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7/23/2019 Animacao de Fluidos Em Imagens Digitais
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Animao de fluidos em imagens digitais
Marcos Aurlio Batista
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Animao de fluidos em imagens digitais
Marcos Aurlio Batista
Orientador:Prof. Dr. Luis Gustavo Nonato
Tese apresentada ao Instituto de Cincias Matemticas e deComputao - ICMC-USP, como parte dos requisitos paraobteno do ttulo de Doutor em Cincias - Cincias deComputao e Matemtica Computacional. VERSOREVISADA
USP So Carlos
Outubro de 2011
SERVIO DE PS-GRADUAO DO ICMC-USP
Data de Depsito:
Assinatura:
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Ficha catalogrfica elaborada pela Biblioteca Prof. Achille Bassie Seo Tcnica de Informtica, ICMC/USP,
com os dados fornecidos pelo(a) autor(a)
B328aBatista, Marcos Aurlio Animao de fluidos em imagens digitais / MarcosAurlio Batista; orientador Luis Gustavo Nonato --So Carlos, 2011. 111 p.
Tese (Doutorado - Programa de Ps-Graduao emCincias de Computao e Matemtica Computacional) --Instituto de Cincias Matemticas e de Computao,Universidade de So Paulo, 2011.
1. Animao de Fluidos. 2. guas Rasas. 3. ImagensDigitais. I. Nonato, Luis Gustavo, orient. II. Ttulo.
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Resumo
Esta tese apresenta uma nova metodologia para animao de objetos lquidosem imagens. Contrariamente s tcnicas existentes, este mtodo baseado
em um modelo fsico, o que proporciona efeitos realsticos. A perspectiva da
imagem obtida com a interveno do usurio, por um esquema simples de
calibrao da cmera, o qual permite a projeo da camada da imagem a ser
animada sobre um plano horizontal no espao tridimensional. As equaes de
guas rasas conduzem a simulao e as informaes de altura so projetadas
de volta ao espao da imagem utilizando traado de raios. Alm disso, efeitosde refrao e iluminao so aplicados durante este estgio, resultando em
animaes realsticas e convincentes.
Palavras-chave:
Animao de Fluidos guas Rasas Imagens Digitais
v
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Abstract
This work presents a new methodology for animating liquid objects depictedin a still image. In contrast to existing techniques, the proposed method
relies on a physical model to accomplish the animation, resulting in realistic
effects. Image perspective is handled through a simple user assisted camera
calibration scheme which allows one to project the image layers to be anima-
ted onto the horizontal plane in the three-dimensional space. Shallow-Water
equations drive the simulation and the resulting height field is projected back
to the image space via ray-tracing. Refraction and lighting effects are also ac-complished during the ray-tracing stage, resulting in realistic and convincing
animations.
Keywords:
Fluid Animation Shallow Water Still Image
vi
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Sumrio
Resumo v
Abstract vi
1 Introduo 1
2 Trabalhos correlatos 4
2.1 Espao da imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Tcnicas baseadas em vdeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Auxlio tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 Animando fluidos em imagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5 Animao baseada em guas rasas. . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Abordagem proposta 21
4 Inferncia tridimensional 26
4.1 Linha do horizonte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2 Distncia focal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.3 Calibrao da cmera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.4 Projeo inversa do corpo dgua . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.5 Determinando o domnio de simulao . . . . . . . . . . . . . 37
vii
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5 Construo do domnio de simulao 39
6 Simulao fsica 44
6.1 Resoluo numrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.2 Consideraes sobre os arquivos de entrada. . . . . . . . . . . 52
7 Projeo reversa e renderizao 57
8 Resultados obtidos 61
8.1 Rio em movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
8.2 Animao de fluxo em uma represa . . . . . . . . . . . . . . . 65
8.3 Vulco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
8.4 Chuvas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
8.5 Balano natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
8.6 Transporte de textura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
8.7 Efeito Coriolis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.8 Insero de objetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
8.9 Comparaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
9 Concluso 83
Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
A guas rasas 85
A.1 Caractersticas fsicas das guas rasas . . . . . . . . . . . . . . 85
A.2 Equaes de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
A.3 Equacionamento do movimento das guas rasas . . . . . . . . 89
A.4 As equaes de guas rasas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Referncias bibliogrficas 97
viii
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Captulo 1
Introduo
A manipulao de fotografias e pinturas tem sido objeto de grande inte-
resse em computao grfica [Freeman, Adelson & Heeger 1991, Litwinowicz
& Williams 1994], estimulando uma grande quantidade de mtodos para
edio [Barrett & Cheney 2002, Igarashi, Moscovich & Hughes 2005], ani-
mao [Hornung, Dekkers & Kobbelt 2007, Xu, Wan, Liu, Wong, Wang& Leung 2008] e criao de efeitos atraentes [Chu, Hsu, Mitra, Cohen-Or,
Wong & Lee 2010, Shesh, Criminisi, Rother & Smyth 2009] a partir de ima-
gens. Entretanto, a animao realstica de fenmenos naturais em imagens
permanece um desafio. As poucas tcnicas existentes so muito complexas,
exigindo uma intensa e especializada interveno do usurio [Okabe, Anjyo,
Igarashi & Seidel 2009], ou simula apenas fenmenos suaves, como o efeito
de um vento brando em um lago [Chuang, Goldman, Zheng, Curless, Sa-
lesin & Szeliski 2005]. Alm disso, a maioria destas tcnicas apoia-se em
sntese de texturas para simular fenmenos naturais, produzindo animaes
nem sempre realsticas.
Uma das principais dificuldades dos mtodos de animao de fenmenos
naturais em imagens, que utilizam modelos fsicos, a carncia de informa-
1
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es sobre a estrutura tridimensional da cena. Sem as informaes tridimen-
sionais dificilmente conseguiramos simular ondas e o movimento de objetos
em harmonia com a cena retratada na imagem, resultando em efeitos no
convincentes.
Nesta tese, tratamos as dificuldades mencionadas com uma nova tcnica
para animao de lquidos em imagens, a qual se baseia em modelos fsicos. A
falta de informaes tridimensionais resolvida com um esquema simples de
calibrao da cmera, o que permite o posicionamento, no espao tridimen-
sional, do domnio de simulao. A tcnica de traado de raios empregada
para projetar o resultado da simulao de volta ao espao da imagem. Alm
de fornecer um bom casamento entre a propagao da onda e a perspectiva
da cena, o mecanismo permite, naturalmente, recursos adicionais de renderi-
zao, como refrao e iluminao, os quais so explorados para intensificar
o realismo e introduzir novos elementos cena.
Ns utilizamos como modelo fsico, no processo de animao, as equaesde guas rasas. Alm de permitir animaes realsticas, o modelo de guas
rasas fornece um conjunto de parmetros que podem servir para modular efei-
tos especficos no fluido. Ademais, utilizamos camadas da imagem como um
mecanismo para definir os parmetros envolvidos na simulao, permitindo
mudanas no comportamento do fluido e criando efeitos interessantes.
Contribuies
As principais contribuies deste trabalho podem ser resumidos em:
Inferncia tridimensional: um esquema simples de calibrao de
cmera, conduzido pelo usurio, empregado para inferir o domnio
tridimensional onde ocorrer a simulao fsica.
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Animao fisicamente baseada: em contraste s tcnicas de anima-
o em imagens, nossa abordagem apoia-se fortemente em um modelo
fsico (guas rasas) para gerar os efeitos de movimento, resultando em
animaes realsticas.
Projeo reversa via traado de raios: o traado de raios uti-
lizado para projetar o resultado da simulao de volta ao espao da
imagem, preservando a perspectiva da cena enquanto efeitos adicionais
so aplicados, tais como refrao e iluminao. At onde sabemos, esta a primeira vez que o traado de raios utilizado em animao de
imagens em conjunto com simulaes fsicas.
Para apresentar esta proposta ao leitor fazemos, no segundo captulo, uma
breve anlise dos trabalhos correlatos. Nos captulos seguintes apresentamos
nossa proposta e em seguida uma amostra dos resultados obtidos. Fechamos
com um captulo de concluso, onde apresentamos algumas propostas detrabalhos futuros.
Esta tese no tem a pretenso de ser um tratado sobre o movimento de
fluidos e nem mesmo do movimento de guas rasas. Os rigores matemticos
e fsicos de um tratado desta natureza podem ser encontrados em [Kinnmark
1984, Weiyan 1992, Galdi 1998a, Galdi 1998b]. Para manter o texto completo,
porm, fornecemos detalhes do modelo de guas rasas, bem como a estratgia
de discretizao adotada.
3
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Captulo 2
Trabalhos correlatos
A admirao que o ser humano tem adquirido por pinturas e fotografias
artsticas ao longo de milnios de nossa evoluo fruto da capacidade de
abstrair o significado da cena, muitas vezes, pelo movimento intrnseco da
mesma.
J no de hoje que a Computao Grfica gera movimento a partirde duas ou mais imagens, seja na interpolao de quadros a partir de cria-
es artsticas em tempos especficos da cena ou a partir de sequncias de
imagens capturadas de uma cena real, seja nas famosas tcnicas de meta-
morfose, iniciadas artisticamente por Georges Melis1 no incio do sculo2.
Tcnica esta onde, a partir de duas imagens distintas, uma alomorfia entre
elas gerada atravs de quadros que evoluem a partir de uma imagem em
direo a outra, utilizando tcnicas de deformaes em imagens [Gomes &
Velho 1994]. O artigo [Wolberg 1998] nos d um panorama das tcnicas de
metamorfose entre imagens desenvolvidas no sculo passado (veja tambm
www.visgraf.impa.br/morph).
1Ilusionista Francs, 1861-1938.2Vdeo disponvel em .
4
http://w3.impa.br/~morph/melies/melies.movhttp://w3.impa.br/~morph/melies/melies.movhttp://w3.impa.br/~morph/melies/melies.movhttp://w3.impa.br/~morph/melies/melies.mov7/23/2019 Animacao de Fluidos Em Imagens Digitais
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CAPTULO 2. TRABALHOS CORRELATOS 5
Recentemente, o artigo [Bonilla, Velho, Nachbin & Nonato 2009] apre-
senta uma tcnica de deformao de imagens, onde a imagem considerada
um campo de densidades imerso em um fluido que, ao movimentar-se sob a
ao de foras externas, parmetro informado pelo usurio, deforma a ima-
gem.
Mas animar uma imagem a partir do significado intrnseco que a mesma
passa aos nossos olhos um grande desafio. A demanda prtica um tanto
bvia, visto que gerar movimento a partir de uma imagem dada diminui
consideravelmente o custo de uma animao. Este desafio tem sido objeto
de estudo desde o fim da dcada de 70, quando uma tcnica de variao de
cores na imagem foi proposta [Shoup 1979].
Para melhor contextualizar nosso trabalho, organizamos as tcnicas de
animao de objetos em imagens pelo nvel de informaes tridimensionais
requeridas. Mais especificamente, agrupamos as tcnicas em trs categorias:
tcnicas onde todo o processamento acontece no espao bidimensional daimagem, tcnicas que utilizam vdeos preexistentes como exemplos, e mtodos
apoiados em algum tipo de informao tridimensional.
2.1 Espao da imagem
Tcnicas que realizam o processo de animao no espao da imagem abran-
gem desde iluso de movimento baseado em filtragem [Freeman et al. 1991]at mtodos sofisticados de animao, envolvendo ciclos de movimento de
animais [Xu et al. 2008], as quais contam com ferramentas de manipulao
de imagem tais como manipulao de formas [Igarashi et al. 2005, Schae-
fer, McPhail & Warren 2006], edio [Barrett & Cheney 2002], e deformao
de imagens [Litwinowicz & Williams 1994]. Na realidade, as ferramentas
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CAPTULO 2. TRABALHOS CORRELATOS 6
bsicas de manipulao de imagem, juntamente com a utilizao do canal
alfa [Sun, Jia, Tang & Shum 2004] e do retoque digital [Drori, Cohen-Or
& Yeshurun 2003] so fundamentais para a maioria dos mtodos existentes.
Falemos sobre alguns destes trabalhos que tratam da gerao de animao.
Na dcada de 90 o artigo [Freeman et al. 1991] apresenta a gerao de
um vdeo a partir de uma imagem simples aplicando um filtro, com diferena
de fase de 90o, duas vezes na imagem e, a partir destas imagens chamadas
G e H, gera os quadros: Ft = cos(t)G+sen(t)H, onde = 2T
e T o
tempo total de um ciclo do vdeo (360o). Assim a imagem final igual
imagem inicial (G), gerando uma sequncia circular de movimento, tendo
como imagens intermedirias H, G e H(respectivamente, t = 2
, e
32).
Ainda na mesma dcada, Peter Litwinowicz e Lance Williams [Litwinowicz
& Williams 1994], da Apple Computer, Incapresentam uma tcnica de ani-
mao em imagens onde, a partir de uma sequncia de quadros tomado comomodelo e da imagem dada, gera os esboos dos quadros desta imagem e de-
forma cada um dos esboos, preservando a textura interna aos contornos,
gerando os respectivos quadros de animao. A sequncia para a gerao
desta animao pode ser acompanhada na figura2.1:
1. a imagem no canto inferior esquerdo de2.1b a imagem dada,
2. a sequncia de quadros na parte superior de 2.1a o vdeo tomadocomo modelo,
3. o esboo no canto superior esquerdo de2.1b foi extrado da imagem
dada,
4. a sequncia de esboos na parte inferior de2.1a foi extrada do modelo,
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CAPTULO 2. TRABALHOS CORRELATOS 7
c
ACM
(a)
c
ACM
(b)
Figura 2.1: Animao da imagem de um gato (canto inferior esquerdo) a partir dos con-
tornos do vdeo de uma pessoa (linha superior). [Litwinowicz & Williams 1994]
5. a sequncia de esboos na parte superior de2.1b foi gerada a partir dos
esboos da imagem dada e do modelo,
6. finalmente, a sequncia na parte inferior de2.1b o vdeo gerado.
J no incio deste sculo, apresentada uma tcnica que gera movimento
em uma imagem a partir da seleo de um ou mais objetos nesta imagem
e de suas segmentaes automticas. A partir desta segmentao o usurio
pode mudar a forma, o tamanho e a localizao do objeto ou de parte deste
objeto [Barrett & Cheney 2002]. Um exemplo de aplicao da tcnica pode
ser visto na figura 2.2, onde a imagem esquerda a imagem original, o
objeto selecionado o relgio e a imagem direita a imagem modificada.
J uma tcnica de manipulao de formas apresentada na figura2.3,
onde um objeto dado coberto por uma malha triangular e manipulado pelo
usurio a partir de pontos arbitrrios [Igarashi et al. 2005]. A tcnica consiste
em, dada uma imagem com textura regular e um objeto de contorno fechado:
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CAPTULO 2. TRABALHOS CORRELATOS 8
c
ACM
Figura 2.2: Relgio fluindo. [Barrett & Cheney 2002]
c
ACM
Figura 2.3:Viso geral de uma tcnica de manipulao de formas. [Igarashi et al. 2005]
1. o objeto coberto por uma malha triangular,
2. pontos de manipulao, ou de fixao, so selecionados pelo usurio e
os mesmos so atribudos a vrtices da malha,
3. o usurio, a partir dos pontos selecionados, manipula o objeto como se
manipula uma marionete,
4. a malha se adapta manipulao deformando os tringulos e preser-
vando os vrtices associados aos pontos selecionados,
5. em cada intervalo predeterminado, a textura original dos tringulos
repintada e um quadro gerado,
6. os quadros gerados formam a animao.
Outro interessante trabalho de animao a partir de imagens, proposto
em [Xu et al. 2008], consiste em, dada uma imagem como na figura 2.4a,
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CAPTULO 2. TRABALHOS CORRELATOS 9
c
ACM
(a) (b)
Figura 2.4: Seleo de objetos e inferncia de movimento. [Xu et al. 2008]
os objetos so extrados e ordenados, gerando uma sequncia de movimentoinferido como apresentado na figura2.4b, o fundo da imagem retocado e a
sequncia de movimento gerada, reinserindo os objetos na cena a partir de
sua posio original e, a cada quadro, inserindo os objetos na sequncia do
movimento inferido.
Ainda que efetivas para a animao em certas classes de imagens, como
os cartoons e faces humanas, tcnicas atuando apenas no espao da imagem
no so adequadas para a modelagem de fenmenos naturais, como estamos
interessados.
2.2 Tcnicas baseadas em vdeo
Vdeo textura e sntese de textura tm sido amplamente utilizados para sinte-
tizar sequncias de vdeos. A maioria destas tcnicas so capazes de estender
uma sequncia de vdeo de maneira bastante convincente, mas elas so extre-
mamente restritivas em relao interveno do usurio. Mtodos interativos
tambm foram propostos, tornando possvel a gerao de animaes a partir
de esboos e fluxos definidos pelo usurio. Dividimos os mtodos de sntese
de texturas baseados em vdeo, em trs categorias:
Mtodos que propiciam ao usurio a expanso de um vdeo j existente:
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CAPTULO 2. TRABALHOS CORRELATOS 10
[Wei & Levoy 2000] propem um algoritmo para sntese de volume
3D dinmicos.
[Bar-Joseph, El-Yaniv, Lischinski & Werman 2001] propem um
algoritmo estocstico para sntese de sequncias de vdeo utili-
zando anlise de multirresoluo.
[Schdl, Szeliski, Salesin & Essa 2000] propem um mtodo de
texturizao baseado em vdeo para concatenar apropriadamente
subsequncias previamente escolhidas.
[Doretto, Chiuso, Wu & Soatto 2003] propem um mtodo de
texturizao dinmica utilizando filtros autorregressivos.
Mtodos que propiciam a modificao de um vdeo preexistente, criando
uma nova animao de fluido:
[Wang & Zhu 2003] analisam uma animao de fluidos e representa-
a com textonspara sintetizar um sequncia diferente de vdeo.
[Bhat, Seitz, Hodgins & Khosla 2004] propem um esboo de in-
terfacee um algoritmo para sintetizar uma animao de fluidos a
partir de um vdeo modelo, onde o usurio pode mudar a aparncia
do fluido.
[Kwatra, Essa, Bobick & Kwatra 2005] propem um mtodo para
modelar a texturizao da animao de um fluxo sobre um localespecfico designado pelo usurio.
[Narain, Kwatra, Lee, Kim, Carlson & Lin 2007] transferem as
texturas de um vdeo para uma superfcie fludica 3D ou outra
sequncia de vdeo.
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CAPTULO 2. TRABALHOS CORRELATOS 11
Mtodos que modificam a aparncia de um vdeo utilizando uma ima-
gem simples como modelo:
[Hertzmann, Jacobs, Oliver, Curless & Salesin 2001] utilizando
uma tcnica de comparao de imagens.
[Hashimoto, Johan & Nishita 2003] estende a tcnica anterior para
filtragem de vdeo.
Mais relacionado ao problema de gerao de animao a partir de ima-gens, o trabalho [Hashimoto et al. 2003] sintetiza uma sequncia de vdeo a
partir de imagens exemplo. O sistema de animao em [Lin, Wang, Wang,
Kang & Fang 2007] tambm faz uso de mltiplas imagens para gerar a ani-
mao. J o problema de animao de fluidos em imagens, que retomaremos
na seo2.4, foi bem abordado em [Okabe et al. 2009], tirando proveito de
vdeos exemplos e traos definidas pelo usurio para sintetizar a animao.
Embora flexveis, capazes de gerar diferentes tipos de animao, os mo-delos carecem de fundamentos fsicos, impedindo que as tcnicas baseadas
em vdeo produzam efeitos realsticos em animaes de fenmenos naturais
que envolvam fluxos ondulatrios.
2.3 Auxlio tridimensional
O uso de modelos tridimensionais no auxlio de animaes bidimensionais,como o caso de nosso trabalho, tem sua origem no incio da computao
grfica, principalmente na animao de cartoons. A abordagem usual neste
contexto a construo de modelos tridimensionais cujas silhuetas sejam
compatveis com os traos e contornos delineados a mo, podendo ser defor-
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CAPTULO 2. TRABALHOS CORRELATOS 12
mados e renderizados de acordo com o modelo tridimensional [Corra, Jensen,
Thayer & Finkelstein 1998, Ono, Chen & Nishita 2004, Rademacher 1999].
Observamos tambm manipulaes a partir de imagens simples para exi-
bies virtuais, como em [Zhang, Pan, Ren & Wang 2007] ou em reconstru-
es tridimensionais a partir de imagens, como em [Horry, Anjyo & Arai 1997,
Criminisi, Reid & Zisserman 2000, Oh, Chen, Dorsey & Durand 2001, Sun,
Liang, Wen & Shum 2007, Wu, Sun, Tang & Shum 2008, Shesh & Chen 2008].
Trabalhos mais recentes fazem uso de informaes tridimensionais para
animar objetos em imagens. [Hornung et al. 2007], por exemplo, apresenta
um sistema de animao que utiliza um esqueleto bidimensional, especificado
pelo usurio, para determinar, aproximadamente, a posio da cmera e
procurar por um modelo de pose ideal em um banco de dados tridimensional
de movimentos. Ocluses e partes faltantes so recortadas com tcnicas
utilizando Poisson e preenchidas com tcnicas de retoque digital.
Mais especificamente relacionado ao nosso trabalho, o sistema de ani-mao proposto em [Chuang et al. 2005], que detalharemos na seo2.4,
capaz de animar objetos como rvores e gua, modelando as foras da natu-
reza estocasticamente, evitando uma simulao baseada em modelos fsicos.
Embora rvores e similares possam ser animadas utilizando apenas informa-
es bidimensionais, a sntese do movimento da gua requer a interveno
do usurio para definir um plano no espao tridimensional, para modelar
corretamente os efeitos de perspectiva.Como no utilizam, ao contrrio do nosso, modelos fsicos para conduzir
a animao, torna-se difcil a gerao de efeitos com comportamentos es-
pecficos como ondas direcionais. Alm disso, estes sistemas no suportam
refrao e efeitos de iluminao.
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CAPTULO 2. TRABALHOS CORRELATOS 13
2.4 Animando fluidos em imagens
A animao de fluidos em imagens estticas um grande desafio e poucos
o tm atacado. Apresentamos aqui dois artigos que geram movimentos em
imagens nos quais, apesar de no simularem fisicamente o movimento de
fluidos, a animao gerada visualmente realstica.
No primeiro, com o objetivo de sintetizar um vdeo estocstico a partir
de uma simples imagem, os autores propem, para criar um movimento
interessante, complexo e plausvel, a seguinte tcnica de animao [Chuang
et al. 2005]:
1. Tome uma imagem Ique passe a idia de movimento que possa ser
reproduzido aleatoriamente.
2. Selecione os diversos objetos da imagem:
(a) Selecione os objetos da imagem Ique esto totalmente visveis.(b) Identifique cada objeto comoOi, incrementandoisequencialmente
a partir da unidade.
(c) Crie uma nova imagemLicontendo o objeto Oina mesma posio
da imagem Ie vazia nas demais posies.
(d) Utilize uma tcnica de Retoque Digital e remova os objetos sele-
cionados, reconstruindo o fundo da imagem I.
(e) Repita o processo at selecionar todos os objetos da imagem I.
3. Classifique os objetos Oi em:
(a) rvore (movimento de oscilao).
(b) gua (movimento ondulatrio).
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CAPTULO 2. TRABALHOS CORRELATOS 14
(c) Barco (movimento de sacudimento).
(d) Nuvem (movimento de translao).
(e) Imvel (sem movimento).
4. Uma funo deslocamento di(p, t) associada a cada imagem Li de
acordo com a classificao do objeto Oi. Esta funo leva cada pixel p
da imagem Li ao deslocamento do objeto Oi no intervalo de tempo t.
5. Uma funo Li(p) de reposicionamento de cada pixel do objeto Oi definida como sendo o valor do pixel antes do deslocamento, ou seja,
Li(p+di(p, t)) =Li(p), onde Li(p) Li.
6. A imagem recomposta para cada instante tatravs do agrupamento
dos objetos, na ordem inversa de criao, ou seja,
(a) Im(p, t) =Lm(p+dl(p, t)), ondem a quantidade total de objetos.
(b) Ii(p, t) =Ii+1(p, t) +Li(p+di(p, t)), para 0 i < m.
7. Sendo Ia imagem no instante inicial, fazemos de I0(p, t)a imagem no
instantet, ou seja,
(a) I0 I.
(b) It I0(p, t).
8. A animao obtida a partir da sequncia de quadros It.
Esta sequncia pode ser observada na figura2.5.
Este mtodo aborda o problema de animao em imagem que representem
fenmenos naturais e, em relao a movimentos fludicos, apenas oscila a
superfcie da gua com ondulaes estocsticas.
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CAPTULO 2. TRABALHOS CORRELATOS 15
c
ACM
Figura 2.5: Sequncia de animao de imagem utilizando movimentos estocsticos.
[Chuang et al. 2005]
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CAPTULO 2. TRABALHOS CORRELATOS 16
Uma outra tcnica de animao de imagens utilizando vdeos pr-sele-
cionados proposta por [Okabe et al. 2009]. A tcnica consiste em, dada
uma imagem contendo uma cena de fluido em movimento implcito, ou seja,
uma cena esttica que da idia de movimento, e admitindo seu fluxo em
regime permanente, o usurio escolhe um vdeo, realstico ou no, que ser
tomado como modelo na animao (figura2.6). Este vdeo subdividido nas
seguintes partes:
imagem mdia: a mdia pixel a pixel dos quadros do vdeo tomado comomodelo.
vdeo diferena: gerado a partir das diferenas entre cada quadro e a
imagem mdia.
fluxo tico: o vdeo formado por quadros deslocamento obtidos pela
diferena euclidiana entre os vetores posio de um pixel em um quadro
do vdeo diferena e o quadro seguinte.
imagem mdia do fluxo tico: a mdia vetorial, pixel a pixel, dos qua-
dros do fluxo tico.
vdeo residual: o vdeo obtido pelo erro entre a indicao de movimento
da imagem mdia do fluxo tico em cada quadro do vdeo diferena e
o quadro seguinte.
A gerao do vdeo a partir da imagem efetuada pelo processo inverso
ao descrito acima, admitindo a imagem mdia como sendo a imagem dada
inicialmente e o fluxo ajustado pelo usurio (figura 2.7). Alguns resultados
podem ser observados no stio deMakoto Okade3.
3.
http://www.mpi-inf.mpg.de/~mokabe/AnimePicFluidhttp://www.mpi-inf.mpg.de/~mokabe/AnimePicFluid7/23/2019 Animacao de Fluidos Em Imagens Digitais
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CAPTULO 2. TRABALHOS CORRELATOS 17
c
Okabe,
Anjyo,
Igarashi&
Seidel
Figura 2.6: Animao de fluido a partir de um modelo. [Okabe et al. 2009]
Como pudemos observar, nosso objeto de estudo difere substancialmente
dos trabalhos apresentados, mas compartilham alguns aspectos, o que nos
possibilitou um indicativo de contexto de nosso trabalho.
2.5 Animao baseada em guas rasas
A reviso bibliogrfica apresentada mostra que nenhuma tcnica de animao
de imagens se baseia em um modelo fsico para criar animaes realsticas de
fluidos. O mtodo proposto nesta tese se baseia em um modelo fsico para
conduzir a simulao, resultando em animaes realsticas e convincentes.
Alm disso, a projeo reversa baseada no traado de raios, presente em
nosso processo de animao, flexibiliza grandemente a implementao das
tcnicas descritas.
Para conduzir o processo fsico de nosso modelo, utilizaremos o equaciona-
mento de guas rasas, cujo modelo se baseia em um ambiente bidimensional
que nos d informaes sobre as alteraes (ondulaes) ocorridas na super-
fcie do fluido. guas rasas so fluidos cujo equacionamento pode ser consi-
derado uma simplificao das equaes do movimento de fluidos, utilizando
algumas hipteses com relao geometria do problema. Esta simplificao
apresentada no apndiceA.
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CAPTULO 2. TRABALHOS CORRELATOS 18
c
Okabe,
Anjyo,
Igarashi&
Seid
el
Figura 2.7: Processo de gerao de animao em imagem a partir de um modelo. [Okabe
et al. 2009]
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CAPTULO 2. TRABALHOS CORRELATOS 19
Em 1990, Michael Kass e Gavin Miller apresentaram as equaes de guas
rasas comunidade de Computao Grfica em uma simulao de chuva,
obtendo resultados encorajadoramente realsticos [Kass & Miller 1990].
Desde ento, vrios autores apresentaram simulaes baseadas em guas
rasas:
[Layton & van de Panne 2002] apresentam, aps umsurveydos modelos
de simulao de fluidos baseados nas equaes de Navier-Stokes, um
modelo que baseado nas equaes de guas rasas e que, segundoos autores, simula eficientemente movimentos suaves, superposio de
ondas, objetos sendo levados pela correnteza, obstculos variados e
fronteiras de vrias formas.
[Hagen, Hjelmervik, Lie, Natvig & Henriksen 2005] simulam reas com
topografia no trivial sendo alagadas e escoadas. A simulao efetu-
ada diretamente na GPU, obtendo resultados rpidos.
[Wang, Miller & Turk 2007] simulam uma variedade de efeitos aqu-
ticos, inclusive acoplamento de corpos rgidos flutuantes, de maneira
rpida e estvel.
[Drasek III, Bookout & Lake 2009] simulam ondas ocenicas em tempo
real possibilitando a iterao do usurio na modificao de parme-
tros dinamicamente, produzindo uma variedade de formas de ondas emguas ocenicas rasas.
Modelos hbridos tm sido utilizados para simular o movimento de guas,
como em [Irving, Guendelman, Losasso & Fedkiw 2006], que resolve as equa-
es de Navier-Stokes em clulas regulares em volta da superfcie da gua
e, abaixo desta superfcie, utiliza uma malha no uniforme, evitando o mo-
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CAPTULO 2. TRABALHOS CORRELATOS 20
delo de guas rasas para capturar detalhes que o modelo no simula, como
respingos.
Estas animaes so totalmente ambientadas tridimensionalmente, o que
no nosso interesse pois nosso ambiente original uma imagem esttica.
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Captulo 3
Abordagem proposta
Nossa tcnica assume como entrada uma imagem decomposta em vrias par-
tes ou camadas, algumas das quais definem as partes da imagem a serem
animadas (figura3.1 - esquerda). Como ilustrado na figura3.1, a sequn-
cia proposta para animao composta de quatro passos principais, quais
sejam: (1) estimativa da posio da cmera, (2) construo do domnio desimulao, (3) simulao de guas rasas e (4) projeo reversa utilizando o
traador de raios.
Figura 3.1: Viso geral do mtodo.
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CAPTULO 3. ABORDAGEM PROPOSTA 22
Figura 3.2: Pontos Re Sno infinito obtidos a partir do quadriltero em azul. A reta em
vermelho a linha do horizonte.
A estimativa da posio da cmera necessria para o correto posici-
onamento do domnio de simulao no espao tridimensional, de forma a
considerar os efeitos de perspectiva. A posio da cmera estimada por um
mecanismo, assistido pelo usurio, baseado em pontos no infinito (cap. 4).
Mais especificamente, o usurio desenha um quadriltero na imagem original
(quadro em vermelho na figura3.1, acima esquerda), atravs do qual so
calculados alguns dos parmetros da cmera.
O usurio pode utilizar como referncia para desenhar o quadriltero,
estruturas da imagem conhecidamente formadas por retas paralelas. Por
exemplo, a figura 3.2mostra o quadriltero alternativo ao apresentado nafigura 3.1, em azul, e os pontos no infinito correspondentes, obtidos pela
extenso dos segmentos de reta do quadriltero.
Uma vez que a posio da cmera est bem determinada, utilizamos as
transformaes de perspectiva para projetar as camadas a serem animadas
no plano horizontal, no espao tridimensional (figura3.1central acima). O
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CAPTULO 3. ABORDAGEM PROPOSTA 23
(a) (b) (c)
Figura 3.3: (a) imagem original, (b) projeo no plano do objeto e (c) domnio de simulao.
quadriltero projetado convertido em um paralelogramo, determinando o
domnio de simulao (figura3.1centro inferior e figura 3.3). Detalhes do
processo so apresentados no prximo captulo.
A simulao do fluxo, representada na figura 3.4baseado nas equaes
de guas rasas, detalhada no captulo6, executada em uma malha retil-
nea. O comportamento do fluxo controlado pelas condies de fronteira e
parmetros, informaes estas contidas nas camadas da imagem, definidas
pelo usurio. Estas camadas so delimitaes, na imagem, da localizao do
objeto lquido a ser animado, bem como suas fronteiras. Outras parties
possveis, opcionalmente inseridas pelo usurio, so o relevo do leito do ob-
jeto lquido e o coeficiente de Chezzy, indicando o atrito em cada ponto do
leito, a partir de informaes em tons de cinza, na posio equivalente da
imagem.
Finalmente, as informaes de altura resultantes da simulao so mape-adas (distorcidas) na camada correspondente (figura 3.1,no alto direita)
que projetada de volta ao espao da imagem via traador de raios (figura
3.1, abaixo direita). Efeitos de refrao e iluminao so tambm incor-
porados durante o estgio da projeo reversa, para aumentar o realismo,
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CAPTULO 3. ABORDAGEM PROPOSTA 24
Figura 3.4: Simulao do fluxo a partir das equaes de guas rasas.
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CAPTULO 3. ABORDAGEM PROPOSTA 25
Figura 3.5:Quadro resultante da aplicao do modelo proposto.
como discutido no captulo7. A figura3.5mostra o resultado da aplicao
do modelo proposto.
Nos prximos captulos, discutimos detalhadamente cada um dos passos
apresentados aqui.
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Captulo 4
Inferncia tridimensional
Chamamos de inferncia tridimensional a caracterizao do corpo dgua em
seu plano original com relao ao plano da imagem dada. Esta caracterizao
obtida a partir de algumas informaes intrnsecas imagem dada, quais
sejam:
linha do horizonte,
inclinao frontal da cmera e
inclinao lateral da cmera.
Inicialmente, vamos posicionar a imagem em um ambiente tridimensional,
com relao ao corpo dgua e cmera. Assumiremos aqui que o corpo
dgua est no plano xy de nosso ambiente tridimensional, a imagem estlocalizada no plano, que faz um ngulo com o planoxy e a cmera est a
uma distnciadfdo centro da imagem. A figura4.1esquematiza o ambiente
relatado. Assumimos ainda que a projeo do plano xy em , gerada pela
cmera, cnica.
26
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CAPTULO 4. INFERNCIA TRIDIMENSIONAL 27
Figura 4.1: Posicionamento tridimensional da imagem.
Nas sees seguintes vamos caminhar para a inferncia do ambiente rela-
tado e, para isso, algumas definies e resultados tradicionais so adaptados
ao nosso modelo.
4.1 Linha do horizonte
Definio 4.1 (Projeo Cnica) Uma projeo cnica de um dado ob-
jeto, a partir de um ponto P, em um plano entreeP, o mapeamento
dos pontos deste objeto, interceptados pelo segmento de reta iniciado emP e
finalizado em, na interseo deste segmento com o plano .
Teorema 4.1 Retas paralelas no plano xy, quando projetadas conicamente
em um plano no paralelo axy, a partir de um ponto fora dexy , ouse encontram em um nico ponto de ou so paralelas axy .
Prova. A prova deste teorema pode ser encontrada em [Hilbert & Cohn-
Vossen 1952].
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CAPTULO 4. INFERNCIA TRIDIMENSIONAL 28
A primeira etapa desta fase consiste na identificao manual (na imagem)
de dois pares de retas paralelas (em xy), com o objetivo de determinar a linha
do horizonte (que pode, alternativamente, ser definida pelo usurio), a qual
definiremos a seguir. Para isto o usurio deve desenhar, na imagem, quatro
segmentos de retar1 , r2 , s
1 e s
2 , os quais so projees de retas em xy que
chamaremos, respectivamente, de r1, r2, s1 e s2. Estas retas devem ser tais
que:
r1 r2
s1 s2
r1r2 s1 s2
Ou seja, o usurio deve identificar dois pares de retas, como indicado na
figura4.2-esquerda, que, no corpo dgua (no planoxy), sejam paralelas com
seus pares, mas no sejam paralelas quando tomadas de pares diferentes;
alm disso, a projeo destes pares em no deve originar retas paralelas.
Teorema 4.2 O conjunto de todos os pontos em de interseco de retas
correspondentemente paralelas emxy formam uma reta.
Prova. A prova deste teorema pode ser encontrada em [Hilbert & Cohn-
Vossen 1952].
Definio 4.2 (Linha do Horizonte) Linha do horizonte a reta em ,
formada pelos pontos de interseo de retas correspondentemente paralelas
emxy.
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CAPTULO 4. INFERNCIA TRIDIMENSIONAL 29
(a) (b)
Figura 4.2: Identificao, esquerda, de dois pares de segmentos de retas paralelas no plano
do objeto e, direita, determinao da linha do horizonte a partir dos prolongamentos
destes segmentos.
Nossa linha do horizonte, ento, a reta que passa pelos pontos de in-
terseco dos prolongamentos de r1 e r
2 e dos prolongamentos de s
1 e s
2 .
Ou seja as retas r1 , r2 , s
1 e s
2 so prolongadas e a reta PrPs, formada pelos
pontos Pr = r1 r2 e Ps = s
1 s
2 , chamada de linha do horizonte. Veja
a ilustrao na figura4.2-direita.
Observe que a linha do horizonte no tem correspondente na projeo em
xye todo o plano xy projetado abaixo" da linha do horizonte em .
Se a linha do horizonte, que chamaremos de, for paralela linha longitu-
dinal1 da imagem, dizemos que a imagem no est inclinada. Caso contrrio,
o ngulo1entre a linha do horizonte e o prolongamento da linha longitudinal
da imagem nos d a inclinao da imagem (figura4.3).
1Linha que corta a imagem de lado a lado, perpendicular altura.
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CAPTULO 4. INFERNCIA TRIDIMENSIONAL 30
Figura 4.3: ngulo de inclinao lateral da cmera.
4.2 Distncia focal
Definio 4.3 (Eixo focal) O eixo do cone de projeo, em uma projeo
cnica, chamado de eixo focal.
Definio 4.4 (Ponto focal) O ponto de interseco do eixo focal com o
plano de projeo chamado de ponto focal.
Definio 4.5 (Distncia focal) A distncia da cmera ao ponto focal
chamada de distncia focal.
Conclumos, ento, que distncia focal a distncia da cmera ao ponto
do plano da imagem para o qual a cmera est olhando.
Assumiremos, neste trabalho, que a cmera olha para o centro da ima-
gem, sempre na direo perpendicular ao plano da imagem. Ora, como as-
sumimos que a cmera est a uma distncia dfdo centro da image, df a
distncia focal e a reta que liga o centro da imagem e a cmera o eixo focal.
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CAPTULO 4. INFERNCIA TRIDIMENSIONAL 31
4.3 Calibrao da cmera
Dizemos que uma cmera est calibrada quando temos, em um ambiente
tridimensional, bem determinados, o ponto de observao, os eixos tico e de
inclinao, a distncia focal e a tela virtual. Vejamos:
o ponto de observao o ponto onde se localiza a cmera virtual,
o eixo tico, ou eixo focal, a reta perpendicular ao plano de projeo
(plano da imagem) e que passa pela cmera,
o eixo de inclinao a reta paralela ao plano da imagem, no sentido
longitudinal, e que passa pela cmera,
a distncia focal a distncia da cmera ao plano de projeo e
a tela virtual o retngulo no plano de projeo, com centro no eixo
tico, correspondente imagem original.
Para facilitar nosso trabalho, consideraremos trs referenciais cartesianos
ortonormais tridimensionais:
o referencial do corpo dgua, dado por (E, { e1, e2, e3}),
o referencial da cmera, dado por (O, {o, v,l})e
o referencial da imagem, dado por (C, {i,j, k}),
onde:
(E, { e1, e2, e3}) o referencial cartesiano,
O a posio da cmera,
o o vetor unitrio associado ao eixo tico, com direo da cmera para o
plano de projeo ,
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CAPTULO 4. INFERNCIA TRIDIMENSIONAL 32
Figura 4.4: Referenciais cartesianos ortonormais, da esquerda para a direita, referencial do
corpo dgua, referencial da cmera e referencial da imagem.
l o vetor unitrio associado ao eixo de inclinao, tambm chamado eixo
lateral, com direo da cmera para a direita da imagem frente dacmera,
v= l o,
C o canto superior esquerdo da imagem, no plano ,
i o vetor unitrio associado lateral da imagem, com direo de cima para
baixo,
j o vetor unitrio associado longitude da imagem, com direo da es-
querda para a direita e
k= ij.
A figura4.4d uma idia esquemtica dos trs referenciais.
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CAPTULO 4. INFERNCIA TRIDIMENSIONAL 33
Figura 4.5: ngulo de inclinao frontal da cmera.
Precisamos agora posicionar os referenciais da cmara e da imagem em
relao ao referencial do objeto. Faremos esta inferncia posicionando os
referenciais, da cmara e da imagem, encaixados" no referencial do objeto
e, atravs de translaes e rotaes especficas, obteremos os valores de O,
C,o, v, l, i, je k.
Antes de prosseguirmos, falta calcularmos duas importantes inclinaes,
quais sejam, as inclinaes lateral e frontal da cmara. A inclinao lateral
da cmera a inclinao da imagem, ou seja, dada pelo ngulo 1 (figura
4.3) entreej, obtido, por definio, de jparana direo de j. A inclinao
frontal da cmera obtida admitindo-se que a cmara est de frente para o
plano da imagem, ou seja o kcom a inclinao lateral dada anteriormente,
ou seja, v. O ngulo 2 (figura4.5) entre o eixo tico e a reta passando
por Oe perpendicular a a inclinao frontal da cmara. Observemos que,
dado que conhecemos e dfento conhecemos tambm 1e 2.
Passemos ento calibrao da cmara, inicialmente posicionando o re-
ferencial da cmara coincidente com o referencial do objeto e, em seguida,
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CAPTULO 4. INFERNCIA TRIDIMENSIONAL 34
Figura 4.6: Sequncia de rotaes para calibrao da cmera.
conforme o resumo esquemtico na figura 4.6,rotacionando a cmara 90o
em torno do eixo e1, ou seja, uma rotao de 90o no sentido de e3 para e2.
Esta rotao obtida pela matriz de transformao, cuja deduo pode ser
encontrada em [Foley, van Dam, Feiner & Hughes 1996]:
Ro=
1 0 0 0
0 cos(2
) sen(2
) 0
0 sen(2
) cos(2
) 0
0 0 0 1
=
1 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 0 1
.
Em seguida, uma rotao em torno do eixo tico necessria. Esta ro-
tao inclina a cmera de tal maneira que a linha do horizonte fique na
inclinao inferida anteriormente, ou seja, de um ngulo de1. Observe que,
inclinar a linha do horizonte para a direita ou para a esquerda, equivalente
a inclinar a cmera, na mesma intensidade, para a esquerda ou para a direita,
respectivamente. Assim, devemos rotacionar a cmera de 1 em torno do
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CAPTULO 4. INFERNCIA TRIDIMENSIONAL 35
eixo e1, o que obtemos a partir da matriz:
R1 =
1 0 0 0
0 cos(1) sen(1) 0
0 sen(1) cos(1) 0
0 0 0 1
=
1 0 0 0
0 cos1 sen1 0
0 sen1 cos1 0
0 0 0 1
.
Finalmente, necessrio efetuarmos uma rotao para posicionarmos o
plano de projeo no ngulo correto com o plano do objeto. Esta rotao
obtida rotacionando de 2, lembrando que 2 o ngulo entre o plano xy
e o plano , em torno do eixo e2, o que obtemos a partir da matriz, cuja
deduo pode ser encontrada em [Foley et al. 1996]:
R2 =
cos(2) 0 sen(2) 0
0 1 0 0
sen(2) 0 cos(2) 0
0 0 0 1
=
cos2 0 sen2 0
0 1 0 0
sen2 0 cos2 0
0 0 0 1
.
Quanto disposio espacial da cmera em relao ao plano do objeto,
terminamos os clculos. Mas algumas operaes ainda so necessrias para
inferir a posio levando em conta o plano de projeo com a imagem obtida.
A primeira delas tem o intuito de posicionar a cmera a uma distncia dfdo
centro da imagem e obtida pela matriz:
Tdf =
1 0 0 df
0 1 0 n2
0 0 1 m2
0 0 0 1
,
onde m a altura da imagem e n a largura. Esta translao efetuada
antes das rotaes lateral e frontal da cmera.
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CAPTULO 4. INFERNCIA TRIDIMENSIONAL 36
Aps as rotaes lateral e frontal, uma translao efetuada, objetivando
minimizar a distoro provocada pela projeo, e dada pela matriz:
Tc =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 m2+n2
2
0 0 0 1
.
As matrizesTdf e Tcforam obtidas empiricamente, com o objetivo de co-
locar a cmera em uma posio que a projeo cnica gerasse, inversamente,
um objeto de mxima resoluo e mnima distoro. claro que este mesmo
processo emprico, se realizado individualmente, produz valores distintos para
Tdfe para Tc, mas os valores apresentados se mostraram convenientes para
todos os experimentos realizados, apesar de poderem no ser ideais.
Finalmente ento temos a cmera calibrada, obtida pela sequncia de
transformaes dada pela aplicao sucessiva das transformaes Ro, Tdf,
R1 , R2 e, finalmente, Tc. A calibrao da cmera , ento, dada por:
Mc = Tc R2 R1 Tdf Ro
4.4 Projeo inversa do corpo dgua
Tendo conhecimento da posio da cmera podemos tambm inferir a posio
da imagem bastando, para isto, efetuarmos a aplicao da seguinte matriz:
Mi=Tc R2 R1 Rj
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CAPTULO 4. INFERNCIA TRIDIMENSIONAL 37
onde Rj uma rotao de 90o em torno do eixo e2 e dada por:
Rj=
cos(2
) 0 sen(2
) 0
0 1 0 0
sen(2
) 0 cos(2
) 0
0 0 0 1
=
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
.
Seja ento (i, j) um ponto da imagem, para obtermos sua posio tri-
dimensional conforme as inferncias obtidas, basta efetuarmos a operao(x,y,z, 1) =Mi (i,j, 0, 1)que o ponto(x,y,z) a posio, nas coordenadas
do objeto, o equivalente ao ponto (i,j, 0)nas coordenadas da imagem.
A posio da cmera obtida atravz da operao (x0, y0, z0, 1) = Mc
(0, 0, 0, 1), onde o ponto (x0, y0, z0) a posio da cmera. Lembrando que
o ponto (x,y,z) projeo cnica, a partir de (x0, y0, z0), de um ponto no
plano xy, ento o ponto (p, q, 0) pertencente reta que passa pelos pontos
(x0, y0, z0)e (x,y,z) o ponto do objeto correspondente ao ponto da imagem
(i, j).
Fazendo este mesmo procedimento para todos os pontos da imagem, obte-
mos todo o objeto. Isto nos d no s as coordenadas do nosso corpo dgua,
como tambm sua textura.
4.5 Determinando o domnio de simulao
A partir dos parmetros da cmera podemos posicionar as partes da imagem
a serem animadas no espao tridimensional. Mais especificamente, a partir
dos parmetros da cmera podemos projetar as camadas da imagem a serem
animadas, em um plano horizontal do espao tridimensional, como ilustrado
na Figura4.7. As equaes de guas rasas so discretizadas para as camadas
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CAPTULO 4. INFERNCIA TRIDIMENSIONAL 38
Figura 4.7: Mapeamento da imagem projetada no domnio de simulao.
projetadas, porm estes domnios no esto alinhados quadrilateralmente, o
que prejudica a implementao do esquema de diferenas finitas.
Para executar o esquema numrico em uma malha cartesiana, o quadril-
tero distorcido mapeado em um domnio retangular com os eixos alinhados.
O domnio retangular ento discretizado em uma malha regular, no mnimo
duas vezes a resoluo da imagem a ser animada. A malha cartesiana afi-
nada proporciona a captura de mnimos detalhes do movimento durante a
simulao, desta forma tornando a animao bastante realstica.
Como mostrado na Figura4.7, o mapa de segmentao, definindo as ca-
madas da imagem, so tambm transportados para o domnio de simulao.
Este recurso utilizado para determinar as condies de fronteira e os par-
metros das equaes de guas rasas.
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Captulo 5
Construo do domnio desimulao
Nesta fase de nosso processo, o objetivo determinar a malha em que ser
resolvido o sistema de equaes de guas rasas.
Como resultado das fases anteriores, temos como dados de entrada:
a imagem Ioriginal, a ser animada;
o objeto Oonde ocorrer a simulao de guas rasas;
o mapa de segmentao, presente na mscara M, indicando as frontei-
ras do objeto Ono plano da imagem I;
a posio odo observador, onde est localizada a cmera;
o plano , onde foi capturada a imagem Ipelo observador o;
o plano xy, onde se localiza o objeto O.
Conforme ilustrado na figura5.1, observemos que o objeto Oest mape-
ado, pela mscaraM, no plano. Nosso primeiro objetivo aqui mapear este
39
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CAPTULO 5. CONSTRUO DO DOMNIO DE SIMULAO 40
Figura 5.1: Dados de entrada para construo do domnio de simulao.
mesmo objeto Ono plano xy, para em seguida obtermos a malha desejada,
tambm no plano xy.
Como, do captulo anterior, sabemos mapear a imagem I, abaixo da
linha do horizonte, no plano xy , podemos repetir o processo para M. Assim,
efetuando o mesmo mapeamento para a mscaraMobteremos o mapeamento
correspondente do objeto O no plano xy. Temos, ento, uma grade regular
cobrindo o objetoO. Esta malha, mapeada no planoxy e restrita aos limites
do objeto Oem xy, a que procuramos.
Ou seja, considerando que a projeo de Memxytem clulas de dimen-
ses unitrias(x= y = 1)e que cada uma corresponde a um elemento da
projeo de Iem xy, a restrio ao objeto O, da projeo de M em xy, nos
d uma malha de clulas unitrias que a restrio do objeto O da projeo
de M em xy. A mesma restrio, aplicada projeo de Iem xy, nos d a
textura do objeto O.
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CAPTULO 5. CONSTRUO DO DOMNIO DE SIMULAO 41
Observe a sequncia ilustrada na figura5.2: inicialmente a imagem origi-
nal (a) e sua mscara (b) so projetadas no plano xy (c-d) e, em seguida a
textura (e) e a malha (f) so obtidas restringindo as projees aos limites do
objeto aquoso. As figuras5.3a e5.3b mostram, respectivamente, um zum de
10e outro de 100na malha representada na figura5.2f.
importante observar que a malha, assim gerada, traz informaes adi-
cionais a cada clula, a partir do mapa de segmentao, dizendo:
onde fronteira aberta, indicando a presena do fluido mesmo apseste ponto,
onde fronteira fechada, indicando que, ali, o fluido encontra um
obstculo,
e onde deve ser simulado o movimento, isto , os objetos aquosos, vis-
veis ou oclusos,
informaes estas, presentes na mscara M, conforme indicado na figura5.4.
Esta malha, obtida naturalmente a partir da projeo reversa do objeto,
nos induz a utilizar um mtodo numrico apropriado a uma malha regular,
o que ser tratado no prximo captulo, que utilizar esta malha para a
resoluo do sistema de equaes de guas rasas e a fase seguinte poder
utilizar a textura correspondente no processo de renderizao.
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CAPTULO 5. CONSTRUO DO DOMNIO DE SIMULAO 42
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
Figura 5.2: Sequncia de malhamento. (a) imagem original no plano , (b) mscara no
plano , (c) e (d) projees no plano xy, (e) textura do objeto, restrio de (c), e (f)
domnio de simulao , com informaes de malha, restrio de (d).
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CAPTULO 5. CONSTRUO DO DOMNIO DE SIMULAO 43
(a) (b)
Figura 5.3: Zum da malha apresentada na figura5.2f.
Figura 5.4: Mscara, fornecida pelo usurio, com o mapa de segmentao indicando as
fronteiras do objeto.
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Captulo 6
Simulao fsica
Nesta fase vamos resolver numericamente as equaes de guas rasas, discu-
tidas no apndiceA, e que so reproduzidas aqui para melhor convenincia:
h
t
+(hu)
x
+(hv)
y
= 0 (6.1)
(hu)
t +
(huv)
y +
x
hu2 +
g
2(h2 H2)
= (6.2)
f hv + g(h H)H
x
g|u|u
C2h +F1
(hv)
t +
(huv)
x +
y
hv2 +
g
2(h2 H2)
= (6.3)
f hu + g(h H)H
y
g|u|v
C2h +F2
Onde t o tempo,(x, y)a posio espacial,u=(u, v)a velocidade do fluido,
g o mdulo da acelarao da gravidade, Co coeficiente de Chezy, (F1, F2)
44
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CAPTULO 6. SIMULAO FSICA 45
a ao do vento na superfcie, fa acelerao de Coriolis e H o termo que
define a topografia do fundo, relativamente ao nvel mdio da gua, como
ilustrado na figura6.1.
Figura 6.1: Altura instantnea h e altura mdia Hdo corpo dgua.
Na figura6.1ilustramos tambm o campo altura h, o qual varia com o
tempo e possibilita, com isso, a visualizao das ondas e o movimento do
fluido, que a essncia de nosso processo de animao.
6.1 Resoluo numrica
As equaes 6.1, 6.2 e 6.3 sero resolvidas na malha obtida no captulo
anterior e consideraremos, como j foi dito, que nossa malha composta
por clulas dispostas uniformemente no plano xy e de dimenses unitrias
(x= y= 1). O mtodo utilizado para resolvermos as referidas equaes,
apresentado a seguir, baseado no mtodo tradicional de Lax-Wendroff de
7/23/2019 Animacao de Fluidos Em Imagens Digitais
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CAPTULO 6. SIMULAO FSICA 46
dois passos [Lax & Wendroff 1960] que duplica a densidade de nossa malha e
onde, em um primeiro passo, resolvemos as equaes governantes no tempo
t+ t2 , nos pontos intermedirios de nossa malha e, num segundo passo,
resolvemos as mesmas equaes no tempo t+ t, nos pontos originais da
malha.
Inicialmente, vejamos as discretizaes que iremos utilizar: considerando
a funo f contnua e suficientemente diferencivel em t, podemos expand-la
em srie de Taylor, com acrscimo t a partir de t e utilizando a notao
f(t) ft
e fk(t) kf
tk:
f(t+ t) =f(t) + t f(t) +k=2
(t)k
k! fk(t) (6.4)
com acrscimo t2
a partir de t:
f(t+t
2 ) = f(t) +
t
2 f(t) +
k=2(t)k
2kk! fk(t) (6.5)
e com acrscimo t2
a partir de t+ t2:
f(t+ t) = f(t+t
2 ) +
t
2 f(t+
t
2 ) +
k=2
(t)k
2kk! fk(t+
t
2 ) (6.6)
Substituindo a equao6.5 na equao6.6obtemos:
f(t+ t) =f(t) +t
2 f(t) +
t
2 f(t+
t
2 ) +
k=2(t)k
2kk!
fk(t) +fk(t+
t
2 )
(6.7)a partir da equao6.4 temos:
f(t) = f(t+ t) f(t)
t
k=2
(t)k1
k! fk(t) (6.8)
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CAPTULO 6. SIMULAO FSICA 47
e substituindo6.8em6.7 obtemos:
f(t+ t) = f(t) +t
2
f(t+ t) f(t)
t
k=2
(t)k1
k! fk(t)
+
+ t
2 f(t+
t
2 ) +
k=2
(t)k
2kk!
fk(t) + fk(t+
t
2 )
f(t+ t) = f(t) +f(t+ t) f(t)
2 +
t
2 f(t+
t
2 ) +
+
k=2
(t)k
2kk! fk(t) +fk(t+t
2 )
k=2
(t)k
2k! fk(t)
2f(t+ t) = f(t) +f(t+ t) + tf(t+t
2 ) +
+k=2
(t)k
k!
fk(t) + fk(t+ t
2)
2k1
k=2
(t)k
k! fk(t)
f(t+ t) = f(t) + tf(t+t
2 ) + (6.9)
+k=2
(t)k
k!
fk(t) + fk(t+ t2 )2k1
fk(t)
Considerando os erros da ordem de (t)2 desprezveis, a partir da equao
6.5obtemos a aproximao
f(t+t
2 ) f(t) +
t
2 f(t) (6.10)
que a equao base do primeiro passo de nosso mtodo e, a partir da equao
6.9obtemos a aproximao
f(t+ t) f(t) + tf(t+t
2 ) (6.11)
que a equao base do segundo passo.
Assim, no 1o passo calculamosh, (hu)e (hv)no tempo t+ t2
conforme
a equao6.10e, no 2o passo calculamos h, (hu) e (hv) no tempo t+ t
conforme a equao6.11.
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CAPTULO 6. SIMULAO FSICA 48
P6 Q2
P4
P3
Q3 P1
Q1
Q4
P0 Q0
P2
P5
Q5 P7
Figura 6.2: Estncil utilizado no mtodo apresentado.
O estncil representado na figura6.2 mostra os pontos de malha onde
ocorrero os clculos. Os pontosP0, P2, P4 e P6 so originais da malha, j
os pontos P1, P3, P5 e P7 so os pontos adicionados malha no intuito deduplicar sua densidade e onde so efetuados os clculos referentes ao 1o passo
do mtodo. Os pontosQ0,Q1,Q2,Q3,Q4e Q5so auxiliares para os clculos
das derivadas parciais referentes s coordenadas espaciais e so obtidos pela
mdia dos dois vizinhos mais prximos calculados no passo anterior ao passo
em questo.
Exemplificando, seja o ponto P0 do estncil associado ao ponto (i, j) da
malha e admitamos conhecer todos os pontos do estncil no tempo t. Notempo t+ t
2 obtemos os valores no ponto P1 (i+ 12 , j+
12
) a partir da
equao6.10de tal maneira que ao final do 1o passo os valores nos pontosP1,
P3, P5e P7so conhecidos, os pontosQ0,Q3, Q4e Q5so obtidos por mdia
destes, ou seja,Q0= P1+P72 e assim por adiante e os valores do pontoP0, para
efeito de clculo de derivadas parciais referentes s coordenadas espaciais
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CAPTULO 6. SIMULAO FSICA 49
obtido a partir da mdia P1+P3+P5+P74
. J no tempot +tos valores no ponto
P0 so calculados a partir da equao6.11sendo que ao final do 2o passo os
valores nos pontos P0, P2, P4 e P6 so conhecidos, e os pontos Q0, Q1, Q2 e
Q3 so obtidos como anteriormente (Q0 = P0+P22 , etc.).
As derivadas parciais referentes coordenada temporal requeridas nas
equaes6.10e6.11so obtidas a partir do sistema de equaes apresentado
no incio do captulo. As equaesA.10,A.36eA.37so aproximadas con-
forme as equaes6.10e6.11, fazendo f = h, f = (hu) e f = (hv), obtendo
aproximaes para ht
e (hu)t
e (hv)t
em cada um dos passos do processo. As
derivadas parciais referentes s coordenadas espaciais so obtidas atravs das
aproximaes centradas:
f(x, y)
x
f(x+ x2
, y) f(x x2
, y)
x (6.12)
ef(x, y)
y
f(x, y+ y2
) f(x, y y2
)
y (6.13)
assim, basta fazermosf = (hu), f = (hv), f = (hu)(hv)h
, f = (hu)2 + g2
(h2H2),
f= (hv)2 + g2
(h2 H2)e f= Hpara obtermos as derivadas parciais (hu)x
e
etc, necessrias para a resoluo do sistema de equaes de guas rasas.
Assim, lembrando que nossa malha tem dimenses unitrias, utilizando
a notao fti,j para o valor de fno ponto de malha (i, j)no tempo te consi-
derando uti,j = (hu)ti,j
hti,je vti,j =
(hv)ti,jhti,j
, as verses discretas das equaesA.10,
A.36eA.37,referentes ao primeiro passo do modelo apresentado so, respec-
tivamente:
ht+t
2
i+ 12,j+ 1
2
= hti+ 1
2,j+ 1
2
+ (6.14)
t
2
(hu)t
i+1,j+ 12
(hu)ti,j+ 1
2
+ (hv)ti+ 1
2,j+1
(hv)ti+ 1
2,j
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CAPTULO 6. SIMULAO FSICA 50
(hu)
t+t2
i+ 12,j+ 1
2 = (hu)t
i+ 12,j+ 1
2 +
t
2 f(hv)ti+ 12 ,j+ 12 +
g
(uti+ 1
2,j+ 1
2
)2 + (vti+ 1
2,j+ 1
2
)2uti+ 1
2,j+ 1
2
(Ci+ 12,j+ 1
2
)2hti+ 1
2,j+ 1
2
+ (6.15)
+ g(hti+ 1
2,j+ 1
2
Hi+ 12,j+ 1
2
)(Hi+1,j+ 12
Hi,j+ 12
) +
(hu)t
i+1,j+ 12
uti+1,j+ 1
2
+g
2((ht
i+1,j+ 12
)2 (Hi+1,j+ 12
)2)
+
(hu)ti,j+ 12 uti,j+ 12 +g
2
((hti,j+ 1
2
)2 (Hi,j+ 12
)2)+
(hu)t
i+ 12,j+1
vti+ 1
2,j+1
(hu)ti+ 1
2,j
vti+ 1
2,j
+
1
(hv)t+t
2
i+ 12,j+ 1
2
= (hv)ti+ 1
2,j+ 1
2
+t
2
f(hu)t
i+ 12,j+ 1
2
+
g
(uti+ 1
2,j+ 1
2
)2 + (vti+ 1
2,j+ 1
2
)2vti+ 1
2,j+ 1
2
(Ci+ 12,j+ 1
2
)2hti+ 1
2,j+ 1
2
+ (6.16)
+ g(hti+ 1
2,j+ 1
2
Hi+ 12,j+ 1
2
)(Hi+ 12,j+1 Hi+ 1
2,j) +
(hv)t
i+ 12,j+1
vti+ 1
2,j+1
+g
2((ht
i+ 12,j+1
)2 (Hi+ 12,j+1)
2)
+
(hv)ti+ 1
2,j
vti+ 1
2,j
+g
2((ht
i+ 12,j
)2 (Hi+ 12,j)
2)
+
(hu)ti+1,j+ 1
2
vti+1,j+ 1
2
(hu)ti,j+ 1
2
vti,j+ 1
2
+
2
e as verses discretas das equaesA.10,A.36e A.37,referentes ao segundopasso do modelo apresentado so, respectivamente:
ht+ti,j = hti,j+ (6.17)
t
(hu)t+t
2
i+ 12,j (hu)
t+t2
i 12,j
+ (hv)t+t
2
i,j+ 12
(hv)t+t
2
i,j 12
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CAPTULO 6. SIMULAO FSICA 51
(hu)t+ti,j = (hu)
t
i,j+ tf(hv)t+t2i,j +
g
(u
t+t2
i,j )2 + (v
t+t2
i,j )2u
t+t2
i,j
(Ci,j)2ht+t
2
i,j
+ (6.18)
+ g(ht+t
2
i,j Hi,j)(Hi+ 12,j Hi 1
2,j) +
(hu)
t+t2
i+ 12,j
ut+t
2
i+ 12,j
+g
2((h
t+t2
i+ 12,j
)2 (Hi+ 12,j)
2)
+
(hu)t+t2
i1
2 ,j
ut+t
2
i1
2 ,j
+g
2((h
t+t2
i1
2 ,j
)2 (Hi1
2
,j)2)+
(hu)t+t
2
i,j+ 12
vt+t
2
i,j+ 12
(hu)t+t
2
i,j 12
vt+t
2
i,j 12
+
1
(hv)t+ti,j = (hv)ti,j+ t
f(hu)
t+t2
i,j +
g
(u
t+t2
i,j )2 + (v
t+t2
i,j )2v
t+t2
i,j
(Ci,j)2ht+t
2
i,j
+ (6.19)
+ g(ht+t
2
i,j Hi,j)(Hi,j+ 12
Hi,j 12
) +
(hv)
t+t2
i,j+ 12
vt+t
2
i,j+ 12
+g
2((h
t+t2
i,j+ 12
)2 (Hi,j+ 12
)2)
+
(hv)t+t
2
i,j 12
vt+t
2
i,j 12
+g
2((h
t+t2
i,j 12
)2 (Hi,j 12
)2)
+
(hu)t+t
2
i+ 12,j
vt+t
2
i+ 12,j (hu)
t+t2
i 12,j
vt+t
2
i 12,j
+
2
As equaes6.14a6.19foram implementas considerandof, g, 1 e 2 da-
dos numricos de entrada eh0,He Cmatrizes numricas de mesma dimenso
da malha, inseridas a partir de imagens de entrada.
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CAPTULO 6. SIMULAO FSICA 52
6.2 Consideraes sobre os arquivos de entrada
Na simulao fsica relatada, alguns parmetros de entradas so informados
pelo usurio, quais sejam:
altura mdia Hdo corpo dgua,
altura inicial h0 do corpo dgua,
coeficiente de Chezy C, que controla o atrito de fundo,
ao do vento (F1, F2)na superfcie e
acelerao fde Coriolis.
Estes parmetros, com exceo de F1, F2e f, que so escalares, so iniciali-
zados a partir de imagens em tons de cinza. Estas imagens so interpretadas
como um campo de valores associado ao respectivo parmetro e cujos valores
so associados ao intervalo [0, 1] conforme a intensidade de cinza de cada
elemento da imagem, associando o zero ao preto e a unidade ao branco.
As figuras6.3e6.4mostram resultados de experimentos com imagens de
entrada para os parmetros C e H, em diferentes tons de cinza. Cada co-
luna representa um experimento, mostrando quadros em diferentes posies
temporais e, na ltima linha, apresentamos a imagem utilizada como par-
metro. Na figura6.3as imagens na ltima linha representam o coeficiente de
Chezy Cenquanto H considerado constante e unitrio. J na figura6.4,
as imagens da ltima linha representam a altura mdia da gua H, que nos
d o formato do leito, enquanto o coeficiente de Chezy, agora, considerado
constante e unitrio.
Na figura6.5observamos exemplos de inicializao para h0. Cada linha
representa um experimento, onde apresentamos, na primeira imagem, a ima-
gem utilizada na inicializao de h0, ou seja, a altura da gua no incio do
7/23/2019 Animacao de Fluidos Em Imagens Digitais
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CAPTULO 6. SIMULAO FSICA 53
Figura 6.3: Variao no coeficiente de Chezy: cada coluna representa um experimento
que tem como entrada do parmetro C a imagem na ltima linha e mantendo H = 1
constante. Da esquerda para a direita, vemos o efeito do aumento do atrito na regio
central do objeto.
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CAPTULO 6. SIMULAO FSICA 54
Figura 6.4: Variao na topografia: cada coluna representa um experimento que tem como
entrada do parmetro Ha imagem na ltima linha e mantendo C = 1constante.
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CAPTULO 6. SIMULAO FSICA 55
Figura 6.5: Dois experimentos com h0 inicializados pelas imagens da esquerda. Imagens
centrais indicando a inicializao da superfcie e as imagens da direita, a superfcie durante
a simulao.
movimento. A segunda imagem o primeiro quadro do movimento e a ltima
um quadro no transcorrer da simulao.
Alm disso, o parmetro(F1, F2)e a altura da ondah, podem ser pertur-
bados durante o experimento, como ocorre nos experimentos apresentados
nas figuras6.6e 6.7.
A figura6.6mostra um experimento com(F1, F2) = (0, 0)e uma onda ge-
rada por uma perturbao inicial emh0 em um nico ponto de malha, no cen-
tro superior do objeto aquoso. Na segunda linha, efetuamos uma perturbao
nas foras (F1, F2) durante cinco intervalos de tempo, do
tempo50 ao tempo55, voltando a zer-las aps este inter-
valo. O vetor correspondente perturbao representado
ao lado.
J na figura6.7 a altura da onda h que perturbada. Durante todo
o experimento, a altura da onda h alterada, em posies aleatrias, rece-
7/23/2019 Animacao de Fluidos Em Imagens Digitais
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CAPTULO 6. SIMULAO FSICA 56
Figura 6.6: A primeira linha apresenta um experimento onde a ao do vento nula. Na
segunda linha, apresentamos a ao do vento aplicada na direo diagonal, no sentido do
canto inferior esquerdo do objeto ao canto superior direito, durante os tempos 50 a 55.
Fora deste intervalo temporal a fora nula. As colunas representam, respectivamente, os
resultados nos tempo 50, 100, 150e 200.
bendo valores tambm aleatrios. Mostramos a imagem original utilizada no
experimento e um quadro da simulao.
Figura 6.7:Experimento com perturbaes aleatrias em h. Imagem original esquerda eno tempo 100 direita.
Outros experimentos so apresentados no captulo de resultados.
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Captulo 7
Projeo reversa e renderizao
O processo de simulao descrito no captulo6 disponibiliza, a cada passo
de tempo, o campo de alturas h, que descreve as ondas produzidas pelo
fluxo no domnio de simulao. O campo de alturas produzido em cada
passo de tempo deve ser transferido imagem original para criar a animao.
Este processo como um mapeamento do campo de alturas em uma malharetangular sobre o domnio de projeo.
Um mecanismo traador de raios utilizado para transferir o efeito de
ondas do campo de alturas para a imagem projetada. Mais especificamente,
raios originados no ponto focal e passando por cada elemento da camada
da imagem a ser animada so lanados em direo ao domnio de simula-
o, interceptando o campo de alturas. Efeitos de refrao e iluminao so
calculados e combinados para produzir a cor final de cada elemento.
A refrao um recurso importante quando animamos certas espcies de
cenas, como cenas contendo lquidos transparentes, e calculada utilizando
a lei de Snell com os coeficientes gua/ar. Cada raio refratado intercepta a
superfcie definida pelo campo de alturas he, em cada ponto de interseo,
so combinados efeitos de iluminao para produzir a imagem final.
57
7/23/2019 Animacao de Fluidos Em Imagens Digitais
65/111
CAPTULO 7. PROJEO REVERSA E RENDERIZAO 58
A iluminao correta em cada ponto de interseo no pode ser calculada
diretamente porque as posies das fontes de luz no so conhecidas. Uma
estimativa automtica da fonte de luz um problema difcil. Em nossa
implementao ns evitamos este problema fixando a fonte de luz atrs da
cmera. Embora esta estratgia simples possa gerar uma inconsistncia entre
a iluminao da imagem e a onda, a mesma no afeta o resultado da animao
ao ponto de despertar ateno. A intensidade da cor modificada em funo
da alterao no ngulo de incidncia do raio proveniente da fonte de luz,
atravz de uma reflexo difusa dada por Inovo = kI(N L), onde k o
coeficiente de difuso, I a intensidade determinada,N o vetor normal do
campo altura e L o vetor direcional da fonte de luz.
Durante o processo de renderizao, alm da refrao e da iluminao,
podemos aplicar alteraes na tonalidade em funo da altura da onda, re-
sultando em efeitos visuais interessantes, como podemos observar na figura
7.2. Estes efeitos so o branqueamento, que aproxima a cor do pixel dobranco em funo da altura da onda e a turbidez, que altera a saturao do
pixel, conservando sua cromaticidade, tambm em funo da altura da onda.
Embora heurstico, estes mecanismos resultam em efeitos agradveis nos
diversos experimentos que realizamos. Alm disso, o mapeamento pode ser
efetuado atravs da textura original do corpo dgua ou qualquer textura
informada pelo usurio. Ou seja, o processo consiste de trs etapas, sendo
duas opcionais:
texturizao (opcional) Etapa em que a textura original do corpo dgua pode ser
modificada. Para isto, basta que o usurio informe uma imagem da
mesma dimenso da textura original gerada durante a projeo do
corpo dgua.
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CAPTULO 7. PROJEO REVERSA E RENDERIZAO 59
refrao Etapa padro que remapeia a textura de acordo com a refrao do raio
de observao.
iluminao (opcional) Etapa em que a textura observada alterada em sua inten-
sidade e/ou em sua saturao.
A figura 7.2 ilustra resultados de diversas opes de iluminao em um
mesmo experimento, em um mesmo instante de tempo. A primeira linha
mostra o resultado aplicando apenas a refrao, na segunda linha temos a
refrao seguida da iluminao propriamente dita, j na terceira e quarta
linhas, mostramos o resultado da refrao seguida, respectivamente, de um
branqueamento e do efeito de turbidez, comentados anteriormente neste
captulo.
Finalmente, como podemos visualizar pela figura 7.1, aps passar pelo
processo inverso exposto no captulo 4, onde o corpo dgua mapeado de
volta no plano da imagem, a camada da imagem que no sofreu movimento
incorporada, gerando o quadro final para aquele instante de tempo. Ento
os quadros so concatenados, respeitando a sequncia temporal e o filme de
nossa animao est completo.
Figura 7.1: Sequncia de quadrinizao, da esquerda para a direita, quadro no plano do
corpo dgua, quadro no plano da imagem, quadro completo e filme.
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CAPTULO 7. PROJEO REVERSA E RENDERIZAO 60
plano da imagem plano do objeto
Refraopura
Iluminao
Branqueamento
Turbidez
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Captulo 8
Resultados obtidos
Apresentaremos neste captulo alguns resultados, no intuido de mostrar a
aplicabilidade do mtodo apresentado, sua robustez e qualidade grfica, com
diferentes parmetros em diversas imagens.
Cada experimento, se no informado o contrrio, executado com os
seguintes parmetros:
Profundidade mdia do corpo dgua constante e unitria.
Profundidade inicial do corpo dgua constante e unitria.
Acelerao de Coriolis nula.
Fora do vento nula.
Coeficiente de Chezy constante e unitrio.
Variaes espaciais infinitesimais constantes e equivalentes a uma clula
da malha.
Variaes temporais variveis e inferiores a 1maxi
hi.
Um quadro gerado a cada unidade de tempo.
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CAPTULO 8. RESULTADOS OBTIDOS 62
Um filme gerado com taxa de exibio de quinze quadros por segundo,
produzido para cada um dos experimentos relatados a seguir e o endereo
onde o mesmo pode ser visualizado apresentado. O custo computacional
funo da resoluo da imagem, dos parmetros da cmera e do tamanho
do objeto. Em mdia, imagens com resoluo 400 300 cuja malha do
objeto foi inferida em 500 500, gastam 30 a cada passo de tempo na
simulao de guas rasas e130por quadro durante a fase de projeo reversa
e renderizao, quando executados em um computador porttil de500M bde
memria RAM e processador Intel Centrino de 1, 6M Hz. Como estas duas
fases podem ser executadas em paralelo, o tempo de processamento de um
minuto de vdeo , em mdia, de22, 5horas para experimentos com imagens
desta resoluo.
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CAPTULO 8. RESULTADOS OBTIDOS 63
8.1 Rio em movimento
Neste experimento vamos ilustrar o movimento das guas de um rio, com uma
onda refletindo na imagem. A figura8.1,utilizada como imagem original,
uma foto da represa de Catalo (GO).
Figura 8.1: Imagem original do experimento.
Com parmetros default, foram aplicadas perturbaes randmicas na
altura da onda, na barragem. No filme gerado e na figura 8.2, podemos
observar o movimento das ondas provenientes de tal perturbao, bem como
seu comportamento ao encontrar a margem do rio. Com 34 de vdeo, a
gerao deste filme durou cerca de 12horas.
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CAPTULO 8. RESULTADOS OBTIDOS 64
Figura 8.2: Quadro gerado pelo experimento.
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CAPTULO 8. RESULTADOS OBTIDOS 65
8.2 Animao de fluxo em uma represa
Neste experimento ilustramos o fluxo das guas na sada das comportas de
uma represa. As figura8.3c e8.3d mostram quadros de uma animao obtida
com perturbaes no campo de alturas sob a barragem, fora do campo visual,
e com a camada de controle do parmetro Hinicializada conforme a figura
8.3b, ou seja, definimos a topografia do leito do rio.
(a) (b)
(c) (d)
Figura 8.3: Animao de fluxo em uma represa. (a) Imagem original; (b) camada da
imagem utilizada para modificar H; (c) e (d) fluxo em dois diferentes passos de tempo.
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CAPTULO 8. RESULTADOS OBTIDOS 66
8.3 Vulco
Neste experimento, vamos ilustrar o movimento de um fluido no interior de
um vulco, alterando a profundidade inicial da fronteira do corpo fludico
randomicamente.
A figura8.4mostra a imagem original e a respectiva mscara utilizadas
no experimento. Uma sequncia do vdeo mostrada, em close, na figura
8.5.
Figura 8.4: Da esquerda para a direita, imagem original e mscara utilizados no experi-
mento, seguidas da textura e malha geradas durante a fase de malhamento.
Figura 8.5: Sequncia em close do vdeo do experimento vulco.
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CAPTULO 8. RESULTADOS OBTIDOS 67
8.4 Chuvas
Os experimentos desta seo tm o objetivo de apresentar simulaes de
chuva obtidas pelo nosso mtodo. O efeito de chuva conseguido atravs
de perturbaes no corpo dgua em posies aleatrias, e produzem efeitos
agradveis. Com, respectivamente, 7, 28 e 6 de vdeo, a gerao destes
filmes duraram cerca de 3, 10e 3horas, respectivamente.
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CAPTULO 8. RESULTADOS OBTIDOS 68
8.5 Balano natural
Estes experimentos mostram o movimento suave de um corpo dgua, gerado
pela queda constante de gua em determinados pontos da imagem, indicados
por cachoeiras ao longe. Estas quedas dgua so simuladas por perturbaes
no corpo dgua, nas suas respectivas posies.
A renderizao foi efetuada, nos dois experimentos, sem acrescentar efei-
tos de iluminao, apenas utilizando a refrao. O efeito resultante um
movimento suave e realstico.
A simulao referente ao primeiro vdeo foi efetuada a partir da imagem e
mscaras indicadas na figura8.6e alteraes randmicas na altura do corpo
dgua na posio indicada pelas cachoeiras.
Figura 8.6: Da esquerda para a direita, imagem e mscara utilizadas no primeiro experi-
mento desta seo, textura e malha obtidas durante o malhamento.
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CAPTULO 8. RESULTADOS OBTIDOS 69
A simulao referente ao segundo vdeo foi efetuada a partir da imagem ao
lado e tambm alteraes
randmicas na altura do corpo
dgua na posio indicada
pelas cachoeiras.
Observe, na figura8.7,de-
talhes de quadros do segundo
vdeo, referentes ao canto in-
ferior direito da imagem ao
lado, destacando a distoro
ocorrida devido s refraes
distintas, geradas pela variao na altura da gua em cada instante.
Figura 8.7: Zum referente aos cantos inferiores direitos de quadros do segundo vdeo desta
seo.
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CAPTULO 8. RESULTADOS OBTIDOS 70
8.6 Transporte de textura
Ns tambm podemos combinar os efeitos de onda com o transporte de tex-
tura, como mostrado na figura8.8. O rio na figura8.8a recebeu manchas na
superfcie da gua. A animao produzida apenas pela projeo reversa no
campo de alturas no pareceu to realstico quanto ao transportar a mancha.
Este efeito pode ser alcanado utilizando as componentes de velocidadeu e v
para transportar a textura quadro a quadro, aumentando o realismo (figura
8.8b e8.8c).
(a)
(b) (c)
Figura 8.8: Efeitos de onda combinados com transporte de textura. (a) Imagem original;
(b) e (c) transporte de ondas e textura.
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CAPTULO 8. RESULTADOS OBTIDOS 71
8.7 Efeito Coriolis
O objetivo deste experimento apresentarmos as alteraes no movimento de
onda provocados pela variao na acelerao de Coriolis. Dois vdeos foram
gerados, um indicando as variaes no parmetro fe o outro salientando as
cristas e vales das ondas, respectivamente, com tons de vermelho e azul.
A acelerao de Coriolis, f, traz para as equaes de guas rasas a ao
da fora aparente provocada pelo movimento de rotao da Terra. Veja, na
figura8.9, a ao desta fora, em diversas intensidades, comparada com a
inexistncia da mesma, na primeira coluna. Cada linha representa um mesmo
instante de tempo.
A acelerao de Coriolis uma das responsveis pela gerao das tempes-
tades e podemos observar a intensificao deste efeito, nos vdeos, medida
que aumentamos o valor de f. Veja a causa deste efeito na figura8.10onde
salientamos a diferena do campo velocidade, em um mesmo instante de
tempo, em trs valores distintos de f. A evoluo deste campo velocidades
apresentada na figura8.11.
A figura8.12mostra a potencialidade de nosso mtodo ao comparar um
dos campos de velocidades obtidos em nosso experimento e uma foto do
furaco Dora no Pacfico Sul.
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CAPTULO 8. RESULTADOS OBTIDOS 72
t
=
14
t
=
28
t
=
42
t
=
56
t
=
70
t
=
84
t
=9
8
t
=
112
Figura 8.9: Efeito Coriolis. Da esquerda para a direita, f = 0, f = 0, 5, f = 1e f = 2.
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CAPTULO 8. RESULTADOS OBTIDOS 73
Figura 8.10: Efeito Coriolis: vetores velocidade no plano do objeto emt = 42. Da esquerda
para a direita, f = 2, f = 0e f = 2. Em destaque, zum correspondente no centro do
plano do objeto.
t= 28 t= 56 t= 84 t= 112
Figura 8.11: Efeito Coriolis: Zum central dos vetores velocidade. Acima, f =2e abaixo,
f = 2.
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CAPTULO 8. RESULTADOS OBTIDOS 74
Figura 8.12: Furaco Dora em 1999 esquerda e campo de velocidades de nosso experi-
mento direita.
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