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Trigonometra
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SEMANA 12
NGULO MITAD (ARCO)
1. Si:1
cosx8
; x 180;270
Halle:x
H sen2
A)1
2 B)
3
4 C)
5
7
D)1
8 E)
1
5
RESOLUCIN1
cosx ;8
180 x 270
x90 135
2
II c
xH sen
2
= ?
11
1 cosx 8H
2 2
9H
16
3H
4
RPTA.: B
2. Si:4
cos ;5
180;270
Halle: cos2
A)10
10 B)
10
10 C)
1
2
D)5
5 E)
5
6
RESOLUCIN4
cos ;
5
180,270
180 <
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Trigonometra
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cscx 2csc2x cscx tgx ctgxE
x secx cscx ctgxsecx ctg2
xx ctg tgxctg tg x22E
sec x csc x sec x ctg x tg x ctg x csc x
xctg tg x
2E
xtgx ctg
2
E 1 RPTA.: A
8. Reduce:
xtg ctgx
2M
xctgx ctg
2
A) 1 B) -1 C) 0
D)1
2 E)
1
3
RESOLUCINx
ctgx tg2
Mx
ctgx ctg2
ctgx cscx ctgxM
ctgx cscx ctgx
ctgx cscx ctgx cscxM
ctgx cscx ctgx cscx
M = 1
RPTA.: A
9. Simplifique:
sen ctg 12
E
sen tg cos2
A) sen B) cos
C) tg2
D) ctg2
E) 1
RESOLUCIN
sen csc ctg 1
Esen csc ctg cos
1 sen ctg 1E
1 sen ctg cos
cossencossen
Ecos 1 cos cos
1 sen cossen
E cos RPTA.: B
10. Reduce:
2x xE ctg 2cos ctgx2 2
A) 1 B) cos x C) sen xD) tg x E) ctg x
RESOLUCIN
2x xE ctg 2cos ctgx2 2
E cscx ctgx 1 cosx ctgx
E cscx ctgx ctgx cosx ctgx 21 cosx 1 cosE cosx
senx senx senx
2sen xE
senx
E senx RPTA.: C
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Trigonometra
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11. Calcule: E sen11230'
A) 2 22 B) 2 2
2
C) 2 2 D) 1
E)1
4
RESOLUCIN
E sen11230' ;x
11230'2
x = 224 60x = 225
x 1 cosxE sen
2 2
1 cos225E
2
2
11 cos225 2 22E
2 2 4
2 2
E2
RPTA.: B
12. Simplifique:
E secx 1 cscx csc2x csc4x ctg4x
A) 1 B) tg x C) ctg x
D) sen x E) cos x
RESOLUCIN sec x 1 csc x csc2x csc 4x ctg4x
sec x 1 csc x csc 2 x ctg2 x sec x 1 csc x ctg x
xsec x 1 ctg2
x xE tg(x) tg ctg
2 2
E tgx
RPTA.: B
13. Si: x xtg tg 2cscx2 4
Halle:x
H cos2
A)1
2 B)
4
5 C)
2
2
D)2
3 E)
1
6
RESOLUCINx x
tg tg 2cscx2 4
x xcsc x ctgx csc ctg 2csc x
2 2
x x
csc ctg cscx ctgx2 2
x xtg ctg2 2
x x90 x 90
2 2
xE cos E cos45
2
2E
2
RPTA.: C
14. Si:tg5 ctg10
E1 cos20
B sen20cos10 Halle: A= B.E
A) 0 B) 1 C)1
2
D)
1
3 E)1
4
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RESOLUCINtg5 ctg10 csc10 ctg10 ctg10
E
1 cos20 1 cos20
2
csc10 1E
2cos 10 2cos10sen10cos10
1
Esen20cos10
Luego:B
1A cos10sen20
sen20cos10
A = 1 RPTA.: B
15. Si: x y sen x y ;
Halle: M tg4 2
A)y
x B)
x
y C)
y
x
D) xy
E) 1
RESOLUCIN
2tg tg4 2 2
1 cos
2 1 sen1 sen
1 cos2
,
Pero;x y
senx y
x y1
x y 2y ytg
4 2 2x xx y1
x y
RPTA.: C
16. Reduce:
E tg 2 tg 4ctg4 2
A) tg B) tg2
C) ctg2
D) ctg4
E) 1
RESOLUCIN
E tg 2tg 2 2ctg4 2
E csc ctg 2 tg2 2 2
2 ctg tg2 2
E csc ctg 2tg2 2 2
2ctg 2tg2 2
E csc ctg2 2
E ctg4
RPTA.: D
17. Simplifique:
2 1 cos 2 1 cosR
1 sen
A) 1 B) 2 C) 3
D)1
2 E)
1
4
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Trigonometra
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RESOLUCIN
2 2 2 21 cos 1 cos
2 2R1 sen
1 cos 1 cos2 2
2 2R1 sen
2 cos sen2 2
1 sen
2 1 senR
1 sen
R = 2RPTA.: B
18. Si: secx secy tgx tgy
Calcule:x y
M tg tg2 2
A) 1 B) -1 C) 2D) -2 E)
1
2
RESOLUCINsecx tanx secy tgy 0
csc x ctg x csc y2 2 2
ctg y 02
x ytg tg 0
4 2 4 2
x ytg tg
4 2 2 4
x y x x1 tg tg 1 1 tg 1 tg
2 2 2 2x y x x
1 tg 1 tg 1 tg 1 tg
2 2 2 2
y ytg 1 1 tg
2 2
y y1 tg tg 12 2
y2tg
2 x y2 tg tg 1x 2 2 2
2tg2
RPTA.: A
19. Si: y z cos A x, z x cosB y;
x y cosC z
Halle: 2 2 2A B C
M tg tg tg2 2 2
A) 1 B) 2 C) 3D) x y z E) x + y + z
RESOLUCIN
2
x1
A 1 cosA y z xy ztg x2 1 cosA x y z
1y z
Anlogamente: 2B z x y
tg2 x y z
,
2C x y ztg2 x y z
Luego:y z x z x y
Mx y z x y z
x y z x y zx y z x y z
M = 1RPTA.: A
20. Si:cscA cscB cscC ctgA ctgB ctgC
Calcule:
3 3 3A B Ctg tg tg2 2 2MA B C
tg tg tg
2 2 2
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A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 6
RESOLUCIN
cscA ctgA cscB ctgB cscC ctgC 0
A B C
tg tg tg 02 2 2
Si:3 3 3a + b + c = 0 a b c 3abc
3 3 3A B C A B C
tg tg tg 3 tg tg tg2 2 2 2 2 2
Luego:
A B C3 tg tg tg
2 2 2M 3A B C
tg tg tg2 2 2
RPTA.: C
NGULO TRIPLE
21. Si:1
senx4
;xes agudo .
Halle: sen 3 x
A)1
8 B)
1
16 C)
11
16
D)3
16 E)
9
16
RESOLUCIN3sen3x=3senx-4sen x 3
1 1sen3x=3 4
4 4
3 1sen3x=
4 16
11sen3x=
16
RPTA.: C
22. Si: 3 1
cos3
Halle: cos
A)19
27 B)
20
27 C)
22
27
D)23
27 E)
25
27
RESOLUCINcos cos3
3cos 4cos 3cos 31 1
cos 4 33 3
23cos
27
RPTA.: D
23. Si: tg 2; halle tg3
A)
2
3 B)2
4 C)2
5
D) 2
6 E)
2
7
RESOLUCIN3
2
3tg tgtg3
1 3tg
3
2
3 2 2tg3
1 3 2
2tg3
5
RPTA.: C
24. Reducir: 2 sen3x
M 4sen xsenx
A) 1 B) 2 C) 3
D) - 1 E) 0
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RESOLUCIN
2 sen3x
E 2 2sen x
senx
E 2 1 cos2x 2cos2x 1 E 2 2cos2x 2cos2x 1 E= 3
RPTA.: C
25. Simplificar:2 2
2 2
sen 3x cos 3xA
sen x cos x
A) 8 cos 2x B) 4 cos 2xC) 2 cos 2x D) 16 cos 2xE) 1
RESOLUCIN2 2
sen3x cos3xA
senx cosx
2 2A 2 cos2x 1 2 cos2x 1 2A 4 2cos2x 1
A 8cos2x RPTA.: A
26. Si: 2sen 30 a4
Halle: cos 3a
A)3 2
8 B)
5 2
8 C)
7 2
8
D)
9 2
8 E)11 2
8
RESOLUCIN
Se pide:
cos3a sen 90 3a 3cos3a 3sen 30 a 4sen 30 a
3
2 2cos3a 3 4
4 4
5 2cos3a
8
RPTA.: B
27. Si: x72
Halle:
M 2sen12x 2cos8xcos4x cos4x
A)3
2 B)
3
3 C)
3
6
D)3
4 E)3
12
RESOLUCINM 2sen12x cos4x 2cos8x 1
cos12xM 2sen12x cos4x
cos4x
M 2sen12x cos11x M sen24x
3M sen3 2
RPTA.: A
28. Halle: E ctg18 ctg36
A) 2 5 B) 3 5
C) 4 5 D) 5 5
E) 6 5
RESOLUCINcos18 cos36
Esen18 sen36
5 1cos36 4E
1 cos36 5 11
4
E 5 2
RPTA.: A
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29. Calcule el valor de:3
M sec80 1 6sen10
A) 3 4 B) 3 4 C) 2D) - 2 E) 1
RESOLUCIN1
1 6sen10 2 3sen102
2 sen30 3sen10
31 6sen10 8sen 10 Luego:
33M sec 80 8 sen 10
2sen10 csc10 Luego:
33M sec80 8sen 10 2sen10 csc10
M = -2RPTA.: D
30. Halle:
E ctg18 4cos18 3sec18
A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4
RESOLUCINcos18 3
E 4cos18sen18 cos18
2cos18 4cos 18 3E
sen18cos18
2cos54E
sen36
E 2 RPTA.: C
31. Si: tg3x mtgx, calcule:M sen3x cscx cos3x secx
A)m 1
m 1
B)
2 m 1m 1
C) 2 m 1m 1
D)
m 1
2 m 1
E) 1
RESOLUCIN
sen3x cos3x
M 2cos2x 1
senx cosx
2 cos 2x 1 4 cos 2x
Pero:
tg3x 2 cos2x 1 mm
tgx 2 cos2x 1 1
4cos2x m 1 m 1
2cos2x2 m 1 m 1
m 1
M 2m 1
RPTA.: B
32. Reduce:2V tg20 tg30 tg10 tg 50
A) tg 40 B) tg 50 C) tg 60D) tg 10 E) tg 20
RESOLUCINV tg20 tg30 tg10tg50 tg50tg70ctg70
V tg20 tg30 tg30tg50tg20 V tg50
RPTA.: B33. Simplifique:
tg3xR tg2x tgx
cos2x
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A) 2tg3x B) 4 tg 2x C) ctg x
D) 1 E) 12
RESOLUCINtg3x sen3x
Qcos2x cos2xcosx
sen3x 1 1Q
cos2x cos3x cosx
sen3x 2cos2xcosxQ
cos2x cos3xcosx
Q 2tg3x RPTA.: A
34. Halle: m si:m ctg20
tg10 tg40
A)3
3 B) 3 C) 1
D)
1
3 E)
1
2
RESOLUCINctg20
m tg10tg40
m ctg20 ctg40 ctg80 m ctg60
3m
3
RPTA.: A
35. Reduce:2sen 3x sen x sen 2x
Esen x sen 2x cos x
A) sen 2x B) sen 4xC) cos 2x D) cos 4xE) sen 8x
RESOLUCIN
3 2 23senx 4sen x senx 4sen x cos xE
senx 2senx cos x cos x
4
2
4cos x 1E
2cos x 1
2E 2cos x 1 E cos2x
RPTA.: C
36. Reducir:
H 1 cos40 1 cos80 1 cos160
A)1
8 B) 2 C)
3
8
D) 4 E) 6
RESOLUCIN 1 cos40 1 cos80 1 cos160
2 2 22sen 20 2sen 40 2sen 80
2 2 21H 16sen 20sen 40sen 80
2
2
21 1 3H sen60
2 2 2
31 3H
2 4 8
RPTA.: C
37. Reducir:G tg3x 2senxsec3x
A) 1 B) tg x C) ctg x
D) 0 E) 2tg x
RESOLUCINsen3x 2senx
Qcos3x cos3x
33senx 4sen x 2senxQ
cos3x
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2senx 1 4sen x senxQ 1 2 1 cos2x
cos3x cos3x
senx senx cos3x
Q 2cos2x 1cos3x cos3x cos x
Q tgx RPTA.: B
38. Si: tg 15 x 2 Halle: ctg 3x
A)11
9
B)13
9
C)14
9
D)16
9 E)
17
9
RESOLUCINSi:
tg 30 x tg 45 15 x
tg45 tg 15 xtg 30 x
1 tg45 tg 15 x
1tg 30 x 3
Se pide:
ctg3x tg 90 3x
3
2
3tg 30 x tg 30 xctg3x
1 3 tg 30 x
13ctg3x
9
RPTA.: B
39. Reducir:
2E sec20 1 sec40 1 tg20 ctg 10
A) 1 B) 2 C) 3
D)3
3 E)
1
3
RESOLUCIN 2E sec20 1 sec40 1 ctg 10 tg20
tg40E tg20 tg10 ctg10 tg20tg80tg20
E tg20 tg40 tg80
E tg60 3 RPTA.: C
40. Si: x18
Reducir:2tg8x tg2x
G
sec8x 1
A) 3 B) 1 C) 2
D) 2 3 E) 3
RESOLUCIN2tg80 tg20
Gsec80 1
tg80 tg80 tg20G
tg80tg40
G =tg10 tg80 tg 80 tg20
tg 80
G tg20 tg40tg80
G tg60 3 RPTA.: A
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