INTRODUCCIN

En temas anteriores se estudi cmo calcular los esfuerzos y las deformaciones en elementos estructurales sometidos a cargas axiales, es decir, a fuerzas dirigidas a lo largo del eje del elemento.Este trabajo trata del torcimiento de barras circulares y ejes huecos sometidos a momentos torsionales. Primero consideraremos definiciones preliminares, como la torsin uniforme, que se refiere al caso en el cual el par de torsin es constante en toda la longitud de un eje prismtico, en tanto que la torsin no uniforme describe casos en los que el momento torsional y/o la rigidez torsional de la seccin vara en toda la longitud. As como en el caso de deformaciones axiales, debemos relacionar el esfuerzo y la deformacin unitaria y tambin la carga aplicada y la deformacin unitaria, para torsin, recordaremos que los esfuerzos cortantes , son proporcionales a las deformaciones unitarias por cortante, g, con G como la constante de proporcionalidad, que es el mdulo de elasticidad en cortante. La mayor parte del anlisis en el presente trabajo se dedica al comportamiento lineal elstico y a rotaciones pequeas de elementos estticamente determinados, analizando y definiendo el ngulo de torsin , proporcional al momento torsional interno y a la flexibilidad torsional de la barra circular. Sin embargo, si la barra es estticamente indeterminada, debemos aumentar las ecuaciones del equilibrio esttico con ecuaciones de compatibilidad (que se basan en relaciones par de torsin-desplazamiento) para resolver cualesquiera incgnitas de inters, como momentos de soporte o momentos torsionales internos en elementos. Por ltimo, al final de los temas abordados, se introduce un tema especializado y avanzado (flujo cortante en tubos de pared delgada).

Ahora se analizarn los elementos estructurales que se encuentran en torsin. Empecemos recordando los esfuerzos y las deformaciones en elementos de seccin transversal circular sometidos a pares de torsin, o momentos torsores. Estos pares tienen una magnitud igual a T y sentidos opuestos.

Dos formas de representar pares de torsin: mediante flechas curvas, como en la figura (a), o por vectores de par como en la figura (b).

DEFINICIONES PRELIMINARES

Primero se analizarn los esfuerzos y las deformaciones que ocurren en ejes circulares. En la primera seccin se demostrar una propiedad importante de los ejes circulares: cuando un eje circular se somete a torsin, todas las secciones transversales permanecen planas y sin distorsin. Esta propiedad permitir determinar la distribucin de los esfuerzos cortantes sobre un eje circular y obtener en conclusin que la deformacin a cortante vara linealmente con la distancia desde el eje de la flecha.

Considerando las deformaciones en el rango elstico y utilizando la ley de Hooke para el esfuerzo cortante y la deformacin cortante, se determinar la distribucin de esfuerzos cortantes en un eje circular y se deducirn las frmulas para la torsin elstica.

A partir de estas definiciones se podr encontrar el ngulo de giro de un eje circular sujeto a un par de torsin dado, suponiendo otra vez deformaciones elsticas, y, en la ltima seccin, la torsin de elementos no circulares que analizar la distribucin de esfuerzos en elementos huecos no circulares de pared delgada.

ANLISIS PRELIMINAR DE LOS ESFUERZOS EN UN EJE

Considerando un eje AB sometido en A y en B a pares de torsin T y iguales y opuestos, se efecta un corte perpendicular al eje de la flecha en algn punto arbitrario C (figura 1).

Figura 1.

El diagrama de cuerpo libre de la porcin BC del eje debe incluir las fuerzas cortantes elementales dF, perpendiculares al radio del eje, que la porcin AC ejerce sobre BC al torcerse el eje (figura 2a).

Figura 2a.

Pero las condiciones de equilibrio para BC requieren que el sistema de estas fuerzas elementales sea equivalente a un par de torsin interno T, igual y opuesto a (figura 2b).

Denotando con la distancia perpendicular desde la fuerza dF al eje de la flecha, y expresando que la suma demomentos de las fuerzas cortantes dF alrededor del eje esFigura 2b.

igual en magnitud al par T, se escribe:

o, ya que donde es el esfuerzo cortante en el elemento de rea dA;

A pesar de que la relacin obtenida expresa una condicin importante que deben satisfacer los esfuerzos cortantes en cualquier seccin transversal del eje, no indica cmo estn distribuidos estos esfuerzos en la seccin transversal. Debe observarse, por lo tanto, como ya se hizo en temas anteriores, que la distribucin real de esfuerzos bajo una carga dada es estticamente indeterminada, es decir, que esta distribucin no puede determinarse por los mtodos de la esttica. Sin embargo, suponiendo que los esfuerzos normales producidos por una carga axial centrada estn distribuidos uniformemente, entonces podemos justificarlo, excepto en la cercana de cargas concentradas.

Una suposicin similar con respecto a la distribucin de esfuerzos cortantes en un eje elstico estara equivocada. Para evitar cualquier juicio con respecto a la distribucin de esfuerzos en un eje analizaremos ahora las deformaciones que se producen en el mismo en la siguiente seccin.

Considere el pequeo elemento de eje mostrado en la figura 3. Se sabe que el par de torsin aplicado al eje produce esfuerzos cortantes en las caras perpendiculares al eje de la flecha. Pero las condiciones de equilibrio requieren de la existencia de esfuerzos iguales en las caras formadas por los dos planos que contienen al eje de la flecha.

Puede demostrarse que tales esfuerzos cortantes ocurren en realidad en la torsin considerando un eje elaborado de duelas separadas sujetas con pasadores en ambos extremos a discos, como se muestra en la figura 4a. Si se pintan marcas en dos duelas adyacentes, se observa que las duelas se deslizan una con respecto a la otra cuando se aplican pares iguales y opuestos a los extremos del eje (figura 4b). Aunque no ocurrir deslizamiento en un eje de un material homogneo y cohesivo, la tendencia al deslizamiento existir, lo cual muestra que ocurren esfuerzos en planos longitudinales as como en los planos perpendiculares al eje de la flecha.

DEFORMACIONES EN UN EJE CIRCULAR

Considere un eje circular unido a un soporte fijo en uno de sus extremos (figura 5a). Si se aplica un par de torsin T al otro extremo, el eje se torcer al girar su extremo libre a travs de un ngulo llamado ngulo de giro (figura 5b). Esto significa que, dentro de un cierto rango de valores de T, el ngulo de giro es proporcional a T. Tambin muestra que es proporcional a la longitud L del eje. En otras palabras, el ngulo de giro para un eje del mismo material y con la misma seccin transversal, pero del doble de longitud, se duplicar bajo el mismo par de torsin T. Un propsito de este anlisis ser encontrar la relacin especfica que existe entre , L y T; otro propsito ser determinar la distribucin de esfuerzos cortantes en el eje. En este punto, debe sealarse una propiedad importante de los ejes circulares: cuando un eje circular se somete a torsin, todas sus secciones transversales permanecen planas y sin distorsin.

Dicho de otra manera, aunque las distintas secciones transversales a lo largo del eje giran diferentes cantidades, cada seccin transversal gira como una placa slida rgida. Esto se ilustra en la figura 6a, que muestra las deformaciones en un modelo de caucho sometido a torsin. La propiedad que se analiza en este momento es caracterstica de ejes circulares, slidos o huecos, y no la comparten los elementos con seccin transversal no circular.

Por ejemplo, cuando una barra con seccin transversal cuadrada se sujeta a torsin, sus distintas secciones transversales se tuercen y no permanecen planas (figura 6b).

Ahora se determinar la distribucin de las deformaciones a cortante en un eje circular de longitud L y radio c que ha sido girado en un ngulo (figura 11a). Desprendiendo del eje un cilindro de radio , considere el pequeo cuadrado formado por dos crculos adyacentes y dos lneas rectas adyacentes trazadas en la superficie del cilindro antes de que se aplique carga alguna (figura 11b). Al someterse el eje a una carga de torsin, el elemento se deforma para convertirse en un rombo (figura 11c). Ahora, recordemos que la deformacin unitaria cortante en un elemento dado se mide por el cambio en los ngulos formados por los lados de dicho elemento. Ya que los crculos que definen dos de los lados del elemento considerado aqu permanecen sin cambio, la deformacin en corte debe ser igual al ngulo entre las lneas AB y A'B. (Recuerde que debe expresarse en radianes.)En la figura 11c se observa que, para valores pequeos de , puede expresarse la longitud de arco AA' como AA' L. Pero, por otra parte, se tiene que A'A. Se deduce que L, o

donde y estn, ambos, expresados en radianes. La ecuacin obtenida muestra que la deformacin a cortante en un punto dado del eje en torsin es proporcional al ngulo de giro . Tambin muestra que es proporcional a la distancia desde el eje de la flecha hasta el punto bajo consideracin. Por lo tanto, la deformacin unitaria a corte en una flecha circular vara linealmente con la distancia desde el eje de la flecha.

Se deduce de la ecuacin (2) que la deformacin a cortante es mxima en la superficie del eje, donde Se tiene que:

Eliminando de las ecuaciones (2) y (3), puede expresarse la deformacin a cortante a una distancia del eje de la flecha como:

ESFUERZOS EN EL RANGO ELSTICO

Hasta el momento ninguna relacin esfuerzo-deformacin en particular se ha supuesto para el anlisis de ejes circulares en torsin. Considere ahora el caso en que el par de torsin T es tal que todos los esfuerzos cortantes en el eje se encuentran por debajo de la resistencia a la cedencia . Esto significa que los esfuerzos en el eje permanecern por debajo del lmite de proporcionalidad y tambin por debajo del lmite elstico, por lo tanto, se aplicar la ley de Hooke y no habr deformacin permanente.Aplicando la ley de Hooke para el esfuerzo y la deformacin a cortante, se escribe:

donde G es el mdulo de rigidez o mdulo de corte del material. Multiplicando ambos miembros de la ecuacin (4) por G, se escribe:

o, utilizando la ecuacin (5):

La ecuacin obtenida muestra que, mientras la resistencia a la cedencia (o el lmite de proporcionalidad) no sea excedida en ninguna parte de una flecha circular, el esfuerzo cortante en la flecha vara linealmente con la distancia desde el eje de la flecha. La figura 12a muestra la distribucin de esfuerzos en un eje circular de radio c, y la figura 12b la muestra en un eje circular hueco de radio interior y radio exterior . De la ecuacin (6) se encuentra que, en el segundo caso:

Recordemos ahora que anteriormente se vio que la suma de los momentos de las fuerzas elementales ejercidas sobre cualquier seccin transversal del eje debe ser igual a la magnitud T del par ejercido sobre el eje:

Sustituyendo de la ecuacin (6) en la ecuacin (1), se escribe:

T

La integral en el ltimo miembro representa el momento polar de inercia J de la seccin transversal con respecto a su centro O. Se tiene entonces que:T

, despejando para mx:

, despejando para mx de la ecuacin (9) en la ecuacin (6), se expresa el momento cortante a cualquier distancia del eje de la flecha como:

Las ecuaciones (9) y (10) se conocen como las frmulas de torsin elstica. Recuerde de la esttica que el momento polar de inercia de un crculo de radio c es J En el caso de un eje circular hueco de radio interior y radio exterior , el momento polar de inercia es:

Note que, si se emplean unidades mtricas del SI en la ecuacin (9) o en la (10), T se expresar en Nen metros y J en ; se verifica que el esfuerzo cortante resultante se exprese en es decir, en pascales (Pa). Si se emplean las unidades acostumbradas en Estados Unidos, T deber expresarse en lb c o en in., y J en , con el esfuerzo cortante resultante expresado en psi.

NGULO DE GIRO EN EL RANGO ELSTICO

Ahora se deducir una relacin entre el ngulo de giro de un eje circular y el par de torsin T ejercido sobre el eje. Se supondr que la totalidad del eje permanece elstica. Considerando primero el caso de un eje de longitud L y seccin transversal uniforme de radio c sujeto a un par de torsin T en su extremo libre (figura 1), se sabe de la frmula (1) que el ngulo de giro y la deformacin mxima a cortante se relacionan como sigue:Figura 1.

(1)

Pero, en el rango elstico, el esfuerzo de cedencia no se excede en ninguna parte del eje, se aplica la ley de Hooke y se tiene que o, a partir de la ecuacin (2),

(3)

Igualando los miembros de la derecha de las ecuaciones (1) y (3), y despejando, se tiene que:(4)

donde se expresa en radianes. La relacin obtenida muestra que, dentro del rango elstico, el ngulo de giro es proporcional al par de torsin T aplicado al eje. Esto est de acuerdo con la evidencia experimental citada al principio de la seccin 3.Mquina para ensayos de torsin.(Figura 2)

La relacin obtenida muestra que, dentro del rango elstico, el ngulo de giro es proporcional al par de torsin T aplicado al eje. Esto est de acuerdo con la evidencia experimental citada al principio de la seccin frmula 1.La ecuacin (4) suministra un mtodo conveniente para determinar el mdulo de rigidez de un material dado. Una probeta del material, en la forma de una varilla cilndrica de dimetro y longitud conocidos, se coloca en una mquina de ensayo a torsin (figura 2). Se aplican pares de torsin con magnitud T progresivamente mayor a la probeta, y se registran los valores correspondientes del ngulo de giro sobre una longitud L. Mientras no se exceda el esfuerzo de cedencia del material, los puntos obtenidos de graficar contra T caern en una lnea recta. La pendiente de esta lnea representa la cantidad JG/L, de la que puede calcularse el mdulo de rigidez G.

EJES HUECOS DE PARED DELGADA

Se sabe que la determinacin de esfuerzos en elementos no circulares generalmente requiere del uso de mtodos matemticos avanzados.En el caso de ejes huecos no circulares de pared delgada, sin embargo, puede obtenerse una buena aproximacin de la distribucin de esfuerzos en el eje por medio de un clculo sencillo.Considere el elemento cilndrico hueco con seccin no circular sujeto a una carga torsional mostrado en la figura 1. A pesar de que el espesor t de la pared puede variar dentro de una seccin transversal, se supondr que permanece pequeo en comparacin con las dems dimensiones del elemento, como su dimetro. Ahora se desprende del elemento la porcin coloreada de pared AB limitada por los dos planos a una distancia mutua , y por dos planos longitudinales perpendiculares a la pared. Como la porcin AB est en equilibrio, la suma de las fuerzas ejercidas sobre ella en la direccin longitudinal x debe ser cero (figura 2).

Pero las nicas fuerzas involucradas son las fuerzas cortantes FA y FB ejercidas sobre los extremos de la porcin AB. Se tiene por lo tanto: Ahora se expresa FA como el producto de esfuerzo cortante longitudinal sobre la cara pequea en A y del rea de dicha cara:

Note que, a pesar de que el esfuerzo cortante es independiente de la coordenada x del punto considerado, puede variar a travs de la pared; por lo tanto, representa el valor promedio del esfuerzo calculado a travs de la pared.Expresando FB de manera similar y sustituyendo FA y FB en la ecuacin (1), se escribe: o

Ya que A y B se escogieron en forma arbitraria, la ecuacin (2) expresa que el producto del esfuerzo cortante longitudinal y del espesor de la pared es una constante a travs del elemento. Denotando este producto con q, se tiene que:

En este punto puede advertirse una analoga entre la distribucin de los esfuerzos cortantes en el corte transversal de un eje hueco de pared delgada y la distribucin de las velocidades v en agua que fluye en un canal cerrado de profundidad unitaria y de ancho variable. A pesar de que la velocidad v del agua vara de un punto a otro dependiendo de la variacin del ancho t del canal, la tasa de flujo, permanece constante en el canal, del mismo modo que en la ecuacin (3). Debido a esta analoga, el producto se conoce como el flujo de corte en la pared del eje hueco.

Ahora se deducir una relacin entre el par de torsin T aplicado a un miembro hueco y el flujo de corte q en su pared.

Considere un pequeo elemento de la seccin de la pared, de longitud (figura 4). El rea del elemento es , y la magnitud de la fuerza cortante ejercida sobre el elemento es:

El momento de esta fuerza alrededor de un punto arbitrario O dentro dela cavidad del miembro puede obtenerse al multiplicar por la distancia perpendicular p desde O hasta la lnea de accin de . Se tiene:

Pero el producto es igual al doble del rea del tringulo sombreado de la figura 6. Se tiene, pues, que:

Como la integral alrededor de la seccin de la pared del miembro izquierdo de la ecuacin (5) representa la suma de los momentos de todas las fuerzas cortantes elementales ejercidas sobre la seccin de pared, y ya que esta suma es igual al par T aplicado al miembro hueco, se tiene que: Puesto que el flujo de corte q es una constante, se escribe: Donde es el rea bordeada por la lnea central de la seccin transversal de la pared (figura 7).

El esfuerzo cortante en cualquier punto dado de la pared puede expresarse en trminos del par T si se sustituye q de la ecuacin (3) en la ecuacin (7) y se despeja de la ecuacin obtenida. Se tiene que:

Donde t es el espesor de la pared en el punto considerado y es el rea bordeada por la lnea central. Recuerde que representa el valor promedio del esfuerzo cortante a travs de la pared.

Ejercicios:

1. El eje horizontal AD est sujeto a una base fija en D y se le aplican los pares mostrados.Un agujero de 44 mm de dimetro se ha perforado en la porcin CD del eje.Sabiendo que el eje es de un acero para el que G = 77 GPa, determine el ngulo de giro en el extremo A.

Solucin:

El eje consta de tres porciones AB, BC y CD,cada una con seccin transversal uniforme y con un par interno constante.

Por esttica, efectuamos un corte en el eje entre A y B y utilizando el cuerpo libre mostrado en la figura, se encuentra:

(250 N.m) - = 0 = 250 N.m

Haciendo un corte entre B y C, se tiene:

(250 N.m) + ( 2000 N.m) + = 0= 2 250 N.m

Como ningn par se aplica en C, = 2 250 N.m

Ejercicio 2Se fabric por extrusin un tubo cuadrado de aluminio estructural con una seccin transversal de Determine el esfuerzo cortante en cada de las cuatro paredes de una porcin de dicho tubo cuando se somete a un par de torsin de 24 kpi /in .Suponiendo:a) Un espesor uniforme de la pared de 0.160 in.b) Que, como resultado de una fabricacin defectuosa, las paredes AB Y AC son de 0.120 in de espesor y las paredes BD y CD son de 0.200 in de espesor.

SOLUCIN:a) Tubo de espesor uniforme de pared. El rea bordeadapor la lnea central es:

Ya que el espesor de cada una de las cuatro paredes es t = 0.160in., el esfuerzo cortante en cada pared es:

b) Tubo con espesor variable de pared. Observando que el rea bordeada por la lnea central es la misma que en la parte a, y sustituyendo sucesivamente t = 0.120 in. y t = 0.200

Torsin: ngulo de giro Tubos de pared delgada.