UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL FRANCISCO MORAZÁN CENTRO UNIVERSITARIO REGIONAL DE LA CEIBA

COMITÉ NACIONAL DE OLIMPIADAS MATEMÁTICAS DE HONDURAS

ACADEMIA TALENTOS MATEMÁTICOS DE ATLÁNTIDA

GEOMETRÍA PARA NIVEL 2 Y 3

HISTORIA Y ÁNGULOS

La geometría es la rama de la matemática que se encarga de estudiar las diversas propiedades de las figuras

tantos planas (cuadriláteros, triángulos, etc.) como tridimensionales (pirámides, cubos, paralelepípedos,

esferas etc.).

Estos estudios no son nada nuevos, las antiguas culturas de todo el mundo ya conocían muchos de los

teoremas que hoy manejamos y utilizamos, estos han sido el logro de muchos años de trabajo arduo a manos

de grandes matemáticos como Pitágoras, Thales, Euclides y muchos otros.

Los egipcios utilizaron la geometría para construir sus grandes pirámides alrededor de todo el desierto, los

griegos, babilonios y romanos también utilizaron la geometría para levantar sus grandes ciudades. Quizás el

problema más grande que tuvieron los egipcios fue el hecho de que ellos no demostraban lo que descubrían,

sino más bien los comprobaban para casos específicos

Iniciaremos el estudio de la geometría en su parte más simple (geometría plana).

Para ellos estudiaremos primeramente los triángulos y ángulos, hasta alcanzar demostrar básicas y utilizar

muchas de sus propiedades, teoremas y postulados.

El estudio de los ángulos y triángulos es parte fundamental de la geometría. Existen tres tipos de ángulos

(rectos, llanos y obtusos). Los triángulos se pueden clasificar de dos formas: de acuerdo a la medida de sus

lados, de acuerdo a la medida de sus ángulos.

Definición

Triangulo: si A, B, C son tres puntos coplanarios no lineales, entonces llamaremos triangulo ABC a la unión

de los segmentos AB, BC, AC y lo representaremos simbólicamente ∆ABC. Y se clasifican así.

De Acuerdo A Sus Lados:

Equilátero: Tiene los tres lados iguales.

Isósceles: Tiene dos de sus lados iguales.

Escaleno: Todos sus lados son de diferente medida.

De Acuerdo A Sus Ángulos:

Acutángulo: Tiene todos sus ángulos agudos.

Rectángulo: Tiene un ángulo de 90 grados (ángulo recto).

Obtusángulo: Tiene un ángulo obtuso.

Equiángulo: Todos sus ángulos son iguales.

Perímetro: Es la suma de la medida de los lados de una figura.

Área: es la medida de la superficie plana. La fórmula para el área de un triángulo es: A= (𝑏𝑎𝑠𝑒)(𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎)

2

Ejemplo 1

En la siguiente figura encuentre el área y el perímetro de la misma.

5cm 5cm P= 5cm + 5cm + 6cm = 16cm

4cm A= (𝑏𝑎𝑠𝑒)(𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎)

2 =

(6cm)(4cm)

2 = 12cm2

6cm

Teorema 1: Si un grupo de ángulos forman una línea recta entonces la suma de sus medidas es 180 grados.

Aquí se ve que los ángulos 1, 2 y 3 forman una línea recta,

por tanto la suma de sus medidas es 180 grados.

Teorema 2: Si dos rectas paralelas son cortados por una secante entonces los ángulos correspondientes son

congruentes (es decir que tienen la misma medida).

En esta figura los ángulos 1 y 2 tienen la misma

medida y se dice que son congruentes.

Teorema 3: Si dos rectas se intersecan forman 4 ángulos, y cada par de ángulos opuestos son congruentes.

En la figura los ángulos 1 y 3 son congruentes y los ángulos

2 y 4 también son congruentes, cada pareja se llama

ángulos opuestos por el vértice.

Teorema 4: Ángulos alternos internos son congruentes.

Aquí los ángulos 1 y 2 son congruentes y se llaman ángulos

alternos internos.

Teorema 5: Los ángulos alternos externos son congruentes.

En esta figura los ángulos 1 y 2 son congruentes y se

llaman ángulos alternos externos.

Teorema 6: La suma de los ángulos internos de un triángulo siempre es 180 grados.

Demostración: Tenemos un triángulo, entonces pasamos una recta

paralela a cualquier de sus lados a la que llamaremos L1.

a = a y c = c por ser ángulos alternos externos; pero los

ángulos a, b, c forman una línea recta y por tanto suman

180, entonces a + b + c = 180.

Teorema 7: Si dos rectas son perpendiculares forman cuatro ángulos rectos (de 90 grados)

Cuando dos rectas son perpendiculares se representan

gráficamente con un pequeño cuadro en la parte donde

ambas rectas se intersectan. Si se forma un ángulo recto

entonces se forman 4 ángulos rectos.

Teorema 8: En todo triangulo se cumple que la suma de dos de sus ángulos es igual que el suplemento del

tercer ángulo. En este triángulo se ve claramente un ejemplo, aquí

podemos deducir que a + b = c

Teorema 9: Si un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 30O y en consecuencia otro de 60O entonces el

lado opuesto al ángulo de 30O mide la mitad de la hipotenusa, y del mismo modo se cumple que el lado

opuesto al ángulo de 60O mide √3

2 por la hipotenusa.

EN el dibujo lo vemos más claramente, y de este modo

se cumplirá esta propiedad para cualquier valor de la

hipotenusa “C”.

Definición 1: Se llama bisectriz al segmento de recta que biseca un ángulo.

Aquí vemos claramente como la recta del medio parte al

ángulo en dos ángulos con igual medida, esto es un

ejemplo de una bisectriz.

Definición 2: Llamaremos mediatriz a la recta que pasa por el punto medio de un lado de un triángulo y es

perpendicular a dicho lado.

En la figura AM = BM y MN es perpendicular a AB

MN es lo que llamamos mediatriz de AB.

Ejemplo 2: Se ABC un triángulo acutángulo, cuyo ángulo interno A mide 30O; F y E son los pies de las

perpendiculares de AB y AC respectivamente; M y N son los puntos medios de los lados AB y AC

respectivamente; y con O punto de intersección de los segmentos DN y EM. Demuestre que los triángulos

MEB y NFC son equiláteros.

Solución: el ∆ ABE es rectángulo y como m∡A = 30O

concluimos que BE mide la mitad de AB (la hipotenusa).

Luego como M es el punto medio de AB también BM mide

la mitad de AB y por tanto mide igual que BE. También

como m∡A= 30O se tiene que m∡ABE = 60O; pero ya

demostramos que MB = BE así que el ∆ BEM es isósceles

y por tanto tiene dos ángulos iguales así que:

m‹ABE + m∡BME + m∡BEM = 180→

60O + 2(m∡BEM) = 180O

Despejando obtenemos que m‹BEM = 60O.

Como m∡ABE = m∡BME = m∡BEM = 60O se tiene que el ∆ BEM es equilátero. Se procede igual para el ∆ CFN.

Ejemplo 3: En el ∆ XYZ tenemos que XZ = 16cm y XY = 20cm, si m∡ZXY = 45O encuentre el área del triángulo.

Solución: primero trazamos MZ perpendicular a XY de

este modo el ∆XMZ es isósceles con XM = XZ = 16;

XM2 + XZ2 =MZ2 → MZ2 = 162+162→MZ=√256 + 256 =

4√2

A = 1/2(base)(altura) = (1/2)(20cm)(4√2𝑐𝑚) = 40√2 cm2.

1 Ejemplo 4: El ángulo A del triángulo ABC mide 57O, la bisectriz del ángulo B y la mediatriz del lado BC se

intersectan en el mismo punto de AC, determine la medida del ángulo B.

Llamemos “a” a la medida de cada ángulo formado por la

bisectriz, como BM = MC, MN = MN y además de que MN

es perpendicular a BC obtenemos que los triángulos BMN

y CMN son iguales, así que BN = CN y en consecuencia el

ángulo C también mide “a”. Como 57O + 3a = 180O→a =

(180 – 57)/ 3 = 41O. Y m∡B = 2(41) = 82.

Ejercicios 2 2. En el siguiente trapecio AB y CD son paralelos, AD = DC = CB = 10 y AC = AB =15. Encuentre la medida

del ángulo en D.

2. En la siguiente figura de la izquierda se muestra un cuadrado de lado igual a uno. Si el ∆CMN es equilátero trazado

en el interior del cuadrado como se especifica en la figura, ¿Cuánto vale la suma del área de los otros 3 triangulo?

3. Se ABC un triángulo acutángulo (figura anterior del lado derecho), cuyo ángulo interno A mide 30O; F y E

son los pies de las perpendiculares de AB y AC respectivamente; M y N son los puntos medios de los lados AB

y AC respectivamente; y con O punto de intersección de los segmentos DN y EM. Demuestre que EM es

perpendicular a FN.

ARCOS Y CIRCUNFERENCIAS

Teorema 1: Un ángulo central es el que tiene su vértice en el centro de un círculo y su valor es igual al arco

que intersecta medido en radianes 2, es decir: a = 𝐴�̂�.

Teorema 2: Un ángulo inscrito es el que tiene su vértice sobre la circunferencia y los lados que lo forman son

cuerdas de la circunferencia. Su valor es igual a la mitad del arco que intersecta, es decir: a = 𝐴�̂�/2. Teorema 3: Un ángulo semi-inscrito es el que tiene su vértice sobre la circunferencia y está formado por una

línea tangente y una secante. Su valor es igual a la mitad del arco que intersecta, es decir: a = 𝐴�̂�/2. Teorema 4: El valor de un ángulo inscrito es igual a la mitad del ángulo central que intersecta el mismo arco. En la figura tenemos que a = b/2 Teorema 5: La magnitud del ángulo entre dos líneas que se cortan dentro de un círculo es equivalente a la

semisuma de los arcos que cortan dichas líneas. Es decir a = (𝐴�̂� + 𝐶�̂�)/2. Teorema 6: (figura anterior de la derecha) La magnitud del ángulo entre dos líneas que se cortan fuera de

un círculo es igual a la semidiferencia de los arcos que cortan dichas líneas. Es decir a = (𝐴�̂� - 𝐶�̂�)/2.

Ejercicio 1: Las circunferencias C1 y C2 se intersectan en los puntos A y B. Se traza una recta l que corta a C1

en C y D, y a C2 en M y N, de tal manera que A y B quedan en distintos lados de l. Demuestra que ∡CAN +∡MBD = 180O.

Solución: Trazamos entonces AB. Tenemos que ∡ABD = ∡ACD = a, ya que ambos son ángulos inscritos en C1 los cuales intersectan el arco AD. De la misma manera, ∡ABM = ∡ANM = b, ya que ambos son ángulos inscritos en C2. Por otro lado, si hacemos ∡CAN = r, en el triángulo △ACN tenemos que a + b + r = 180O.

Ejercicio 2: Demuestre que dos líneas paralelas que intersectan una circunferencia cortan arcos iguales entre ellas.

Solución: sean L1 y L2 dos rectas paralelas que intersectan una circunferencia, L1 la intersecta en A y B; L2 la intersecta en M y N. Luego trazamos la recta AN, de este modo tenemos que m∡BAN = m∡MNA pues son ángulos alternos internos. Luego sabemos que ángulos iguales cortan arcos iguales así que 𝐴�̂� = 𝐵�̂�.

Ejercicio 3: Demuestre que si dos rectas son tangentes a una circunferencia y se intersectan fuera de esta entonces los puntos de tangencia equidistan del punto de intersección.

Solución: llamemos A y B a los puntos de tangencia y P el punto de intersección de ambas rectas, lego tracemos la recta AB. Lo que deseamos demostrar es que AP = BP.

m∡PAB = 𝐴�̂�/2 por ser ángulo semi inscrito.

m∡PBA = 𝐴�̂�/2 por ser ángulo semi inscrito. Entonces: m∡PAB = m∡PBA y se concluye que △ABP es isósceles con AP = BP.

Ejercicios

1. Una circunferencia ha sido dividida arbitrariamente en cuatro partes, y los puntos medios de los arcos obtenidos se han unido con segmentos de rectas. Demuestra que entre estos segmentos dos serán perpendiculares entre sí. (Figura izquierda).

2. Dos circunferencias son tangentes exteriormente en un punto A. BC es una tangente común externa. Demuestra que ∡BAC = 90◦. Recomendación: trace la recta AM. (Figura derecha). 3. Uno de los lados de un triángulo inscrito en una circunferencia coincide con un diámetro. Demuestra que el triángulo es rectángulo. (Figura izquierda). 4. En la siguiente figura de la derecha, BC = AD, demuestre que AC y BD son segmentos paralelos.

TRIÁNGULOS Y CÍRCULOS INSCRITOS

Ejemplo 1: En la siguiente figura las tres circunferencias son tangentes exteriormente, con centros en A, B, C. si el triángulo ABC es equilátero y el radio de las tres circunferencias es 2, calcule el área del triángulo equilátero. Solución: Como el triángulo ABC es equilátero se tiene que

AB = AC = CB = 4. Si traza la altura correspondiente a cualquier lado formaremos un triángulo especial de 90-60-30, así que la

altura será opuesta al ángulo de 60O y medirá 4√3

2 = 2√3

Utilizando la fórmula para el área de un triángulo tenemos que:

A = 4(2√3)

2 = 4√3

Ejemplo 2: El triángulo ABC ha sido formado por los radios de la circunferencia, si el diámetro de la circunferencia es 4 ¿cuál es el valor del área sombreada?

Solución: El área del arco BAC es 𝜋(22)

4 = 𝜋

El área del triángulo ABC es 2(2)

2 = 2

Luego el área sombreada es la diferencia entre las dos áreas

anteriores: área sombreada = 𝜋 – 2.

Ejemplo 3: En la figura cada lado del cuadrado mide 1. ¿Cuál es el área de la región sombreada? Solución: Primero se calcula la diagonal AC que será el diámetro.

12 + 12 = AC2 → AC = √2 y el radio del circulo es √22

.

A. Circulo = 𝜋 (√2

2)

2

= 𝜋/2. A. Cuadrado 1(1) = 1

ABC es un arco de 90O con radio 1, su área es 𝜋/4 Si al área del círculo se le extrae el área del cuadrado y se divide entre 4 se obtendrá el área entre el segmento AB y el arco AB la

cual llamaremos M: (𝜋/2 – 1)/4.

Ahora con estos datos podemos calcular el área sombreada, la cual se obtiene así: A. Sombreada = A. circulo – A. arco ABC – 2M

A. Sombreada = 𝜋/2 – 𝜋/4 –2(𝜋/2 – 1)/4 = 𝜋/2 – 𝜋/4 – (𝜋/2 – 1)/2 = 𝜋/2 – 𝜋/4 – 𝜋/4 + 1/2 =

1/2

Ejemplo 4: En el triángulo ABC, AB = 1, BC = 2 y el ángulo ABC es de 72O. Se rota el triángulo ABC en el sentido de las manecillas del reloj fijando el vértice B, obteniéndose el triángulo A'BC'. Si A, B, C' son colineales y el arco AA' es el descrito por A durante la rotación, ¿cuánto vale el área sombreada? Solución: m∡ABC = m∡A'BC' por ser ángulos correspondientes m∡ABC' = 180O po9rque A, B y C' son colineales, entonces: m∡CBA' = 180O – 2(m∡ABC) = 180O – 2(72O) = 36O. El área sombreado es un arco de 36O con radio AB = 1.

A. Sombreada = 36 [𝜋(1)2/360] = 𝜋/10.

Ejercicios 1. en la figura se muestran tres circunferencias tangentes exteriormente, con centros en A, B y C Si la primera tiene radio 4, la segunda radio 2 y la tercera radio 5, ¿Cuál es el área del △ABC? 2. El triángulo ABC es equilátero con AB = 1, ¿Cuál es el valor del área sombreada? 3. La estrella de la figura ha sido inscrita en la circunferencia, si todos sus lados miden 5, y AB = 4 y si el radio del circulo es 6 ¿Cuál es el área total de la estrella? 4. En la figura las tres semi circunferencias son tangentes entre si y BN es perpendicular a AC encuentre el valor del área sombreada si AB = 6,