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ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS, DOS PLANOS… DISTANCIAS ENTRE DOS PUNTOS, DOS RECTAS, DOS PLANOS,… ÁNGULO DE DOS RECTAS QUE SE CORTAN Dos rectas que se cortan en un plano determinan 4 ángulos. Los opuestos por el vértice son iguales, por eso decimos, que son iguales dos a dos. ¿Cuál de los dos valores de estos ángulos es el que vale? Por convenio, se determinó que fuese el menor. El ángulo formado por las rectas r y s de las figura vale 43º. ÁNGULO DE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN En la figura siguiente tienes que las rectas r y s se cruzan:

ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

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Page 1: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS, DOS PLANOS…

DISTANCIAS ENTRE DOS PUNTOS, DOS RECTAS, DOS PLANOS,…

 

ÁNGULO DE DOS RECTAS QUE SE CORTAN

Dos rectas que se cortan en un plano determinan 4 ángulos. Los opuestos por el vértice son iguales, por eso decimos, que son iguales dos a dos.¿Cuál de los dos valores de estos ángulos es el que vale? Por convenio, se determinó que fuese el menor.

 

 

El ángulo formado por las rectas r y s de las figura vale 43º.

 

ÁNGULO DE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN

En la figura siguiente tienes que las rectas r y s se cruzan:

Page 2: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

Para hallar el ángulo que forman las rectas r y s no tengo más que trazar en el plano de la base una paralela a la recta r:

Nos encontramos en el caso anterior.

 

El ángulo que forman las rectas r y s es el ángulo que forman sus vectores directores.

Tenemos los vectores directores   y   y las rectas r y s  : 

El ángulo que forman las rectas o los vectores directores vale α.

Cuando estudiamos vectores aprendimos que el valor del ángulo que forman dos vectores tiene un valor escalar, nos tiene que dar un valor numérico porque ha de proporcionarnos  un valor real como son los radianes o los grados y lo obteníamos de: 

Veamos un ejemplo práctico:

Page 3: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

 

24.1 Tenemos dos rectas:

Como ves, la primera en forma vectorial y la segunda en forma implícita.

Analizamos la primera, y comprobamos que conocemos las componentes del vector director   (primero de los dos vectores).Necesitamos el segundo vector director   que lo obtenemos del sistema:

Lo resolvemos dando a x el valor cero quedándonos:

Sustituimos este valor de y en la 1ª ecuación:

Hemos obtenido un punto:

Ahora le damos a  y el valor cero que realizando operaciones calculamos los valores de x y de z:

Page 4: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

Obtenemos el punto al que llamamos Q:

La distancia   será el vector director  cuyas componentes como lo hemos venido haciendo hasta ahora las obtenemos de:

Recuerda que O es el origen de los ejes de coordenadas en el espacio.

El cálculo del vector   lo podíamos haber hecho de otro modo más sencillo partiendo de la forma implícita de la recta s:

Las componentes de las normales son  y   .). El producto vectorial de ambas nos dan las componentes del vector director, en este

caso el valor de  :

Conocemos las componentes de los vectores directores:

Page 5: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

En: 

sustituimos por los valores que acabamos de calcular:

 

Puedes hacer uso del Excel u otra Hoja de Cálculo o calculadora. En este caso hacemos uso de la Hoja de Cálculo Excel.

En la celda D1 tenemos el resultado del cociente y en E1 hallamos el ACOS de dicho valor, es decir, a que ángulo o cual es el ARCO cuyo COSENO es -0,2264 radianes que para pasar agrados multiplicamos por 180 y lo dividimos por  .

Como el cociente nos ha dado un número de radianes con valor negativo, significa que nos encontramos en el II cuadrante donde el coseno tiene valor negativo por eso obtenemos un ángulo de 103º que equivale al ángulo de 180º – 103º = 77º. El

Page 6: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

valor del   cos 77º que se encuentra en el II cuadrante lo escribimos en valores absolutos en la figura (el seno es positivo en los cuadrantes I y II).

En la figura siguiente tienes representado gráficamente cuanto acabas de leer: 

Si desde el principio utilizamos el valor absoluto evitamos algunos inconvenientes.Tomamos la fórmula para saber el valor del ángulo y en el numerador, para evitar signos negativos escribimos el valor absoluto del mismo:

Sustituyendo valores tenemos:

Volvemos a usar el Excel para saber a cuántos grados equivale el resultado que acabamos de hallar:

Page 7: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

Vemos que el resultado es el señalado anteriormente.

                                                                                   24.2  Las rectas r y s vienen determinadas por la intersección de dos planos respectivamente:

¿Cuánto vale el ángulo que forman estas dos rectas?

Respuesta: 67º aproximadamente

SoluciónEl ángulo que forman estas dos rectas vale lo mismo que el formado por sus vectores directores. El vector de dirección de r  viene dado por el valor de la perpendicular a los vectores normales de los dos planos y lo calculamos por el producto vectorial de dichas normales:

Hacemos lo mismo con la recta s:

Page 8: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

Vemos que corresponde a 67º aproximadamente.

 

24. 3   ¿Cuál es el ángulo que forman las rectas:

?

Respuesta: 41º aproximadamente.

 

24.4  Calcula el ángulo formado por las rectas:

Page 9: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

Respuesta: 18º (redondeando)

 

24.5  Calcula el ángulo formado por las rectas:

 

Respuesta: 18º (redondeando)

 

ÁNGULO ENTRE DOS PLANOS

Al estudiar el ángulo comprendido entre rectas en el espacio dijimos: “El ángulo que forman las rectas r y s es el ángulo que forman sus vectores directores.”

Ahora, al estudiar el ángulo que forman dos planos decimos:

 

El ángulo que forman dos planos   y α es el que forman susvectores normales que en la siguiente figura los tienes

representados por   y   .

 

Page 10: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

 

Observando la figura vemos que dos planos que se cortan forman cuatro ángulos diedros.

Igual sucede con dos rectas que se cortan.

Con las rectas que se cortan vale el ángulo menor.

Con los planos sucede lo mismo. El ángulo que forman los planos de la figura es de 47º que es el mismo que el formado por las normales o las perpendiculares a los planos.

 

Ahora, los vectores, en lugar de   y   que utilizamos con las

rectas, van a ser   y   .

 

El resto lo hacemos como aprendimos con las rectas.

Page 11: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

 

24.6  Halla el ángulo que forman los planos:

 

Respuesta: 44º aproximadamente.

Solución

Vemos que las componentes de las normales son   

y   y aplicando la fórmula  tendremos:

 

24.7  ¿Cuánto vale el ángulo que forman los planos:

y  ?

 

Respuesta: 35º aproximadamente.

 

Page 12: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

ÁNGULO ENTRE RECTA Y PLANO

 

En primer lugar vamos a recordar lo que tenemos en la figura:

 

 

Observamos el primer cuadrante de un eje de coordenadas dentro de un arco de circunferencia cuyo radio le ha dividido en dos y cuyos ángulos en color amarillo y verde

soncomplementarios  .

 

Comprobarás que el seno del ángulo en color verde corresponde al coseno del ángulo en color amarillo y el coseno del ángulo en color verde corresponde al seno del ángulo con el color amarillo.

Según lo que acabamos de recordar podemos escribir:  

 y tambien 

 

Page 13: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

 

Tienes la recta r, el vector director  y el vector normal  , suficientes datos para averiguar el ángulo entre recta y plano.

 

A primera vista, por medio del   parece el camino más adecuado para hallar el ángulo entre recta y plano, pero no haríamos uso del gran aliado para estos casos como es el vector

normal.Sabemos que el   haremos uso

del   y aplicando la fórmula utilizada para los ángulos entre rectas y planos:

 

 

24.8  Halla el ángulo formado por la recta:

Page 14: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

y el plano: 

 

Respuesta: 56º aproximadamente.

Solución

Hallamos el vector director de la recta:

 

El vector normal está compuesto por las componentes:

aproximadamente (no tenemos en cuenta los decimales)

 

Ten cuidado, 0,8281 es el valor del  o el valor del 

 

Page 15: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

El   corresponde a 34º; 90º – 34º= 56º

 

El mismo resultado obtienes al hallar el 

 

 

 

24.9  La recta   y el plano 

¿qué ángulo forman?

 

Respuesta: 19º aproximadamente.

 

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL ESPACIO.

 

Si de primeras te preguntan ¿sabes calcular la distancia entre

los puntos   de la siguiente figura?

Page 16: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

 

 

Quizá tengas dificultades para hallar primero, las coordenadas de cada uno de los dos puntos.

Cuando se trata de coordenadas de dos dimensiones no tenemos problemas:

 

 

La distancia  es la hipotenusa y los catetos

son: 

 

Page 17: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

La distancia:

 

Cuando los ejes son tridimensionales, algunas veces, pueden surgir dudas en cuanto al emplazamiento de los puntos.

Tienes a continuación el punto 

 

 

Situamos ahora los puntos  y  .

 

Page 18: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

 

El cálculo de la distancia entre los puntos P y Q lo hacemos del mismo modo que si se tratara de un espacio en dos dimensiones, con la salvedad que ahora son tres las variables:

 

 

24.10  Halla la distancia entre los puntos  y 

Respuesta: 10,48 u.

Solución

 

Page 19: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

Sustituyendo:

 

 

24.11  Halla la distancia entre los puntos  y 

 

Respuesta:  7,48 u.

 

DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA EN EL ESPACIO.

Vamos a utilizar dos formas para calcular la distancia de un punto en el espacio a una recta.

En la 1ª haremos uso de la fórmula y en la 2ª no la tendremos en cuenta.

 

1)  En la siguiente figura puedes ver un punto P en un espacio

tridimensional, una recta r  y el vector director   .

 es la distancia entre el punto y la recta y vemos que es

perpendicular al vector director  .

 

Page 20: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

A continuación tienes  representada gráficamente la suma de dos vectores:      

      

                          

Podemos decir que:                     

Multiplicamos vectorialmente por el vector director  a los dos miembros de la igualdad anterior:

Sabemos que el seno del ángulo de la figura que tienes a continuación:

 

Page 21: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

es 

 

¿Qué sucedería si los vectores fuesen paralelos?Sucedería que el ángulo que formarían dichos vectores (paralelos lo comprobamos en la siguiente figura) sería cero y el seno de cero vale 0:

 

 

Esto quiere decir que el producto vectorial:  vale cero por ser paralelos ambos vectores  según puedes comprobar en la figura:

Nos ha quedado:   de donde despejando la distancia del punto a la recta nos queda:

Page 22: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

 

Observarás que para realizar los cálculos, hacemos uso de las medidas o módulos de los vectores.

 

24.12  Halla la distancia del punto   a la recta

 

Respuesta: 3,73 u.

Solución

Vuelvo a tomar la figura:

Si me fijo en los parámetros de la recta del texto del problema,

observo que el vector director al que llamo  tiene como

componentes   y el punto 

Page 23: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

Calculamos el vector  ya que sabemos las coordenadas de A y de P.      

 

La distancia de P  hasta Q es:

 

Sustituyendo valores:

 

 

El numerador es el producto vectorial de dos vectores:

 

 

Podemos escribir:

Page 24: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

Numerador y denominador:

 

24.13  Halla la distancia del punto  a la recta

.

 

Respuesta:

 

2) Sin hacer uso de la fórmula vamos a resolver el problema anterior.

 

24.14   Halla la  distancia del punto   a la recta

.

Page 25: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

Respuesta: 

 

SoluciónEn el espacio tridimensional de la figura siguiente tenemos un punto P  y una recta r y tenemos que calcular la distancia entre ambos.          

                    

Trazamos la perpendicular desde P hasta r que es la distancia del punto a la recta:

 

 

Incluimos el punto y la recta en un plano que es perpendiculara la recta r:

 

Page 26: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

 

Tenemos que calcular la ecuación del plano y después, el punto de intersección de éste con la recta (Q).

No pierdas de vista que lo que tenemos que calcular es la

distancia 

Conocemos las coordenadas de P que son 

 

La ecuación de la recta es:

 

De la ecuación de la recta:

 

Vemos que las componentes del vector director de r (lo

representamos por  ) son 

Sabemos que el plano y la recta tienen el punto Q en común.

Page 27: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

El vector director de la recta r es el mismo que el vector normal del plano.

 

Esto nos permite escribir la ecuación del plano:

 

Tenemos que calcular el valor de D.

 

Conocemos un punto  , que se encuentra también en

el plano.Estos valores los sustituimos en:

 

La ecuación del plano finalmente nos queda:

 

Sabemos que Q es la intersección del plano y de la recta.

Escribimos la ecuación de la recta en su forma paramétrica de la

que conocemos el punto   que lo obtenemos de la parte numérica de cada numerador de su ecuación en forma continua:

Page 28: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

quedándonos:

Sustituimos estos parámetros en:  para hallar el valor de k:

 

 

Esto nos permite conocer las componentes del punto Q debido a que el vector director de la recta es el mismo que el propio o característico del plano y el punto Q es común a los dos:

 

 

Las componentes de Q son:

Page 29: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

Por fin, queremos saber la distancia  y para ello calculamos la diferencia de los valores de las componentes de los dos puntos, P y Q:

 

 

 

DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA EN EL ESPACIO. (Continuación)

 

24.15  ¿Cuál es la distancia de un punto  a la recta   

 

Respuesta:

Page 30: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

 

24.16   ¿Cuál es la distancia de un punto  a la recta   

 

Respuesta: 1,41 u.

SoluciónAunque anteriormente quedó explicado un sencillo modo de pasar la ecuación de la recta en forma implícita a paramétrica, lo tienes repetido a continuación:

La recta:

 

la  pasamos a  la forma paramétrica dando a z el valor de k.

Sustituimos:

Igualamos las x y hacemos operaciones para obtener el valor dey:

Page 31: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

 

Calculamos el valor de x sustituyendo, en la primera igualdad  ypor el valor que acabamos de obtener :

 

La ecuación de la recta en la forma paramétrica es:

Sabemos del texto del problema que 

 

La vector:

El vector director:

Page 32: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

 

Como ves, la forma paramétrica nos proporciona muchos datos necesarios para la resolución del problema.

 

Conocemos el punto P, el vector director de la recta   y el

vector   lo más práctico es utilizar la fórmula para hallar la distancia del punto P a la recta r:

 

Calculamos el numerador:

 

El módulo de:

 

Page 33: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

El módulo de:

 

La distancia:  

24.17     ¿Cuál es la distancia de un punto  a la recta:

   

 

Respuesta:

DISTANCIA ENTRE LÍNEAS PARALELAS

 

Page 34: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

La distancia entre dos rectas paralelas r y s se reduce a calcular la distancia entre un punto cualquiera de una y la otra recta, es decir, estamos en el caso anterior:

 

DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UN PLANO EN EL ESPACIO

Sabemos que un plano, lo denominaremos   podemos

determinarlo con un punto   y dos vectores  :

Una vez que tenemos el plano con sus elementos esenciales, fijamos el punto en el espacio perpendicular a A:

Como la distancia  , que lo representamos  es

perpendicular al plano, es la distancia más corta entre  y P.

Page 35: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

Ahora construimos un paralelepípedo o prisma de seis caras con

las medidas de  los vectores 

Sabemos que el volumen de este paralelepípedo es igual

a:área de la base por la altura, es decir,  que es el área

de la base por la distancia PA que la representamos: 

Sabemos que  es igual al vector normal o perpendicular al plano y lo representamos por  .

El volumen podemos escribirlo: 

Vemos que 

Despejamos la   y nos queda la fórmula:

Page 36: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

Esta fórmula la podemos escribir también sirviéndonos de la ecuación general del plano:                            Ax + By + Cz + D = 0 

El vector de la normal tendrá las componentes: 

Supongamos un punto del plano: 

un punto en el espacio 

Estos valores los sustituimos en la fórmula que acabamos de hallar:

Multiplicamos escalarmente los factores del numerador:

Ordenamos el numerador:

Page 37: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

Al numerador lo reunimos en dos sumandos:

Si observas, el primer sumando corresponde a la ecuación de un plano pero le falta el término D.

Si al segundo sumando:   le damos el

valor Ddebido a que   es un punto concreto del plano cuya sustitución de los valores de x, y, z  nos daría el término Dobteniendo la fórmula:

Esta fórmula es sumamente sencilla ya que se reduce a sustituir las coordenadas del punto que nos den, en la ecuación general del plano y dividirlo por el módulo de la normal.

24.18  Calcula la distancia del punto P(1, 2, 3) al

plano: 

Respuesta: 

Solución

Page 38: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

24.19  Halla la distancia del punto P(1, -2, 3) al

plano,   

Respuesta: 

 

DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS

Cuando nos referimos a la distancia entre dos planos, éstos han de ser paralelos, porque si son coincidentes o secantes, la distancia es cero.

Recuerda que dos planos son paralelos:1) Si el rango de la matriz de coeficientes vale 1 y el de la ampliada 2

2) Cuando   , si A, B, C y A’, B’,C’ son los coeficientes de las variables de cada plano.

3) los coeficientes de las variables son iguales (incluido el signo) que es lo mismo que decir que el sistema es incompatible, que no se puede resolver.

Tienes a continuación los puntos    y  correspondientes a dos puntos de cada plano paralelo.

Page 39: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

La distancia será la perpendicular entre los dos puntos si ambos ocupan los mismos lugares referidos a las variables.

El problema es sencillo de resolver. Basta calcular un punto de un plano y hallar la distancia desde éste al 2º plano.

24.20  Calcula la distancia entre los planos

Respuesta: 1,62 u.SoluciónPrimero comprobamos si los planos son paralelos.

Sí lo son porque 

En segundo lugar hallamos un punto del plano α y para ello le damos a y y a z el valor 0:

Hemos calculado el punto P(-3,0,0) del primer plano, nos queda hallar la distancia desde este punto al plano π y para ello hacemos uso de la fórmula de la distancia de un punto a un plano:

24.21  Calcula la distancia entre los planos:

Page 40: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

Respuesta: 1,67 u.

24.22  Calcula la distancia entre los planos

Respuesta: 0 u. porque los planos no son paralelos.

 

24.23 ¿Cuál es la ecuación general de un plano que contiene a la recta:

y es paralelo a la recta:

Respuesta: 6x – 6z + 6 = 0 SoluciónAnteriormente estudiamos que para obtener la ecuación general del plano recurrimos al determinante:

Son las componentes de los tres vectores que necesitamos para hallar la ecuación general del plano.

Page 41: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

La 1ª línea del determinante representa a un vector cuyas componentes las calculamos:

Q es un punto cualesquiera del plano y P es un punto concreto

determinado por el valor de sus componentes 

Siendo O el origen de coordenadas.

La 2ª y 3ª líneas del determinante están formadas por las componentes de los vectores directores   y   .

Un plano tiene el mismo vector director del que tiene una recta paralela al mismo.

Sustituimos valores en el determinante y haciendo operaciones paso a paso tenemos:

24.24 En el problema anterior ¿cuál es la distancia entre la recta s y el plano que contiene a la recta r ?

Page 42: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

Respuesta: 0,7 u.Solución

Conocemos el plano que contiene a la recta r: que lo llamamos

π y su ecuación es   cuya ecuación es:   

  

Según observamos de los numeradores de la ecuación de la recta s en su forma continua, un punto de la recta s es:   (– 1, 1, 1).

DISTANCIA ENTRE RECTAS QUE SE CRUZAN

Dos rectas se cruzan cuando cada una de ellas pertenece a planos distintos, y por lo tanto, por mucho que se prolonguen nunca se encuentran.Debajo tienes dos figuras de rectas que se cruzan.En la primera, en un espacio tridimensional las rectas en rojo se cruzan, lo mismo sucede con las líneas en color amarillo.

Page 43: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

En la segunda figura, las rectas las tenemos en dos planos paralelos y vemos que la distancia entre ambos planos, corresponde a la perpendicular que une un punto de cada recta.Sabemos que una recta queda determinada por un punto y un vector director y un por un punto y dos vectores uno de ellos es el paralelo correspondiente a la otra recta.

Tienes debajo las rectas r y s (que se cruzan) cuyos vectores directores son   y  respectivamente y hemos colocado sus paralelas correspondientes en cada punto. Los planos obtenidos los denominamos   y   .

Tenemos un paralelepípedo cuyo volumen es el área de la base por la altura.

Anteriormente estudiamos que la distancia de un punto P a un plano   es:

La altura (h) equivale a  que hemos de multiplicar por el área

de la base  producto vectorial de los dos vectores lo que corresponde al producto mixto de tres vectores que lo escribimos:

Page 44: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

Estudiamos anteriormente que el producto mixto de los vectores,  ,   lo calculamos hallando el determinante (  ,  ,  ) :

es decir:

24.25  Las rectas: 

se cruzan. ¿Cuál es la distancia entre ellas?

Page 45: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

Respuesta: 0,7 u.SoluciónSea P  un punto de la recta r, comprobamos que vale (1, 3,-1).Sea Q  un punto de la recta s, comprobamos que vale (0, -1,1).El vector director de r es   cuyas componentes son    (2, 1, -2).El vector director de s es   cuyas componentes son    (-2, 1, 2).

El vector   tiene como componentes:

(0, -1, 1) – (1, 3, - 1) = (0 -1, -1 -3, 1 – (-1) = (-1, -4, 2).

Aplicamos la fórmula:

El cálculo lo hacemos separadamente el numerador del denominador.

numerador:

denominador: 

cuyo módulo vale: 

Sustituyendo valores:

Page 46: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

24.26   ¿Cuál es la distancia entre las rectas:

si sabemos que se cruzan?

Respuesta: 0,7 u.

PERPENDICULAR COMUN DE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN O DOS RECTAS CRUZADAS

En esta ocasión, en lugar de obtener una fórmula para su aplicación directa, vamos a hacer, paso a paso, un caso práctico.Se trata de hallar una recta, la más corta, que une dos puntos de dos rectas que se cruzan en el espacio tal como lo tienes en la figura siguiente:

24.27  Escribe la ecuación de la perpendicular común a las rectas que tienes en la última figura sabiendo que:          

Page 47: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

Tendrá dos soluciones dependiendo a que recta nos referimos

Respuesta: ecuación de la recta perpendicular común:  

         

SoluciónDe la recta r conocemos:El punto P = (1, 3, -1)

vector director   = (2, 1, -2)

De la recta s conocemos:

El punto Q = (0, -1, 1)vector director   = (-2, 1, 2)

Las componentes del vector   son:   

     

Sabemos que el producto vectorial de dos vectores nos da el vector perpendicular a ellos:

    

En la recta PQ tomamos un punto cualquiera o genérico que lo llamamos A cuyas componentes (generalizando) son (x, y, z):

Page 48: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

   

El vector 

El vector director 

El vector obtenido de  es perpendicular a r.Tengo todos los datos necesarios para hallar la ecuación en forma implícita de la recta perpendicular:

Resolvemos:

Haciendo operaciones:

Vemos que la ecuación de la recta perpendicular teniendo en

cuenta los datos de la recta r es: 

Si tenemos en cuenta los datos de la recta s:

Page 49: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

El vector director 

El vector obtenido de 

Resolvemos:

Haciendo operaciones:

Vemos que la ecuación de la recta perpendicular teniendo en cuenta los datos de la recta s es:

24.28  Escribe la ecuación de la perpendicular común a las rectas que tienes en la última figura sabiendo que:         

Page 50: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

 

Respuesta: ecuación de la recta perpendicular común:

 

PLANO MEDIADOR DE UN SEGMENTO

El plano mediador al que también podemos referirnos comoplano mediatriz de un segmento, es el que cualquier punto delmismo está a la misma distancia de los extremos de un segmento.

En la figura ves el plano π que corta en P a la recta r creando el segmento AB.

Cualquier distancia   es igual a la distancia   (lo mismo sucede con cualquier otro punto del plano).

Page 51: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

Aplicamos lo estudiado anteriormente respecto al cálculo de la distancia entre dos puntos.Supongamos que el punto A tiene por coordenadas ( 2, -3, 3 ) y las coordenadas del punto B son (1,3,5 ).Dado que P es un punto cualquiera, sus coordenadas son (x. y. z ).Con los datos anteriores tenemos que: dist(P,A) = dist(PB), es decir,

Como las distancias son iguales podemos escribir:

  Elevando al cuadrado los dos miembros de la igualdad:

Page 52: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

Haciendo operaciones llegamos a la ecuación de un plano, al que denominamos plano mediador del segmento AB,  cuyos puntos equidistan de A y de B:

 

24.29  Tienes dos puntos A y B en el espacio: Halla la ecuación del plano que equidiste de ambos puntos sabiendo que (2,1,3) son las coordenadas de A y (-3,5,7) las de B.

Respuesta: 

 

PLANOS BISECTORES

Recordamos en primer lugar que un ángulo diedro es el que forman dos planos que se cortan. En la figura siguiente ves dos planos secantes que forman un ángulo diedro de 133º:

Comentamos la siguiente figura en la que ves dos semiplanos αy γ (los tratamos como semiplanos ya que los hemos “detenido” en la recta r y, por tanto, son una parte) perpendiculares al plano π que son secantes creando la

Page 53: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

recta r. También tenemos un punto P en el espacio cuyas coordenadas, en el espacio tridimensional son (x, y, z):

Se trata de hallar un plano cuyos puntos equidisten de los semiplanos α y γ, estando el punto P contenido en dicho semiplano que lo denominamos plano bisector que lo vemos en la siguiente figura:

Page 54: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

En realidad se trata de averiguar la ecuación del semiplano βsirviéndonos del punto P contenido en el mismo y de los semiplanos α y γ, en una palabra, calcular la dist(P, α) y dist(P, γ) porque si nos fijamos en la figura siguiente la intersección del semiplano β con el plano π es la bisectriz de las otras dos intersecciones.

Tal como se desarrolla este tema parece no ir muy de acuerdo con el título debido a que éste lo tenemos en plural y siempre nos estamos refiriendo al singular, al plano bisector.

Page 55: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

En la intersección de dos planos existen dos planos bisectores tal como lo ves en la figura que tienes a continuación:

En color verde los dos planos bisectores γ y δ.

El punto P equidista de las caras del diedro. Sus componentes, como hemos señalado, son (x, y, z).

Observa que cada plano bisector ocupa dos cuadrantes, por ejemplo, el plano bisector δ está situado en los cuadrantes I yIII.

Esto exige que tengamos en cuenta el valor de las componentes en función de los signos de los valores de abscisa y ordenada.Sabes que los valores de abscisas en el cuadrante I son positivos lo mismo que los valores de ordenadas.

En el cuadrante III los valores de abscisas y ordenadas son negativos.

Page 56: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

En el cuadrante II las abscisas son negativas y las ordenadas positivas.

En el cuadrante IV las abscisas son positivas y las ordenadas negativas.Los signos de los valores de un cuadrante son opuestos a sus correspondientes en el otro cuadrante. Esta consideración debes tener a la hora de hallar los planos bisectores, de ahí que calculamos las dos respuestas teniendo en cuenta los signos de las componentes.Los ángulos entre los planos son de 45º.

 

 

PLANOS BISECTORES. (Continuación)

Veamos un caso práctico:

 24.30  Halla las ecuaciones de los planos bisectores que corresponden a las caras del diedro:

Respuesta: 

SoluciónSabemos que la distancia de un punto P a un plano α viene por:

Esta distancia es la misma que:

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Sustituyendo valores:

Los dos planos bisectores después de simplificar los denominadores son:

Reduciendo términos semejantes y haciendo operaciones llegamos a determinar las ecuaciones de los dos planos bisectores.Ten en cuenta que ponemos el doble signo   debido a que este plano bisector ocupa dos cuadrantes cuyos valores de abscisas y ordenadas son opuestos:

24.31  Halla los planos bisectores del diedro compuesto por los planos:

Respuesta: 

 

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CONSOLIDAR Y AMPLIAR LO APRENDIDO

Un camino para conseguir aclarar bien lo estudiado, llegar a una buena comprensión de conceptos, consolidar conocimientos, es fundamental, resolver el mayor número posible de problemas y ejercicios.Cuando se aborda el aspecto teórico, no siempre se tienen en cuenta  todos los casos o aspectos, es con la práctica cuando el conocimiento se va completando.

Se te proponen los siguientes que están resueltos al final.

 

24.32  La ecuación general de una recta es:

Escríbela en sus formas: vectorial, paramétricas y continua.

Respuestas: 

 

24.33   Halla la ecuación en forma implícita del plano π sabiendo las componentes de 3 puntos contenidos en el mismo:

Page 61: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

Respuesta: 

 

24.34 ¿Cuál es la distancia entre el punto P(1, 2, 3) y la recta:

Respuesta: 4,53 u.

 

24.35  Tenemos el punto P(1, 2, 3) exterior a  la recta

Escribe la ecuación del plano que contienen los datos anteriores.

Respuesta: 

 

24.36 ¿Qué ángulo forman los planos bisectores del diedro cuyas caras son los planos:

Respuesta: 90º.

 

Page 62: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

24.37  Halla la ecuación implícita de un plano que contiene el punto P( 1,2,3 ) y es perpendicular a la recta:

Respuesta: 

 

24.38  Calcula la distancia entre la recta:

                               y el punto P(1, -1, -2).

Respuesta: 1,77 u.

 

24.39   ¿Cuáles son las coordenadas del punto P de la recta

 que está a igual distancia de los

puntos  y   según la figura siguiente:

Page 63: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

Respuesta: 

 

Dos rectas r y s son perpendiculares entre sí y además son

paralelas al plano  

¿Podrías escribir en forma paramétrica las ecuaciones de ambas?

  Respuesta: 

 

SOLUCIONES

 

24.32    Resolvemos el sistema: 

Le damos a z el valor cero:              z = 0                          

Page 64: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

Sustituimos este valor en el sistema y hallamos el valor de x:

En la 2ª ecuación sustituimos los valores conocidos y hallamos el valor de y:

El punto común P del sistema es: (5,20)

Ahora necesitamos saber el vector director y para ello nos servimos de los vectores normales de las dos ecuaciones que nos vienen dadas por las coeficientes A, B, C de cada ecuación:

Para saber las componentes del vector director resolvemos:

Vemos que las componentes del vector director son (8, 1, -6)

La ecuación   en las formas pedidas son:

Vectorial : 

Paramétricas:

Nos servimos de la forma vectorial

Page 65: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

Continua:Nos servimos de las formas paramétricas

 

24.33  Recuerda que para determinar un plano en el espacio se necesitan:  I.)  - Un punto      - Dos vectores directores no proporcionales.

II.) Puede suceder que te den 3 puntos (que no estén alineados). Con estos datos ya puedes obtener el plano ya que con tres puntos puedes hallar dos vectores directores (con esos tres puntos) y después,  tomas un punto cualquiera.

III.) Para hallar la ecuación de un plano basta con conocer un punto y una recta contenidas en el mismo porque el plano y la recta tienen el mismo vector director. El segundo vector director lo obtenemos del punto del plano y de la recta.

IV.) Cuando conocemos un punto A por donde pasa el plano y unvector normal 

del mismo, aplicamos la ecuación normal del plano:

Veamos un ejemplo:

Page 66: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

¿Cuál es la ecuación de un plano que pasa por A(1,1,2) y un

vector normal del plano es 

SoluciónPasamos a resolver el problema cuyos datos son:

Nos falta un dato y es el que se refiere a un punto cualquiera del plano que teniendo en cuenta el punto A(2, -1, 2) lo escribimos:

Una vez que tenemos los datos el sistema de ecuaciones lo resolvemos por medio del determinante:

 

Page 67: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

24.34  Recordemos que la distancia de un punto a una recta tal

como tenemos representada a continuación 

la obtenemos a partir de 

A los miembros de esta igualdad multiplicamos vectorialmentepor  y obtenemos:

Vemos por la figura anterior que  y  son paralelas (los valores de x, y, z son proporcionales o iguales. Sus pendientes son iguales) por lo que su producto vectorial vale cero.

Sabemos que el producto vectorial de dos vectores   cuyas

componentes son   y   las del vector  es:

Page 68: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

Ves que los valores de las diferencias entre paréntesis son iguales lo que implica que su valor es cero. Cada producto vale

cero, luego  .

Esto significa que la igualdad 

equivale a 

Despejamos  y obtenemos 

Aplicamos al ejercicio:

      

Conocemos el punto exterior P(1, 2, 3) y un punto A de la recta

con lo que el vector   tiene como componentes:

Las componentes del vector director  de la recta r  son (2, 1, -2) y vemos que disponemos de todos los datos necesarios para resolver este problema:

Calculamos el módulo de

Page 69: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

Calculamos el módulo de 

La 

SOLUCIONES

 

24.35  Observamos en la ecuación de la recta un vector director:

Como el plano contiene a la recta,  será paralelo a

este vector director y también contendrá al punto  .

El punto P(1, 2, 3) y el punto   se encuentran en el

plano de donde podemos calcular el vector   .

El vector 

Un punto cualquiera del plano tendrá como

componentes: 

Tenemos los datos suficientes para dar respuesta al enunciado de este problema:

Page 70: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

 

 

24.36  En el ejercicio 24.31 calculamos los planos bisectores:

Las componentes de las normales son 

El ángulo, llamemos α, entre dos planos nos viene dado por:

Hubiese bastado con multiplicar, escalarmente, las componentes de los vectores normales (es decir, como lo tenemos en el numerador de la expresión anterior).Como sabemos que cos 90º  vale 0 significa que los planos bisectores son perpendiculares (EL ARCO CUYO COSENO VALE 0 CORRESPONDE A 90º).

Respuesta: 90º los planos bisectores son perpendiculares.

 

24.37   El vector director de la recta r según los datos que nos

proporciona el enunciado del problema son: 

Page 71: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

Por otro lado, esas componentes corresponden también a la

normal del plano  : 

Sabemos que en la ecuación general del

plano: 

Los coeficientes: A, B, C corresponden a las componentes de lanormal.La ecuación del plano, a falta de conocer el valor de D, es:

El punto P(1, 2, 3) corresponde también al plano. Sustituimos

en:   estos valores y hallamos el de D:

La ecuación del plano es: 

 

24.38   Primero resolvemos el sistema y para ello a la variable zle damos el valor k porque vamos a calcular la ecuación de la recta en la forma paramétrica.z = k

Page 72: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

Calculamos el valor de y sustituyendo los valores conocidos en la 2ª ecuación:

Tenemos los parámetros del punto y del vector director:

La distancia de un punto  a la recta:

viene dada por: 

El vector  tiene como componentes:   

Page 73: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

Calculamos el valor del numerador: 

Ahora hallamos el valor  del módulo del numerador:

Calculamos el valor del módulo del denominador  :

La distancia pedida será:

 

 

 

SOLUCIONES

 

Page 74: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

24.39  Según la figura:

el plano   es un plano mediador.Componentes del vector normal del plano:

Las componentes de H, punto medio de  son:

Recuerda que el vector normal es perpendicular a todos

losvectores que contiene el plano, por ejemplo, el  .

Observa las figuras siguientes:

Page 75: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

y que el producto de   por  vale cero: 

Si la normal   del plano tiene por componentes (a,b,c), las

componentes del punto  , la ecuación   normal de un plano será:

 siendo   las coordenadas de un punto cualquiera del plano.

 

Volvemos al problema.Hemos calculado (-4, 6, 2 ) como componentes del vector normal del plano.

Componentes del punto medio 

Aplicando estos datos conocidos tenemos que:

Haciendo las operaciones indicadas hallamos la ecuación del plano mediador:

Page 76: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

El problema nos pide las coordenadas de un punto P común de la recta y del plano, intersección de la

recta  y del plano mediador figura (I).Por la ecuación de la recta r vemos, aplicando las paramétricas:

Sustituimos estos valores en la ecuación del plano mediador y hallamos las coordenadas del punto P:

Las coordenadas del punto P son:

SOLUCIONES

 

24.40 Una recta que sea paralela a un plano, su vector director tendrá que ser perpendicular al vector normal del plano.

El vector normal del plano es 

Page 77: ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

De los infinitos vectores perpendiculares a   uno podría ser:  = (1,1,1) ¿Por qué?

Porque sabemos que el producto escalar de 

Si multiplicas 

Otro vector perpendicular a   puede ser   = (0,13)

Tomamos a este último como vector de la recta r.

 

Ahora nos falta conocer un vector, correspondiente a la recta sque tiene que ser perpendicular a   y  , es decir:

 

Ya tenemos los dos vectores y vemos que nos falta un punto exterior al plano para resolver el problema.

De los infinitos puntos no pertenecientes al plano tomamos el punto P(1,1,1). Sabemos que este punto no se encuentra en el

plano   porque al sustituir x, y, z por los valores 1, 1, 1 hallamos 0 por respuesta en lugar de 1.Las rectas en forma paramétrica las escribimos:  

 

 

 

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