Upload
others
View
6
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
© 2020 – Paweł Szeptyński – Creative Commons BY-SA 4.0
MECHANIKA TEORETYCZNAZASADA PRAC WIRTUALNYCH
dr inż. Paweł Szeptyński
1/37
MECHANIKA TEORETYCZNA
dr inż. Paweł Szeptyński
adres: p. 320 – III p. WILtel. 12 628 20 30e-mail: [email protected]
© 2020 – Paweł Szeptyński – Creative Commons BY-SA 4.0
MECHANIKA TEORETYCZNAZASADA PRAC WIRTUALNYCH
dr inż. Paweł Szeptyński
2/37
ZASADA PRAC WIRTUALNYCH
© 2020 – Paweł Szeptyński – Creative Commons BY-SA 4.0
MECHANIKA TEORETYCZNAZASADA PRAC WIRTUALNYCH
dr inż. Paweł Szeptyński
3/37
PRZEMIESZCZENIA DOPUSZCZALNE I RZECZYWISTEWięzi skleronomiczne, holonomiczne, dwustronne i gładkie opisane są równaniami:
Są to równania rozmaitości w przestrzeni konfiguracyjnej układu.
W przypadku pojedynczego punktu w przestrzeni równanie więzi ma postać:
co odpowiada równaniu powierzchni.
f k (r1 , r2 , ... ,rN ) = 0 , k=1,2 , ... , c
f ( x , y , z) = 0
y
x
z
rf (x,y,z) = 0
© 2020 – Paweł Szeptyński – Creative Commons BY-SA 4.0
MECHANIKA TEORETYCZNAZASADA PRAC WIRTUALNYCH
dr inż. Paweł Szeptyński
4/37
PRZEMIESZCZENIA DOPUSZCZALNE I RZECZYWISTERuch rzeczywisty –ruch zgodny z nałożonymi więziami, działającymi siłami (spełniający zasady dynamiki Newtona) oraz warunkami początkowymi.
Ruch dopuszczalny – dowolny ruch zgodny z więziami. Trajektorii takiego ruchu może być wiele. Dla ustalonych więzi odpowiadają one różnym siłom wymuszającym ruch oraz różnym warunkom początkowym.
y
x
z
rf (x,y,z) = 0
Przemieszczenie dopuszczalne (w ustalonej chwili) – wektor łączący punkt położenia aktualnego z dowolnym punktem na rozmaitości reprezentującej więzi.
Prędkość dopuszczalna (w ustalonej chwili) – wektor styczny do rozmaitości reprezentującej więzi określony w aktualnym punkcie położenia.
u
v
u – przemieszczenia dopuszczalne
v – prędkości dopuszczalne
© 2020 – Paweł Szeptyński – Creative Commons BY-SA 4.0
MECHANIKA TEORETYCZNAZASADA PRAC WIRTUALNYCH
dr inż. Paweł Szeptyński
5/37
PRZEMIESZCZENIA WIRTUALNE
y
x
z
rf (x,y,z) = 0
δ
Przemieszczenie wirtualne (w ustalonej chwili) – dowolny niezerowy wektor o wymiarze przemieszczenia współliniowy z dowolnym wektorem prędkości dopuszczalnej. Dawniej: przemieszczenie przygotowane – może zajść, bo jest zgodne z więziami.
δ
δ = τ v , τ∈ℝ∖{0}
wirtualny – „będący czymś przez swoją istotę lub wywierany skutek, ale nie będący tym czymś w rzeczywistości”
Przemieszczenie wirtualne (w ustalonej chwili) – wektor styczny do rozmaitości reprezentującej więzi określony w aktualnym punkcie położenia.
To nieskończenie mały (infinitezymalny) zgodny z więziami przyrost przemieszczenia względem położenia aktualnego.
© 2020 – Paweł Szeptyński – Creative Commons BY-SA 4.0
MECHANIKA TEORETYCZNAZASADA PRAC WIRTUALNYCH
dr inż. Paweł Szeptyński
6/37
PRZEMIESZCZENIA WIRTUALNE
Warunki, jakie spełniać muszą składowe wektorów przemieszczeń wirtualnych w układzie mechanicznym złożonym z N punktów materialnych, na który nałożono c niezależnych więzi skleronomicznych, holonomicznych, dwustronnych i gładkich
f k (x1 , y1 , z1 , ... , x N , yN , zN )= 0 , k=1,... , c /dd t
dd t [ f k (x1 , y1 , z1 , ... , x N , yN , zN )]= 0 , k=1,... , c
∑j=1
N [∂ f k
∂ x j
d x j
d t+∂ f k
∂ y j
d y j
d t+∂ f k
∂ z j
d z j
d t ]= 0 , k=1, ... , c
∑j=1
N [∂ f k
∂ x j
τ x j +∂ f k
∂ y j
τ y j +∂ f k
∂ z j
τ z j]= 0 , k=1,... , c
∑j=1
N [∂ f k
∂ x j
x j +∂ f k
∂ y j
y j +∂ f k
∂ z j
z j]= 0 , k=1,... , c /⋅τ
© 2020 – Paweł Szeptyński – Creative Commons BY-SA 4.0
MECHANIKA TEORETYCZNAZASADA PRAC WIRTUALNYCH
dr inż. Paweł Szeptyński
7/37
PRZEMIESZCZENIA WIRTUALNE
δ j =[δ j , x ;δ j , y ;δ j , z ] =df
τ r j= [τ x j ; τ y j ; τ z j ]
∑j=1
N [∂ f k
∂ x j
δ j , x+∂ f k
∂ y j
δ j , y+∂ f k
∂ z j
δ j , z]= 0 , k=1,... , c
∑j=1
N
([∂ f k
∂ x j
;∂ f k
∂ y j
;∂ f k
∂ z j ]⋅[δ j , x ;δ j , y ;δ j , z ])= 0 , k=1, ... , c
[∂ f k
∂ x j
;∂ f k
∂ y j
;∂ f k
∂ z j]=df
grad j f k = ∇r jf k
∑j=1
N
grad j f k⋅δ j= 0 , k=1,... , c
© 2020 – Paweł Szeptyński – Creative Commons BY-SA 4.0
MECHANIKA TEORETYCZNAZASADA PRAC WIRTUALNYCH
dr inż. Paweł Szeptyński
8/37
PRZEMIESZCZENIA WIRTUALNE
∑j=1
N
grad j f k⋅δ j= 0 , k=1,... , c
● W każdym j-tym punkcie materialnym wyznaczamy przemieszczenie wirtualne.
● Wyznaczamy gradienty wszystkich funkcji opisujących więzi względem współrzędnych położenia każdego z punktów materialnych.
● Wybieramy ustaloną więź. Dodajemy do siebie iloczyny skalarne jej gradientów względem współrzędnych każdego z punktów oraz przemieszczenia wirtualnego odpowiedniego punktu.
● Każda z tych sum iloczynów skalarnych (odpowiadająca różnym więziom) ma być równa 0.
© 2020 – Paweł Szeptyński – Creative Commons BY-SA 4.0
MECHANIKA TEORETYCZNAZASADA PRAC WIRTUALNYCH
dr inż. Paweł Szeptyński
9/37
PRZEMIESZCZENIA WIRTUALNE
grad f⋅δ = 0
Dla układu złożonego z jednego punktu ( N = 1 ), na który nałożono jedną więź ( c = 1 ):
grad f ⊥ fgraf f⋅δ=0 ⇒ δ⊥grad f } ⇒ δ jest styczny do f
© 2020 – Paweł Szeptyński – Creative Commons BY-SA 4.0
MECHANIKA TEORETYCZNAZASADA PRAC WIRTUALNYCH
dr inż. Paweł Szeptyński
10/37
WSPÓŁRZĘDNE UOGÓLNIONE
LSS = 3 N−c= s
r j= r j (q1 , q2 , ... , qs) , j=1,... , N
Rozważamy układ złożony z N punktów materialnych, na który nałożono c niezależnych więzi skleronomicznych, holonomicznych, dwustronnych i gładkich.
Istnieje zatem s parametrów qi (i=1,2,...,s) zwanych współrzędnymi uogólnionymi, za pomocą
których można wyrazić wszystkie wektory położeń.
Wtedy:
v j =d rkd t
=∑i=1
s ∂ r j∂qi
d qi
d t=∑
i=1
s ∂ r j∂qi
qi
δ j = τ v j=∑i=1
s ∂r j∂ qi
τ qi =∑i=1
s ∂ r j∂qi
δqi
δ j=∑i=1
s ∂r j∂ qi
δqi δqi= τ qigdzie
© 2020 – Paweł Szeptyński – Creative Commons BY-SA 4.0
MECHANIKA TEORETYCZNAZASADA PRAC WIRTUALNYCH
dr inż. Paweł Szeptyński
11/37
WSPÓŁRZĘDNE UOGÓLNIONEPRZYKŁAD:
Punkt poruszający się po paraboloidzie obrotowej
Równanie więzi:
Liczba stopni swobody:
Wprowadzamy współrzędne uogólnione – współrzędne biegunowe na płaszczyźnie (x,y):
Wektor położenia wyrażony przez współrzędne uogólnione i uwzględniający równanie więzi:
Przemieszczenie wirtualne:
z= H−x2− y2
r = {x=ρcosϕy=ρsinϕz=H−ρ2
q1=ρ q2= ϕ {x=ρcosϕy=ρsinϕ
LSS = 3⋅1−1= 2
δ =∑i=1
s ∂ r∂qi
δqi=∂ r∂ρ δρ +
∂ r∂ϕ δϕ = [cosϕδρ−ρ sinϕδϕ ; sin ϕδρ+ρcosϕδϕ ;−2ρδ r ]
y
x
z
r
ρϕ
f (x,y,z) = z + x2 + y2 – H = 0
© 2020 – Paweł Szeptyński – Creative Commons BY-SA 4.0
MECHANIKA TEORETYCZNAZASADA PRAC WIRTUALNYCH
dr inż. Paweł Szeptyński
12/37
ZASADA PRAC WIRTUALNYCHTWIERDZENIE
DOWÓD (układ w równowadze → praca wirtualna zerowa):
Równania ruchu:
Dla więzów gładkich:
Sumujemy względem j:n QED (→)
δ L=∑j=1
N
F j⋅δ j= 0 ∀δ j
Układ sił czynnych działających na układ N punktów materialnych, na który nałożono c niezależnych więzi skleronomicznych, holonomicznych, dwustronnych i gładkich, jest w równowadze wtedy i tylko wtedy gdy praca wirtualna sił czynnych na przemieszczeniach wirtualnych jest równa 0 dla dowolnie wybranego przemieszczenia wirtualnego.
m j r j= F j+R j= 0 , j=1,... , N
F j⋅δ j + R j⋅δ j= 0 , ∀δ j
j=1,... , N
R j⋅δ j = 0 ∀δ j
δ L=∑j=1
N
F j⋅δ j= 0 , ∀δ j
© 2020 – Paweł Szeptyński – Creative Commons BY-SA 4.0
MECHANIKA TEORETYCZNAZASADA PRAC WIRTUALNYCH
dr inż. Paweł Szeptyński
13/37
ZASADA PRAC WIRTUALNYCHDOWÓD (praca wirtualna zerowa → układ w równowadze):
Zasada prac wirtualnych:
Dla więzów gładkich:
Dodajemy zerową pracę reakcji:
Z dowolności :
n QED (←)
R j⋅δ j = 0 ∀δ j
⇒ ∑j=1
N
(R j⋅δ j)= 0 , ∀δ j
δ L=∑j=1
N
F j⋅δ j= 0 , ∀δ j
δ L=∑j=1
N
(F j+R j)⋅δ j= 0 , ∀δ j
δ L=∑j=1
N
(F j+R j)⋅δ j= 0 ∀δ j⇒ F j+R j = 0δ j
© 2020 – Paweł Szeptyński – Creative Commons BY-SA 4.0
MECHANIKA TEORETYCZNAZASADA PRAC WIRTUALNYCH
dr inż. Paweł Szeptyński
14/37
ZASADA PRAC WIRTUALNYCHUWAGA:
W dowodzie wymaga się, aby:
Jest to warunek słabszy od tego, który wynika z przyjętej definicji więzi gładkich:
Zasada przemieszczeń wirtualnych spełniona jest również dla tego słabszego warunku. Warunek ten trudno zinterpretować fizycznie – więzi musiałyby być w jakiś sposób powiązane („wiedzieć o sobie nawzajem”), aby ich sumaryczna praca była w każdej chwili zerowa. Tymczasem każda z więzi z osoba sama wykazuje charakter więzi gładkiej. Należy przyjąć, że
słabszy warunek ma jedynie charakter matematycznyi jest konsekwencją
silniejszego warunku o charakterze fizycznym.
∑j=1
N
(R j⋅δ j) = 0 , ∀δ j
R j⋅δ j = 0 ∀δ j
R j⋅δ j = 0 ∀δ j
⇒ ∑j=1
N
(R j⋅δ j)= 0 , ∀δ j
(Sumaryczna praca wirtualna reakcji jest zerowa.)
(Praca wirtualna każdej reakcji jest zerowa.)
© 2020 – Paweł Szeptyński – Creative Commons BY-SA 4.0
MECHANIKA TEORETYCZNAZASADA PRAC WIRTUALNYCH
dr inż. Paweł Szeptyński
15/37
ZASADA PRAC WIRTUALNYCHPRZYKŁAD:
Znaleźć taką wartość nieznanej siły R, aby układ był w równowadze.
4 m
4 m
2 m
12 kN
9 kN
R B
C
D
A
Więzi:● Punkt A może poruszać się tylko w pionie.● Punkt D może poruszać się tylko w poziomie.
Przemieszczenia wirtualne:● współliniowe do prędkości dopuszczalnych.
Prędkości dopuszczalne:● Wyznaczane na podstawie chwilowego środka obrotu.
© 2020 – Paweł Szeptyński – Creative Commons BY-SA 4.0
MECHANIKA TEORETYCZNAZASADA PRAC WIRTUALNYCH
dr inż. Paweł Szeptyński
16/37
ZASADA PRAC WIRTUALNYCHPRZYKŁAD:
4 m
4 m
2 m
12 kN
9 kN
R
A
B
C
D
O*
Chwilowy środek obrotu znajduje sięw punkcie przecięcia się prostych prostopadłych
do kierunków prędkości.
© 2020 – Paweł Szeptyński – Creative Commons BY-SA 4.0
MECHANIKA TEORETYCZNAZASADA PRAC WIRTUALNYCH
dr inż. Paweł Szeptyński
17/37
ZASADA PRAC WIRTUALNYCH
A
BC
D
O*
4δ
4δ
4δ
2δ
6δ 6δ
2δ
2δ
6δ
12 kN
9 kN
R
A
B
C
D
Przemieszczenia wirtualne: Siły:
Praca wirtualna: δ L=∑j=1
3
F j⋅δ j= [R ; 0 ]⋅[6δ ; 4δ]+ [0 ;−12]⋅[6δ ; 2δ]+ [−9 ; 0 ]⋅[4δ ; 0]
δ L= (6 R−24−36)⋅δ = 0 ∀δ
ZPW:
R= 10 kN
PRZYKŁAD:
© 2020 – Paweł Szeptyński – Creative Commons BY-SA 4.0
MECHANIKA TEORETYCZNAZASADA PRAC WIRTUALNYCH
dr inż. Paweł Szeptyński
18/37
WARUNKI RÓWNOWAGIWARUNKI RÓWNOWAGI DLA BRYŁY SZTYWNEJ SWOBODNEJ
OrO
ρj=OA
j
x
y
z
ξ
ηζ
Aj
A1
A2
AN
F1
F2
Fj
FN
v j= vO +ωO×OA j /⋅τ
δ j =δO +φO× OA j
δOφO
δ L=∑j=1
N
[F j⋅(δO +φO× OA j)]
Prędkość dopuszczalna:
Przemieszczenie wirtualne:
● Przemieszczenie punktu O:
● Przemieszczenie kątowe (obrót):
Praca wirtualna:
δ L=∑j=1
N
[F j⋅δO + F j⋅(φO× OA j)]
© 2020 – Paweł Szeptyński – Creative Commons BY-SA 4.0
MECHANIKA TEORETYCZNAZASADA PRAC WIRTUALNYCH
dr inż. Paweł Szeptyński
19/37
WARUNKI RÓWNOWAGIWARUNKI RÓWNOWAGI DLA BRYŁY SZTYWNEJ SWOBODNEJ
δ L=∑j=1
N
[F j⋅δO + F j⋅(φO× OA j)]
OrO
ρj=OA
j
x
y
z
ξ
ηζ
Aj
A1
A2
AN
F1
F2
Fj
FN
F j⋅(φO× OA j) = [φO , OA j ,F j ] ==−[F j , OA j ,φ j ] = −φO⋅( F j× OA j)
δ L=∑j=1
N
[F j⋅δO −φO⋅(F j× OA j)]
δ L=∑j=1
N
[F j⋅δO +φO⋅(F j× A j O)]
δ L= (∑j=1
N
F j)⏟S
⋅δO + φO⋅[∑j=1
N
(F j× A j O)]⏟MO
© 2020 – Paweł Szeptyński – Creative Commons BY-SA 4.0
MECHANIKA TEORETYCZNAZASADA PRAC WIRTUALNYCH
dr inż. Paweł Szeptyński
20/37
WARUNKI RÓWNOWAGIWARUNKI RÓWNOWAGI DLA BRYŁY SZTYWNEJ SWOBODNEJ
OrO
ρj=OA
j
x
y
z
ξ
ηζ
Aj
A1
A2
AN
F1
F2
Fj
FN
δ L= δO⋅S + φO⋅MO
δ L= δO⋅S + φO⋅MO= 0 ∀δO ,φO
{S= 0MO= 0
⇒
© 2020 – Paweł Szeptyński – Creative Commons BY-SA 4.0
MECHANIKA TEORETYCZNAZASADA PRAC WIRTUALNYCH
dr inż. Paweł Szeptyński
21/37
WARUNKI RÓWNOWAGIWARUNKI RÓWNOWAGI DLA BRYŁY SZTYWNEJ NIESWOBODNEJ
OrO
ρj=OA
j
x
y
z
ξ
ηζ
Aj
A1
A2
AN
Bk
Bc
F1
F2
Fj
FN
© 2020 – Paweł Szeptyński – Creative Commons BY-SA 4.0
MECHANIKA TEORETYCZNAZASADA PRAC WIRTUALNYCH
dr inż. Paweł Szeptyński
22/37
WARUNKI RÓWNOWAGIWARUNKI RÓWNOWAGI DLA BRYŁY SZTYWNEJ NIESWOBODNEJ
{S=∑j=1
N
F j +∑k=1
c
Rk= 0
MO=∑j=1
N
(F j× A j O)+∑k=1
c
(R k× Bk O)= 0
OrO
ρj=OA
j
x
y
z
ξ
ηζ
Aj
A1
A2
AN
Bk
Bc
F1
F2
Fj
FN
Rk
Rc
© 2020 – Paweł Szeptyński – Creative Commons BY-SA 4.0
MECHANIKA TEORETYCZNAZASADA PRAC WIRTUALNYCH
dr inż. Paweł Szeptyński
23/37
WARUNKI RÓWNOWAGIWARUNKI RÓWNOWAGI DLA BRYŁY SZTYWNEJ NIESWOBODNEJ
S x =∑j=1
N
F j , x +∑k=1
c
Rk , x = 0
Układ wszystkich sił (sił czynnych i sił reakcji) przyłożonych do bryły sztywnej w równowadze
jest statycznie równoważny układowi zerowemu.
M O , x=∑j=1
N
M O , x(F j) +∑k=1
c
M O , x (R k) = 0
S y=∑j=1
N
F j , y +∑k=1
c
Rk , y = 0 M O , y=∑j=1
N
M O , y (F j) +∑k=1
c
M O , y (R k) = 0
S z =∑j=1
N
F j , z +∑k=1
c
Rk , z = 0 M O , z =∑j=1
N
M O , z(F j) +∑k=1
c
M O , z(Rk) = 0
6 równań równowagi
© 2020 – Paweł Szeptyński – Creative Commons BY-SA 4.0
MECHANIKA TEORETYCZNAZASADA PRAC WIRTUALNYCH
dr inż. Paweł Szeptyński
24/37
WARUNKI RÓWNOWAGIWARUNKI RÓWNOWAGI DLA BRYŁY SZTYWNEJ NIESWOBODNEJ
S x =∑j=1
N
F j , x +∑k=1
c
Rk , x = 0
Układ wszystkich sił (sił czynnych i sił reakcji) przyłożonych do bryły sztywnej w równowadze
jest statycznie równoważny układowi zerowemu.
S y=∑j=1
N
F j , y +∑k=1
c
Rk , y = 0
M O , z =∑j=1
N
M O , z(F j) +∑k=1
c
M O , z(Rk) = 0
W przypadku płaskim – wariant I:
3 równania równowagi
© 2020 – Paweł Szeptyński – Creative Commons BY-SA 4.0
MECHANIKA TEORETYCZNAZASADA PRAC WIRTUALNYCH
dr inż. Paweł Szeptyński
25/37
WARUNKI RÓWNOWAGIWARUNKI RÓWNOWAGI DLA BRYŁY SZTYWNEJ NIESWOBODNEJ
Układ wszystkich sił (sił czynnych i sił reakcji) przyłożonych do bryły sztywnej w równowadze
jest statycznie równoważny układowi zerowemu.
M B , z =∑j=1
N
M B , z(F j) +∑k=1
c
M B , z(Rk) = 0
W przypadku płaskim – wariant II:
3 równania równowagi
M A , z =∑j=1
N
M A , z(F j) +∑k=1
c
M A , z(Rk) = 0
M C , z=∑j=1
N
M C , z(F j) +∑k=1
c
M C , z(R k) = 0
AB∦AC
© 2020 – Paweł Szeptyński – Creative Commons BY-SA 4.0
MECHANIKA TEORETYCZNAZASADA PRAC WIRTUALNYCH
dr inż. Paweł Szeptyński
26/37
WARUNKI RÓWNOWAGIWARUNKI RÓWNOWAGI DLA BRYŁY SZTYWNEJ NIESWOBODNEJ
S AB =∑j=1
N
(F j⋅AB) +∑k=1
c
(Rk⋅AB) = 0
Układ wszystkich sił (sił czynnych i sił reakcji) przyłożonych do bryły sztywnej w równowadze
jest statycznie równoważny układowi zerowemu.
M B , z =∑j=1
N
M B , z(F j) +∑k=1
c
M B , z(Rk) = 0
W przypadku płaskim – wariant III:
3 równania równowagi
M A , z =∑j=1
N
M A , z(F j) +∑k=1
c
M A , z(Rk) = 0
© 2020 – Paweł Szeptyński – Creative Commons BY-SA 4.0
MECHANIKA TEORETYCZNAZASADA PRAC WIRTUALNYCH
dr inż. Paweł Szeptyński
27/37
WARUNKI RÓWNOWAGIWARUNKI RÓWNOWAGI DLA BRYŁY SZTYWNEJ NIESWOBODNEJ
S⋅e = 0⋅e = S x e x+S y e y+S z e z= 0
MQ=MO + S×(OQ) = 0+0×OQ= 0
Mamy:
● 6 równań równowagi w przypadku przestrzennym● 3 równań równowagi w przypadku płaskim
Każde inne równanie, jest równaniem zależnym, które można wyrazić jako kombinację liniową tych podstawowych. Jeśli są one spełnione, to dowolna kombinacja liniowa tych równań także będzie tożsamościowo spełniona.
Rzut sumy na dowolny kierunek:
Rzut momentu na dowolny kierunek:
Moment względem dowolnego bieguna:
MO⋅e = 0⋅e= M O , x e x+M O , y e y+M O , z e z= 0
© 2020 – Paweł Szeptyński – Creative Commons BY-SA 4.0
MECHANIKA TEORETYCZNAZASADA PRAC WIRTUALNYCH
dr inż. Paweł Szeptyński
28/37
WARUNKI RÓWNOWAGIWARUNKI RÓWNOWAGI DLA UKŁADU DWÓCH BRYŁ SZTYWNYCH POŁĄCZONYCH PRZEGUBEM
O
rO
OAi
x
y
zξ
ηζ
Ai
PB
j
rP
PBj
Fj
Fi
κ
λ
μ
2
1 vi= vO+ ωO×OA i
δ i= δO + φO×OAi
Prędkość dopuszczalna:Bryła ①:
Bryła ②:
Przemieszczenie wirtualne:
Bryła ①:
Bryła ②:
vP = vO +ωO×OP
v j = vP +ω P× PB j== vO +ωO×OP+ω P× PB j
δ j =δO +φO×OP+φP× PB j
© 2020 – Paweł Szeptyński – Creative Commons BY-SA 4.0
MECHANIKA TEORETYCZNAZASADA PRAC WIRTUALNYCH
dr inż. Paweł Szeptyński
29/37
WARUNKI RÓWNOWAGIWARUNKI RÓWNOWAGI DLA UKŁADU DWÓCH BRYŁ SZTYWNYCH POŁĄCZONYCH PRZEGUBEM
δ L=∑i
(F i⋅δi)+∑j
(F j⋅δ j) =∑i[F i⋅(δO + φO×OA i)]+∑
j[F j⋅(δO + φO×OP +φP× PB j)]
Praca wirtualna:
δ L=∑i[F i⋅δO+ F i⋅(φO×OAi)]+∑
j[F jδO+ F j⋅(φO×OP) + F j⋅(φ P× PB j)]
F⋅(φ×OA) = [φ ,OA , F]=−[F , OA ,φ]= [F , AO ,φ]=φ⋅(F×AO)
δ L=∑i[F i⋅δO + φO⋅(Fi× Ai O)]+∑
j[F jδO +φO⋅(F j×PO)+ φP⋅(F j× B j P)]
δ L= [∑i (F i⋅δO)+∑j
(F j δO)] + [∑i (φO⋅(Fi× A i O))+∑j
(φO⋅(F j×PO))]+∑j[φP⋅(F j× B j P)]
δ L= [∑i F i+∑j
F j]⋅δO + [∑i (Fi× Ai O) +∑j
(F j×PO)]⋅φO + [∑j
(F j×B j P)]⋅φP
© 2020 – Paweł Szeptyński – Creative Commons BY-SA 4.0
MECHANIKA TEORETYCZNAZASADA PRAC WIRTUALNYCH
dr inż. Paweł Szeptyński
30/37
WARUNKI RÓWNOWAGIWARUNKI RÓWNOWAGI DLA UKŁADU DWÓCH BRYŁ SZTYWNYCH POŁĄCZONYCH PRZEGUBEM
Zasada prac wirtualnych:
δ L= [∑i F i+∑j
F j]⋅δO + [∑i (Fi× Ai O) +∑j
(F j×PO)]⋅φO + [∑j
(F j×B j P)]⋅φP = 0 ∀δO ,φO ,φP
{∑i Fi+∑j
F j= 0
∑i
(F i× A i O)+∑j
(F j×PO)= 0
∑j
(F j×B j P) = 0
S(1)=∑i
F i , S(2)=∑j
F j ⇒ S= S(1)+S(2)= 01 równanie:
3 równanie: MP( 2)=∑
j
(F j× B j P) ⇒ MP(2)= 0
MO( 2)= MP
(2)⏟= 0
+ S(2)×PO=∑j
(F j×PO)
3 równanie: MP(1)=∑
i
(F i× A i O) ⇒ MO=MO(1)+MO
(2)= 0
Z twierdzenia o zmianie bieguna:
© 2020 – Paweł Szeptyński – Creative Commons BY-SA 4.0
MECHANIKA TEORETYCZNAZASADA PRAC WIRTUALNYCH
dr inż. Paweł Szeptyński
31/37
WARUNKI RÓWNOWAGIWARUNKI RÓWNOWAGI DLA UKŁADU DWÓCH BRYŁ SZTYWNYCH POŁĄCZONYCH PRZEGUBEM
{S= 0MO = 0
MP(2)= 0
O
rO
OAi
x
y
zξ
ηζ
Ai
PB
j
rP
PBj
Fj
Fi
κ
λ
μ
2
1
O – dowolny punktP – przegub
● Dodatkowe równania równowagi.
© 2020 – Paweł Szeptyński – Creative Commons BY-SA 4.0
MECHANIKA TEORETYCZNAZASADA PRAC WIRTUALNYCH
dr inż. Paweł Szeptyński
32/37
WARUNKI RÓWNOWAGIWARUNKI RÓWNOWAGI DLA UKŁADU DWÓCH BRYŁ SZTYWNYCH POŁĄCZONYCH PRZEGUBEM
UWAGI:
MP←= 0 ∨ MP
→= 0
{S= 0MO= 0
⇒ MP = 0 {MP = 0
MP(2)= 0
⇒ MP(1)= 0
● Dodatkowe równanie wektorowe dotyczy którejkolwiek z brył składowych.
● Rozumowanie można powtórzyć dla większej liczby brył, połączonych przegubami i nie tworzących obiegu zamkniętego. Wszystkie bryły po jednej stronie traktowane są jak jedna bryła, wszystkie bryły po drugiej stronie jak druga bryła. Obecność każdego przegubu w układzie daje nam dodatkowe niezależne wektorowe równanie równowagi.
P
1
2
© 2020 – Paweł Szeptyński – Creative Commons BY-SA 4.0
MECHANIKA TEORETYCZNAZASADA PRAC WIRTUALNYCH
dr inż. Paweł Szeptyński
33/37
WARUNKI RÓWNOWAGIWARUNKI RÓWNOWAGI DLA UKŁADU DWÓCH BRYŁ SZTYWNYCH POŁĄCZONYCH PRZEGUBEM
UWAGI:
{S x= 0S y = 0M O , z= 0M P , z→ = 0
● W przypadku płaskim – dla układu dwóch brył połączonych przegubem mamy 4 równania równowagi.
● Obecność każdego przegubu w układzie płaskim daje nam jedno dodatkowe niezależne równanie równowagi.
© 2020 – Paweł Szeptyński – Creative Commons BY-SA 4.0
MECHANIKA TEORETYCZNAZASADA PRAC WIRTUALNYCH
dr inż. Paweł Szeptyński
34/37
WARUNKI RÓWNOWAGIWARUNKI RÓWNOWAGI DLA BRYŁY SZTYWNEJ WYKONUJĄCEJ OBRÓT WOKÓŁ PUNKTU
v j= vO + ω× OA j ⇒ v j= ω×OA j
ω O
x
zξ
ζ
rO
η
y
Prędkość dopuszczalna:
Przemieszczenie wirtualne:
δ j= φ×OA j
Praca wirtualna:
δ L=∑j=1
N
[F j⋅(φ× OA j)]= φ⋅[∑j=1
N
(F j× A j O)]= φ⋅MO
Zasada prac wirtualnych:
δ L= φ⋅MO= 0 ∀φ
Warunek równowagi:
MO= 0
© 2020 – Paweł Szeptyński – Creative Commons BY-SA 4.0
MECHANIKA TEORETYCZNAZASADA PRAC WIRTUALNYCH
dr inż. Paweł Szeptyński
35/37
WARUNKI RÓWNOWAGIWARUNKI RÓWNOWAGI DLA BRYŁY SZTYWNEJ WYKONUJĄCEJ OBRÓT WOKÓŁ PUNKTU
ω O
x
zξ
ζ
rO
η
y
MO= 0
Układ sił działających na bryłę sztywną wykonującą obrót wokół punktu (unieruchomioną w jednym punkcie) jest w równowadze wtedy i tylko wtedy, gdy moment tego układu względem punktu nieruchomego jest zerowy:
© 2020 – Paweł Szeptyński – Creative Commons BY-SA 4.0
MECHANIKA TEORETYCZNAZASADA PRAC WIRTUALNYCH
dr inż. Paweł Szeptyński
36/37
WARUNKI RÓWNOWAGIWARUNKI RÓWNOWAGI DLA BRYŁY SZTYWNEJ WYKONUJĄCEJ OBRÓT WOKÓŁ PROSTEJ k
ω=ωk
x
z
η
y
ζ
ξ
ϕ
k
O
v j= vO +ω× OA j
Prędkość dopuszczalna:
Przemieszczenie wirtualne: δ j =φk× OA j
Praca wirtualna:
δ L=∑j=1
N
[F j⋅(φk× OA j)]= φk⋅[∑j=1
N
(F j× A j O)]=
Zasada prac wirtualnych:
δ L= φ⋅M k= 0 ∀φ
Warunek równowagi:
M k = 0
⇒ v j= ωk× OA jω= ωk , k∥k
=φk⋅MO =φM k = 0
∣M k∣=∣Mk∣ Mk = 0
O∈k
© 2020 – Paweł Szeptyński – Creative Commons BY-SA 4.0
MECHANIKA TEORETYCZNAZASADA PRAC WIRTUALNYCH
dr inż. Paweł Szeptyński
37/37
WARUNKI RÓWNOWAGIWARUNKI RÓWNOWAGI DLA BRYŁY SZTYWNEJ WYKONUJĄCEJ OBRÓT WOKÓŁ PROSTEJ k
ω=ωk
x
z
η
y
ζ
ξ
ϕ
k
OMk = 0
Układ sił działających na bryłę sztywną wykonującą obrót wokół prostej (unieruchomioną w dwóch punktach należących do tej prostej punkcie) jest w równowadze wtedy i tylko wtedy, gdy moment tego układu względem osi obrotu jest zerowy: