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8/9/2019 angulo mitad.pdf

1/11

Trigonometra

Pgina 1

SEMANA 12

NGULO MITAD (ARCO)

1. Si:1

cosx8

; x 180;270

Halle:x

H sen2

A)1

2 B)

3

4 C)

5

7

D)1

8 E)

1

5

RESOLUCIN1

cosx ;8

180 x 270

x90 135

2

II c

xH sen

2

= ?

11

1 cosx 8H

2 2

9H

16

3H

4

RPTA.: B

2. Si:4

cos ;5

180;270

Halle: cos2

A)10

10 B)

10

10 C)

1

2

D)5

5 E)

5

6

RESOLUCIN4

cos ;

5

180,270

180 <


2/11


3/11

Trigonometra

Pgina 3

cscx 2csc2x cscx tgx ctgxE

x secx cscx ctgxsecx ctg2

xx ctg tgxctg tg x22E

sec x csc x sec x ctg x tg x ctg x csc x

xctg tg x

2E

xtgx ctg

2

E 1 RPTA.: A

8. Reduce:

xtg ctgx

2M

xctgx ctg

2

A) 1 B) -1 C) 0

D)1

2 E)

1

3

RESOLUCINx

ctgx tg2

Mx

ctgx ctg2

ctgx cscx ctgxM

ctgx cscx ctgx

ctgx cscx ctgx cscxM

ctgx cscx ctgx cscx

M = 1

RPTA.: A

9. Simplifique:

sen ctg 12

E

sen tg cos2

A) sen B) cos

C) tg2

D) ctg2

E) 1

RESOLUCIN

sen csc ctg 1

Esen csc ctg cos

1 sen ctg 1E

1 sen ctg cos

cossencossen

Ecos 1 cos cos

1 sen cossen

E cos RPTA.: B

10. Reduce:

2x xE ctg 2cos ctgx2 2

A) 1 B) cos x C) sen xD) tg x E) ctg x

RESOLUCIN

2x xE ctg 2cos ctgx2 2

E cscx ctgx 1 cosx ctgx

E cscx ctgx ctgx cosx ctgx 21 cosx 1 cosE cosx

senx senx senx

2sen xE

senx

E senx RPTA.: C


4/11

Trigonometra

Pgina 4

11. Calcule: E sen11230'

A) 2 22 B) 2 2

2

C) 2 2 D) 1

E)1

4

RESOLUCIN

E sen11230' ;x

11230'2

x = 224 60x = 225

x 1 cosxE sen

2 2

1 cos225E

2

2

11 cos225 2 22E

2 2 4

2 2

E2

RPTA.: B

12. Simplifique:

E secx 1 cscx csc2x csc4x ctg4x

A) 1 B) tg x C) ctg x

D) sen x E) cos x

RESOLUCIN sec x 1 csc x csc2x csc 4x ctg4x

sec x 1 csc x csc 2 x ctg2 x sec x 1 csc x ctg x

xsec x 1 ctg2

x xE tg(x) tg ctg

2 2

E tgx

RPTA.: B

13. Si: x xtg tg 2cscx2 4

Halle:x

H cos2

A)1

2 B)

4

5 C)

2

2

D)2

3 E)

1

6

RESOLUCINx x

tg tg 2cscx2 4

x xcsc x ctgx csc ctg 2csc x

2 2

x x

csc ctg cscx ctgx2 2

x xtg ctg2 2

x x90 x 90

2 2

xE cos E cos45

2

2E

2

RPTA.: C

14. Si:tg5 ctg10

E1 cos20

B sen20cos10 Halle: A= B.E

A) 0 B) 1 C)1

2

D)

1

3 E)1

4


5/11

Trigonometra

Pgina 5

RESOLUCINtg5 ctg10 csc10 ctg10 ctg10

E

1 cos20 1 cos20

2

csc10 1E

2cos 10 2cos10sen10cos10

1

Esen20cos10

Luego:B

1A cos10sen20

sen20cos10

A = 1 RPTA.: B

15. Si: x y sen x y ;

Halle: M tg4 2

A)y

x B)

x

y C)

y

x

D) xy

E) 1

RESOLUCIN

2tg tg4 2 2

1 cos

2 1 sen1 sen

1 cos2

,

Pero;x y

senx y

x y1

x y 2y ytg

4 2 2x xx y1

x y

RPTA.: C

16. Reduce:

E tg 2 tg 4ctg4 2

A) tg B) tg2

C) ctg2

D) ctg4

E) 1

RESOLUCIN

E tg 2tg 2 2ctg4 2

E csc ctg 2 tg2 2 2

2 ctg tg2 2

E csc ctg 2tg2 2 2

2ctg 2tg2 2

E csc ctg2 2

E ctg4

RPTA.: D

17. Simplifique:

2 1 cos 2 1 cosR

1 sen

A) 1 B) 2 C) 3

D)1

2 E)

1

4


6/11

Trigonometra

Pgina 6

RESOLUCIN

2 2 2 21 cos 1 cos

2 2R1 sen

1 cos 1 cos2 2

2 2R1 sen

2 cos sen2 2

1 sen

2 1 senR

1 sen

R = 2RPTA.: B

18. Si: secx secy tgx tgy

Calcule:x y

M tg tg2 2

A) 1 B) -1 C) 2D) -2 E)

1

2

RESOLUCINsecx tanx secy tgy 0

csc x ctg x csc y2 2 2

ctg y 02

x ytg tg 0

4 2 4 2

x ytg tg

4 2 2 4

x y x x1 tg tg 1 1 tg 1 tg

2 2 2 2x y x x

1 tg 1 tg 1 tg 1 tg

2 2 2 2

y ytg 1 1 tg

2 2

y y1 tg tg 12 2

y2tg

2 x y2 tg tg 1x 2 2 2

2tg2

RPTA.: A

19. Si: y z cos A x, z x cosB y;

x y cosC z

Halle: 2 2 2A B C

M tg tg tg2 2 2

A) 1 B) 2 C) 3D) x y z E) x + y + z

RESOLUCIN

2

x1

A 1 cosA y z xy ztg x2 1 cosA x y z

1y z

Anlogamente: 2B z x y

tg2 x y z

,

2C x y ztg2 x y z

Luego:y z x z x y

Mx y z x y z

x y z x y zx y z x y z

M = 1RPTA.: A

20. Si:cscA cscB cscC ctgA ctgB ctgC

Calcule:

3 3 3A B Ctg tg tg2 2 2MA B C

tg tg tg

2 2 2


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Trigonometra

Pgina 7

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 6

RESOLUCIN

cscA ctgA cscB ctgB cscC ctgC 0

A B C

tg tg tg 02 2 2

Si:3 3 3a + b + c = 0 a b c 3abc

3 3 3A B C A B C

tg tg tg 3 tg tg tg2 2 2 2 2 2

Luego:

A B C3 tg tg tg

2 2 2M 3A B C

tg tg tg2 2 2

RPTA.: C

NGULO TRIPLE

21. Si:1

senx4

;xes agudo .

Halle: sen 3 x

A)1

8 B)

1

16 C)

11

16

D)3

16 E)

9

16

RESOLUCIN3sen3x=3senx-4sen x 3

1 1sen3x=3 4

4 4

3 1sen3x=

4 16

11sen3x=

16

RPTA.: C

22. Si: 3 1

cos3

Halle: cos

A)19

27 B)

20

27 C)

22

27

D)23

27 E)

25

27

RESOLUCINcos cos3

3cos 4cos 3cos 31 1

cos 4 33 3

23cos

27

RPTA.: D

23. Si: tg 2; halle tg3

A)

2

3 B)2

4 C)2

5

D) 2

6 E)

2

7

RESOLUCIN3

2

3tg tgtg3

1 3tg

3

2

3 2 2tg3

1 3 2

2tg3

5

RPTA.: C

24. Reducir: 2 sen3x

M 4sen xsenx

A) 1 B) 2 C) 3

D) - 1 E) 0


8/11

Trigonometra

Pgina 8

RESOLUCIN

2 sen3x

E 2 2sen x

senx

E 2 1 cos2x 2cos2x 1 E 2 2cos2x 2cos2x 1 E= 3

RPTA.: C

25. Simplificar:2 2

2 2

sen 3x cos 3xA

sen x cos x

A) 8 cos 2x B) 4 cos 2xC) 2 cos 2x D) 16 cos 2xE) 1

RESOLUCIN2 2

sen3x cos3xA

senx cosx

2 2A 2 cos2x 1 2 cos2x 1 2A 4 2cos2x 1

A 8cos2x RPTA.: A

26. Si: 2sen 30 a4

Halle: cos 3a

A)3 2

8 B)

5 2

8 C)

7 2

8

D)

9 2

8 E)11 2

8

RESOLUCIN

Se pide:

cos3a sen 90 3a 3cos3a 3sen 30 a 4sen 30 a

3

2 2cos3a 3 4

4 4

5 2cos3a

8

RPTA.: B

27. Si: x72

Halle:

M 2sen12x 2cos8xcos4x cos4x

A)3

2 B)

3

3 C)

3

6

D)3

4 E)3

12

RESOLUCINM 2sen12x cos4x 2cos8x 1

cos12xM 2sen12x cos4x

cos4x

M 2sen12x cos11x M sen24x

3M sen3 2

RPTA.: A

28. Halle: E ctg18 ctg36

A) 2 5 B) 3 5

C) 4 5 D) 5 5

E) 6 5

RESOLUCINcos18 cos36

Esen18 sen36

5 1cos36 4E

1 cos36 5 11

4

E 5 2

RPTA.: A


9/11

Trigonometra

Pgina 9

29. Calcule el valor de:3

M sec80 1 6sen10

A) 3 4 B) 3 4 C) 2D) - 2 E) 1

RESOLUCIN1

1 6sen10 2 3sen102

2 sen30 3sen10

31 6sen10 8sen 10 Luego:

33M sec 80 8 sen 10

2sen10 csc10 Luego:

33M sec80 8sen 10 2sen10 csc10

M = -2RPTA.: D

30. Halle:

E ctg18 4cos18 3sec18

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4

RESOLUCINcos18 3

E 4cos18sen18 cos18

2cos18 4cos 18 3E

sen18cos18

2cos54E

sen36

E 2 RPTA.: C

31. Si: tg3x mtgx, calcule:M sen3x cscx cos3x secx

A)m 1

m 1

B)

2 m 1m 1

C) 2 m 1m 1

D)

m 1

2 m 1

E) 1

RESOLUCIN

sen3x cos3x

M 2cos2x 1

senx cosx

2 cos 2x 1 4 cos 2x

Pero:

tg3x 2 cos2x 1 mm

tgx 2 cos2x 1 1

4cos2x m 1 m 1

2cos2x2 m 1 m 1

m 1

M 2m 1

RPTA.: B

32. Reduce:2V tg20 tg30 tg10 tg 50

A) tg 40 B) tg 50 C) tg 60D) tg 10 E) tg 20

RESOLUCINV tg20 tg30 tg10tg50 tg50tg70ctg70

V tg20 tg30 tg30tg50tg20 V tg50

RPTA.: B33. Simplifique:

tg3xR tg2x tgx

cos2x


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Trigonometra

Pgina 10

A) 2tg3x B) 4 tg 2x C) ctg x

D) 1 E) 12

RESOLUCINtg3x sen3x

Qcos2x cos2xcosx

sen3x 1 1Q

cos2x cos3x cosx

sen3x 2cos2xcosxQ

cos2x cos3xcosx

Q 2tg3x RPTA.: A

34. Halle: m si:m ctg20

tg10 tg40

A)3

3 B) 3 C) 1

D)

1

3 E)

1

2

RESOLUCINctg20

m tg10tg40

m ctg20 ctg40 ctg80 m ctg60

3m

3

RPTA.: A

35. Reduce:2sen 3x sen x sen 2x

Esen x sen 2x cos x

A) sen 2x B) sen 4xC) cos 2x D) cos 4xE) sen 8x

RESOLUCIN

3 2 23senx 4sen x senx 4sen x cos xE

senx 2senx cos x cos x

4

2

4cos x 1E

2cos x 1

2E 2cos x 1 E cos2x

RPTA.: C

36. Reducir:

H 1 cos40 1 cos80 1 cos160

A)1

8 B) 2 C)

3

8

D) 4 E) 6

RESOLUCIN 1 cos40 1 cos80 1 cos160

2 2 22sen 20 2sen 40 2sen 80

2 2 21H 16sen 20sen 40sen 80

2

2

21 1 3H sen60

2 2 2

31 3H

2 4 8

RPTA.: C

37. Reducir:G tg3x 2senxsec3x

A) 1 B) tg x C) ctg x

D) 0 E) 2tg x

RESOLUCINsen3x 2senx

Qcos3x cos3x

33senx 4sen x 2senxQ

cos3x


11/11

Trigonometra

Pgina 11

2senx 1 4sen x senxQ 1 2 1 cos2x

cos3x cos3x

senx senx cos3x

Q 2cos2x 1cos3x cos3x cos x

Q tgx RPTA.: B

38. Si: tg 15 x 2 Halle: ctg 3x

A)11

9

B)13

9

C)14

9

D)16

9 E)

17

9

RESOLUCINSi:

tg 30 x tg 45 15 x

tg45 tg 15 xtg 30 x

1 tg45 tg 15 x

1tg 30 x 3

Se pide:

ctg3x tg 90 3x

3

2

3tg 30 x tg 30 xctg3x

1 3 tg 30 x

13ctg3x

9

RPTA.: B

39. Reducir:

2E sec20 1 sec40 1 tg20 ctg 10

A) 1 B) 2 C) 3

D)3

3 E)

1

3

RESOLUCIN 2E sec20 1 sec40 1 ctg 10 tg20

tg40E tg20 tg10 ctg10 tg20tg80tg20

E tg20 tg40 tg80

E tg60 3 RPTA.: C

40. Si: x18

Reducir:2tg8x tg2x

G

sec8x 1

A) 3 B) 1 C) 2

D) 2 3 E) 3

RESOLUCIN2tg80 tg20

Gsec80 1

tg80 tg80 tg20G

tg80tg40

G =tg10 tg80 tg 80 tg20

tg 80

G tg20 tg40tg80

G tg60 3 RPTA.: A

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