Analiza wyboczenia MES - Ogłoszeniajpamin/dyd/MK/nielin_MK4.pdf · I numeryczne MES (ANKA i ROBOT): rozwiązania przybliżone I analityczne: rozwiązania dokładne Metody komputerowe,

Analiza wyboczenia MES

Jerzy Pamin i Marek Słoński

e-mails: {JPamin,MSlonski}@L5.pk.edu.pl

Podziękowania:

M. Radwańska, A. WosatkoANSYS, Inc. http://www.ansys.comROBOT http://www.autodesk.com

Metody komputerowe, studia II st.

Zjawisko wyboczenia

Założenia liniowej analizy wyboczenia:

I obciążenie jest jednoparametrowe, zmieniające się proporcjonalnie doparametru obciążenia λ

P = λP∗

I obciążenie jest zachowawcze, tzn. nie zmienia kierunku podczasodkształcania się konstrukcji

I ustrój (pręt, tarcza, powłoka) jest idealny, bez geometrycznych,materiałowych czy obciążeniowych imperfekcji, które zaburzająidealny stan przedwyboczeniowy


Zjawisko wyboczenia c.d.

Obciążenie Pkr = λkrP∗ to obciążenie krytyczne, po osiągnięciuktórego następuje wyboczenie, gdzie przez P∗ oznaczono tzw. obciążeniekonfiguracyjne odpowiadające λ = 1.Cechą charakterystyczną utraty stateczności przez wyboczenie jestzasadnicza zmiana formy deformacji układu konstrukcyjnego znaprężeniami ściskającymi w całym układzie lub jego części.

Źródło: E. Ramm, Buckling of Shells, Springer-Verlag, Berlin 1982


Przykłady zjawiska wyboczenia

Kryterium statyczne utraty stateczności (przez wyboczenie) polega nabadaniu równowagi bliskich stanów przed- i powyboczeniowych. Zjawiskowyboczenia zostanie pokazane dla:

I pojedynczego pręta przegubowo podpartego,I wysokiej belki wspornikowej,I tarczy jednokierunkowo ściskanej, przegubowo podpartej na

obwodzie,I powłoki walcowej z ciśnieniem normalnym, utwierdzonej na dolnym

konturze.


Wyboczenie pojedynczego pręta

Przed wyboczeniem:pręt:

I ma prostoliniową oś,I jest wyłącznie ściskany (nie

zginany).

Po wyboczeniu:pręt:

I ma zakrzywioną oś,I jest ściskany i zginany.


Wyboczenie wysokiej belki wspornikowej

Przed wyboczeniem:

I belka zginana w płaszczyźnie z obciążeniem siłą prostopadłą do osibelki, przyłożoną na swobodnym końcu

X

Y

Rysunek: Przemieszczenia belki w stanie przedwyboczeniowym

Po wyboczeniu:

I następuje zwichrzenie (giętno-skrętna deformacja)


Wyboczenie wysokiej belki wspornikowej c.d.

Z

X

Rysunek: Postacie wyboczenia


Wyboczenie tarczy jednokierunkowo ściskanej

Przed wyboczeniem:mamy idealny stan tarczowy:

I tarcza o idealnej płaszczyźnie środkowej,I obciążenie jednokierunkowo ściskające, działające idealnie w

płaszczyźnie środkowej.

Po wyboczeniu:powstaje stan giętny:

I z niezerowymi przemieszczeniami prostopadłymi do płaszczyznyśrodkowej,

I z krzywiznami i momentami zginającymi.


Wyboczenie tarczy jednokierunkowo ściskanej(ANSYS, [3])

Rysunek: Pierwsza i druga forma wyboczenia

Rysunek: Trzecia i czwarta forma wyboczenia


Wyboczenie powłoki walcowejściskanej radialnym ciśnieniem zewnętrznym

Przed wyboczeniem:panuje w powłoce:

I stan osiowo symetryczny,I w większości obszaru powłoki długiej stan bezmomentowy,I w sąsiedztwie konturu utwierdzonego stan giętny.

Po wyboczeniu:następuje zasadnicze zaburzenie osiowej symetrii:

I powstają pofalowania w kierunku obwodowym,I liczba półfal jest różna dla kolejnych wartości mnożników

krytycznych obciążenia.


Wyboczenie powłoki c.d. (ANSYS, [3])

Rysunek: Kolejne formy wyboczenia


Ogólna analiza wyboczenia [1,2]

Kryterium energetyczne wyboczeniaKryterium energetyczne polega na analizie przyrostu energii potencjalnejΠ przy przejściu od stanu przed- do powyboczeniowego. Rozważamy dwasąsiednie stany:

I stan (I) równowagi, dla którego:

δΠ(I ) = 0

I stan (II) równowagi, dla którego:

δΠ(II ) = δΠ(I ) + δ∆Π = 0

I energetyczne kryterium stanu krytycznego: δ∆Π = 0.


Algorytm analizy wyboczenia MES

Równanie macierzowe dla całego układu opisujące utratę statecznościprzez wyboczenie:

[K0 + λKσ(s∗)]v = 0

lub

{K0 + λ[Kσ(s∗) +Ku1(g∗)]}v = 0

gdzie:

I macierz liniowej sztywności układu K0I macierz sztywności naprężeniowej Kσ(s∗) oraz macierz sztywności

przemieszczeniowej Ku1(g∗)I poszukiwany mnożnik krytyczny obciążenia λkrI poszukiwana postać deformacji powyboczeniowej, opisana za

pomocą wektora v = ∆ug


Statyka stanu przedwyboczeniowego

Algorytm etapu I:

1. Obliczamy globalną macierz sztywności K02. Obliczamy wektor węzłowych zastępników obciążenia

konfiguracyjnego P∗, dla parametru obciążenia λ = 1, przy założeniuobciążenia jednoparametrowego P = λP∗

3. Uwzględnieniamy kinematyczne warunki brzegowe

4. Rozwiązujemy układ równań K0 · u∗g = P∗, otrzymującprzemieszczenia węzłowe w stanie przedwyboczeniowym:u∗g = K−10 · P∗

5. Na podstawie przemieszczeń całego układu u∗g i danego elementuu∗e - obliczamy wewnątrz elementu:

I gradienty przemieszczeń g∗e orazI uogólnione naprężenia s∗e .


Analiza wyboczenia

Algorytm etapu II:

1. Generujemy:- macierze sztywności naprężeniowej dla wszystkich elementówKeσ(s∗e) i całej konstrukcji Kσ(s∗)- ewentualnie macierz sztywności przemieszczeniowej Ku1(g∗)

2. Formułujemy niestandardowy (uogólniony) problem własny,odpowiadającyproblemowi zlinearyzowanemu: [K0 + λ(Kσ +Ku1)]v = 0lub problemowi początkowemu: [K0 + λKσ]v = 0

3. Rozwiązujemy problem własny, wyznaczając pary(λ1, v1), . . ., (λN , vN)

gdzie:I N – liczba stopni swobody układuI λi – wartość własna - parametr krytycznego obciążeniaI vi = ∆ugi – wektor własny - postać powyboczeniowej deformacji


Wyboczenie idealnej tarczy – daneI wymiary: Lx = Ly = 1.16 m, h = 0.012 mI stałe materiałowe: E = 2.05 · 108 kN/m2, ν = 0.3I konfiguracyjne tarczowe obciążenie konturowe odpowiadające

płaskiemu zginaniu: |p∗x,max,min| = 1.0 kN/mI dwa przypadki warunków podparcia płyty na obwodzie:a) przegubowe podparcie (na rysunku z prawej)b) utwierdzenie (na rysunku z lewej)

Rysunek: Dyskretyzacja MES, obciążenie i dwa przypadki warunków podparcia


Wyboczenie tarczy

Założenia:I tarcza ma idealną płaszczyznę środkową,I obciążenie leży idealnie w płaszczyźnie środkowej,I obciążenie jest jednoparametrowe, zmieniające się przez parametr λ.

Analiza wyboczenia dla tarczy w stanie czystego zginania tarczowego

Rysunek: Obciążenie wywołujące stan czystego zginania tarczowego przedwyboczeniem

Obliczenia:I numeryczne MES (ANKA i ROBOT): rozwiązania przybliżoneI analityczne: rozwiązania dokładne


Wyboczenie przy zginaniu tarczowym

Obliczenie wartości obciążenia krytycznego:

Obciążenie i deformacja w stanie przedwyboczeniowym

Rozwiązania analityczne dla tarczy:I przegubowo podpartej: pzg,analitkr = 25.6·π2·Dm

L2x= 6077 kN/m

I utwierdzonej: pzg,analitkr = 39.0·π2·DmL2x

= 9259 kN/m

Rozwiązania numeryczne (ANKA, siatka 8× 8 ES) dla tarczy:I przegubowo podpartej: pzg,MESkr = 6028 kN/mI utwierdzonej: pzg,MESkr = 11304 kN/m

Rozwiązania numeryczne (ROBOT, siatka 12× 12 ES) dla tarczy:I przegubowo podpartej: pzg,MESkr = 6241 kN/mI utwierdzonej: pzg,MESkr = 11666 kN/m


Zginanie tarczowe w stanie przedwyboczeniowym

Rysunek: Rozkład siły tarczowej nx dla tarczy przegubowo podpartej (z lewej) iutwierdzonej (z prawej)


Zginanie tarczowe,postacie powyboczeniowe

Rysunek: Dwie pierwsze postacie powyboczeniowe dla tarczy przegubowopodpartej (ROBOT)


Zginanie tarczowe,postacie powyboczeniowe

Rysunek: Dwie pierwsze postacie powyboczeniowe dla tarczy utwierdzonej(ROBOT)


Wyboczenie blachownicy – daneI wymiary: Lx = Ly = 1.16 m, hs = 0.012 m, hp = 0.018 mI stałe materiałowe: E = 2.05 · 108 kN/m2, ν = 0.3I konfiguracyjne tarczowe obciążenie konturowe:|p∗x,min,max | = 1.0 kN/m

I dwa warianty analizy wyboczenia blachownicy:wariant 1: badanie lokalnego wyboczenia środnikawariant 2: wyboczenie dźwigara składającego się ze środnika i dwóchpółek


Wariant 1: wyboczenie środnika

Lokalne wyboczenie środnika:

I wyizolowany środnik, współpracujący w rzeczywistości z półkami iżebrami, może mieć zadane różne warunki brzegowe na liniachpołączenia z półkami oraz z pionowymi żebrami

I w skrajnych przypadkach można na całym obwodzie przyjąć linie:a) przegubowo podparteb) zamocowane

I stan rzeczywisty jest stanem pośrednimI przykłady rozwiązane poprzednio służą ilustracji wyboczenia samego

środnika


Wariant 2: wyboczenie blachownicy c.d.

Analiza wyboczenia dźwigara:I wykonując obliczenia przy użyciu programu ROBOT zbudowano

model dyskretny:dźwigara składającego się ze środnika (12× 12) i dwu półek (4× 12)przy obciążeniu wywołującym zginanie dźwigara

I wyniki numeryczne (ROBOT):I pbl,MESkr = 9068 kN/m

I porównanie wartości sił krytycznych obliczonych MES (ROBOT):I dla wyizolowanego środnika:- przegubowo podpartego (pp)- utwierdzonego (ut)

I całego dźwigara (bl)

pzg ,pp,MES < pbl,MES < pzg ,ut,MES

6241 kN/m < 9068 kN/m < 11666 kN/m


Zginanie blachownicy w stanie przedwyboczeniowym

Rysunek: Rozkład siły tarczowej nx dla blachownicy


Postacie powyboczeniowe blachownicy

Rysunek: Dwie postacie powyboczeniowe zginanej blachownicy (ROBOT)


Geometrycznie i materiałowo nieliniowa analiza [5]Schemat strategii obliczeniowejrealizowanej na wielu poziomach:

I konstrukcjiI elementu skończonegoI warstwyI punktu

Uwzględnione efekty:I śledzenie wytężenia w przekrojuI zarysowanie betonuI sprężysto-plastyczne zbrojenieI duże przemieszczenia i ichgradienty

Cele:I wyznaczenie ewolucjiprzemieszczeń

I określenie mechanizmuuszkodzenia

I oszacowanie nośności


Model powłoki żelbetowej

I Zdegenerowany element powłokowy8-węzłowy (teoria Mindlina-Reissnera)

I Model warstwowy powłoki żelbetowej (5warstw betonu, 4 warstwy stali reprezentujące2 siatki zbrojenia)

I Model sprężysty z rozmazanym zarysowaniemdla warstwy betonu (osłabienie betonu,redukcja sztywności na ścinanie)

I Model sprężysto-plastyczny dla warstw stali


Analiza numeryczna powłoki chłodni kominowej [5]


Analiza numeryczna powłoki chłodni kominowej

Zależności λ−wK otrzymane dwoma pakietamiMES przy sterowaniu siłą lub przemieszczeniemdla obciążenia g + λ(w + s)

Obciążenia chłodni:I ciężar własny gI wiatr wI ssanie wewnętrzne sI obciążenia termiczneI osiadania podłoża


Analiza numeryczna żelbetowej powłoki- wyniki analizy powłoki z otworem technologicznym

Deformacja Mapa warstwicowa membranowych sił południkowych


Analiza numeryczna żelbetowej powłoki

Kierunki naprężeń głównych w warstwie zewnętrznej Wizualizacja rozmazanych rys


Katastrofa World Trade Center


Katastrofa World Trade Center

Wybudowany w latach 1966-77, 110 kondygnacji o wys. ok. 3.7m, konstrukcja ramowa stalowazgodnie z koncepcją „rura w rurze”, rdzeń 26.5×41.8m (47 słupów połączonych krótkimi belkami,przenosił 60% ciężaru własnego), rama zewnętrzna (240 słupów skrzynkowych 356x356 co 1m naobwodzie, przenosiła 40% ciężaru własnego), stropy zespolone na dźwigarach kratowychpołączonych przegubowo ze rdzeniem i ramą zewnętrzną, stężenie szczytowe na kondygnacjach107-110. Ciężar budynku ponad ziemią 3630MN, ciężar własny 2890MN, obc. użytkowe 740MN.

Czas na ucieczkę w WTC1 i WTC2 odpowiednio 100 i 60 min.


Uproszczony mechanizm katastrofy WTC [6,8]Efekt dynamiczny wysokiej tempera-tury, która obniżyła granicę plastycz-ności stali i spowodowała wyboczeniesłupów w warunkach pełzania1. Konstrukcja zostaje osłabiona, pożarpaliwa powoduje wzrost temperatury dook. 600C

2. Następuje redystrybucja naprężeń ilepkoplastyczne wyboczenie słupów nakrytycznej kondygnacji

3. Kratownice stropowe się uginają, postępujewyboczenie słupów, niszczą się węzły ram,połowa słupów przestaje przenosić ciężarczęści budynku powyżej

4. Część ta spada na niższy strop z rosnącąenergią kinetyczną, uderzenie stanowiobciążenie dynamiczne, którego kontrukcjaponiżej nie jest w stanie przenieść izaczyna się proces zniszczenia

5. Górna część wieży stopniowo zapada się,jej masa i energia rośnie

Szacunkowe obliczenia energetycznedają współczynnik przeciążeniaPdyn/mg = 30− 60.


Odpowiedź wież World Trade Centerna obciążenie wyjątkowe [7]

Uproszczony model dynamiczny (110 elementow belkowych) z masami skupionymi (ciężar stropów

33 MN), sztywność na zginanie i ścinanie określona na podstawie modelu ramy przestrzennej, 3%

tłumienie Rayleigha.


Wyniki dla uproszczonego modelu dynamicznego

Przemieszczenia i siły w momencie uderzenia nie przekroczyływynikających z projektowanego obciążenia wiatrem, dlatego wieżeprzetrzymały początkowo obciążenie wyjątkowe.


Model MES do oceny szczegółowej zniszczeń(LS-DYNA [7])

Model strefy uderzenia i samolotu o masie 140 ton,materiał sprężysto-plastyczny.


Model krytycznego segmentu - wyniki

Siły osiowe w słupach zewnętrznych przed i po uderzeniu

Redystrybucja obciążeń pionowych po uderzeniu, zniszczonych 122/113słupów odpowiednio dla WTC1/WTC2, granica plastyczności osiągana wpozostałych słupach, pozytywny wpływ stężeń szczytowych.


Literatura

[1] M. Radwańska. Ustroje powierzchniowe, podstawy teoretyczne oraz rozwiązaniaanalityczne i numeryczne. Wydawnictwo PK, Kraków, 2009.

[2] Z. Waszczyszyn, C. Cichoń, M. Radwańska. Stability of Structures by FiniteElements Methods. Elsevier, 1994.

[3] M. Bera. Analiza utraty stateczności wybranych tarcz i powłok sprężystych metodąelementów skończonych. Praca dyplomowa, Politechnika Krakowska, Kraków, 2006.

[4] M. Radwańska, E. Pabisek. Zastosowanie systemu metody elementów skończonychANKA do analizy statyki i wyboczenia ustrojów powierzchniowych. Pomoc dydaktyczna PK,Kraków 1996.

[5] Z. Waszczyszyn, E. Pabisek, J. Pamin, M. Radwańska. Nonlinear analysis of a RCcooling tower with geometrical imperfections and a technological cut-out. EngineeringStructures, 2, 480-489, 2000.

[6] Z.P. Bazant, Y. Zhou. Why Did the World Trade Center Collapse? - Simple Analysis.ASCE J. Eng. Mech., 128, 2-6, 2002.

[7] Y. Omika, E. Fukuzawa, N. Koshika, H. Morikawa, R. Fukuda. StructuralResponses of World Trade Center Collapse under Aircraft Attacks. ASCE J. Eng. Mech.,131, 6-15, 2005.

[8] Z.P. Bazant, M. Verdure. Mechanics of Progressive Collapse: Learning from WorldTrade Center and Building Demolitions. ASCE J. Eng. Mech., 133, 308-319, 2007.


Documents

Analiza wyboczenia MES - Ogłoszeniajpamin/dyd/MK/nielin_MK4.pdf · I numeryczne MES (ANKA i ROBOT): rozwiązania przybliżone I analityczne: rozwiązania dokładne Metody komputerowe,