ANALYTICKÁ GEOMETRIE

LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

Mgr. Zora Hauptová

ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY

TEST

OPVK 1.5 – EU peníze středním školám

CZ.1.07/1.500/34.0116 Modernizace výuky na učilišti

VY_32_INOVACE_MA_3_20

Název školy Střední odborné učiliště Svitavy Nádražní 1083, Svitavy

Název šablony III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Předmět Matematika

Tematický celek Analytická geometrie lineárních útvarů v rovině

Téma Analytická geometrie přímky – test

Klíčová slova Souřadnice bodů, rovnice přímky, normálový vektor, směrový vektor, vzdálenost bodu od přímky

Druh učebního materiálu

Prezentace (Microsoft PowerPoint)

Metodický pokyn Prezentace je určena pro žáky SOU 4. ročníku maturitního oboru mechanik seřizovač a mechanik seřizovač – mechatronik

Datum vytvoření 25. 9. 2013

1. V kartézské soustavě souřadnic 𝑂𝑥𝑦 je dána přímka p. Uveďte rovnici přímky p v parametrickém i obecném tvaru.

určíme souřadnice průsečíků přímky p a os souřadnic A [-1; 0], B [0; 3]

parametrické vyjádření přímky p určené bodem A vektorem u = AB 𝑥 = −1 + 𝑡 𝑦 = 3𝑡

úpravou získáme obecnou rovnici −3𝑥 + 𝑦 − 3 = 0

2. V kartézské soustavě souřadnic 𝑂𝑥𝑦 je dána přímka p

Zjistěte, která z rovnic určuje přímku p

A. 3𝑥 + 𝑦 − 6 = 0

B. 𝑥 − 3𝑦 + 6 = 0

C. 𝑥 + 3𝑦 − 6 = 0

D. 3𝑥 − 𝑦 + 6 = 0

určíme souřadnice bodů přímky p, např. A [0; 2], B [3; 1]

souřadnice bodů dosadíme do rovnic přímky

rovnicí přímky p je rovnice c) 𝑥 + 3𝑦 − 6 = 0

3. Přímka p prochází bodem A, normálový vektor přímky p je n = (1; -1).

a) Zakreslete přímku p do kartézské soustavy souřadnic 𝑂𝑥𝑦.

b) Uveďte rovnici přímky p v obecném a směrnicovém tvaru.

c) Určete velikost směrového úhlu 𝜑.

A [1; 2], n = (1; -1)

do obecné rovnice 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 dosadíme souřadnice bodu A a vektoru n, vypočítáme koeficient 𝑐 𝑥 − 𝑦 + 1 = 0

úpravou získáme směrnicový tvar rovnice přímky p 𝑦 = 𝑥 + 1

směrnice 𝑘 = 1, 𝑘 = tg 𝜑, platí tedy tg 𝜑 = 1 ⇒ 𝜑 = 45°

4. V kartézské soustavě souřadnic 𝑂𝑥𝑦 je dána přímka p a bod A ∈ p. Zapište rovnici přímky q, která prochází bodem A a je kolmá k přímce p.

A [2; 0], B [-1; -1]

směrový vektor u = AB = (-3; -1) přímky p je zároveň normálovým vektorem přímky q

dosazením souřadnic bodu A a vektoru u do obecné rovnice dostáváme −3𝑥 − 𝑦 + 6 = 0

5. Přímka p je určena bodem A a směrovým vektorem u, přímka q je určena bodem B a normálovým vektorem v.

a) Sestrojte přímky p, q do kartézské soustavy souřadnic 𝑂𝑥𝑦.

b) Určete souřadnice průsečíku přímek p, q.

P [1; 3]

6. V trojúhelníku ABC jsou dány body A [-1; 3], B [1; -1] a vektor b = AC = (5; -1)

a) Sestrojte trojúhelník ABC do

kartézské soustavy souřadnic 𝑂𝑥𝑦.

b) Sestrojte těžnici 𝑡𝑐.

c) Určete obecnou rovnici přímky 𝑡𝑐.

určíme souřadnice bodu C C = A + b ⇒ C [4; 2]

těžnice je úsečka spojující vrchol se středem protější strany; určíme souřadnice středu strany 𝑐 = AB 𝑆𝑐 [0; 1]

přímka 𝑡𝑐 je určena bodem 𝑆𝑐 a směrovým vektorem 𝑆𝑐𝐶 = (4; 1)

do obecné rovnice dosadíme souřadnice bodu 𝑆𝑐 a normálového vektoru n = (-1; 4) −𝑥 + 4𝑦 − 4 = 0

7. V kartézské soustavě souřadnic 𝑂𝑥𝑦 je dán čtverec ABCD. A [-2; 0], u =AC = (4; 2)

a) Narýsujte čtverec ABCD do kartézské soustavy souřadnic 𝑂𝑥𝑦.

b) Vypočítejte obsah čtverce ABCD.

Vypočítáme souřadnice bodu C C = A + u ⇒ C [2; 2]

Narýsujeme čtverec ABCD

Vypočítáme velikost vektoru u = AC

|u | = 42 + 22 = 20

Obsah čtverce ABCD

S = 𝑢2

2

S = 20

2

2 = 10

8. Přímka p je dána bodem A [0; 3] a směrovým vektorem u = (-4; -3). Dále je dán bod M ∉ p, M [3; -1].

a) Zakreslete přímku p do kartézské

soustavy souřadnic 𝑂𝑥𝑦.

b) Vyberte odpovídající rovnici přímky p A. 4𝑥 + 3𝑦 − 12 = 0

B. 3𝑥 − 4𝑦 + 12 = 0

C. 3𝑥 + 4𝑦 − 12 = 0

D. 𝑥 − 3𝑦 + 9 = 0

c) Vypočítejte vzdálenost bodu M od přímky p.

Vypočítáme souřadnice druhého bodu přímky p u = AB = B – A ⇒ B = A + u ⇒ B [-4; 0]

Dosazením souřadnic bodů A, B do rovnic určíme rovnici přímky p B. 3𝑥 − 4𝑦 + 12 = 0

Vzdálenost bodu M od přímky p vypočítáme dosazením do vzorce

|Mp| = 𝑎𝑚1+𝑏𝑚2+𝑐

𝑎2+ 𝑏2

|Mp| = 3 .3 −4 . −1 +12

32+ −4 2 = 5

Kolouchová, Jana; Řepová, Jana; Šobr, Václav. Matematika pro SOŠ a studijní obory SOU, 5. část. Dotisk 1. vydání. Praha: SPN, 1987, ISBN 14-402-87.

Mikulčák, Jiří; Charvát, Jura. Matematické, fyzikální a chemické tabulky a vzorce pro střední školy. Dotisk 1. vydání. Praha: Prometheus, 2007, ISBN 978-80-7196-264-9.

Hudcová, Milada; Kubičíková, Libuše. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. Dotisk 2. vydání. Praha: Prometheus, 2006, ISBN 80-7196-318-6.

Matematický software GeoGebra, 4.2.310.