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Ángulos, triángulos, etc.
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Ángulos con lados paralelos o perpendiculares
1. Dos ángulos de lados paralelos dirigidos en el mismo
sentido son iguales.
AO // A’O’ y OB // O’B’
<AOB = <A’O’B’
2. Dos ángulos de lados paralelos dirigidos en sentido contrario
son iguales.
AO // D’O’ y OB // O’C’
<AOB = <C’O’D’
B
AO
A’O’
B’
C’
D’
Patricio Figueroa Carrasco - [email protected]
3. Dos ángulos de lados paralelos, dos de ellos dirigidos en el mismo
sentido y los otros dos en sentido contrario son suplementarios.
B
AO
A’
O’
B’
Si se prolonga la recta A’O’ hasta O’C’
Tenemos que
<AOB = <C’O’B’ (ángulos con lados paralelos dirigidos en el mismo sentido)
<A’O’B’ + <C’O’B’ = 180°(ángulos adyacentes)
Reemplazando
<A’O’B’ + <AOB = 180°
C’
Patricio Figueroa Carrasco - [email protected]
4. Dos ángulos agudos de lados respectivamente perpendiculares, son iguales.
B
AO
A’
O’
B’
AO A’O’ y OB O’B’
<AOB = <A’O’B’
5. Dos ángulos, uno agudo y el otro obtuso que tienen sus lados
respectivamente perpendiculares son suplementarios.B
AO
A’
O’
B’
AO A’O’ y OB O’B’
<AOB + <A’O’B’ = 180°Patricio Figueroa Carrasco - [email protected]
4. Dos ángulos obtusos de lados respectivamente perpendiculares, son
iguales.
B
AO
A’
O’
B’
AO A’O’ y OB O’B’
<AOB = <A’O’B’
Patricio Figueroa Carrasco - [email protected]
Ejercicios de ejemplo
B
AO
A’
O’
B’
120°
1) O’A’ OA, O’B’ OB
<A’O’B’=120°
Hallar <AOB
Dos ángulos, uno agudo y el otro obtuso que tienen sus lados respectivamente
perpendiculares son suplementarios.
Por lo tanto <B’O’C’=60°
C’
Patricio Figueroa Carrasco - [email protected]
<A’O’B’ = <AOBO (Dos ángulos de lados paralelos dirigidos en el mismo
sentido son iguales).
2) A’O’ // AO; B’O’ // BO, CD AO, ED BO <CDE=48°
B
AO
A’O’
B’
C
D
E
Hallar <A’O’B’
48°
<CDE = <AOB = <A’O’B’ (Dos ángulos agudos de lados respectivamente
perpendiculares, son iguales).
Por lo tanto <A’O’B’=48°
Patricio Figueroa Carrasco - [email protected]
3) AC // DE; EF //CD; <EBC= 2 <BED. Hallar < B, < C, < D Y < E.
C
D E
B
A
F
< BED = < ABE (alt. Int. Entre //)
< EBC + < ABE = 180° (áng. ady.
suplementarios)
Reemplazando
2 < ABE + <ABE = 180°
Despejando
< ABE = 60°
Patricio Figueroa Carrasco - [email protected]
Triángulo: Porción del plano limitada por tres rectas que se cortan.
A B
C
ab
c
Los puntos de intersección A, B y C se llaman vértices.
Los segmentos de rectas determinados por la
intersecciones se llaman lados del triángulo y se
designan por una letra minúscula correspondiente al
vértice opuesto.
Los ángulos se designan por las letras de los vértices.
En resumen un triángulo tiene: 3 vértices, 3 lados y 3 ángulos.
Perímetro: Es la suma de las dimensiones de los tres lados del triángulo, es
decir, a+b+c
Patricio Figueroa Carrasco - [email protected]
A B
C
ab
c
Son aquellos que tienen dos lados
iguales, los ángulos opuestos a estos
lados son iguales.
El lado distinto se llama base
AC = BC ; < A = < B
Patricio Figueroa Carrasco - [email protected]
BA c
C
b a
Tiene todos sus lados iguales, por
lo tanto, sus ángulos también son
iguales.
AB = BC = CA
< A = < B = < C
Patricio Figueroa Carrasco - [email protected]
BA c
C
ba
Tiene sus tres lados diferentes y por lo tanto sus ángulos
también son distintos.
AB ≠ BC ≠ CA; < A ≠ < B ≠ < C
Patricio Figueroa Carrasco - [email protected]
BA c
C
ba
Sus ángulos son agudos
< A, < B y < C menores de 90°
Patricio Figueroa Carrasco - [email protected]
BA c
C
b a
Tiene un ángulo recto que mide 90°
En un triángulo rectángulo los lados que forman el ángulo
recto se llaman catetos y el lado opuesto al ángulo recto se
llama hipotenusa.
AB y AC Catetos
BC HipotenusaPatricio Figueroa Carrasco - [email protected]
