Analizė žaliems

Vytautas Kazakevičius

2011 m. rugpjūčio 23 d.

ii

Pratarmė

Ši knyga skirta Vilniaus universiteto Matematikos ir informatikos fakultetostatistikos ir matematikos bei informatikos mokymo specialybių 1 ir 2 kursostudentams.

Analizės kursą minėtų specialybių studentams aš skaitau nuo 2000 metų.2002 metais surinkau kompiuteriu ir įdėjau į Internetą savo paskaitų konspek-tus. 2004 metais juos gan stipriai pakeičiau, bet dėstymo stilius išliko labaiglaustas. Prieš 2006 mokslo metų pradžią dar kartą juos peržiūrėjau ir pa-mačiau, kad taisyti beveik nebereikia. Todėl nusprendžiau parašyti išplėstinįkonspektų variantą.

Anksčiau rašydamas konspektus stengdavausi vieno semestro medžiagąsutalpinti į 60–70 puslapių. Norėjosi, kad studentai matytų, jog mokytisreikia ne tiek jau daug. Tačiau rezultatai mane nuvylė: nepavyko pasiekti,kad didesnė dalis studentų suprastų teoremų ir smulkesnių teiginių įrodymus.Todėl dabar leisiu žodžiamas lietis laisvai, nebežiūrėdamas į puslapių skaičių.Jei pavyks, knyga turėtų prasiplėsti 4–5 kartus. Ankstesnįjį knygos vari-antą paliksiu Internete, kad būtų galima pasirinkti labiau patinkantį dėstymostilių.

Knygą turėtų sudaryti keturios dalys. Pirmosios dvi, „ Įvadas į analizę“ir „Vienmatė analizė“, apima pirmų mokslo metų kursą. Paprastai rudenssemestrą aš užbaigiu skyriumi apie išvestines, o pavasario semestre išdėstaulikusius tris antrosios dalies skyrius. Trečia dalis, „Daugiamatė analizė“,apims antrųjų mokslo metų medžiagą. Statistikos specialybės studentamsanalizės kursas skaitomas dar ir penktą semestrą; tam skirta ketvirtoji kny-gos dalis — „Kompleksinė analizė“.

Per egzaminus aš duodu trijų rūšių užduotis:1) atlikti pratimą;2) papasakoti kokį nors teorinį klausimą;3) paaiškinti duotą teoremos įrodymą.

Paprastai per egzaminą būna 4 pratimai (kiekvienas — 0.5 taško vertės), 4teoriniai klausimai (kiekvienas — po 0.5 taško) ir 1 teorema (dar 2 taškai).Prie surinktų taškų pridedami taškai, surinkti per pratybas (iki 4 taškų už

iii

iv

kontrolinius darbus).Pratimai nėra žinomi iš anksto, tačiau žinoma, kokių tipų jie gali būti.

Norint pasiruošti spręsti tokias užduotis, reiktų peržiūrėti šioje knygoje at-liktus pratimus ir išspręsti kiekvieno skyriaus gale esančius uždavinius. Kaikurie iš jų paimti iš jau buvusių egzaminų užduočių. Prieš tokį uždavinį ašskliaustuose parašiau, kuriais mokslo metais jį reikėjo padaryti.

Teorinių klausimų sąrašas žinomas iš anksto; taigi iš principo įmanomaper egzaminą juos nusirašyti. Visgi viliuosi, kad ta galimybe sėkmingai pasi-naudojo tik nežymi studentų dalis. Šioje knygoje kiekvienas teorinis klausi-mas užima vieną paragrafą (paragrafų ribas galima nustatyti pagal pariebintušriftu surinktus jų pavadinimus). Aš stengsiuosi specialiai praplėsti kiekvienąparagrafą, kad priversčiau besiruošiančius egzaminui studentus atsirinkti es-minius dalykus.

Teoremų sąrašas taip pat žinomas iš anksto — tai tie teiginiai, kurie šiojeknygoje ir yra pavadinti teoremomis. Studentai per egzaminą gauna vienąteoremą kartu su jos įrodymu. Tačiau įrodymas būna žymiai trumpesnis užpateiktąjį šioje knygoje (nors jokių esminių dalykų aš nepraleidžiu). Kartuduodu ir keletą kontrolinių klausimų, kurių tikslas — išsiaiškinti, ar studentaisuprato tą įrodymą. Iš anksto nėra žinoma, nei kaip atrodys koncentruotasįrodymas, nei kokie bus kontroliniai klausimai. Todėl, mano galva, nusirašytičia neįmanoma.

Teoriją knygoje vystau nuosekliai. Pradinės sąvokos, kurias laikau ži-nomomis yra skaičiai, sąryšis < ir aritmetiniai veiksmai: sudėtis, atimtis,daugyba, dalyba. Laikau, kad studentai žino ir pagrindines šių objektųsavybes. Visos kitos sąvokos griežtai apibrėžiamos, o jų savybės — griežtaiįrodomos. Kartais, norėdamas paaiškinti kokį nors naują dalyką, panaudojusąvokas, kurios bus apibrėžtos vėliau. Tokiais atvejais atitinkamą teksto dalįsurenku mažesniu šriftu.

Minėta taisyklė negalioja pratimams ir uždaviniams. Čia visas tekstasyra vienodo dydžio.

Ženklas �knygoje žymės įrodymo pabaigą. Tikiuosi, kad visada busaišku, koks teiginys buvo įrodomas ir kur yra to įrodymo pradžia.

Turinys

Pratarmė iii

I Įvadas į analizę 1

1 Teiginiai 31.1 Teiginiai ir formulės . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Loginės operacijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Kvantoriai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4 Neiginys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Aibės 212.1 Aibės ir jų elementai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2 Aibių lyginimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3 Veiksmai su aibėmis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.4 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3 Šeimos 353.1 Bendrosios žinios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2 Aibių šeimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.3 Skaičių sumos ir sandaugos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.4 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4 Funkcijos 594.1 Pagrindinės žinios apie funkcijas . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.2 Veiksmai su funkcijomis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.3 Binominiai koeficientai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.4 Skaičios aibės . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.5 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

v

vi TURINYS

5 Matematikos pagrindai 995.1 Aibių teorijos aksiomatika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.2 Natūralieji skaičiai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.3 Baigtinės aibės . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205.4 Neneigiami skaičiai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.5 Realieji skaičiai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

II Vienmatė analizė 153

6 Ribos 1556.1 Aplinkos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1556.2 Ribos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1636.3 Ribų skaičiavimo taisyklės . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1726.4 Asimptotiniai sąryšiai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1896.5 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

7 Skaičių tiesės pilnatis 2137.1 Tikslieji aibių rėžiai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2137.2 Dalinės ribos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2287.3 Funkcijos, tolydžios intervale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2417.4 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

8 Išvestinė 2578.1 Išvestinių skaičiavimo taisyklės . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2578.2 Lagranžo teorema ir jos taikymai . . . . . . . . . . . . . . . . 2678.3 Aukštesnių eilių išvestinės . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2788.4 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

9 Integralas 2859.1 Apibrėžimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2859.2 Integralo savybės . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2959.3 Tolydžių funkcijų integravimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3009.4 Kintamojo keitimas ir integravimas dalimis . . . . . . . . . . . 3119.5 Netiesioginiai integralai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3179.6 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

10 Sumavimo teorija 32510.1 Eilutės . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32510.2 Eilučių konvergavimo požymiai . . . . . . . . . . . . . . . . . 33110.3 Laipsninės eilutės . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33710.4 Neneigiamų skaičių sumos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

TURINYS vii

10.5 Bet kokio ženklo skaičių sumos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35110.6 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

11 Elementariosios funkcijos 36111.1 Laipsninės ir rodiklinės funkcijos . . . . . . . . . . . . . . . . . 36111.2 Trigonometrinės funkcijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36911.3 Apytikslis skaičiavimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37911.4 Stirlingo formulė . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38411.5 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387

III Daugiamatė analizė 389

12 Tiesinė ir politiesinė algebra 39112.1 Tiesinės erdvės ir operatoriai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39112.2 Matricų algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40912.3 Euklidinės erdvės . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42112.4 Politiesinės funkcijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43212.5 Polivektoriai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44612.6 Determinantų teorija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45912.7 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468

13 Metrinės erdvės 47113.1 Metrinės erdvės . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47113.2 Ribos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48613.3 Tolydumas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49513.4 „Metrinės“ sąvokos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50613.5 Kompaktiškos aibės . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51313.6 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518

14 Diferencialinis skaičiavimas 52114.1 Baigtiniamatės erdvės . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52114.2 Išvestinė . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53914.3 Išvestinių savybės . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55314.4 Aukštesnių eilių išvestinės . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56714.5 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582

15 Matas ir integralas 58515.1 Mačios aibės . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58515.2 Borelio aibės . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59515.3 Matai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60215.4 Mačios funkcijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615

viii TURINYS

15.5 Integralas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62215.6 Integralų skaičiavimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64415.7 Vektorinių funkcijų integravimas . . . . . . . . . . . . . . . . . 65915.8 Matų sandaugos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66915.9 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688

IV Analizė paviršiuose 691

16 Paviršiai 69316.1 Apibrėžimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69316.2 Pavyzdžiai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69916.3 Liestinės ir normalės . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71816.4 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727

17 Integravimas paviršiuose 72917.1 Hausdorfo matai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72917.2 Integravimas Hausdorfo matų atžvilgiu . . . . . . . . . . . . . 73917.3 Plotų ir tūrių skaičiavimo pavyzdžiai . . . . . . . . . . . . . . 748

18 Diferencialinių formų integravimas 75918.1 Diferencialinės formos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75918.2 Formų integravimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77218.3 Stokso teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784

V Kompleksinė analizė 803

19 Kompleksiniai skaičiai ir funkcijos 80519.1 Kompleksiniai skaičiai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80519.2 Sumavimo teorija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81819.3 Kompleksinės funkcijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82619.4 Analizinės funkcijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83919.5 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 847

20 Analizinės funkcijos 84920.1 Pagrindinės teoremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84920.2 Elementariosios funkcijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85720.3 Reziduumų teorema ir jos taikymai . . . . . . . . . . . . . . . 87520.4 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 900

I dalis

Įvadas į analizę

1

1 skyrius

Teiginiai

1.1 Teiginiai ir formulės

Pavyzdžiai. Pradžia visada sunki. Tik parašius skyrelio pavadinimą, maniškilo klausimas, kas yra teiginys. Ar tai kažkoks užrašas popieriuje, arkažkokie skambantys ausyje žodžiai, ar kažkoks abstraktus dalykas, kurį tasužrašas ar tie žodžiai tik bando pavaizduoti? Gal metus pragyvenęs kokiojenors oloje, atsiskyręs nuo pasaulio, ir rasčiau atsakymą į šį klausimą, betgaila laiko. Todėl nebesuksiu galvos ir teiginiu vadinsiu jo užrašą popieri-uje. Tačiau turėsiu mintyje, kad tas pats teiginys gali būti užrašytas keliaisbūdais.

Štai keli matematinių teiginių pavyzdžiai:

0 < 1; (1.1)2 + 2 6= 4; (1.2)x+ 2 < 2x; (1.3)

jei x2 = 1, tai arba x = −1, arba x = 1; (1.4)egzistuoja toks x, kad x2 = 2; (1.5)

nelygybę galima dauginti iš teigiamo skaičiaus. (1.6)

Matome, kad vieni teiginiai užrašomi, naudojant vien matematinius sim-bolius ((1.1)–(1.3)), kiti — vien natūralios kalbos žodžius ((1.6)), dar kiti —ir simbolius, ir normalius žodžius.

Formulės. Teiginio užrašą vien matematiniais simboliais vadinsiu formule.Taigi (1.1)–(1.3) yra formulių pavyzdžiai. Formule galima užrašyti bet kurįmatematinį teiginį; reikia tik turėti pakankamai simbolių normalios kalbos

3

4 1 SKYRIUS. TEIGINIAI

žodžiams pakeisti. Pavyzdžiui, (1.5) teiginys užrašomas tokia formule:

∃x x2 = 2.

Čia simbolis ∃ pakeičia žodį „egzistuoja“. (Tiksliau, ∃x pakeičia visą kon-strukciją „egzistuoja toks x, kad“.)

Kita dažnai pasitaikanti konstrukcija „ jei . . . , tai . . . “ keičiama simboliu⇒. Pavyzdžiui, (1.4) teiginys užrašomas tokia formule:

x2 = 1 ⇒ (x = −1 arba x = 1).

Tokiame užraše dar liko vienas lietuviškas žodis „arba“. Kartais jis pakeičia-mas simboliu ∨, ir tada formulė atrodo taip:

x2 = 1 ⇒ (x = −1 ∨ x = 1)

Bet man tai nepatinka, ir tokiais atvejais aš visada rašau žodį „arba“. O kadturėčiau teisę savo užrašą pavadinti formule, tiesiog įsivaizduoju, kad „arba“taip pat yra matematinis simbolis.

Užrašant teiginį formule, pasidaro aiškesnė to teiginio prasmė. Panag-rinėkime, pavyzdžiui, (1.6) teiginį. Ką reiškia žodis „galima“? Argi nugriusdangus, jei nelygybę padauginsim iš neigiamo skaičiaus? Teisingas atsakymastoks: jei abi teisingos nelygybės puses padauginsime iš teigiamo skaičiaus, taivėl gausime teisingą nelygybę. Kitaip tariant,

jei x < y, o a > 0, tai ax < ay.

O tokį teiginį jau nesunku užrašyti formule, panaudojus ⇒ ženklą:

(x < y, a > 0) ⇒ ax < ay.

Gal būt, ši formulė ir nėra aiškesnė už (1.6) teiginį. Tačiau bandymas tąteiginį užrašyti formule tikrai buvo naudingas: tai privertė mus pagalvoti irsuprasti, ką tas teiginys reiškia.

Teisingos ir klaidingos formulės. Jei formulėje nėra kintamųjų, tai jaužrašytas teiginys yra arba teisingas, arba klaidingas. Paprastai sakome,kad teisinga arba klaidinga yra pati formulė. Pavyzdžiui, (1.1) formulė yrateisinga, o (1.2) formulė — klaidinga.

Jei formulėje yra kintamųjų, tai su vienomis jų reikšmėmis formulė galibūti teisinga, o su kitomis — klaidinga. Pavyzdžiui, (1.3) formulė teisingasu x = 3, nes

3 + 2 < 2 · 3.

1.2. LOGINĖS OPERACIJOS 5

Kita vertus, ji klaidinga su x = −2, nes(−2) + 2 6< 2 · (−2).

Jei mes užrašome kokį nors teiginį, dažniausiai norime pasakyti, kadjis visada teisingas (t.y. teisingas su visomis kintamųjų reikšmėmis). Jeimūsų pašnekovas su mumis nesutinka, jis turi duoti kontrpavyzdį — rinkinįkintamųjų reikšmių, su kuriomis teiginys neteisingas.

1.1 pratimas. Ar duota formulė visada teisinga? Jei ne, duokitekontrpavyzdį.

I. x2 > x− 1.

II. x+ y < xy.

Sprendimas. I. Taip.II. Ne. Formulė klaidinga, kai, pavyzdžiui, x = 2, y = 0.Paaiškinimas. Kaip jau minėjau pratarmėje, knygos pratimai yra tokio

pat tipo, kaip pratimai, duodami per egzaminą. Knygoje aš duodu tokįpratimo sprendimą, kuris per egzaminą būtų įvertintas maksimaliu taškųskaičiumi. Taigi gavus per egzaminą 1.1 pratimo I užduotį, visiškai pakankaatsakyti vienu žodžiu „taip“.

Tačiau jei noriu būti garantuotas, kad atsakymas tikrai teisingas, turiutą įrodyti sau pačiam. Todėl be atsakymo kur nors (gal juodraštyje, galšvarraštyje, o gal tik galvoje) turėtų būti ir „sprendimas“:

x2 > x− 1;x2 − x+ 1 > 0;

D = 1 − 4 · 1 = −3 < 0;x ∈ R.

Šis sprendimas nebūtų vertinamas. Jei norėčiau matyti ir jį, formuluodamasužduotį pridurčiau papildomą sakinį. Pavyzdžiui, „Atsakymą pagrįskite“ arką nors panašaus.

Toliau knygoje po pratimo esančioje sekcijoje „Sprendimas“ aš užrašysiutik vertinamąją sprendimo dalį. Jei norėsiu ką nors papildomai paaiškinti,pridursiu sekciją „Paaiškinimai“.

1.2 Loginės operacijos

Sudėtinės formulės. Parašęs tarp dviejų formulių A ir B papildomą žen-klą, gaunu keturias naujas formules:

A ⇒ B, (1.7)

6 1 SKYRIUS. TEIGINIAI

A B A ⇒ B A ⇐⇒ B A ir B A arba B1 1 1 1 1 11 0 0 0 0 10 1 1 0 0 10 0 1 1 0 0

1.1 lentelė. Loginių jungčių prasmė

A ⇐⇒ B, (1.8)A ir B, (1.9)

A arba B. (1.10)

Žodžius „ir“ ir „arba“ aš laikau matematiniais simboliais. Vietoje „arba“kartais rašomas simbolis ∨, o vietoje „ir“ — simbolis ∧ arba &, bet aš tonemėgstu. Tačiau vietoje „ir“ aš dažnai rašau kablelį, o kartais — jungtuką„o“ arba „bet“.

Ženklai ⇒, ⇐⇒ , „ir“ ir „arba“ žymi tam tikras binarines operacijas,kuriomis iš dviejų formulių gaunama trečioji. Panašiai + ženklas žymi skaičiųsudėtį, o sudėtis yra tam tikra operacija, kuria iš dviejų skaičių gaunamasnaujas skaičius — tų dviejų skaičių suma.

Norint pasakyti, teisinga ar klaidinga kokia nors (1.7)–(1.10) pavidaloformulė, pakanka žinoti, teisingos ar klaidingos jos sudedamosios dalys A irB. Sudėtinių formulių teisingumas nustatomas pagal 1.1 lentelę, kurioje 1reiškia „teisinga“, o 0 — „klaidinga“.

Implikacija. (1.7) formulė vadinama implikacija. Ji skaitoma

jei A, tai B

arbaiš A išplaukia B.

Pavyzdžiui, formulėx > 1 ⇒ x2 > x

reiškia, kad jei x > 1, tai x2 > x. A formulė vadinama (1.7) implikacijosprielaida, o B formulė — išvada.

Iš lentelės matyti, kad implikacija klaidinga tik vienu atveju — kai josprielaida teisinga, o išvada klaidinga. Taigi iš teisingos prielaidos turi iš-plaukti teisinga išvada, o iš klaidingos prielaidos gali išplaukti bet kas.

Galima pasakyti ir kitaip: impplikacija teisinga, kai arba teisinga josišvada, arba klaidinga prielaida.

1.2. LOGINĖS OPERACIJOS 7

Panagrinėkime tokią formulę:

x < y ⇒ x2 < y2.Ji

• teisinga, kai x = 1, y = 2 (nes teisinga išvada: 1 < 4);

• teisinga, kai x = 3, y = 1 (klaidinga prielaida: 3 6< 1);

• klaidinga, kai x = −2, y = −1 (prielaida teisinga, o išvada klaidinga:−2 < −1, bet 4 6< 1).

Kadangi parašyta formulė teisinga ne visada, galima sakyti, kad iš x < yapskritai neišplaukia x2 < y2.

Norėdami įrodyti (1.7) implikaciją, paprastai darome prielaidą, kad Aformulė teisinga, ir įsitikiname, kad tada teisinga ir B. Jei A klaidinga, taiimplikacija automatiškai teisinga; todėl šio atvejo nagrinėti nereikia.

Kartais įrodinėjame kitu būdu: darome prielaidą, kad B klaidinga, irįsitikiname, kad tada ir A klaidinga. Jei B teisinga, implikacija teisingaautomatiškai; todėl šio atvejo nagrinėti nereikia.

Ekvivalencija. Formulė (1.8) vadinama ekvivalencija. Ji skaitoma

A tada ir tik tada, kai B.

Iš lentelės matyti, kad (1.8) formulė teisinga dviem atvejais:1) kai abi A ir B formulės teisingos;2) kai abi jos klaidingos.

Kitais dviem atvejais ekvivalencija yra klaidinga.Pavyzdžiui, formulė

x > 0 ⇐⇒ x2 > 0• teisinga, kai x = 2 (abi formulės teisingos: 2 > 0 ir 4 > 0);

• teisinga, kai x = 0 (abi formulės klaidingos: 0 6> 0);

• klaidinga, kai x = −1 (kairė formulė teisinga, o dešinioji klaidinga:−1 6< 0, bet 1 > 0).

(1.8) formulę paprastai įrodinėjame dviem žingsniais:1) iš pradžių darome prielaidą, kad A teisinga, ir įsitikiname, kad tada ir

B teisinga;2) po to darome prielaidą, kad B teisinga, ir įsitikiname, kad tada ir A

teisinga (arba darome prielaidą, kad A klaidinga, ir įsitikiname, kad tada irB klaidinga).Taigi pirmu žingsniu įrodome, kad teisinga A ⇒ B implikacija, o antruoju— kad teisinga B ⇒ A.

8 1 SKYRIUS. TEIGINIAI

Konjunkcija. (1.9) formulė vadinama konjunkcija. Ji teisinga, kai teisingatiek A, tiek B formulė. Kitais trim atvejais konjunkcija yra klaidinga.

Pavyzdžiui, formulėx 6= 2 ir x > 1

• teisinga, kai x = 3 (nes 3 6= 2 ir 3 > 1);

• klaidinga, kai x = 0 (nes 0 6> 1);

• klaidinga, kai x = 2 (nes 2 = 2).

Norėdami įrodyti (1.9) formulę, iš pradžių įrodome A, o po to — B.

Dizjunkcija. (1.10) formulė vadinama dizjunkcija. Ji teisinga, kai teisingabent viena iš A ir B formulių (t.y. teisinga arba viena, arba kita, arba abi).

Pavyzdžiui, formulėx < 1 arba x2 > 2x

• teisinga, kai x = 4 (nes 16 > 8);

• teisinga, kai x = −1 (nes −1 < 1);

• klaidinga, kai x = 1 (abi pusės klaidingos: 1 6< 1 ir 1 6> 2).

Norėdami įrodyti (1.10) formulę, darome prielaidą, kad A klaidinga, irįsitikiname, kad tada teisinga B. Jei A teisinga, dizjunkcija teisinga au-tomatiškai; todėl šio atvejo nagrinėti nereikia.

Veiksmų tvarka. Atliekant aritmetinius veiksmus, iš pradžių atliekamadaugyba ir dalyba, o po to — sudėtis ir atimtis. Toks susitarimas leidžiaaritmetiniuose reiškiniuose sumažinti skliaustų skaičių. Pavyzdžiui, reiškinys

2 · 3 + 5

suprantamas kaip (2 · 3) + 5 ir lygus 11.Dėl tos pačios priežasties nustatyti skirtingi prioritetai ir loginėms ope-

racijoms: pirma atliekama konjunkcija, po to — dizjunkcija, po to — imp-likacija ir galiausiai — ekvivalencija.

Taigi formulėx > 1, x 6= 2 arba x < 0

suprantama kaip(x > 1, x 6= 2) arba x < 0;

1.2. LOGINĖS OPERACIJOS 9

formulėx2 = 1 ⇒ x = 1 arba x = −1

reiškiax2 = 1 ⇒ (x = 1 arba x = −1),

ox > y ⇒ z > y ⇐⇒ x > z

reiškia(x > y ⇒ z > y) ⇐⇒ x > z.

Jei atrodo, kad aprašytų taisyklių yra šiek tiek per daug, jaudintis labainereikėtų. Normaliame matematiniame tekste loginių veiksmų tvarką papras-tai galima atspėti iš konteksto. Šiame gi skyriuje (kuriame formulės rašomosbe konteksto) aš dažnai rašysiu ir nebūtinus skliaustus.

Nelygybių grandinės. Jau matėme, kad binariniai sąryšiai, (tarkime, <ir 6 nelygybės, arba = lygybė) gali būti jungiami į grandines: pavyzdžiui,

x < y = z 6 u. (1.11)

Tokia formulė yra sutrumpintas konjunkcijos

x < y, y = z, z 6 u

žymėjimas. Norint įsitikinti, kad tokia grandinė teisinga, reikia patikrinti, arteisingi visi sąryšiai: iš pradžių — ar x < y, po to — ar y = z, galiausiai —ar z 6 u.

Grandinė rašoma, ne tik norint sutaupyti vietos. Paprastai žiūrėdami įją galime pasakyti kažką naujo apie kraštinius jos reiškinius. Pavyzdžiui, iš(1.11) išplaukia, kad x < u. Tikrai, x yra mažesnis už y, o z ir y yra tas patsskaičius; todėl x < z. Nelygybė z 6 u reiškia, kad arba z < u, arba z = u.Fundamentali tvarkos sąryšio savybė yra jo tranzityvumas: jei vienas skaičiusmažesnis už kitą, o tas kitas — už trečią, tai pirmasis taip pat mažesnis užtrečią. Todėl jei x < z ir z < u, tai x < u. Jeigu gi z = u, t.y. jei z ir u yratas pats skaičius, tai iš x < z išplaukia x < u. Taigi abiem galimais atvejaisx < u.

Kartais parašoma nelygybių grandinė, kurioje pirmas ir paskutinis naryssutampa. Jei grandinėje yra tik 6 ir = ženklai ir grandinė teisinga, galimadaryti išvadą, kad visi jos nariai sutampa. Pavyzdžiui, iš

x 6 y = z 6 u 6 x

10 1 SKYRIUS. TEIGINIAI

išplaukia, kad

x = y = z = u.

Tikrai, x 6 y reiškia, kad arba x < y, arba x = y. Bet x negali būtimažesnis už y: iš

x < y = z 6 u 6 x

panašiai kaip aukščiau išvesčiau x < x, t.y. prieštarą. Taigi x = y. Kitoslygybės įrodomos analogiškai.

Į grandinę gali būti sujungtos ir priešingos nelygybės. Pavyzdžiui, vienojeknygoje esu matęs formulę

x < y > z,

reiškiančią, kad x < y ir y > z, t.y. kad y yra didžiausias iš x, y, z skaičių.Deja, tokia grandinė tinka tik fakto konstatavimui: jokia išvada apie sąryšįtarp x ir z iš jos neišplaukia.

Kitoje knygoje mačiau grandinę x 6= y 6= z. Ja buvo norima pasakyti, kadvisi trys skaičiai yra skirtingi. Deja, ta grandinė reiškia tik, kad y nesutampanei su x, nei su z, o iš to neišplaukia, kad x 6= z. Todėl norint konstatuoti,kad visi skaičiai skirtingi, reiktų rašyti x 6= y 6= z 6= x.

Grandinės nariai nebūtinai turi būti nelygybės. Pavyzdžiui,

x ∈ A ⊂ B

reiškia, kad x priklauso A aibei, kuri savo ruožtu yra B aibės poaibis. Jei abusąryšiai teisingi, galima padaryti išvadą x ∈ B.

Kitas pavyzdys: jei

|xn| 61

n→ 0,

daroma išvada xn → 0.Per egzaminą aš dažnai prašau paaiškinti, kodėl teisinga viena ar kita sąryšių

grandinė. Taip darydamas tikiuosi, kad bus paaiškintas kiekvienas tos grandinėsnarys. Štai vienas pavyzdys.

Užduotis. Paaiškinkite, kodėl teisingi sąryšiai tokioje grandinėje:

(1 +

1

n

)n= 1 + C1n

1

n+ · · · + Cn−1n

1

nn−1+

1

nn> 1 + C1n

1

n= 2.

Atsakymas. Pirma lygybė — Niutono binomo formulė. Antra nelygybė teisingatodėl, kad praleidus keletą teigiamų dėmenų, suma sumažėja. Trečia lygybė —todėl, kad C1n = n.

1.2. LOGINĖS OPERACIJOS 11

Implikacija ir priežasties-pasekmės santykis. Skyrelį užbaigsiu trum-pa ekskursija į šoną. Nemėgstantys filosofijos šį paragrafą gali praleisti.

Formulė0 < x < y ⇒ x2 < y2

teisinga su visomis kintamųjų reikšmėmis. Taigi iš 0 < x < y tikrai išplaukiax2 < y2. Pastarąjį sakinį galima pasakyti ir taip:

x2 < y2, nes 0 < x < y,

turint omenyje, kad 0 < x < y yra x2 < y2 nelygybės priežastis. Taigi į imp-likaciją galima žiūrėti, kaip į tam tikrą fundamentalaus priežasties-pasekmėssantykio formalizavimą.

Tačiau reikia atsiminti, kad tokia implikacijos interpretacija ne visadateisinga. Pavyzdžiui, formulė

x 6= 1 ⇒ x2 > 0

visada teisinga, bet x2 > 0 ne dėl to, kad x 6= 1. Šiuo atveju implikacijateisinga, nes jos išvada visada teisinga, ir tam nereikia jokios specialiospriežasties. (Kitas klausimas, aišku, kodėl x2 > 0 visada teisinga.)

Štai dar vienas panašus pavyzdys. Implikacija

0 = 1 ⇒ x 6= x

taip pat visada teisinga, nes jos prielaida klaidinga. Tačiau niekam neapsiversliežuvis pasakyti, kad x 6= x teisingumo priežastis yra tai, jog 0 6= 1.

1.2 pratimas. Ar duota formulė visada teisinga? Jei ne, duokitekontrpavyzdį.

I. x2 > x⇒ x > 2.

II. x > 2 ⇒ x2 > x.

III. x > 0 ⇐⇒ x2 > 0.

IV. x < y ⇐⇒ x3 < y3.

V. x > 2 arba x2 − 5x+ 4 < 0.

VI. x > 1 arba x 6 3.

VII. x2 6= x⇒ (x 6= 1 arba x 6= 0).

VIII. (x 6= 1 arba x 6= 0) ⇒ x2 6= x.

12 1 SKYRIUS. TEIGINIAI

IX. 0 < x 6 2.

X. x2 6= 1 ⇒ (x 6= 1, x 6= −1).

XI. (x > 0, y = x+ 1) ⇒ y > 1.

Sprendimas. I. Neteisinga, kai x = −2.II. Taip.III. Neteisinga, kai x = −1.IV. Taip.V. Neteisinga, kai x = 0.VI. Taip.VII. Taip.VIII. Neteisinga, kai x = 0.IX. Neteisinga, kai x = 3.X. Taip.XI. Neteisinga, kai x = 0, y = 1.Paaiškinimas. I–II. Sprendžiu x2 > x nelygybę:

x2 > x;

x(x− 1) > 0;x ∈ (−∞; 0) ∪ (1;∞).

Dabar aiškiai matyti, kad jei x > 2, tai x ∈ (−∞; 0)∪(1;∞) ir todėl tikraix2 > x. Kita vertus, ne bet koks x iš to junginio yra didesnis už 2. Paėmębet kokį junginio elementą, kuris 6 2, gauname reikiamą kontrpavyzdį.Pavyzdžiui, kai x = −2, prielaida x2 > x teisinga (nes 4 > 2), o išvadax > 2 klaidinga.

III. Kai x = −1, kairė ekvivalencijos dalis klaidinga, o dešinioji teisinga.IV. x 7→ x3 funkcija yra didėjanti (nusipieškite jos grafiką).V. Sprendžiu nelygybę:

x2 − 5x+ 4 < 0;(x− 1)(x− 4) < 0;

1 < x < 4.

Dizjunkcija klaidinga, kai x < 2 ir x 6∈ (1; 4), t.y. kai x 6 1. Vienas iš tokiųx ir yra 0.

VI. [1;∞) ∪ (−∞; 3] = R.VII–VIII. Dizjunkcija „x 6= 0 arba x 6= 1“ visada teisinga, nes x negali

būti vienu metu ir 0, ir 1. Kita vertus x2 6= x teisinga ne visada: ji neteisinga,kai x2 = x; pavyzdžiui, kai x = 0.

1.3. KVANTORIAI 13

IX. Ši formulė yra sutrumpintai užrašyta 0 < x ir x 6 2 formulių kon-junkcija. Kai x = 3, klaidinga antroji formulė; todėl konjunkcija klaidinga.

X. (−1)2 = 12 = 1. Todėl jei x2 6= 1, tai x negali būti nė vienas iš tųdviejų skaičių.

XI. Kai x = 0, y = 1, implikacijos prielaida teisinga, bet išvada klaidinga.

1.3 Kvantoriai

Sintaksė. Tarkime, A formulėje yra x kintamasis. Tada iš jos galime gautidvi naujas formules, parašę priekyje ∃x arba ∀x ženklus:

∃x A (1.12)

(skaitome: „egzistuoja toks x, kad A“) arba

∀x A (1.13)

(skaitome: „A su visais x“).∃ ir ∀ ženklai vadinami kvantoriais. Abu jie pakeičia už jų stovinčio kinta-

mojo statusą — kintamąjį suvaržo. Vietoje suvaržyto kintamojo nebegalimaįrašyti konkrečios reikšmės, nes gaunamas beprasmis reiškinys. Pavyzdžiui,jei į formulę

∃x x > 0

(kuri reiškia, kad egzistuoja bent vienas teigiamas skaičius), vietoje x įrašy-sime 7, gausime beprasmį simbolių kratinį

∃7 7 > 0.

Kita vertus, jei x kintamąjį pakeisime kitu kintamuoju, gausime naująformulę, kuri išreiškia tą patį teiginį. Pavyzdžiui, tiek

∀x x2 > 0,

tiek

∀y y2 > 0

reiškia tą patį — kad bet kokio skaičiaus kvadratas yra teigiamas. (Teiginys,aišku, neteisingas.)

14 1 SKYRIUS. TEIGINIAI

Semantika. Jei A formulėje tėra tik vienas kintamasis x, (1.12) ir (1.13)formulės yra tiesiog arba teisingos, arba klaidingos (kaip ir formulės, kurioseapskritai nėra kintamųjų). (1.12) formulė yra teisinga, jei A teisinga bent suviena x reikšme, o (1.13) teisinga, kai A teisinga su visomis x reikšmėmis.Pavyzdžiui, formulė

∃x x2 = 2teisinga, nes x2 = 2, kai x =

√2. Kita vertus, formulė

∀x x2 > 0

klaidinga, nes ne visada x2 > 0 (taip nėra, kai x = 0).Jei A formulėje be x yra ir dar koks nors kintamasis, pavyzdžiui, y, tai

su vienomis y reikšmėmis (1.12) arba (1.13) formulė gali būti teisinga, o sukitomis — klaidinga. Pavyzdžiui,

∃x x2 < y

formulė teisinga, kai y = 1, nes iš tikrųjų egzistuoja x, kurio kvadratasmažesnis už 1 (pavyzdžiui, x = 0). Tačiau nagrinėjama formulė klaidinga,kai y = −1.

Riboti kvantoriai. Visa, kas buvo pasakyta, tinka ir formulėms su vadi-namaisiais „ribotais“ kvantoriais. Pavyzdžiui, formulė

∃x < 0 x2 = 1

reiškia, kad egzistuoja neigiamas skaičius, kurio kvadratas lygus 1. Formulėteisinga, nes toks skaičius tikrai yra: −1. Formulė

∀x 6= 2 x2 6= 4

reiškia, kad jokio skaičiaus, nelygaus 2, kvadratas nėra 4. Ji neteisinga, nes−2 6= 2, bet (−2)2 = 4.

Prioritetas. Kvantoriai turi aukštesnį prioritetą už visas logines operacijas.Todėl, pavyzdžiui, formulė

∃x x2 = 1, x 6= 1 (1.14)

suprantama kaip konjunkcija

(∃x x2 = 1), x 6= 1.

1.4. NEIGINYS 15

Pirmasis konjunkcijos narys teisingas, nes tikrai yra skaičius, kurio kvadrataslygus 1. Antrasis konjunkcijos narys yra formulė x 6= 1, kurioje x yra laisvaskintamasis; todėl konjunkcija teisinga, kai x = 0, ir klaidinga, kai x = 1.

Jei rašydami (1.14) formulę norėjome pasakyti, kad be 1 yra dar vienasskaičius, kurio kvadratas lygus 1, turėjome padėti skliaustus:

∃x (x2 = 1, x 6= 1).

1.3 pratimas. Ar duota formulė visada teisinga? Jei ne, duokitekontrpavyzdį.

I. ∀x > 1 x2 > 1.

II. x > 0 ⇒ ∃y > 0 y < x.

III. ∃x x2 = y ⇒ y > 0.

IV. ∀x ∃y y > x.

V. ∃y ∀x y > x.

Sprendimas. I. Formulė teisinga.II. Formulė klaidinga, kai x = 0.III. Formulė neteisinga, kai y = 0.IV. Formulė teisinga.V. Formulė klaidinga.Paaiškinimas. II. Nėra tokio y > 0, kad y < 0.III. Nors ∃x x2 = 0 prielaida teisinga (02 = 0), tačiau 0 6> 0.IV. Kokį bepaimčiau x, visada atsiras už jį didesnis skaičius y; pavyzdžiui,

y = x+ 1.V. Nėra tokio y, kuris būtų didesnis už visus kitus skaičius. Taigi for-

mulė neteisinga. Kontrpavyzdžio duoti neįmanoma, nes formulėje nėra laisvųkintamųjų. Taigi šios užduoties sąlyga ne visai korektiška.

1.4 Neiginys

Labai svarbu mokėti užrašyti duotos formulės A neiginį. Taip vadinamaformulė, kuri teisinga, kai A klaidinga, ir klaidinga, kai A teisinga. Šiameskyrelyje neiginį žymėsiu Ā ženklu.

Jei A formulė išreiškia kokį nors binarinį sąryšį, galima arba tiesiog per-braukti įstrižu brūkšniu to sąryšio ženklą, arba pakeisti jį priešingo sąryšioženklu. Jei A yra sudėtinė formulė, jos neiginys rašomas pagal 1.2 lentelėje

16 1 SKYRIUS. TEIGINIAI

A Ā

B ⇒ C B, C̄B ⇐⇒ C (B̄, C) arba (B, C̄)

B,C B̄ arba C̄B arba C B̄, C̄∃x B ∀x B̄∀x B ∃x B̄x < 2 x 6< 2x > 0 x < 0

x > 0 ⇒ x2 = 1 x > 0, x2 6= 1x < 0 arba x2 > 4 x > 0, x2 6 4

0 < x < 1 x 6 0 arba x > 1∃x > 0 x2 = x ∀x > 0 x2 6= x∀x y2 6= x ∃x y2 = x

1.2 lentelė. Neiginys

surašytas taisykles. Lentelės apačioje yra keli konkrečių neiginių užrašymopavyzdžiai.

Taisyklės pakankamai aiškios, bet kad įvykdyčiau savo planą 4 kartuspraplėsti konspektus, dar kartą paaiškinsiu jas žodžiais.

Neiginiai paprastai rašomi, įrodinėjant kokią nors teoremą prieštaros me-todu. Todėl rašydamas implikacijos

x > 0 ⇒ x2 = 1

neiginį, aš kalbuosi su savimi maždaug taip:

tarkim priešingai, iš x > 0 neišplaukia x2 = 1;reiškia, gali būti x > 0, bet x2 6= 1;

x > 0, bet x2 6= 1.

Jei reikia parašyti dizjunkcijos

x < 0 arba x2 > 4

neiginį, kalbu taip:

tarkim priešingai, nei x < 0, nei x2 > 4;

1.4. NEIGINYS 17

taigi x > 0 ir x2 6 4;x > 0 ir x2 6 4.

Jei reiktų parašyti konjunkcijos

x 6= y ir x2 = y2

neiginį, galvočiau taip:

tarkim priešingai, vienas iš tų teiginių neteisingas;taigi arba x = y, arba x2 6= y2;

x = y arba x2 6= y2.

Jei reikia paneigti formulę

∃x > 0 x2 = x,

kalbu taip:

tarkim priešingai, neegzistuoja tokio x > 0, kad x2 = x;taigi kokį bepaimčiau x > 0, bus x2 6= x;

∀x > 0 x2 6= x.

O šitaip šneku, rašydamas formulės

∀x y2 6= x

neiginį:

tarkim priešingai, ne su visais x teisinga formulė y2 6= x;t.y. atsiras toks x, kad y2 = x;

∃x y2 = x.

Įrodinėjant teoremas, ekvivalencijos neiginių užrašyti neprireikia, nes ek-vivalencija paprastai suskaidoma į dvi implikacijas. Todėl sprendžiant pra-timus tenka tiesiog atsiminti, kad ekvivalencija reiškia, jog du teiginiai yra„vienodai teisingi“ (t.y. arba abu teisingi, arba abu klaidingi). Ekvivalenci-jos neiginys tada reikš, kad teiginiai „nevienodai teisingi“, t.y. vienas iš jųteisingas, o kitas klaidingas. Taigi formulės

x < y ⇐⇒ x2 < y2

18 1 SKYRIUS. TEIGINIAI

neiginys atrodys taip:

(x < y, bet x2 > y2) arba (x2 < y2, bet x > y).

Kai formulė sudėtingesnė, jos neiginį rašau keliais žingsniais. Pavyzdžiui,jei reikėtų parašyti formulės

∀x ∃y (x2 6= y2 ⇒ x 6= 0)

neiginį (ką ta formulė reiškia, neturiu supratimo), kalbėčiau taip:

ne su visais x egzistuoja toks y, kad . . . ;taigi atsiras toks x, kad formulė ∃y . . . klaidinga;

∃x netiesa, kad ∃y . . . ;

(žalia spalva rodo, kad tą formulės dalį jau parašiau; toliau galvoju tik apietai, kaip užrašyti likusios dalies ∃y (x2 6= y2 ⇒ x 6= 0) neiginį)

nėro tokio y, kad . . . ;taigi su visais y netiesa, kad . . . ;

∀y netiesa, kad . . . ;

(jau parašiau ∃x ∀y; dabar bandau užrašyti formulės x2 6= y2 ⇒ x 6= 0neiginį)

iš x2 6= y2 neišplaukia x 6= 0;gali būti x2 6= y2, bet x = 0;

x2 6= y2, bet x = 0.

Taigi formulės neiginys atrodo taip:

∃x ∀y (x2 6= y2, bet x = 0).

Kokia šios formulės prasmė, taip pat neaišku, bet jau bent galiu pasakyti,kad neiginys yra neteisingas: nelygybė x2 6= y2 negali būti teisinga su visaisy (užtenka paimti y = x).

1.4 pratimas. Užrašykite duotos formulės neiginį.

I. 0 < x < 2 ⇒ x2 − x < 0.

II. x2 + 3x+ 2 > 0 ⇒ (x 6 −2 arba x > −1).

1.5. UŽDAVINIAI 19

III. ∃x (x2 + x > 0, x2 − 3x+ 2 < 0).

IV. y > 0 ⇒ ∃x > 0 x < y.

V. ∀x > 0 ∃y 0 < y < x.

Sprendimas. I. 0 < x < 2, x2 − x > 0.II. x2 + 3x+ 2 > 0, x > −2, x < −1.III. ∀x (x2 + x 6 0 arba x2 − 3x+ 2 > 0).IV. y > 0, ∀x > 0 x > y.V. ∃x > 0 ∀y (0 > y arba y > x).

1.5 Uždaviniai

1. Ar visada teisinga duota formulė? Jei ne, duokite kontrpavyzdį.

• ∃x x2 = z ⇒ ∃y y2 < z.

• ∀x y 6= x2 ⇒ y 6 0.

• ∃x x2 + 3x+ a < 0 ⇒ 9 − 4a2 > 0.

• 0 < x < 1 ⇒ 0 < x2 < 1.

• 0 6 x < y ⇒ x2 < y2.

• xy = 0 ⇒ x = y = 0.

• xy = y ⇒ x = 1.

• (x+ y = 0, 2x+ y = 3) ⇒ x = 3.

• ∀x ∃y xy = 0.

• ∃y ∀x xy = 0.

• (2002) ∀y > 0 ∃x x2 < y.

• (2002) ∃y ∀x x2 > y.

• (2004) x2 − 3x+ 2 > 0 ⇒ x > 1.

• (2004) (x < 0 arba x > 2) ⇒ x2 > 4.

• (2004) x > 0 ⇒ ∀y > 1 yx > x.

20 1 SKYRIUS. TEIGINIAI

2. Parašykite duotos formulės neiginį.

• ∀ε ∃δ ∀x (|x− a| < δ ⇒ |x2 − a2| < ε).

• a > 0 ⇒ ∃ε ∀x (|x− a| < ε ⇒ x > 0).

• ∀ε ∃k ∀m > k ∀n > m |1/m− 1/n| < ε.

• ∃a(∀x ∈ A x 6 a, ∀b (∀x ∈ A x 6 b⇒ b 6 a)

).

• (2002) (∀x ∈ Ax 6 a) ⇒ a > 0.

• (2002) ∃c n0 |xn| 6 c.

2 skyrius

Aibės

Tolesniuose trijuose įvado skyriuose supažindinsiu su trimis analizėje na-grinėjamų objektų tipais: aibėmis, šeimomis ir funkcijomis. Aprašydamaskiekvieną tipą, kreipsiu dėmesį į tokius dalykus:

• kaip užrašomi konkretūs objektai;

• kaip jie vaizduojami geometriškai;

• kokius veiksmus galima su jais atlikti.

Ketvirtas ir labiausiai įprastas matematinis objektas yra skaičiai. Tačiauvidinė skaičiaus struktūra yra gan sudėtinga, ir norint griežtai apibrėžtiveiksmus su skaičiais bei įrodyti tų veiksmų savybes, reikia sugaišti nemažailaiko, kurio per paskaitas ir taip trūksta. Todėl visus tuos dalykus laikysiužinomais. Kam įdomi griežta teorija, gali pavartyti 5 skyrių.

2.1 Aibės ir jų elementai

Aibių žymėjimas ir vaizdavimas. Aibė — tai tam tikrų elementų rin-kinys. Aibes žymėsiu didžiosiomis raidėmis A,B,C ir pan. Jei koks nors xyra A aibės elementas, rašysiu x ∈ A; jei nėra — x 6∈ A.

Nagrinėdamas bendrąsias aibių teorijos sąvokas, aibes dažnai vaizduo-siu, apibraukdamas vieną ar kitą plokštumos sritį. Tokios aibės elementaislaikysiu apibrauktoje srityje esančius plokštumos taškus (2.1 pav.).

Dabar paminėsiu 5 būdus konkrečioms aibėms užrašyti.

Specialios aibės. Penkioms specialioms aibėms yra rezervuoti specialūsžymenys.

21

22 2 SKYRIUS. AIBĖS

�

�

xy

A

2.1 pav. x ∈ A, y 6∈ A

1. ∅ žymi tuščiąją aibę. Tai vienintelė aibė, neturinti nė vieno elemento.Taigi

x ∈ ∅ir

∃x ∈ ∅ . . .pavidalo formulės yra visada klaidingos, o

x ∈ ∅ ⇒ . . .

ir∀x ∈ ∅ . . .

formulės — visada teisingos. Jei kyla kokių nors abejonių dėl formulių sukvantoriais, paaiškinsiu, kad pirmoji formulė reiškia tą patį, ką ir

∃x (x ∈ ∅ ir . . .),

o antroji — tą patį, ką ir formulė

∀x (x ∈ ∅ ⇒ . . .).

2. Raide R žymima visų realiųjų skaičių aibė. Taigi kiekvienas skaičius,kurį tik sugebame parašyti, priklauso tai aibei. Pavyzdžiui,

0, 1, −2, 3.14, −13,√

2, π ∈ R.

Gali kilti klausimas, ar simbolis R apskritai reikalingas, jei formulė x ∈ Rneduoda jokios informacijos apie skaičių x. Tačiau matematikoje nagrinėjamine tik skaičiai. Todėl formulė x ∈ R pasako, kad x yra skaičius, o ne kokionors kito tipo objektas.

3. Raide Z žymima visų sveikųjų skaičių aibė. Sveikaisiais vadinamiskaičiai

0, 1, −1, 2, −2, 3, −3

2.1. AIBĖS IR JŲ ELEMENTAI 23

ir t.t. Visi jie priklauso Z aibei. O, pavyzdžiui,

3.14, −13,√

2, π 6∈ Z.

4. Teigiami sveikieji skaičiai vadinami natūraliaisiais. Visų natūraliųjųskaičių aibė žymima N. Taigi

1, 2, 37, 259 ∈ N,

o0, −1, 0.5, 2

7,√

2 6∈ N; .

5. Racionaliaisiais vadinami skaičiai, kuriuos galima užrašytim

n

pavidalu su m ∈ Z ir n ∈ N. Visų racionaliųjų skaičių aibė žymima Q raide.Pavyzdžiui,

−13

=−13, 2.548 =

2548

1000

yra racionalieji skaičiai ir priklauso Q aibei. Galima įrodyti, kad√

2 ir π nėraracionalieji. Jie nepriklauso Q aibei.

Raidėmis k, l,m šioje knygoje žymėsiu tik sveikuosius skaičius. Tokssusitarimas leidžia supaprastinti kai kurias formules. Pavyzdžiui, vietoje∃m ∈ Z . . . galiu rašyti tiesiog ∃m . . . .

Raide n dažniausiai bus žymimi arba natūralieji skaičiai, arba natūraliejiskaičiai ir 0. Apskritai iš konteksto turėtų būti aišku, kokia yra n kintamojokitimo sritis.

Baigtinės aibės. Jei aibėje yra nedaug elementų, galima tiesiog išvardintivisus elementus tarp {} skliaustų. Pavyzdžiui, jei

A = {−1, 3, 5.8},

tai −1 ∈ A, 3 ∈ A, 5.8 ∈ A, bet 2 6∈ A, 4 6∈ A ir pan.

Intervalai. Ženklais

(a; b), [a; b], [a; b) ir (a; b]

žymimi intervalai ; tai — aibės, kurių elementai yra visi skaičiai x, tenkinan-tys nelygybes, atitinkamai,

a < x < b, a 6 x 6 b, a 6 x < b ir a < x 6 b.

24 2 SKYRIUS. AIBĖS

Pavyzdžiui,

1, 2.7 ∈ (0; 3), bet − 2, 0, 3, 5 6∈ (0; 3);2, 3.14 ∈ [2; 5), bet 0, 5, 7.5 6∈ [2; 5).

Aibės elementų, tenkinančių nurodytą sąlygą. {x | . . . } pavidaloženklu žymima aibė visų x, tenkinančių sąlygą, parašytą už vertikalaus brūkš-nio. Pavyzdžiui, jei

A = {x | x2 − 3x > 2},tai 4 ∈ A, nes 42 − 3 · 4 = 4 > 2, bet 1.5 6∈ A, nes 1.52 − 3 · 1.5 6> 2.

Panašiai suprantami ir {x > 0 | . . . }, {x 6 4 | . . . } ir kiti žymenys.Pavyzdžiui,

{x > 0 | x2 = 1}yra aibė visų teigiamų x, kurių kvadratas lygus 1. Toje aibėje tėra tik vienaselementas, skaičius 1.

Aibės nurodyto pavidalo elementų. Jei {. . . | . . .} pavidalo žymenyjeprieš brūkšnį parašytas koks nors reiškinys, o už brūkšnio — sąlyga, tai tokssimbolis žymi aibę visų nurodyto pavidalo elementų, tenkinančių nurodytąsąlygą. Pavyzdžiui,

A = {x2 − 2x | x > 2}yra aibė visų skaičių, kuriuos galima užrašyti x2 − 2x pavidalu su tam tikrux > 2. Taigi 3 ∈ A, nes 3 = x2 − 2x su x = 3 (t.y. 3 = 32 − 2 · 3). Kitavertus, −1 6∈ A: lygtis −1 = x2 − 2x turi tik vieną sprendinį, x = 1, ir jisnėra didesnis už 2.

Pastabos dėl sintaksės. 1. {x | . . . } pavidalo reiškinyje x kintama-sis yra suvaržytas. Jei vietoje x įrašysime kokią nors konkrečią reikšmę,gausime beprasmį reiškinį; jei x pakeisime kitu kintamuoju, reiškinio prasmėnepasikeis. Pavyzdžiui, reiškinys

{2 | 22 − 3 · 2 > 2}

prasmės neturi (jis sintaksiškai netaisyklingas). Kita vertus,

{x | x2 − 3x > 2} ir {y | y2 − 3y > 2}

žymi tą pačią aibę — aibę tokių skaičių, iš kurių kvadrato atėmus patrigu-bintą skaičių gaunamas didesnis už 2 rezultatas.

2.1. AIBĖS IR JŲ ELEMENTAI 25

Geras tonas reikalauja vienoje formulėje nevartoti kintamųjų, kurie vie-noje vietoje yra laisvi, o kitoje — suvaržyti. Pavyzdžiui, formulėje

x ∈ {x | x2 > x}

kintamasis x stovi 4 vietose; pirma vieta yra laisva, kitos trys — suvaržytos.Nors ši formulė yra sintaksiškai taisyklinga, geriau rašyti

x ∈ {y | y2 > y}.

2. {x | . . . } pavidalo reiškinyje be x gali būti ir daugiau kintamųjų.Visi tokie kintamieji yra laisvi. Įstačius vietoje tokio kintamojo konkrečiąreikšmę, gaunamas reiškinys, žymintis konkrečią aibę. Pavyzdžiui,

{x | x2 = y}

reiškinys žymi tuščią aibę, kai y = −1, ir aibę {−1, 1}, kai y = 1.3. {. . . | . . . } pavidalo reiškiniuose kintamieji prieš | ženklą taip pat

suvaržyti: jų negalima pakeisti konkrečia reikšme, o pakeitus kitais kinta-maisiais reiškinio prasmė nepasikeičia. Pavyzdžiui, reiškinys

{12 − 2 · 1 | 1 > 2}

prasmės neturi, o

{x2 − 2x | x > 2} ir {y2 − 2y | y > 2}

žymi tą pačią aibę.Jei po | brūkšnio stovinčiame reiškinyje yra kitokių kintamųjų, visi jie yra

laisvi.2.1 pratimas. Ar a skaičius priklauso A aibei? Atsakymą pagrįskite.

Nurodykite dar vieną tos aibės elementą (jei toks egzistuoja).

I. A = {x > 0 | x3 − 5x2 + 3x+ 1 = 0}, a = 1.

II. A = { t1−t2 | 0 < t < 1}, a = 1.

Sprendimas. I. a ∈ A, nes 1 > 0 ir 13 − 5 · 12 + 3 · 1 + 1 = 0. Norėdamasrasti dar vieną A elementą, sprendžiu lygtį

x3 − 5x2 + 3x+ 1 = 0.

Kadangi 1 yra lygties šaknis, daugianaris dalijasi iš x− 1:

x3 − 5x2 + 3x+ 1 = (x− 1)(x2 − 4x− 1).

26 2 SKYRIUS. AIBĖS

Prilyginęs 0 antrą daugiklį, gaunu

x2 − 4x− 1 = 0;x = 2 ±

√4 + 1 = 2 ±

√5.

Taigi 2 +√

5 yra dar vienas A elementas (2 −√

5 6∈ A, nes 2 −√

5 < 0).II. Norėdamas įrodyti, kad 1 ∈ A, turiu rasti tokį t ∈ (0; 1), kad

t

1 − t2 = 1.

Spręsdamas šią lygtį, gaunu:

t = 1 − t2;t2 + t− 1 = 0;

t =−1 ±

√5

2.

Skaičius (−1 −√

5)/2 akivaizdžiai neigiamas. Antroji šaknis teigiama irtereikia išsiaiškinti, ar ji mažesnė už 1. Kadangi

−1 +√

5

2< 1, jei

−1 +√

5 < 2, t.y. jei√

5 < 3,

o pastaroji nelygybė teisinga (nes 5

2.2. AIBIŲ LYGINIMAS 27

A B

2.2 pav. A ⊂ B

Norint šį teiginį paneigti, reikia rasti tokį x ∈ A, kad x 6∈ B.Įrodysiu, pavyzdžiui, kad

(0; 1) ⊂ (0; 2).

Jei x ∈ (0; 1), tai pagal intervalo apibrėžimą 0 < x < 1. Kadangi 1 < 2, ištvarkos sąryšio tranzityvumo gaunu x < 2. Taigi 0 < x < 2, t.y. x ∈ (0; 2).

Aišku, normalūs žmonės tokių akivaizdžių dalykų neįrodinėja. Tačiauterminas „akivaizdu“ labai subjektyvus: kas vienam akivaizdu, kitam galipasirodyti labai sudėtinga. Matematika ir gera tuo, kad duoda įrankius,leidžiančius susikalbėti įvairaus lygio žmonėms.

Iš išnagrinėto pavyzdžio turėtų būti aišku, kaip svarbu mokėti „iššifruoti“x ∈ A pavidalo reiškinius. Štai keletas pavyzdžių:

x ∈ {1, 2, 5} ⇐⇒(x = 1 arba x = 2 arba x = 5

);

x ∈ [3; 7] ⇐⇒ 3 6 x 6 7;x ∈ {y | y2 − 2y > 2} ⇐⇒ x2 − 2x > 2;x ∈ {t2 + 3t | t > 1} ⇐⇒ ∃t > 1 x = t2 + 3t.

Iš (2.1) išplaukia, kad tuščioji aibė yra bet kokios aibės poaibis:

∅ ⊂ B.

Tikrai, jei A = ∅, tai (2.1) implikacijos prielaida visada klaidinga ir, reiškia,implikacija visada teisinga.

Aibių lygybė. Aibės laikomos sutampančiomis, jei jos turi tuos pačiuselementus, t.y.

x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B. (2.2)Taigi {1, 3} = {3, 1} = {1, 3, 3}, nes kiekvienas iš šių trijų užrašų žymi aibęsu elementais 1 ir 3.

28 2 SKYRIUS. AIBĖS

Norėdami įrodyti, kad A = B, paprastai iš pradžių įrodome A ⊂ B (t.y.(2.1) implikaciją), o po to — B ⊂ A (atvirkščią implikaciją).

Norėdami šį teiginį paneigti, turime paneigti bent vieną iš tų implikacijų,t.y. arba nurodyti kokį nors x ∈ A, kuris nepriklauso B aibei, arba kokį norsx ∈ B, kuris nepriklauso A aibei.

2.2 pratimas. Ar teisingi duoti sąryšiai? Atsakymą pagrįskite.

I. {x > 0 | x2 − 3x+ 2 = 0} = {1}.

II. {x > 0 | x2 6 5x− 4} = [1; 4].

III. {t3 + t+ 1 | t ∈ [1; 2]} ⊂ {3, 11}.

Sprendimas. I. Spręsdami kvadratinę lygtį gauname

x2 − 3x+ 2 = 0;

x =3 ±

√9 − 8

2=

3 ± 12

;

x = 1 arba x = 2.

Matome, kad 2 ∈ {x > 0 | x2 − 3x + 2 = 0}, bet 2 6∈ {1}. Reiškia, aibėsskirtingos.

II. Spręsdami nelygybę, gauname:

x2 − 5x+ 4 6 0;(x− 1)(x− 4) 6 0;

1 6 x 6 4.

Kadangi visi skaičiai iš [1; 4] intervalo teigiami, aibės abiejose lygybės pusėsesutampa.

III. Kai t = 1.5, t3 + t + 1 = 47/8 6∈ {3, 11}. Taigi nurodytos aibėsskirtingos.

2.3 Veiksmai su aibėmis

Apibrėžimas. A ir B aibių junginys, sankirta ir skirtumas apibrėžiamiformulėmis

A ∪B = {x | x ∈ A arba x ∈ B}, A ∩B = {x | x ∈ A, x ∈ B}ir

A \B = {x ∈ A | x 6∈ B}.Apibrėžtas operacijas iliustruoja 2.3 pav.

2.3 pratimas. Kurie iš duotų taškų priklauso A aibei, o kurie — ne?

2.3. VEIKSMAI SU AIBĖMIS 29

A B BA

A B

2.3 pav. A ∪ B, A \B ir A ∩ B

I. A = (0; 3) ∪ N, a = −2, b = 0, c = 4, d = 0.3.

II. A = [−3; 1.5] \ Z, a = −3, b = −2, c = 1.5, d = 2.

III. A = (−3; 4.7] ∩ Q, a = −3, b =√

3, c = 4.7, d = 5.

IV. A = {−1, 0, 1} ∩ (0; 2), a = 0, b = 0.5, c = 1, d = 2.

Sprendimas. I. a, b 6∈ A; c, d ∈ A.II. a, b, d 6∈ A; c ∈ A.III. a, b, d 6∈ A; c ∈ A.IV. a, b, d 6∈ A; c ∈ A.Paaiškinimas. I. a, b nepriklauso nei (0; 3) intervalui, nei N aibei; c ∈ N

aibei; d ∈ (0; 3).II. a, b ∈ Z; c ∈ [−3; 1.5] ir c nėra sveikasis skaičius; d 6∈ [−3; 1.5].III. a, d 6∈ (−3; 4.7]; b neracionalus; c ∈ (−3; 4.7] ir racionalus.IV. a 6∈ (0; 2), b 6∈ {−1, 0, 1}; c priklauso abiems, o d — nė vienai iš

kertamųjų aibių.

Teiginių apie aibes įrodinėjimas. Iš apibrėžimo išplaukia, kad

x ∈ A ∪ B ⇐⇒ x ∈ A arba x ∈ B;x ∈ A ∩B ⇐⇒ x ∈ A, x ∈ B;x ∈ A \B ⇐⇒ x ∈ A, x 6∈ B.

Todėl teiginių x ∈ A∪B, x ∈ A∩B ir x ∈ A \B teisingumą ar klaidingumągalima nustatyti, žinant, teisingi ar klaidingi x ∈ A ir x ∈ B teiginiai(pasirėmus 1.1 lentele).

Pasirėmus lentele, galima įrodyti bet kokius elementarius teiginius apieaibes (aišku, jei jie teisingi). Panagrinėkime, pavyzdžiui, formulę

A ∩ B = B ∩ A.

30 2 SKYRIUS. AIBĖS

Mūsų intuicija sako, kad ji tikrai teisinga. Bet kaip tą įrodyti?Iš aibių lygybės kriterijaus (2.2), išplaukia, kad reikia įrodyti formulę

x ∈ A ∩B ⇐⇒ x ∈ B ∩ A.

Tegu A žymi x ∈ A, o B — x ∈ B formulę. Tada

x ∈ A ∩B ⇐⇒ A ir B,x ∈ B ∩A ⇐⇒ B ir A;

todėl pakanka įsitikinti, kad

A ir B ⇐⇒ B ir A.

O tai jau išplaukia iš 1.1 lentelės.Panagrinėsiu įdomesnį pavyzdį: įrodysiu vadinamąsias De Morgano1 for-

mules:

A \ (B ∪ C) = (A \B) ∩ (A \ C), (2.3)A \ (B ∩ C) = (A \B) ∪ (A \ C). (2.4)

A \D skirtumas dažnai vadinamas D aibės papildiniu iki A. Tada užrašytasformules galima perskaityti taip: junginio papildinys lygus papildinių sankir-tai, o sankirtos papildinys yra papildinių junginys.

Kad būtų paprasčiau, neįvedinėsiu A, B ir pan. žymenų, o lentelės stul-pelius žymėsiu aibes žyminčiais reiškiniais: A, B, C, A \ B ir t.t. Lentelėjerašysiu ∈, jei įsivaizduojamas x priklauso atitinkamai aibei, ir 6∈ ženklą, jeinepriklauso.

Yra aštuonios galimos formulių x ∈ A, x ∈ B ir x ∈ C teisingumo/klai-dingumo kombinacijos ir iš 2.1 lentelės matyti, kuriais atvejais teisinga arklaidinga yra x ∈ A \ (B ∪ C) formulė.

Panašiai sudaroma 2.2 lentelė, parodanti, kada x priklauso papildiniųsankirtai. Sulyginęs abi lenteles matau, kad

x ∈ A \ (B ∪ C) ⇐⇒ x ∈ (A \B) ∩ (A \ C).

Reiškia, (2.3) formulė teisinga. (2.4) formulė gali būti įrodyta panašiai.Aprašytas metodas yra algoritmizuojamas: galima netgi parašyti pro-

gramą kompiuteriui, kuri tikrintų, ar visada teisingas vienas ar kitas sąryšistarp aibių. Tačiau tai gana nuobodus metodas ir žmonės įrodinėdami papras-tai sako tam tikrus žodžius, o ne braižo lenteles. Štai kaip galėtų atrodyti„žodinis“ (2.4) lygybės įrodymas.

1Augustus De Morgan (1806–1871)

2.3. VEIKSMAI SU AIBĖMIS 31

A B C B ∪ C A \ (B ∪ C)∈ ∈ ∈ ∈ 6∈∈ ∈ 6∈ ∈ 6∈∈ 6∈ ∈ ∈ 6∈∈ 6∈ 6∈ 6∈ ∈6∈ ∈ ∈ ∈ 6∈6∈ ∈ 6∈ ∈ 6∈6∈ 6∈ ∈ ∈ 6∈6∈ 6∈ 6∈ 6∈ 6∈

2.1 lentelė. Kada x ∈ A \ (B ∪ C)

A B C A \B A \ C (A \B) ∩ (A \ C)∈ ∈ ∈ 6∈ 6∈ 6∈∈ ∈ 6∈ 6∈ ∈ 6∈∈ 6∈ ∈ ∈ 6∈ 6∈∈ 6∈ 6∈ ∈ ∈ ∈6∈ ∈ ∈ 6∈ 6∈ 6∈6∈ ∈ 6∈ 6∈ 6∈ 6∈6∈ 6∈ ∈ 6∈ 6∈ 6∈6∈ 6∈ 6∈ 6∈ 6∈ 6∈

2.2 lentelė. Kada x ∈ (A \B) ∩ (A \ C)

32 2 SKYRIUS. AIBĖS

Tarkime, x priklauso sankirtos papildiniui. Tada

x ∈ A, x 6∈ B ∩ C;x ∈ A ir netiesa, kad (x ∈ B, x ∈ C);

x ∈ A ir (x 6∈ B arba x 6∈ C)

(pasirėmiau konjunkcijos neiginio užrašymo taisykle). Taigi yra du atvejai:pirmuoju x ∈ A, x 6∈ B ir todėl x ∈ A \ B; antruoju analogiškai gaunux ∈ A \ C. Reiškia,

x ∈ A \B arba x ∈ A \ C;x ∈ (A \B) ∪ (A \ C).

Jau įrodžiau, kad iš x ∈ A \ (B ∩ C) išplaukia x ∈ (A \ B) ∪ (A \ C),t.y. formulę

A \ (B ∩ C) ⊂ (A \B) ∪ (A \ C).Atvirkščias sąryšis įrodomas panašiai:

x ∈ (A \B) ∪ (A \ C);x ∈ A \B arba x ∈ A \ C;

(x ∈ A, x 6∈ B) arba (x ∈ A, x 6∈ C);x ∈ A ir (x 6∈ B arba x 6∈ C);

x ∈ A ir netiesa, kad (x ∈ B, x ∈ C);x ∈ A, x 6∈ B ∩ C;x ∈ A \ (B ∩ C).

2.4 pratimas. Ar visada teisingi duoti teiginiai. Jei taip, įrodykite,jei ne, duokite kontrpavyzdį.

I. Jei A ⊂ B, tai A ∩B = A.

II. (A ∪B) \ (C ∪D) = (A \ C) ∪ (B \D).

III. (A∆B)∆C = A∆(B∆C); čia ∆ ženklas žymi vadinamąjį simetrinįskirtumą, apibrėžiamą A∆B = (A \B) ∪ (B \ A) formule.

Sprendimas. I. Tegu A ⊂ B; įrodysiu, kad A ∩B = A, t.y.

x ∈ A ∩B ⇐⇒ x ∈ A.

⇒ implikacija akivaizdi: jei x ∈ A ∩ B, tai x ∈ A, x ∈ B; taigi x ∈ A.Atvirkščiai, tegu x ∈ A. Tada iš A ⊂ B gaunu x ∈ B. Reiškia, x ∈ A, x ∈ B,t.y. x ∈ A ∩ B.

2.3. VEIKSMAI SU AIBĖMIS 33

II. Jei x ∈ (A ∪ B) \ (C ∪D), tai

x ∈ A ∪B, x 6∈ C ∪D;(x ∈ A arba x ∈ B) ir netiesa, kad (x ∈ C arba x ∈ D);

(x ∈ A arba x ∈ B) ir (x 6∈ C, x 6∈ D);(x ∈ A, x 6∈ C, x 6∈ D) arba (x ∈ B, x 6∈ C, x 6∈ D).

Pirmuoju iš dviejų atvejų x ∈ A \ C, antruoju — x ∈ B \D. Reiškia,

x ∈ A \ C arba x ∈ B \D;x ∈ (A \ C) ∪ (B \D).

Įrodžiau, kad

(A ∪ B) \ (C ∪D) ⊂ (A \ C) ∪ (B \D).

Pradedu įrodinėti atvirkščią sąryšį:

x ∈ (A \ C) ∪ (B \D);x ∈ A \ C arba x ∈ B \D.

Dabar reikėtų parašyti eilutę

(x ∈ A, x 6∈ C, x 6∈ D) arba (x ∈ B, x 6∈ C, x 6∈ D),

bet ji neišplaukia iš ankstesnės, nes iš x ∈ A\C niekaip negalima išvesti, kadx 6∈ D. Tai sukelia abejonę, ar įrodinėjamas teiginys apskritai teisingas.

Pabandysiu sukonstruoti kontrpavyzdį. Paimsiu tokias aibes A,B,C irD, kad koks nors x priklausytų A \C aibei, bet kartu priklausytų ir D aibei.Paprasčiausias pavyzdys yra toks:

A = D = {0}, C = B = ∅.

Tada

(A∪B) \ (C ∪D) = A \D = ∅, o (A \C)∪ (B \D) = A∪∅ = A = {0}.

Reiškia, duota lygybė apskritai neteisinga.III. Šią lygybę patogiausia įrodyti, sudarant „priklausymo aibėms“ lentelę.

Iš pradžių sudarau 2.3 lentelę, iliustruojančią ∆ operaciją.Matau, kad x ∈ A∆B tada ir tik tada, kai x priklauso vienai iš A ir B

aibių, bet ne abiems kartu. Turėdamas tai galvoje, dabar užpildau 2.4 lentelę,iš kurios aiškiai matyti, kad duota lygybė yra teisinga.

34 2 SKYRIUS. AIBĖS

A B A \B B \ A A∆B∈ ∈ 6∈ 6∈ 6∈∈ 6∈ ∈ 6∈ ∈6∈ ∈ 6∈ ∈ ∈6∈ 6∈ 6∈ 6∈ 6∈

2.3 lentelė. Kada x ∈ A∆B

A B C A∆B (A∆B)∆C B∆C A∆(B∆C)∈ ∈ ∈ 6∈ ∈ 6∈ ∈∈ ∈ 6∈ 6∈ 6∈ ∈ 6∈∈ 6∈ ∈ ∈ 6∈ ∈ 6∈∈ 6∈ 6∈ ∈ ∈ 6∈ ∈6∈ ∈ ∈ ∈ 6∈ 6∈ 6∈6∈ ∈ 6∈ ∈ ∈ ∈ ∈6∈ 6∈ ∈ 6∈ ∈ ∈ ∈6∈ 6∈ 6∈ 6∈ 6∈ 6∈ 6∈

2.4 lentelė. Simetrinis skirtumas yra asociatyvi operacija

2.4 Uždaviniai

1. Ar duoti taškai priklauso A aibei?

• A = Z \ {0, 0.5, 1}, a = 0, b = 0.5, c = 1, d = 1.5.

• A = (0; 2) \ [1; 3), a = 0, b = 0.5, c = 1, d = 2.

• A = (0; 3] \ {1, 2, 3}, a = 2, b = 2.5, c = 3, d = 3.5.

• A = N \ Q, a = 0, b = 0.5, c = 1, d = −1.

• A = {1, 2, 3} \ {3, 4, 5}, a = 1, b = 3, c = 5, d = 6.

• (2004) A = [0; 4) \ (1; 2), taškai: 0, 0.5, 1.4, 2.

• (2004) A = Z ∪ (−2; 2), taškai: −2, −1.5, 2.7, 3.2. Ar teisingi duoti sąryšiai? Jei taip, įrodykite; jei ne, duokite kontrpavyzdį.

• (A ∪B)∆(C ∪D) ⊂ (A∆C) ∪ (B∆D).

• A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

• (2004) A \ (B \ C) = (A \B) ∪ C.

3 skyrius

Šeimos

3.1 Bendrosios žinios

Apibrėžimas ir žymėjimas. Šeima vadinamas indeksuotas elementų (va-dinamų tos šeimos nariais) rinkinys. Norėdami aprašyti konkrečią šeimą,turime pasakyti, kokia yra jos indeksų aibė, ir kiekvienam indeksui iš tosaibės nurodyti tam tikrą elementą. Jei indeksų aibė yra I ir indeksą i ∈ Iatitinkantis narys yra xi, tai tokią šeimą žymime (xi | i ∈ I).

Pavyzdžiui, (k/2 | k ∈ Z) žymi šeimą su indeksų aibe Z, kurios k-asisnarys yra k/2.

Dvi šeimos laikomos lygiomis, jei sutampa jų indeksų aibės ir atitinkamijų nariai:

(xi | i ∈ I) = (yj | j ∈ J) ⇐⇒ I = J ir ∀i ∈ I xi = yi.

Pastaba dėl pavadinimo. Terminas „šeima“ yra gana vykęs. Juk reališeima nėra vien žmonių aibė; svarbus ir tų žmonių statusas. Pavyzdžiui, jeikokioje nors šeimoje a yra tėvas, b — motina, o c — sūnus, tai ta šeimanėra vien {a, b, c} rinkinys, o turi papildomą struktūrą, kuri aprašoma tokiuindeksuotu rinkiniu (xi | i ∈ I):

I = {tėvas,motina, sūnus}, xtėvas = a, xmotina = b, xsūnus = c.Jei reiktų aprašyti šeimą, kurioje yra keli vaikai ir vaikų statusas mums

būtų nesvarbus, galėtume naudoti indeksų aibę

I = {tėvas,motina, vaikai},o indeksą „vaikai“ atitinkantis šeimos elementas būtų nebe konkretus indivi-das, o individų aibė. Pavyzdžiui,

xtėvas = a, xmotina = b, xvaikai = {c1, c2, c3}.

35

36 3 SKYRIUS. ŠEIMOS

�

|

|

x

y(x, y)

3.1 pav. Pora

Pastabos dėl sintaksės. 1. Reiškinyje (xi | i ∈ I) kintamasis i yra su-varžytas. Jo negalima pakeisti konkrečiu skaičiumi, o pakeitus kitu kinta-muoju reiškinio prasmė nepasikeičia. Pavyzdžiui, reiškinys

(4/2 | 4 ∈ Z)

prasmės neturi, o reiškiniai

(k/2 | k ∈ Z) ir (l/2 | l ∈ Z)

žymi tą pačią šeimą.2. Jei iš konteksto aišku, kokia yra indeksų aibė I, šeima žymima pa-

prasčiau: tiesiog (xi). Tokį užrašą aš vartoju ir kaip kintamąjį. Pavyzdžiui,∃(xi) . . . reiškia „egzistuoja tokia šeima (xi), kad . . . “.

Elementų poros. Jei indeksų aibė I = {1, 2}, šeima (xi | i ∈ I) vadinamapora ir žymima trumpiau: (x1, x2). Pavyzdžiui, (2, 5) yra šeima, kurios pir-mas narys yra 2, o antrasis — 5. Norėdami užrašyti bendrą poros pavidalą,vietoje (x1, x2) dažnai rašome ir (x, y). Skaičių pora paprastai vaizduojamaplokštumos tašku (žr. 3.1 pav.).

Dvi poros lygios, kai sutampa jų pirmieji ir antrieji nariai:

(x1, y1) = (x2, y2) ⇐⇒ x1 = x2, y1 = y2.

Taigi, pavyzdžiui, (2, 5) 6= (5, 2), nes pirmasis kairės poros elementas yra2, o dešinės poros — 5. Dabar aiškiai matyti skirtumas tarp indeksuotų irneindeksuotų rinkinių (t.y. tarp šeimų ir aibių): {2, 5} = {5, 2}.

Vektoriai ir sekos. Šeima (xi | i ∈ I) su indeksų aibe I = {1, 2, 3} vadina-ma trejetu ir žymima (x1, x2, x3). Pavyzdžiui, (2,−3, 0.7). Norėdami užrašytibendrą trejeto pavidalą, vietoje (x1, x2, x3) dažnai rašome ir (x, y, z).

3.1. BENDROSIOS ŽINIOS 37

Panašiai apibrėžiami ketvertai, penketai ir t.t. Apskritai šeimos su I ={1, 2, . . . , n} pavidalo indeksų aibe dar vadinamos n-mačiais vektoriais. Taigiporos yra dvimačiai vektoriai.

Šeimos su indeksų aibe N vadinamos sekomis. Kadangi visų sekų indeksųaibė ta pati, tai ji paprastai ir nenurodoma. Pavyzdžiui, kai nagrinėjamaseka (1/n | n ∈ N), ji vadinama tiesiog „seka 1/n“. Norėdami užrašyti bendrąsekos pavidalą, paprastai rašome (xn), (yn) ir pan.

Kartais sekomis vadinamos ir šeimos su {n ∈ Z | n > n0} pavidaloindeksų aibe. Pavyzdžiui, dažnai tenka susidurti su sekomis, kurių pirmojonario indeksas yra 0.

Šeimos ir aibės. Kai vartojame sąvoką „šeimos narys“, turime omenyje netik jo reikšmę, bet ir poziciją šeimoje. Todėl, pavyzdžiui, (0, 1, 1, 1) šeimojeyra 4 nariai; nesvarbu, kad trys iš jų sutampa. Tuo tarpu {0, 1, 1, 1} aibėjeyra tik du elementai, nors jos užraše yra 4 skaičiai.

Kiekviena šeima gali būti „paversta“ aibe, jei ( ) skliaustus pakeisimeriestiniais. Toks pavertimas visada susijęs su informacijos praradimu, nesobjektas {xi | i ∈ I} jau „nebeatsimena“ buvusio savo elementų statusošeimoje (xi | i ∈ I). Pavyzdžiui,

{1, 2, 3}aibė „nežino“, iš kokios šeimos elementų ji buvo gauta:

(1, 2, 3), (1, 3, 2) ar (1, 1, 2, 2, 3).

Kiekviena aibė gali būti paversta šeima. Tiksliau, kiekvienai aibei Agalima rasti tokią šeimą (xi | i ∈ I) (aišku, ne vienintelę), kad

A = {xi | i ∈ I}.Paprasčiausias būdas — indeksuoti šeimą A aibės elementais, t.y. paimtiI = A ir apibrėžti xi = i.

Šeimos, indeksuotos keliais indeksais. Dažnai tenka nagrinėti rinki-nius, indeksuotus ne vienu, o keliais indeksais. Pavyzdžiui užrašas

(xij | 1 6 i 6 j 6 3) (3.1)žymi šeimą su tokiais nariais: x11, x12, x13, x22, x23 ir x33.

Tokių šeimų nagrinėjimui nereikia kažkokios naujos teorijos. Galimaįsivaizduoti, kad tai — įprasta šeima, tik jos indekso reikšmės yra ne skaičiai,o skaičių poros (i, j). Pavyzdžiui, (3.1) šeima gali būti užrašyta

(xij | (i, j) ∈ K

)(3.2)

38 3 SKYRIUS. ŠEIMOS

pavidalu; čia indeksų aibė K susideda iš 6 porų:

K = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)}.

Pastabos dėl sintaksės. 1. Formaliai žiūrint reiktų rašyti ne xij , o x(i,j),bet taip niekas nedaro. Tiesa, kablelis kartais padedamas, kai kyla dvipras-mybės pavojus. Tarkime, užrašas x2ij gali būti suprantamas bent 4 skirtingaisbūdais:

x2ij , x2,ij , x2i,j arba x2,i,j.

Pirmuoju atveju turėtų būti apibrėžta seka (xn) ir x2ij reikštų jos narį,atitinkantį n = 2ij sandaugą. Antru ir trečiu atvejais turėtų būti apibrėžtadviem indeksais indeksuota seka xmn; x2i,j reikštų jos narį, atitinkantįm = 2i,n = j, o x2,ij — narį, atitinkantį m = 2 ir n = ij. Paskutiniuoju atveju turibūti apibrėžta trim indeksais indeksuota seka. Jei iš konteksto neaišku, kurisatvejis yra tikrasis, reiktų padėti kablelį.

2. Dažnai xij pavidalo užrašas maišomas su xij . Pastarasis turi prasmę,kai

1) apibrėžta tam tikra šeima (xi | i ∈ I);2) apibrėžta tam tikra I aibės elementų šeima (ij | j ∈ J).

Tada (xi) šeimos ij-asis narys ir bus žymimas xij .Pavyzdžiui, jei I = J = N, xi = i2, o ij = 2j, tai

xij = i2j = (2j)

2 = 4j2.

Jeigu ir j būtų konkretus skaičius, tarkime, 3, tai xij būtų lygus 36.Šiame pavyzdyje simbolis xij prasmės neturi (nebent ij reikštų i ir j

skaičių sandaugą). Kita vertus, jei duota dviem indeksais indeksuota šeima(xij) (apibrėžta, pavyzdžiui, formule xij = i + j), tai neturi prasmės xijsimbolis.

3. Jei šeima užrašoma ne standartiniu pavidalu, irgi atsiranda galimybėužrašą traktuoti neteisingai. Tarkime, (3.1) užrašas gali būti traktuojamasne tik kaip (3.2), bet yra ir dar bent dviem būdais.

Pavyzdžiui, galima laikyti, kad užraše 1 6 i 6 j 6 3 „kinta“ tik i; tadakiekvienai fiksuotai j reikšmei turėtume vienu indeksu indeksuotą šeimą:

(xi1 | 1 6 i 6 1), (xi2 | 1 6 i 6 2), (xi3 | 1 6 i 6 3).

Kiekviena iš tų trijų šeimų yra tam tikras (3.2) šeimos pošeimis.Dažniausiai iš konteksto yra aišku, kuris traktavimas yra teisingas. O kai

neaišku — dažnai tas būna nesvarbu.

3.2. AIBIŲ ŠEIMOS 39

Tuščioji šeima. Patogu įsivaizduoti, kad egzistuoja vienintelė šeima sutuščia indeksų aibe. Ji vadinama tuščiąja šeima.

Specialaus žymens tuščiai šeimai nėra. Dažniausiai ji pažymima netiesio-giai — kaip išsigimęs bendresnio žymens atvejis. Tarkime, pavyzdžiui, kad

(xk | m 6 k < n)

yra skaičių šeima, indeksuota sveikaisiais skaičiais nuo m iki n. Jei m < n,ta šeima yra (n −m)-atis vektorius. Jei m = n, tas reiškinys žymi tuščiąjąšeimą, nes nėra nė vieno indekso k, tenkinančio sąlygą m 6 k < m.

3.2 Aibių šeimos

Šeimos elementai nebūtinai turi būti skaičiai. Šiame skyrelyje kalbėsiu apiešeimas, kurių elementai yra aibės.

Aibių Dekarto sandauga. Aibių šeimos (Ai | i ∈ I) Dekarto sandaugavadinama aibė

∏

i∈IAi = {(xi | i ∈ I) | ∀i ∈ I xi ∈ Ai}.

Kitaip tariant, Dekarto sandauga susideda iš tokių šeimų (xi | i ∈ I), kadxi ∈ Ai su visais i.

Jei visos Ai sutampa su tam tikra aibe A, sandauga∏

i∈I Ai žymimatiesiog AI . Taigi AI yra aibė visų A aibės elementų šeimų su indeksų aibe I.

Jei kiekvienas (xi | i ∈ I) šeimos narys priklauso A aibei, tai (xi) ∈ AI .Bet man toks užrašas atrodo per daug „moksliškas“; todėl šioje knygoje ašrašau (xi) ⊂ A (lyg šeima (xi) sutaptų su aibe {xi | i ∈ I}). Pavyzdžiui,formulė

∃(xn) ⊂ A . . .reiškia

egzistuoja tokia A aibės elementų seka (xn), kad . . . .

Aibių sekos (An) Dekarto sandauga dar žymima∏∞

n=1An, o kai visos Ansutampa su A — dar ir A∞.

Aibių šeimos (A1, . . . , An) Dekarto sandauga žymima A1 × · · · ×An. Kaivisos Ai sutampa su A, rašome tiesiog An. Pavyzdžiui,

A× B = {(x, y) | x ∈ A, y ∈ B}, A3 = {(x, y, z) | x, y, z ∈ A}.

Dviejų intervalų Dekarto sandauga yra stačiakampis (žr. 3.2 pav.) Jeidauginami ne intervalai, tas „stačiakampis“ gali būti ir labai keisto pavidalo.

40 3 SKYRIUS. ŠEIMOS

| ||

|

1 4

1

2

| |

||

1 4

1

2

3.2 pav. [1; 4] × [1; 2] ir [1; 4] × {1, 2} stačiakampiai

Tuščiosios šeimos Dekarto sandauga. Tuščios aibių šeimos Dekartosandauga yra vientaškė aibė: vienintelis jos elementas yra tuščioji šeima.Pavyzdžiui, Rn yra aibių šeimos (R | 1 6 i 6 n) (t.y. n-elementės šeimos, ku-rios visi elementai yra ta pati R aibė) Dekarto sandauga. Kai n = 0, indeksųaibė tampa tuščia; todėl R0 yra tos tuščios šeimos Dekarto sandauga. TaigiR0 yra vienelementė aibė. Vienintelis jos elementas paprastai žymimas 0.Tada

R0 = {0}.

Aišku, vietoje R čia galėtų būti bet kokia aibė. Kadangi tuščioji šeimatėra tik viena, tai A0 = B0 su bet kokiomis A ir B. Čia nieko stebėtino, nesir bet kokio skaičiaus nulinis laipsnis yra tas pats skaičius 1.

3.1 pratimas. Ar duoti taškai priklauso A aibei?

I. (2004) A = N × {−1, 0, 1}, a = (0, 0), b = (1, 2), c = (2.3, 1), d =(2,−1).

II. A =((1; 3] × (1; 3]

)\((2; 4) × (2; 4)

), a = (1, 2), b = (2, 2), c = (2, 3),

d = (3, 3).

Sprendimas. (Žr. 3.3 pav.) I. a, b, c 6∈ A; d ∈ A.II. a, d 6∈ A; b, c ∈ A.Paaiškinimas. I. a 6∈ A, nes 0 6∈ N. b 6∈ A, nes 2 6∈ {−1, 0, 1}. c 6∈ A, nes

2.3 6∈ N. d ∈ A, nes 2 ∈ N ir −1 ∈ {−1, 0, 1}.II. a 6∈ A, nes a 6∈ (1; 3] × (1; 3]. b, c ∈ A, nes b, c ∈ (1; 3] × (1; 3] ir

b, c 6∈ (2; 4) × (2; 4). d 6∈ A, nes d ∈ (2; 4) × (2; 4).

Aibių šeimos junginys ir sankirta. Aibių šeimos (Ai | i ∈ I) junginysir sankirta apibrėžiami taip:

⋃

i∈IAi = {x | ∃i ∈ I x ∈ Ai},

⋂

i∈IAi = {x | ∀i ∈ I x ∈ Ai}.

3.2. AIBIŲ ŠEIMOS 41

||

1 2 3

−1

1

��

��

��

�

�

�

�

�

�

�

a

b

c

d

| | |

1 2 3

||

|

1

2

3

��

��

a b

c d

3.3 pav. Žr. 3.1 pratimą

Kitaip tariant, junginys susideda iš taškų, kurie priklauso bent vienai iš Ai,o sankirta — iš taškų, priklausančių visoms Ai aibėms.

Aibių sekos junginys ir sankirta dar žymimi⋃∞

n=1An ir⋂∞

n=1An.

3.2 pratimas. Apskaičiuokite⋃∞

n=1An ir⋂∞

n=1An.

I. An = (−1/n; 1/n).

II. An = (1/n; 1).

III. An = {−n, n}.

Sprendimas. I.⋃

nAn = (−1; 1),⋂

nAn = {0}.II.⋃

nAn = (0; 1),⋂

nAn = ∅.III.

⋃nAn = Z \ {0},

⋂nAn = ∅.

Paaiškinimas. I. Kadangi (−1; 1) ⊃ (−1/2; 1/2) ⊃ (−1/3; 1/3) ⊃ . . . ,tai sekos junginys sutampa su pirmąja aibe. Visoms An priklauso tik vienastaškas 0; todėl sankirta yra vientaškė aibė.

Jei pastarąjį sakinį reiktų įrodyti (pavyzdžiui, jei užduotyje būtų parašyta„Atsakymą pagrįskite“), sakyčiau tokius žodžius. Pažymiu A =

⋂nAn.

Kadangi −1/n < 0 < 1/n, tai 0 ∈ An su visais n ir reiškia, 0 ∈ A. Jeix > 0, tai pažymėjęs n = [1/x] + 1 gaunu 1/x < n; todėl x > 1/n ir x 6∈ An.Taigi joks teigiamas x nepriklauso sankirtai A. Analogiškai įrodoma, kadjoks neigiamas x nepriklauso A. Reiškia, A = {0}.

II. Kadangi A1 = (1; 1) = ∅, sekos sankirta tuščia. Junginys sutampasu (0; 1), nes bet koks skaičius iš to intervalo patenka į An su pakankamaidideliu n. (Tiksliau, x ∈ An, kai n > 1/x; pavyzdžiui, kai n = [x] + 1.)

III. Sankirta tuščia, nes jau pirmos dvi aibės nesikerta.

42 3 SKYRIUS. ŠEIMOS

Tuščios šeimos junginys ir sankirta. Tuščios aibių šeimos junginiulaikoma tuščia aibė. Iš apibrėžimo išplaukia, kad

x ∈⋃

i∈∅Ai ⇐⇒ ∃i ∈ ∅ x ∈ Ai.

Dešinėje ekvivalencijos pusėje esanti formulė visada klaidinga, nes nėra nėvieno i, priklausančio tuščiajai aibei. Todėl klaidinga ir kairioji formulė,t.y. joks x nepriklauso tuščiai sąjungai. Tai ir reiškia, kad

⋃

i∈∅Ai = ∅.

Tuščios aibių šeimos sankirta apskritai neapibrėžta. Iš sankirtos apibrė-žimo išplaukia, kad

x ∈⋂

i∈IAi ⇐⇒ ∀i ∈ I x ∈ Ai.

Formulė ∀i ∈ I x ∈ Ai reiškia tą patį, ką ir formulė i ∈ I ⇒ x ∈ Ai. KaiI = ∅, pastaroji formulė visada teisinga; reiškia, visada teisinga ir formulė

∀i ∈ ∅ x ∈ Ai.

Taigi jei⋃

i∈∅Ai simbolis būtų apibrėžtas, jis turėtų žymėti visų galimųelementų aibę. Tačiau tokia sąvoka logiškai prieštaringa (žr. 5 skyrių). Todėltuščioji sankirta ir neapibrėžiama.

Tačiau jei visos nagrinėjamos aibės yra tam tikros fiksuotos aibės E po-aibiai (pavyzdžiui, kai nagrinėjamos tik skaičių aibės; tada E = R), daž-nai susitariama tuščios šeimos sankirta laikyti visų galimų E elementų aibę,t.y. apibrėžiama ⋂

i∈∅Ai = E.

Pabrėšiu, kad tai visada yra tik susitarimas. Kai nagrinėjamos skaičiųaibės, laikoma

⋂i∈∅Ai = R, kai nagrinėjamos vektorių aibės, susitariama

laikyti⋂

i∈∅Ai = Rn. Tačiau kiekvienu momentu galioja tik vienas susitari-

mas; todėl prieštaros R = Rn gauti negalima.

Teiginių apie aibes įrodinėjimas. Įrodinėdami teiginius apie aibių šeimųDekarto sandaugas, junginius ir sankirtas, naudojamės tokiomis formulėmis:

(x, y) ∈ A× B ⇐⇒ x ∈ A, y ∈ B;

3.2. AIBIŲ ŠEIMOS 43

x ∈⋃

i∈IAi ⇐⇒ ∃i ∈ I x ∈ Ai;

x ∈⋂

i∈IAi ⇐⇒ ∀i ∈ I x ∈ Ai.

Šį sąrašą galima būtų papildyti ir tokia formule:

(xi) ∈∏

i∈IAi ⇐⇒ ∀i ∈ I xi ∈ Ai.

Tačiau per egzaminą duodamuose uždaviniuose aš apsiriboju tik dviejų aibiųDekarto sandauga.

Įrodysiu, pavyzdžiui, tokias De Morgano formules (jos yra anksčiau turėtųDe Morgano formulių apibendrinimas):

E \⋃

i∈IAi =

⋂

i∈I(E \ Ai);

E \⋂

i∈IAi =

⋃

i∈I(E \ Ai).

Jei x priklauso junginio papildiniui, tai

x ∈ E, x 6∈⋃

i

Ai;

x ∈ E ir netiesa, kad ∃i x ∈ Ai;x ∈ E, ∀i x 6∈ Ai;∀i (x ∈ E, x 6∈ Ai);

∀i x ∈ E \ Ai;x ∈

⋂

i

(E \ Ai).

Atvirkščia implikacija įrodoma panašiai; reikia perrašyti visas formulesatvirkščia tvarka, pradedant apatine ir baigiant viršutine (ir, aišku, įsitikinti,kad kiekviena rašoma formulė išplaukia iš anksčiau parašytos). Jei viskąsąžiningai darytumėme, turėtume pamatyti problemą: neaišku, kaip iš

∀i (x ∈ E, x 6∈ Ai)

gautix ∈ E, ∀i x 6∈ Ai.

Jei I aibė netuščia, problema nesunkiai išsprendžiama. Paimkime betkokį i0 ∈ I; tada iš ∀i (x ∈ E, x 6∈ Ai) išplaukia x ∈ E, x 6∈ Ai0 ir, reiškia,

44 3 SKYRIUS. ŠEIMOS

tikrai x ∈ E. Jei indeksų aibė tuščia, šis samprotavimas netinka, tačiau šiuoatveju sankirta apskritai neapibrėžta ir nieko įrodinėti nereikia.

Pastebėsiu, kad įrodyta De Morgano formulė išliks teisinga ir I = ∅atveju, jei susitarsime, kad

⋂i∈∅Ai = E.

Antroji De Morgano formulė įrodoma panašiai.3.3 pratimas. Ar teisingas duotas teiginys? Jei taip, įrodykite; jei

ne, duokite kontrpavyzdį.

I. ∅ × A = ∅.

II. (A1 × B1) ∩ (A2 ×B2) = (A1 ∩A2) × (B1 ∩ B2).

III.⋃

i∈I Ai ×⋃

i∈I Bi =⋃

i∈I(Ai ×Bi).

Sprendimas. I. Iš (x, y) ∈ ∅ × A išplaukia x ∈ ∅, t.y. prieštara. Reiškia,∅ × A aibėje nėra nė vieno elemento, t.y. ji tuščia.

II. Jei (x, y) ∈ (A1 × B1) ∩ (A2 ×B2), tai

(x, y) ∈ A1 × B1, (x, y) ∈ A2 × B2;x ∈ A1, y ∈ B1, x ∈ A2, y ∈ B2;

x ∈ A1 ∩ A2, y ∈ B1 ∩ B2;(x, y) ∈ (A1 ∩ A2) × (B1 ∩B2).

Atvirkščia implikacija įrodoma analogiškai.III. Formulė neteisinga, kai A1 = B2 = {0}, A2 = B1 = ∅.Paaiškinimas. III. Jei iškart nematyčiau, kad teiginys neteisingas, ban-

dyčiau jį įrodyti. Mąstymo eiga galėtų būti tokia.Jei (x, y) priklauso kairėje pusėje esančiai aibei, tai

x ∈⋃

i

Ai, y ∈⋃

i

Bi;

∃i x ∈ Ai, ∃i y ∈ Bi.

Dabar reiktų parašyti formulę

∃i (x ∈ Ai, y ∈ Bi).

Deja ji niekaip neišplaukia iš anksčiau parašytos formulės: x priklauso kaž-kuriai iš Ai aibių, y — kažkuriai iš Bi aibių, bet tai nereiškia, kad abiejųaibių indeksai sutampa. Kitaip tariant, aš galiu gauti

∃i ∃j (x ∈ Ai, y ∈ Bj),

3.3. SKAIČIŲ SUMOS IR SANDAUGOS 45

bet niekaip negaliu įrodyti, kad i = j.Gal būt, tai reiškia, kad įrodinėjama formulė neteisinga? Pabandysiu

sukonstruoti kontrpavyzdį. Reikia, kad būtų du skirtingi indeksai; todėlpaimu I = {1, 2}. Reikia, kad kažkoks x priklausytų A1 aibei, o kažkoks y —B2 aibei; tegu x = y = 0 ir A1 = B2 = {0}. Galiausiai paimu A2 = B1 = ∅.Tada

⋃

i

Ai ×⋃

i

Bi = (A1 ∪ A2) × (B1 ∪B2) = {0} × {0} = {(0, 0)},

o ⋃

i

(Ai × Bi) = (A1 ×B1) ∪ (A2 × B2) = ∅ ∪ ∅ = ∅.

3.3 Skaičių sumos ir sandaugos

Apibrėžimas ir žymėjimas. Jei (xi | i ∈ I) yra baigtinė skaičių šeima,tai∑

i∈I xi ir∏

i∈I xi ženklais žymime, atitinkamai, visų tos šeimos nariųsumą ir sandaugą. Pavyzdžiui, jei I = {1, 3, 7} ir x1 = 1, x3 = 1, x7 = 4, tai

∑

i∈Ixi = 1 + 1 + 4 = 6, o

∏

i∈Ixi = 1 · 1 · 4 = 4.

Jei I = {k, k+ 1, . . . , l}, suma ir sandauga žymimos dar ir taip:∑l

i=k xi,∏li=k xi. Pavyzdžiui,

5∑

i=2

i2 = 4 + 9 + 16 + 25 = 54,3∏

i=3

1

i=

1

3.

Visuose tokiuose reiškiniuose sumavimo (ar daugybos) kintamasis yra su-varžytas. Negalima rašyti

5∑

3=1

32,

o reiškiniai5∑

i=1

i2 ir5∑

k=1

k2

žymi tą patį skaičių 12 + 22 + 32 + 42 + 52 (kuris lygus 55).Jei

∑i∈I xi pavidalo reiškinyje be i yra ir daugiau kintamųjų, visi jie

yra laisvi. Toks reiškinys tada gali būti interpretuojamas kaip nauja šeima,indeksuota tais laisvais kintamaisiais. Pavyzdžiui, reiškinyje

3∑

i=1

1

i+ j

46 3 SKYRIUS. ŠEIMOS

j kintamasis yra laisvas. Todėl galima apibrėžti naują šeimą (yj), pažymėjus

yj =3∑

i=1

1

i+ j

(aišku, reiktų dar nurodyti j indekso galimų reikšmių aibę). Tada

y0 =

3∑

i=1

1

j= 1 +

1

2+

1

3=

11

6,

y1 =3∑

i=1

1

j + 1=

1

2+

1

3+

1

4=

13

12

ir t.t.(yj) šeimos narius vėl galima sudėti arba sudauginti. Jei, tarkime, san-

daugą žyminčiame reiškinyje, parašytume ne simbolį yj, o jo išraišką persumą, gautume gan baisiai atrodantį reiškinį. Bet tokius reiškinius reikiamokėti iššifruoti. Pavyzdžiui,

1∏

j=0

3∑

i=1

1

i+ j=

1∏

j=0

yj = y0y1 =11

6· 1312

=143

72.

3.4 pratimas. Apskaičiuokite.

I.∑2

i=1

∏4j=2(i+ j).

II.∏4

j=2

∑2i=1(i+ j).

III.∑3

i=1

∑3j=i j.

Sprendimas. I.

2∑

i=1

4∏

j=2

(i+ j) =

4∏

j=2

(1 + j) +

4∏

j=2

(2 + j) = 3 · 4 · 5 + 4 · 5 · 6 = 60 + 120 = 180.

II.

4∏

j=2

2∑

i=1

(i+ j) =

2∑

i=1

(i+ 2)

2∑

i=1

(i+ 3)

2∑

i=1

(i+ 4)

= (3 + 4) · (4 + 5) · (5 + 6) = 7 · 9 · 11 = 693.

3.3. SKAIČIŲ SUMOS IR SANDAUGOS 47

III.3∑

i=1

3∑

j=i

j =

3∑

j=1

j +

3∑

j=2

j +

3∑

j=3

j = (1 + 2 + 3) + (2 + 3) + 3 = 14.

Paaiškinimas. I. Skaičiuojant iš pradžių galima buvo iššifruoti sandaugossimbolį:

2∑

i=1

4∏

j=2

(i+ j) =2∑

i=1

(i+ 2)(i+ 3)(i+ 4) = 3 · 4 · 5 + 4 · 5 · 6 = 60 + 120 = 180.

Kitus du uždavinius taip pat galima spręsti dviem būdais.

Konstantos iškėlimas prieš sumos ženklą. Suformuluosiu keletą for-malių operavimo sumomis taisyklių. Pirmoji sako, kad konstantą galimaiškelti prieš sumos ženklą:

∑

i∈Icxi = c

∑

i∈Ixi.

Reiktų jausti, kodėl ta taisyklė teisinga. Pavyzdžiui, I = {1, 2, 3, 4} atveju jireiškia, kad

cx1 + cx2 + cx3 + cx4 = c(x1 + x2 + x3 + x4),

t.y. kad pasikartojantį daugiklį galima iškelti prieš skliaustus.

Sumų suma. Sumuojant narius, kurių kiekvienas yra dviejų dėmenų suma,galima atskirai susumuoti pirmus dėmenis, po to — antruosius dėmenis irgautas sumas sudėti:

∑

i∈I(xi + yi) =

∑

i∈Ixi +

∑

i∈Iyi.

Pavyzdžiui, I = {1, 2, 3} atveju parašyta lygybė reiškia, kad(x1 + y1) + (x2 + y2) + (x3 + y3) = (x1 + x2 + x3) + (y1 + y2 + y3).

Štai pirmų dviejų taisyklių taikymo pavyzdys. Aš dažnai pamirštu arit-metinės progresijos sumos formulę, bet atsimenu, kad

1 + 2 + · · ·+ n = n(n+ 1)2

.

Tada pirmų nelyginių skaičių sumą skaičiuoju taip:n∑

i=1

(2i− 1) = 2n∑

i=1

i−n∑

i=1

1 = 2n(n + 1)

2− n = n2.

48 3 SKYRIUS. ŠEIMOS

Sumavimas blokais. Tarkime, indeksų aibė I yra dviejų nesikertančiųdalių junginys:

I = I1 ∪ I2 ir I1 ∩ I2 = ∅.Tada ∑

i∈Ixi =

∑

i∈I1

xi +∑

i∈I2

xi.

Pavyzdžiui, I1 = {1, 2} ir I2 = {3, 4, 5} atveju parašyta lygybė iššifruojamataip:

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = (x1 + x2) + (x3 + x4 + x5).

Aišku, sumas galima skaidyti ne tik į du, bet ir į daugiau gabalų. Norintsuformuluoti atitinkamą taisyklę bendruoju atveju, reikalinga aibės skaidiniosąvoka. Aibių šeima (Ij | j ∈ J) vadinama I aibės skaidiniu, jei Ij aibės kasdvi nesikerta ir jų junginys yra I t.y.

j1 6= j2 ⇒ Ij1 ∩ Ij2 = ∅ ir I =⋃

j∈JIj.

Aukščiau suformuluotos sumavimo taisyklės apibendrinimas skamba taip:jei (Ij | j ∈ J) yra I aibės skaidinys, tai

∑

i∈Ixi =

∑

j∈J

∑

i∈Ij

xi.

Sumavimo kintamojo keitimas. Nesunku įsitikinti, kad

4∑

i=1

1

i+ 1=

1

2+

1

3+

1

4+

1

5=

5∑

j=2

1

j.

Pažiūrėkime, kaip galima formaliai gauti dešinį šios grandinės narį iš kairiojo.Reikia atlikti du veiksmus:

a) į 1i+1

išraišką vietoje i įstatyti j − 1;b) pakeisti „sumavimo pagal j rėžius“: kairėje sumoje i indekso kitimo

sritis buvo {1, 2, 3, 4} aibė, o naujojo indekso — {2, 3, 4, 5} aibė.Dabar pabandysiu suformuluoti bendrą taisyklę. Tam šeimą 1

i+1pakeičiu

bet kokia šeima (xi | i ∈ I), o reiškinį j − 1 — bet kokiu reiškiniu ϕ(j).Gaunu lygybę ∑

i∈Ixi =

∑

j∈Jxϕ(j).

Tam, kad ji būtų teisinga, ϕ(j) funkcija turi abipus vienareikšmiškai atvaiz-duoti J į I. Tai reiškia, kad turi būti patenkintos dvi sąlygos:

3.3. SKAIČIŲ SUMOS IR SANDAUGOS 49

a) ϕ(j) reikšmių, atitinkančių j ∈ J , aibė turi būti I, t.y.

{ϕ(j) | j ∈ J} = I;

b) skirtingus j turi atitikti skirtingos ϕ(j) reikšmės, t.y.

j1 6= j2 ⇒ ϕ(j1) 6= ϕ(j2).

Štai pavyzdys, iliustruojantis sumavimo gabalais ir kintamojo keitimotaisyklę. Įrodysiu, kad

(1 − x)(1 + x+ · · ·+ xn−1) = 1 − xn.

Tikrai, kairė pusė lygi

(1 − x)n−1∑

i=0

xi =n−1∑

i=0

xi − xn−1∑

i=0

xi

=n−1∑

i=0

xi −n−1∑

i=0

xi+1

(įkėliau konstantą už sumos ženklo)

=

n−1∑

i=0

xi −n∑

j=1

xj

(atlikau kintamojo keitinį j = i+ 1)

= 1 +

n−1∑

i=1

xi −n−1∑

j=1

xj − xn

(pirmoje sumoje atskyriau narį su i = 0; antroje — narį su j = n)

= 1 − xn.

Dvilypės sumos. Dažnai tenka sumuoti šeimas, indeksuotas ne vienu, o,tarkime, dviem indeksais; pavyzdžiui,

∑

16i6j63

xij = x11 + x12 + x13 + x22 + x23 + x33.

Tokia suma vadinama dvilype suma.

50 3 SKYRIUS. ŠEIMOS

| | |

||

|

�

�

�

�

��

{1} × J1

{2} × J2

{3} × J3