ANGEL RUIZ

REFORMA DE LAS MATEMÁTICAS MODERNAS Y UNA NUEVA DISCIPLINA

Presidente, Comité Interamericano de Educación Matemática, CIAEM.www.cimm.ucr.ac.cr/aruiz

angelruizz@racsa.co.cr

Seminario de Royaumont. OECD 1959 Edimburgo 1958: Congreso internacional

de matemáticos

Κάτω από Ευκλείδιας (της Αλεξάνδρειας)!Abajo Euclides!Euclides must go!

Reforma de las Matemáticas Modernas

“NEW MATH”

Jean Dieudonné

Royaumont•años de interés en la “modernización” de las matemáticas preuniversitarias.

OEEC: Organisation for European Economic Cooperation•17 países: Austria, Bélgica, Dinamarca, Francia, Alemania, Grecia, Islandia, Irlanda, Italia, Luxemburgo, Holanda, Noruega, Portugal, Suecia, Suiza, Turquía, Reino Unido•Estados Unidos, Canadá, miembros asociados•Yugoslavia, observador

3 secciones principales Directores

Jean Dieudonné (Francia) Pierre Theron (Inspector General ME,

Francia) Howard Fehr (EUA)

Editor del Reporte final Presidente Seminario: Marshal Stone

(EUA)

“currículo revolucionario”

1. Definiciones

Ocotal, Costa Rica

Reducir brechas matemáticas universitarias y preuniversitarias

un problema colocado dentro de una óptica específica (contenidos no métodos)

1. Erradicación geometría euclidiana2. “Conjuntivitis”3. Estructuras algebraicas: muy temprano

y en exceso4. Peso excesivo aspectos formales y

demostrativos5. Peso excesivo simbología y al lenguaje6. Sobredimensión del rigor matemático7. Poca relación con el entorno o las otras

ciencias. No se hacen aplicaciones

Más características Reducir geometría al álgebra o al análisis Contenidos algorítmicos omitidos, no son

relevantes Resolución de problemas es secundaria en

relación con la axiomática El análisis se trata “suave” y no “duro” Se condena la estructura combinatoria como

no estructural (debilita discretas)

2. Desarrollo y éxito

Volcán Arenal, Costa Rica

Reuniones para la reforma Arhus, Dinamarca, en 1960

(auspiciada por el ICMI); Zagrev y Dubrovnik en

Yugoslavia, 1960 Bolonia en 1962 Atenas en noviembre de 1963 Lyon, Francia, en 1969 ....

Estrategia operativa

Primero secundaria y luego primaria. 

diferencias nacionales, Brasil

Entre 1959-1975: reuniones y conferencias grupos de expertos para crear programas libros de texto preparación de maestros creación de proyectos institucionales con

financiación estatal o internacional para la primaria.

UNESCO Centre for Educational Research

and Innovation (CERI), 1968, revelaba esta dirección

años cruciales apoyo: 1969 a 1974

Proyectos nacionales Nuffield (Inglaterra)

Geoffrey Matthews Alef (Alemania)

1965, Heinrich Bauersfeld para dirigir el proyecto de matemáticas escolares

1966 Alef, Universidad de Frankfurt en Hessen.

Analogue (Francia) Nicole Picard.

Francia, agenda de la reforma 1955: clases preparatorias para

las “Grandes Ecoles”; 1963: reforma en los últimos años

de la secundaria; 1969: toda la secundaria; 1971: los primeros años de la

escuela primaria.

Estados Unidos National Science Foundation

1958, conferencia de matemáticos en Chicago

una semana después, Cambridge, Massachussets, EUA

University of Illinois Committee on School Mathematics, 1952Max Beberman, “New

Mathematics Curriculum” School Mathematics Study

Group, 1958Edgard G. Begle, Yale.

3. Razones o Sinrazones

A. Protagonismo matemático

B. El influjo de la ideología Bourbaki

C. El influjo del estructuralismo en la evolución psicológica y … pedagógica

D. Compulsiones filosóficas dominantes sobre las matemáticas

SIMBIOSIS

A. Protagonismo matemático Francia y EUA Óptica y parámetros específicos

B. El influjo de la ideología Bourbaki

A y B se refuerzan mutuamente

Nicolás Bourbaki: de carne y hueso

El general Charles Denis Sauter Bourbaki fue una figura llena de colorido. En 1862, a la edad de cuarenta y seis años, se le ofreció una oportunidad para llegar a ser rey de Grecia, pero declinó. Actualmente se le recuerda principalmente por la forma cruel como fue tratado por la fortuna en los azares de la guerra.

Paul Halmos

En 1871, después de huir de Francia a Suiza con un resto pequeño de su ejército, fue prisionero allí y trató de suicidarse. Al parecer fracasó, ya que llegó a vivir hasta la venerable edad de ochenta y tres años.

Primera generación

Segunda generacion

Tercera generación

H. Cartan J. Dixmier A. Borel C. Chevalley R. Godement F. Bruhat J. Delsarte S. Eilenberg P. Cartier J. Dieudonné J.L. Koszul A. Grothendieck A. Weil P. Samuel S. Lang J.P Serre J. Tate L. Schwartz Charles Ehresmann, René de Possel, Szolem Mandelbrojt

Bourbaki: el grupo

Primer congreso Bourbaki (Julio 1935): de izquierda a derecha, de pie, H. Cartan, R. de

Possel, J. Dieudonné, A. Weil, un técnico del laboratorio universitario; sentados, Mirlés, Cl.

Chevalley, S. Mandelbrojt

Congreso Bourbaki 1938, de izquierda a derecha, S. Weil, C. Pisot, A. Weil, J. Dieudonné, C. Chabauty,

C. Ehresmann, J. Delsarte

Éléments de Mathématique (1938)

I Teoría de Conjuntos (1939)

II Álgebra

III Topología

IV Funciones de una variable real

V Espacios vectoriales topológicos

VI Integración

∅ (noruego)

Q (Quotient)

Z (Zahlen)

inyectivo, sobreyectivo, biyectivo,

"la aplicación x --> f(x)"

Henri Cartan

1904-2008 (13 de agosto)

Jean Alexandre Eugène

Dieudonné

1906-1992

André Weil

1906-1998

Claude Chevalley

1909-1984

Jean Delsarte

1903-1968

Laurent Schwartz 1915-2002

Alexander Grothendieck

1928-?

La “ideología” Bourbaki

Organización y fundamento Unidad matemática: no “matemáticas” Axiomática (Elementos) Teoría de conjuntos (primer tomo)

Organización por medio de conjuntos, relaciones y funciones

Estructura algebraica (grupos, anillos, módulos, cuerpos, etc.) y topológica (espacios compactos, convexos, normales, etc. ) unidas en los espacios vectoriales

De los conjuntos a las estructuras (y a las categorías!)

Propósitos

Pierre Cartier (1997): Bourbaki: una nueva

matemática. Nuevo Euclides: crear los

textos para 2000 años más

Énfasis en el rigor; porque esto le faltaba a los franceses en contraposición con los alemanes

Otros influjos

H.G. Steiner (Alemania) Estructuras en las matemáticas

Axiomática HilbertAbstracción algebraica

Hilbert Formalismo, axiomatismo, legado de

Matemáticos franceses

Afirmación gremial después I GM

C. El influjo del estructuralismo en la evolución psicológica y … pedagógica

etapas mentales

Etapa Sensomotora:

periodo: 0 – 2 años Etapa Preoperacional:

periodo: 2 – 7 años Etapa de las Operaciones

Concretas: Periodo: 7 – 11 años

Etapa Lógico Formal: Período: 12 – 16 años

Etapas: definidas por estructuras

D. Compulsiones filosóficas dominantes sobre las matemáticas Apriorismo: Primeros principios Absolutismo; verdades absolutas,

intemporales Axiomatismo

Proyectos fundacionales: logicismo, formalismo, intuicionismo

Racionalismo Sobrestimación del Sujeto y la Razón,

criterios de verdad Subestimación del objeto - mundo empírico-

sensorial, historia y sociedad

Sobre el nombre Bourbaki

El nombre es casualidadRaoul Husson

(1923)Eveline Weil

(1935). Nicolás

H. Cartan y J.P. Serre

Pierre Eilembert

Alain Connes

Sobre la motivación inicial de Bourbaki “Al empezar, nuestro objetivo

era de alguna manera pedagógico; se trataba de trazar las grandes líneas de la enseñanza de las matemáticas para el nivel de licenciatura”.

André Weil: Memorias de aprendizaje (NIVOLA, 2002)

4. Más razones para el éxito de la reforma

Condiciones: gremiales, ideológicas, filosóficas, etc.

Pero también Спутник y Лэйка

СпутникSputnik: 4 de Octubre, 1957

Лэйка

Laika: Sputnik 2, 3 de noviembre 1957

En la URSS, 1966, Acad. Ciencias+ Acad. Ciencias pedagógicasBajo A. N. Kolmogorov: comité,Reforma de 4 a 10 grados.“el tipo de reforma que se desarrolla en los países occidentales es inaceptable.”Por ejemplo: ningún tópico de teoría de conjuntos se aceptó para incluirse en los textos escolares. Aunque algunas aproximaciones en la enseñanza de la geometría, pero no como se planteó en Occidente.

Rochester, 1979 ….

5. Fracaso

Rechazo maestros, padres y estudiantes

Back to basics Final: ICME 4, 1980, Berkeley,

EUA

Me arrepiento de no haber estado en Royaumont, …

Las nuevas matemáticas, como un todo, corresponden al punto de vista del matemático superficial, que sabe apreciar solamente pequeños detalles deductivos y distinciones estériles y pedantes como aquella entre número y numeral, y que pretende realzar lo trivial con una terminología y un simbolismo impresionantes y sonoros.

Se nos ofrece una versión abstracta y rigurosa de la matemática, que oculta su rica y fructífera esencia y hace hincapié en generalidades poco inspiradoras, aisladas de todo otro cuerpo de conocimiento. Se subrayan sofisticadas versiones finales de las ideas simples, mientras se tratan superficialmente las ideas más profundas, lo que conduce necesariamente al dogmatismo.

El formalismo de este plan solamente puede conducir a una disminución de la vitalidad de las matemáticas y a una enseñanza autoritaria, al aprendizaje mecánico de nuevas rutinas, mucho más inútiles que las rutinas tradicionales. Resumiendo, pone de relieve la forma a expensas de lo sustancial y presenta lo sustancial sin pedagogía ninguna.

6. En América Latina

1959: en Cuba el derrocamiento de Batista y la toma del poder por Fidel Castro.

La reforma se expandió en diferentes países de distintas maneras:

Textos, Grupo de Estudio de las Matemáticas Escolares, SMSG, EUA Brasil: 1961, GEEM de Sao Paulo, O. Santorini,

… NEDEM Curitiba 1962, GEEMPA Porto Alegre, 1970 ...

Primera Conferencia Interamericana de Educación Matemática, Bogotá,1961.

Segunda Conferencia Interamericana de Educación Matemática, Lima, 1966. Costa Rica: 1964 en programas oficiales

Marshall Stone Operadores auto adjuntos en espacios de Hilbert, teoría espectral, álgebras booleanas, teorema de Stone-WeierstrassPresidente•AMS (1943-1944) •IMU (1952-1954) •ICMI (1959-1962)•CIAEM (1961-1972)

Frases célebres

Choquet “Nuestro lema será:

el álgebra y las estructuras fundamentales desde la Escuela hasta la Universidad”

Howard Fehr “La geometría de Euclides (...)

no tiene nada que ver con estos temas; es hoy estéril, se halla fuera del camino principal de los adelantos matemáticos y puede ser relegada sin temor a los archivos para uso de los historiadores del mañana”

Agente de la reformaComité Interamericano de

Educación Matemática CIAEM International Commission on

Mathematical Instruction, International Mathematical

Union

DE LA REFORMA A PUENTE ENTRE LAS AMÉRICAS Integración de educadores matemáticos en

esta región. Utilización inteligente de los resultados y

experiencias internacionales en beneficio de la región latinoamericana

Luis Santaló Ubiratan D’Ambrosio

•Bahía Blanca, Argentina, noviembre/1972•Caracas, Venezuela, diciembre/1975, •Campinas-SP, Brasil, febrero/1979•Guadalajara, México, noviembre/1985,•Santo Domingo, República Dominicana, julio/1987•Miami, EUA, agosto/1991•Santiago, Chile, agosto/1995, •Maldonado, Uruguay, agosto/1999•Blumenau, Brasil, agosto/2003

Aviso clasificado

XIII CIAEM Recife Brasil, 26-29 junio, 2011

50 AÑOS

1961-2011

Críticas: I CIAEM

Omar Catunda, Brasil: … en esta parte del mundo

lo que se planteaba no era “Fuera Euclides” sino “Al menos Euclides”.

7. Algunas consecuencias de la Reforma

Playa Hermosa, Costa Rica

Replanteo de premisas de la Reforma Sobre los matemáticos universitarios

(su papel, visión y necesidades) Sobre las matemáticas y su enseñanza

aprendizaje Sobre el currículo: ideas que

dominaron desde antes de la reforma Sobre el papel de los educadores

matemáticos

Replanteo de la óptica y necesidades de los matemáticos

No distinción entre matemáticas y educación matemática, pesó mucho Los matemáticos debían comandar la

reforma educativa Las necesidades y los paradigmas de los

matemáticos debían asumirse en la educación Subordinación de la geometría al álgebra. Papel de los conjuntos y las estructuras. Lugar de la axiomática, la demostración y

el rigor Relevancia del lenguaje

¿Cómo se vivió la reforma?

Diversidad de desarrollos teóricos y profesionales en la Educación Matemática

Diferencias educativas Subordinación enseñanza de la

matemática a facultades de educación o de ciencias sociales o a departamentos de matemática.

Organización: ausencia sistema centralizado en educación (Estados Unidos) o sistema estatal centralizado (Francia).

Diferencias filosóficas y culturales Filosofía francesa sobre las

matemáticas (Poincaré, Brunschvicg, Bachelard) o filosofía neopositivista en el mundo anglosajón

Diferencias socio académicas y socio científicas

Debilidad en ciencias y matemáticas (América Latina)

Particularidades nacionales (Brasil o Costa Rica)

Estudios comparativos Países europeos y en America

Latina por separado. En la agenda: estudio

comparativo internacional con varios continentes

Consecuencia más generalPotenciación Educación Matemática Investigación, hacia la teoría y la práctica Organización y crecimiento

H. G. Steiner: Más “investigación fundamental” Perspectiva de sistemas: escolar,

formación de profesores, didáctica matemática (universidades)

Una nueva disciplina y un nuevo perfil de formación

8. Una nueva disciplina

Educación Matemática no es Matemática

Diferencias básicas La M es un ciencia “exacta” o

natural EM es una ciencia social

objetos no abstractos, el entorno social y personal es parte de su objeto

Patrones de progreso cognoscitivos distintos: más saltos en la EM

Mayor grado de invocación de interdisciplina en la EM

Nociones y conceptos “menos precisos” en la EM

Impacto social diferente: participación de la política (sentido general) en la EM

Lógicas científicas diferentes en la construcción cognoscitivaen la validación de sus

resultadosen la estructura de sus

comunidades académicasen su uso social

Pedagogía específica de las matemáticas (L. Shulman, 1986)Conocimientos o competencias

Matemáticas “aplicadas” (H. Bass, 2005)

Currículo, por ejemplo

International Commission on Mathematical Instruction ICMI

IV International Congress of Mathematicians (Roma 6-11 de abril de 1908; 1954 nombre actual)

ICME 11, Congreso mundial en Monterrey, México, en julio 2008

Felix Klein (Alemania)

H. Fehr (Estados Unidos)

Jacques Hadamard (Francia)

Hans Freudenthal (Holanda)

ICMI Studies, década 1980’s

1. La influencia de las computadoras y la informática en las matemáticas y su enseñanza. Estrasburgo (1985).

2. Las matemáticas escolares en los años noventa. (1986).

3. Matemáticas como una materia de servicio. (1987).

4. Matemáticas y cognición. (1987). 5. La popularización de las matemáticas.

(1989).

ICMI Studies, década 1990’s 6. La evaluación en la educación

matemática. (1991). 7. Género y educación matemática. (1993). 8. ¿Qué es investigación en educación

matemática y cuáles son sus resultados? (1994).

9. Perspectivas de la enseñanza de la geometría para el siglo XXI. (1995)

10. El papel de la historia de la matemática en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. (1998).

11. La enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en el nivel universitario. (1998).

ICMI Studies, década 2000

12. El futuro de la enseñanza y el aprendizaje del álgebra. (2001).

13. Educación matemática en tradiciones culturales diferentes. Un estudio comparativo de Asia del Este y Occidente. (2002).

14. Aplicaciones y modelación en la educación matemática. (2004).

ICMI Studies, década 2000 15. Educación y desarrollo profesional

de los maestros de matemáticas (2005) 16. Matemáticas retadoras dentro y

fuera del aula (2005) 17. Tecnologías digitales y enseñanza

de las matemáticas: repensando el terreno. (2005)

18. Estadística y probabilidad en la educación matemática. (2005)

19. Prueba y demostración en la educación matemática (2007)

20. Interrelaciones educativas entre Matemáticas e Industria (2007)

21 Re-sourcing la Enseñanza y Aprendizaje de Matemáticas en Contextos Multilingües (2007)

Síntesis

MUCHAS GRACIAS POR SU ATENCIÓN

www.cimm.ucr.ac.cr/aruiz angelruizz@racsa.co.cr