ángulos

GEOMETRÍA

Ángulos

Educación para Pensar

Profesor: Wilson CachayMóvil 809 787 [email protected]

GEOMETRÍA Wilson Cachay

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Reseña Histórica de Arquímides

Arquímides (– 287 a – 212). Fue un científico griego que perfeccionó y generalizó el método

de exhaustión para el cálculo de superficie y volúmenes. Estableció los principios generales

de la hidrostática y sentó las bases de la mecánica teórica. Se le atribuye numerosas

invenciones mecánicas, como las poleas compuestas, el tornillo sin fin y el tornillo hidráulico.



GE OM E T R Í A

I. Ángulo :Es el espacio comprendido entre dos rayos que tienen un mismo origen.

Elementos:

a) Lados OA, OB��

b) Vértice O

Notación: AOB se lee ángulo AOB

m AOB se lee medida del ángulo AOB.

II. Magnitud de un ángulo: Es la medida del ángulo y se mide con el TRANSPORTADOR.

Su unidad de medida es el GRADO SEXAGESIMAL (1°).


B

A

O

1°=60'

1'=60''

1°=3600''


III. Bisectriz de un ángulo : Es el rayo que divide al ángulo en dos ángulos congruentes (iguales).

B

A

OP

IV. Clasificación de los ángulos:

1. Por su medida Se clasifica en :

e) m ide en tre 180 ° y 3 60°

Á N G U L O C Ó N C A VO f)

Á N G U L O D E U N A VU E LTA

m ide 360°

d) m ide 180°

Á N G U L O L L A N O

B A

CP Q R


C ongruentes símbolo

O P : B isectr iz d e l A O B

a) m ide en tre 0° y 90°

Á N G U L O A G U D O c) m ide en tre 90° y 18 0°

Á N G U L O O B TU S Ob) m ide 90°

Á N G U L O R E C TO

B

A

C O

M

NF

E

G


2. Por la posición de sus lados Se clasifican en :

a) Á N G U L O S A D YA C E N TE S c) m ide entre 90 ° y 1 80°

Á N G U L O O B TU S O

O

B

C

A

A O B y B O Cson A D Y A C E N T E S

O

P

R

N

Q

M

M O N , N O P, P O Q y Q O Rson 4 ángulos C O N S E C U T IV O S

I

HE

F G

E G F y H G I son

O P U E S T O S P O R E L VE R T IC E

3. Por la suma de sus medidas Se clasifica en :

O

A

C

a) Á N G U L O S C O M P L E M E N TA R IO S

C O M P L E M E N TO D E U N Á N G U L O

D o s ángu lo s so n C O M P L E M E N TA R IO S

S I L A S U M A D E S U S M E D ID A S E S 90°

a) Á N G U L O S S U P L E M E N TA R IO S

B

m A O B + m B O C = 90°

D o s ángu lo s so n S U P L E M E N TA R IO S

S I L A S U M A D E S U S M E D ID A S E S 180°

m D F E + m E F G = 1 80°

D

E

F G

S U P L E M E N TO D E U N Á N G U L O

E s lo q ue le falta a la m ed id a de u n

ángu lo p ara ser igual a 90 °

E s lo q ue le falta a la m ed id a de u n ángu lo p ara ser igual a 18 0°

C = 90° – S = 180° –



MEDICIÓN DE UN ÁNGULO: Los ángulos se miden con un instrumento llamado transportador.

Para medir un ángulo se hace coincidir el centro del transportador con el origen del ángulo Oº y del transportador debe coincidir con el lado del ángulo. El número por donde pasa el otro lado del ángulo es su medida.

Ejm.: La notación equivale a la expresión:

“el ángulo AOB mide 50 grados sexagesimales”

A O B = 5 0 ºán gu lo agu d o

A O C = 9 0 ºán gu lo recto

A O D = 1 5 0 ºán gu lo o b tu so

O A

B

O A

C

A O

D

V. TEOREMAS

1. “La suma de las medidas de los ángulos CONSECUTIVOS formados alrededor de un mismo vértice y a un mismo lado de una recta es 180°”

2. “La suma de las medidas de los ángulos CONSECUTIVOS formados alrededor de un mismo vértice es 360°”


180º


3. “Los ángulos OPUESTOS POR EL VÉRTICE son congruentes...”

EJEMPLOS:

1. Del gráfico hallar “x”.Solución:

x+ 1 24 x


360º

4x=x+12°

4x– x=12°

3x=12°

12°x=3


2. Hallar Solución:

3. Hallar en:Solución:


x=4°

4 0 °

+ +90°+40°=180°

2 +130°=180°

2 =180°– 130°

2 =50°

50°=2

=25°

" "

" "


2

1. De la figura, calcular 2. En la figura, calcular

3. En la figura, calcular 4. En la figura, calcular


+ + +2 +90°=360°

5 +90°=360°

5 =360°– 90°

5 =270°

270°=5

=54°

y

20°

0

120°

" "


5. En la figura, calcular 6. En la figura, calcular

7. Del gráfico, hallar 8. De la figura, calcular

9. En la figura, calcular 10. Del gráfico, hallar


" "

" " " "

2 7 ° 46°

4 0 º

5 0 º

5 6 °

" " " "


11. Del gráfico, calcular 12. Del gráfico, hallar


" " " "

4

7

5

2

64 °

30°

30°


13. Calcular los complementos de : 14. Calcular los suplementos de :

15. Calcular el suplemento del 16. Hallar el suplemento del complemento

complemento de: del suplemento de 120°


15°

26°

48°

54°

64°

C =90°– 15°=75°

C = ________________

C = ________________

C = ________________

C = ________________

118°

125°

131°

142°

159°

S =180°– 118°= 62°

S = ________________

S = ________________

S = ________________

S = ________________

25°

33°

47°

52°

36°

SC =180°– (90°– 25°)=180°– 65°=115°

SC = ________________

SC = ________________

SC = ________________

SC = ________________


1. Del gráfico, hallar 2. En la figura, calcular

3. Del gráfico, calcular 6. Del gráfico, calcular

4. De la figura, calcular 7. Del gráfico, calcular

5. Del gráfico, hallar “x” 8. De la figura, calcular


140 °50° 110 °

" " " "

" " " "

" "

125° 15°92°

78°

2

2

32

2

6 4 °

50°75°


RECTAS PARALELAS CORTADAS POR LA SECANTE

I. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL PLANO

1. RECTAS PARALELAS : Dos rectas son paralelas (//), si su INTERSECCIÓN es NULA.

m

n

2. RECTAS SECANTES : Dos rectas son secantes, si su INTERSECCION es un PUNTO.

m

nP


20°2x+ 2

47°

��

Si m n= m//n

��

Si m n =P Las rectas m y n son

SECANTES


3. RECTAS PERPENDICULARES : Dos rectas son perpendiculares (), si su INTERSECCIÓN es un ÁNGULO RECTO (90°).

II. ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA SECANTE Si las rectas L

1 y L

2 son paralelas y están cortadas por una SECANTE M, se cumplen las

siguientes propiedades.

1. Los ángulos correspondientes son congruentes :

2.Los ángulos alternos internos son congruentes :

3. Los ángulos alternos externos son congruentes :

4. Los ángulos conjugados externos son suplementarios :

5. Los ángulos conjugados internos son suplementarios :

LEY DEL SERRUCHO Si entre dos rectas paralelas se trazan varios ángulos como muestra la figura 1, se cumple que:


m

n

��

Si m n =90° m n

1 2 3 4

5 6 7 8

L 1

L 2

M

1 2L // L STSTTSTTSTTSTTSTTSTTSTTSTTSTTSTTSTTSTTST TST


Ejemplos:

1. En la figura , hallar

Solución :

2. Hallar “x”, si Solución:


L2

L1x

ay

bz

cwd

SUMA DE ÁNGULOS SUMA DE ÁNGULOS

DIRIGIDOS A LA = DIRIGIDOS A LA

IZQUIERDA DERECHA

x+y+z+w = a+b+c+d

��

1 2L //L " "

��1 2//L L

L 1

L 2

20°

45°

60°

58°

Aplicando la ley del serrucho

+ 20°+ 45°= 58°+ 60°

+ 65°=118°

=118°– 65°

= 53°

3x

2x+ 40 °

L 1

L 2

3x+ 2x+ 40°=180°

5x=180°– 40°

140x=

5

x= 28°







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