušitve se navaja tudi »shear
lag« (Burgoyne, 2006).
»Shear lag« ni pomemben le pri mostovih. Pojavlja se v škatlastih konstrukcijah in
ploščatih elementih, kot so: krila letala, zidovi jeder visokih objektov, nosilci s širokimi
pasnicami, stenski elementi v visokih zgradbah itd. (Lee & Wu, 2000).
2.1.1 Vzrok pojava “shear lag” efekta
Normalne napetosti se zaradi upogibnega momenta v pasnico »prenesejo« prek striţnih
deformacij med pasnico in stojino. Pasnice manjše širine se v osnovi enakomerno
deformirajo in njihovo obnašanje lahko aproksimiramo s teorijo ravnih prerezov (O'Brien
& Keogh, 2005).
1 Koror-Babeldaob Bridge ( Palau most) zgrajen 1978. Porušil se je 1996.
Only the most naive of questions are truly
serious. Milan Kundera
5
Široka pasnica ima na zunanjem robu manjšo striţno togost in se normalnim napetostim
(od upogibnega momenta) upira z manjšo striţno napetostjo (Slika 2.1 a in 2.1 b).
Slika 2.1: Deformacija pasnice in razporeditev strižnih napetosti v T-prerezu. Strižne napetosti na
stiku pasnice s stojino in normalne napetosti v pasnici-σx. (viri: EC 2; O’Brien, & Keogh, 2005).
Pasnica z večjo širino se, namreč (Slika 2.1 a in b) pod vplivom striţnih napetosti (na stiku
med pasnico in stojino so maksimalne) in tlačnih napetosti zaradi upogibnega momenta
(Slika 2.1 a) precej deformira (Slika 2.1 c).
Vzrok pojava neenakomerne razporeditve napetosti σx v plošči je torej striţna podajnost
plošče ali zaostajanje striţnih napetosti na robovih pasnice (Slika 2.1 c) (O'Brien & Keogh,
2005).
a) b)
c)
τ
6
2.2 NEVTRALNA OS PREREZA IN »SHEAR LAG«
V literaturi se pogosto srečujemo z izrazoma nevtralna os in nevtralna ravnina. Na spodnji
sliki (Slika 2.2) smo v oklepajih podali izraze, ki jih bomo uporabljali v nadaljevanju.
Slika 2.2: Nevtralna os prereza, nevtralna ravnina.
Ko T-prerez razdelimo na del s pasnicama in del s stojino, ter ju posebej obremenimo, se
vsak del nagiba k temu, da se deformira okoli svoje nevtralne osi. Ko so pasnici in stojina
povezane, to ni mogoče. Nevtralna os T-prereza torej ni ravna, kakor predpostavljamo.
Nosilec s svojo togostjo precej vpliva na poloţaj osi plošče in celotnega prereza in s tem na
intenziteto in razporeditev napetosti v pasnici T-prereza (Slika 2.3).
Slika 2.3: Položaj nevtralne osi prereza (vir: O'Brien, Keogh 2005).
Med poloţajem nevtralne osi prereza in »shear lag«-om obstaja kar močna povezava.
Lahko rečemo, da je odstopanje nevtralne osi prereza od ravne linije posledica »shear lag«-
a ali da je »shear lag« posledica naravne teţnje k temu, da se vsak del prečnega prereza
(pasnica in stojina) deformira okoli svoje osi (O'Brien & Keogh, 2005).
7
2.3 EFEKTIVNA ŠIRINA PASNICE
2.3.1 Zakaj računamo efektivno širino?
Ena od predpostavk klasične upogibne teorije nosilcev je, da je razporeditev normalnih
napetosti po prerezu v smeri x-osi enakomerna po celotni širini prereza (Slika 2.4).
Vrednost normalnih napetosti σx za pravokotni prerez (predpostavka: material je linearno
elastičen) je:
xx
E εσ (2.1)
Deformacija εx:
zx
κε (2.2)
y
y
EI
M
R
1κ
(2.3)
z
I
M
y
y
xσ
(2.4)
Kjer so:
E - modul elastičnosti betona,
εx - deformacija v smeri x-osi,
𝜅 - ukrivljenost,
R - polmer ukrivljenosti.
Slika 2.4: Deformacija in normalne napetosti σx v nosilcu, izpostavljenemu čistemu upogibu.
V primeru T-nosilca izpostavljenega čistemu upogibu, je razporeditev napetosti v pasnici
precej neenakomerna (Slika 2.5). Da bi ohranili načela klasične teorije nosilca in jo
8
uporabili tudi v primeru T-nosilca, se pasnici nosilca izračuna efektivna širina, ki sodeluje
v nosilnosti.
Slika 2.5: Razporeditev napetosti σx v primeru T-nosilca.
Efektivna širina pasnice je hipotetična širina pasnice, znotraj katere so normalne napetosti
enakomerno razporejene. Ker v modeliranju in analizi konstrukcij postopek vedno
skušamo pospešiti in poenostaviti, efektivno širino definiramo pred analizo konstrukcije.
2.3.2 Teoretični pristop k izračunu efektivne širine
Analiziran je kontinuirani nosilec neskončne dolţine, karakterističnega razpona 2L, in
neskončne širine pasnice (Slika 2.6). Predpostavljeno je dvoosno napetostno stanje v plošči
(Timoshenko & Goodier, 1970).
Slika 2.6: Dimenzije analiziranega kontinuiranega nosilca in njegovega prereza 0 (vir:
Timoshenko & Goodier, 1970).
Napetosti σxx, σyy, σxy dobimo z reševanjem diferencialne enačbe (2.5).
9
0y
F
yx
F2
x
F4
4
22
4
4
4
(2.5)
2
2
xx y
F
σ
(2.6)
2
2
yy x
F
σ
(2.7)
yx
F2
xy
σ
(2.8)
Kjer je F(x,y) Airy-eva napetostna funkcija2:
L
xncose)
L
yn1(BeA )y,x(F
1n
L
yn
n
L
yn
n
ππ ππ
(2.9)
dxdy σ)ν1(2σσν2σσ
E2
h2V
0
l2
0
2
xyyx
2
y
2
x
(2.10)
Z vpeljavo izrazov (2.2). (2.3), (2.4.) v ( 2.10) dobimo deformacijsko energijo za pasnico:
G2
A
G2
BA
E
B
L
πnh2V
2
nnn
2
n
1n2
33
1 (2.11)
Predpostavimo, da je I vztrajnostni moment okoli horizontalne osi y, e oddaljenost središča
rebra od središčne ravnine plošče (Slika 2.6), N membranska sila v plošči. Upogibni
moment M v prerezu lahko opisujemo s pomočjo Fourierjeve funkcije kot:
...L
xπ2cosM
L
xπcosMMM
210 (2.12)
Upogibni moment M razdelimo na 2 dela: M' – moment, ki se pojavlja v rebru, ter M''=N·e
moment membranske sile v plošči.
Z uporabo enačbe ravnovesja 0x imamo (Slika 2.6):
0dyσh2N0
x
(2.13)
2 Z Airyjevo napetostno funkcijo opisujemo napetostno stanje, v našem primeru napetostno polje, pri neskončnem pol-
10
Mdyσeh2 'M
0
x
(2.14)
Deformacijska energija rebra znaša:
L2
0
2L2
0
2
2 IE2
dx'M
EA2
dxNV (2.15)
Celotna deformacijska energija prereza je:
21
VVV (2.16)
Z upoštevanjem izrazov (2.13) in (2.14):
nn
XAL
πnh2
,
nnYB
L
πnh2
(2.17)
in pogoja o minimumu deformacijske energije,
0X
V
n
,
0Y
V
n
(2.18)
dobimo vrednosti Xn in Yn.
Če predpostavimo kosinusno razporeditev upogibnega momenta, za n=1 velja:
L
xπcosMM
1
(2.19)
4
νν23
leh
Iπ
eA
I1
1
e
MX
2
22
1
1
(2.20)
4
νν23
leh
Iπ
eA
I1
M
l
xπcosXeNe''M
2
22
1
(2.21)
Izraz (2.21) je vrednost upogibnega momenta v plošči.
Napetosti v srednji ravnini plošče dobimo kot:
11
I
e'Mσσ
xp,x
(2.22)
Upoštevajoč izraze (2.13) in (2.15), in (Slika 2.6), dobimo:
0σbh2Aσp,xeffx (2.23)
''Meσbh2p,xeff
(2.24)
Iz izraza (2.21) izračunamo razmerje M''/M.
Iz izrazov (2.22-2.24) prav tako izračunamo M''/M:
22 he2
I
Ae
I1
1
M
''M
λ
(2.25)
Z upoštevanjem razmerja M''/M iz izraza (2.21) in izraza (2.25) pridemo do vrednosti
»2beff«.
)νν23(π
L4b2
2eff (2.26)
Zgoraj prikazani postopek določanja vrednosti efektivne širine najdemo v literaturi
(Timoshenko & Goodier, 1970). To je le prvi korak na poti upoštevanja »shear lag«-a v
analizi in izračunu T-prerezov z modeliranjem efektivne širine pasnice.
2.3.3 Izračun efektivne širine po EC 2
Upoštevanje neenakomerne raporeditve normalnih napetosti σx z modeliranjem efektivne
širine pasnice je predpisano tudi v standardu EC 2 (točka 5.3.2.1.).
Standard EC 2 omogoča poenostavitev v primerih, kadar se ne zahteva velika natančnost.
Efektivno širino računamo tako, da najprej določimo razdaljo ničelnih točk momentnega
diagrama l0. Pri določitvi l0 upoštevamo spodnjo sliko (Slika 2.7), če so izpolnjeni pogoji,
da je dolţina konzolnega dela l3 manjša od polovične dolţine prileţnega polja in da je
razmerje dolţin sosednjih polj med 2/3 in 3/2 (EC 2, 2005).
12
Slika 2.7: Parametri za določitev efektivne širine pasnice po EC 2 (vir: EC 2, 2005).
Efektivna širina pasnice T-prereza je enaka (Slika 2.7):
(2.27)
(2.28)
(2.29)
V nadaljevanju je prikazan postopek izračuna normalne napetosti σx,N armiranobetonskega
T-nosilca z upoštevanjem efektivne širine pasnice, določene po EC 2. V postopku je
uporabljen T-prerez, ki bo numerično analiziran v četrtem in petem poglavju. Nosilec
poteka preko pet polj, katerih razpona znašata 16,00 m, linijska obteţba znaša q=20 kN/m'.
T-prerez je višine H =0,60 m, širina stojine znaša bw =0,50 m, širina pasnice pa b0=5,00 m.
Slika 2.8: Statični sistem, obtežba in prečni prerez analiziranega nosilca.
bbbbwi,effeff
00ii,effl2,0l1,0b2,0b
ii,effbb
13
V Sofistiku efektivno širino definiramo z vnašanjem koordinat štirikotnika, s katerim je
zajet neefektivni del prereza (Sofistik documentation, AQUA, 3.42).
- širina pasnice T-prereza: b =5,00 m
- širina stojine: bw =0,50 m
Prerez v prvem polju (Izrazi: 2.27-2.29):
m 60,130,1685,0l0
m 81,160,131,025,22,0bb2,eff1,eff
Prerez nad podporo (Izrazi: 2.27-2.29):
m 80,4)00,1600,16(15,0l0
m 93,080,41,025,22,0bb2,eff1,eff
Prerez v drugem polju (Izrazi: 2.27-2.29):
m 20,110,1670,0l0
m 57,120,111,025,22,0bb2,eff1,eff
m 25,22
50,000,5bb
21
m 12,4m 50,0m 81,12bbbbw2,eff1,effeff
m 36,2m 50,0m 93,02bbbbw2,eff1,effeff
m 25,22
50,000,5bb
21
m 64,3m 50,0m 57,12bbbbw2,eff1,effeff
14
Slika 2.9: Efektivna širina pasnice T-prereza po EC 2.
Slika 2.10: MKE model nosilca s prikazom efektivne širine prereza po EC 2.
Geometrijske karakteristike prereza z upoštevanjem izračunane beff so podane v spodnji
Preglednici 2.1.
Preglednica 2.1: Geometrijske karakteristike prečnih prerezov
Geometrijske karakteristike Prerez nad
podporo
Prerez v
prvem polju
Površina prereza Ab(m2) 0,597 0,879
Vztrajnostni moment Iy,b(m4) 0,018 0,020
Teţišče ZT,b(m) 0,410 0,450
Odpornostni moment (zgoraj) Wzg(m3) 0,088 0,132
Odpornostni moment (spodaj) Wsp(m3) 0,042 0,044
Notranje statične količine – NSK (Sofistik) so prikazane na spodnjih slikah.
15
Slika 2.11: Diagram My [kNm]- lastna teža .
Slika 2.12: Diagram My [kNm]- koristna obtežba q .
Preglednica 2.2: Vrednosti upogibnega momenta My v prvem polju in nad podporo
OBTEŢBA MOMENT My [kNm]
PODPORA POLJE
Lastna teţa -660,2 519,3
Koristna obteţba -517,8 407,3
Robne napetosti izračunamo s pomočjo izraza:
W
Mz
I
M ekviv
y
ekviv
x (2.30)
Prerez v polju na mestu maksimalnega upogibnega momenta:
MPa 02,7132,0
6,926
W
M
zg
ekvivzg
N,x
16
MPa 06,21044,0
6,926
W
M
sp
ekvivsp
N,x
Prerez nad srednjo podporo:
MPa 33,13088,0
0,1178
W
M
zg
ekvivzg
N,x
MPa 11,28042,0
0,1178
W
M
sp
ekvivsp
N,x
Slika 2.13: Diagram robnih napetosti σx ,N v prvem polju in nad prvo podporo obravnavanega
nosilca .
2.3.4 Izračun efektivne širine na MKE modelu
V primeru računanja efektivne širine pasnice T-nosilca izpostavljenega negativnemu
upogibnemu momentu, so normalne napetosti v pasnici razporejene neenakomerno na
način prikazan na Sliki 2.14 a) in je to v literaturi poimenovano kot pozitivni »shear lag«.
Če sledimo Sliki 2.14 a) dobimo efektivno širino pasnice v primeru pozitivnega »shear
lag«-a (Szumigala & Ciesielczyk, 2015) s pomočjo izraza:
)y(1
b
bo
o
x
max,x
eff (2.31)
V Sofistiku dobimo vrednost normalne napetosti v prerezu )y(
bo
o
x z uporabo ukazov v
WinGraf-u (Sofistik). Iz diagramov normalnih napetosti v prerezih, lahko odčitamo tudi
17
maksimalno vrednost normalne napetosti v prerezu. Na ta način bomo efektivno širino
izračunali na MKE modelu v 5. poglavju.
V primeru računanja efektivne širine T-nosilca izpostavljenemu pozitivnemu upogibnemu
momentu so normalne napetosti v pasnici T-prereza razporejene neenakomerno na način
prikazan na Sliki 2.14 b), kar je v literaturi poimenovano kot negativni »shear lag« .
V tem primeru je računanje efektivne širine bolj zapleteno, ker je vrednost srednje
napetosti σs neznana in je ne moremo odčitati s diagrama napetosti v prerezu (Slika 2.13 b).
)y(1
b
bo
o
x
s
eff ( 2.32)
a) b)
Slika 2.14: Efektivna širina pasnice na MKE modelu : a) Pozitivni »shear lag« (negativni upogibni
moment My) b)Negativni »shear lag«(pozitivni upogibni moment My).
Za posamezne tipe konstrukcij, tip obteţbe, razmerja L/l, H/h itd. (od česar je odvisna tudi
vrednost efektivne širine in funkcija deformacije u(x,y)3, s katero aproksimiramo
deformacijo pasnice v smeri x-osi zaradi »shear lag«-a), obstajajo koeficienti, s katerimi je
»opisana oblika« funkcije razporeditve napetosti v pasnici v primeru negativnega »shear
lag«-a. Ti koeficienti so rezultat raziskav zgolj posameznih primerov in tipov konstrukcij
(Wu & Lee, 2000). Poenostavitev v obliki redukcijskih koeficientov ali eksaktna
matematična rešitev za določanje srednje vrednosti napetosti σs v primeru negativnega
»shear lag«-a še vedno ne obstajata. V tem magistrskem delu bomo v 5. poglavju računali
efektivno širino pasnice nad podporo (pozitivni »shear lag«) na MKE modelih po izrazu
(2.31) in jo primerjali z vrednostimi, določenimi po EC 2. V polju (negativni »shear lag«)
3 Funkcijo deformacije pasnice v smeri x-osi zaradi »shear lag«-a je definiral Reissner (leta 1946), in temelji na principu
o minimumu potencialne energije. Deformacijo je opisal s parabolo 2. reda. Danes obstajajo še parabole 3. in 4. reda s
katerima je opisana neenakomerna razporeditev napetosti v pasnici zaradi »shear lag«-a.
18
efektivne širine ne bomo računali, analizirali bomo kako parametri (ki jih bomo
spreminjali) vplivajo na »neenakomernost« normalnih napetosti σx v pasnici. Zaradi
enostavnejšega opazovanja negativnega »shear lag«-a vpeljemo redukcijski faktor α (Slika
2.15):
max,x
x
( 2.33)
Slika 2.15: Redukcijski faktor α v primeru negativnega »shear lag«-a (vir: Wu & Lee, 2000).
2.4 »SHEAR LAG« V PREDNAPETI PLOŠČI Z NOSILCI
Ploščo z nosilci pogosto analiziramo kot nadomestni T-nosilec, kjer je plošča pasnica,
nosilec stojina T-prereza nosilca. Efektivna širina je načeloma odvisna od:
- geometrijskih karakteristik prereza (širina pasnice/širina stojine) bw/b,
- tipa obteţbe (enakomerna, koncentrirana...) (Slika 2.16),
- razpona L,
- načina podpiranja (statični sistem) in medsebojne razdalje momentnih ničelnih točk
l0 (EC 2, 2005),
- višine nosilca H ,
- širine pasnice (razpona plošče) l,
- debeline plošče (pasnice T-prereza) h itd.
EC 2 ne upošteva višine nosilca pri določanju efektivne širine. Novozelandski standard
NZS 3101 ima v izrazih za določitev efektivne širine pasnice zajeto tudi višino nosilca. EC
2 tudi ne upošteva debeline plošče. FEMA 356, ACI 318, NZS , TS 500, Paulay in Pristley
upoštevajo debelino plošče v izračunu efektivne širine pasnice. Priporočila po Paulayu in
Pristleyu ter po NZS 3101 tudi ločeno obravnavajo primer, ko je pasnica v tlaku ali nategu.
Za natančne izraze za določitev efektivne širine po standardih je bralec napoten k
orginalnim dokumentom (Ţiţmond & Dolšek, 2014). V primeru PT-plošč lahko
pričakujemo pomembno razliko med vrednostjo efektivne širine, izračunane po izrazih iz
19
EC 2 in efektivno širino pasnice, izračunano na MKE-modelu. Namreč, PT-plošče so
načeloma vitkejše konstrukcije. Za njih so značilni majhno razmerje L/l (l-razmak
nosilcev), večji razmak nosilcev (razpon plošče) l v prečni smeri, majhna višina nosilca H,
nosilci načeloma imajo majhno togost, obteţba zaradi prednapenjanja pa je odvisna od
izbrane linije poteka kablov za prednapenjanje, pri čemer efektivna širina lahko pomembno
variira (Slika 2.16).
Slika 2.16: Odvisnost efektivne širine od tipa obtežbe: a) enakomerno porazdeljena obtežba b)
enakomerna obtežba na polovici razpona c) točkovna obtežba d) sinusoidno porazdeljena obtežba
(vir: O. B. Aalami, 1994).
Slika 2.17: Efektivna širina na plošči z nosilci (vir: Krojenic, 2014).
20
3 NAKNADNO PREDNAPETE PLOŠČE
Ko je leta 1928 razvil in patentiral prednapeti beton, bi si Eugen Fressynet teţko
predstavljal, kako hitro bo njegova ideja prednapenjanja betonskih elementov zaţivela na
vseh področjih gradbeništva. Ker je beton (zaradi visoke tlačne trdnosti) idealen material
za prednapenjanje, je bilo le par desetletij dovolj, da je gradbeništvo sprejelo prednapeti
beton za konstrukcijski material izjemnih moţnosti.
3.1 PREDNAPETI BETON V VISOKI GRADNJI - PREDNAPENJANJE PLOŠČ
Prednapeti beton je bil prvič uporabljen v mostogradnji, in sicer po drugi svetovni vojni (za
sanacijo poškodovanih mostov). To je bila začetna faza raziskovanja, spoznavanja in
razvoja tehnologije prednapetega betona.
Znanje o prednapetem betonu je bilo v 50. letih dvajsetega stoletja in kasneje precej
razširjeno in poglobljeno. Razvoj tehnologije izdelave konstrukcij iz prednapetega betona
in moţnosti na področju numerične analize prednapetega betona (upoštevanje številnih
pojavov in napak v obnašanju materiala- krčenje in lezenje betona, relaksacija jekla za
prednapenjanje) so omogočili zanesljivo analizo in izračun prednapetih konstrukcij,
posledično pa razširili njegovo uporabo v gradbeništvu.
Ideja naknadnega napenjanjanja stropnih plošč dejansko izhaja iz potrebe po reševanju
problema velike lastne teţe in deformacij betona zaradi krčenja AB-plošč v primeru
gradbene tehnologije »lift slab«4. Sistemi prednapenjanja, ki so bili takrat prisotni na
trţišču, so bili večinoma prilagojeni mostogradnji. BBRV (Evropa) je podjetje, ki je ţe
takrat imelo razvit sistem prednapenjanja, ki bi se lahko uporabil za relativno tanke in vitke
konstrukcijske elemente, kot je stropna plošča. Kmalu so ameriška gradbena podjetja
pohitela v Evropo in pridobila od BBRV licence za uporabo tega sistema prednapenjanja v
4 »Lift-Slab« je tehnologija izvedb plošč. Gre za izvedbo predizdelanih plošče 'na tleh'. Potem se plošč s pomočjo
posebnih strojev dvignejo na določeno pozicijo v objektu, ki se gradi.
The imagination imitates. It is the critical spirit
that creates. Oscar Wilde
21
svoji gradbeni tehnologiji in v ZDA se je začelo s prednapenjanjem betonskih plošč. Ţe
leta 1955 je bila prednapeta prva betonska stropna plošča. Lastna teţa plošče je s
prednapenjanjem zmanjšana za 30 %, teţave z deformacijami zaradi krčenja in lezenja so s
prednapenjajem eliminirane. »Lift slab« tehnologija je bila do 60. let ţe povsem zamenjana
s tehnologijo »in-situ«5 prednapenjanja plošč (Bondy, 2006).
Od takrat razvoj na področju prednapetega betona poteka v smeri estetike, konstruiranja in
specializiranega projektiranja. Čeprav je tehnologija prednapenjanja plošč ţe bila
razširjena v Evropi, preden se je začelo s tehnologijo prednapenjanja plošč v ZDA, je bil
interes za uporabo prednapenjanja na drugih področjih razen mostogradnje, v Evropi znova
spodbujan v 70. letih prejšnjega stoletja.
Projektiranje prednapetih konstrukcij je dejansko veliki izziv tako za projektanta kot tudi
za izvajalca objektov. Vsaka prednapeta konstrukcija je unikatna, vsaka konstrukcijska
rešitev je rezultat »kreativnosti in inovativnosti« projektanta ter njegove ţelje, da s svojo
rešitvijo premika meje in moţnosti na področju prednapenjanja betona. Za enako
projektantsko rešitev bo vsak izvajalec ponudil drugačno tehnološko rešitev. Moţnih je
ogromno pristopov k projektiranju kot tudi k tehnologiji izvedbe PT-plošč. Zato je
prednapeti beton 80 let po njegovi prvi konkretni uporabi še vedno predmet intenzivnega
raziskovanja.
3.1.1 Od klasične armiranobetonske do naknadno prednapete plošče
V primeru poslovnih objektov visoke gradnje 20–30 % skupnih stroškov graditve objekta
predstavljajo konstrukcijski elementi, od tega 30–40 % plošče (v primeru garaţnih hiš je to
50–60 %). Cilj iskanja vedno bolj ekonomične in optimalne rešitve je prihranek materiala
in krajšanje časa izvedbe plošče, rezultat pa je in-situ prednapenjanje plošč
(Expertenforum, 2005).
Preden je prednapenjanje prišlo v uporabo v visoki gradnji, so se za objekte visoke gradnje
uporabljale klasične armiranobetonske ravne plošče, dovoljene koristne obteţbe 5-7
kN/m2, debeline do 25 cm in razpona do 7 m (Expertenforum, 2005).
Na poti racionalizacije in optimizacije je zaţivela ideja montaţnih predhodno napetih
elementov plošče. Skrajšana sta bil čas graditve in uporabe opaţa. Omejitev je bila, da so
se lahko uporabljali le na objektih s pravilno tlorisno obliko. V drugih primerih je bilo
nujno kombinirati montaţno in »in-situ« graditev, kar je ţe korak nazaj na poti
optimizacije.
Uporaba votlih montaţnih plošč je še en korak na poti iskanja optimalne rešitve v smislu
prihranka materiala in časa izvedbe objekta. Kot ovira se v tem primeru pogosto pojavlja
transport montaţnih elementov na gradbišče (velike dimenzije), kot tudi odziv montaţnih
objektov na potresno obteţbo.
5 »In-situ«– gradbena dela se izvajajo na licu mesta.
22
Kot optimalna rešitev se je izkazalo naknadno prednapenjanje plošč, ki je omogočilo
premoščanje velikih razponov, manjšo uporabo materiala, hitrejšo gradnjo. Večji razponi
in manjša gostota stebrov, še posebej v primerih garaţ, omogočajo večje svetle širine in
manjši strošek materiala. Zaradi vpliva prednapenjanja so zmanjšani začetni povesi plošče.
Ker se elementi prednapenjajo po treh dneh po betoniranju, se povečuje hitrost gradnje
(opaţ odstranimo prej). S tehnologijo prednapenjanja je moţno doseči 30 % hitrejšo
gradnjo. Z manjšo debelino plošče v primeru visokih zgradb dobimo manjšo skupno višino
objekta. Manjša lastna teţa plošče vpliva ugodno v primeru potresa in temeljenja.
3.2 PROJEKTIRANJE PREDNAPETIH PLOŠČ
Projektant mora pri iskanju optimalne rešitve in projektiranju prednapetih konstrukcij s
svojo rešitvijo vedno izpolniti kriterijem, kot so:
- varnost,
- uporabnost,
- ekonomičnost in
- legitimnost (usklajenost z normativi).
Varnost je garancija definirane stopnje primernosti konstrukcije za uporabo znotraj
razpona obteţbe, ki je določena z veljavnim pravilnikom (Aalami, 2009).
V gradbeni praksi uporabnost pogosto imenujemo funkcionalnost. Da bi dosegli ţeleno
funkcionalnost PT- konstrukcije, je treba biti pozoren predvsem na:
- Povese. Velikost maksimalnih povesov konstrukcijskega elementa objekta je
določena po kriteriju zadoščanja neomejenim funkcijam inštalacij, stropnih površin
in ostalih elementov objekta. Povese je nujno omejiti tudi zaradi percepcije
uporabnikov objekta. Za uporabnika objekta, ki ni v stiku z gradbeništvom in
projektiranjem, pa veliki povesi pomenijo le eno - konstrukcija ni varna za uporabo.
- Vibracije. PT-plošče so vitke konstrukcije. Kriterij za določevanje minimalne
debeline PT-plošče so načeloma vibracije plošče. Nezadostna debelina elementov
in nezadostna predkompresija lahko povzročata nesprejemljive vertikalne oscilacije
plošče.
- Razpoke. Če so dolge in široke, razpoke - enako kot povesi - negativno vplivajo na
percepcijo uporabnika objekta. Uporabniku se lahko zdi, da konstrukcija ni
kvalitetno zgrajena ali da je narejena napaka v analizi in izračunu nosilne
konstrukcije objekta.
- Trajnost. Z upoštevanjem pogojev okolja in izpostavljenosti stropne konstrukcije
okolju moramo konstrukcijo projektirati tako, da bo lahko doseţena njena
zahtevana ţivljenjska doba. Na trajnost konstrukcije projektant lahko negativno
vpliva na številne načine: izgudbe prednapenjanja so večje, kot jih je projektant
predpostavil; mast v kablih ni pravilno vgrajena ali izgubi kvaliteto; zaščitni sloj
23
betona je manjši, kot je potrebno; razpoke so večje od maksimalno dovoljenih;
izpostavljenost armature koroziji je povečana itd.
- Protipoţarno zaščito. Debelina plošče in nosilcev mora izpolnjevati minimalne
vrednosti iz predpisov (Aalami, 2009).
Ekonomičnost izbrane rešitve ne pomeni le minimalne uporabe materiala. Odvisna je tudi
od stroškov graditve, enostavnosti vzdrţevanja objekta, dostopa do materiala, razpoloţljive
opreme in delovne sile ter strokovne usposobljenosti izvajalcev za izbrano tehnologijo
izvedbe. Vse naštete parametre mora projektant upoštevati pri izbiri sistema
prednapenjanja in materiala, ker z njimi direktno vpliva na hitrost in ekonomičnost gradnje
objekta.
Ker PT-plošče še vedno niso »zajete« v veljavnih predpisih (Evrokod predpisi), je
legitimnost projektiranja PT-plošč nujno utemeljiti na trenutni gradbeni praksi in dostopnih
pravilnikih (npr. ACI-predpisi) (Aalami, 2009). Malo je projektantov, ki bi se raje zanesli
na prakso in izkušnjo drugih, kot na pravilnike, eksplicitne izraze in priporočila iz
obstoječega predpisa.
Za konstrukcijsko zasnovo PT-plošče lahko uporabimo le del iz EC 2, ki se nanaša na
splošna pravila o dimenzijah nosilnih armiranobetonskih elementov. Kot smo ţe omenili,
»priporočila« za projektiranje PT-plošč večinoma izhajajo iz izkušenj projektantov in
uspešnih primerov ţe izgrajenih objektov.
Običajni tipi PT-plošč, ki jih srečujemo v praksi danes, so:
- gladke plošče v kombinaciji s kapitlji (vutami), paneli, kasetirane plošče in
- rebraste plošče s plitkimi in širokimi nosilci, plošče z ozkimi nosilci, rebraste plošče,
nosilne v eni smeri (ELSA, 2006).
Slika 3.1: Najpogosteje uporabljani tipi plošč, ki se prednapenjajo: a) gladka plošča, b)gladka
plošča s kapiteli c) gladka plošča s paneli d) rebrasta plošča nosilna v dveh smereh e)plošča s
plitkimi širokimi nosilci f) rebrasta plošča v kombinaciji s plitkimi širokimi nosilci g) plošča z
ozkimi nosilci h) rebrasta plošča z nosilci v eni smeri (vir: ELSA, 2006).
Izbiro tipa plošče projektant večinoma naredi upoštevajoč predvsem podatke, ki se
nanašajo na:
a)
c)
b)
d) g)
e) f)
h)
24
- zahtevani raster in razpon (svetli razpon je pomemben v primeru garaţnih hiš),
- velikost koristne obteţbe,
- maksimalno dovoljeno višino (debelino) plošče (pomembno le pri visokih stavbah).
Najmanjšo debelino plošče in ravno stropno konstrukcijo (kar je kot arhitekturna rešitev
prednostna opcija) dobimo z uporabo gladke plošče. Omejitev je seveda razpon.
Za običajne projekte stanovanjskih in komercialnih objektov uporabljamo dimenzije,
podane v spodnji preglednici. Priporočila za debelino plošče so podana v obliki razmerja
razpon/debelina plošče. Načeloma je to podatek, s katerim začnemo s konstrukcijsko
zasnovo plošče. V spodnji preglednici (Preglednica 3.1) so podana osnovna priporočila za
določevanje začetnih dimenzij elementov za različne sisteme prednapetih plošč.
Preglednica 3.1: Priporočila za dimenzije elementov za različne sisteme plošč – razpon/debelina
plošče (vir: Aalami,2009)
SISTEM
KONTINUIRANI
RAZPONI ENOJNI RAZPONI
Strešna
plošča
Medetaţna
plošča
Strešna
plošča
Medetaţna
plošča
Polna plošča, nosilna v eni smeri 50 45 45 60
Gladka plošča, nosilna v dveh smereh 45 - 48 40 - 45 - -
Rebrasta plošča, nosilna v dveh smereh
(razmik med stebri je 1 m) 40 35 35 30
Gladka plošča na stebrih 35 30 30 26
Rebrasta plošča nosilna v eni smeri 42 38 38 35
Nosilci 35 30 30 26
Stropni nosilci ( v eni smeri) 42 38 38 35
Če so na primer zahtevani večji razponi in rastri ter velika koristna obteţba se plošče z
nosilci (v eni ali v obeh smereh) običajno izkaţejo kot optimalna rešitev. V nalogi se
osredotočamo na PT-plošče, ojačene z nosilci v eni smeri.
V primeru zahtevanih velikih razponov so priporočena razmerja in dimenzije PT-plošč
ojačanih z nosilci v eni smeri, ki so podana na Sliki 3.2.
25
tipičen razpon nosilca L: 12-20 m
tipičen razpon plošče l: 5-8 m
tipična širina nosilca bw: 0,4-0,5 m
tipično razmerje razpon/višina nosilca L/H: 18-24
tipično razmerje razpon plošče/debelina plošče l/h: 40-45
a) Plošče z nosilci (zahtevani veliki razponi)
b) Plošče z ozkimi nosilci
c) Plošče s plitkimi širokimi nosilci
tipičen razpon nosilca L: 10-20 m
tipičen razpon plošče l: 5-8 m
tipično razmerje razpon/višina nosilca L/H: 25-30
tipično razmerje razpon plošče (razmak nosilcev)
/širina nosilca l/bw: 5-6
tipično razmerje razpon plošče/debelina plošče l/h: 35-45
Slika 3.2: Dimenzije plošče z nosilci (vir: Expertenforum, 2005)
S PT-ploščami premoščamo velike razpone brez debelih plošč. Konstrukcija je tako
estetsko elegantnejša. Na spodnji sliki je del plošče podzemne garaţne hiše Kapucinski trg
v Varaţdinu, na kateri je v nadaljevanju analiziran »shear lag«.
tipičen razpon nosilca L: 12-20 m
tipičen razpon plošče l: 4-7 m
tipična obteţba (brez lastne teţe plošče): 2-10 kN/m2
tipično razmerje razpon/višina nosilca L/H: 25-35
tipično razmerje razpon plošče/debelina plošče l/h: 35-45
26
Slika 3.3: Končni izgled plošče, ojačene v eni smeri, pogled v vzdolžni smeri nosilcev.
Slika 3.4: Končni izgled plošče, ojačene v eni smeri, pogled v prečni smeri nosilcev.
27
3.2.1 Nadomestna obtežba prednapenjanja
Osnovna razlika v analizi med klasično AB- in PT-ploščo je, da v analizi PT-plošče
upoštevamo še vpliv prednapenjanja. Notranje statične količine Mp, Vp, Np zaradi sile
prednapenjanja P (Slika 3.5) so:
) majhen (za )x(Pcos)x(PNP
θθ ( 3.1)
θsin)x(PVP
( 3.2)
)majhen (za z)x(P zcos)x(PMppP
θθ ( 3.3)
Slika 3.5: NSK zaradi sile prednapenjanja P.
Sila prednapenjanja povzroči v nosilcu osno silo Np in upogibni moment Mp. Napetosti σx,p
v prerezu dobimo iz izraza (Slika 3.6):
W
M
A
N pp
p,x ( 3.4)
Kjer sta:
A- površina T-prereza s teţiščem v točki A (glej Sliko 3.6)
W- odpornostni moment T-prereza s teţiščem v točki B (z upoštevanjem efektivne širine
pasnice T-prereza)
zp- oddaljenost teţišča kabla od teţišča prereza
S Slike 3.6 sledi:
c
IW
y
zg
(3.5)
28
)cH(
IW
y
sp
(3.6)
Kjer je Iy vztrajnostni moment T-prereza s širino pasnice, enaki beff. (Slika 3.6).
Slika 3.6: Vpliv sile prednapenjanja P na element, napetosti σx v T-prerezu.
Naloga prednapenjanja je, da izniči vplive na konstrukcijo zaradi dejanske obremenitve.
Diagram upogibnih momentov zaradi obteţb plošč ima načeloma parabolično obliko. Da bi
izničili vplive obremenitve v konstrukcijskemu elementu, imajo kabli za prednapenjanje
isto (parabolično) ali podobno obliko. Sila prednapenjanja se nagiba k temu, da takšne
kable »poravna«. Kabli so obdani z betonom, tako da je deformacija kablov preprečena.
Kot reakcija na preprečeno pomike kabla se pojavljajo prečne sile, ki delujejo v smeri od
kabla proti betonu (Slika 3.7). Te prečne sile imenujemo odklonske sile ali nadomestna
obteţba od prednapenjanja.
29
Slika 3.7: Nadomestna obtežba za silo prednapenjanja P .
Postopek določanja nadomestne obteţbe je za primer prosto leţečega nosilca opisan v
spodnjem tekstu in prikazan na Sliki 3.8.
Predpostavimo, da material nosilca nima lastne teţe in je neskončno tog. Kabel je
prednapet s silo P, nima togosti in njegovo obnašanje je podobno obnašanju elastične vrvi.
Kabel izločimo iz nosilca. Da bi kabel zadrţal obliko, ki jo je imel v nosilcu, mora nanj
delovati sila U, na način, prikazan na Sliki 3.8 b). Kabel teţi k vrnitvi v raven poloţaj,
vendar mu material, ki ga obkroţa, to preprečuje. Opazujmo zdaj samo nosilec. Sile v
nosilcu so reakcija na sile, ki se pojavijo v kablu pri delovanju sile U na kabel (Slika 3.8 c).
Opazujemo kabel, na katerega deluje sila P (Slika 3.8 d.). Z uporabo pogoja ravnoteţja, da
je vsota momentov okoli točke O nič, dobimo:
0M0 (3.6)
02
L
2
U
2
LUaP
(3.7)
4
LUaP
(3.8)
L
aP4U
(3.9)
ekviv
UU (3.10)
4
LUM
ekvivmax
(3.11)
Momentni diagram nadomestne (ekvivalentne) obteţbe ima obliko opisano na Sliki 3.8 f.
30
Slika 3.8 Določanje nadomestne obtežbe za prosto ležeči nosilec (vir: Bondy & Allred, 2013).
Če kabel poteka po paraboli, velja (Slika 3.9):
0M0 (3.12)
04
L
2
LuaP
(3.13)
8
LuaP
2 , ali (3.14)
2L
aP8u
(3.15)
31
Slika 3.9: Določanje nadomestne obtežbe prednapenjanja v primeru paraboličnega poteka kablov
za prednapenjanje na prostoležečem nosilcu (vir: Bondy & Allred, 2013).
Poznamo tri tipe linije poteka kablov za prednapenjanje v PT-plošči, in sicer:
- poligonalno,
- parabolično in
- »prosto«.
Poligonalni potek kablov za prednapenjanje omogoča hitro polaganje kablov. V nekaterih
primerih je linija kabla nad podporo lahko tudi parabola. Načeloma je kabel fiksiran na
določenih točkah, in sicer ~0,374L od vpete podpore in ~0,187L od prostega konca. Na
spodnji sliki je prikazan primer poligonalnega poteka vrvi za prednapenjanje in določitev
nadomestne obteţbe prednapenjanja (Rombach, 2003).
32
L374,0
fPU 1
1
11fP
4
3M
12fP453,0M
3
fPM
1
3
fP2M
1
L
fP3UU
21
Slika 3.10: Nadomestna obtežba v primeru poligonalnega poteka kablov za prednapenjanje (vir:
Rombach, 2003).
Parabolični potek kablov za prednapenjanje. Diagram upogibnih momentov nadomestne
obteţbe zaradi prednapenjanja je v primeru paraboličnega poteka kablov za prednapenjanje
najbolj podoben obliki diagrama momentov zaradi lastne in koristne obteţbe. Parabolični
potek kablov zagotavljamo s fiksiranjem na točkah na razmaku do 1 m. Koordinate
fiksiranih točk dobimo z izračunom (Rombach, 2003). Na spodnji sliki je prikazan
postopek določanja nadomestne obteţbe prednapenjanja za parabolični potek kablov za
prednapenjanje. Polmer ukrivljenosti kabla nad podporo določimo s pomočjo izrazov
povzetih po literaturi (BTI; 5C Stahlbeton- und Spannbetonbau nach DIN-1045–1).
33
L
fP3U 1
1
11fP
4
3M
12fP
64
27M
PL
f6u
2
1
L
fP4U
1
fP3
2M
1
3
fPM
2
PL
f8u
2
Slika 3.11: Parabolični potek kablov za prednapenjanje v plošči in določanje nadomestne obtežbe
(vira: Rombach, 2003; BTI, 5C Stahlbeton- und Spannbetonbau nach DIN-1045–1).
34
»Prosti« potek kablov za prednapenjanje. Pri »prostem« poteku kablov za prednapenjanje
je kabel fiksiran le na določenih točkah (nad podporo, v polju...). Kabel se zaradi lastne
teţe »prosto« deformira. Natančno matematično formulacijo linije poteka kablov po
njihovi deformaciji pod lastno teţo, (fiksiranih na določenih točkah), se določi
eksperimentalno in numerično. Na osnovi eksperimentalne analize se je izkazalo, da se
kabel deformira pod lastno teţo v obliko parabole 4. reda. Za plošče, debeline do 45 cm, so
določene funkcije, ki opisujejo linijo poteka kablov za prednapenjanje, prikazane na Sliki
3.12.
Linija poteka kablov za prednapenjanje
2
r
3
r
4
r
rl
x2
l
x2
l
xe)x(z
4
g
rpp
r g
eIE24l
r
r
max,r l
e2)0('z θ
2
m
3
m
4
m
ml
x6
l
x8
l
x3e)x(z
4
p
mpp
m g
eIE72l
m
mm
max,r l
e
9
16
3
l'z
θ
Slika 3.12: Določanje linije poteka kablov za prednapenjanje v primeru »prostega« poteka kablov
za prednapenjanje v plošči (vir: Stahlbetonbau, 2004).
35
DETAJL A DETAJL B
3
r
4
r
2
0mrr l
x12
l
x12Pe)x(u
0m
r
r
r2r1P
l
e2UU
keran0mrzPM
2
m
3
m
4
m
2
0mmm l
12
l
x48
l
x36Pe)x(u
0m
m
m
m2m1P
l
e
9
16UU
Slika 3.13: Določanje nadomestne obtežbe v primeru »prostega« poteka kablov za prednapenjanje
v plošči (vir: Stahlbetonbau,2004).
36
4 MODELIRANJE T-PREREZA
4.1 OSNOVE MODELIRANJA T-PREREZA
V EC 2 (Dodatek I - Analiza gladkih plošč na stebrih in striţnih sten) je podan kratek opis
metode nadomestnih okvirjev kot ene od metod izračuna gladkih plošč. To poglavje se
nanaša na gladke plošče na stebrih (konstantne debeline ali z vutami – odebelitevami –
plošče nad stebri). V istem dodatku je v primeru nepravilne tlorisne razporeditve stebrov in
nepravilne tlorisne oblike plošče priporočena analiza plošče »z metodo brane, ali drugo
metodo, ki temelji na teoriji elastičnosti« (EC 2, 2005, str. 221).
Za razliko od metode nadomestnih okvirjev, je metodo kočnih elementov moţno uporabiti
za vse tipe plošč tudi v primeru nepravilne tlorisne oblike plošče zaradi česar je, poleg
ostalih prednosti MKE, ta danes prednostna in najbolj efektivna metoda za analizo in
izračun PT-plošč (Aalami, 2009) .
Modeliranje plošče z nosilcem in interakcija med tema dvema elementoma je kompleksen
trodimenzionalni problem. Z modeliranjem konstrukcije s 3D končnimi elementi
zagotavljamo dobro aproksimacijo »realnega« obnašanja konstrukcije pod obteţbo. Takšni
modeli pa so pogosto zapleteni in zahtevajo veliko časa in dela. Inţenirji zato uporabljajo
poenostavitve (modeliranje z 1D in 2D KE), s ciljem, da z izračunom, z rapoloţljivim
programskim orodjem, zagotovijo sprejemljive rezultate v najkrajšem času. Poenostavitve
so lahko nevaren in zahteven del modeliranja konstrukcij, so pa nujne. Plošče z nosilci
pogosto analiziramo kot T-nosilce, kjer je nosilec stojina, plošča pa pasnica T-prereza.
Znanih je več načinov modeliranja T-prereza. Rombach (Rombach 2006, 256) obravnava
6 načinov (Slika 4.1):
a) nosilec, modeliran kot nepomična podpora plošče,
b) nosilec modeliran z lupinskimi elementi (z upogibnim in membranskim
delovanjem),
c) nosilec s svojo središčno osjo priključen na središčno ravnino plošče,
d) nosilec, priključen na mreţo KE plošče s pomočjo kinematičnih vezi,
People can think only in images. If you want to
be a philosopher, write novels. Albert Camus
37
e) nosilec je priključen s svojim zgornjom robom na zgornji rob plošče,
f) nosilec modeliran s ploskovnimi elementi spremenljive debeline.
Slika 4.1: Modeliranje plošče z nosilci (vir: Rombach, 2006).
Modeliranje nosilca kot toge nepomične podpore (Slika 4.1 a) je primerno v primeru ozkih
visokih nosilcev, ko gre za nosilec velike togosti. Predmet naše obravnave so nosilci
majhne togosti. Modeliranje s centrično priključitvjo nosilca na mreţo KE plošče (Slika
4.1 c) prav tako ni primeren način modeliranja za analizo napetosti, ker v v tem primeru
dobimo enake napetosti na zgornjem in spodnjem robu nosilca ter na zgornjem in
spodnjem robu plošče, kar je »nerealno« napetostno stanje.
Po Hartmannu (2006) je vsak način modeliranja pravilen, če se pri modeliranju drţimo
načela, da togosti pasnice in stojine kot posameznih elementov T-prereza odgovarjata
dejanski togosti T-prereza (Slika 4.3).
38
Slika 4.2: Dejanska in modelirana togost sistema.
Hartmann predlaga tri moţne poloţaje nosilca:
1) nosilec, priključen na ploščo z višino H-h (podobno modelu s Slike 4.1 d),
2) nosilec, modeliran s celotno višino H (podobno modelu s Slike 4.1. e), in
3) nosilec T-prereza, modeliran z efektivno širino dela plošče.
Slika 4.3: Položaj nosilca v odnosu do plošče (vir: Hartmann & Katz, 2006).
Sofistik priporoča štiri načine modeliranja T-prereza, ki so v osnovi »kombinacija« zgoraj
omenjenih predlogov. Osnovna razlika med načini modeliranja je, kako priključimo KE
nosilca na KE plošče. Govorimo lahko o centrični priključitvi nosilca na mreţo KE plošče
(teţiščna os nosilca leţi v srednji ravnini plošče), in ekscentrični priključitvi nosilca na KE
plošče (Sofistik, ASE- Theoretical Principles, 2014).
Zaradi preglednosti smo 4 načine modeliranja (ki jih predlaga Sofistik) poimenovali kot:
- Model A (T-nosilec modeliran s pomočjo linijskih KE centrično priključen na mreţo
KE plošče),
- Model B (plošča in nosilec modelirana s ploskovnimi elementi),
- Model C (plošča in nosilec modelirana s ploskovnimi elementi s skupno referenčno
ravnino) in
- Model D (nosilec je modeliran s pomočjo linijskih KE in ekscentrično priključen na
mreţo KE plošče).
39
Model B in C sta modelirana s ploskovnimi elementi in se v literaturi pogosto imenujeta
kot »all-shell« modela. Za model A je potrebno pred modeliranjem T-prereza določiti
efektivno širino pasnice.
Sofistik je računalniški program, ki temelji na MKE. Z več moduli, vgrajenimi v
programsko opremo, Sofistik omogoča analizo vseh vrst konstrukcij. Za računalniško
analizo v magistrski nalogi načeloma uporabimo kombinacijo osnovnih modulov Sofistika,
ki so na kratko opisani na Sliki 4.4. V modulu TEDDY vnašamo podatke in ukaze za
definiranje geometrije in analizo konstrukcije v obliki programskega jezika CADINP. Za
vnos geometrije konstrukcije lahko uporabimo tudi modul SOFiPLUS (primerno za
konstrukcije zahtevnejše geometrije). V magistrskem delu analiziramo konstrukcijo
enostavne oblike, zato definiranje geometrije, materiala konstrukcije ter analizo in
superponiranje izvedemo v modulu TEDDY. V modulu AQUA definiramo materialne
karakteristike in dimenzije prereza. V modulu SOFIMSHA definiramo tip KE in mreţo
KE. V modulu SOFILOAD definiramo obteţbo. Modul SIR nam omogoča pridobitev
rezultantnih sil v prerezih. Z moduli AQB (za linijske KE) in BEMESS (za ravninske KE)
računamo napetosti v elementih.
Slika 4.4: Moduli v Sofistiku, uporabljeni pri računalniški analizi v okviru naloge(vir: Sofistik
Manual, 2014).
V nadaljevanju so v poglavju 4.2 opisani načini modeliranja T-prereza v Sofistiku,
modeliranje in analiza konstrukcije na vse 4 načine po priporočilih Sofistika ter primerjava
rezultatov teh načinov modeliranja. Rezultati modelov so primerjani med seboj kot tudi z
PREDPROCESIRANJE PROCESIRANJE POSTPROCESIRANJE
TEDDY
Vnos podatkov
AQUA
Materiali in prerezi
AQB
Linijski elementi
BEMESS
Plošče, stene in lupine
SOFILOAD
Obteţbe
ANIMATOR
Prikaz modela
WINGRAF
Prikaz rezultatov analize
SOFIMSHA
Diskretizacija – definiranje
končnih elementov in
mreţenje
ASE
3D-analiza končnih
elementov
SIR
Rezultantne sile in
momenti
40
rezultati analize iste konstrukcije, narejene s pomočjo računalniškega programa GRAFeM
(avtorja programa sta Presečki P. in Kovač M.). Analizo s programom GRAFeM smo
poimenovali Model 0 (rezultati računalniške analize Modela 0 so podani v podpoglavju
8.2). V Modelu 0 je T-prerez (plošča z nosilcem majhne togosti) modeliran s pomočjo
kinematičnih vezi med vozlišči plošče in vozlišči nosilca (»master-slave« vez).
Slika 4.5: Kinematične vezi »master-slave« (M-S) elementov plošče in nosilca stropne ploče (vir:
Kuhta & Presečki, 2015).
Omeniti je treba, da v rezultatih analize iste konstrukcije s štirimi različnimi načini
modeliranja po Sofistiku nismo pričakovali velikih razlik. Namen »preizkusa« z modelom
A, B, C in D ter primerjave z rezultatimi analize modela 0 je bil izbrati način modeliranja,
ki omogoča sočasno, enostavno in zanesljivo analizo PT-plošče z nosilci majhne togosti
kot T-prereza, pridobitev zanesljivih in preglednih rezultatov, konkretno »skladnost«
napetosti σx v plošči v smeri x-osi ter enostavno analizo »shear lag«-a.
41
4.2 PRIMER MODELIRANJA T-PREREZA
4.2.1 Dimenzije in statični sistem obravnavane konstrukcije
Gre za »del« PT-plošče z nosilci konstrukcije garaţne hiše Kapucinski trg v Varaţdinu, ki
je bila analizirana s programom GRAFeM. Del plošče, prikazane na spodnjih slikah,
modeliramo na 4 različne načine.
Slika 4.6: PT-plošča garažne hiše. Kapucinski trg v Varaždinu: tloris PT –plošče in dimenzije
garažne hiše.
42
Slika 4.7: Analizirani del PT-plošče garažne hiše.
V računalniški analizi smo upoštevali razpon L=16,0 m. Razmak nosilcev je l =5 m.
Slika 4.8: Prečni prerez A-A v v zdolžni smeri nosilcev in obtežba dela PT-plošče.
Slika 4.9: Karakteristični prečni prerez B-B (T-prerez).
43
4.2.2 Materiali
Uporabljen je beton, trdnostnega razreda C 30/37. V magistrskem delu ne obravnavamo
dimenzioniranja, zato v nadaljevanju ne opisujemo karakteristik armaturnega jekla.
Modul elastičnosti betona E in Poissonov količnik smo v TEDDY-u ročno definirali: E=30
000 MPa, ν=0,167.
4.2.3 Obtežba plošče
Plošča je obteţena z enakomerno porazdeljeno zvezno obteţbo 2m
kN 10q .
4.2.4 Robni pogoji podpiranja in simetrije
Definiranju geometrije modela sledi definiranje robnih pogojev podpiranja. Ker na »shear
lag« vplivajo tudi robni pogoji podpiranja, jih v računalniški analizi nismo spreminjali in
so definirani na začetku ter kot taki ohranjeni skozi celotno analizo.
Vsako vozlišče končnih elementov ima 6 prostostnih stopenj, in sicer: tri pomike in tri
zasuke v smeri x, y in z- osi. Vsakemu vozlišču moramo predpisati preprečene premike in
zasuke, tako da ohranimo pogoje simetrije in dejanske pogoje podpiranja obravnavanega
konstrukcijskega elementa, kjer so: u- pomik v smeri x-osi, v- pomik v smeri y-osi, w-
pomik v smeri z-osi, ɸx- zasuk okoli x-osi, ɸy- zasuk okoli y-osi, ɸz- zasuk okoli z-osi (Slika
4.10).
Slika 4.10: Definiranje pogojev podpiranja - preprečeni pomiki.
Rezultati statične analize konstrukcije (NSK) so odvisni od izbire tipa končnega elementa
(linijski, ravninski ali volumski) in prostostnih stopenj vozlišč (s katerimi definiramo
»nosilnost« končnega elementa).
y
x
44
Če konstrukcijski element (v našem primeru nosilec) modeliramo v Sofistiku z BEAM KE,
imajo njegova vozlišča 3 prostostne stopnje (u-pomik v smeri x-osi, v- pomik v smeri z-osi,
ɸy – rotacija okoli y-osi) in so rezultat računalniške analize NSK osna sila Nx, prečna sila Vz
in upogibni moment My.
Slika 4.11: Linijski končni element v Sofistiku: NSK in prostostne stopnje (vir: SOFISTIK 2014,
SOFiMSHA).
Vozlišča QUAD končnih elementov imajo takrat 6 prostostnih stopenj (u-pomik v smeri x-
osi, v-pomik v smeri y-osi,w- pomik v smeri z-osi, ɸx- rotacija okoli x-osi, ɸy- rotacija okoli
y-osi, ɸz- rotacija okoli z-osi). Rezultat analize so NSK: upogibni momenti mxx, myy, mxy,
prečni sili vx, vy, ter membranske sile nxx, nyy, nxy.
Slika 4.12: QUAD končni element v Sofistiku : NSK in prostostne stopnje (vir: SOFISTIK 2014,
SOFiMSHA).
45
Membranske sile računamo z integracijo napetosti po višini oziroma debelini plošče:
h
nhdzn xx
xx
2
h
2
h
xxx
( 4.1)
h
nhdzn
yy
yy
2
h
2
h
yyy
σσσ
(4.2)
h
nhdzn
xy
yxxyxy
2
h
2
h
xyxy
ττττ
(4.3)
Upogibne momente dobimo iz izrazov:
2
xx
max,xmax,x
22
h
2
h
xxx h
6m
6
hdzzm
σσσ (4.4)
2
yy
max,ymax,y
22
h
2
h
yyy h
6m
6
hdzzm
σσσ
(4.5)
2
xy
max,xymax,xy
22
h
2
h
xyxy h
6m
6
hdzzm
τττ
(4.6)
Prečne sile:
h2
3v
3
h2dzv x
max,xzmax,xz
2
h
2
h
xzx
τττ ( 4.7)
h2
3v
3
h2dzv
y
max,yzmax,yz
2
h
2
h
yzy
τττ
( 4.8)
4.2.5 Model A
T-nosilec z izračunano efektivno širino pasnice po EC 2 je modeliran s pomočjo linijskih
(BEAM) KE in s svojo teţiščno osjo priključen na mreţo KE plošče (Slika 4.12).
Podvojeni del plošče v območju priključitve T-prereza, je avtomatično odštet in ne
sodeluje v skupni togosti in masi T-prereza (SOFISTIK, 2014). Analiza s T-nosilci v plošči
46
daje NSK, potrebne za dimenzioniranje T-prereza. Membranske sile ne dobimo (ker gre za
centrično priključitev T-nosilca na KE plošče).
Slika 4.13: T-nosilec centrično priključen na mrežo KE plošče (vir: SOFISTIK, 2014).
Slika 4.14: Vrednosti beff, izračunane s pomočjo izrazov po EC 2.
Slika 4.15: MKE model v Sofistiku.
47
4.2.6 Model B
Plošča in nosilec sta modelirana s pomočjo ploskovnih (QUAD) KE. Nosilec je modeliran
s ploskovnimi KE, debeline, enake širini stojine - bw . Elementi nosilca so priključeni na
srednjo ravnino plošče. Podvojeni del na stiku plošča-nosilec je avtomatično odštet in ne
sodeluje v togosti in masi prereza (SOFISTIK, 2014).
Slika 4.16: Nosilec modeliran s ploskovnimi elementi in priključen na srednjo ravnino plošče(vir:
SOFISTIK, 2014).
Slika 4.17: MKE model B v Sofistiku.
48
4.2.7 Model C
Plošča in nosilec sta modelirana s pomočjo ploskovnih (QUAD) KE, ki so priključeni na
skupno referenčno ravnino. Nosilec je modeliran z elementi, debeline, ki je enaka višini
nosilca. Zaradi ekscentričnosti e in e1 (oddaljenosti srednje ravnine plošče od skupne
referenčne ravnine plošče) se poleg upogibnih momentov pojavljajo tudi membranske sile
(Slika 4.16). Takšen način modeliranja plošče z nosilci se izkaţe kot neekonomičen pri
nosilcih z višino H 2,5h, kjer je h debelina plošče (SOFISTIK, 2014).
Slika 4.18: Plošča in nosilec modelirana s ploskovnimi (QUAD) elementi, priključenimi na skupno
referenčno ravnino (vir: SOFISTIK, 2014).
Slika 4.19: MKE model C v Sofistiku.
49
4.2.8 Model D
Vozlišča KE plošče (QUAD KE) so povezana z vozlišči KE nosilca (modeliran s pomočjo
BEAM KE) z absolutno togo namišljeno palico. V literaturi je to poimenovano kot
»master-slave« vez (Lazarević & Dvornik, 2015). Z »master-slave« vezmi zagotavljamo
linearno odvisnost translatornih pomikov dveh vozlišč (npr. P in N - Slika 4.20) ter enake
zasuke dveh vozlišč. Na ta način je ustvarjena kompatibilnost deformacij plošče in nosilca.
Slika 4.20: Model s kinematičnimi vezmi (vir: Lazarević & Dvornik, 2015).
S pomočjo togih kinematičnih vezi je omogočeno, da dve vozlišči KE medsebojno
povezani, pred in po deformaciji (zaradi obremenitve) ohranita medsebojno razdaljo (Slika
4.21, »namišljena toga palica«) dolţine d in enake zasuke (ji
φφ ). V vsakdanji inţenirski
praksi se v modeliranju konstrukcij najpogosteje srečamo s absolutno togimi
kinematičnimi vezmi (Lazarević & Dvornik, 2015).
V primeru plošče z nosilci, vozlišča KE plošče in vozlišča KE nosilca poveţemo s
kinematičnim vezmi, ob naslednjih predpostavkah:
- plošča je nedeformabilna v vertikalni smeri,
- velja Navierjeva hipoteza ravnih prerezov in
- teorija majhnih pomikov (Presečki & Kovač, 2013).
Če sta i in j dve točki enega telesa, za ravninski problem velja (glej sliko 4.21):
'dd ( 4.9)
ji
υυ (4.10)
Če je j »master« in i »slave« vozlišče velja
αcosdxxji (4.11)
Po deformaciji (premiku) velja:
50
)cos(duxuxjjjii
υα (4.12)
Z vstavljanjem enačbe (4.11) v (4.12) dobimo:
αυαυα cosd)sinsincos(cosduujjji (4.13)
Za majhne kote velja:
1cosjυ in
jjsin υυ (4.14)
Iz (4.13) in (4.14) sledi ( za smer x):
jijjjji
yyusinduu υαυ (4.15)
Za smer y velja:
jijji
xxvv υ (4.16)
Matrični zapis enačb (4.10), (4.15) in (4.16):
j
j
j
ji
ji
i
i
i
v
u
100
xx10
yy01
v
u
(4.17)
Na osnovi izraza (4.17) za tridimenzionalni problem v matrični obliki velja:
j,z
j,y
j,x
j
j
j
jiji
jiji
jiji
i,z
i,y
i,x
i
i
i
w
v
u
100000
010000
001000
0)xx(yy100
xx0)zz(010
)yy(zz0001
w
v
u
υ
υ
υ
υ
υ
υ
( 4.18)
51
Slika 4.21: Geometrijski odnos dveh točk togega telesa (vir: Lazarević & Dvornik, 2015).
Povezavo s kinematičnimi vezmi naredimo v Sofistiku na način, prikazan na Sliki 4.22
(Sofistik documentation, SOFIMSHA, 2014, 3-23).
Prostostne stopnje vozlišča 101 so definirane relativno na vozlišče 1001 (Slika 4.20). Z
ukazom KF smo definirali »togo vez« med KE plošče in KE nosilca.
Slika 4.22: Nosilec priključen na mrežo KE plošče s pomočjo kinematičnih vezi (vir: SOFISTIK,
2014).
52
Slika 4.23: MKE model D v Sofistiku.
4.3 PRIMERJAVA REZULTATOV VSEH MODELOV
Primerjali smo vrednosti upogibnih momentov My (prerez 1-1 in 2-2), povesov w (prerez
1-1 in 3-3) in normalnih napetosti σx v smeri x-osi (prerez 1-1 in 2-2).
Slika 4.24: Prerezi, v katerih so analizirani rezultati računalniške analize.
4.3.1 Upogibni moment My
Rezultat analize modela A je upogibni moment T-nosilca My, in upogibni momenti plošče
mxx (Slika 4.25), ki ga uporabimo za dimenzioniranje plošče.
Rezultat analize modela B je membranska sila nxx nosilca (ki smo ga modelirali s QUAD
KE in je v tem primeru osno obremenjen) ter upogibni moment plošče mxx. V Sofistiku
pretvorbo membranskih sil in upogibnih momentov plošče v vrednost My, potrebno za
dimenzioniranje T-prereza, naredimo s pomočjo modula SIR. Modul SIR uporabimo tudi v
primeru modeliranja na načina C in D.
53
Rezultat analize modela C je upogibni moment plošče mxx, ki ga uporabimo za
dimenzioniranje plošče. Ni potrebnega dodatnega dimenzioniranja nosilca (Slika 4.27).
Rezultat analize modela D je upogibni moment My nosilca in upogibni moment plošče mxx
(Slika 4.28).
Slika 4.25: Upogibni moment nosilca My in upogibni moment v plošči m xx [kNm]-Model A.
Slika 4.26: Membranske sile v nosilcu nxx [kN] in upogibni moment v plošči mxx [kNm] - Model B .
Slika 4.27: Upogibni moment mxx [kNm]-Model C.
54
Slika 4.28: Upogibni moment v nosilcu My in upogibni moment v plošči mxx[kNm]-Model D .
Za model B, C in D dobimo rezultantne vrednosti NSK za celoten prerez (plošča+nosilec)
z uporabo modula SIR v Sofistiku. Z ukazom SECT v modulu SIR definiramo »ravnino
prereza« v kateremu ţelimo dobiti NSK. Modul samodejno identificira elemente, ki so
»prerezani« z ravnino (Slika 4.29). Sledi integracija napetosti v »prerezanih« elementih
(plošča, nosilec) in pridobitev potrebnih NSK (SOFISTIK, 2014).
Slika 4.29: Definiranje prereza s koordinatami (vir: SOFISTIK, 2014).
55
Slika 4.30: Upogibni momenti za celoten prerez v primeru modela D (plošča+nosilec).
S preprostim izračunom (iz osnovnih pogojev ravnovesja in vsote momentov okoli točke
A) preverimo »peš« izračunom vrednost upogibnega momenta My v prerezu 2-2.
xxxNxx
A
NP N38,0n08,0MmMM
kNm 404MN
kN 2741nNxxN
kNm 108dzzm2
h
2
h
xxx
σ
kNm 1336274138,0274108,0404108
N38,0n08,0MmM NxxNxxNP
Rezultati upogibnega momenta My so nam na nek način potrditev nekoliko »realnejše«
postavitve robnih pogojev podpiranja in simetrije. Razen majhnih in pričakovanih razlik se
rezultati za My načeloma dobro ujemajo z izjemo modela A (Preglednica 4.1).
56
Preglednica 4.1: Vrednosti upogibnih momentov v prerezu 1-1 in 2-2 za pet modelov
MODEL My [kNm]
PREREZ 1-1 2-2
MODEL A 1013,00 -1313,00
MODEL B 992,00 -1248,00
MODEL C 973,20 -1273,00
MODEL D 997,00 -1336,00
MODEL 0 995,00 -1331,00
Na modelu A upogibni moment plošče mxx ni reduciran (moment plošče ni prikazan v
Preglednici 4.1), My T-nosilca je vsota My ekvivalentnega nosilca in mxx plošče (ploščo
dimenzioniramo na večji upogibni moment mxx). Model B in C z vrednostmi upogibnega
momenta nad podporo nekoliko odstopata (to je najverjetneje posledica modeliranja stebra
kot točkovne podpore, velikost KE ipd.). Rezutati upogibnega momenta nad podporo
modela D in modela 0 se ujemata (modelirana na isti način).
Model A je podal nekoliko večji upogibni moment My v polju, vendar je to še sprejemljiva
razlika. Zanimlivost je, da se upogibna momenta modela B in C ujemata z rezultati drugih
modelov (za razliko od vrednosti nad podporo). Predpostavljamo da je tako zaradi načina
modeliranja stebra kot točkovne nepomične podpore.
4.3.2 Povesi v z-smeri
V Preglednici 4.2 so podane vrednosti povesov v točkah S in P, v smeri z-osi (Slika 4.31).
Na spodnjih slikah (4.32-4.35) so razvidni povesi plošče v z-smeri.
Slika 4.31: Prikaz točk S in P za analizo pomikov na vseh štirih modelih.
Rezultati računalniške analize so prikazani na spodnjih slikah.
57
Slika 4.32: Diagram povesov w [mm]- Model A.
Slika 4.33: Diagram povesov w [mm]- Model B.
Slika 4.34: Diagram povesov w [mm] - Model C.
Slika 4.35: Diagram povesov w [mm]-Model D.
Preglednica 4.2: Vrednosti povesov w [mm] za štirie modele v prerezu 1-1 in 3-3
MODEL A MODEL B MODEL C MODEL D MODEL 0
PREREZ 1-1 S 38,7 38,1 37,6 38,4 38,9
P 37,5 36,6 37,2 37,6 37,8
PREREZ 3-3 S 11,7 11,4 10,8 11,6 11,7
P 10,4 10,1 9,8 10,3 10,3
Razen majhnih in pričakovanih razlik se rezultati za povese načeloma dobro ujemajo
(razlike so v decimalkah) z izjemo modela C (Preglednica 4.2). Z modelom C dobimo
58
nekoliko manjše povese v prvem in v drugem polju. Sklepamo, da je z modelom C
nekoliko »precenjena« togost sistema (ker smo dobili najmanjše vrednosti povesov). Ţe
zdaj lahko rečemo, da model C ni primeren način modeliranja plošč z ozkimi nosilci.
Model B nekoliko odstopa z razliko med povesi v točki S in točki P. Ta razlika je lahko še
večja z vitkejšimi nosilci.
4.3.3 Normalne napetosti v prerezu v smeri x-osi
Zanimal nas je potek nevtralne osi T-prereza. Vrednosti normalnih napetosti v plošči in
nosilcu smo odčitali z diagramov napetosti. Ko vzdolţ prereza (smer y-osi) spojimo točke,
v katerih so napetosti v smeri x-osi enake 0, dobimo nevtralno os T-prereza. Na spodnjih
slikah so prikazani izrisani diagrami napetosti in nevtralna os (oranţna črtkana linija) T-
prereza v polju 1-1 in T-prereza 2-2 nad prvo podporo. (Diagrame napetosti iz katerih smo
odčitali vrednosti napetosti najdemo v podpoglavju 8.1.).
Slika 4.36: Normalne napetosti σx [MPa] v smeri x -model A.
Z modelom A dobimo konstantne napetosti po celotni širini pasnice T-prereza. Ker ţelimo
analizirati neenakomernost razporeditve napetosti v pasnici T-prereza (plošča), model A ni
primeren način modeliranja za analizo »shear lag«-a (Slika 4.35), je pa primeren za
primerjavo rezultatov. S Slike 4.36 je razvidno, da model B nam poda »gladko« nevtralno
os, kar pomeni, da s tem modelom zagotavljamo kompatibilnost napetosti v smeri x-osi.
59
Slika 4.37: Normalne napetosti σx [MPa] v smeri x - model B.
Model C nam poda realnejše (vrednosti) napetosti, vendar nad podporo, kjer se nevtralna
os naenkrat »zlomi«, opaţamo določeno nekompatibilnost napetosti (Slika 4.38).
Slika 4.38: Normalne napetosti σx [MPa]v smeri x - model C.
60
Izkaţe se, da je nekompatibilnost še bolj izraţena v primeru večje višine nosilca
(SOFISTIK, 2014). Model D nam poda napetosti, ki so podobne napetostimi pri modelu B.
Tudi nevtralna os je »gladka«, kar pomeni kompatibilnost napetosti med ploščo in
nosilcem (Slika 3.39).
Slika 4.39: Normalne napetosti σx [MPa] v smeri x - model D.
Preglednica 4.3: Rezultati računalniške analize- normalne napetosti v spodnji in zgornji točki
prereza
Napetosti σx [MPa]
PREREZ 1-1 2-2
ZG SP ZG SP
MODEL A -7,9 22,8 14,9 -31,9
MODEL B -7,1 22,6 12,2 -27,1
MODEL C -7,5 21,9 17,3 -26,9
MODEL D -7,2 22,6 12,4 -37,2
MODEL 0 -7,2 22,8 12,5 -37,7
Iz rezultatov napetosti (Preglednica 4.3) opazimo, da se napetosti v polju (prerez 1-1) za
vseh 5 modelov načeloma dobro ujemajo. Nad podporo opazimo veliko odstopanje
rezultatov modelov B in C. Predpostavljamo, da je to posledica modeliranja stojine s
ploskovnimi elementi, kot tudi pogojev podpiranja.
Analiza rezultatov računalniške analize konstrukcije štirih načinov modeliranja plošče z
nosilci je dokazala, da je model D najprimernejši način modeliranja plošče z nosilci za
analizo napetosti σx v plošči. Iz rezultatov povesov je razvidno tudi, da s takšnim načinom
61
modeliranja ohranimo dejansko togost sistema. Rezultati NSK, povesov in napetosti
modela D se ujemajo tudi z rezultati računalniške analize iste konstrukcije, narejene z
drugo programsko opremo (GRAFeM) oz. modelom 0.
Analizo »shear lag«-a je torej najbolje narediti na način, opisan na modelu D: nosilec je
ekscentrično priključen na mreţo KE plošče s pomočjo toge vezi.
62
5 ANALIZA »SHEAR LAG«-A
5.1 VHODNI PODATKI
Na Sliki 5.1 in Sliki 5.2 je prikazan začetni model. Na njem v računalniški analizi sočasno
spreminjamo le en parameter. Drugi parametri: dimenzije, obteţbe, robni pogoji simetrije
in podpiranja ostanejo isti.
Slika 5.1: Začetni model - tloris in prerez A-A v vzdolžni smeri in obtežba dela plošče.
Slika 5.2: Začetni model - prerez B-B v prečni smeri.
Have no fear of perfection - you 'll never reach
it. Salvador Dali
63
Plošča, dimenzij 5 x 40 m, je modelirana s QUAD elementi, dimenzij 0,5 x 0,8 m, prečno
je 10 elementov, vzdolţno 50. Nosilec je razdeljen na 50 BEAM elementov dolţine 0,8 m.
Slika 5.3: Model v Sofistiku.
5.2 PARAMETRIČNA ANALIZA
Spreminjamo vrednosti naslednjih parametrov (Slika 5.4):
- višina nosilca – H (razmerje L/H),
- debelina plošče – h (razmerje l/h),
- karakteristični razpon konstrukcijskega elementa – L (razmerje L/l) in
- tip obteţbe (linija poteka kablov za prednapenjanje).
V spodnji preglednici so podana priporočila za dimenzije in razmerja dimenzij PT-plošč z
ozkimi nosilci. V računalniški analizi spreminjamo vrednosti parametrov v mejah dimenzij
in razmerij, podanih v spodnji preglednici.
Slika 5.4: Parametri za analizo.
Preglednica 5.1: Priporočila dimenzij elementov PT-plošče z ozkimi nosilci (vir: Expertenforum,
2005)
PLOŠČE Z OZKIMI NOSILCI
Razpon nosilca-
L
Razpon plošče -
l
Širina
nosilca Razmerje L/H Razmerje l/h
12 - 20 m 5 – 8 m 40 – 50 cm 18 – 24 40 – 45
BEAM ELEMENT
QUAD ELEMENT
KINEMATIČNE VEZI
64
5.2.1 Višina nosilca H
V enačbah EC 2 za izračun efektivne širine višina nosilca H ni zajeta. Sledi analiza
napetosti za tri različne višine nosilca. Višine nosilca so določene upoštevajoč priporočeno
razmerje L/H iz Preglednice 5.1., prav tako tudi priporočila razmerja L/H, ki veljajo za
klasične AB-plošče.
Preglednica 5.2: Razmerje razpona in višine nosilca za AB- in PT-plošče.
ELEMENT RazmerjeL/H Višina nosilca - H [cm]
AB-plošča z nosilci (Korjenic, 2014) 15-20 110-80
PT-plošča z nosilci (Preglednica 5.1) 18-24 90-60
Preglednica 5.3: Vhodni podatki računalniške analize, spreminjajoč H
VHODNI PODATKI
Karakteristični razpon – L 16,0 m
Razmak nosilcev (razpon plošče) – l 5,0 m
Višina nosilca – H
a) H= 100 cm
b) H= 80 cm
c) H= 60 cm
Debelina plošče – h 16 cm
Tip obteţbe Enakomerno razdeljena (10 kN/m2)
V nadaljevanju so na slikah prikazani rezultati računalniške analize za tri različne višine
nosilca. Posebna pozornost je namenjena napetostim v zgornjem robu plošče.
Slika 5.5: Diagram napetosti σx [MPa] zgornjega roba plošče za višino nosilca H=100 cm.
Slika 5.6: Diagram napetosti σx [MPa] zgornjega roba plošče po prerezih na razmiku 2 m za višino
nosilca H=100 cm.
65
Slika 5.7: Diagram napetosti σx [MPa] zgornjega roba plošče za višino nosilca H=80 cm.
Slika 5.8: Diagram napetosti σx [MPa] zgornjega roba plošče po prerezih na razmiku 2 m za višino
nosilca H=80 cm.
Slika 5.9: Diagram napetosti σx [MPa] zgornjega roba plošče za višino nosilca H=60 cm.
Slika 5.10: Diagram napetosti σx [MPa] zgornjega roba plošče po prerezih na razmaku 2 m za
višino nosilca H=60 cm.
Iz diagramov napetosti v prerezih nad podporo pričakovano opazimo največjo intenziteto
neenakomerne razporeditve normalnih napetosti σx (»shear lag«).
66
Slika 5.11: Primer normalnih napetosti σx [MPa] nad podporo za H=60 cm.
Napetosti σx v plošči nad podporo (Sliki 5.10, Slika 5.11), ki smo jih dobili iz računalniške
analize (v nadaljevanju RA) smo integrirali, potem smo izračunali beff, in jo primerjali z
beff, določeno z izrazi iz EC 2.
Preglednica 5.4: Primerjava vrednosti efektivne širine na mestu najbolj izražene neenakomerne
razporeditve napetosti v primeru spreminjanja višine nosilca-H (razmerje L/H)
PODPORA
MODEL )y(
bo
o
xσ max,x
σ
min,x
max,x
σ
σ beff (RA) beff (EC 2)
)2 EC(b
)RA(b
eff
eff
[MPa]
[MPa] -
[m] [m] -
H=100cm 15,10 5,05 3,10 2,99 2,36 1,27
H=80cm 23,30 7,62 2,71 3,06 2,36 1,30
H=60cm 42,20 12,70 2,18 3,30 2,36 1,41
Vrednost efektivne širine izračunane na MKE modelu je pri višini nosilca H=100 cm (in
razponu L=16 m) še zmeraj za 27% večja od izračunane po navodilih EC 2 (Preglednica
5.4). Opazno je seveda večanje vrednosti efektivne širine z zmanjševanjem višine nosilca.
Opazimo, da se z zmanjševanjem višine nosilca zmanjšuje razmerje med maksimalno in
minimalno vrednostjo normalne napetosti v prerezu (neenakomernost napetosti v prerezu).
»Niţji« nosilec vpliva v manjši meri na potek nevtralne osi prereza. Posledično je
nevtralna os bliţje spodnjem robu plošče, kar povzroči bolj enakomerno razporeditev
napetosti v plošči, posledično večjo vrednost efektivne širine.
67
Slika 5.12: Analiza rezultatov - primerjava vrednosti efektivne širine nad podporo za tri različne
višine nosilca.
Enako kot nad podporo, smo odčitali vrednosti normalne napetosti σx zgornjeg roba plošče
po širini prereza v polju in sicer na mestu maksimalnega upogibnega momenta My
(~0,414L). Na spodnji sliki je v polju (prerez 1-1) viden potek neenakomerne razporeditve
normalnih napetosti po širini pasnice (T-prereza) za višino nosilca H=100 cm.
Slika 5.13: Primer normalnih napetosti σx [MPa] v polju za H=100 cm.
Slika 5.14: Vrednosti α na mestu maksimalnega upogibnega momenta My (prerez 1-1) po širini
pasnice.
68
V polju se odnos α= σx/ σx,min ob večjem razmerju L/H (pri manjši višini nosilca torej) po
širini pasnice T- prereza- b0, pribliţuje vrednosti α=1, kar pomeni, da se »shear lag« ne
pojavlja. Po EC 2 je za vse višine H efektivna širina v polju enaka beff= 4,12 m.
S Slike 5.14 ugotovimo, da višina nosilca pomembno vpliva na razporeditev napetosti v
polju, posledično pa tudi na velikost efektivne širine. Isti način analize »neenakomernosti«
razporeditve napetosti σx v polju je uporabljen pri spreminjanju parametra debeline plošče
in tipa obteţbe.
5.2.2 Debelina plošče h
Tudi debelina pasnice (plošče) - h ni zajeta v enačbah EC 2 za izračun efektivne širine.
Sledi analiza napetosti za debelino plošče h=12 cm (vrednost debeline je podana v
Preglednici 5.1).
Preglednica 5.5: Vhodni podatki računalniške analize, spreminjajoč h
VHODNI PODATKI
Karakteristični razpon – L 16,0 m
Razmak nosilcev (razpon plošče) – l 5,0 m
Višina nosilca – H 60 cm
Debelina plošče – h a) h= 12 cm
b) h= 16 cm
Tip obteţbe Enakomerno razdeljena
(10 kN/m2)
V nadaljevanju so na naslednjih slikah prikazani rezultati računalniške analize (napetosti
σx) za debelino plošče h=12 cm in debelino plošče h=16 cm. Posebna pozornost je tudi
tokrat namenjena napetostim v zgornjem robu plošče.
Slika 5.15: Diagram napetosti σx [MPa] zgornjega roba plošče ob debelini plošče h=16 cm.
69
Slika 5.16: Diagram napetosti σx [MPa] zgornjega roba plošče po prerezih na razmiku 2 m ob
debelini plošče h=16 cm.
Slika 5.17: Diagram napetosti σx [MPa] zgornjega roba plošče ob debelini plošče h=12 cm.
Slika 5.18: Diagram napetosti σx [MPa] zgornjega roba plošče v prerezih na razmaku 2 m ob
debelini plošče h=12 cm.
Preglednica 5.6: Primerjava vrednosti efektivne širine na mestu najbolj izražene neenakomerne
razporeditve napetosti v primeru spreminjanja debeline plošče - h
PODPORA
MODEL
)y(
bo
o
xσ max,x beff (EC 2) beff (RA) )2 EC(b
)RA(b
eff
eff
[MPa] [MPa] [m] [m]
h=12 cm 42,20 13,60 3,25 2,36 1,38
h=16 cm 42,20 12,70 3,33 2,36 1,41
70
Iz rezultatov je razvidno, da je dobljena vrednost beff na MKE modelu za 38 % večja od
tiste, ki smo jo določili na podlagi navodil EC 2, pri čemer je opazno zmanjševanje razlike
v velikosti efektivne širine v primeru zmanjševanja debeline plošče (Slika 5.19).
Slika 5.19: Analiza rezultatov - primerjava vrednosti efektivne širine nad podporo za 2 različne
debeline plošče h.
Pri manjši debelini plošče pa je povečana intenziteta neenakomerne razporeditve napetosti
v polju. S spodnje slike tudi vidimo, da ţe majhna sprememba debeline plošče vpliva na
neenakomernost razporeditve normalnih napetosti v polju (Slika 5.20). Predpostavljamo,
da je tako zato, ker s spreminjanjem debeline plošče direktno vplivamo na njeno striţno
podajnost, kar je vzrok pojava »shear lag«-a.
Slika 5.20: Analiza rezultatov: razporeditev normalnih napetosti v polju (prerez 1-1).
71
5.2.3 Razpon nosilca L
Priporočena vrednost razmerja L/H za PT-plošče z ozkimi nosilci je 18–24 (Preglednica
5.7). Sledi analiza napetosti nad podporo za tri različne vrednosti karakterističnega razpona
L.
Preglednica 5.7: Razpon L za razmerje L/H=18–24
L/H Razpon za višino nosilca H=60 cm
[m]
18 10,8
21 12,6
24 14,4
Preglednica 5.8: Vhodni podatki računalniške analize, spreminjajoč L
VHODNI PODATKI
Karakteristični razpon – L (Preglednica
4.6)
a) L = 16 m
b) L = 13 m
c) L = 10 m
Razmak nosilcev (razpon plošče) – l 5,0 m
Višina nosilca – H 60 cm
Debelina plošče – h 16 cm
Tip obteţbe Enakomerno razdeljena (10 kN/m2)
Rezultati računalniške analize so prikazani na spodnjih slikah.
Slika 5.21: Diagram napetosti σx [MPa] zgornjega roba plošče za razpon L = 16 m .
72
Slika 5.22: Diagram napetosti σx [MPa] zgornjega roba plošče po prerezih na razmiku 2 m za
razpon L = 16 m .
Slika 5.23: Diagram napetosti σx [MPa] zgornjega roba plošče za razpon L = 13 m.
Slika 5.24: Diagram napetosti σx [MPa] zgornjega roba plošče za razpon L = 13 m.
Slika 5.25: Diagram napetosti σx [MPa] zgornjega roba plošče za razpon L = 10 m.
Slika 5.26: Diagram napetosti σx [MPa] zgornjega roba plošče za razpon L = 10 m.
73
Preglednica 5.9: Analiza rezultatov - primerjava efektivne širine nad podporo in v polju za različne
velikosti karakterističnega razpona-L
PODPORA
MODEL )y(
bo
o
xσ max,x beff (RA) beff (EC 2) )2 EC(b
)RA(b
eff
eff
[MPa]
[MPa] [m]
[m]
L=16m 42,20 12,70 3,32 2,36 1,41
L=13m 27,50 9,20 2,99 2,06 1,45
L=10m 15,90 6,24 2,55 1,70 1,50
POLJE
MODEL )y(
bo
o
xσ α beff (RA) beff (EC 2) )2 EC(b
)RA(b
eff
eff
[MPa]
[m]
[m]
L=16m 35,90
1,0 5,00
4,12 1,21
L=13m 21,90
1,0 5,00
3,61 1,39
L=10m 10,50
1,0 5,00
3,10 1,61
Pri računalniški analizi se v polju »shear lag« ne pojavlja pri nobeni analizirani dolţini
razpona L. Ker je vrednost koeficienta α=1 smo tudi za prerez v polju primerjali efektivne
širine. Izkaţe se, da je v polju vrednost efektivne širine celo za 61 % večja od tiste
določene po EC 2.
Iz rezultatov računalniške analize ugotavljamo, da z manjšanjem razmerja L/H
(manjšanjem razpona L) nad podporo dobimo celo 50 % večjo vrednost efektivne širine od
tiste, določene z izrazi iz EC 2 ( razpon L= 10 m).
Razlika v rezultatih med EC 2 in RA je kar velika. V spodnjem tekstu je prikazan
postopek izračuna efektivne širine po EC 2 za L=10 m.
)ll(15,0l210
(5.1)
m 00,3)0,100,10(15,0l0 (5.2)
0ii,effl1,0b2,0b (5.3)
m 0,75 0,31,025,22,0bi,eff (5.4)
74
m 60,0l0,2 0 (5.5)
Izberemo manjšo vrednost, torej beff= 0,60 m. Sledi, da je:
m. 1,70 5,060,02beff
Slika 5.27: Analiza rezultatov – primerjava vrednosti efektivne širine nad podporo na treh modelih
z različnim karakterističnim razponom nosilca L.
Ugotavljamo, da razlika v vrednosti efektivne širine RA in EC 2 izhaja predvsem iz
razmerja L/l, ker se npr. za L=10 m in z razmerjem L/l= 2 (meja razmerja za smer
nosilnosti plošč) napetostno stanje iz enoosnega spremeni v dvoosno. Prav tako so izrazi za
določitev efektivne širine po EC 2 prilagojeni dimenzijami klasične AB-plošče z nosilci
(npr. razpon AB-plošče z nosilci l je v praksi najpogosteje v mejah med 1,2 in 4,5 m
(Korjenic, 2014). V našem primeru obravnavane konstrukcije PT-plošče pa imamo razpon
med nosilci plošče 5 m in majhno razmerje L/l (L/l= 2-3,3).V takšnih razmerjih je vrednost
0,2·l0 tista, ki je merodajna za vrednost beff,i.
75
5.2.4 Tip nadomestne obtežbe prednapenjanja (linija poteka kablov za
prednapenjanje)
Prednapenjanje se je v računalniški analizi izvedlo z istimi kabli kot v projektu garaţne
hiše Kapucinski trg v Varaţdinu, in sicer s kabli BBR T15SUPER »monostrand
unbounded tensions«, proizvajalca BBR-CONA s karakteristikami:
- sila v enem kablu: P=279 kN - nazivna površina kabla: A0= 150 mm
2
- zunanji premer cevi: D= 20 mm
- MPa1860/1640f/f k1,0pk1,0p
- koeficient trenja: -1rad 05,0
- koeficient valovanja: k= 0,00475 rad/m,
- minimalni radij ukrivljenosti: R=2,5 m
- minimalna tlačna trdnost potrebna za napenjanje: 24 MPa
Slika 5.28: Tlorisna razporeditev kablov za prednapenjanje v obravnavanem delu PT-plošče.
Uporabljenih je 10 kablov v vzdolţni smeri, ki so v nosilcu (b=50 cm) razporejeni v dveh
snopih. Snopi se nahajajo na razdalji 20 cm. V prečni smeri imamo po 1 kabel v snopu na
razdalji 1 m (Slika 5.27).
V nadaljevanju v izračunih upoštevamo vpliv kablov v x-smeri.
Maksimalna vrednost napenjalne sile enega kabla:
max,ppmaxAP σ
(5.6)
MPa 1476164090,0f90,0
MPa 1488186080,0f80,0min
k,1.0p
k,p
max,pσ (5.7)
kN 4,2216,1475,1P
max
Maksimalna (začetna) vrednost napenjalne sile takoj po napenjanju:
76
)x(A)x(PP)x(P pmopmax0m (5.8)
MPa 1394164085,0f85,0
MPa 1395186075,0f75,0min)x(
k,1.0p
k,p
0pmσ (5.9)
kN 1,2094,1395,1)x(A)x(PP)x(P pmopmax0m (5.10)
Izgube sile prednapenjanja zaradi krčenja in lezenja ne računamo, ker gre za časovne
izgube. Napetosti, ki jih analiziramo, so vrednosti napetosti v času t=0, upoštevamo le
trenutne izgube prednapenjanja.
a) Padec sile prednapetja zaradi zdrsa v sidrni glavi;
Izgube prednapetja v napenjalni glavi zaradi zdrsa so ocenjene na 1,0 %:
kN 21,2P01,0Pmaxsl
Δ (5.11)
b) Padec sile prednapetja zaradi trenja vzdolţ osi kabla;
)e1(P)x(P )kx(
max
θμ
μΔ (5.12)
Kjer so:
μ - koeficient trenja med kablom in cevjo (μ= 0,05)
k - kot nenamerne spremembe smeri notranjih kablov (na enoto
dolţine). (v našem primeru k=0,00475 rad/m)
- vsota kotov spremembe smeri kablov (1,15rad/m)
kN 1,11P05,0)95,01(P
)e1(P)40x(P
maxmax
)40 0048,015,1(05,0
max
(5.13)
Ker se kabli prednapenjajo obojestransko, se izguba sile zaradi trenja prepolovi in znaša
5,55 kN.
c) Padec sile prednapetja zaradi elastične deformacije betona
Ker imamo v konkretnem primeru zaporednega napenjanja več kablov v prerezu, izgube
sile prednapetja zaradi elastične deformacije betona upoštevamo z izrazom:
77
)t(E
)t(jEAP
cm
c
ppel
σΔΔ (5.14)
Kjer so:
Δσc(t) - sprememba napetosti v teţišču kablov, ki se pojavi v času t
j - koeficient, ki je enak:
(n-1)/2n, pri čemer je n število enakih zaporedno predapetih
kablov. Kot pribliţek za j se lahko vzame 0,5 oz. 1 pri
spremembah, ki so posledice stalnih vplivov , ki nastopijo pri
prednapetju
- vsota kotov spremembe smeri kablov
Ap - prerez vseh prednapetih kablov
Ecm
- modul elastičnosti betona
Ep - modul elastičnosti jekla za prednapenjanje
Pri čemer je MPa5,1c (V podpoglavju 8.1 je diagram napetosti, s katerega smo
odčitali vrednost za kombinacijo delovanja stalne obteţbe in prednapenjanja).
kN 31,7
3000
15,050,01950015P
el
Δ
(5.15)
Padec sile prednapetja zaradi elastične deformacije betona za en kabel znaša:
kN 73,010/PPel
'
el ΔΔ (5.16)
Izgube sile prednapetja za en kabel (t = 0) znašajo:
kN 5,873,055,521,2PPPP'
elsl ΔΔΔΔ
μ (5.17)
Računska sila prednapenjanja (srednja vrednost sile prednapenjanja) za nulto fazo potem
znaša:
m0max0t,m P kN 12,928,114,221)x(PP)x(P
V izračunu smo v nadaljevanju upoštevali začetno silo prednapenjanja v enem kablu -
.kN 200P o,m
78
Prednapenjamo z 10 kablov. Skupna sila prednapenjanja v kablih tako znaša:
kN 200020010P10P o,m
Nadomestno obteţbo kablov apliciramo na začetni model. Potek izračuna nadomestnih
(odklonskih sil) je opisan v 3. poglavju. Na spodnjih slikah je prikazan potek kablov za
prednapenjanje v obravnavanem delu plošče, ter nadomestna obteţba prednapenjanja.
a) »Prosti« potek kablov za prednapenjanje- koncentrirane sile
Slika 5.29: Geometrija linije poteka kablov za prednapenjanje – »prosti« potek.
Slika 5.30: Nadomestna obtežba prednapenjanja- »prosti« potek kablov za prednapenjanje.
b) Parabolični potek kablov za prednapenjanje- enakomerno razdeljena linijska obteţba
Linija nad podporo je kroţni lok R=2,5 m. Po izrazih s Slike 3.11 smo izračunali
nadomestno obteţbo prednapenjanja.
79
Slika 5.31: Geometrija linije poteka kablov za prednapenjanje-parabolični potek.
Slika 5.32: Nadomestna obtežba prednapenjanja - parabolični potek kablov za prednapenjanje.
Preglednica 5.10: Vhodni podatki računalniške analize, spreminjajoč tip nadomestne obtežbe
VHODNI PODATKI
Karakteristični razpon – L 16 m
Razmak nosilcev (razpon plošče) –
l 5,0 m
Višina nosilca – H 60 cm
Debelina plošče – h 16 cm
Tip nadomestne obtežbe a) koncentriralne sile
b) enakomerno porazdeljena linijska obtežba
Rezultati računalniške analize so prikazani na spodnjih slikah.
Slika 5.33: Diagram napetosti σx [MPa] zgornjega roba plošče za »prosti« potek kablov za
prednapenjanje.
80
Slika 5.34: Diagram napetosti σx [MPa] zgornjega roba plošče za »prosti« potek kablov za
prednapenjanje.
Slika 5.35: Diagram napetosti σx [MPa] zgornjega roba plošče za parabolični potek kablov za
prednapenjanje.
Slika 5.36: Diagram napetosti σx [MPa] zgornjega roba plošče za parabolični potek kablov za
prednapenjanje.
Iz rezultatov analize je opazno, da oblika linije poteka kablov za prednapenjanje bistveno
ne vpliva na razporeditev normalnih napetosti nad podporo. Prosti potek kablov za
prednapenjanje nam sicer poda nekoliko manjšo efektivno širino (Preglednica 5.11).
81
Preglednica 5.11: Analiza rezultatov – primerjava efektivne širine nad podporo za različna tipa
nadomestne obtežbe prednapenjanja
PODPORA
MODEL )y(
bo
o
xσ max,x
σ beff
(RA)
beff
(EC 2) )2 EC(b
)RA(b
eff
eff
[MPa] [MPa] [m] [m]
“Prosti” 41,40 11,20 3,69 2,36 1,56
Parabolični 37,80 9,79 3,86 2,36 1,63
Opazno pa je odstopanje efektivne širine, dobljene z računalniško analizo, od tiste,
določene po EC 2, v primeru paraboličnega poteka kablov za prednapenjanje celo za 63%,
kar je največje odstopanje med analiziranimi parametri oz. vplivi. Odstopanje efektivne
širine za celo 63 %, pomeni, da kabli za prednapenjanje (kot tip obteţbe) od vseh
raziskanih parametrov pravzaprav najman vplivajo na neenakomernost napetosti v plošči,
oziroma »shear lag«.
Slika 5.37: Analiza rezultatov – primerjava vrednosti efektivne širine nad podporo za dva tipa
obtežbe.
Ugotavljamo, da je razlog za največje odstopanje način, na katerega smo nanesli
nadomestno obteţbo prednapenjanja. Nadomestno obteţbo smo namreč nanesli kot linijsko
obteţbo (v liniji nosilca, kjer dejansko potekajo kabli za prednapenjanje v x-smeri),
obteţba na plošči (stalna in koristna) je pa skoraj vedno zvezna enakomerno porazdeljena
obteţba.
82
6 SKLEP
Dinamika gospodarskega in druţbenega razvoja narekuje tudi razvoj gradbeništva. Ţe v
50. in 60. letih 20. stoletja se je uveljavil odprti koncept bivanja z namenom ustvarjanja
intenzivnejšega občutka povezanosti med uporabniki objekta. Na drugi strani so zahteve
investitorjev objektov visoke gradnje večinoma jasne: poceni, v najkrajšem moţnem času,
hitro in lepo. Pred inţenirje gradbeništva je postavljen velik izziv: na zahteve investitorja
in arhitektov (odprti tloris, tanke plošče, veliki razponi, hitra gradnja, sprejemljiva cena)
odgovorit z eno rešitvijo, ki se lahko izvede z razpoloţljivo gradbeno tehnologijo. Rezultat
inovativnosti in kreativnosti inţenirjev so PT-plošče. Projektiranje teh je zelo hitro postalo
del vsakdanje inţenirske prakse in je sledilo razvoju tehnologije prednapenjanja betona,
podprto z empiričnim znanjem in inovativnostjo projektanta. Legitimnost konstrukcije PT-
plošče tudi danes, 60 let po izdelani prvi PT-plošči, še vedno temelji na primerih in
priporočilih ţe zgrajenih objektov ter na priporočilih, ki veljajo za klasične AB-plošče. Z
magistrsko nalogo smo odstrli delček problematike analize in modeliranja PT-plošč z
nosilci pa tudi pojav »shear lag«-a pri PT-ploščah z nosilci majhne togosti in njegovo
upoštevanje z modeliranjem efektivne širine pasnice.
V magistrski nalogi smo prikazali teoretično ozadje »shear lag« efekta, vzroke in faktorje,
ki vplivajo na intenziteto tega pojava, pa tudi način upoštevanja tega pojava v analizi
konstrukcij s pomočjo poenostavljene metode modeliranja z efektivno širino. Poudarjena
(v nalogi tudi ugotovljena) je močna povezava med poloţajem nevtralne osi prereza in
»shear lag«-om. Na neenakomernost napetosti v plošči lahko vplivamo torej s
spreminjanjem dimenzij plošče ali dimenzij elementov, ki vplivajo na linijo nevtralne osi
plošče (dimenzije nosilca). Na razporeditev in intenziteto striţnih napetosti, s katerimi se
plošča upira normalnimi napetostmi vplivamo z debelino plošče h. Nosilec na poloţaj
nevtralne osi plošče vpliva s svojo togostjo oziroma dimenzijami, višino H in širino bw. Vsi
parameteri dimenzij prereza, kateri vplivajo na poloţaj nevtralne osi prereza pravzaprav
vplivajo na pojav in intenziteto »shear lag« efekta.
Ploščo z nosilci pogosto modeliramo kot T-prerez. Izbrali smo štiri načine modeliranja T-
prereza:
Learn what is to be taken seriously and laugh
at the rest. Hermann Hesse
83
- Model A (T-nosilec modeliran s pomočjo linijskih KE centrično priključen na mreţo
KE plošče),
- Model B (plošča in nosilec modelirana s ploskovnimi elementi),
- Model C (plošča in nosilec modelirana s ploskovnimi elementi s skupno referenčno
ravnino) in
- Model D (nosilec je modeliran s pomočjo linijskih KE in ekscentrično priključen na
mreţo KE plošče s pomočjo kinematičnih vezi).
Rezultate vseh štirih modelov – upogibne momente, povese in napetosti v plošči – smo
primerjali, primerjavo pa smo izvedli tudi z rezultati modela 0, narejenega s pomočjo
drugega računalniškega programa (GRAFeM). Primerjali smo rezultate povesov, ker lahko
»podcenjeni« povesi povzročajo nepričakovano nadvišanje plošče in poškodbe predelnih
zidov. Z namenom kontrole »pravilno« definiranih pogojev podpiranja in simetrije smo
primerjali tudi upogibne momente. Preverili smo, kateri model nam poda »gladko« linijo
nevtralne osi prereza, ker to predstavlja kontrolo kompatilnosti napetosti in dobre
aproksimacije realnega stanja napetosti v T-prerezu. Modeliranje s kinematičnmi vezmi
(Model D) se je izkazalo kot najboljša aproksimacija realnega obnašanja konstrukcije PT-
plošče z nosilci majhne togosti. Toga vez vozlišč nosilca in plošče najboljše aproksimira
deformacijsko in napetostno stanje PT-plošče s nosilcem, ki je pravzaprav elastična
podpora plošči.
Na izbranem modelu (model D) smo nato spreminjali štiri parametre, ki vplivajo na pojav
in intenziteto »shear lag«-a:
- višino nosilca – H (razmerje L/H),
- debelino plošče – h (razmerje l/h),
- karakteristični razpon– L (razmerje L/l) in
- tip nadomestne obteţbe prednapenjanja (linija poteka kablov za prednapenjanje).
Izrazi EC 2 pri izračunu efektivne širine ne upoštevajo višine nosilca. Iz rezultatov analize
ugotavljamo, da višina nosilca pomembno vpliva na intenziteto »shear lag«-a. Nosilec
majhne togosti (»nizki« nosilec) se obnaša bolj kot elastična podpora plošče in s svojo
togostjo ne vpliva na »obliko« nevtralne osi prereza. Nevtralna os po deformaciji ostane
bliţje spodnjemu robu plošče, s tem je razpored napetosti v plošči bolj enakomeren (Slika
6.1). Le delno smo spreminjali tudi razmerje H/h (spreminjali smo debelino plošče), ki
pomembno vpliva na linijo nevtralne osi prereza, s tem pa na pojav in intenziteto »shear
lag«-a, in ugotovili, da za nekoliko manj spremenjeno debelino plošče (za 4 cm manjša
debelina plošče) povzročimo ţe pomembno neenakomerno razporeditev napetosti,
predvsem v polju (Slika 6.1). »Shear lag« se za razmerje L/H=18-24 (priporočeno razmerje
za PT-plošče z ozkimi nosilci) v polju ne pojavlja.
84
Slika 6.1: Rezultati analize napetosti σx v polju.
Polek dimenzijskosti na »shear lag« vpliva tudi tip obteţbe. V nalogi smo podali osnovne
napotke za konstrukcijsko zasnovo plošče, preučili nekatera priporočila glede začetnih
dimenzij plošče in linije poteka kablov za prednapenjanje. V primeru prednapetih plošč je
poleg osnovnih napotkov glede razmerij dimenzij, potrebno določiti tudi linijo poteka
kablov za prednapenjanje, kar je v osnovi najpomembneši del v postopku projektiranja in
zasnove konstrukcije PT-plošče. Intenziteta odklonskih sil zaradi prednapenjanja je
odvisna od geometrije linije kabla za prednapenjanje – modelirana kot koncentrirana sila
ali zvezna obteţba – in lahko pomembno vpliva na razpored in intenziteto napetosti ter
velikost efektivne širine PT-plošče. Na začetni model smo aplicirali nadomestno obteţbo
prednapenjanja za parabolični in prosti potek kablov za prednapenjanje. V primeru
prostega poteka kablov za prednapenjanje smo nad podporo dobili za 56% večjo vrednost
efektivne širine od tiste, določene po EC 2, za parabolično pa 63 %. V primeru prostega
poteka kablov za prednapenjanje je potek območja »shear lag«-a nekoliko »zamaknjen«
(Slika 6.2) za razliko od parabolične linije poteka kablov (Slika 6.3).
85
Slika 6.2: Diagram napetosti σx [MPa] zgornjega roba plošče za »prosti« potek kablov za
prednapenjanje+stalna obtežba.
Slika 6.3: Diagram napetosti σx [MPa] zgornjega roba plošče za parabolični potek kablov za
prednapenjanje+stalna obtežba.
Sklepamo, da ima prednapenjanje od vseh analiziranih parametrov najmanjši vpliv na
intenziteto in pojav »shear lag«-a, in sicer zaradi poloţaja kablov za prednapenjanje (v
nosilcu), majhne višine nosilca (h=60cm), ter »narave« nadomestne obteţbe
prednapenjanja (linijska obteţba).
Zanimiva je tudi razlika med vrednostjo efektivne širine nad podporo, dobljeno iz
računalniške analize in vrednostjo, dobljeno po EC 2. Na podlagi vrednosti efektivne
širine, dobljene z računalniško analizo (v 5. poglavju), ugotavljamo, da z računalniško
analizo v vseh primerih variiranja dimenzij v (mejah priporočenih za PT-plošče z ozkimi
nosilci), dobimo najmanj 27 % večjo vrednost efektivne širine od tiste, določene po EC 2
(Preglednica 6.1).
86
Preglednica 6.1: Rezultati analize efektivne širine nad podporo
PODPORA
MODEL )y(
bo
o
xσ max,x
σ beff (RA) beff (EC 2) )2 EC(b
)RA(b
eff
eff
[MPa]
[MPa] [m] [m] -
H=100cm 15,10 5,05 2,99 2,36 1,27
H=80cm 23,30 7,62 3,06 2,36 1,30
H=60cm 42,20 12,70 3,30 2,36 1,41
h=12 cm 42,20 13,60 3,25 2,36 1,38
h=16 cm 42,20 12,70 3,33 2,36 1,41
L=16m 42,20 12,70 3,32 2,36 1,41
L=13m 27,50 9,20 2,99 2,06 1,45
L=10m 15,90 6,24 2,55 1,70 1,50
“Prosti” 41,40 11,20 3,69 2,36 1,56
Parabolični 37,80 9,79 3,86 2,36 1,63
Zanimivo je, da npr. z uporabo izraza (2.26) za določitev efektivne širine po Karmanu,
oziroma Timoshenku in Goodieru (1970) dobimo vrednost efektivne širine za začetni
model beff=3,08 m, kar je pravzaprav vrednost med RA in EC 2 (Preglednica 6.1). Tudi
Aalami (1993) je omenil, da nekateri inţenirji upoštevajo do 30% večjo vrednost efektivne
širine v primeru računanja efektivne širine za PT-plošče z nosilci. Od tod sklepamo, da je v
primeru modeliranja PT-plošče z nosilci z efektivno širino, lahko uporabimo vrednost
efektivne širine najmanj 20% večja od tiste, določene po EC 2. Modeliranje z manjšo
efektivno širino zmanjšuje togost sistema, in s tem vpliva na velikost povesov.
Slika 6.4: Diagram povesov w [mm]- začetni model (beff po EC 2).
Na osnovnem modelu smo naredili primerjavo povesov v z-smeri v prvem polju med
osnovnim modelom T-nosilca, modeliranim z vrednostmi efektivne širine, določene po EC
2, in osnovnim modelom, modeliranim z vrednostmi efektivne širine, določene iz
87
rezultatov računalniške analize (diagrama normalnih napetosti σx). Razlika v rezultatih
maksimalnih povesov v polju je kar 8 % (Slika 6.4 in 6.5).
Slika 6.5: Diagram povesov w [mm]- začetni model ( beff po RA).
Sklepamo, da efektivno širino pasnice v primeru PT-plošč z nosilci po EC2 računamo z
nepopolnimi in slabimi izrazi saj ti npr. ne upoštevajo višine nosilca, debeline plošče,
predznaka upogibnega momenta (ali je plošča v tlaku ali v nategu), ki so v primeru
konstrukcije PT-plošč z nosilci majhne togosti pomembni.
Z modeliranjem PT-plošče z nosilci majhne togosti na način, da nosilec ekscentrično (z
njegovo referenčno osjo) priključimo na mreţo KE plošče (kjer upoštevamo celotno širino
pasnice, ter dejanski poloţaj nevtralne osi plošče pod srednjo ravnino plošče), se izkaţe kot
najprimernejši način modeliranja in analize PT-plošče z nosilci majhne togosti. Na ta način
ustvarjamo kompatibilnost deformacij plošče in nosilca. Upoštevanje »shear lag«-a z
modeliranjem efektivne širine po EC2 v primeru PT-plošč se izkaţe kot precej
konzervativen pristop k upoštevanju »shear lag«-a, ki je v PT-ploščah zaradi vpliva
prednapenjanja (ki nam nedvomno zagotavlja enakomerno in linearno razporeditev
napetosti in dejansko enostavnejši »vpogled« v napetostno stanje konstrukcije) manj
izraţen. Konkurenčnost PT-plošč klasičnim AB-ploščami ne zagotavljamo le z majhno
debelino konstrukcije plošče in velikimi razponi, ampak tudi z minimalno uporabo pasivne
armature. Čeprav je vgrajena kabelska armatura 3-krat draţja od pasivne armature, je v
primerih večjih površin, kot so PT-plošče garaţnih hiš, prihranek pasivne armature tudi del
optimizacije stroškov gradnje plošče. Velikost efektine širine pomembno vpliva na velikost
potrebne pasivne armature v PT-plošči. Ugotovili smo, da je vrednost efektivne širine po
izrazih iz EC 2 precenjena. Posledično je tudi količina armature ki jo dobimo
dimenzioniranjem večja, od tiste potrebne.
Nadaljevanje magistrske naloge je moţno v smeri primerjave minimalne predpisane
količine pasivne armature (v primeru PT-plošč z nosilci) s količino armature določeno z
dimenzioniranjem T-prereza z večjo efektivno širino (od vrednosti določene po EC 2
predpisih). Končni cilj bi bil moţnost projektiranja PT-plošč z minimalno predpisano
pasivno armaturo. Nadaljevanje naloge je moţno tudi v smeri variiranja parametrov
razmerij L/l, L/H in H/h, od koder lahko dobimo priporočljive dimenzije, s pomočjo katerih
se ţe z »začetno« geometrijo PT-plošče izognemo pojavu »shear lag«-a, s tem pa tudi
poenostavimo in pospešimo analizo in dimenzioniranje PT-plošč z nosilci.
88
7 VIRI IN LITERATURA
Aalami, O. B. (1993). Effective width and post-tensioning. PTI technical notes.
Aalami, O. B. (1994). Unbonded and bonded post-tensioning systems in building
construction. Phoenix,AZ: PTI- Technical Note #5 Post-tensioning Institute.
Aalami, O. B. (2001). Nonprestressed bonded rainforcement in post-tensioned building
design. Technical publication. Phoenix, Arizona: ADAPT.
Aalami, O. B. (2009) . Osnove proračuna naknadno napetih betonskih stropova. Zagreb:
HUBITG.
Bondy, D. & Allred, B. (2013). Post-tensioned concrete: principles and practice. Second
edition. Dostop:
https://books.google.ba/books?id=NRABAQAAQBAJ&pg=PP5&lpg=PP5&dq=bondy+all
red+post+tensioned+2013&source=bl&ots=1jkj3LeJR8&sig=uaVLVs5321vhruBExJs0Qx
NrZxQ&hl=sl&sa=X&ved=0ahUKEwje8pKmguLQAhUsLMAKHUF_ByQQ6AEIIDAB
#v=onepage&q=bondy%20allred%20post%20tensioned%202013&f=false , 28.10. 2015.
Bondy, D. (2006). Post- tensioned concrete in buildings: past and future, an insider's view.
PTI Journal:Industry News.
BTI, 5C Stahlbeton- und Spannbetonbau nach DIN- 1045 - 1. 5C Stahlbeton- und
Spannbetonbau nach DIN- 1045 – 1. Dostop: https://www.bundesanzeiger-
verlag.de/fileadmin/BIV-Portal/Bautechnik_WKD/Schneider-
Bautabellen/Ingenieure/Fachinformationen/BTI_05_Stahlbetonbau_nach_DIN_1045-
1.pdf, 22.03.2016.
Burgoyne, C. (1991). Why did Palau bridge collapse?. The structural engineer.
ELSA (European Laboratory for Structural Assesment), 2006. http://elsa.jrc.ec.europa.eu/.
Dostop: http://elsa.jrc.ec.europa.eu/eurocodes2006/pdf/pres230.pdf , 29. 11. 2015.
Evrokod 2, SIST EN 1992-1-1: 2005: Splošna pravila in pravila za stavbe.
Expertenforum (2005). Vorgespannte Flachdecken.Wien.
89
Hartmann, F. & Katz, C. (2007). Structural analysis with finite elements. Berlin: Springer.
Korjenic, S. (2014). Tragwerkplan fur Hochbauprojekte. Dostop:
http://jasec.tuwien.ac.at/fileadmin/t/jasec/Skriptum_TP_Hochbau.pdf , 30.06.2016.
Lazarević, D. & Dvornik J. (2015). Plošni nosači (Bilješke s predavanja).Dostop:
https://www.grad.unizg.hr/_download/repository/Biljeske_s_predavanja.pdf, 01.08. 2015.
Lee, C. K. & Wu, G. J. (2000). 1.Shear lag analysis by the adaptive finite element method,
2. Analysis of complex plated structures. Thin Walled Structures. ELSEVIER.
Mattacchione, A. (1992). Unbonded PT-slabs: an economical alternative. Concrete
International.
O'Brien, E. J. & Keogh D. L. (2005). Bridge deck analysis. London. Dostop:
https://www.scribd.com/doc/72761049/Bridge-Desk-Analysis, 20. 8. 2015.
Presečki P. & Kovač, M. (2013). Prednapete stropne ploče- Javna podzemna garaža
Kapucinski trg u Varaždinu. BBR-ADRIA.
Presečki, P. & Kuhta M. (2016). Važnost korištenja kinematskih veza u modeliranju spoja
stupa i ploče. GNP: Ţabljak.
Presečki, P., Kovač, M. & Taritaš, Z. (2008). Konstrukcija podzemne garaže Tuškanac u
Zagrebu.
Rombach, G. (2003). Spannbetonbau. German edition. Ernst & Sohn.
SOFISTIK (2014). ASE- Theoretical principals.
Szumigala, M. & Ciesielczyk, K. (2015). Shear lag effect in the numerical experiment.
Archives of civil engineering: Vol. LXI, Isssue 5.
Timoshenko, S. & Goodier, J., N. (1970). Theory of elasticity. New York: McGraw-Hill
Book Company.
Ţiţmond J. & Dolšek, M. (2014). Modeliranje efektivne širine pasnice grede za nelinearno
analizo armiranobetonske okvirne stavbe. Ljubljana: Gradbeni vestnik, letnik 63.
90
8 PRILOGE
8.1 DIAGRAMI NORMALNE NAPETOSTI V SMERI X-OSI ZA ŠTIRI MODELE
Slika 8.1: Maksimalne natezne napetosti σx [MPa]- MODEL A.
Slika 8.2: Maksimalne tlačne napetosti σx [MPa]- MODEL A.
Slika 8.3: Normalne napetosti zgornjega roba plošče σx [MPa]- MODEL A.
91
Slika 8.4: Normalne napetosti spodnjeg roba plošče σx [MPa]- MODEL A.
Slika 8.5: Normalne napetosti zgornjega roba plošče σx [MPa]- MODEL B.
Slika 8.6: Normalne napetosti spodnjega roba plošče σx [MPa]- MODEL B.
Slika 8.7: Normalne napetosti v nosilcu (modeliran s ploskovnimi elmenti) σx [MPa]- MODEL B
Slika 8.8: Normalne napetosti zgornjega roba plošče σx [MPa]- MODEL C.
92
Slika 8.9: Normalne napetosti spodnjega roba plošče σx [MPa]- MODEL C.
Slika 8.10: Normalne napetosti zgornjega roba plošče σx [MPa]- MODEL D.
Slika 8.11: Normalne napetosti spodnjega roba plošče σx [MPa]- MODEL D.
Slika 8.12: Maksimalne tlačne napetosti σx [MPa]- MODEL D.
Slika 8.13: Maksimalne natezne napetosti σx [MPa]- MODEL D.
93
Slika 8.14: Diagram napetosti σx [MPa] zgornjega roba plošče za: stalna
obtežba+prednapenjanje.
94
8.2 DIAGRAMI IZ GRAFEM-A (MODEL 0)
Slika 8.15: Povesi w [mm] v smeri z-osi .
Slika 8.16: Diagram normalnih napetosti σx [MPa] zgornjeg roba plošče (prerez v polju
in prerez nad podporo).
POLJE
PODPORA
95
Slika 8.17: Diagram upogibnih momentov My [kNm]-Model 0.
Slika 8.18: Diagram osnih sil Nx-[kN] Model 0.
96
8.3 SEZNAM SLIK
Slika 1.1: Kartezični (desnoročni) koordinatni sistem. ..................................................................................... 3
Slika 2.1: Deformacija pasnice in razporeditev strižnih napetosti v T-prerezu. Strižne napetosti na stiku
pasnice s stojino in normalne napetosti v pasnici-σx. (viri: EC 2; O’Brien, & Keogh, 2005). .......................... 5
Slika 2.2: Nevtralna os prereza, nevtralna ravnina........................................................................................... 6
Slika 2.3: Položaj nevtralne osi prereza (vir: O'Brien, Keogh 2005)................................................................ 6
Slika 2.4: Deformacija in normalne napetosti σx v nosilcu, izpostavljenemu čistemu upogibu. ........................ 7
Slika 2.5: Razporeditev napetosti σx v primeru T-nosilca. ................................................................................ 8
Slika 2.6: Dimenzije analiziranega kontinuiranega nosilca in njegovega prereza 0 (vir: Timoshenko &
Goodier, 1970). ................................................................................................................................................. 8
Slika 2.7: Parametri za določitev efektivne širine pasnice po EC 2 (vir: EC 2, 2005). ................................... 12
Slika 2.8: Statični sistem, obtežba in prečni prerez analiziranega nosilca. .................................................... 12
Slika 2.9: Efektivna širina pasnice T-prereza po EC 2. .................................................................................. 14
Slika 2.10: MKE model nosilca s prikazom efektivne širine prereza po EC 2................................................. 14
Slika 2.11: Diagram My [kNm]- lastna teža . .................................................................................................. 15
Slika 2.12: Diagram My [kNm]- koristna obtežba q . ...................................................................................... 15
Slika 2.13: Diagram robnih napetosti σx ,N v prvem polju in nad prvo podporo obravnavanega nosilca . ..... 16
Slika 2.14: Efektivna širina pasnice na MKE modelu : a) Pozitivni »shear lag« (negativni upogibni moment
My) b)Negativni »shear lag«(pozitivni upogibni moment My). ....................................................................... 17
Slika 2.15: Redukcijski faktor α v primeru negativnega »shear lag«-a (vir: Wu & Lee, 2000). ..................... 18
Slika 2.16: Odvisnost efektivne širine od tipa obtežbe: a) enakomerno porazdeljena obtežba b) enakomerna
obtežba na polovici razpona c) točkovna obtežba d) sinusoidno porazdeljena obtežba (vir: O. B. Aalami,
1994)................................................................................................................................................................ 19
Slika 2.17: Efektivna širina na plošči z nosilci (vir: Krojenic, 2014). ............................................................ 19
Slika 3.1: Najpogosteje uporabljani tipi plošč, ki se prednapenjajo: a) gladka plošča, b)gladka plošča s
kapiteli c) gladka plošča s paneli d) rebrasta plošča nosilna v dveh smereh e)plošča s plitkimi širokimi
nosilci f) rebrasta plošča v kombinaciji s plitkimi širokimi nosilci g) plošča z ozkimi nosilci h) rebrasta
plošča z nosilci v eni smeri (vir: ELSA, 2006). ................................................................................................ 23
Slika 3.2: Dimenzije plošče z nosilci (vir: Expertenforum, 2005) ................................................................... 25
Slika 3.3: Končni izgled plošče, ojačene v eni smeri, pogled v vzdolžni smeri nosilcev. ................................ 26
Slika 3.4: Končni izgled plošče, ojačene v eni smeri, pogled v prečni smeri nosilcev. ................................... 26
Slika 3.5: NSK zaradi sile prednapenjanja P. ................................................................................................. 27
Slika 3.6: Vpliv sile prednapenjanja P na element, napetosti σx v T-prerezu. ................................................. 28
Slika 3.7: Nadomestna obtežba za silo prednapenjanja P . ............................................................................. 29
Slika 3.8 Določanje nadomestne obtežbe za prosto ležeči nosilec (vir: Bondy & Allred, 2013). .................... 30
Slika 3.9: Določanje nadomestne obtežbe prednapenjanja v primeru paraboličnega poteka kablov za
prednapenjanje na prostoležečem nosilcu (vir: Bondy & Allred, 2013). ........................................................ 31
97
Slika 3.10: Nadomestna obtežba v primeru poligonalnega poteka kablov za prednapenjanje (vir: Rombach,
2003)................................................................................................................................................................ 32
Slika 3.11: Parabolični potek kablov za prednapenjanje v plošči in določanje nadomestne obtežbe (vira:
Rombach, 2003; BTI, 5C Stahlbeton- und Spannbetonbau nach DIN-1045–1). ............................................. 33
Slika 3.12: Določanje linije poteka kablov za prednapenjanje v primeru »prostega« poteka kablov za
prednapenjanje v plošči (vir: Stahlbetonbau, 2004). ...................................................................................... 34
Slika 3.13: Določanje nadomestne obtežbe v primeru »prostega« poteka kablov za prednapenjanje v plošči
(vir: Stahlbetonbau,2004)................................................................................................................................ 35
Slika 4.1: Modeliranje plošče z nosilci (vir: Rombach, 2006). ....................................................................... 37
Slika 4.2: Dejanska in modelirana togost sistema. .......................................................................................... 38
Slika 4.3: Položaj nosilca v odnosu do plošče (vir: Hartmann & Katz, 2006). ............................................... 38
Slika 4.4: Moduli v Sofistiku, uporabljeni pri računalniški analizi v okviru naloge(vir: Sofistik Manual,
2014)................................................................................................................................................................ 39
Slika 4.5: Kinematične vezi »master-slave« (M-S) elementov plošče in nosilca stropne ploče (vir: Kuhta &
Presečki, 2015). ............................................................................................................................................... 40
Slika 4.6: PT-plošča garažne hiše. Kapucinski trg v Varaždinu: tloris PT –plošče in dimenzije garažne hiše.
......................................................................................................................................................................... 41
Slika 4.7: Analizirani del PT-plošče garažne hiše. .......................................................................................... 42
Slika 4.8: Prečni prerez A-A v v zdolžni smeri nosilcev in obtežba dela PT-plošče. ....................................... 42
Slika 4.9: Karakteristični prečni prerez B-B (T-prerez). ................................................................................. 42
Slika 4.10: Definiranje pogojev podpiranja - preprečeni pomiki. ................................................................... 43
Slika 4.11: Linijski končni element v Sofistiku: NSK in prostostne stopnje (vir: SOFISTIK 2014, SOFiMSHA).
......................................................................................................................................................................... 44
Slika 4.12: QUAD končni element v Sofistiku : NSK in prostostne stopnje (vir: SOFISTIK 2014, SOFiMSHA).
......................................................................................................................................................................... 44
Slika 4.13: T-nosilec centrično priključen na mrežo KE plošče (vir: SOFISTIK, 2014). ................................ 46
Slika 4.14: Vrednosti beff, izračunane s pomočjo izrazov po EC 2. .................................................................. 46
Slika 4.15: MKE model v Sofistiku. ................................................................................................................. 46
Slika 4.16: Nosilec modeliran s ploskovnimi elementi in priključen na srednjo ravnino plošče(vir: SOFISTIK,
2014)................................................................................................................................................................ 47
Slika 4.17: MKE model B v Sofistiku. .............................................................................................................. 47
Slika 4.18: Plošča in nosilec modelirana s ploskovnimi (QUAD) elementi, priključenimi na skupno
referenčno ravnino (vir: SOFISTIK, 2014). .................................................................................................... 48
Slika 4.19: MKE model C v Sofistiku. ............................................................................................................. 48
Slika 4.20: Model s kinematičnimi vezmi (vir: Lazarević & Dvornik, 2015). ................................................. 49
Slika 4.21: Geometrijski odnos dveh točk togega telesa (vir: Lazarević & Dvornik, 2015). .......................... 51
Slika 4.22: Nosilec priključen na mrežo KE plošče s pomočjo kinematičnih vezi (vir: SOFISTIK, 2014). ..... 51
Slika 4.23: MKE model D v Sofistiku. ............................................................................................................. 52
98
Slika 4.24: Prerezi, v katerih so analizirani rezultati računalniške analize. ................................................... 52
Slika 4.25: Upogibni moment nosilca My in upogibni moment v plošči m xx [kNm]-Model A......................... 53
Slika 4.26: Membranske sile v nosilcu nxx [kN] in upogibni moment v plošči mxx [kNm] - Model B . ........... 53
Slika 4.27: Upogibni moment mxx [kNm]-Model C. ........................................................................................ 53
Slika 4.28: Upogibni moment v nosilcu My in upogibni moment v plošči mxx[kNm]-Model D . ..................... 54
Slika 4.29: Definiranje prereza s koordinatami (vir: SOFISTIK, 2014). ........................................................ 54
Slika 4.30: Upogibni momenti za celoten prerez v primeru modela D (plošča+nosilec). ............................... 55
Slika 4.31: Prikaz točk S in P za analizo pomikov na vseh štirih modelih. ..................................................... 56
Slika 4.32: Diagram povesov w [mm]- Model A. ............................................................................................ 57
Slika 4.33: Diagram povesov w [mm]- Model B. ............................................................................................ 57
Slika 4.34: Diagram povesov w [mm] - Model C. ........................................................................................... 57
Slika 4.35: Diagram povesov w [mm]-Model D. ............................................................................................. 57
Slika 4.36: Normalne napetosti σx [MPa] v smeri x -model A......................................................................... 58
Slika 4.37: Normalne napetosti σx [MPa] v smeri x - model B. ....................................................................... 59
Slika 4.38: Normalne napetosti σx [MPa]v smeri x - model C......................................................................... 59
Slika 4.39: Normalne napetosti σx [MPa] v smeri x - model D. ...................................................................... 60
Slika 5.1: Začetni model - tloris in prerez A-A v vzdolžni smeri in obtežba dela plošče. ............................... 62
Slika 5.2: Začetni model - prerez B-B v prečni smeri. ..................................................................................... 62
Slika 5.3: Model v Sofistiku. ............................................................................................................................ 63
Slika 5.4: Parametri za analizo. ...................................................................................................................... 63
Slika 5.5: Diagram napetosti σx [MPa] zgornjega roba plošče za višino nosilca H=100 cm. ........................ 64
Slika 5.6: Diagram napetosti σx [MPa] zgornjega roba plošče po prerezih na razmiku 2 m za višino nosilca
H=100 cm. ....................................................................................................................................................... 64
Slika 5.7: Diagram napetosti σx [MPa] zgornjega roba plošče za višino nosilca H=80 cm. .......................... 65
Slika 5.8: Diagram napetosti σx [MPa] zgornjega roba plošče po prerezih na razmiku 2 m za višino nosilca
H=80 cm. ......................................................................................................................................................... 65
Slika 5.9: Diagram napetosti σx [MPa] zgornjega roba plošče za višino nosilca H=60 cm. .......................... 65
Slika 5.10: Diagram napetosti σx [MPa] zgornjega roba plošče po prerezih na razmaku 2 m za višino nosilca
H=60 cm. ......................................................................................................................................................... 65
Slika 5.11: Primer normalnih napetosti σx [MPa] nad podporo za H=60 cm. ................................................ 66
Slika 5.12: Analiza rezultatov - primerjava vrednosti efektivne širine nad podporo za tri različne višine
nosilca. ............................................................................................................................................................ 67
Slika 5.13: Primer normalnih napetosti σx [MPa] v polju za H=100 cm. ....................................................... 67
Slika 5.14: Vrednosti α na mestu maksimalnega upogibnega momenta My (prerez 1-1) po širini pasnice. .... 67
Slika 5.15: Diagram napetosti σx [MPa] zgornjega roba plošče ob debelini plošče h=16 cm. ...................... 68
99
Slika 5.16: Diagram napetosti σx [MPa] zgornjega roba plošče po prerezih na razmiku 2 m ob debelini
plošče h=16 cm. .............................................................................................................................................. 69
Slika 5.17: Diagram napetosti σx [MPa] zgornjega roba plošče ob debelini plošče h=12 cm. ....................... 69
Slika 5.18: Diagram napetosti σx [MPa] zgornjega roba plošče v prerezih na razmaku 2 m ob debelini plošče
h=12 cm........................................................................................................................................................... 69
Slika 5.19: Analiza rezultatov - primerjava vrednosti efektivne širine nad podporo za 2 različne debeline
plošče h. ........................................................................................................................................................... 70
Slika 5.20: Analiza rezultatov: razporeditev normalnih napetosti v polju (prerez 1-1). ................................. 70
Slika 5.21: Diagram napetosti σx [MPa] zgornjega roba plošče za razpon L = 16 m . .................................. 71
Slika 5.22: Diagram napetosti σx [MPa] zgornjega roba plošče po prerezih na razmiku 2 m za razpon L = 16
m . .................................................................................................................................................................... 72
Slika 5.23: Diagram napetosti σx [MPa] zgornjega roba plošče za razpon L = 13 m. ................................... 72
Slika 5.24: Diagram napetosti σx [MPa] zgornjega roba plošče za razpon L = 13 m. ................................... 72
Slika 5.25: Diagram napetosti σx [MPa] zgornjega roba plošče za razpon L = 10 m. ................................... 72
Slika 5.26: Diagram napetosti σx [MPa] zgornjega roba plošče za razpon L = 10 m. ................................... 72
Slika 5.27: Analiza rezultatov – primerjava vrednosti efektivne širine nad podporo na treh modelih z
različnim karakterističnim razponom nosilca L. ............................................................................................. 74
Slika 5.28: Tlorisna razporeditev kablov za prednapenjanje v obravnavanem delu PT-plošče. ..................... 75
Slika 5.29: Geometrija linije poteka kablov za prednapenjanje – »prosti« potek. .......................................... 78
Slika 5.30: Nadomestna obtežba prednapenjanja- »prosti« potek kablov za prednapenjanje. ....................... 78
Slika 5.31: Geometrija linije poteka kablov za prednapenjanje-parabolični potek. ....................................... 79
Slika 5.32: Nadomestna obtežba prednapenjanja - parabolični potek kablov za prednapenjanje. ................. 79
Slika 5.33: Diagram napetosti σx [MPa] zgornjega roba plošče za »prosti« potek kablov za prednapenjanje.
......................................................................................................................................................................... 79
Slika 5.34: Diagram napetosti σx [MPa] zgornjega roba plošče za »prosti« potek kablov za prednapenjanje.
......................................................................................................................................................................... 80
Slika 5.35: Diagram napetosti σx [MPa] zgornjega roba plošče za parabolični potek kablov za
prednapenjanje. ............................................................................................................................................... 80
Slika 5.36: Diagram napetosti σx [MPa] zgornjega roba plošče za parabolični potek kablov za
prednapenjanje. ............................................................................................................................................... 80
Slika 5.37: Analiza rezultatov – primerjava vrednosti efektivne širine nad podporo za dva tipa obtežbe. ..... 81
Slika 6.1: Rezultati analize napetosti σx v polju. ............................................................................................. 84
Slika 6.2: Diagram napetosti σx [MPa] zgornjega roba plošče za »prosti« potek kablov za
prednapenjanje+stalna obtežba. ..................................................................................................................... 85
Slika 6.3: Diagram napetosti σx [MPa] zgornjega roba plošče za parabolični potek kablov za
prednapenjanje+stalna obtežba. ..................................................................................................................... 85
Slika 6.4: Diagram povesov w [mm]- začetni model (beff po EC 2). ................................................................ 86
Slika 6.5: Diagram povesov w [mm]- začetni model ( beff po RA). ................................................................. 87
100
Slika 8.1: Maksimalne natezne napetosti σx [MPa]- MODEL A. .................................................................... 90
Slika 8.2: Maksimalne tlačne napetosti σx [MPa]- MODEL A. ....................................................................... 90
Slika 8.3: Normalne napetosti zgornjega roba plošče σx [MPa]- MODEL A. ................................................. 90
Slika 8.4: Normalne napetosti spodnjeg roba plošče σx [MPa]- MODEL A. .................................................. 91
Slika 8.5: Normalne napetosti zgornjega roba plošče σx [MPa]- MODEL B. ................................................. 91
Slika 8.6: Normalne napetosti spodnjega roba plošče σx [MPa]- MODEL B. ................................................ 91
Slika 8.7: Normalne napetosti v nosilcu (modeliran s ploskovnimi elmenti) σx [MPa]- MODEL B ................ 91
Slika 8.8: Normalne napetosti zgornjega roba plošče σx [MPa]- MODEL C. ................................................ 91
Slika 8.9: Normalne napetosti spodnjega roba plošče σx [MPa]- MODEL C. ................................................ 92
Slika 8.10: Normalne napetosti zgornjega roba plošče σx [MPa]- MODEL D. .............................................. 92
Slika 8.11: Normalne napetosti spodnjega roba plošče σx [MPa]- MODEL D. .............................................. 92
Slika 8.12: Maksimalne tlačne napetosti σx [MPa]- MODEL D. .................................................................... 92
Slika 8.13: Maksimalne natezne napetosti σx [MPa]- MODEL D. .................................................................. 92
Slika 8.14: Diagram napetosti σx [MPa] zgornjega roba plošče za: stalna obtežba+prednapenjanje. .......... 93
Slika 8.15: Povesi w [mm] v smeri z-osi ........................................................................................................ 94
Slika 8.16: Diagram normalnih napetosti σx [MPa] zgornjeg roba plošče (prerez v polju in prerez nad
podporo). ......................................................................................................................................................... 94
Slika 8.17: Diagram upogibnih momentov My [kNm]-Model 0. ...................................................................... 95
Slika 8.18: Diagram osnih sil Nx-[kN] Model 0. ............................................................................................. 95
8.4 SEZNAM PREGLEDNIC
Preglednica 4.1: Vrednosti upogibnih momentov My v prerezu 1-1 in 2-2 za pet modelov
Preglednica 4.2: Vrednosti povesov w [mm] za štirie modele v prerezu 1-1 in 3-3
Preglednica 4.3: Rezultati računalniške analize- normalne napetosti σx v spodnji in zgornji točki prereza
Preglednica 5.1: Priporočila dimenzij elementov PT-plošče z ozkimi nosilci (vir: Expertenforum, 2005)
Preglednica 5.2: Razmerje razpona in višine nosilca za AB- in PT-plošče.
Preglednica 5.3: Vhodni podatki računalniške analize, spreminjajoč H
Preglednica 5.4: Primerjava vrednosti efektivne širine na mestu najbolj izražene neenakomerne razporeditve
napetosti v primeru spreminjanja višine nosilca-H (razmerje L/H)
Preglednica 5.5: Vhodni podatki računalniške analize, spreminjajoč h
Preglednica 5.6: Primerjava vrednosti efektivne širine na mestu najbolj izražene neenakomerne razporeditve
napetosti v primeru spreminjanja debeline plošče - h
Preglednica 5.7: Razpon L za razmerje L/H=18–24
101
Preglednica 5.8: Vhodni podatki računalniške analize, spreminjajoč L
Preglednica 5.9: Analiza rezultatov - primerjava efektivne širine nad podporo in v polju za različne velikosti
karakterističnega razpona-L
Preglednica 5.10: Vhodni podatki računalniške analize, spreminjajoč tip nadomestne obtežbe
Preglednica 5.11: Analiza rezultatov – primerjava efektivne širine nad podporo za različna tipa nadomestne
obtežbe prednapenjanja
Preglednica 6.1: Analiza rezultatov- primerjava efektivne širine nad podporo ob variiranju parametrov H, h,
L, tip obtežbe
![BAB BAB BAB :¾U]EXUJ 1¾UQEHUJ - abdnb.bayern.de · Blendschutzwall h = 4 m Blendschutzwall h = 4 m F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F W W W W W W W W W W W W W W W W W W](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/5e0bbe65c418786f5511ec14/bab-bab-bab-uexuj-1uqehuj-abdnb-blendschutzwall-h-4-m-blendschutzwall.jpg)
![Modular SystemUNI 9006/1] Rm = 195 N/mm 2 Minimum tensile strenght Rp 0,2= 145 N/mm 2 E = 70.000 N/mm 2 T5 15µm UNI - EN 755 Oznaka in številka materiala po ISO standardu Natezna](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/60dce386a17ff52d0d23c29f/modular-system-uni-90061-rm-195-nmm-2-minimum-tensile-strenght-rp-02-145.jpg)
![· 2011. 9. 20. · 5990 F 2690 F 3990 F 1990 F 1590 F 150F 599 F 1.199 F 1.199 F 1.199 F 1.199 F 249 F 349 F 349 F .490 F 198 F 390 F 450 F transmat tomcat . votez pour moi . C]](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/613bb011f8f21c0c8269235e/2011-9-20-5990-f-2690-f-3990-f-1990-f-1590-f-150f-599-f-1199-f-1199-f-1199.jpg)
