Analog HaberleÅŸme I

Elektronik ve Hab. Müh. Analog Haberleşme - Sıtkı ÖZTÜRK

1

KAYNAKLAR

1. Signals and Systems, Alan V. Oppenhein , Alan S. Willsky, Ian T. Young - Prentice Hall Signal Processing Series (1983)

2. Principles of Communication Systems, Taub-Schilling - Mc Graw-Hill Serisi (1980) 3. Modern Electrical Communications, Theory and Systems, H.Strak, F.B. Tuteur, -

Prentice Hall International, Inc. (1979) 4. Modern Electrical Communications, Analog, Digital and Optical Systems, Henry

Stark, Franz B. Tuteur, John B. Anderson – Prentice Hall International 5. Modern Digital and Analog Communication Systems, Bhagwandas Pannalal

LATHI – Holt, Rinehart and Winston, Inc. (1989) 6. Advanced Electronic Communications System, Wayne Toması - Prentice Hall

International, Inc. (1992) 7. Signals and Linear Systems, Robert A. Gabel, Richard A. Roberts – John Wiley &

Sons (1973) 8. Signal Analysis, Athanasios Papoulis – McGraw-Hill Book Company (1977) 9. İletişim Kuramı, Haluk Derin, Murat Aşkar (O.D.T.Ü) 10. Modülasyon Teorisi, Prof. Dr. Erdal Panayırcı (İ.T.Ü) 11. Modülasyon Teorisi, Prof. Dr. Mümtaz Yılmaz (K.T.Ü) 12. Analog Haberleşme + Sayısal Haberleşme + İşaret İşleme, Prof. Dr. Ahmet

H.Kayran (İTÜ)


2

HABERLE ŞME TEOR İSİ

1. Giriş 1.1. Haberleşme Sistemlerinde Temel Kavramlar

2. Modülasyonun Amacı

2.1 Modülasyon Çeşitleri 2.1. Çift Yan Bant Modülasyonu (Double Side Band Modulation=DSB) 2.2. Taşıyıcılı Çift Yan Bant Modülasyonu (Genlik Modülasyonu) (Amplitude

Modulation=AM) 2.2.1. Modülasyon endeksi (ma) 2.2.2. Genlik Modülasyonlu İşaretin Spektrumu ve Fazör Çizimi

2.3.Genlik Modülatörleri 2.4.Tek Yan Bant Modülasyonu (Single Side Band Modulation=SSB)

2.4.1. Tek Yan Bant Modülasyonlu İşaretin Elde Edilmesi 2.4.1.1. Filtre Yöntemi 2.4.1.2. Hilbert Dönüşümü ve Özellikleri 2.4.1.3. Faz Yöntemi

2.5.Artık Yan Bant Modülasyonu (Vestigal Side Band Modulation=VSB) 2.6.Dik Modülasyon (Quadrature Modulation=QM)

3. Genlik Modülasyonlu İşaretin Alınması

3.1. Senkron Demodülasyon 3.2. Senkron Olmayan Demodülasyon

3.2.1. Genlik Modülasyonlu İşaretin Zarfı 3.3.Taşıyıcı Eklenerek Genlik Modülasyonlu İşaretin Demodülasyonu 3.4.Süperheterodin (Frekans Değiştirmeli) Alıcı Prensibi

4. Üstel Modülasyon (Açı Modülasyonu)

4.1.Üstel Modülasyonlu İşaretin Matematiksel İfadesi 4.1.1. Faz Modülasyonu (Phase Modülation=PM) 4.1.2. Frekans Modülasyonu (Frequency Modülation=FM)

4.2.Üstel Modülasyonlu İşaretin Spektrumu 4.2.1. Dar Bant FM (Narrow Band Frequency Modülation=NBFM) 4.2.2. Geniş Bant FM 4.2.3. Bessel Katsayılarının Özellikleri 4.2.4. Sinüzoidal Modüle Edilmiş FM İşaretinin Bant Genişliği

4.3.Frekans Modülasyonlu İşaretin Üretilmesi 4.3.1. Direkt Yöntem 4.3.2. Dolaylı Yöntem (Amstrong Yöntemi)

4.4.FM İşaretinin Alınması 4.4.1. Frekans Ayırma

4.4.1.1.FM’den AM’e Dönüşüm 4.4.1.2.Eğim Dedeksiyonu (Slope Detection)

4.4.2. Faz Kilitleme Çevrimi (Phase Locked Loop ==PLL) 4.5.Stero FM Verici ve Alıcı Prensibi


3

FOURIER DÖNÜŞÜM ÖZELL İKLER İ ÖZELLİKLER m(t) M(f) M(w)

Parseval teoremi ∫

∞

∞−dttytv ).().( * ∫

∞

∞−dffYfV ).().( * ∫

∞

∞−dwwYwV ).().(

21 *π

Lineerlik a.v(t) + b.y(t) a.V(f) + b.Y(f) a.V(w) + b.Y(w)

Gecikme )( ottv − ojwtefV −).( ojwtewV −).(

Ölçek değişikli ği

v(at) )(1af

Va

)(1awV

a

Dualite V(t) v(-f) 2π.v(-w) Frekansda

Kayma tjwoetv ).( V(f-f o) V(w-w0)

Modülasyon v(t).Coswot [ ])fV(f)f-V(f21

oo ++ [ ])wV(w)w-V(w21

oo ++

Türev )(tvdtd

n

n )(.)( fVjw n )(.)( wVjw n

Integral ∫∞−

t

dv ττ)( )(1)(21 fV

jwf

+δ )(1)( wV

jwf

+πδ

Frekansda türev )(. tvtn )(

)2(1 fV

dfd

j n

n

nπ− )(

)(1 wV

dwd

j n

n

n−

Konvolüsyon ∫∞

∞−−

=

τττ dtyv

tytv

)().(

)(*)(

)().( fYfV )().( wYwV

Çarpma v(t).y(t) ∫∞

∞−−

=

λλλ dfYV

fYfV

)().(

)(*)(

∫∞

∞−−

=

λλλπ

π

dwYV

wYwV

)()(21

)(*)(21

Time reversal v(-t) V(-f) V(-w)

[ ] ∫∞

∞−

−== dttvtvFfV jwte).()()(

[ ] ∫∞

∞−

−== dttvtvFwV jwte).()()(

[ ] ∫∞

∞−

− == dwwVwVFtv jwte).(21)()( 1π

[ ] ∫∞

∞−

− == dffVfVFtv jwte).()()( 1

)(. tdfCoswtdfjwte δ== ∫∫∞

∞−

∞

∞−

±


4

)(2)(. wfdtCoswtdtjwte πδδ === ∫∫∞

∞−

∞

∞−

±

)(2. tdwCoswtdwjwte πδ== ∫∫∞

∞−

∞

∞−

±

BAZI FOUR İER DÖNÜŞÜM ÇİFTLER İ

m(t) M(f) M(w) )(tδ 1 1

)( 0tt −δ 0jwte−

0jwte−

1 )(fδ )(2 wπδ

u(t) jwf 1)(

21 +δ

jww 1)( +πδ

Sgn(t)=u(t)-u(-t) fjπ1

fjπ1

tπ1 -jsgn(f) -jsgn(w)

0)(. >− atuate jwa +1

jwa +1

0)(.. >− atut ate 2)(1jwa +

2)(

1jwa +

0>− atae 221

wa +

221

wa +

( )τtA ∏. fSincA ττ..

( )( )

2

2..w

wSinA τ

ττ

∑∞

−∞=−

nnTtv )( 0 )(.)(1

000

nffnfVT

n−∑

∞

−∞=δ )(.)(1

000

nwwnwVT

n−∑

∞

−∞=δ


5

BÖLÜM 1

HABERLE ŞME SİSTEMLER İNDE TEMEL KAVRAMLAR

1.1. HABERLE ŞMENİN AMACI Herhangi bir biçimdeki bilginin (enformasyonun) zaman ve uzay içinde, KAYNAK adı verilen bir noktadan KULLANICI olarak adlandırılan bir başka noktaya aktarılmasıdır. Haberleşme sistemleri istenilen haberleşme türüne göre tasarlanır. Çeşitli haberleşme türlerine şu örnekleri verebiliriz.

1. Birbirinden uzakta A ve B kişileri birbirlerine bir bilgi göndermek isterse, HAT adı verilen bir bilgi iletim kablosu kullanabilir.

2. Birbirleriyle konuşmak isteyecek binlerce kişi varsa, bir veya birkaç merkezi anahtarlama istasyonu bulunan bir telefon sistemi kullanılabilir.

3. Kısa uzaklıklar içinde birbirlerine bilgi iletmek isteyen az sayıda kullanıcı varsa ve bunlar sürekli yer değiştiriyorlarsa, telsiz sistemi kullanılabilir.

4. Çok sayıda kullanıcıya bilgi göndermek isteyen tek bir kaynak varsa, bir radyo veya televizyon sistemi kullanılabilir.

Bir bilginin bir yerden alınıp başka bir yere iletimi için kullanılan haberleşme sistemi,

• Haberin cinsine, • Haberleşmenin çeşidine,

göre değişik olmakla beraber, genel prensip olarak Şekil 1.1. deki blok yapı olarak verilebilir. HABER GÖNDEREN TARAF (VERİCİ=TRANSMITTER) HABER ALAN TARAF (ALICI =RECEIVER)

Şekil 1.1. Genel haberleşme sistemi blok yapısı

Çeşitli bilgi kaynakları olduğu için giriş bilgisi değişik biçimlerde ortaya çıkabilir. Örneğin;

HABER KAYNAĞI

GİRİŞ DÖNÜŞTÜRÜCÜSÜ

KODLAMA (ENCODER) MODÜLATÖR

TRANSMİSYON ORTAMI GÜRÜLTÜ

KUVVET.

HABER DEĞERLEN.

ÇIKIŞ DÖNÜŞTÜRÜCÜ

KODÇÖZÜCÜ (ENCODER)

DEMODÜLATÖR (DETEKTÖR)

RF KUVVET


6

1. Konuşma ve müzik gibi zamanın sürekli bir fonksiyonu olarak, 2. Bilgisayarlar arası bilgi aktarımında kullanılan “0 ve 1” gibi ayrık sembollerden

oluşan diziler olarak, 3. Televizyondaki resmin renginin ve ışık şiddetinin zamanla değişimi gibi zamanın ve

diğer değişkenlerin fonksiyonu olarak, ortaya çıkabilir. Haber kaynağı tarafından üretilen giriş bilgisi bir dönüştürücü yardımı ile elektriksel akım ve gerilim değişimlerine dönüştürmek gerekir. Bu amaç için enerji dönüştürücülerden faydalanılır. Örneğin, konuşma işareti için akustik dalgalar bir mikrofon yardımı ile gerilim değişimlerine dönüştürülür. Resim işareti için ise foto-elektrik hücrelerden oluşan kamera ışık şiddetini gerilim değişimlerine dönüştürür. Dönüştürücü çıkışı elde edilen işaret, alıcıya gizlilik içinde ve hatasız olarak ulaşması için kodlanır. İletilecek ortama uygun hale getirilerek transmisyon ortamına verilir. Transmisyon ortamı (kanal) olarak, telli bağlantılar (havai hatlar, kablolar), telsiz bağlantılar (uzay), lazer ışınları (fiber optik) veya dalga kılavuzları (koaksiyel kablo) kullanılabilir. Kanal seçimi, haber çeşidi, ekonomi ve gürültüye bağlı olarak yapılır. Bir haberleşme sisteminde kanalın iki önemli özelliği iletişimi etkiler.

1. Distorsiyon, 2. Gürültü.

Eğer kanaldaki işaretin değişimi sadece bir sabit ile çarpımı veya bir zaman gecikmesi ile ifade edilebilirse kanal distorsiyonsuzdur. Aksi durumda distorsiyonludur. Kanalın diğer önemli etkisi de rasgele gürültüdür. Gürültüsüz bir ortamda işaretin iletimi oldukça basittir. Ancak pratik uygulamaların çoğunda rasgele gürültü daima vardır. Tasarımlarda gürültü içinde işaretin seçilebilirliğini sağlayıcı tedbirler alınır. Bu amaç için oldukça kompleks sistemler mevcuttur. Genel olarak, haberleşme sistemlerinden beklenenler şu şekilde özetlenebilir.

• Konuşma iletiminde, alıcı uçta elde edilen konuşmaların anlaşılır olması amaçlanır. Konuşanı tanıma önemli değildir.

• Veri (data) iletiminde, alıcı uçta elde edilen “1 ve 0”ların doğru olarak alınması gerekir. Hata BER (bit rate error) ile ölçülür.

BitToplamGönderilenBitHatalıAlinan =BER

• Müzik iletiminde, alıcıda alınan sesin orjinaline uygun olması beklenir. Doğal oluşum

bozulmamalıdır. • Resim iletiminde, alıcıda alınan resim aslına benzemelidir. İdeal durum aslının

kopyası olması durumudur. Yukarıda belirtilen özelliklerin sağlanması, haberleşme sistemini tasarlarken aşağıda belirtilen özelliklerin dikkate alınmasıyla gerçekleştirilebilir.


7

1. Bant genişliği: İşaretin frekans bileşenlerinin bilmesi, uygun devrelerin ve uygun kanalın bant genişliğinin seçimi için gereklidir.

2. Distorsiyon: Transmisyon yolu, işaretin bozulmadan iletimi için distorsiyonsuz olması gereklidir.

3. Zayıflama: İşaretin transmisyon zayıflamasının az olması istenir. Aksi durumda işareti gürültüden ayırmak güçleşir. Bu nedenle seviye ölçümleri yapılarak işaretin belirli seviyenin altına düşmesi önlenir.

4. İşaret, gürültü oranı (Signal to noise ration=S/N): İşarete ile gürültü arasındaki güç oranının belli seviyenin altında olmaması gerekir. İşarete bağlı olarak bu oran oldukça büyük olmalıdır.

5. Kanallar arası giri şim (cross talk): Çok kanallı işaret iletiminde kanalların birbirlerini bozmaması gerekir. Bunu sağlayıcı tedbirler alınır.

6. Data gönderme hızı: Bilgi miktarına bağlı olarak gönderme hızı, bant genişliğine bağlıdır. Bilgi miktarı Hartlay Kuralı ile ölçülebilir. Bu tanıma göre;

Bilgi miktarı (enformasyon)=Bant genişliği*iletim zamanı

7. Güç: İşaretin iletimi için gerekli güç seviyesinin de bilinmesi gerekir.

Sonuç olarak; haberleşme teorisi aşağıdaki iki temel sorunu optimum yolla çözmeyi amaçlar.

1. Verilen bir haberleşme kanalından aynı anda en çok ne kadar işaret iletilebilir. 2. Gürültü etkisinin maksimum ölçüde azaltılabilmesi için nasıl bir sistem

oluşturulabilir. 1.2. MODÜLASYONUN AMACI Modülasyon kısaca, işaretin frekans bileşenlerini, bulunduğu frekans bölgesinden, farklı bir frekans bölgesine taşımaktır. Bunu gerçekleştirirken aşağıdaki özellikler de gerçekleştirilmelidir.

1. Anten boyutlarını küçültmek. 2. Tüm frekans bölgesinden yararlanmak. 3. Aynı anda birden çok işareti iletmek (çoğullama yapmak). 4. İletim ortamına uymak. 5. Bozucu etkileri azaltmak. 6. Verici ve alıcı yapımını kolaylaştırmak.

1.3. MODÜLASYON ÇEŞİTLER İ Bir veya daha fazla bilginin aynı anda elektriksel olarak bir noktadan, daha uzakta başka bir noktaya iletimi modülasyon yapmadan gerçekleştirilemez. Elektriksel işarete dönüştürülen bilgi işaretinin ortamın özelliklerine bağlı olarak çok uzaklara gidemeden zayıfladığı, yada gürültü gibi istenmeyen bir takım bozucu etkilerin etkisi altında bozulup, alıcı tarafa iletilen bilginin alınamadığı görülür. Bu problemi çözmek için en uygun yol, bilginin iletileceği ortamın özelliklerine uygun, bu ortamda zayıflamadan ve aynı zamanda ortamdaki gürültüden etkilenmeyen “taşıyıcı dalga”


8

adı verilen, genellikle yüksek frekanslı sinüzoidal veya dikdörtgen darbe dizisi biçiminde bir elektriksel dalgadan yararlanarak bilgi iletimi gerçekleştirilmektedir. Modülasyon, bilgi işaretinin özelliklerine uygun olarak, taşıyıcı dalganın biçiminin belli bir kurala göre değiştirilmesi işlemine denir. Modülasyon işlemi taşıyıcı dalganın çeşidine göre ikiye ayrılabilir.

1. Sürekli dalga modülasyonu: Bilgi işaretinin taşıyıcısı olarak, belli bir frekansta sinüzoidal bir işaret kullanılır. Bu modülasyon özellikle, konuşma, müzik veya resim gibi zamanın sürekli fonksiyonu biçiminde değişen bilgi işaretinin iletimi için uygun olmakta ve kullanılmaktadır.

2. Darbe Modülasyonu: Bilgi işaretinin taşıyıcısı olarak, belli bir frekansta bir dikdörtgen darbe dizisi işaret kullanılır. Özellikle sayısal bilginin iletiminde kullanılan bu tip modülasyon ayrıca sürekli bilgi işaretinde de kullanılmaktadır.

Sürekli dalga modülasyonu da, taşıyıcı dalganın bilgi işaretine uygun olarak, taşıyıcının genliğini, frekansını ve fazını değiştirmesine göre ikiye ayrılır.

1. Lineer modülasyon: Taşıyıcı dalganın yalnız genliğinin bilgi işaretinin lineer bir fonksiyonu olarak değişmesi ile elde edilir. Lineer modülasyonda;

I. Çift yan bantlı genlik modülasyonu i. Taşıyıcısı bastırılmış çift yan bant genlik modülasyonu (Suppressed-

carrier Amplitude Modulation, DSB) ii. Genlik modülasyonu (Amplitude Modulation=AM)

II. Tek yan bantlı genlik modülasyonu. i. Tek yan bant genlik modülasyonu (Single side band modulation=SSB)

ii. Artık yan bant modülasyonu (Vestigal side band modulation=VSB) 2. Üstel modülasyon: Taşıyıcı dalganın ya ani frekansını yada fazını bilgi işaretinin

lineer bir fonksiyonu olarak değişmesi ile elde edilir. Üstel modülasyonda ikiye ayrılır.

I. Frekans modülasyonu (Frequency modulation=FM) II. Faz modülasyonu (Phase modulation=PM)

Zamanın sürekli fonksiyonu biçimindeki bilgi işaretlerinin darbe modülasyonu ile iletilmesinde, taşıyıcı dalganın biçiminde yapılan değişikli ğe göre darbe modülasyonu üçe ayrılabilir.

1. Darbe genlik modülasyonu (Pulse Amplitude Modulation=PAM): Taşıyıcı darbenin yalnız genliğinin bilgi işaretinin lineer bir fonksiyonu olarak değişmesi ile elde edilir.

2. Darbe yeri modülasyonu (Pulse Position Modulation=PPM): Taşıyıcı darbenin yalnız darbenin başlama yerinin bilgi işaretinin lineer bir fonksiyonu olarak değişmesi ile elde edilir.

3. Darbe süresi modülasyonu (Pulse Width Modulation=PWM): Taşıyıcı darbenin yalnız darbe genişliği bilgi işaretinin lineer bir fonksiyonu olarak değişmesi ile elde edilir.

Bu modülasyonlardan birincisi lineer modülasyonun genlik modülasyonuna, diğer iki modülasyonda üstel modülasyona benzetilebilir. Ayrıca sayısal haberleşmede, yani bilginin ayrık simgeler ile iletilmesi durumunda kullanılan sayısal modülasyon çeşitlerini de bir modülasyon çeşidi olarak kabul edebiliriz.


9

Yukarıda belirtilen darbe genlik modülasyonu aynı zamanda temel bant (base band) modülasyonu olarak da adlandırılır. Temel bant modülasyonundan sonra işaretler transmisyon ortamından iletmek için taşıyıcı ile yüksek seviyeli modülasyon yapılır. Bunlar

1. Faz kaydırmalı anahtarlama (Phase-shift keying=FSK) modülasyonu. 2. Dik genlik modülasyonu (Quadrature-Amplitude Modulation=QAM)


10

BÖLÜM 2

ÇİFT YAN BANT MODÜLASYONU (DOUBLE S İDE BAND=DSB)

2.1. ÇİFT YAN BANT MODÜLASYONLU İŞARETİN ELDE EDİLMESİ İşaret, kendi frekansından yeni bir frekans değerine başka bir sinüzoidal işaretle çarpılmak sureti ile kaydırılabilir. Bu durumu açıklamak üzere ana işaretin sinüzoidal bir işaret olduğunu kabul ederek ispatlanabilir.

tfCosAtCoswAtm mmmm π2)( ==

İşaretinin fazör yazılımı euler açılımı kullanılarak yapılabilir.

( ) ( )tfjtfjAtjwtjwAmmmmmm eeeetm ππ 22

22)( −− +=+=

Burada her bir fazör tek bir frekans gösterdiği veya fazörün Fourier Dönüşümü hatırlanırsa;

2 2 2 ( )2. ( )m m mj f t j f t j f f tj ftmF e e e dt e dt f fπ π ππ δ

∞ ∞− −−

−∞ −∞

= = = − ∫ ∫

ifadesinden işaretin hangi frekansları içerdiği bulunur. Bu dönüşümü )(tm işaretine uygularsak;

)()()(22 m

Am

AfffffM mm ++−= δδ

frekans bileşenleri elde edilir. Spektrumu çizersek

f (Hz)

M(f)

fm

Am/2

-fm Şekil 2.1. tCoswAtm mm=)( işaretinin spektrumu

fm ve –fm frekanslarında frekans bileşeni olan bir işaret olduğu görülür. Bu işareti başka bir işaretle,

tfCosAtCoswAtc cccc π2)( ==

ile çarpımı durumunda,


11

tCoswAtCoswAtctmts ccmm .)().()( ==

trigonometrik özellikten kullanılarak;

( ) ( )[ ]twwCostwwCosts mcmcAA cm ++−=

2.

)(

yazılabilir. İşaretin spektrumu ise

( ) ( ) ( ) ( )( )twwjtwwjtwwjtwwjAAmcmcmcmccm eeeets +−+−−− +++=

4

.)(

( ) ( ) ( ) ( )[ ])()()()()(4

.mcmcmcmc

AAfffffffffffffS mc ++++−+−++−−= δδδδ

elde edilir. Spektrumun çizimi için mc ff > kabul edilerek çizilir ise;

f(Hz)

S(f)

fc-fm

AcAm /4

fc m

fc+fm -fc-fm -fc m

-fc+fm

Şekil 2.2. tCoswAtCoswAtctmts ccmm .)().()( == işaretinin spektrumu.

Elde edilir. Şekil 2.2. den görüldüğü gibi Şekil 2.1. verilen ana işaretin spektrumu fc frekansı kadar kaymıştır. Sonuçta iki sinüzoidal işaretin çarpımından 4 frekans bileşeni oluşmuştur.

Bunlar ( )mc ff m ile ( )mc ff m− frekans bileşenleri olup genlikleri 4

mc AAdür. Bu bileşenler

fiziksel olarak ( )mc ff m olan iki frekans bileşenine eşit olup genliği de 2

mc AA dir. Bu sonucu

genelleştirebiliriz. Eğer 3 sinüzoidal işaretin bileşiminden oluşan en yüksek frekansı da

mf olan bir )(tm ana işareti olsa idi, bu işaretin başka bir sinüzoidal işaretle çarpılarak frekans

spektrumun yardımcı işaretin frekansının bulunduğu bölgeye kayacaktı. Ana işaret altı frekans bileşeninden oluşurken çarpım sonucunda elde edilen işaretin spektrumunu 12 frekans bileşeni içerecek ve bunlar fiziksel olarak 6 sinüzoidal işareti oluşturacaktır. Ana işaretinin bant genişliği mf Hz olmasına karşılık yardımcı işaretle çarpılmış işaretinin bant genişliği

mf2 Hz frekansına çıkar.

Örnek olarak 321 mmm fff << olan üç sinüzoidal işaretten oluşan bilgi işaretinin spektrumu

Şekil 2.1. ve taşıyıcı ile çarpılması sonucu elde edilen işaretin spektrumunu Şekil 2.2. verilmiştir.

tCoswAtCoswAtCoswAtm mmmmmm 332211)( ++=

[ ] [ ][ ])()(

)()()()()(

332

2221123

21

mmA

mmA

mmA

ffff

fffffffffM

m

mm

++−+

++−+++−=

δδ

δδδδ


12

f(Hz)

M(f)

fm1

Am1/2

fm2 fm3 -fm3 -fm2 m

-fm1

Şekil 2.1. tCoswAtCoswAtCoswAtm mmmmmm 332211)( ++= işaretinin spektrumu

[ ] tCoswAtCoswAtCoswAtCoswAtctmts ccmmmmmm .)().()( 332211 ++==

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]twwCostwwCos

twwCostwwCostwwCostwwCosts

mcmc

AAmcmc

AA

mcmc

AA

cm

cmcm

332.

222

.

112

.

3

21)(++−+

++−+++−=

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

14

24

34

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3

A Ac m

A Ac m

A Ac m

S f f f f f f f f f f f f fc c c cm m m m

f f f f f f f f f f f fc c c cm m m m

f f f f f f f f f f f fc c c cm m m m

δ δ δ δ

δ δ δ δ

δ δ δ δ

= − − + + − + − + + + +

+ − − + + − + − + + + +

+ − − + + − + − + + + +

f(Hz)

S(f)

-fc +fm1

-fc +fm2

-fc +fm3

-fc -fm3

-fc -fm2

-fc -fm1

-fc fc +fm1

fc +fm2

fc +fm3

fc -fm3

fc -fm2

fc -fm1

fc

Şekil 2.2. ( ) tCoswAtCoswAtCoswAtCoswAts ccmmmmmm .)( 332211 ++= işaretinin spektrumu

Son olarak bilgi işaretinin Şekil 2.3. de verilen spektruma sahip periyodik olmayan bir işaret olduğunu kabul edelim. Bu durumda bilgi işaretinin taşıyıcı ile çarpılması sonucu elde edilen işaretin spektrumunu Şekil 2.4. verilmiştir.

f (Hz)

M(f)

fm -fm m

Şekil 2.3. Periyodik olmayan )(tm işaretinin spektrumu

[ ])()( tmFfM =

tCoswAtc cc=)(

tCoswAtmtctmts cc).()().()( ==

[ ])()(*)()(*)()( 2 cff

cfffMfCfMfS cA ++−== δδ


13

)()()( 22 cc fffffS McAMcA ++−=

F(Hz)

S(f)

-fc -fc-fm -fc+fm fc fc-fm fc+fm m

Şekil 2.4. Şekil 2.3. verilen )(tm işaretinin frekansının fc’ye kaydırılması.

Şekil 2.3. de ana bant işareti 0Hz ile fm Hz arasında frekans bileşenleri içeren periyodik olmayan bant sınırlı bir işareti göstermektedir. Bu işarete aynı zamanda sonlu enerjili işarette denir. Ana bant işareti )(tm ile taşıyıcı işaret )(tc ile çarpıldığında elde dilen )(ts işaretinin spektrumu Şekil2.4. de verilmiştir. Burada da görüldüğü gibi önceki örneklerde olduğu gibi ana bant işareti taşıyıcı işaretin bulunduğu frekans bölgesine taşınmıştır. Bilgi i şaretinin yer aldığı frekans bölgesi ana bant frekans bölgesi ya da yalnızca ANABANT olarak adlandırılır. Bu nedenle bilgi işaretine genellikle ANABANT İŞARETİ adı verilmektedir. Bir işareti yardımcı bir sinüzoidal işaretle çarpma işlemi genellikle karıştırmak (mixing/heterodyning) diye adlandırılır. Frekans düzleminde kaydırılmış işaretin fc ile (fc+ fm) frekans sınırları arasındaki frekans bileşenleri Üst Yan Bant (Upper Side Band) ve fc ile (fc-fm) frekans sınırları arasındaki frekans bileşenleri Alt Yan Bant (Lower Side Band) adlarını alırlar. Bu iki yan bant aynı zamanda TOPLAM yada FARK frekansları olarak da adlandırılabilir. fc frekansındaki yardımcı işaret ise; taşıyıcı işaret, karıştırıcı işaret, heterodyning işaret yada lokal osilatör işareti olarak adlandırılabilir. Bu adlar uygulamaya bağlı olarak değerlendirilebilir. Genel olarak bir modülatör ana bant işaretini ( ))(),()( tctmfts = şekline dönüştüren bir sistemdir. Şekil 2.5. de blok olarak bir modülatör verilmiştir. Modülatör ana bant işaretini iletim ortamına uygunlaştıran bir devredir. Bu lineer değiştirme işlemi, bir çarpma devresi ile yapılabilir. Bu tip bir modülasyon ÇİFT YAN BANT MODÜLASYONU olarak adlandırılır. Bunun nedeni her hangi bir işaretin kaydırılması sonucu spektrumda hem ÜYB hem de AYB olmasıdır. DSB işaretinin matematiksel ifadesi ise

)().()( tctmtSDSB =

olarak verilir. Uygulamada bu çarpım çeşitli sistemler yardımı ile sağlanmaktadır.

MODÜLATÖR

c(t) TAŞIYICI

(Modüle Eden )

m(t) Bilgi İşareti

(Modüle Eden)

S(t) (Modüle Edilmiş İşaret)

Şekil 2.5. Genel bir modülatörün blok yapısı


14

Zaman düzleminde )(tSDSB işaretini şeklini elde edelim. tSintm π=)( ana bant işareti ile

tSintc π4)( = taşıyıcı işaretinin DSB modülasyonu yapıldığında zaman düzlemindeki ifadesi Şekil2.6. da görülmektedir. Şekilden görüleceği gibi modülasyon hem genlik hem de fazın değişmesine neden olmaktadır. Ana bant işaretin, genlik değişimleri taşıyıcının genliğini lineer olarak değiştirirken; sıfır genişleri de taşıyıcının fazını 180˚ kaydırmaktadır. Bu ise modülasyonlu işaretten bilgi işaretinin yeniden elde edilmesinde problem oluşturacaktır.

m(t) c(t)

SDSB(t)

t

Şekil 2.6. DSB işaretini zaman düzleminde biçimi Sonuç olarak yardımcı bir işaretle çarpma yolu ile frekans kaydırması kadar kolay bir yöntem yoktur. Ancak bu çarpma sonucunda elde edilen işaretten tekrar bilgi işaretini elde etmek için gerçekleştirilecek devre bu kadar kolay olmayacaktır. 2.2. ÇİFT YAN BANT MODÜLASYONLU İŞARETTEN ANA BANT İŞARETİNİN YENİDEN ELDE EDİLMESİ

)(tm işaretinin )(tc sinüzoidal işaret ile çarpmak suretiyle elde edilen )(tSDSB işaretini göz

önüne alalım. Bu bölümde )(tSDSB işaretinden yeniden )(tm işaretinin nasıl elde edileceğini

araştıracağız. 2.2.1. VERİCİ VE ALICININ SENKRON OLMASI

)(tSDSB işaretinden ana bant işaretini tekrar elde etmek için frekansta tekrar kayma yapmamız

gerekir. Bu nedenle modüle edilmiş işaretin tekrar tCoswtc c=)( ile çarpılması sonucu ana

bant işaretini yeniden elde etmek mümkün olacaktır. Matematiksel olarak bunu aşağıdaki gibi açıklayabiliriz.

tCoswAtmtctmtS ccDSB ).()().()( ==

[ ] tCoswtCoswAtmtCoswtstr cccc .).().()( ==

[ ]twCostmtwCostmtr cccAcA

21).().()( 2.22 +==


15

twCostmtmtr ccAcA 2).()()( 22 +=

Son ifadeden, frekans kaydırdığımız ana bant işaretini ve bunun yanında ana bant işaretinin 2fc deki bileşenlerini görmekteyiz. Uygulamada bu iki işareti birbirinden ayrıştırmak oldukça kolay gerçekleştirilir. Genelde mc ff >> olduğundan iki kat frekanslı işaretin bileşenleri ana

bant işaretinin frekans bileşenlerinden oldukça uzaktadır. Bu nedenle iki kat frekanslı işaret yani 2fc deki işaret, alçak geçiren bir filtre yardımı ile kolayca ayrıştırılabilir. Bu durum Şekil 2.7b.’de görülmektedir. Dolayısı ile LPF çıkışı;

)()(' 2 tmtm cA=

elde edilir.

f(Hz)

S(f)

-fc -fc-fm -fc+fm fc fc-fm fc+fm m

Şekil 2.7a. Modülasyonlu işaretin spektrumu

f(Hz)

R(f)

-2fc -2fc-fm m

-2fc+fm 2fc 2fc-fm 2fc+fm m

-fm m

fm m

LPF

Şekil 2.7b. Modülasyonlu işaretin tekrar taşıyıcı ile çarpılması sonucu elde edilen spektrumu

2.2.2. VERİCİ VE ALICININ SENKRON OLMAMASI Bütün sadeliğine rağmen bu yöntemle işareti yeniden elde etmenin oldukça önemli bir uyumsuzluğu, fiziksel bir haberleşme sistemine uygulanması sonucu ortaya çıkar. Haberleşme sistemlerinde, alıcı uçta işareti yeniden elde etmek üzere kullanılan taşıyıcı işaretin faz ve frekansının, vericide kullanılan taşıyıcının fazında veya frekansında oluşacak farklılık gerçekleşirse ana bant işaretini Şekil2.7’de verildiği gibi gerçekten kolay bir şekilde yeniden elde edilebilir mi? Şimdi Şekil 2.8. da verilen alıcıda görüldüğü gibi yalnız verici ile alıcı arasında frekansın aynı olduğu (senkronlandığı) ancak fazın eşit olmadığını kabul ederek ana bant işaretinin tekrar elde edilip edilmeyeceğini gösteriniz.

Lokal

Osilatör

LPF


m’(t)

SDSB(t) r(t)

( )LtcwCos θ+

Şekil2.8. Ana bant işaretinin tekrar elde edilmesi.


16

)().()().()( cccDSB twCosAtmtctmtS θ+==

( ) ( )[ ] ( )LccccLcDSB twCostwCosAtmtwCostStr θθθ ++=+= .).().()(

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ][ ]LcccLccc twtwCostwtwCostmtr cA θθθθ +++++−+= )()( 2

( ) ( )LccLc twCostmCostmtr cAcA θθθθ +++−= 2).().()( 22

Lc θθθ −=∆

( )LcctwCostmCostmtr cAcA θθθ +++∆= 2).().()( 22

LPF çıkışında ise

θ∆= Costmtm cA ).()(' 2

elde edilir. Alıcıda elde edilen işaretin θ∆Cos ile orantılı olduğu görülür. Bu nedenle 0=∆θ olduğu sürece ana bant işaretinin yeniden elde edilmesi mümkündür. Eğer 2

πθ =∆ olursa

işaret tamamen kaybolacaktır. Eğer )(tθ∆ şeklinde zamanın fonksiyonu olarak değişecek olursa ana bant işareti de )(tCos θ∆ ile orantılı olarak zamanla değişecektir. Bu ise ana bant işaretinin genliğini de zamanla değişecektir ve ana bant işareti istenmeyen şekilde azalıp artacaktır. Dolayısı ile ana bant işaretinin yeniden elde edilmesi mümkün olmayacaktır. ÖRNEK: Alıcı ve verici arasında fazın eşitlenememesinden dolayı, fazın eşitlendiği duruma göre ana bant işaretinin %80’i yeniden elde edilmesi durumunda alıcı verici arasındaki faz farkının değerini bulunuz. Alıcıda ana bant işareti faz farkı olmadan;

)()(' 2 tmtm cA=

elde edilecektir. Faz farkı olduğunda ise

θ∆= Costmtm cA ).()(' 2

elde edilecektir. Bu durumda

o86,368,08,0).(8,0).( 22 ==∆=∆⇒∆= CosCosCostmtm cAcA θθθ

faz farkı ile işaret elde edilmiştir. Buradan da görüldüğü gibi eğer bu şekilde faz farkı sabit kalırsa, alıcı bu işareti kuvvetlendirerek ana bant işaretini istenen genlik düzeyinde tekrar elde edecektir. Ancak bunun tersi doğru değildir.

Lokal

Osilatör

LPF


m’(t)

SDSB(t) r(t)

( )fttcwCos ∆− π2

Şekil2.9. Ana bant işaretinin tekrar elde edilmesi.


17

Şimdi Şekil 2.9. de verilen alıcıda görüldüğü gibi yalnız verici ile alıcı arasında fazın aynı olduğu (senkronlandığı) ancak frekansın eşit olmadığını ( fff cL ∆−= Hz) kabul ederek ana

bant işaretini tekrar elde edilip edilmeyeceğini gösteriniz.

tCoswAtmtctmtS LcDSB ).()().()( ==

[ ] tCoswtCoswAtmtCoswtStr LccLDSB .).().()( ==

( ) ( )[ ]twtwCostwtwCostmtr LcLccA ++−= )()( 2

Lc fff −=∆

( )tffCostmftCostmtr ccAcA ∆−+∆= 22).(2).()( 22 ππ

LPF çıkışında ise

ftCostmtm cA ∆= π2).()(' 2

elde edilir. Şekil 2.10 da frekans farkının sebep olduğu bozulma spektrum olarak da ispat edilmiştir.

f (Hz)

M(f)

fm -fm m

Şekil 2.10a. Ana bant )(tm ’nin spektrumu

f(Hz)

SDSB(f)

-fc -fc-fm -fc+fm fc fc-fm m

fc+fm m

Şekil 2.10b. Modülasyonlu işaretin spektrumu

f(Hz)

R(f)

-2fc -2fc-fm -2fc+fm 2fc 2fc-fm 2fc+fm -fm-∆f

∆f+fm

LPF

∆f -∆f Şekil 2.10c. Modülasyonlu işaretin tekrar taşıyıcı ile çarpılması sonucu elde edilen spektrumu

f (Hz)

M’(f)

-fm-∆f

∆f+fm m

Şekil 2.10d. LPF çıkışında elde edilen demodüle edilmiş )(' tm işaretinin spektrumu

Alıcıda elde edilen işaretin )(tm ’nin f∆ frekansı ile modülasyonlu olduğu görülür. Bu ise işaretin tekrar elde edilmesi mümkün değildir. Dolayısı ile ana bant işaretinin yeniden elde edilmesi mümkün olmayacaktır. Sonuçta yine işaretin şiddeti artıp azalacak yada bütünüyle


18

alınamayacaktır. Genellikle mc ff >> olup f∆ ’nin belirli bir değerden büyük olmasına izin

verilmez. Telefon ve radyo sistemlerinde bu sınır 30 Hz’den küçüktür ( 30≤∆f Hz). İşaretin bu yöntemle yeniden elde edilmesinde, yani ilk çarpımdaki işaretle ikinci çarpımdaki işaretin tam senkron olması istenir. Bu tip bir sistem senkron yada uygun (coherent) sistem adını alır. Başlangıçtaki faz farklılığı sabittir ve bu sabit bir faz kaydırıcı ile düzeltilebileceği için önemsiz sayılabilir. Benzer şekilde düşünüldüğünde ikinci kez çarpımda etkili olan yardımcı işaretin sinüzoidal olması da gerekmez. Esas olan herhangi zaman aralığında iki yardımcı işaretin frekanslarının eşit olmasının sağlanmasıdır. Kuşkusuz fiziksel bir sistemde bazı işaret bozulmalarına izin verilir. Bu nedenle de senkronlamadaki bir miktar farka izin verilir.

DSB modülasyonlu işaretten ana bant işaretinin yeniden elde edilebilmesi için, vericide kullanılan taşıyıcı ile alıcı kullanılan lokal osilatör işaretlerinin, frekansları ve fazları aynı olmalıdır. Bu duruma işaretin senkronlanması olarak adlandırılır. Bunu da sağlamak için değişik yöntemler geliştirilebilir. Alıcı uçta yardımcı işaretin senkronlanması için daha karmaşık yollar denenmiştir. Senkron lokal işareti elde etmek için alıcı uçta Şekil 2.11. deki blok devre kullanılabilir.

( . )2 Kare Alıcı

BPF fo=2fc

LPF

½ Frekans Bölücü

DEMODÜLATÖR (DETEKTÖR) m’(t)

SDSB(t)

R(t) Coswct

Şekil 2.11. Alıcıda senkron işaretinin üretilmesi ve DSB işaretinin demodülasyon blok yapısı Örnek olarak ana bant işaretinin tCoswtm m=)( olduğunu kabul ederek Şekil2.11. deki blok

devre ile senkron işareti yeniden elde ediniz ve bu işareti kullanarak ana bant işaretinin yeniden elde edilebileceğini gösteriniz.

tCoswAtCoswtctmtS ccmDSB .)().()( ==

[ ] [ ] twCostwCosAtCoswtCoswAtS cmccmcDSB22222 ....)( ==

[ ] [ ] twCostwCostwCostwCostwCostS cm

A

c

A

cm

A

DSBccc 22

22

22

2 .2...21.)(222

+=+=

[ ] [ ] twCostwCostwCostS cm

A

c

A

DSBcc 224

2 .2.21.)(22

++=

[ ] twCostwCostwCostS cm

A

c

AA

DSBccc 2244

2 .2.2.)(222

++=

BPF’nin çıkışından


19

twCosty c

Ac 2.)( 4

2=

Frekans bölücü devre çıkışında ise;

tCoswtc c

A

Lc .)( 4

2=

elde edilir.

2 2

4 4( ) ( ). . ( ). .c cA Ac c cr t s t Cosw t m t Cosw t Cosw t= =

[ ]twCostmtr ccA

21).()( 8

2+=

LPF çıkışından ise;

tCoswtmtm mcAcA

.8

2

8

2)()(' ==

elde edilir. 2.3. DSB İŞARETİNİN BANT GENİŞLİĞİ VE GÜCÜ 2.3.1. DSB İŞARETİNİN BANT GENİŞLİĞİ Ana bant işaretinin en yüksek frekansı mf Hz’dir Dolayısı ile ana bant işaretinin bant

genişliği mfB= Hz olacaktır. Bu durumda ana bant işaretinin spektrumu Şekil 2.12. verildiği

gibi olursa DSB modülasyonlu işaretinin spektrumu da Şekil 2.13’deki gibi olur.

f (Hz)

M(f)

fm -fm m B=fm Hz

Şekil 2.12. Ana bant )(tm ’nin spektrumu

f(Hz)

SDSB(f)

-fc -fc-fm -fc+fm fc

fc-fm m

fc+fm m

Alt Yan Bant (AYB) B=2fm Hz

Üst Yan Bant (ÜYB)

B=fm Hz B=fm Hz

Şekil 2.13. Şekil 2.12.’deki ana bant işareti DSB modülasyonlu yapıldığındaki spektrumu


20

Şekil 2.13’te de görüldüğü gibi DSB işareti alt yan bant (AYB) ve üst yan bant (ÜYB) frekans bileşenlerinin toplamından oluşmaktadır. AYB ve ÜYB işaretlerinin bant genişliği mfB=

Hz olduğundan, DSB modülasyonlu işaretin bu iki yan bandın toplamından meydana gelmesinden dolayı bant genişliği mfB 2= Hz olur.

Örnek olarak telefon sistemlerinde ses işaretinin bant genişliği 3,3== mfB kHz alınır. Bu

işaretin DSB modülasyonu yapılıp transmisyon ortamından iletmek için kanalın bant genişliği en az 6,63,3.22 === mfB kHz olmalıdır.

2.3.2. DSB İŞARETİNİN GÜCÜ Bir işaretin gücü karesel ortalama değere eşit olduğundan, DSB işaretinin gücü için de karesel ortalama değerini bulmamız yeterlidir.

>=< )(2 tSP DSMB

tCoswAtmtctmtS ccDSB ).()().()( ==

[ ] [ ] >>=<=< 2222 .)()).(( tCoswAtmtCoswAtmP cccc

[ ] [ ][ ]>+><= < twCostmtmP ccAcA

2)()( 22

2

2

2

2

[ ] [ ]22)(2

2volttmP cA ><=

olarak bulunur. ÖRNEK: DSB modülasyonlu vericinin 50Ω’luk antende ölçülen modüle edilmemiş taşıyıcı 107 Hz frekansında ve gücü 100 watt’tır. Tepe genliği 2 volt ve frekansı 2500 Hz olan sinüzoidal işareti bu taşıyıcıyı modüle etmektedir.

A. DSB modülasyonlu işaretin antenden ölçülen gücünü bulunuz. B. DSB modülasyonlu işaretin bant genişliğini bulunuz.

DSB modülasyonlu işaretin gücü:

tSinwtmwattP mc .2)(100 ==

[ ] [ ]22)(2

2volttmP cA ><= [ ] [ ]watttmP R

cA ><= 2)(.2

2

[ ] voltRRcA

wattRcA

R cccc AtwCosAP 10.50.2.100..2.100100.2

2

.2

21 22. ===⇒=⇒=><=

[ ] [ ] wattRcA

RcA

twSintSinwtmP mm 2100200

24.50.2

21050.2210

.2

2

.2

2222 .4.2)( ===><=><=><=

DSB modülasyonlu işaretin bant genişliğini:


21

kHzfB m 52500.22 ===

2.4 GENLİK MODÜLASYONLU (Amplitude Modulation=AM) DSB modülasyonlu işaretten bilginin yeniden elde edilmesi ancak senkron olması durumunda mümkün olmaktadır. Bilgi işaretinin sıfır geçişlerinde modülasyonlu işarette faz kayması nedeniyle bilgi işaretinin tekrar elde edilmesi zor olmaktadır. Bilgi işaretinin tekrar elde edilmesini kolaylaştırmak için yapılması gereken, taşıyıcıda faz kaymasını önlemektir. Bunun için bilgi işaretinin sıfır geçişlerini önlemektir. Bu amaçla bilgi işaretine dc bileşen eklenir. Böylece elde edilen modülasyonlu işaretin blok yapısı Şekil 2.14 de verilmiştir.

m(t)

Ac.Coswct

Ac.Coswct

X

RF OSİLATÖR

s(t) SAM(t)

Şekil 2.14. AM işaretinin blok yapısı

Matematiksel olarak Şekil 2.14.’ün çıkış ifadesini yazarsak:

tCoswAtCoswAtmtS ccccAM += ).()(

[ ] tCoswtmAtS ccAM .)(1)( +=

Elde edilen genlik modülasyonlu işaretin, taşıyıcı işaretin genliğini değiştirdiği, üstteki eşitlikten görülmektedir. Ayrıca eşitlikten [ ])(1 tm+ ifadesinin sıfır geçişleri yoksa

)(tm işaretini yeniden elde etmek için senkronlamaya gerek duyulmaz. Bunu Şekil 2.16.dan görebiliriz.

t

m(t) Am

Ac

t

c(t)

-Ac Şekil 2.15. m(t) bilgi işareti ve c(t) taşıyıcı işareti


22

t

SAM(t)=Ac(1+m(t))Coswct

Şekil 2.16. Şekil 2.15 verilen m(t) ve c(t) işaretlerinden AM işaretinin elde edilmesi.

Şekil 2.16 da da görüleceği gibi modüle edilmiş işaretten bilgi işaretinin sıfır geçişlerinde bir faz kayması söz konusu değildir. Genlik modülasyonlu işaretten bilgi işaretinin kolayca elde edilebilmesi bu yöntemin yaygın biçimde kullanılmasına neden olmuştur. Bilgi işaretinin yeniden elde edilmesi işlemi Şekil 2.16 da görüldüğü gibi zarfın ayrıştırılması ile mümkündür. Bu işlemde tepe dedektör devreleri ile kolayca gerçekleştirilebilir. Böyle bir devre Şekil 2.17. de verilmiştir. Bu devre bir diyot-direnç-kondansatör bileşiminden oluşan basit bir devre olup uygulamada bu devre zarf dedektörü olarak bilinir.

SAM(t) C

R

D

m’(t)

Şekil 2.17. AM demodülatör devresi (Zarf dedektörü)

Zarf dedektörü çıkışındaki işaret Şekil 2.18 de verilmiştir. Uygulamada taşıyıcı frekansı çok büyük yani periyodu oldukça küçük olduğundan zarf detektör çıkışı, modülasyonlu işaretin genliğini (zarfını) çok daha yakından izler. Ayrıca taşıyıcı frekansının yüksek oluşu zarftaki testere dişi, distorsiyonun bir filtre yardımı ile kolayca bastırılmasını sağlar.

t

SAM(t)=Ac(1+m(t))Coswct

m’(t)

Şekil 2.18 Zarf detektörü çıkış işareti


23

2.4.1 İZİN VERİLEN MAKS İMUM MODÜLASYON Genlik modülasyonunda en önemli sınırlama bütün t değerleri için )(tSAM ifadesinin genlik

değişimi:

[ ] 0)(1 ≥+ tmAc

olmasıdır. Bunun için 0>cA olduğundan [ ] 0)(1 ≥+ tm olması gerekir. am bir sabit olmak

üzere bu ifadeyi düzenlersek: [ ] 0)(1 ≥+ tmma

olması gerekir. Bu koşul sağlandığında, modüle edilmiş işaretin zarfı, modüle eden bilgi işaretine benzer, farklılık yalnızca büyüklüğündedir. [ ] 0)(1 <+ tmma

durumunda zarf bozulmaya uğrar ve genlik modülasyonunun elverişlili ği ortadan kalkar. Bu durum Şekil 2.19 da verilmiştir. İfadeden bu koşulda am değeri:

11)(1)(1)( >=⇒>⇒−< aaa misetmtmmtmm

olması AŞIRI MODÜLASYON olarak adlandırılır.

t

m(t) Am

t

SAM(t)

Şekil 2.19. [ ] 0)(1 <+ tmma durumunda zarf detektörü çıkışı. (Aşırı modülasyon 1>am )

Şimdi bilgi işaretini bozulmadan elde edebilme koşullarını araştıralım. Genlik modülasyonu için sınırlama şartını yeniden yazarsak: [ ] 1)(0)(1 ≤⇒≥+ tmmtmm aa


24

Bu ifadeden )(tm nin ortalaması sıfır ve büyüklüğünün maksimum değeri 1 ise, yani;

0.)(lim)(72

2/

1 =>=< ∫−

∞→dttmtm

T

TT T ve 1)(

max=tm

ise zarfın bozulmaması için gereken koşul;

1≤am

olmalıdır. Bilgi i şaretinin yukarıda değinilen sıfır ortalama değeri ve maksimum birim genlik koşullarını sağlaması durumu için am sabiti “MODÜLASYON İNDEKSİ” veya “MODÜLASYON

DERECESİ” adını alır. Modülasyonun kullanılırlığı açısından modülasyon indeksi;

10 ≤< am

olmalıdır. 1>am olmasına karşı gelen durum Şekilde 2.19 da görüldüğü gibi aşırı modülasyon

meydana gelir. Modülasyon indeksi am ’nın 0 ile 1 arasında değiştiğini ifade için büyüklüğün % olarak

belirtilmesi yaygın olarak kullanılmaktadır. Örneğin 8.0=am için işaretin %80 modülasyonlu

olduğu söylenir. Bütün bu açıklamalar bilgi işaretinin sıfır ortalama ve birim genlikli olması durumu için yapılmıştır. Eğer bilgi işareti bu koşulları sağlamıyorsa modülasyon indeksi aşağıdaki gibi bulunması gerekir. Genlik modülasyonlu işaret

[ ] tCoswtmkAtS cAM .)('.1')( +=

ifadesi tanımlanmış olsun. Burada )('tm bütün t değerleri için

1)('. ≤tmk

koşulunu sağladığı takdirde k’nın modülasyon indeksine eşit olduğu söylenebilir. )('tm koşulları sağlanmıyorsa k modülasyon indeksi olamaz. Ancak;

)(.)(' tmbatm += şeklinde ifade edilebilir. Burada “a” ve “b” birer sabit )(tm de koşulları sağlayan bir işarettir. Bu sabitlerden

atmtmtmbtma −>=<−=>=<maxmax

)()()()(

Bu durumda;


25

[ ] tCoswtbmakAtS cAM .)(.1')( ++=

tCoswtmbkakAtS cAM .)(...1')( ++=

( ) tCoswtmakAtS cAM akbk .)(.1.1')( .1.

+++=

elde edilir. Burada

)1(' kaAA += ve akbk

am .1.

+=

olarak bulunur. Sonuçta ortalama değeri sıfır olmayan bilgi işaretinin bu kabullerden yerine yazılarak genlik modülasyonlu işaretin matematiksel ifadesi aşağıdaki gibi yazılabilir.

[ ] tCoswtmmAtS cacAM .)(1)( +=

ÖRNEK: [ ] tCoswtmtS cAM .)('14)( 23+= ifadesi ile verilen modülasyonlu işarettir. )(' tm işareti

Şekil2.20 deki gibi olduğuna göre modülasyonlu işaretin indeksini bulunuz.

m’(t) 2,5

-0,5 t

Şekil 2.20 modüle eden işaret

1)( 2)5,0(5,2 =>==< −+tma

5,115,2)()()(maxmax

=−=−>=<−= atmtmtmb

. 1,5.1,5 9 2 9%90

1 . 1 1,5.1 4 5 10amk b

k a= = = = =

+ +

23 2 3.1) 102'(1 ) 4(1 4A A ka += == + = +

'(1 ) 4.(13 2 3

.1) 4 102 2

A A ka= + = ++= =

[ ]( ) 10. 1 0.9 ( ) . osAM cS t m t C w t= +

bulunur. Yada,

[ ] tCoswtmtS cAM .))(114)( 23(2

3 ++=

[ ] tCoswtmtS cAM .)(14)( 49

23++=


232 += +


52

25 +=

[ ] tCoswtmtS cAM .)(110)( 109+=

elde edilerek 90%9,0 ==am bulunur.


26

ÖRNEK: [ ] tCoswtmtS cAM .)('12)( 23+= ifadesi ile verilen modülasyonlu işarettir. )(' tm

Şekil2.21 işareti verildiğine göre modülasyonlu işaretin indeksini bulunuz.

m’(t)

0,5 t

3,5

Şekil 2.21 modüle eden işaret

2)( 25,05,3 =>==< +tma

5,125,3)(max

=−=−= atmb

169

41.4

92.5,115,1.5,1

1 ==++ == kakb

am

8)2.231(2)1(' =+=+= kaAA

[ ] tCoswtS cAM tm )(.1691.8)( +=

bulunur. Yada,

[ ] tCoswtmtS cAM .))(212)( 23(2

3 ++=

[ ] tCoswtmtS cAM .)(314)( 49++=

[ ] tCoswtmtS cAM .)(18)( 169+=

bulunur. ÖRNEK: 1 volt genlikli ton işaretine 5 volt dc eklenmiş, genliği 1 volt olan 100MHz frekansında RF taşıyıcısı ile karıştırılmıştır. Elde edilen işarete 1 volt genlikli taşıyıcı eklenmiştir. Modülasyonlu işaretin modülasyon indeksini bulunuz. Verilen bilgilere göre modülatörün blok yapısı:

s(t) X

TAŞIYICI Coswct

SAM(t) y(t)

5V

m(t)=Coswmt

Buna göre modülatör çıkışı:

tCoswtytS cAM += )()(

tCoswtsty c).()( =

tCoswts m+=5)(

( ) tCoswtCoswtCoswtS ccmAM ++= .5)(

( ) tCoswtCoswtS cmAM .16)( 61+=


27

61=am

bulunur. Genliği modüle edilmiş bir taşıyıcının maksimum ve minimum değerleri biliniyorsa modülasyon indeksi hesaplanabilir. Modüle edilmiş işaretin maksimum değeri, )(tm bilgi işaretinin maksimum değerinde oluşmaktadır. Dolayısıyla bir ton işareti için 0° ve 180° olacaktır. Şekil 2.22 de verilmiş işaretin genlik bilgilerinden sırasıyla;

SAM(t)=Ac[1+0,6.Cos2πt].Cos100πt

Amax

Amin

Ac

t

Şekil 2.22 AM modülasyonlu işaret

)1()(

maxmax acAMC mAtSA +==

)1()(minmin acAMC mAtSA −==

olacaktır. Eşitli ğin iki yanının toplamı alınır ise;

2minmax cAcA

cA−=

Benzer matematiksel işlemler yapılırsa

cAcAcA

cAcAcAcA

cAcAcA

cAcAcA

am 2minmax

minmaxminmaxminmax −

=+−

=−

=−=

bulunur. Genlik modülasyonlu işaretin üretilmesine ait blok yapı Şekil 2.23 de verilmiştir.

ma

1V dc

c(t) RF Osilatör

m(t) +

+ SAM(t)

Şekil 2.23 AM işaretini üreten blok devre yapısı

Genlik modülasyonlu işaretin ifadesini blok devreden yazarsak:

[ ] )(.)(1)( tctmmtS aAM +=


28

( )

( ) ( ) . ( ). ( )AM a

TAŞIYICI ÇİFT YAN BANT DSB

S t c t m m t c t= +14243

Buradan görüldüğü gibi genlik modülasyonlu işaretin bant genişliği, DSB modülasyonu ile aynı olup

mfB 2= Hz’dir.

2.4.2. GENLİK MODÜLASYONLU İŞARETİN SPEKTRUMU VE BANT GENİŞLİĞİ

Genlik modülasyonlu işaretin spektrumu tek bir farklılıkla çift yan bant modülasyonlu işaretin aynıdır. Bu farklılık DSB işaretine ek olarak taşıyıcının da ilavesinden kaynaklanmaktadır. Bu aşağıda açıklanmıştır.

)()()()( tctmmtctS aAM +=

tCoswt.ACoswAtCoswA)(tCoswAm(t)tCoswAc(t)

ccmmccmm

ccaAM mtS +=⇒

==

tt.CoswCoswAAtCoswA)( cmcmcc aAM mtS +=

4444 34444 214444 34444 2143421BANTYANUSTBANTYANALTTAŞAŞITI

AMamamtS )twCos(wt.)w-Cos(wtCoswA)( mcmccc 2

cAmA2

cAmA +++=

İşaretin spektrumu ise,

[ ] [ ] [ ]

+++

+−

+−++−−+++−=

)()(

)()(2)()(2)(

mf

cff

mf

cff

mf

cff

mf

cffmAcAam

cff

cffcAfSAM

δδ

δδδδ

-fc-fm f(Hz)

SAM(f)

fc-fm

maAcAm /4

fc m

fc+fm -fc m

-fc+fm

Ac /2

bulunur. Spektrumdan görüldüğü gibi DSB modülasyonundan bu spektrumun farkı ilave bir taşıyıcının gelmesidir. Bu ilave taşıyıcı yalnızca demodülasyon kolaylığı sağlamak amacıyla kullanılmıştır. Bilgi işaretinin alıcıya iletiminde bir katkısı yoktur. Dolayısıyla DSB’de verim %100 iken AM işaretinin verimi daha düşük olacaktır.

AM

DSB

P

P

GüçToplamGüçFaydali ==µ


29

ÖRNEK: tCostCostm ππ 6005.02005.0)( += ve 1=am tCoswAtc cc=)( olduğuna göre AM

işaretinin spektrumunu ve bant genişliğini bulunuz.

[ ] t.Cosw)(m1A)( cc tmtS aAM +=

[ ] t.Cosw)6005.02005.0(1A)( cc tCostCostSAM ππ ++=

[ ]++++= 100)t(2Cos100)t-(2CosA25.0tCoswA)( ccccc fftSAM ππ

[ ]00)t3(2Cos300)t-(2CosA25.0 ccc ++ ff ππ

[ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] )300()300()300()300(8

)100()100()100()100(8

)()(2)(

++++−+−++−−

+++++−+−++−−

+++−=

cff

cff

cff

cffcA

cff

cff

cff

cffcA

cff

cffcAfSAM

δδδδ

δδδδ

δδ

f(Hz)

SAM(f)

fc-100

Ac /8

fc m

fc+100

Ac /2

fc-300 fc+300 -fc-100 fc m

-fc+100 -fc-300 -fc+300

AM ile iletilen işaretin bant genişliği 300== mfB Hz dir. AM işaretinin bant genişliği

600)300()300( =−−+= cc ffB Hz dir. DSB işaretin bant genişliği 600300.22 === mfB Hz

olacaktır. Dolayısı ile AM ile DSB’nin bant genişlikleri aynıdır. ÖRNEK: Aşağıda spektrumu verilen )(tm işareti, 1=am ve tCoswAtc cc=)( olarak AM

işareti üretiliyor. AM işaretinin spektrumunu ve bant genişliğini bulunuz.

f(Hz)

M(f)

-fm fm m

1


tCosw).(mAtCoswA)( cccc tmtS aAM +=

[ ] t.Cosw)6005.02005.0(1A)( cc tCostCostSAM ππ ++=

[ ] [ ])()(2)()(2)(c

ffMc

ffMcAam

cff

cffcAfSAM ++−+++−= δδ

bulunur. İşaretin spektrumu ise;


30

-fc-fm f(Hz)

SAM(f)

fc-fm

maAc /2

fc m

fc+fm -fc m

-fc+fm

Ac /2

AM i şaretinin bant genişliği mfB 2= Hz bulunur.

2.4.3. GENLİK MODÜLASYONLU İŞARETİN FAZÖR OLARAK Ç İZİMİ


tCoswt m=)(m

[ ] t.CoswtCosw1A)( cmc aAM mtS +=

tCosw.tCoswAtCoswA)( cmccc aAM mtS +=

[ ]tm

wc

wCostm

w-c

wCos2cAtcwje.ARe)(

c

++

+= am

tSAM

t)mwcwj(2

cAt)mw-cwj(2

cAtcwj eee .Re.Re.ARe)(c

+++= amamtS

AM

İfadesi aşağıdaki şekilde to anında fazör olarak çizilmiştir.

Re

Im

wcto m

wmto m

wmto m

SAM(to)

Ac fc

fc-fm

fc+fm

Şekil 2.24 [ ] t.Cosw)(m1A)( cc tmtS aAM += işaretinin fazör çizimi

Fazör çiziminden AM işaretin zarfını (büyüklüğünü) yazabiliriz.

tCosamcAmc wAtz 2.2)( +=

[ ]tCos mac wmAtz += 1)(

Bu ifadede AM modülasyonlu işaretin genliği olduğu görülür. AM işaretinin fazör olarak zaman düzleminde elde edilmesi ise Şekil 2.25 de verilmiştir. Şekilden de görüldüğü gibi her andaki fazör büyüklüğünü birleştirerek zamandaki işaret elde edilecektir. Burada örnek olarak üç çizim verilmiştir. Fazör çiziminden; taşıyıcı genliği sabit olduğunu, ancak modülasyon


31

indeksine ve yan bantların dönüşüne bağlı olarak modülasyonlu işaretin büyüklüğünün değiştiği görülmektedir.

Ac

t

SAM(t)

Şekil 2.25 [ ] t.Cosw)(m1A)( cc tmtS aAM += işaretinin çeşitli noktalardaki büyüklüğünün fazör

olarak elde edilmesi.

ÖRNEK: AM i şaretinin ifadesi twwtwwtSinwAtS mcmccAM CosAam

CosAam )).)( (2(2 +−−+=

olarak veriliyor. AM işaretini fazör olarak çizip, zarfını ve fazını bulunuz. AM işaretinin genel ifadesini yazınız.

[ ]ππ −++−+−= tm

wc

wCosAam

CosAam

Cos twwtwAtS mccAM )(2(22( )).)(

[ ] πt)m

wc

(wj2Aamt)

mw

cj(w

2Aam)t

cj(w eee ReReRe.A(t)S 2

π

AM

−+−−++

=

Fazörü kolay çizmek için 0=octw referans alarak, aşağıda şekilde verilmiştir.

AM 0

π02 0

j(w t π)j ) m A m A mjw ta am2 2S (t ) A.Re Re Ree e e −− − = + +

-π -π/2

A

Re

Im

-wmt0

wmt0

maA/2

-wmt0

SAM(t0)

0t anında işaretin büyüklüğünden anlık büyüklük değerine yazılırsa;

.( ) 2. (1 )

2a

m a m

A mz t A Sinw t A m Sinw t= + = +

Elde edilir. Aynı şekilde modülasyonlu işaretin anlık değeri yazılırsa;


32

( ) ( ). (1 ).2 2AM c a m cS t z t Cos w t A m Sinw t Cos w tπ π = − = + −

( ) (1 ).AM a m cS t A m Sinw t Sinw t= +

2.4.4. GENLİK MODÜLASYONLU İŞARETİN GÜCÜ İşaretin gücü karesel ortalama değerine veya spektral güç yoğunluğunun alanına eşittir. Kısaca;

22 ( ) ( )AM AMP S t S f df∞

−∞

=< >= ∫ [volt2]

[ ] 2

c cA 1 m( ) .Cosw taP m t =< + >

[ ] [ ] 2( ) ( ) ( ) ( )

2 2c a c

c c c c

A m AP f f f f M f f M f f dfδ δ

∞

−∞

= − + + + − + +∫

[ ] 2 2 2 2 2

2 2( ) ( ) ( ) ( )

4 4 4c a c a c

c c c c

A m A m AP f f f f M f f M f f dfδ δ

∞

−∞

= − + + + − + +

∫

2 2 2 2 22 2

2. ( ) ( )4 4 4

c m c m

c m c m

f f f f

c a c a cc c

f f f f

A m A m AP M f f df M f f df

+ − +

− − −

= + − + +∫ ∫

2 2 2 2 22 2

2. ( ) ( )4 4 4

m m

m m

f f

c a c a c

f f

A m A m AP M f df M f df

− −

= + +∫ ∫

2 2 22

2. 2. ( )4 4

m

m

f

c a c

f

A m AP M f df

−

= + ∫

2 2 22

22 2

22 2 2

( )2 2 1 ( )

2( ) os

2

c a c

ca

cc c c

A m AP m t

AP m m t

AP c t A C w t

= + < >

⇒ = + < > =< >=< >=

[volt2]

Elde edilir.


33

2.5. GENLİK MODÜLATÖRLER İ

Burada amaç, bilgi işareti )(tm verildiğinde ve tCoswc taşıyıcı elimizde hazır

olduğunda, modüle edilmiş


işaretini üretmektir. AM işaretini üretme yöntemlerini dört bölümde toplayabiliriz.

• Örneksel çarpma • Kıyıcı modülasyonu • Doğrusal olmayan devre modülasyonu • Doğrudan akortlu devre modülasyonu

Özel uygulama yerine bağlı olarak, AM dalga biçimleri ya düşük güç düzeylerinde ya

da yüksek güç düzeylerinde üretilir. Yukarıda ilk üç türdeki AM modülatörlerinde modülasyon düşük güç düzeylerinde yapılır ve daha sonra istenilen güç düzeyine yükseltilir. Doğrudan akortlu devre modülasyonunda ise yüksek güç düzeyli AM işareti doğrudan üretilir.

2.5.1. ÖRNEKSEL ÇARPMA


[ ])(m1A)( c tmtv a+=

tCosw)( c=tc

)().()( tctvtSAM = ifadesine göre AM işareti iki işaretin çarpımı ile üretilebilir. Bu kolay bir çarpmadır ve hiçbir teorik sınırlama olmadan yapılabilir. Ancak uygulamada bazı güçlükler ortaya çıkar. Çarpma işlemi )(tv ile )(tc ‘nin genlik ve frekanslarına bağlıdır. Bu çarpımı elde etmenin çeşitli yolları vardır. Gerçekte AM dalga biçiminin üretimi bu çarpmanın gerçekleştirilmesinden başka bir şey değildir. Burada teorik olarak kolay, ancak uygulamada o kadar kolay olmayan doğrudan çarpma işlemi incelenmektedir. Bu çarpımı dolaylı bir biçimde elde etmenin yolları ve çözümlemesi ileride incelenecektir. Çeşitli AM modülatörleri incelenirken zaman bölgesi ve frekans bölgesi çözümlemeleri ayrı ayrı yapılacaktır. Verilen son eşitli ği frekans düzleminde yazarsak:

[ ] [ ])().()( tctvFtSF AM =

)(*)()( fCfVfSAM = Burada;


34

[ ] ( ) 1 . ( )c aF v t F A m m t= +

( ) ( ) . . ( )c a cV f A f m A M fδ= +

[ ]1( ) ( ) ( )

2 c cC f f f f fδ δ= − + +

olduğundan;

[ ] [ ]1( ) ( )* ( ) ( ) ( ) * ( ) . . ( )

2AM c c c a cS f C f V f f f f f A f m A M fδ δ δ= = − + + +

[ ] [ ].( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2c a c

AM c c c c

A m AS f f f f f M f f M f fδ δ= − + + + − + +

bulunur. Bu işaretin spektrumu Şekil 2.25 de verilmiştir.

f(Hz)

V(f)

-fm fm m

Ac Acma

f(Hz)

C(f)

fc m

-fc m

1/2

-fc-fm f(Hz)

SAM(f)

fc-fm

maAc /2

fc m

fc+fm -fc m

-fc+fm

Ac /2

Şekil 2.25 ( ) * ( )V f C f işaretinin spektrumu

2.5.2 KIYICI MODÜLASYONU Genlik modülasyonlu işaretin ifadesini yeniden düzenlersek:


tCosw)(mAtCoswA)( cccc tmtS aAM +=

Buna göre cm( ).Cosw tt yi üretmek için Şekil 2.26a da verilen modülatör kullanılabilir. )(mt

işareti bir anahtar yardımıyla nöbetleşe kısa devre edilir ve topraklanır. Sonuçta elde edilen işaret bir bant geçiren filtreden geçirilir. Bant geçiren filtre cf ’de ve filtre bant genişliği en az


35

)(m t ’nin en yüksek frekansın iki katı olmalıdır. Bu modülatörün eşdeğer gösterimi Şekil 2.26b’ de verilmiştir.

m(t)

fc

BPF H(f) f0=fc

s(t)= k.m(t)Coswct v(t)

Şekil 2.26a. Bir kıyıcı modülatörün blok yapısı

p(t)

Tc

v(t) X s(t)= k.m(t)Coswct

m(t)

t

1

BPF H(f) f0=fc

Şekil 2.26b. Kıyıcı modülatörün matematiksel modeli Şekil 2.26b’de verilen kıyıcı modülatörün blok çiziminin çeşitli noktalarında işaretini araştıralım. Modüle eden )(tm işareti ile birim genlikli ve periyodu Tc olan kare dalga işareti

)(tp nin çarpımı, )(tv elde edilir. )(tp nin Fourier serisi açılımını kullanılarak bu çarpım aşağıdaki şekilde yazılabilir.

( ) ( ). ( )v t m t p t=

( )01

( ) 2 .n c nn

p t C C Cos nw t ArgC∞

== + +∑

1. / 2 . / 2. . 1sin sin sin

2 2c c

c c c c

CnT nTA n n

c c cT T T T

τ τ= = =

1 2 2 2 2( ) 3 5 7 ....

2 3 5 7c c c cp t Cosw t Cos w t Cos w t Cos w tπ π π π

= + − + − +

1 2 2 2( ) ( ). ( ) ( ) ( ). ( ). 3 ( ). 5 ....

2 3 5c c cv t m t p t m t m t Cosw t m t Cos w t m t Cos w tπ π π

= = + − + −

cf frekansına oturtulmuş bant geçiren filtre yalnız ikinci terimi geçirir ve diğerlerini tümüyle

söndürür. Buna göre blok devrede BPF’nin çıkışında

2( ) ( ). os cs t m t C w t

π=

işareti elde edilir. Bu blok devrenin çıkışı zaman düzleminde Şekil 2.27 da verilmiştir.


36

s(t)

m(t)

t v(t)

Tc t

t

Şekil 2.27. Şekil2.26 verilen Kıyıcı modülatörün çeşitli noktalarındaki işareti

Yalnız ikinci terimin geçmesi ve bunun bozulmaya uğramaması için bazı koşullar sağlanmalıdır. Önce cf frekansı )(tm deki en yüksek mf frekansının en az iki katı olmalıdır,

yani mc ff 2> dir. Bu koşul sağlandığında anahtar çıkışındaki ifadedeki birinci ve ikinci

terimlerin spektrumları çakışmaz. Eğer bu koşul sağlanmazsa birinci ve ikici terimlerin spektrumları çakışır ve bir bant geçiren filtre yardımıyla tCoswtm c).(2

π yi elde etmek

olanaksızlaşır. İkinci koşul ise cf deki bant geçiren filtrenin bant genişliği ile ilgilidir. Filtre

yalnız ikinci terimi geçirmeli ve diğerlerini tümüyle söndürmelidir. Filtrenin bant genişliği en az mf2 Hz ve en çok )(2 mc ff − olmalıdır. Kabaca bant genişliği cf olabilir.

cf frekansı mf2 den çok fazla büyük olmazsa, bant geçiren filtre üzerindeki kısıtlamalar

daha sıkılaşır. İstenilen terimin bozulmadan geçmesi ve temel bant işareti ile üçüncü harmoniğin tamamıyla yok edilmesi gerekir. Bu nedenle filtre spektrumunun düz ve kesim frekansının keskin olması yani ideal olması gerekir. cf frekansı mf2 den çok büyük ise, bant

geçiren filtre üzerindeki bu kısıtlamalar daha esnek olabilir. Bant geçiren filtre ve cf

üzerindeki bu koşullar frekans bölgesi çözümlemesi yapılarak daha iyi anlaşılabilir.

2.5.2.1 FREKANS BÖLGESİ ÇÖZÜMLEMES İ Anahtar çıkışındaki işaret zaman düzleminde ( )m t ile ( )p t nin çarpımı vardır. Bu nedenle çarpıcı çıkışındaki işaretin spektrumu ( )M f ile ( )P f in katlamasıdır. Şekil 2.28’de ( )M f ,

( )P f ve bunların katlanmaları çizilmiştir. Bant geçiren filtrenin yalnız cf civarındaki frekans

bileşenlerini bozmadan geçirmesi, ana bant işareti ile üçüncü ve diğer harmonikleri tümüyle


37

f(Hz)

M(f)

-fm fm m

-3fc m

f(Hz)

P(f)

fc m

-fc m

1/2

3fc

1/π 1/π 1/3π 1/3π

-3fc f(Hz)

V(f)

fc m

-fc m

1/2.M(f)

3fc m

1/π.M(f-f c) 1/π.M(f+f c) 1/3π.M(f-3fc) 1/3π.M(f+3fc)

fc-fm fc+fm -fm fm 3fc+fm 3fc-fm

f(Hz)

H(f)

f-fc m

1 m

f(Hz)

S(f)

fc -fc

1/π.M(f-f c) 1/π.M(f+f c)

fc-fm fc+fm -fc-fm -fc+fm

Şekil 2.28 Kıyıcı modülatör frekans bölgesi çözümlemesi söndürmesi istenir. Şekil 2.28’de bu işi yapan bir bant geçiren filtrenin transfer fonksiyonu da verilmiştir. Bant geçiren filtrenin çıktısının spektrumu şöyledir.

[ ]1( ) ( ) ( )c cS f M f f M f f

π= − + +

Ters Fourier dönüşümü alınarak buna karşı gelen zaman foksiyonu

2( ) ( ). cs t m t Cosw t

π=

olarak bulunur. 2c mf f≥ koşulu ile bant geçiren filtrenin bant genişliği üzerindeki diğer

koşullar Şekil 2.28’den görülebilir. Bant geçiren filtre ideal olmayacağından, ( )s t işaretinde bir ölçüde bozulma olması kaçınılmazdır. Ancak bu düşük düzeylerde tutulabilir.


38

Şekil 2.26’da blok çizimi verilen kıyıcı modülatörü, uygulamada Şekil 2.29’daki devre ile gerçekleştirilebilir. Şekil 4.14’deki 1,2 ve 3 noktaları Şekil 4.11’deki aynı noktalara karşı gelir.

+

+ m(t)

2

Coswct

R

1

C L

R R

D1

D2

D3

D4 v(t) s(t)

Şekil 2.29 Uygulamadaki bir kıyıcı modülatörü Şekil 2.29’daki kıyıcı modülatörün çalışması: Burada ( )cCosw t m t olduğu kabul edelim. cCosw t’nin negatif olduğu yarı periyotta dört

diyotun hepsi de kısa devredir. Diyotlar kısa devre olduklarında D1 diyotu üzerindeki gerilim ile D2 diyotu üzerindeki gerilim aynıdır ve böylece 1 ucu ile 2 ucunun gerilimi aynıdır. Böylece cCosw t negatif olduğunda 1 ucu toprağa bağlanmış olur ve 2 noktasındaki gerilim

sıfır olur.

cCosw t’nin pozitif olduğu yarı periyotta dört diyotun hepsi de açık devredir ve sonuçta 1

noktasındaki gerilim m(t) ye eşit olur. Buna göre 1 noktasındaki gerilim ( ) ( ). ( )v t m t p t= ’dir. Çıkıştaki paralel rezonans devresi bir bant geçiren filtre olarak iş görür. Kıyıcı modülasyonu üzerine yapılan bu tartışmayı bitirmeden önce kıyıcı modülasyonu ile ilgili şu iki ilginç gözlemi belirteceğiz. m(t) yi p(t) ile çarpmak yerine [ ]2 ( ) 1p t − ile

çarparsak, çarpımda temel bant terimi gözükmez.

[ ] 4 4 4 4( ) ( ). 2 ( ) 1 ( ). 3 5 7 ....

3 5 7c c c cv t m t p t m t Cosw t Cos w t Cos w t Cos w tπ π π π = − = − + − +

4 4 4 4( ) ( ). ( ). 3 ( ). 5 ( ). 7 ....

3 5 7c c c cv t m t Cosw t m t Cos w t m t Cos w t m t Cos w tπ π π π

= − + − +

Birinci terim istenilen işarettir ve bant geçiren filtreden geçer, ötekiler ise bant geçiren filtre tarafından tümüyle söndürülür. Bu değiştirilmi ş kıyıcı modülatörün blok çizimi ile çeşitli noktalardaki spektrumu Şekil 2.30’da verilmiştir. Şekil 2.30’dan de görüleceği gibi bu modülatörün üstünlüğü daha önce belirtilen koşulların daha esneklik sağlamasıdır. Örneğin ana bant bileşeni olmadığından spektrumların üst üste çakışmaması için 2c mf f> olması gerekmez, c mf f> yeterlidir. Ana bant bileşeni olmaması


39

nedeni ile 0 cf f= Hz ‘deki bant geçiren filtrenin bant genişliği en çok 2 cf olabilir. O zaman

bu filtre kesim frekansı 2 cf olan bir alçak geçiren filtre olur. Bant geçiren filtre bant genişliği

en az 2 mB f= Hz’dir. Modülatörde yapılan bu ufak değişiklik 0f ve filtre bant genişliği

üzerindeki kısıtlamaları biraz azaltma amacını güder. Ancak bu modülatörü gerçekleştirmek, kıyıcı modülatörünü gerçekleştirmek kadar kolay değildir.

2p(t)-1

Tc

v(t) X

4( ) ( ). cs t m t Cosw t

π=

m(t)

t 1

BPF H(f) f0=fc

-1

-3fc f(Hz)

V(f)

fc m

-fc m

3fc m

2/π.M(f-f c) 2/π.M(f+f c) 2/3π.M(f-3fc) 2/3π.M(f+3fc)

fc-fm fc+fm 3fc+fm 3fc-fm -fc-fm -fc+fm -3fc-fm -3fc+fm

f(Hz)

S(f)

fc -fc

2/π.M(f-f c) 2/π.M(f+f c)

fc-fm fc+fm -fc-fm -fc+fm Şekil 2.30 Değiştirilmi ş kıyıcı modülatörü ve çeşitli noktalardaki işaretlerin spektrumu

Yapılan ikinci gözlem ise ( )m t ’yi, ( )p t ile çarpmak yerine, periyodu cT olan herhangi bir

periyodik ( )p t işareti ile çarpabilmemizdir. ( )p t periyodik işaretinin birinci harmoniği

sıfırdan farklı olmalı, yani Fourier serisi katsayısı 1 0C ≠ ve çift simetrik olmalıdır.

( ). ( )m t p t ’nin spektrumu 0, ,2 ,3 ,.....c c cf f f frekanslarına aktarılmış ( )m t spektrumlarından

oluşur. Bant geçiren filtre yalnız cf çevresindeki frekans bileşenlerini geçirir, diğerlerini

tümüyle söndürür. cf çevresindeki frekans bileşenlerinin sıfır olmaması için 1 0C ≠ koşulu

gereklidir. cf çevresindeki terimin fazı sıfır olan bir kosinüs işareti olabilmesi için ise çift

simetri koşulu aranır. Kıyıcı modülatöründe yapılanan benzer bir frekans bölgesi çözümlemesi burada da yapılabilir. Şekil 2.31’de bu değiştirilmi ş kıyıcı modülatörün blok yapısı verilmiştir. Burada da bant geçiren filtre cf ye oturtulmuştur ve bant genişliği üzerindeki koşullar, kıyıcı

modülatöründeki koşullarla genel olarak aynıdır. Bu değiştirilmi ş kıyıcı modülatöründe karşılaşılan güçlük, daha önce belirtildiği gibi, çarpma işleminin yapılmasındadır. Eğer


40

çarpma işlemi kolayca yapılabilseydi, ( )m t ’yi doğrudan cCosw t ile çarpar ve bir bant

geçiren filtre gereksinmesinden kurtulurduk.

v(t) X 1( ) 2. . ( ). cs t C m t Cosw t=

m(t)

1

( ) ( ); ( ) ( )

( ) ; 0c

c

jnw tn

n

p t p t T p t p t

p t C e C∞

=−∞

= − = −

= ≠∑

BPF H(f) f0=fc

Şekil 2.31 Değiştirilmi ş kıyıcı modülatörü

2.5.3 DOĞRUSAL OLMAYAN ELEMAN MODÜLASYONU Genlik modülatörlerinin büyük bir çoğunluğu doğrusal olmayan elemanları kullanır. Sonuçta elde edilen dalga biçimi bilgi işaretinde olmayan frekansları da içerdiğinden, genlik modülasyonu doğrusal bir işlem değildir. Bu nedenlerle doğrusal olmayan elemanları içeren devrelerle bu modülasyon gerçekleştirilebilir. Doğrusal olmama özelliği, modülasyon için gerekli mekanizmayı sağlar. Şekil 2.32’deki modülatörü düşünelim. Doğrusal olmayan [ ]( ) ( )y t f v t= öz eğrisinin sürekli

olduğunu ve bunun Taylor serisi açılımının şu biçimde olduğunu varsayalım.

v(t)

X ( )s tm(t)

( ) . cc t k Cosw t=

BPF H(f) f0=fc

y(t)

Şekil 2.32 Doğrusal olmayan eleman genlik modülatörü

[ ] 2 31 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t f v t a v t a v t a v t yüksek dereceterimleri= = + + +

Üçüncü ve daha yüksek derece terimlerinin sıfır ya da ihmal edilebilir olduklarını kabul edelim. Bu modülatörlerle genlik modülasyonlu işaretinin üretilmesinde ikinci derece terim önemli olan terimdir. Yukarıda yapılan varsayımlarla doğrusal olmayan elemanın çıkışındaki işareti şöyle ifade edebiliriz.

21 2( ) ( ) ( )y t a v t a v t= +

Şekil 2.32 verilen modülatör çıkışını bulmak için önce doğrusal olmayan eleman girişi;


41

( ) ( ) .cos cv t m t k w t= +

Olacaktır. Doğrusal olmayan eleman çıkışı ise;

( ) ( )2

1 2( ) ( ) .cos ( ) .cosc cy t a m t k w t a m t k w t= + + + 2 2 2

1 1 2 2 2( ) ( ) .cos ( ) .cos 2 . ( ).cosc c cy t a m t a k w t a m t a k w t a k m t w t= + + + +

İfade düzenlenirse;

2 222 2 2

1 1 21

İstenilmeyen ifadeGenlik modülasyonlu ifade

( ) 1 2 ( ) cos ( ) ( ) .cos 22 2c c

a a k a ky t a k m t w t a m t a m t w t

a

= + + + + −

1444444424444444314444244443

1cA a k= ve 2

1

2a

am

a= kısaltmaları yapılırsa birinci ve ikinci terimlerin istenilen genlik

modülasyonlu işaretin ifadesini oluşturduğu görülür. Geri kalan terimler istenilmeyen terimlerdir ve bir bant geçiren filtre tarafından tümüyle söndürülür. Böylece filtrenin çıkışında istenilen genlik modülasyonlu işaret elde edilir. Doğrusal olmayan eleman çıkışındaki ( )y t işaretinin spektrumu Şekil 2.33’de verilmiştir.

f(Hz)

M(f)

-fm fm m

1 ( )a M f

-2fc m

f(Hz)

Y(f)

fc m

-fc m

1

2

a k

2

1

( )c

aM f f

a− 2

1

( )c

aM f f

a+

fc-fm fc+fm -fm fm

2 ( )* ( )a M f M f

2fm -fc-fm -fc+fm -2fm 2fc m

1

2

a k 2

2

2

a k

22

2

a k

22

2

a k

BPF BPF

Şekil 2.33 Doğrusal olmayan eleman genlik modülatörün y(t) işaretinin spektrumu Bant geçiren filtre üzerindeki koşullar, bu spektrumdan kolayca bulunabilir. Bant geçiren filtre cf frekansına merkezlenmelidir. İstenilen terimleri geçirmesi için bant genişliği en az

2 mf Hz, dördüncü ile diğer terimlerden kurtulmak için ise bant genişliği en çok

2( 2 )c mf f− Hz olmalıdır. Şekil 2.33ten görülebileceği gibi genlik modülasyonlu işaretin

spektrumu ile ana bant işaretinin katlamasının spektrumu çakışmaları için 3c mf f≥ olmalıdır.

Eğer bu koşul sağlanmazsa bu spektrumlar üst üste biner ve genlik modülasyonlu işaret bir bant geçiren filtre ile elde edilemez.


42

Üç ve daha yüksek derece terimlerin ihmal edilmesi varsayımı doğru değilse, ortaya bir üçüncü derece terimi

[ ]3 3 2 2 2 3 33 3( ) ( ) 3 . ( ). 3 . ( ).c c c ca m t kCosw t a m t k m t Cosw t k m t Cos w t k Cos w t + = + + + +

de ilave olacaktır. Burada ikinci terimin spektrumu cf ’ye merkezlenmiş ( ) * ( )M f M f

bileşenidir. Bu terim olduğunda, cf ’ye merkezlenmiş bant geçiren filtre yalnız genlik

modülasyonlu işareti geçirmez. Bu ikinci terim de geçer. Bu nedenle üçüncü derece terimi olduğunda bu modülatör istenildiği gibi çalışamaz. Üçüncü derece terimi olduğunda 2 cf ’ye

merkezlenmiş bir bant geçiren süzgecin çıkışında genlik modülasyonlu işaret elde edilir. Eğer doğrusal olmayan elemanın daha yüksek derece terimleri varsa bunu da elde edemeyiz. Daha önce de söz edildiği gibi doğrusalsızlığın en önemli terimi ikinci derece terimidir. Öz eğrisi yalnız ikinci derece terimini içeren modülatör kare-kural modülatörü olarak adlandırılır. Yukarıda gösterildiği gibi doğrusalsızlık rasgele bir doğrusalsızlık değildir. Aşağıda doğrusal olmayan eleman modülasyonu üzerine iki örnek daha çözümlenecektir. ÖRNEK: Şekil 2.34’de verilen modülatörü düşünelim. Modülatörün çalışması verilen blok çizimi izlenerek kolayca anlaşılabilir. Bloktan da görüldüğü gibi herhangi bir fitler kullanmadan DSB işareti elde edilir.

( ) cm t Cosw t−

( )s t

( ) cc t Cosw t=

( ) cm t Cosw t+

m(t) ( . )2

( . )2

Doğrusal olmayan eleman

x(t)

y(t)

Şekil 2.34 Doğrusal olmayan eleman genlik modülatörü (kare kuralı modülatörü)

( )2 2 2( ) ( ) ( ) 2 ( ).c c cx t m t Cosw t m t Cos w t m t Cosw t= + = + +

( )2 2 2( ) ( ) ( ) 2 ( ).c c cy t m t Cosw t m t Cos w t m t Cosw t= − = + −

( ) ( ) ( ) 4. ( ). cs t x t y t m t Cosw t= − =

Elde dilen DSB işaretine taşıyıcı ekleyerek genlik modülasyonlu işaret üretilmiş olur. Burada kullanılan kare kuralı elemanların birbirleriyle aynı olması ve tam kare almaları gerekir. ÖRNEK: Doğrusal olmayan eleman modülatörüne başka bir örnek Şekil 2.35’de verilmiştir.

( ) . cm t k Cosw t varsayılır. Buna göre diyot yalnız cCosw t’nin pozitif periyotlarında iletir.

Diyot çıkış akımı şu biçimdedir.


43

[ ]( ) ( ) . . ( )cv t m t k Cosw t p t= +

+

+ m(t)

k.Coswct s(t)

BPF H(f) f0=fc

v(t)

Şekil 2.35 Bir tür doğrusal olmayan eleman modülatörü

Burada ( )p t darbe işareti olacaktır, bunun Fourier serisi açılımı yazılırsa,

1

/ 4 1( ) ( ) .

/ 2 2 2c c

cn nc

t T nT np t Sinc Cosnw t

T

∞ ∞

=−∞ =

− −= = +∑ ∑∏

Elde edilir. Bu ifade ( )v t de yerine konur ve BPF çıkışından cf civarındaki bileşenler

geçirilirse;

[ ]1

1( ) ( ) . . .

2 2c cn

nv t m t k Cosw t Sinc Cosnw t

∞

=

= + +

∑

1 1

1 1( ) ( ) ( ) . . . .

2 2 2 2c c c cn n

n nv t m t m t Sinc Cosnw t k Cosw t k Cosw t Sinc Cosnw t

∞ ∞

= == + + +∑ ∑

1 1 4

( ) ( ). . . 1 ( ) .2 2 2 .c c c

kv t m t Sinc Cosw t k Cosw t m t Cosw t

kπ = + = +

Elde edilir. Bu ifade de genlik modülasyonlu işarettir. Bu modülatörde diyot bir kıyıcı olarak kullanılır. Burada yapılan çözümleme kıyıcı modülatöründe yapılan çözümleme ile aynıdır. Bu nedenle, bu modülatör doğrusal olmayan eleman modülatörü olarak düşünülebilir.

2.5.4 DOĞRUDAN AKORTLU DEVRE MODÜLASYONU

Bu modülasyon yöntemi yüksek güç düzeylerinde, genliği modülasyonlu işaret üretmek için kullanılır. Modülatör, triyot plakasından modülasyon verilen, bir C sınıfı yükselteçtir. Doğrudan akortlu devre modülatörü olarak adlandırılan modülatörün devresi Şekil 2.36’de verilmiştir. VGG çok büyük bir gerilim ise tüp normal olarak iletmez. Taşıyıcının tepe değerlerinde tüp akım geçirir. Buna göre çıktı yani plaka akımı, cCosw t’nin tepe değerlerini gösteren bir dizi

vurumdur. Bir başka deyişle plaka akımı, frekansı cf olan bir darbe dizisidir.


44

+ + m(t) k.Coswct

SAM(t)

VGG VAA

Şekil 2.36 Genlik modülatörü olarak kullanılan ve plakasından modülasyon verilen bir C-sınıfı yükselteç Plaka akımının büyüklüğü plaka gerilimi ile orantılıdır. Plaka gerilimi VAA bilgi işareti

( )m t ’ye bağlı olarak değiştirilirse, plaka akımı genliği ( )m t ile değişen darbelerden oluşur. Yükseltecin çıkışındaki akortlu devre, genlik modülasyonlu işareti elde etmek için kullanılan bir bant geçiren filtredir. Bu modülatör, yükseltecin C sınıfı olarak çalışması nedeniyle ortaya çıkan doğrusalsızlığı kullanır. Standart genlik modülasyonlu vericilerinde bu tür modülatörler yaygın olarak kullanılır. ÖDEV: 1 1 2 2 3 3( ) cos cos cosm t m w t m w t m w t= + + olduğuna göre genlik modülasyonu

ifadesini yazınız ve buna ait spektrumu çiziniz.

2.5.5 DENGELİ (BALANCED) MODÜLATÖRLER Daha önce çarpım işlemi yapan sistemler yardımı ile iki işaretin çarpılması kullanılarak modülasyonun sağlandığına değinilmişti. Bu sistemler gerçek uygulamada çıkışında sadece çarpım işaretini veren fiziksel sistemleri gerçeklemek genellikle mümkün değildir. Bu sistemler çıkışlarında giriş işaretlerinin çarpımlarının yanı sıra giriş işaretlerinin kendilerini de vermektedir. Genel olarak ana band işareti m(t), taşıyıcı frekansı cf ’den oldukça küçük bir frekans değeri

ile band sınırlıdır. Örneğin ana band işareti 0–1000 Hz frekansları ile sınırlı olduğunda ve

cf =1MHz ise bu durumda taşıyıcı ise onun 999000Hz ‘den 1001000Hz’e yayılmış yan

bandları, anaband işaretinin bir filtre yardımı ile bastırılması ile elde edilebilir. Yani çıkış bir AM i şaretidir. Eğer çarpım sonucunda elde edilmesi düşünülen tek başına elde edilmesi isteniyorsa taşıcıyı ortadan kaldırmak ya da bastırmak (suppress) gerekir. Bu bastırma işlemi genlik modülasyonlu işarete, taşıyıcı frekansı ve genliğine eşit ancak zıt fazlı bir işaret eklemekle başarılır. Bu durumda çıkışta yalnızca yan bantlar kalır. Bu durumda çarpma işareti taşıyıcısı bastırılmış bir AM işaretidir. Ve bu işaret ayrıca ‘TAŞIYICISI BASTIRILMI Ş ÇİFT YAN BAND ‘i şareti olarak adlandırılır.(DSB-SC) Kısaca DSB işareti elde edilir. Taşıyıcının bastırılması için yapılan bir sistem Şekil 2.37’de görülmektedir. Burada iki fiziksel çarpıcı kullanılmış ve bunlar genlik modülatörleri olarak adlandırılmıştır. İki ayrı modülatöre giren taşıyıcı ve bilgi işaretleri zıt fazdadır. Modülatör çıkışları toplandığında taşıyıcı bastırılmış olmaktadır. Böylece dengeli modülatör çıkışı Şekil 2.37’den yazılabilir.


45

( ) ( ) ( )s t x t y t= +

( ) ( ). ( ) ( ). ( )c c c c c c c cs t A m t Cosw t A Cosw t m t A m t Cosw t A Cosw t m t= + + + − −

( ) 2 ( ).c cs t A m t Cosw t=

( ) ( ). ( )c c c cy t A m t Cosw t A Cosw t m t= − −

( ) ( ) ( )s t x t y t= +

( ) cc t Cosw t= ( ) ( ). ( )c c c cx t A m t Cosw t A Cosw t m t= + +GENLİK

MODÜLATÖRÜ

m(t)

GENLİK

MODÜLATÖRÜ

DENGELİ MODÜLATÖR

Şekil 2.37 Dengeli modülatör blok yapısı Burada yalnızca taşıyıcı işaret bastırılmakta kalınmamış m(t) ana bant işareti de bastırılmış olmaktadır. Ayrıca iki modülatör çıkışının toplanması işaret gücünü artırmaktadır. Ancak biz çözümlerimizde kolaylık olsun diye dengeli modülatör çıkışını birim genlikte kabul edeceğiz. Şekil 2.37’de verilen bu yapı ‘’DENGELİ MODULATOR’’ adını alır. Yarı iletken teknolojisindeki gelişmelerle iki işaretin tam olarak çarpılmasını sağlayan entegre devreler geliştirilmi ştir. National’ın LM 1496, LM1596, Motorala’nın MC 1496, MC1596 Signetics 5596 gibi entegre devreler bu işi başarabildikleri gibi benzer pek çok işlevi de sağlamaktadır.

Documents

Analog HaberleÅŸme I