Upload
others
View
9
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
Uproszczona analiza teoretyczna wspornika
Rys. 1. Schemat obciążenia modelu, potencjalnie najbardziej obciążone przekroje
Fr
Fzg
Obciążenie (strzałka niebieska, Rys. 1) działa pod kątem α stopni do płaszczyzny końcowej wspornika i może byćzamienione na dwie składowe (strzałki czerwone): normalną i styczną. Analiza teoretyczna w każdym przypadkuzostała przeprowadzona wg. następującego schematu:
1. Wstępnie wyznaczane są naprężenia normalne i styczne dla trzech najbardziej wytężonych przekrojów.Obliczenia są wykonane dla wypadkowego obciążenia 1 kN, które zostało zamienione na dwie składowe: normalną
wywołującą rozciąganie modelu oraz styczną , która wywołuje go zginanie.
2. Dla każdego z przekrojów w sposób przybliżony wyznaczana jest maksymalna wartość naprężeń efektywnychoraz poziom siły wypadkowej, przy której naprężenia te osiągną poziom naprężeń dopuszczalnych. Dla przekrojów zotworami uwzględniane są współczynniki koncentracji naprężeń.
3. Z trzech obliczonych w ten sposób sił wypadkowych wybierana jest wartość minimalna, która uważana jestkrytyczną wartością obciążenia dla danej konstrukcji.
4. Dla wyznaczania przemieszczeń opracowane są dwa uproszczone modele wspornika. Obliczenia w obuprzypadkach przeprowadzone są dla krytycznego obciążenia wyznaczonego wyżej.
Dane do obliczeń
Właściwości przekrojów
Rys. 2. Przekroje 1,2 i 3 z zaznaczonymi strefami ekstremalnych naprężeń normalnych przy zginaniu
Na Rys. 2 pokazane są przekroje, w których można oczekiwać najwyższych naprężeń normalnych przy zginaniumomentem wokół poziomej osi symetrii przekroju. Kolorem czerwonym zaznaczone są strefy maksymalnegorozciągania, zielonym - ściskania. Ponieważ na pole naprężeń od zginania zostanie nałożone jednorodne poledodatnich naprężeń od rozciągania, to oczywistym jest, że maksymalne naprężenia będziemy mieli na górnejkrawędzi każdego przekroju.
Uwaga techniczna. Dalsza analiza pokaże, że w przypadku układu z kilku belek założenie, że przy zginaniunajbardziej obciążony jest ten przekrój, w którym działa największy moment, nie zawsze sprawdza się.
A J
Właściwości przekrojów można łatwo odczytać zarówno w SW jak i w Femap. W każdym przypadku do obliczenianaprężenia osiowego przy rozciąganiu oraz średniej wartości naprężeń stycznych przy ścinaniu potrzebujemy polaprzekroju , do obliczenia naprężeń normalnych - odpowiedniego momentu bezwładności przekroju , a doobliczenia samego momentu - odległości przekroju od powierzchni, na której działa obciążenie.
Uproszczona analiza teoretyczna wspornika , wersja 9, 25 maj 2021
1 / 14
Przekrój nr 1, pełny, obok umocowania
Pole przekroju2
mm1683,29A1
Moment bezwładności względem osi poziomej4
cm149,1769Jz1
Odległość od miejsca przyłożenia obciążenia mm388L1
Przekrój nr 2, dwuczęściowy, środek otworu kołowego
Pole przekroju2
mm1203,29A2
Moment bezwładności względem osi poziomej4
cm83,3209Jz2
Odległość od miejsca przyłożenia obciążenia mm320L2
Przekrój nr 3, dwuczęściowy, koniec szczeliny najbardziej oddalony od miejsca przyłożenia obciążenia
Pole przekroju2
mm1395,29A3
Moment bezwładności względem osi poziomej4
cm147,7945Jz3
Odległość od miejsca przyłożenia obciążenia mm200L3
%0,93Jz1
Jz3
1
Widzimy, że zmiana momentu bezwładności na skutek dodania dwóch szczelin na osi neutralnej jest minimalna.
Pozostałe dane
Wymiary elementów przekroju, składowe obciążenia
Wysokość przekroju mm80h Grubość ścianki mm6t
Promień otworu mm25r Dopuszczalne naprężenie MPa300k
Kąt pochylenia obciążenia °45α
Obciążenie 1 kN, składowe: sin αkN1Fr
cos αkN1Fzg
Wyniki obliczeń – naprężenia
Pierwszy przekrój, naprężenia normalne i styczne
W pierwszym przekroju maksymalne naprężenie normalne jest sumą naprężeń normalnych pochodzących od zginania irozciągania. Naprężenia wywołane zginaniem na górnej i dolnej powierzchni wspornika różnią się tylko znakiem. Niżejzostało uwzględnione tylko dodatnie z nich, ponieważ zostanie ono dodatkowo powiększone poprzez dodanienaprężenia od rozciągania.
Naprężenia normalne, rozciąganie MPa0,42A1
Fr
σroz1
Naprężenia normalne, zginanie MPa7,362
h
Jz1
L1
Fzg
σzg1
Średnie naprężenia styczne, ścinanie MPa0,42A1
Fzg
τ1
Maksymalne naprężenie normalnenominalne MPa7,78σ
roz1σzg1
σnom1
Uproszczona analiza teoretyczna wspornika , wersja 9, 25 maj 2021
2 / 14
Rys. 3. Usytuowanie strefy koncentracji naprężeń w okolicach przekroju nr 1.
Na linii przejścia od ścianki wspornika do zaokrąglenia, które łączy te ściankę z płyta podpory jest strefa koncentracjinaprężeń.
Rys. 4. Schemat do wyznaczania współczynnika koncentracji naprężeń dla przekroju nr 1.
D
L
Ponieważ w rozpatrywanej strefie dominuje rozciąganie, do wyznaczania współczynnika koncentracji naprężeń zostałużyty schemat pokazany na Rys. 4 (tabela 17.1, schemat 5a [1]). W danym przypadku mamy ćwiartkę odpowiedniegoprzekroju (zaznaczona kolorem czerwonym na Rys. 4). Ponieważ wspornik jest umocowany sztywnie do ściany, wymiar
L możemy uważać za nieskończony, co pozawala automatycznie zadowolić ograniczenie na wartość . Parametry,
które charakteryzują taki przekrój:
mm20h1
mm12r1
mm52D1
1,7r1
h1
x 0,77D1
h1
2yZmienne robocze
Ponieważ wartość x jest w zakresie [0,1 2] to używamy wzory z grupy zaznaczonej na Rys. 3a kolorem niebieskim.
x0,031x1,007C1
x0,314x0,5850,114C2
x0,271x0,9920,241C3
x0,012x0,5770,134C4
1,43
yC4
2yC
3yC
2C1
Kt1
Maksymalne naprężenie normalne MPa10,63σnom1
Kt1
σmax1
Maksymalne naprężenie zredukowane MPa10,652
τ1
32
σmax1
σrmax1
Uwaga techniczna. Tu i dalej naprężenie zredukowane jest obliczane w oparciu o średnią wartość naprężeństycznych w całym przekroju więc nie jest to wynik dokładny.
Maksymalne obciążenie wspornikawynikające z danych dla 1 przekroju
kN28,16kNσrmax1
kF1
max
Drugi przekrój, naprężenia normalne i styczne
Uproszczona analiza teoretyczna wspornika , wersja 9, 25 maj 2021
3 / 14
Drugi przekrój zawiera otwór, który dla górnej powierzchnie wspornika jest rozciągany zarówno przy rozciąganiu jak iprzy zginaniu. Z tego powodu wynik obliczony ze wzorów wytrzymałości materiałów będzie nominalnym naprężeniemdla tego przekroju. Faktyczną wartość naprężeń normalnych na krawędzi otworu można będzie wyznaczyć tylko pouwzględnieniu odpowiedniego współczynnika koncentracji naprężeń.
Naprężenia normalne, rozciąganie MPa0,59A2
Fr
σroz2
Naprężenia normalne, zginanie MPa10,862
h
Jz2
L2
Fzg
σzg2
Średnie naprężenia styczne, ścinanie MPa0,59A2
Fzg
τ2
Maksymalne nominalne naprężenie normalne MPa11,45σroz2
σzg2
σnom2
h
Dla tarczy z otworem znane są wzory do wyznaczaniawspółczynnika koncentracji naprężeń w tym przypadku.Żeby z nich skorzystać, zastąpimy w każdej z dwóchpołówek przekroju belki ściankę przez odpowiedniątarczę ze środkowym otworem za pomocą"wyprostowania" i skrócenia zaokrąglanych części wsposób pokazany na Rys. 5. W ten sposób szerokośćtarczy będzie równa szerokości przekroju belki .
Rys. 5. Metoda zamiany wejściowego profilu ceowego na tarczę
Rys. 6. Zrzut z ekranu - wzór używany do wyznaczania współczynnika koncentracji naprężeń ([1], Ch. 17, schemat 7a)
σnom
Kt
Do obliczeń zgodnie z wybranym schematem (Rys. 6) potrzebujemy tylko wartości naprężeń nominalnych i
współczynnika koncentracji naprężeń
D
r2xWzór na współczynnik koncentracji naprężeń dla
3x1,53
2x3,66x3,133K x
Współczynnik koncentracji naprężeń 2,1Kh
r2Kt2
Maksymalne naprężenie normalne MPa24,04σnom2
Kt2
σmax2
Maksymalne naprężenie zredukowane MPa24,072
τ2
32
σmax2
σrmax2
Maksymalne obciążenie wspornikawynikające z danych dla 2 przekroju
kN12,47kNσrmax2
kF2
max
Uproszczona analiza teoretyczna wspornika , wersja 9, 25 maj 2021
4 / 14
Trzeci przekrój, naprężenia normalne i styczne
Odległość od końca wspornika dopoczątku otworu
mm88L4
Długość wycięcia mm124L5
Szerokość rowka mm24d
Rys 7. Schemat uproszczenia modelu
d L5
Przed oszacowaniem poziomu naprężeń w okolicach przekroju nr 3 wprowadzamy dodatkowe uproszczenie. Realnykształt rowku (Rys. 7) uproszczamy do prostokąta o wymiarach x . Wymiary te są większe od rzeczywistych, co
pozwala potencjalnie zwiększyć zarówno ugięcie jak i naprężenia.
Rys. 8. Schemat obliczeniowy wspornika (model belkowy).
Na Rys. 8 pokazany jest belkowy model wspornika. Otwory w kształcie rowków dzielą dzielą go wspornik na dwajednakowych ceownika, które mogą odkształcać się niezależnie. Osie wszystkich czterech belek (linie czarne) nie sąniezależne. Końcowe przekroje belek o dużym przekroju (kolor żółty) narzucają swoje kąty obrotu przekrojomceowników (kolor zielony). Poza tym przemieszczenia w kierunku pionowym na końcach osi w strefach kontaktu belek 1i 2 są również jednakowe.
Właściwości przekroju każdego ceownika
Wartość momentu bezwładności przekroju ceownikawzględem jego lokalnej osi X (Rys. 9) pobrana z modelu SW
4cm4,33J
3c
Odległość środka ciężkości przekroju ceownika od osi całegowspornika
mm31,58hc
Odległość środka ciężkości przekroju ceownika do najbardziejoddalonego punktu w kierunku pionowym
Rys. 9. Przekrój ceownika, położenie jego środka ciężkości,główne osie i strefy maksymalnych naprężeń normalnychprzy zginaniu.
mm19,582
dhc
c
Fr
Fzg
M3
Fzg
W celu wyznaczenia naprężeń w ceownikach, można rozważyć następujący schemat (Rys. 8). Ceowniki są sztywnieumocowane w przekroju nr 1 i obciążone przez sztywna więź-łącznik w przekroju nr 2. Do tej więzi przyłożone są:- siła rozciągająca (taka sama, jak do całego modelu),
- siła tnąca (również taka sama, jak do całego modelu)
- moment gnący wynikający z tego, że realna siła , która działa na końcu modelu jest jakby "obciążeniem
zdalnym" dla tego przekroju.
Uproszczona analiza teoretyczna wspornika , wersja 9, 25 maj 2021
5 / 14
FrNaprężenia normalne wynikające od rozciągania siłą
W przypadku rozciągania z symetrii zagadnienia wynika, że każdy z ceowników będzie działać połowa obciążenia iodpowiednie naprężenia będą jednakowe.
Naprężenia normalne,ogólne
MPa0,51A3
0,5
Fr
0,5σroz3
Naprężenia normalne wynikające od zginania
W danym przypadku zginanie dwóch połączonych belek środkowych jest procesem złożonym, który można rozdzielićna dwa niezależne składniki.
Składnik pierwszy
Fo
hc
2Fo
M3
Monza rozpatrując parę ceowników jak jedenprzekrój belki, który składa się górnej i dolnejczęści. Jak przy każdym zginaniu, jednapolowa przekroju belki (w danym przypadkugórna) zostanie poddana rozciąganiu, druga(w danym przypadku dolna) - ściskaniu (Rys.10).
Można uważać, że w wyniku zginania górnyceownik rozciągany jest siła osiową , a
dolny - ściskany dokładnie taka sama siła (Rys. 10). Ta para sił tworzy moment
, który ma byc częścią
wypadkowego momentu w przekroju po
prawej stronie.
Rys. 10. Schemat rozciągania-zginania ceowników.
Składnik drugi
Rys. 11. Model obliczeniowy – dwie belki połączone sztywnymi ścianami (a) oraz charakter odkształcenia takiego modelu (b).
Pod wpływem siły tnącej na rozpatrywany fragment wspornika on rozpada się na dwa ceownika, które odkształcająsię niezależnie, ale połączone są sztywnymi przekrojami pozostałych części wspornika (Rys. 11). W sposóbuproszczony, można uważać te pozostałe części wspornika doskonale sztywnymi (linie czerwona na Rys. 11a).Dominującym typem obciążenia w tym przypadku będzie zginanie pod wpływem siły poprzecznej (niebieska strzałkana Rys. 11a). Na skutek symetrii odkształcenia obydwu ceowników, przyłożenie obciążenia nie wywołuje obrotuprzekroju na ich prawym końcu, o czym "niedowiarki":-) mogą łatwo przekonać się bezpośrednio w SWS za pomocąprostego modelu (Rys. 11b).
Uproszczona analiza teoretyczna wspornika , wersja 9, 25 maj 2021
6 / 14
Łatwo zauważyć, że charakter odkształcenia każdego ceownika jestidentyczny do odkształcenia belki umocowanej podwójnie (Rys. 12).Dla tego klasycznego schematu belki znane są wszystkie wzoryobliczeniowe, wiec dość łatwo możemy wyznaczyć wszystkieniezbędne wartości.
LP2
1LP
2
1
Fzg
P
Dla schematu belki pokazanego na Rys. 12 ekstremalne wartościmomentu gnącego osiągane są na końcach belki. Wartości te są
jednakowe i wynoszą dla prawego i dla lewego
końców belki.Na każdy z ceowników pokazanych na Rys. 10a działa połowa siły
, która jednocześnie jest połową siły dla schematu Rys. 12.
Wtedy maksymalna wartość momentu gnącego wynosi
mN21,92L52
Fzg
2
1M3c
Rys 12. Schemat obciążenia i wykresymomentów gnacych M i sił tnących Q dla belkiumocowanej podwójnie.
M3c
2 hs
Fo
2
M3
Fo
Suma momentów od pierwszego i drugiego składników, czyli oraz musi być równa wypadkowemu
momentu gnacemu w tym przekroju To pozawala nam wyznaczyć wartości sił osiowych . Uwzględniając
kierunki momentów mamy:
hc
Fo
2L5
Fzg2
1L4
Fzg
hc
Fo
2M3c
2L4
Fzg albo
kN1,679L42
L5
hc
2
Fzg
Fo
L42
L5
Uwaga techniczna. Sens fizyczny tego wzoru jest prosty. Siły osiowe wytwarzają moment, który równy jest
momentu wypadkowemu w środkowym przekroju dwóch ceowników, czyli na odległości od obciążenia. Na
Rys. 11 widać, że akurat w tym punkcie wkład drugiego składnika momentu staje się zerowy.
Fo
Pod działaniem sił osiowych w górnym ceowniku pojawią się dodatkowe naprężenia rozciągające a w dolnym -
ściskające o wartości bezwzględnej
MPa2,407A3
0,5
Fo
σroz3dod
Maksymalne naprężenia normalne przy zginaniu ceowników momentami pokazanymi na Rys. 12 będą na końcachceowników (bo w tych punktach momenty są maksymalne) w strefach 1 i 2 najbardziej oddalonych od osi przekrojukażdego ceownika (Rys. 9). Niżej zostaną wyznaczone wartości bezwzględne tych naprężeń.
Naprężenia normalne,zginanie, strefa nr 1
MPa9,91cJ3c
M3c
σzg3_1
Naprężenia normalne,zginanie, strefa nr 2
MPa4,26hc2
h
J3c
M3c
σzg3_2
Średnie naprężenia styczne, przekrój 3 MPa0,51A3
Fzg
τ3
Uproszczona analiza teoretyczna wspornika , wersja 9, 25 maj 2021
7 / 14
Rys. 13. Potencjalne punkty największych naprężeń normalnych dla odcinka modelowanego za pomocą dwóch ceowników.
Fr
MPa0,51σroz3
Fo
MPa2,4071σroz3dod
M3c
MPa9,91σzg3_1
MPa4,3σzg3_2
MPa9,91σzg3_1
MPa4,3σzg3_2
Normalne naprężenia w odcinku wspornika modelowanego za pomocą dwóch ceowników pochodzą z trzech źródeł:- na skutek siły rozciągającej mamy w każdym punkcie ceowników naprężenie
- na skutek dodatkowego rozciągania/ściskania siłami mamy dodatkowe naprężenia
rozciągające dla górnego ceownika i ściskające dla dolnego.- na skutek działania siły tnącej powstają momenty, które maksymalne wartości osiągają na końcach
ceowników (Rys. 12). Największe rozciąganie mamy w punktach 4 i 5 (wartość ), mniejsze - w
punktach 1 i 8 ( ). Największe ściskanie mamy w punktach 3 i 6 (wartość ),
mniejsze - w punktach 1 i 8 ( ).
Rys. 14. Symboliczne porównanie wartości naprężeń normalnych w punktach 1-8.
Rys. 14 pozwala wstępnie porównać poziom naprężeń normalnych w różnych punktach. Znak 'plus' oznaczanaprężenia rozciągające, 'minus' - ściskające. Podwojenie znaków oznacza relatywnie wysoką wartość naprężeń.Widzimy, że paradoksalnie najwyższy poziom naprężeń osiągany jest nie w oddalonym od miejsca przyłożeniaobciążenia przekroju 1-3-5-7 lecz w przekroju 2-4-6-8, a dokładniej w punktach 4 (maksymalne naprężeniarozciągające) i 6 (maksymalne naprężenia ściskające).
Maksymalne nominalne naprężenie normalnerozciąganie, punkt nr 4
MPa12,83σzg3_1
σroz3dod
σroz3
σnom3r
Maksymalne nominalne naprężenie normalneściskanie, punkt nr 6
MPa11,81σzg3_1
σroz3dod
σroz3
σnom3s
KtRys. 15. Schemat zginania belki z dwoma zaokrągleniami oraz zależność od względnego promieniu zaokrąglenia.
Uproszczona analiza teoretyczna wspornika , wersja 9, 25 maj 2021
8 / 14
c2d r
d D r2dd
r
0,3c22
d1,6
c2
dc2
1,4Kt3
W standardowych poradnikach brak wzorów do wyznaczenia wartości współczynnika koncentracji naprężeń obokpunktu nr 4. W sposób przybliżony można skorzystać ze schematu pokazanego na Rys. 15 ([1]. Ch. 17, tab. 17f).Przyjmujemy, że w tym przypadku szerokość wąskiego odcinka belki , promień zaokrąglenia to połowa
szerokości rowka , a szerokość szerokiej części belki to . Wtedy względny promień zaokrąglenia
wynosi a względna szerokość belki D/d to . Wartość współczynnika koncentracji
naprężeń, która odpowiada tym parametrom to
Maksymalne naprężenie normalne MPa17,96σnom3r
Kt3
σmax3
Maksymalne naprężenie zredukowane MPa17,982
τ3
32
σmax3
σrmax3
Maksymalne obciążenie dla przekrojuz punktem 4
kN16,69kNσrmax3
kF3
max
Wnioski
kN12,5min F3max
F2max
F1maxP
kr
Największa wartość naprężeń zredukowanych występuje w przekroju nr 2. Odpowiednia wartość siły krytycznej (
) jest maksymalnym obciążeniem dla danego modelu.
Wyznaczenie przemieszczeń
Pr
Pzg
Obliczenia przemieszczeń zostały przeprowadzone dla wyznaczonego wcześniej obciążenia krytycznego. Jego możnapodzielić na dwie składowe: składową normalną , która wywołuje rozciąganie modelu oraz składową styczną ,
wywołującą zginanie.
kN8,81sin αPkr
Pr
kN8,81cos αPkr
Pzg
PrModel uproszczony nr 1, obciążenie - rozciąganie osiowe siłą
Rys. 16. Schemat przeprowadzonych uproszczeń
Uproszczona analiza teoretyczna wspornika , wersja 9, 25 maj 2021
9 / 14
L1
L2
L3
DL4
L5
W uproszczonym modelu (Rys. 16) pozbywamy się podstawy wspornika oraz tarczy służącej do przyłożenia obciążeniana jego końcu. Upraszczamy kształt otworu kołowego do kwadratu o długości boku równemu średnicy koła, a kształtotworu-rowka – do kształtu prostokąta. Usuwamy zaokrąglenia na styku wspornika i jego podstawy oraz na styku tarczyobciążeniowej i belki wspornika. W ten sposób wspornik staje się belką o przekroju typu rura kwadratowa o długości Lpodzieloną na kilka części:
● Rura o przekroju pełnym na odcinkach o długościach , ,
● Rura osłabiona dwoma otworami kwadratowymi DxD na odcinku o długości
● Rura osłabiona dwoma otworami o kształcie prostokąta o wysokości d na odcinku o długości
Wartości parametrów geometrycznych:
mm400L mm60L1
mm40D mm88L2
mm124L5
mm88L3
Ai
E
Li
FLi
Ai
Wydłużenie i-ego odcinka tego modelu można obliczyć jako , gdzie i są długością odcinku i polem jego
przekroju odpowiednio.Moduł Younga stali GPa210E Współczynnik Poissona 0,3ν
Moduł ścinania GPa80,8ν12
EG
Wydłużenie wspornika mm0,011A3
L5
A2
D
A1
L3
L2
L1
E
Pr
∆r
Ignorując wszystkie otwory można otrzymać zaniżoną wartość maksymalnego przemieszczenia osiowego
Zaniżona wartość wydłużenia mm3
109,97A1
E
LPr
δr
%10,41δr
∆r
Widzimy, że różnica pomiędzy wartością zaniżoną a dokładniejszą to
PzgModel uproszczony nr 2, obciążenie - zginanie siłą
δzg
x x δzg_max
Podobnie jak wcześniej, ignorując wszystkie otwory można zapisać wzór na zależność zaniżonej wartości ugięciaod odległości od punktu umocowania i wyznaczyć wartość maksymalną .
L
x3
Jz1
E
2xLP
zg
6
1δzg
x mm0,6003Jz1
E
3LP
zg
3
1δzg_max
1
Wyżej podano wzory klasycznej teorii belek. W naszym przypadku teoria ta daje zaniżone wartości ugięcia, ponieważwspornik jest relatywnie krótki. Dokładniejsze wyniki pozwala otrzymać teoria Timoszenki, w której te same wzorywyglądają następująco:
0,57ν2
ν1k
2
mm0,646A1
Gk
LPzg
Jz1
E
3LP
zg
3
1δzg_max_T
A1
Gk
xPzg
δzg
xδzg_T
x3
kTu jest współczynnikiem ścinania, wartość którego jest znana tylko dla kilku podstawowych przekrojów belek.Użyty tu wzór (2) jest wyprowadzony dla belek z dowolnym profilem cienkościennym, więc dla rozpatrywanych profilijest to wzór przybliżony. Różnica pomiędzy maksymalnymi wartościami ugięcia obliczonymi ze wzorów teoriiklasycznej i teorii Timoszenki wynosi
%7,61δzg_max
δzg_max_T
Uproszczona analiza teoretyczna wspornika , wersja 9, 25 maj 2021
10 / 14
PzgModel dokładniejszy nr 3, obciążenie - zginanie siłą
Rys. 17. Schemat przeprowadzonych uproszczeń, model nr 2
mm188L2
DL1
L1
mm124L5
L2
mm88L3
L1
L3
L2
Dokładniejsze oszacowanie ugięcia wymaga podziału wspornika na 3 części pokazane na Rys. 17. Zakładamy, żedwie z nich (o długościach i ) mają pełny przekrój (czyli ignorujemy otwory o średnice D). Część środkowa o
długości składa się z dwóch niezależnych ceowników. Warto od początku mieć na uwadze, że każda z tych belek
jest relatywnie zbyt krótka, żeby móc uzyskać dokładny wynik za pomocą wzorów klasycznej wytrzymałości materiałówdlatego będą używane wzory teorii Timoszenki. Niżej każda z tych części zostanie rozważona osobno.
Odcinek nr 1 (od umocowania do przekroju A)
L1
xPrzemieszczenia w kierunku pionowym dla tego odcinku wspornika można wyznaczyć ze wzoru (3) dla
Maksymalne ugięcie na końcu tego odcinka (czyli w przekroju A) wynosi
mm0,19δzg_T
L1
yA
Kąt pochylenia przekroju A obliczamy ze wzoru otrzymanego za pomocą różniczkowania (3).
A1
Gk
Pzg
L
x
L
x2
Jz1
E
2LP
zg
2
1θ x 3
101,73θ L1
θA
Wyżej znak kąta obrotu przekroju został zmieniony na ujemny ponieważ umownie uważamy dodatnimi przemieszczeniaw dół.
Odcinek nr 2 (od przekroju A do przekroju B)
yA
θA
Pzg
L3
Pzg
x θΑ
yA
Fo
Pzg
Odcinek ten uważamy umocowanym w przekroju A z początkowym przemieszczeniem i początkowym obrotem
przekroju każdego ceownika . Na drugim końcu na ceowniki działa siła tnąca oraz moment gnący . W
tej sytuacji ogólne ugięcie jest suma kilku składników:1. Składnika wynikającego z przesunięcia i obrotu punktu początkowego ceowników: . Tu x –
odległość od przekroju A do wybranego punktu na osi belki.2. Ugięcia wynikającego od czystego zginania dwoch połaczonych ceowników momentem pary sil
3. Ugięcia wynikającego z działania siły tnącej . Daje przemieszczenia pokazane na Rys. 12.
4. Składnika dodatkowego z teorii Timoszenki.
Uproszczona analiza teoretyczna wspornika , wersja 9, 25 maj 2021
11 / 14
Fo
hc
2FoMoment gnący od pary sił czyli
hc
2Fo
Jz3
δ2z
x
θ2
x
Po działaniem momentu gnącego ceowniki odkształcają się tak,
jakby stanowiły całość (Rys. 18). Sztywność dwóch połaczonych przekrojów nazginanie wyznacza moment bezwładości Pozwala to obliczyć zależność
ugięcia od odległości od przekroju A do wybranego punktu na osi belki
oraz kąta obrotu przekroju za pomocą znanych wzorów dla czystego
zginania
Jz3
E2
2xh
c2F
oδ2z
x Jz3
E
xhc
2Fo
θ2z
x
L2
xWartości tych parametrów na końcu ceowników (dla ) są następujące:
Rys. 18. Schemat czystego zginaniapołaczonych ceowników 5
104,24θ2z
L2mm0,0026δ
2zL2
Moment od siły tnącej
Pzg
δ2t
Zakładamy, że na każdy z ceowników działa siła 1/2* , co powoduje ugięcie identyczne z pokazanym na Rys. 12
dla belki podwójnie umocowanej. Dla tego schematu ugięcie można obliczyć za pomocą wzοru
3
L
x2
2
L
x31
JE12
3LP
δ2t
x
xL2
Pzg2
1
δ2t
x
gdzie wszystkie oznaczenia są takie, jak na Rys. 11, x jest odległością wzdłuż osi belki mierzoną od przekroju B do
przekroju A, czyli w kierunku odwrotnym do wymaganego. Po zamianie x na oraz P na dostajemy
ostateczny wzór na ugięcie :
2
L2
x1
L2
x211
J3c
E24
3L2
Pzg
δ2t
x mm0,077009δ2t
L2
Ten typ obciązenia nie powoduje zmiany kąta pochylenia przekroju B.
29,3δ2z
L2
δ2t
L2
Warto odnotować, że ten składnik ugięcia belki jest znacznie wiekszy od poprzedniego. Na końcu belki wywołane im
przemieszczenie jest razy wieksze.
Podsumowanie
A3
Gk
xPzg
δ2z
xδ2t
xxθA
yA
y2 xWzór na pełne ugięcie na całym odcinku
Wartość ugięcia w końcowym przekroju B mm0,501y2 L2
yB
Kąt obrotu przekroju B na końcu ceowników: 0,0018θ2z
L2
θA
θB
Odcinek nr 3 (od przekroju B do końca wspornika)
yB
θB
Pzg
Ten odcinek jest umocowany w przekroju B z początkowym przemieszczeniem i początkowym obrotem przekroju
. Na belkę działa tylko siła tnąca więc do wyznaczenia ugięcia można skorzystać ze wzoru podobnego do (3)
A1
Gk
xPzg
L3
x3
Jz1
E
2xL
3Pzg
6
1δ3
zg_Tx
Uproszczona analiza teoretyczna wspornika , wersja 9, 25 maj 2021
12 / 14
Pełny wzór na ugięcie na tym odcinku
δ3zg_T
xxθB
yB
y3 x
gdzie odległość x mierzona jest od przekroju B. Wartość ugięcia na końcu wspornika :
mm0,6701δ3zg_T
L3
L3
θA
yB
ymax
Wniosek
W danym konkretnym przypadku potencjalnie bardziej dokładny model dał wynik praktycznie identyczny do tego, codaje najprostsze podejście. Prawdopodobna przyczyną - model wymyślony do środkowego odcinka (dwa ceowniki)nie jest w stanie "uchwycić" wszystkie aspekty realnej konstrukcji.
Porównanie z wynikami prostej analizy MES
Ten punkt nie musi być częścią teoretycznego rozdziału PP. Został umieszczony tu w celach dydaktycznych, żebyocenić dokładność metod analitycznych.
Rys. 19. Przemieszczenia osiowe we wsporniku poddanemu rozciąganiu
kN12,47Pkr
Prosta analiza MES przeprowadzona w SWS pokazała, że maksymalne wydłużenie wspornika poddanego obciążeniujest znacznie większe od przewidywanego (Rys. 19). Ale przemieszczenie to wywołane jest
odkształceniem końcowej tarczy, która nie była brana pod uwagę. Średnia wartość przemieszczeń na krawędzi tejtarczy wynosi 0,011 mm i jest zbieżna z wartością obliczoną teoretycznie.
0 50 100 150 200 250 300 350 4000
0,5
1
Odległość od umocowania, mm
Ugię
cie, m
m
Teoria uproszczona (brak otworów)
Teoria dokładna
MES 3D
MES belka
Rys. 20. Zależność ugięcia wspornika od odległości od umocowania.
Porównanie wartości ugięcia (Rys. 20) pokazuje, że wyniki teoretyczne od samego początku są niższe od wynikówanalizy MES 3D, ale zgadzają się z wynikami MES dla modelu belkowego. Różnica pomiedzy wynikami teoretycznym anumerycznym dla modelu belkowego zaczyna sie na najbardziej skomlikowanym pod kątem analizy odcinku z dwomaceownikami.
Dane do wykresu
Uproszczona analiza teoretyczna wspornika , wersja 9, 25 maj 2021
13 / 14
Rys. 21. Rozkład naprężeń normalnych w połowie wspornika.
Maksymalna wartość naprężeń normalnych otrzymana w wyniku przestrzennej analizy MES (ok. 312 MPa) tylkonieznacznie przekracza naprężenia dopuszczalne (Rys. 21). Dodatkowo teoria poprawnie przewidziała miejscakoncentracji naprężeń w okolicach początku rowka (zaznaczone na Rys. 21).
Literatura
1. Young W., Budynas R., Sadegh A.M. Roark's Formulas for Stress and Strain, 8th Edition, McGraw-Hill, 2012.
Uproszczona analiza teoretyczna wspornika , wersja 9, 25 maj 2021
14 / 14