Andersonova lokalizácia IVUniverzalita prechodu kov-nekov,Téoria vs numerický experiment

Peter Markoš

Katedra experimentálnej fyziky FMFI UK

Svit 9. september 2015

Obsah

I kvázijednorozmerné systémy

I inverse participation ratio, multifraktálna štruktúra vlnovej funkcie

I univerzalita prechodu kov-izolant

I existujú lokalizované stavy v kovovej fáze ?

I Kritické exponenty pre d- rozmerný problém

I porovnanie analytických a numerických metód

Kvázijednorozmerné systémy

Ustredňovanie cez veľké štatistické súbory je namáhavé.Existuje možnosť vyhnúť sa mu?

1D Andersonov model: Schrödingerovu rovnicu

Φn+1 = (E −W εn)Φn − Φn−1

prepíšeme(Φn+1Φn

)=

(E −W εn −11 0

)(Φn

Φn−1

)= Mn

(Φn

Φn−1

)

(ΦN+1ΦN

)= ΠN

n=1Mn

(Φ1Φ0

)=MN

(Φ1Φ0

)

Kvázijednorozmerné systémyΛ1, Λ2 . . . vlastné hodnoty maticeMN :

Λ1Λ2 = 1

Keby W = 0, tak Λ1 = λN1 , λ2 − + 1 = 0.

Ak |E | < 2 tak λ1 = e iq - sme vo vodivostnom páseAk |E | > 2 tak λ1 = eκ > 1 - sme mimo pásu (“v gape”).Čo sa stane, ak zapneme neusporiadanosť ?

I Λ1 bude štatistickou veličinou

I matica[M†NMN

] 12N

má vlastné hodnoty

e+γ , e−γ

nezávislé od N (Oseledec, zákon veľkých čísiel)

Zákon veľkých čísiel

náhodné čísla x1, x2, . . . 〈x〉, var x generujme súčty

sn = x1 + x2 + · · ·+ xn

Potom v limite n→∞

〈sn〉 = n〈x〉 var sn ∼ n var x

Podobne, ak generujeme súčiny

σn = x1x2 . . . xn = exp [ln x1 + ln x2 + · · ·+ ln xn]

tak

〈lnσn〉 = n〈ln x〉 var lnσn = n var ln x

Preto očakávame, že γ konverguje ku svojej strednej hodnote.

Ukážka numerickej simulácie

1D Anderson model, energia E = 0, disorder W = 1.

0 2000 4000 6000 8000 100000

0.01

0.02

1e+06 1.002e+06 1.004e+06 1.006e+06 1.008e+06 1.01e+060.009566

0.009567

0.009568

0.009569

0.009570

0.009571

1e+08 1e+08 1e+08 1.0001e+08 1.0001e+08 1.0001e+080.00960329

0.0096033

0.00960331

0.00960332

0.00960333

0.00960334

0.00960335

0.00960336

γ ako funkcia dĺžky vzorky N.Analytická teória (poruchový počet do rádu W 2):γ(E = 0) = 0.00952 W 2 + . . . .Konvergencia: fluktuácie γ sú ∼ 10−6 ak N = 106 a klesnú o rád(∼ 10−7 ak vzorku predĺžime 100×.Fluktuácie klesajú ∼ N−1/2 (Oseledec)

Kvázijednorozmerné systémyDôsledky:

I γ je reálne, preto v 1D vždy dochádza k lokalizácii

I γ je výborný parameter na kvantifikovanie lokalizácie. Vlnováfunkcia klesá ako

Ψn ∝ e−γn

Preto ξ = 1/γ charakterizuje exp. pokles - polomer lokalizácie

Pozn. poruchovým počtom je možné nájsť

γ ≈ 12W 2〈ε2〉4− E 2

〈ε2〉 = 1/12 pre “box rozdelenie”

P(ε) =1W

Θ(W

2− |ε|)

Takže ak napr. E = 0 a W = 0.01, tak ξ ≈ 960 000

Kvázijednorozmerné vzorkyn-1 n n+1

Namiesto d-dozmerného modelu uvažujme vzorku veľkosti

Ld−1 × Lz Lz � L

Systém je topologicky jednorozmerný

Φn+1 = (E −Hn)Φn − Φn−1

prepíšeme(Φn+1Φn

)=

(E1− calHn −11 0

)(Φn

Φn−1

)Mn

(Φn

Φn−1

)Hn, 1 . . . matice Ld−1 × Ld−1(

ΦN+1ΦN

)= ΠN

n=1Mn

(Φ1Φ0

)=MN

(Φ1Φ0

)

Kvázijednorozmerné vzorky

Počet iterácií N = LzMN . . . matica rozmeru 2Ld−1 × 2Ld−1

Matica[M†NMN

] 12N

má vlastné hodnoty

e+γi , e−γi

nezávislé od N (Oseledec, zákon veľkých čísiel).Ak ich zoradím: γ1 < γ2 < γ3 . . .Tak γ1 je “polomer lokalizácie”:Vlnová funkcia pozdĺž systému klesá exponenciálne

Φn ∼∑i

aie−γin ≈ a1e

−γ1n n� 1

Konečnorozmerné škálovanie

Hľadajme, ako sa γ1 mení, keď šírka vzorky narastá:

I Ak je W >Wc , systém je v lokalizovanom režime a má svojpolomer lokalizácie ξ.Preto, ak šírka vzorky L > ξ tak γ1 ≡ ξγ1 bude saturovať ak L→∞.

I Ak je W <Wc , systém nemá lokalizačnú dĺžku, ale má konečnúvodivosťvtedy γ1 klesá, keď L rastie (približný vzťah γ1 ∼ L1−d).

I v kritickom bode γ1L zostáva konštantné.

Numerická úloha: nájdi γ1, L,W ) a využi konečnorozmerné škálovanie:

z1 = γ1L ≈= zc + A(W −Wc)L1/ν + BLy + . . .

3D model: Lyapunov exponent of quasi-1D systems

Andersonov model L× L× Lz .

0 5 10 15 20 25L

2,8

3

3,2

3,4

3,6

3,8

4

4,2

z1

W=17

W=16

0,1 1 10

LLL

3

3,2

3,4

3,6

3,8

4

z1

-0,4-0,2 0 0,2 0,40

2

4

6

xx

Dĺžka: ak chceme získať relatívnu presnosť ε potrebujeme

Lz ≈12ε

L

Teda pri presnosti ε ∼ 0.001 je dĺžka Lz = 500 000 L.Preto sú tieto počty dosť numericky náročné.

3D model: Lyapunov exponent of quasi-1D systems

Ψ(Lz) ∼ exp[−z1(W , L)

Lz2L

]

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4

= W - 16.55

2.8

3

3.2

3.4

3.6

3.8

4

4.2

z1

20 3.48 + 0.97 τ + 0.07 τ2

26 3.48 + 1.17 τ + 0.19 τ2

30 3.49 + 1.29 τ + 0.17 τ2

34 3.48 + 1.36 τ + 0.20 τ2

1234

τ

1 L =

2 L =

3 L =

4 L =

6 8 20 26 341612L

0.5

0.6

1.0

1.4

0.8s(L)

s(L) = 0.1448 L0.6385

ν = 1.566

Limita Lz � L:

z1 ≈= z1c + A(W −Wc)L1/ν + . . .

z1(W , L) = z1c + (W −Wc)× s(L) s(L) ∼ L1/ν

Šírka systému je L ≤ 34.

Komentár ku škálovaniu

I nie je treba sa obmedziť na jednoduchý fit; bežné sú fity s 10parametrami (korekcie k ξ(W ), korekcie k lineárnej závislosti za(W )apod)

I História: metóda sa používa od r. 1981 (4 ≤ L ≤ 8). Hodnotakritického exponentu sa “zlepšila” cca o 4%. Dôvod: kritickáhodnota z1 je dostatočne veľká.

I Metóda bola aplikovaná na vyšetrovanie viacerých fyzikálnychveličín. Výsledky sú konzistentné.

Univerzalita prechodu kov - izolant

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10Energy

0

2

4

6

8

Dis

ord

er

Insulator

Metal

Ec1

Ec2

(E=0, Wc)

Fázový diagram . . . prebieha prechod z jednej fázy do druhej rovnako vľubovoľnom bode na kritickej čiare ?

Inverse Participation Ratio IPR

Electron eigenfunction Φn(~r) in the critical region:

IPR (inverse participation ratio)

Iq(En) =∑r

|Φn(r)|2q

Iq(En) ∼{

L−d(q−1) metal1 insulator

Critical point: wave functions aremultifractals:

Iq(En) ∼ L−dq(q−1)

dq: universal multifractal dimensions

Universality of Anderson transition

Scaling of IPR

Y (E ) =1

Nstat

Nstat∑i

∑|E−En|<δE

ln I (En)

Ensemble of Nstat sampels.The i-th sample has ni Eigenvalues in theenergy interval

E ± δE

Scaling:

Yq(E , L) = Y cq −dq(q−1) ln L+A(E−Ec)L1/ν

For Gaussian disorder:W = 2, Ec = 6.58, d5 = 0.96, ν = 1.52.

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10Energy

0

2

4

6

8

Dis

ord

er

Insulator

Metal

Ec1

Ec2

(E=0, Wc)

12 20 30 40 5016

L

-16

-14

-12

-10

-8

-6

<Y

5(E

,L)>

E = Ec: Y

5 = 1.04 -3.83*ln L

E = 6.8

E = 6.5

Critical exponent a fractal dimensions

1 2 3 4 5 6q

1.3

1.4

1.5

1.6

ν

GWc

GEc

BWc

0 1 2 3 4 5 6q

0,8

1

1,2

1,4

dq

GWc

GEc

BWc

. . . should be the same for any critical point and any kind of disorder.

Properties of IPRIPR depends on the realization of the disorderFor a given sample, I2 possesses values from ∼ L−3 up to 1.

12 18 24 32 40

L-10

-8

-6

-4

-2 E=6.5E=6.0E=3.0

2 2.5 3 3.5

0.01

0.1

1

1 2 3 4

0.0625

0.125

0.25

0.5

k

0 2 4

0.001

0.01

0.1

L = 18L = 24L = 32L = 40

ln I(L) - aE ln L

E = 3.0

E = 6.5E = 6.0

Y = -aE ln L

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0

ln I

0.01

0.1

1

L=24L=20L=16L=12

P( ln I )

E = 7.5

For metal (E < Ec) 0-6 6-10 10Energy

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Dis

ord

er W

/ W

c

metal

insulator(E = 0, Wc)

Ec

and insulator (E > Ec)

There are no localized states in the metallic phase

0-6 6-10 10Energy

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Dis

ord

er W

/ W

c

metal

insulator(E = 0, Wc)

Ec

Pohybujme sa pozdĺž vodovnej čiary W = 2. Sú všetky stavy pre E < Ec

kovové?Mott: ano, pretože každý lokalizovaný stav by bol nestabilný vočiinfinitezimálnej fluktuácii disorderu, pretože by sa naviazal so susednýmkovovým:

Φlok,Φkov → Φ1kov,Φ2kov

Dá sa to numericky overiť? Áno.

There are no localized states in the metallic phase

-3 -2 -1 0 1 2 30.01

0.1

1

10

P( ln

I2)

-3 -2 -1 0 1 2 30.01

0.1

1

10

P( ln

I2)

-3 -2 -1 0 1 2 3

ln I2 - d

2 ln L

0.01

0.1

1

10

P( ln

I2)

6.586.15.14.13.1

0.1

7.17.6

6.58 7.17.6

6.15.1

4.13.1

6.586.1

5.14.1

7.1

L = 12

L = 16

L = 24

Finite size analysis of the distributionP(ln I2)

Typically, I2 ∼ L−3.

Probability to find I2 > L−2 or I2 >L−3/2:

10 20 30 40L

10-4

10-3

10-2

10-1

y

10 20 30 40L

10-4

10-3

10-2

10-1

y

E = 3.0 E = 6.0

decreases exponentialy when L increa-ses.

%beginframe %frametitleGreen’s function analysis

Záver

I IPR sú vhodným parametrom na určenie kritických parametrov aj nadôkaz univerzality

I IPR fluktuuju, ale dá sa ukázať, že v kovovej fáze neexistujú žiadnelokalizované stavy

I dôkaz multifraktálnej štruktúry vlnovej funkcie v kritickom bode

Vlnová funkcia pre mriežku 100× 100× 100 (program Jadamilu)

Kritické exponenty pre bifraktálne mriežkyUvažujme zatiaľ len jednoduchý Andersonov model (ortogonálnasymetria) Analytická teória pre dimenziu d (Wegner)Dolná kritická dimenzia d = 2.Poruchový rozvoj v mocninách ε = d − 2Kritický disorder Wc(d) ∼ εβ funkcia v premennej t = 1/(2πg)

β(t) = εt − 2t2 − 12ζ(3)t5 +272ζ(4)t5 + . . .

ζ(3) = 1.202, ζ(4) = π4/90.Rozvoj je OK v limite t → 0 (g � 1) teda blízko kritickej dimenzie.Kritický index:

ν =1ε− 9

4ζ(3)ε2 + . . .

Pre 3D je ε = 1 . . .Pre porovnanie s teóriou teda potrebujeme numerické výsledky pre dblízku ku kritickej dimenzii dc = 2.

Kritické exponenty závisia od dimenzie

Dolná kritická dimenzia dc1 = 2

Numerické simulácie pre d = 3 tri bi-fraktály s ds blízkou to dc = 2

0 1 2 3 4 51 / ε

1

1.5

2

2.5

3

ν

analytical theory

numerical data

(ds . . . spektrálna dimenzia)Fatálny nesúlad teórie a (numerického) experimentu.

Kritický exponent pre vysoké dimenzie

Volhard and Wölfle: self-konzistentná teória predpovedá ν = 1 pre 3D.Otvorená je otázka hornej kritickej dimenzie dc2 takej, že pre d > dc2platí ν = 1/2 (mean field výsledok)Preto numerická simulácia 4D (ν = 1.136) a 5D (ν = 0.96) modelov:

33.5 34 34.5 35 35.5W

4.5

5

5.5

6

6.5

z1 L = 6

L = 8L = 10L = 12L = 14

4D Anderson model

53 54 55 56 57 58 59 60 61W

5

6

7

8

z1

L = 4L = 5L = 6L = 7 L = 8

4 5 6 7 8L

0.4

0.2

0.3

slop

e

ν = 0.96

Kritický exponent: teória a numerické výsledky

2 2.5 3 3.5 4 4.5

dS

0

1

2

3

4

5

ν

1/ε - expansion

Suslov: 1/(d-2) pfor d<4, 1/2 for d>4

Hikami

Our numerical data

Prečo je ťažké zostrojiť analytickú teóriu ?

I potreba ustredniť cez náhodnosť - ale nie každú veličinu môžemeustredniť ⟨

1X

⟩6= 1〈X 〉

X . . . prakticky každá veličina (konduktancia, difúzny koef., IPR . . .

I po ustrednenú obyčajne dostaneme model, ktorý v sebe užlokalizáciu nemá (stratí sa efekt fázy, diskutovaný na začiatku)

I extrémna citlivosť veličín na malé zmeny náhodého potenciálu - akoju zohľadniť v teórii ?

I v teórii sme zväžša odkázaní na poruchové počty, tie v okolíkritického bodu nemusia fungovať

Prehľad analytických metód

Analytické výsledky dosažiteľné len v limite slabej neusporiadanosti:- v kovovom režime,- v kritickom režime v dimenzii d = 2 + ε, ε� 1.

- poruchové metódy [Lee, Stone, Fukuyama],- Supersymetrické modely [Wegner, Efetov, Altshuler, Mirlin],- DMPK rovnica a teóia náhodných matíc [Mello, Pichard,

Beenakker].Analytické theórie v kritickom režime- supersymetrické modely (d = 2 + ε) [Wegner, Hikami, Altshuler],- teórie stredného poľa [Vollhardt, Wölfle, Suslov, Janiš].

Greenova funkcia

Hamiltonián

H = H0 + V

G (E + iε) = [E + iε−H]−1

G = G0 + G0VG0 + G0VG0VG0 + . . .

G = [1− G0V ]−1 G0

Na hustotu stavov potrebujem

ρ(E ) =1π

ImG (E + iε)

Ako a čo budem stredovať ?

I hustotu stavov 〈ρ(E )〉I logaritmus 〈ln ρ(E )〉

Ukazuje sa, že druhá možnosť ej perspektívnejšia.

Problémy s ustrednením

. . . potrebuje súčin

G (E + iε, r , r ′)G (E − iε, r ′, r)

a následné stredovanie. Nie je jasné, ako budem stredovať.

Volhardt, Wölfle (1981): selfonzistentná rovnica pre difúzny koeficient

D(ω)

D0= 1− Wd

kd−2F

∫ 1/`

0

qd−1dq−iω/D(ω) + q2

dáva kritický exponent ν = 1.Problém: D(ω) je štatistická veličina. Nie je možné nahradiť ju na obochstranách rovnice strednou hodnotou.

Prehľad numerických metód

I riešia problém “ako taký” - žiadne aproximácie

I umožňujú výpočet akéhokoľvek parametra

I štatistika

Problémy: Môžeme analyzovať len malé vzorky (finite-size scaling)Musíme uvažovať obrovské štatistické subory.

10 100 1000L

0,01

0,1

1

10

<g>

W=1W=2W=3W=4W=5W=6