CEPREUNTELS – Ciclo Académico 2016-II Pág. - 16 -

ANGULO TRIGONOMÉTRICO – SISTEMAS DE MEDIDA ANGULAR

TRIGONOMETRÍA

La trigonometría es una rama de las matemáticas cuyo significado etimológico es la medición de los triángulos. Para esto se dedica a estudiar las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Actualmente, esta idea básica ha sido superada y las funciones trigonométricas tienen, matemáticamente hablando sentido propio. La trigonometría es una disciplina fundamental, tanto para el estudio geométrico, como para el conocimiento del cálculo y el análisis matemático.

Posee numerosas aplicaciones, entre las que se

encuentran: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas globales de navegación de satélites.

Ángulo Trigonométrico: Es el ángulo generado por la rotación de un rayo alrededor de un punto fijo (vértice) de una posición inicial (lado inicial), a otra final (lado final). Los ángulos generados por rotaciones en sentido contrario a las agujas del reloj se consideran positivos, y negativos los de sentido inverso. Si denotamos al ángulo por θ, diremos que θ es la medida del ángulo. Ángulos Positivos Si el rayo gira en sentido antihorario.

Ángulos Negativos Si el rayo gira en sentido horario.

Nótese en las figuras • “q” es un ángulo

trigonométrico de medida positiva.

• “x” es un ángulo trigonométrico de medida negativa. Se cumple. x = ‒ q

Obs: 1. Los ángulos no tienen límite, es decir pueden tomar

valores infinitamente grandes. 2. Cuando el lado inicial y el final coinciden se le llama

ángulo de una vuelta. Tomamos como referencia el ángulo de una vuelta para medir los ángulos.

SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES Sistema Sexagesimal (S) La unidad de medida es el grado sexagesimal (1º), de modo que 1 vuelta = 360º Sistema Centesimal (C) La unidad de medida es el grado sexagesimal (1g), de modo que 1 vuelta = 400g Observación:

1º = 60’ 1g = 100m 1’ = 60” 1m = 100s 1°= 3600” 1g = 10 000s

Sistema Radial (R) La unidad de medida es el “radian” y es igual a un arco donde su longitud es igual a la de su radio. Luego: 1 vuelta = 2π radianes (π = 3,1416 aprox.)

Relación entre Sistemas S = 180 K C = 200 K R = π K

TRIGONOMETRÍA

1 CIENCIAS

α 0

β

0

0 x θ

A

B

S C m n p q 9 10 27 50 81 250

En grados En minutos En segundos

⇒ = = =

S C R180 200 = =

π

Quieres ver más visítanos >> CLIC AQUÍ <<

Trigonometría Teoría y ejercicios – Semana 1

CEPREUNTELS – Ciclo Académico 2016-II Pág. - 17 -

EJERCICIOS DE CLASE

1. Halle el valor de g

1335 rad67 90N90 140 2 rad

9 3

π° + π =

π+

.

A) 64 B) 57 C) 61 D) 41 E) 23

2. Si a y b expresan el número de segundos

sexagesimales y minutos centesimales de un mismo ángulo positivo. Calcule el valor de la expresión

bb2aa10 ab

b 10

.

A) 16 B) 18 C) 17 D) 2 E) 19

3. Un ángulo no nulo mide S° y gC en los sistemas

sexagesimales y centesimales respectivamente. Si 3 2 2

2 3 2S S C S 0,81

SC C 2C+ +

=− +

, halle la medida del ángulo

en el sistema radial.

A) 3100

π B) 528

π C) 200

π D) 350

π E) 400

π

4. Con los datos de la figura, halle la medida de β

en

radianes; siendo g25a

2 β =

.

(34-a )°2 (22a/3)g

A) π56

B) π512

C) π76

D) π58

E) π23

5. Si S y C son los números que representan la medida

de un ángulo en los sistemas sexagesimal y

centesimal respectivamente y S 2 C 2C S+ −

= , calcule

la medida de dicho ángulo en radianes.

A) 20π B)

10π C) 3

20π D) 3

10π E)

15π

6. Las medidas de un ángulo en los sistemas

centesimal y radial son Cg y R rad. Si 5R C 92x 5

= −π

,

calcule x sabiendo que dicho ángulo mide 432´. A) 3 B) 2,5 C) 1,5 D) 2 E) 1

7. Si a es la 20ava parte de 1° y b es la 18ava parte de g1 , calcule el valor de 3a 2b

2a b−−

.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

8. Con los datos de la figura, halle la expresión 114θ + α .

A) 200

B) 300

C) 240

D) 250

E) 360

9. Un ángulo de medida positiva mide S° , Cg y R rad; siendo S y C números enteros y se cumple que

2S C 20R 0.3 5

− − > π Halle la mínima medida en

radianes que puede tomar el ángulo.

A) 2π B)

5π C)

4π D)

10π E)

20π

10. Si los números de grados sexagesimales y

centesimales de un mismo ángulo son enteros, tal que S 12n= y = +C 8n 15 , calcule la medida circular del ángulo.

A) 25π B)

9π C) π3

16 D) π

12 E) π3

8

11. ¿Qué hora seria entre las 7 y las 8 pm, si el minutero

coincide con el horario de un reloj?

A) 1207 h min11

B) 2207 h min11

C) 3107 h min11

D) 4207 h min11

E) 5207 h min11

12. Si C y S representan la medida de un ángulo en

grados sexagesimales y centesimales, halle su medida en centesimales, si se cumple:

2 2 3 2 2 3C S 2C 5SC 4S C S 2SC+ = − + − −

A) 36111

B) 311111

C) 361011

D) 367011

E) 368011

EJERCICIOS DE EVALUACIÓN

1. La suma de dos ángulos es 90g y su diferencia es 9°.

Calcule la medida del menor ángulo en radianes.

A) 920

π B) 1120

π C) 4π D)

5π E)

6π

Quieres ver más visítanos >> CLIC AQUÍ <<

Trigonometría Teoría y ejercicios – Semana 1

CEPREUNTELS – Ciclo Académico 2016-II Pág. - 18 -

2. Con los datos del gráfico, calcular −10x 9y7

.

O

x°yg

5003

g

A) 30 B) 300 C) 210 D) 240 E) 250

3. Si S y C son los números de grados sexagesimales y centesimales de un ángulo, determina la medida

del ángulo en radianes, sí C 2 S 1369 46− −

= .

A) 3π

B) 4π

C) 2π

D) 6π

E) 23π

4. Un ángulo mide a y b minutos sexagesimales y

centesimales respectivamente, sí 2a 3b+ 26027 250

= .

Halle su medida en radianes.

A) 35π

B) 6π

C) 4π

D) 25π

E) 3π

5. Los números 3 1S k19

= − y = +3 1C k19

son las

medidas de un ángulo en los sistemas sexagesimal y centesimal respectivamente. Determine la medida del ángulo en radianes.

A) 180

π B)

200π

C) 190

π D)

3200

π E)

250π

6. Halle el menor número entero de grados

centesimales que tiene el ángulo: Β = 1g2m + 3g4m + 5g6m + …

A) 291g B) 321g C) 491g D) 522g E) 582g

7. Los ángulos A, B, C, D, y E de un polígono convexo,

cumple la relación A B C D E2 3 4 5 6

= = = = . Calcule la

diferencia en centesimales entre la suma de los dos ángulos mayores y los dos ángulos menores. A) g180 B) g90 C) g20 D) g140 E) g60

8. Los números que representan la medida en los

sistemas sexagesimal y centesimal de un ángulo se encuentran en progresión aritmética, si sus medidas en los sistemas sexagesimal y radial están en progresión geométrica de la misma razón que la

progresión aritmética. Calcule dicho ángulo en el sistema sexagesimal.

A) o

10π

B) o

20π

C) o

30π

D) o

16π

E) o

15π

9. La medida de un ángulo en el sistema sexagesimal

es o ,

ab cd y la medida del mismo ángulo en el sistema centesimal es 50g 50m. Calcular

2a 3bN .3d c

+=

+

A) 2 B) 1 C) – 1 D) 3 E) 4

10. Si R representa la medida de un determinado ángulo

en el sistema circular tal que ( )R. x 1 x 1+ = , x +∈ . Calcule la solución del ángulo en radianes. A) 0,2 B) 0,2 C) 2,+∞ D) 2, +∞ E) ]0,1 2

11. Del gráfico, hallar la m COD en sexagesimales, si x toma su mínimo valor entero.

y°-2x°x°+y°3x°+y°

O A

BC

D A) 30° B) 36° C) 32° D) 34° E) 65°

12. Sea S, C y R la representación de los valores de un ángulo en grados sexagesimal, centesimal y radial respectivamente. Si C S R 5,7854− + = y el valor de

3,1416π = , calcule el ángulo en radianes que la satisface.

A) 6π B)

5π C)

4π D)

3π E)

2π

13. Simplifique siendo S, C, R lo convencional.

π ππ

− +=

−3 C 2 S 10RE

0,1 S 8R

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

14. Calcular “x” si se cumple:

o g

g g(x 3)º (4x 18)º

5 15+ − =

A) 40 B) 41 C) 42 D) 43 E) 45

Quieres ver más visítanos >> CLIC AQUÍ <<