Embed Size (px)
Citation preview
Sveuciliste J. J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku
Sveucilisni preddiplomski studij matematike
Anja Skendzic
Slobodne grupe i slobodne Abelove grupe
Zavrsni rad
Osijek, 2011.
Sveuciliste J. J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku
Sveucilisni preddiplomski studij matematike
Anja Skendzic
Slobodne grupe i slobodne Abelove grupe
Zavrsni rad
Mentor: doc. dr. sc. I. Matic
Osijek, 2011.
Sazetak. U zavrsnom radu cemo definirati i prikazati slobodne grupe i slobodneAbelove grupe. Najprije cemo se podsjetiti osnovnih stvari vezanih uz grupe, zatimdefinirati slobodne grupe i njihova osnovna svojstva. Dokazat cemo Nielsen-Schreierovteorem. U sljedecem poglavlju reci cemo nesto vise o slobodnim Abelovim grupama,homomorfizmima tih grupa i njihovom kardinalitetu, te spomenuti nekoliko vaznih te-orema, preko kojih cemo se nadovezati i na konacno generirane Abelove grupe.
Kljucne rijeci: grupa, slobodne grupe, slobodne Abelove grupe, konacno generiraneAbelove grupe.
Abstract. (Free groups and free Abelian groups) The final work defines and pre-sents free groups and free Abelian groups. It starts with already known basics, termsand parts that are relied to groups. In adition, it is important to define free groupsand their characteristics too. Then follows the proof of Nielsen-Schreierov theorem.The next paragraph tells a bit more about free Abelian groups and their propertiestoo. The paragraph also contains some important theorems which lead us to finitelygenerated Abelian groups.
Key words: group, free groups, free Abelian groups, finitely generated group.
Uvod
Koncept grupe je za algebru fundamentalan.Teorija grupa ne razlikuje izomorfne grupe, pa je njen cilj klasifkacija grupa do naizomorfizam, tj. trazenje nuznih i dovoljnih uvjeta za izomorfnost dviju grupa. Kla-sifikacija svih grupa nije zavrsena i za sad su za to slabi izgledi. Ipak, za pojedineklase grupa (ciklicke grupe, konacno generirane Abelove grupe, nerastavljive grupe ikonacne grupe malog reda) kompletirani su strukturni teoremi. Radi ucinkovitostistudiranja grupa (analogno vrijedi i za druge algebarske strukture) prostudirat cemo ifunkcije koje strukturu grupe cuvaju, a to su homomorfizmi. Primijetit cemo da se uterminima objekata i homomorfizama neki koncepti teorije prstenova, modula, polja,vektorskih prostora, itd. mogu jednako izreci kao u teoriji grupa. Uvodenjem pojmakategorije zasnovat cemo prikladan ”jezik” i okvir unutar kojeg cemo sagledati te za-jednicke koncepte.Pokazat cemo da za dani skup X u (konkretnoj) kategoriji G uvijek postoji slobodniobjekt nad X; nazvat cemo ga slobodnom grupom i oznaciti sa F . Ovo cemo iskoristitida grupu (generiranu s X) opisemo u terminima ”generatora i relacija”. Nakon toga,uvodimo ”slobodne produkte” koji su koprodukti familija objekata (grupa).Dokazat cemo strukturne teoreme za neke klase Abelovih grupa i potpuno klasificiratikonacno generirane Abelove grupe. Klasificirat cemo do na izomorfizam sve grupe redapq; gdje su p i q prosti brojevi.Na temelju svega recenog dokazat cemo jos dva strukturna teorema koji vode do pot-pune klasifikacije, do na izomorfizam, svih konacno generiranih Abelovih grupa.
Ovaj se zavrsni rad sastoji od 3 poglavlja:
1. Poglavlje govori opcenito o grupama i daje nam zapravo samo mali uvod uglavnu temu zavrsnog rad. U ovom poglavlju prisjetit cemo se nekoliko osnovnih defi-nicija o grupama, iskazati 3 veoma bitna teorema o izomorfizmu, te definirati direktanprodukt i direktnu sumu grupa.
2. Poglavlje nas upoznaje sa slobodnim grupama. Prvo nas vodi kroz povijest, igovori kako su slobodne grupe otkrivene, prikazuje njihovu konstrukciju, te govorimokoliko su one vazne i gdje se sve pojavljuju. Tu cemo jos izreci nekoliko cinjenicavezanih za slobodne grupe, te iskazati i dokazati nekoliko vaznih teorema, medu kojimaje i Nielsen Schreierov teorem.
3. Poglavlje. Ovdje cemo nakon sto smo dobro upoznali slobodne grupe u 2.poglavlju, nauciti nesto vise o slobodnim Abelovim grupama i vidjeti nekoliko primjeravezanih uz njih. Dokazat cemo strukturne teoreme za neke klase Abelovih grupa ipotpuno klasifcirati konacno generirane Abelove grupe.
3
Sadrzaj
Uvod 4
1 Grupe 51 Sto je to grupa? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Homomorfizmi grupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Direktan produkt i direktna suma grupa . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Slobodne grupe 81 Povijest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Konstrukcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Opca svojstva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Nielsen-Schreierov teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Slobodni produkti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Slobodne Abelove grupe 151 Slobodne Abelove grupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Konacno generirane Abelove grupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4 Zakljucak 24
4
Poglavlje 1
Grupe
1 Sto je to grupa?
Grupa, kao algebarska struktura, je osnovni pojam u matematici. Grupe se pojav-ljuju u analizi, u algebri, u teoriji brojeva, u algebarskoj geometriji i u mnogim drugimgranama matematike. Podsjetimo se nekih prvih i dobro poznatih primjera.
Primjer 1.1 Skup cijelih brojeva Z, uz operaciju zbrajanja, je grupa. Ako zelimo po-sebno naglasiti o kojoj se ovdje binarnoj operaciji radi, pisat cemo (Z,+). Dobro supoznata sljedeca svojstva zbrajanja:
(x+ y) + z = x+ (y + z) ∀x, y, z ∈ Z,
x+ 0 = 0 + x = x ∀x ∈ Z,
(∀x ∈ Z)(∃!− x ∈ Z) : x+ (−x) + x = 0,
x+ y = y + x ∀x, y ∈ Z.
Analogno, gornja svojstva vrijede i ako promatramo skupove realnih brojeva R,kompleksnih brojeva C, ili racionalnih brojeva Q, s obzirom na zbrajanje. Tako govo-rimo o grupama (R,+) ( C,+) i ( Q,+). Ako sa R×, C×, Q× oznacimo skupove real-nih, kompleksnih i racionalnih brojeva razlicitih od nule, redom, operacija mnozenjana tim skupovima definira strukturu grupe; te grupe oznacavamo (R×,·), (C×,·) i(Q×,·),redom. Ako oznacimo R+ := {x ∈ R | x > 0}, onda je taj skup, ponovouz operaciju mnozenja, takoder grupa; tu cemo grupu oznacavati (R+,·).
Kao pocetnu motivaciju za uvodenje pojma homomrfizma grupa, prisjetimo se josjednog vaznog preslikavanja.
exp : (R,+)→ (R+, ·)
je izomorfizam grupa. Takoder, primijetimo da je s ln : (R+, ·) → (R,+) definiranopripadno inverzno preslikavanje.
Definicija 1.1 Neprazan skup G =(G, ·), gdje je · : G × G → G binarna operacija,zove se grupa ako vrijede slijedeca svojstva ( aksiomi grupe):
5
Grupe 6
(x · y) · z = x · (y · z) ∀x, y, z ∈ G (asocijativnost)
(∃e ∈ G) : e · x = x · e = x ∀x ∈ G (neutralni element)
(∀x ∈ G)(∃!x−1 ∈ G) : ∀x, y ∈ G (inverzni element).
Ako jos vrijedi i svojstvo
x · y = y · x ∀x, y ∈ G (komutativnost),
onda kazemo da je G komutativna grupa (abelova grupa) a u suprotnom govorimoo nekomutativnoj grupi (neabelova grupa).
Red grupe G je kardinalni broj | G |. Prema redu grupe dijelimo na konacne ibeskonacne.
Primjer 1.2 (Z,+), (Q,+), (R,+), (Q×,·), (R×,·), (C×,·) su Abelove grupe.
Definicija 1.2 Skup H ⊆ G je podgrupa od G ako je to ujedno i grupa za operacijukoja je definirana na G. Drugim rijecima, H je podgrupa od G ako vrijede slijedeca dvauvijeta:
(1) (∀x, y ∈ H) : xy ∈ H(2) (∀x ∈ H) : x−1 ∈ H
Definicija 1.3 Neka su G i H dvije grupe. Preslikavanje f : G→ H je homomorfizamgrupa ako ”cuva strukturu”, to jest, ako vrijedi
f(xy) = f(x)f(y) ∀x, y ∈ G.
Homomorfizam f koji je jos i injekcija naziva se monomorfizam, f koji je i surjek-cija zovemo epimorfizam, a homomorfizam koji je i mono- i epi-, to jest bijektivanhomomorfizam, zovemo izomorfizam.
2 Homomorfizmi grupa
Vec smo se sreli sa nekim homomorfizmima grupa. Naprimjer:• exp : R→ R× (Im exp = R+)• det : GLn(K)→ K× je epimorfizam, gdje je K polje; nije mono-, jer je jezgra ovoghomomorfizma jednaka SLn(K).• Ako su V i W vektorski prostori nad poljem K, onda su posebno (V,+) i (W,+)aditivne abelove grupe. Preslikavanje f : V → W je linearan operator ako je f aditivani homogen. Ali aditivnost znaci tocno to da je f homomorfizam aditivnih grupa.
Teorem 2.1 (Prvi teorem o izomorfizmu) Neka je f : G → H proizvoljan homo-morfizam grupa. Tada je Ker f � G, Im f 6 H i preslikavanje
f : G/Kerf → Imf, f(gKerf) := f(g),
je (dobro definiran) izomorfizam grupa; to jest,
G/Kerf ∼= Imf.
Grupe 7
Primjer 2.1 Koristeci cinjenice da je determinanta det : GLn(K) → K× epimorfi-zam, te da je Ker det = SLn(K), po prvom teoremu o izomorfizmu slijedi
GLn(K)/SLn(K) ∼= K×.
Teorem 2.2 (Drugi teorem o izomorfizmu) Neka je G grupa, A ≤ G neka pod-grupa i N � G neka normalna podgrupa. Tada je
A/A ∩N ∼= AN/N.
Teorem 2.3 (Treci teorem o izomorfizmu) Neka je G grupa i neka su M, N � Gdvije normalne podgrupe takve da je N ≤ M. Tada je
(G/N)/(M/N) ∼= G/M.
3 Direktan produkt i direktna suma grupa
Prvo cemo uvesti pojam direktnog produkta. Zapravo, sa konstrukcijom produktagrupa smo se vec sreli. Naprimjer, R2 = R× R, Rn = Rn−1 × R, Cn, . . .Da bismo lakse razumjeli ono sto slijedi, zapocnimo sa slucajem kada imamo samodva faktora. Neka su GiH grupe i definirajmo Kartezijev produkt (skupova) G×H ioperaciju ’mnozenja po komponentama’ na G×H ovako:
(g1, h1) · (g2, h2) := (g1g2, h1h2).
Tako je naG×H dobivena struktura grupe;ovu grupu zovemo direktan produkt grupaG i H.
Neka je sada {Gi | i ∈ I} proizvoljna familija grupa; sa ei ∈ Gi cemo oznacavatipripadne neutralne elemente u tim grupama.
Definicija 3.1 Kartezijev produkt∏i∈I
Gi := {f : I →⋃i∈I
Gi | f(i) ∈ Gi},
uz operaciju ’mnozenja po komponentama’
(f · g)(i) := f(i) · g(i),
zove se direktan produkt grupa{Gi}I .
Definicija 3.2 Podgrupa⊕i∈I
Gi := {f ∈∏i∈I
Gi | f(i) 6= ei za koncno mnogo i ∈ I}
od direktnog produkta∏
I Gi, zove se direktna suma grupa {Gi}I .
Poglavlje 2
Slobodne grupe
U matematici, kazemo da je grupa G slobodna grupa ako postoji podskup S ⊆ Gtakav da bilo koji element grupe G moze biti prikazan kao produkt konacno mnogoelemenata iz S i njihovih inverza (bez obzira na trivijalne varijacije kao sto su st−1 =su−1ut−1). Osim postojanja inverza, ne postoje drugi odnosi medu generatorima slo-bodnih grupa.
1 Povijest
Slobodne grupe se prvi puta pojavljuju kod proucavanja hiperbolicke geometrije,kaoprimjer Fuzijskih grupa (diskretne grupe koje se ponasaju kao izometrije hiperbolickeravnine). 1882. godine, Walter von Dyck je istaknuo da te skupine imaju najjednostav-niji prikaz. Algebarska istrazivanja slobodnih grupa pokrenuo je Jakob Nielsen 1924.godine, koji im je dao ime i utvrdio mnoga njihova osnovna svojstva. Max Dehn jeshvatio vezu s topologijom, i dao prvi dokaz Nielsen-Schreier teorema. Otto Schreierobjavio je algebarski dokaz Nielsen-Schreier teorema 1927. godine, a Kurt Reideme-ister je u svoju knjigu o kombinatornoj topologiji 1932. ukljucio opsezno djelovanjeslobodnih grupa. Kasnije 1930. godine Wilhelm Magnus otkriva poveznicu izmedudonjeg centralnog niza slobodnih grupa i slobodne Liejeve algebre.
Primjer 1.1 Grupa (Z,+) cijelih brojeva je slobodna; mozemo uzeti S={1}. Slobodnagrupa nad dvoclanim skupom S se pojavljuje u Banch-Tarskijevu paradoksu i tamo jeprecizno opisana.
S druge strane, bilo koja netrivijalna konacna grupa ne moze biti slobodna, jerelementi konacno generirane slobodne grupe imaju beskonacan red. U algebarskoj to-pologiji je fundamentalna grupa buketa k kruznica (skupa k petlji s jednom zajednickomtockom) slobodna grupa na k-clanom skupu.
2 Konstrukcija
Slobodnu grupu FS sa slobodnim generatorom grupe S mozemo prikazati na sljedecinacin. S je grupa i pretpostavimo da za svaki element s iz S postoji odgovarajuci′′inverzni′′ element, s−1, koji je iz S−1. Neka je T = S ∪ S−1,te definiramo rijec u Skao proizvoljan neprazan produkt elemenata iz T. Prema tome, rijec u S je elementmonoida generiranog s T.
8
Slobodne grupe 9
Definicija 2.1 Neka je G grupa, i neka je S ⊆ G. Rijec u S definiramo kao sε11 sε22 · · · sεnn
gdje su s1, . . . , sn elementi skupa S i εi = ±1, a broj n duzina rijeci. Svaka rijec izS predstavlja element skupa G, nazvan produkt izraza. Prema konvenciji, identiteta semoze prikazati pomocu prazne rijeci. Prazna rijec je jedinstvena rijec duzine nula.
Primjer 2.1 Ako je S = {a, b, c} onda je T = {a, a−1, b, b−1, c, c−1} i
abc−1ca−1c
je rijec iz S. Ako se element s nalazi neposredno do svojega inverza s−1, rijec moze bitipojednostavljena ”ispustanjem” tog elementa:
abc−1ca−1c −→ aba−1c.
Rijec koja se ne moze pojednostavniti je reducirana.
Definicija 2.2 Rijec ( s1, s2, . . .) cemo nazvati reduciranom ako je osigurano:(i) x i x−1, x ∈ X, nisu susjedni niti u jednom od dva moguca poretka tj. si = x →si+1 6= x−1 i si = x−1 → si+1 6= x za sve n ∈ N;(ii) ak = 1 za sve n ≥ k.
Dakle svaku nepraznu reduciranu rijec mozemo napisati u obliku niza
(sε11 , sε22 · · · sεnn , 1, 1, . . .),
gdje je n ∈ N, si ∈ S, εi = ±1 i naravno s1 = s. Zapis ovakve rijeci cemo iz prakticnihrazloga skratiti na sε11 s
ε22 · · · sεnn . Po definiciji jednakosti nizova slijedi da su reducirane
rijeci sε11 sε22 · · · sεnn i zδ11 z
δ22 · · · zδnn (si, zi ∈ S; εi, δi = ±1) jednake ako i samo ako su obje
1 ili je m = n i xi = yi, εi = δi za svaki i = 1, 2, . . . n. Skup svih reduciranih rijeciu S oznacavamo FS (ili F (S)). Preslikavanje S → FS definirano s s 7→ (s, 1, 1, . . .)je ocigledno injektivno. Po toj osnovi cemo poistovjecivati S s njegovom slikom poovom preslikavanju i smatrati da je S ⊆ FS. Tezimo na FS definirati binarnu operacijuza koju bi prazna rijec 1 bila neutralni element. Definicija izravnim dopisivanjem(jukstapozicioniranjem)
(sε11 sε22 · · · sεnn )(zδ11 z
δ22 · · · zδnn ) = sε11 s
ε22 · · · sεnn z
δ11 z
δ22 · · · zδnn
ne bi bila dobra jer na desnoj strani mozda imamo nereduciranu rijec (ako je sεmm =z−δ11 ). Zato se binarna operacija uzima kao dopisivanje uz sva potrebna ”kracenja”,tj. uz otpisivanje s1s−1is−1s1 dok se ne dobije reducirana rijec. Primjerice,kao u slucaju(s1
1s−12 s1
3)(s−13 s1
2s−14 ). Formalizirajmo ovo. Neka su sε11 , s
ε22 · · · sεnn i zδ11 , z
δ22 · · · zδnn neprazne
reducirane rijeci u S , neka je m ≤ n i neka je k, 0 ≤ m, najveci broj sa svojstvomxεm−jm−j = y
−δj+1
j+1 za j=0,1,. . .,k-1. Definiramo
(sε11 sε22 · · · sεnn )(zδ11 z
δ22 · · · zδnn ) =
sε11 · · · sεm−km−k z
δk+1
k+1 · · · zδnn , ako je k < m;
zδm+1
m+1 · · · zδnn , ako je k = m < n;1, ako je k = m = n.
Definicija je potpuno analogna u slucaju m > n.
Slobodne grupe 10
Teorem 2.1 Neka je S neprazan skup i F = FS skup svih reduciranih rijeci u S. Tadaje F grupa uz prethodno definiranu binarnu operaciju i vrijedi F = 〈S〉.
Dokaz.1 je neutralni element za uvedenu binarnu relaciju,a inverz elementa sε11 · · · sεmm jes−εmm · · · s−ε11 . Preostaje nam jos samo dokazati asocijativnost. To je moguce napravitiinduktivno i razmatrajuci sve moguce slucajeve (no to je uzasno dugo i dosadno). Micemo koristiti drugi nacin.(Z.T.) Kako 〈S〉 cine konacni produkti iz X ∪X−1, to je ocito F = FS 2
Grupu F = 〈S〉 nazivamo slobodnom grupom nad skupom S. Svaki elementslobodne grupe je beskonacnog reda.
Primjer 2.2 S = ∅ → FS = 〈e〉 (trivijalna grupa);S = {x} (jednoclan skup) → FS = 〈s〉 ∼= Z.
Primjer 2.3 | S |≥ 2→ FS nije abelova.Naime, s, z ∈ S i s 6= z → szs−1z−1 je reducirana rijec, tj. szs−1z−1 6= 1, pa je isz 6= zs.
3 Opca svojstva
Svaka podgrupa slobodne grupe je izomorfna nekoj slobodnoj grupi.(G ≤ FS → ∃Z tako da je G ∼= FZ).Slijedi teorem koji iznosimo bez dokaza (dokaz se moze vidjeti u [2], poglavlje 1.) kojice nam trebati u nastavku.Osnovni pojmovi vezani uz teoriju kategorija, koji nisu definirani u radu, se mogu naciu [2], poglavlje 1.
Teorem 3.1 F = FS je slobodni objekt nad skupom S u kategoriji G.
Ako je F ′ = F ′S neki drugi slobodni objekt nad skupom S konkretne kategorije G spreslikavanjem λ : S → F ′, onda postoji izomorfizam ϕ : F → F ′ takav da je ϕ ◦ i = λ(Prisjetimo se teorema koji kaze:(♣)Neka su F i F’ slobodni objekti kokretne kategorije C, F nad S, a F’ nad S’ i vrijedi| S |=| S ′ |. Tada su F i F’ ekvivalentni.).
FS
↗ |
S |ϕ↘f ↓
G
Posebno, λ (S) je skup generatora za F’.
Slobodne grupe 11
Korolar 3.1 Svaka grupa G je homomorfna slika slobodne grupe.
Dokaz.Neka je S skup generatora za G i neka je F neka slobodna grupa nad S. Prema Teoremu3.1. inkluzija f : S → G inducira jedinstveni homomorfizam f : F → G takav da jef ◦ i = f , gdje je i : S → F inkluzija. Za s ∈ S je f(i(s)) = s. Im f je podgrupa od Gkoja sadrzi S. Jer je G = 〈S〉 najmanja takva, to je Imf = G, tj. f je epimorfizam. 2
Ovaj korolar i Prvi teorem o izomorfizmu daju da je svaka grupa G = 〈S〉 izomorfnakvocijentu F/N , gdje je F slobodna grupa nad S, a N jezgra epimorfizma f iz Korolara3.1.Dakle, da bismo neku grupu G opisali do na izomorfizam, potrebno je specificiratiS, F i N . F je do na izomorfizam odredena s S(♣), a N je odredena nekim podsku-pom elemenata koji je generira kao podgrupu od F . Ako je ω ∈ F generator od N ,ω = sε11 s
ε22 · · · sεnn ,onda se po epimorfizmu f : F → G (oznaka iz dokaza Korolara 3.1.)
ω preslika u e ∈ G. Jednakost sε11 sε22 · · · sεnn = e u G nazivamo relacijom na genera-
torima xi. Konacno zakljucujemo da se grupu G u potpunosti moze opisati skupomnjenih generatora S i odgovarajucim skupom R relacija na tim generatorima. Pritomizbor S i R ne mora biti jedinstven za danu grupu.Vrijedi i obratno. Za dani skup S i skup Z reduciranih rijeci u S postoji grupa G koja
je generirana s S i ciji elementi zadovoljavaju relacije ω = e, ω ∈ Z.Ovdje ω = sε11 s
ε22 · · · sεnn oznacava produkt u G. (Pri tome dopustamo da neke elemente
iz S grupa G ne razlikuje, na primjer elemente a, b ∈ S za koje je a1b−1 ∈ Z.)G konstruiramo na iduci nacin.
Neka je F slobodna grupa nad S i N normalna pogrupa od F generirana s Z, tj. pre-sjek svih normalnih podgrupa od F koje sadrze Z.Za G uzmemo kvocijentnu grupu F/N , a S identificiramo s njegovom slikom po pro-jekcijini na kvocijent S⊂F→F/N.Tako G mozemo promatrati kao grupu generiranu s S, a po konstrukciji vrijede i relacijeω = e, ω ∈ Z. Naime ω = sε11 s
ε22 · · · sεnn ∈ Z → sε11 s
ε22 · · · sεnn ∈ N → Nsε11 s
ε22 · · · sεnn =
N, a ovo znaci ispunjenost sε11 sε22 · · · sεnn = e u G = F/N .
Ovom diskusijom smo opravdali slijedecu definiciju.
Definicija 3.1 Neka je S skup, a Z ⊆ FS skup reduciranih rijeci u S. Reci cemoda je grupa G definirana generatorima s ∈ S i relacijama ω = e (ω ∈ Z) akoje G ∼= FS/N , gdje je N normalna podgrupa slobodne grupe FS generirana s Z. Par〈S;Z〉 nazivamo prezentacijom grupe G.
Ako je 〈S;Z〉 prezentacija grupe G u smislu gornje definicije, onda je G najveca mogucagrupa s opisanim svojstvom.
U sljedecim primjerima zadavanja grupe generatorima i relacijama koristit cemoeksponencijalni zapis rijeci, naprimjer s1s1z−1z−1z−1s−1 = s2z−3x−1.
Primjer 3.1 FS = 〈S; ∅〉.
Slobodna grupa je ′′slobodna od relacija′′. Skup (netrivijalnih) relacija koje zado-voljavaju elementi iz S je prazan.
Slobodne grupe 12
Primjer 3.2 Z× Z = 〈{s, z}; {szs−1z−1}〉.
Z je slobodna grupa s jednim generatorom, pa je kod ovog direktnog produktajedina relacija zahtjev da generatori svakog od faktora komutiraju.
Primjer 3.3 Zm = 〈{s}; {sm}〉,m ∈ N.
4 Nielsen-Schreierov teorem
Slobodnu grupu mozemo definirati pomocu prezentacije grupe koja se sastoji od skupageneratora i praznog skupa odnosa (jednakosti koje generatori zadovoljavaju). To jejedinstvena grupa u kojoj je svaki element produkt niza generatora i njegovih inverza,i sve jednadzbe slijede trivijalno iz gg−1 opisujuci vezu izmedu generatora i njegovainverza. Elementi slobodne grupe mozemo zamisliti kao sve moguce reducirane rijecidobivene iz niza generatora i njihovih inverza, koji nemaju susjedni par generatora iinverza istog generatora.
Nielsen-Schreierov teorem zapravo kaze da ako je G podgrupa slobodne grupe, ondaje G izomorfna takvoj grupi. Preciznije, postoji podskup S⊆G takav da je svaki elementiz G dobiven iz elemenata skupa S i njihovih inverza, te nikakva netrivijalna relacijanije zadovoljena u S.
Teorem 4.1 (Nielsen-Schreierov teorem) Svaka podgrupa slobodne grupe je slo-bodna.
Primjer 4.1 Neka je G slobodna grupa s dva generatora a i b, i neka se E ⊆ G sastojiod svih reduciranih rijeci koje se sastoje od jednako mnogo generatora i njihovih inverza.Zatim, E je generiran sa 6 elemenata: p = aa, q = ab, r = ab−1, s = ba, t = ba−1, iu =bb. Faktorizacija bilo koje reducirane rijeci iz E u ove generatore i njihove inverzese moze jednostavno konstruirati uzimanjem uzastopnih parova simbola iz reduciranerijeci. Medutim, to nije slobodna prezentacija grupe E jer zadovoljava relacije p =qr−1 = rq−1 i s = tu−1 = ut−1. Umjesto toga, E je generirana kao slobodna grupa s trielementa p = aa, q = ab, i s = ba. Svaka faktorizacija rijeci u produkt generatora iz6-eroclanog skupa {p, q, r, s, t, u} se moze pretvoriti u produkt generatora iz ovog manjegskupa zamjenom r sa ps−1, t sa sp−1 i zamjenom u sa sp−1q. Znaci, E je slobodna grupagenerirana sa p, q i s. Nielsen-Schreierov teorem navodi da ovaj primjer nije slucajan:kao sto je E, svaka podgrupa slobodne grupe moze biti generirana kao slobodna grupa,moguce i s vecim skupom generatora.
Dokaz.(Nielsen-Schreierov teorem)Teorem je moguce dokazati pomocu topologije. Slobodna grupa G na skupu generatoraje fundumentalna grupa buketa kruznica, koja je topoloski graf s jednom tockom i spo jednim rubom za svaki generator. Svaka podgrupa H fundumentalne grupe je isama fundumentalna grupa koja pokriva prostor buketa, (koji moze biti beskonacan),dok topoloski Schreierov graf koskupova ima po jedan vrh za svaki koskup podgrupe.U svakom topoloskom grafu je moguce smanjiti broj bridova razgranatog stabla grafa,dobivajuci na taj nacin buket kruznica koji ima istu fundamentalnu grupu H. Funda-mentalna grupa od H je buket kruznica, koja je sama po sebi slobodna.
Slobodne grupe 13
Prema Schreierovoj lemi o podgrupi, skup generatora za slobodnu prezentaciju od Hmoze se konstruirati iz ciklusa koji pokriva graf formiran nadovezivanjem razgranatogstabla jednostavnim bridom, putem od pocetne tocke (koskupa identitete) do jednogod preostalih koskupova, a inverz razgranatog stabla je put od druge krajnje tocke rubado pocetne tocke. 2
Neoborivi temeljiIako postoji nekoliko razlicitih dokaza Nielsen-Schreierovog teorema, svi oni ovise oaksiomu izbora. U dokazu temeljenom na osnovnoj grupi buketa, na primjer, aksiomizbora se pojavljuje u obliku tvrdnje da svaki povezani graf ima razgranato stablo.Koristenje ovog aksioma je nuzno, jer postoje modeli Zermelo-Frankelove teorije ukojoj su i aksiom izbora i Nielsen-Schreierov teorem lazni. Nielsen-Schreierov teorempak podrazumijeva slabije verzije aksioma izbora,za konacne skupove.
5 Slobodni produkti
U ovoj tocki smo i dalje u (konkretnoj) kategoriiji grupa G; uvodimo ′′slobodne produkte′′
koji su koprodukti familija objekata (grupa).
Neka je {Gi | i ∈ I} familija grupa po pretpostavci (kao skupova) medusobno di-sjunktnih. Oznacimo S =
⋃i∈I Gi; {1} neka je jednoclani skup disjunktan sa S.
Definiramo rijec u S kao niz (s1, s2, s3, . . .) sa svojstvom si ∈ S ∪ {1} i postojin ∈ N takvo da je sk = 1 za sve k ≥ n.Rijec (s1, s2, s3, . . .) cemo nazvati reduciranom ako vrijedi:(i) niti jedan si ∈ S nije jedinicni element pripadne grupe Gi;(ii) za sve i, j ≥ 1, si i si+1 (susjedni elementi) nisu iz iste grupe Gj;(iii) sk = 1→ sn = 1 za sve n ≥ k.
Posebno 1 = (1, 1, . . .) je primjer reducirane rijeci. To je tzv. prazna rijec. Svakunepraznu reduciranu rijec mozemo na jedinstveni nacin napisati u obliku niza
(s1, s2, . . . , sn, 1, 1, . . .) = s1s2 . . . sn,
gdje je si ∈ S.Skup svih reduciranih rijeci oznacava se s
∏∗i∈I Gi (odnosno, G1 ∗G2 ∗ · · · ∗Gn ako
je I konacan). Pokazuje se da je∏∗
i∈I Gi grupa; nazivamo je slobodnim produktomfamilije grupa {Gi | i ∈ I}. Binarna operacija je jukstapozicioniranje uz sva mogucaskracenja dok se ne dobije reducirana rijec. Na primjer, ako su ai, bi ∈ G, i = 1, 2, 3,onda je
(a1a2a3)(a−13 b2b1b3) = a1c2b1b3 = (a1, c2, b1, b3, 1, 1, . . .),
gdje je c2 = a2b2 ∈ G2.1 je neutralni element za binarnu operaciju. 1 je rezultat ako se sve skrati.
Za svako k ∈ I preslikavanje ηk : Gk →∏∗
i∈I Gi definiramo sa
ηk(x) =
{1, x = e(a, 1, 1, 1, . . . ), x = a
Slobodne grupe 14
je monomorfizam grupa. Na toj osnovi ponekad grupu Gk identificiramo s njenomhomomorfnom slikom ηk(Gk) <
∏∗i∈I Gi.
Teorem 5.1 Neka je {Gi | i ∈ I} familija grupa. Tada je∏∗
i∈I Gi koprodukt u kate-goriji grupa.
Primjer 5.1 Pretpostavimo da je G ciklicka grupa reda 4,
G = 〈x | x4 = 1〉
i H je ciklicka grupa reda 5H = 〈y | y5 = 1〉.
Tada je G ∗H beskonacna grupa
H = 〈x, y | x4 = y5 = 1〉.
Buduci da ne postoje relacije kod slobodnih grupa, slobodni produkt slobodnih grupa jeuvijek slobodna grupa.Konkretno,
Fm ∗ Fn ∼= Fm+n
gdje Fn oznacava slobodnu grupu s n generatora.
Zadatak 5.1 Neka su G i H grupe; | G |, | H |≥ 2. Dokazimo da je grupa G ∗ Hbekonacna te da je centar grupe G ∗H je trivijalan.
Rjesenje.Neka su g ∈ G, g 6= 1, h ∈ H, h 6= 1.Tada su gh, ghg, ghgh, ghghg, . . . medusobno razlicite rijeci. Dakle, G ∗ H je be-skonacna. Neka je w ∈ G ∗H u centru grupe G ∗H.Pretpostavimo da je w 6= (1, 1, . . .); neka je w = gh . . . tada jeg−1wg = w ⇒ gh . . . = g−1(gh . . .)g = h . . . g a ove rijeci su razlicite.Kontradikcija. 2
Poglavlje 3
Slobodne Abelove grupe
1 Slobodne Abelove grupe
U apstraktnoj algebri, slobodna Abelova grupa je Abelova grupa koja ima ’bazu’,u smislu da se svaki element grupe moze zapisati na jedinstven nacin, kao linearnakombinacija konacno mnogo elemenata baze (s cjelobrojnim koeficijentima). Razmotritcemo slobodne objekte kategorije Abelovih grupa. Za Abelove grupe je uobicajenaaditivna notacija, pa cemo u tom smislu koristiti sljedece oznake.
ab · · · a+ b HK · · ·H +K
a−1 · · · − a aH · · · a+H
e · · · 0 G×H · · ·G⊕Han · · ·na H ∨K · · ·H +K
ab−1 · · · a− bw∏i∈I
Gi · · ·∑i∈I
Gi.
Za svaku aditivno zapisanu grupu G, a ∈ G te m,n ∈ Z vrijedi (m+n)a = ma+na.U Abelovoj grupi je takoder m(a+ b) = ma+mb.Ako je X 6= ∅ podskup aditivno zapisane grupe G, onda je
〈X〉 = {n1x1 + n2x2 + · · ·+ nkxk | ni ∈ Z, xi ∈ X}.
Dakle, podgrupa generirana s X je skup svih linearnih kombinacija elemenata iz X.Specijalno, za x ∈ X je 〈x〉 = {nx | n ∈ Z}.
Definicija 1.1 Baza Abelove grupe F je podskup X ⊆ F takav da vrijedi(i) 〈X〉 = F(ii) za razlicite x1, x2, · · · xk ∈ X i ni ∈ Z
n1x1 + n2x2 + · · ·+ nkxk = 0⇒ ni = 0 za sve i.
Teorem 1.1 Neka je F Abelova grupa. Tada je ekvivalentno:(i) F ima bazu;(ii) F je (unutrasnja) direktna suma familije beskonacnih ciklickih podgrupa;(iii) F je izomorfna direktnoj sumi nekog broja kopija od Z;(iv) Postoji neprazan skup X i funkcija i : X → F takvi da je F slobodni objekt ukategoriji A Abelovih grupa.
15
Slobodne Abelove grupe 16
Dokaz. (i)⇒ (ii) Ako je X baza od F , tada za svaki x ∈ X,nx = 0, ako i samo akon = 0. Dakle, svaka podgrupa 〈x〉(x ∈ X) je beskonacno ciklicka grupa (i normalnabuduci je F Abelova grupa). Znamo da je F = 〈X〉, i F = 〈
⋃x∈X〈x〉〉. Ako za neki z ∈
X, vrijedi 〈z〉∩〈⋃x∈X,x 6=z〈x〉〉 6= 0, tada za n ∈ Z, n 6= 0 vrijedi nz = n1x1 + · · ·+nkxk,
gdje su z, x1, . . . , xk elementi iz X, sta je u kontradikciji s pretpostavkom da je X baza.Dakle, 〈z〉 ∩ 〈∪x∈X,x 6=z〈x〉〉 = 0, i F =
∑x∈X〈x〉(to slijedi iz definicije o unutrasnjem
direktnom produktu i sumi).(ii)⇒ (iii) Moze se vidjeti u [2], poglavlje 2.(iii)⇒ (i) Pretpostavimo da je F ∼=
∑Z i kopije od Z su indeksirane preko X. Za
svaki x ∈ X, neka je θx element {ui} iz∑
Z, gdje su ui 6= 0 za i 6= x i ux = 1.Trebamo provjeriti da je {θx | x ∈ X} baza od
∑Z i iskoristiti izomorfizam F ∼=
∑Z
da dobijemo bazu za F .(i)⇒ (iv) Neka je X baza od F i ι : X → F ulaganje. Pretpostavimo da je danakarta f : X → G. Ako je u ∈ F , onda u = n1x1 + · · · + nkxk (ni ∈ Z;xi ∈ X) od Xgenerira u F. Ako je u = m1x1 + · · · + mkxk (mk ∈ Z), onda
∑ki=1(ni − mi)xi = 0,
gdje je ni = mi za svaki i iz X je baza. Stoga, karta f : F → G, koje je danas f(u) = f(
∑ki=1 nixi) = n1f(x1) + · · · + nkf(xk), je dobro definirana funkcija kao
f ι = f. Buduci je G Abelova grupa, lako se vidi da je f homomorfizam. Buduci Xgenerira u F , svaki homomorfizam F → G je potpuno odreden svojim djelovanjem naX. Ako je g : F → G homomorfizam takav da je gι = f , tada za svaki x ∈ X g(x) =g(ι(x)) = f(x) = f(x), i otuda vrijedi g = f gdje je f je jedinstven. Slijedi da je Fslobodan objekt na skupu X u kategoriji Abelovih grupa.(iv)⇒ (iii) Neka je dana ι : X → F , konstruirajmo direktnu sumu
∑Z sa kopijama
iz Z indeksiranim preko X. Neka je Y = {θx | x ∈ X} baza od∑
Z kao u dokazu(iii)⇒ (i).Dokaz (iii)⇒ (i)⇒ (iv) dokazuje da je
∑Z slobodan objekt na skupu Y . Buduci
imamo | X |=| Y |, slijedi da je F ∼=∑
Z. 2
Primjer 1.1 Neka je G grupa definirana kao direktna suma G = Z ⊕ Z (gdje je Zbeskonacna ciklicka grupa). Simbolicki
G = {(a, b) | a, b ∈ Z}.
Jedna od baza ove grupe je {(1, 0), (0, 1)}. Ako je e1 = (1, 0) i e2, onda element (4, 3)mozemo zapisati kao
(4, 3) = 4e1 + 3e2.
U ovoj bazi, ne postoji drugi nacin da zapisemo (4, 3), ali ako za bazu izaberemo{(1, 0), (1, 1)}, gdje je f1 = (1, 0) i f2 = (1, 1), tada element (4, 3) mozemo zapisatikao
(4, 3) = f1 + 3f2.
Za razliku od vektorskih prostora, nemaju sve Abelove grupe bazu, dakle postoji posebannaziv za one koje nemaju. (Na primjer, svaka grupa koja ima periodicke elementenije slobodna Abelova grupa jer se svaki element moze prikazati na beskonacno mnogonacina, stavljanjem u proizvoljan broj ciklusa konstruiran od periodickih elemenata.)Trivijalna Abelova grupa {0} se takoder smatra slobodnom Abelovom grupom, kojemuje baza prazan skup.
Slobodne Abelove grupe 17
Definicija 1.2 Abelova grupa koja zadovoljava jedno od svojstava iz Teorema 1.1. na-ziva se slobodnom Abelovom grupom nad skupom X. {0} je slobodna Abelovagrupa nad X = ∅.
Prema dokazu Teorema 1.1. zakljucujemo kako konstruirati slobodnu Abelovugrupu F s bazom X. Jednostavno, F je direktna suma kopija od Z indeksiranih prekoX, F =
∑x∈X Z.
Po tom dokazu baza od F je {Θx | x ∈ X} i F je slobodna nad {Θx | x ∈ X}.Na osnovi injekcije i : X → F, x 7→ Θx, X mozemo identificirati s njegovom slikompo ovom preslikavanju i smatrati X ⊆ F , a ciklicku podgrupu
〈Θx〉 = {nΘx | n ∈ Z} = ZΘx
pisati kao 〈x〉 = Zx.U ovoj notaciji F =
∑x∈X〈Θx〉 postaje F =
∑x∈X Zx.F je slobodna nad X.
Proizvoljni element iz F je oblika n1x1 + n2x2 + · · · + nkxk, gdje je ni ∈ Z, xi ∈ X.Naime, u formalnim linearnim kombinacijama
∑x∈X nxx, nx ∈ Z, samo konacno
nx-eva je razlicito od nule.
Teorem 1.2 Svake dvije baze slobodne Abelove grupe imaju isti kardinalni broj.
Kardinalni broj bilo koje baze X slobodne Abelove grupe F je invarijanta od F ;| X | zovemo rang grupe F .
Dokaz.(skica)Prva pretpostavka:F ima bazu X konacnog kardinaliteta n, tako da vrijedi F ∼= Z ⊕ · · · ⊕ Z. Za svakupodgrupu G ⊆ F treba provjeriti da li je 2G = {2u | u ∈ G} podgrupa od G. Trebaprovjeriti da je ogranicenje izomorfizma F ∼= Z⊕· · ·⊕Z izomorfizam 2F ∼= 2Z⊕· · ·⊕2Z.Dakle, | F/2F |= 2n. Ako je Y neka druga baza od F i r bilo koji cijeli broj takav daje | Y |≥ r, tada slican argument pokazuje da je i | F/2F |≥ 2r, dakle 2r ≤ 2n i r ≤ n.Slijedi, | Y |= m ≤ n i | F/2F |= 2m. Dakle, 2m = 2n i | X |= n = m =| Y |.
Ako je jedna od baza F konacna, onda su sve baze konacne (sto slijedi iz prijasnjegdijela). Stoga, kako bi dovrsili dokaz dovoljno je pokazati da je | X | = | F |, gdjeje X bilo koja baza od F . Jasno je | X | ≤ | F |. Neka je S =
⋃n∈N∗ Xn, gdje je
Xn = X × · · · ×X (n puta).Za svaki s = (x1, . . . xn) ∈ S neka je Gs podgrupa 〈x1, . . . xn〉. Zatim Gs
∼= Zy1 ⊕· · · ⊕ Zyt (t ≤ n) su razliciti elementi iz {x1, . . . xn}. Dakle, | Gs |=| Zt |=| Z |= ℵ0.Buduci je F =
⋃s∈S Gs, imamo | F | = |
⋃s∈S Gs | ≤ | S | ℵ0.
Moze se pokazati da vrijedi | S |=| X |, odakle je | F |≤| X | ℵ0 =| X |. Slijedi,| F |=| X | po Schroeder-Bernsteinovom teoremu. 2
Teorem 1.3 Svaka Abelova grupa G je homomorfna slika slobodne Abelove grupe ranga| X |, gdje je X skup generatora od G.
Dokaz. Neka je F slobodna Abelova grupa na skupu X. Vrijedi, F =∑
x∈X Zx rangaF =| X |. Po Teoremu 1.1. ulaganje X → G uzrokuje homomorfizam f : F → Gtako da 1x 7→ x ∈ G, odakle slijedi X ⊂ Imf . Buduci X generira G, mora vrijeditiImf = G. 2
Slobodne Abelove grupe 18
Zadatak 1.1 (Q,+) odredite kardinalitet maksimalnog nezavisnog skupa elemenata.
Rjesenje.0 6= m1
n1, m2
n2∈ Q, (mi, ni) = 1, i = 1, 2. Tada je (m2n1) · m1
n1+ (−m1n2) · m2
n2= 0. Ako
je jedan od brojeva m1
n1ili m2
n2nula, tada opet imamo zavisnost.
Dakle, u (Q,+) nezavisni skupovi su istog kardinaliteta. 2
Propozicija 1.1 Neka je F1 slobodna Abelova grupa nad X1, a F2 slobodna Abelovagrupa nad X2. Tada vrijedi F1
∼= F2 ⇐⇒| X1 |=| X2 |.
Dokaz.(⇒) Neka je α : F1 → F2 izomorfizam. Tada je α(X1) baza za F2. Prema Teoremu1.2. je | α(X1) |=| X2 | . Sada iz | X1 |=| α(X1) | dobivamo tvrdnju.(⇐) F1 i F2 su slobodni objekti konkretne kategorije A slobodni nad X1 i X2 respek-tivno. Iz | X1 |=| X2 | na temelju teorema koji kaze: Neka su F i F ′ slobodni objektikonkretne kategorije C, F nad X, a F ′ nad X ′ i vrijedi | X |=| X ′ |. Tada su F i F ′
ekvivalentni. Slijedi da je F1∼= F2. 2
Tvrdnja vrijedi za slobodne grupe opcenito, ne samo za Abelove grupe.
Teorem 1.4 Svaka Abelova grupa G sa skupom generatora X je homomorfna slikaslobodne Abelove grupe ranga | X | .
Dokaz.Neka je G = 〈X〉 i F slobodna Abelova grupa nad X, dakle ranga | X |. VrijediF =
∑x∈X Zx i promatramo je kao slobodni objekt u A. Tada inkluzija f : X → G
inducira jedinstveni homomorfizam f : F → G takav da iduci dijagram komutira
X −→i F
↓f ↙∃!fG ,
tj. vrijedi f ◦ i = f , gdje je i : X → F (X) takoder inkluzija. Tvrdimo da je fepimorfizam. Zaista X = f(X) = (f ◦ i)(X) = f(X). Odavde je X ⊂ Imf, a vrijediImf ≤ G jer je f homomorfizam. Kako je G = 〈X〉, to je najmanja podgrupaod G{x1, x2, . . . , xn} baza koja sadrzi X upravo G. Dakle je G = Imf, tj. f jeepimorfizam. 2
Sljedeci teorem nam je od velike vaznosti za analizu strukture konacno generiranihAbelovih grupa.
Teorem 1.5 Neka je F slobodna Abelova grupa konacnog ranga n, a G 6= {0} njenapodgrupa. Tada postoji baza {x1, x2, . . . , xn} od F , prirodni broj r ≤ n i prirodnibrojevi d1, d2, . . . , dr takvi da d1 | d2 | · · · | dr i da je G slobodna Abelova grupa s bazomd1x1, d2x2, . . . , drxr.
` Za dokaz ovog teorema trebat cemo sljedecu lemu.
Lema 1.1 Neka je {x1, x2, . . . , xn} baza slobodne Abelove grupe F i a ∈ Z. Tada je zasve i 6= j skup {x1, x2, . . . , xj−1, xj + axi, xj+1, . . . , xn} takoder baza od F .
Slobodne Abelove grupe 19
Dokaz. x ∈ F ima prikaz oblika x = a1x1 + a2x2 + · · · + anxn. Zamijenimo xj =−axi+(xjaxi) u danom prikazu uzimajuci bez smanjenja opcenitosti. i < j. x = a1x1+· · ·+ai−1xi−1+(aiaaj)xi+· · ·+aj(xj+axi)+· · ·+anxn.Dakle, skup {x1, x2, . . . , xj−1, xj+axi, xj+1, . . . , xn} generira F . Pretpostavimo da je b1x1+· · ·+bj(xj+axi)+· · ·+bnxn =0, bk ∈ Z.Slijedi: b1x1+· · ·+(bi+abj)xi+· · ·+bjxj+· · ·+bnxn = 0, bk ∈ Z. Jer je {x1, x2, . . . , xn}baza zakljucujemo b1 = · · · = bi−1 = 0, bi+1 = · · · = bj = · · · = bn = 0, bi + abj = 0.Zadnja jednakost, zbog bj = 0, daje bi = 0. 2
Dokaz.(Teorem 1.5.) Ako je n = 1, tada slijedi F = 〈x1〉 ∼= Z i G = 〈d1x1〉 ≤ Z(di ∈N∗). Induktivno, pretpostavimo da je teorem tocan za sve slobodne Abelove gruperanga manjeg od n. Neka je S skup svih brojeva s takvih da postoji baza {y1, . . . , yn}od F i element iz G oblika sy1 + k2y2 + · · · + knyn (ki ∈ Z). Imajte na umu da je{y2, y1, y3, . . . , yn} baza od F takoder, otuda k2 ∈ S; slicno kj ∈ S za j = 3, 4, . . . , n.Jer je G 6= 0, imamo S 6= ∅. Dakle, S sadrzi barem pozitivan cijeli broj d1 i za nekebaze {y1, . . . , yn} od F postoji v ∈ G takve da vrijedi v = d1y1 + k2y2 + · · · + knyn.Prema teoremu o dijeljenju s ostatkom za svaki i = 2, . . . , n, ki = d1qi + ri gdje je0 ≤ ri < d1, dobijemo v = d1(y1 + q2y2 + · · · + qnyn) + r2y2 + · · · + rnyn. Neka jex1 = y1 + q2y2 + · · · + qnyn; tada je W = {x1, y2, . . . , yn} baza od F . Buduci jev ∈ G, ri < d1 i W u bilo kojem redoslijedu baza od F , minimum od d1 podrazumijevada je 0 = r2 = r3 = · · · = rn tako da je d1x1 = v ∈ G.
Neka je H = 〈y2, y3, . . . , yn〉. Tada je H slobodna Abelova grupa ranga n−1 i vrijediF = 〈x1〉⊕H. Osim toga, tvrdimo da je G = 〈v〉⊕ (G∩H) = 〈d1x1〉⊕ (G∩H). Buducije {x1, y2, . . . , yn} baza od F , 〈v〉 ∩ (G∩H) = 0. Ako je u = t1x1 + t2y2 + · · ·+ tnyn ∈G (ti ∈ Z), prema teoremu o dijeljenju s ostatkom dobijemo t1 = d1q1 + r1 gdje je0 ≤ r1 < d1. Prema tome, G sadrzi u− q1v = r1x1 + t2y2 + · · ·+ tnyn. Minimum od d1
uS podrazumijeva r1 = 0, dakle t2y2 + · · ·+tnyn ∈ G∩H i u = q1v+(t2y2 + · · ·+tnyn).Stoga G = 〈v〉+(G∩H), sto dokazuje nase tvrdnje (definicija unutarnje direktne sume).
Ili g ∩ H = 0, i u tom slucaju G = 〈d1x1〉 i teorem vrijedi ili je G ∩ H 6= 0.Zatim po induktivnoj pretpostavci postoji baza {x2, x3, . . . , xn} odH i pozitivni brojevir, d2, d3, . . . , dr takvi da je d2 | d3 | · · · | dr i G∩H je slobodna Abelova grupa s bazom{d2x2, . . . , drxr}. Buduci je F = 〈x1〉 ⊕H i G = 〈d1x1〉 ⊕ (G ∩H), jednostavno slijedida je {x1, x2, . . . , xn} baza od F i {d1x1, . . . , drxr} baza od G. Da bi zavrsili ovaj korakindukcije jos je samo potrebno dokazati da je d1 | d2. Algoritmom podjele d2 = qd1 +r0
gdje je 0 ≤ r0 < d1. Buduci je {x2, x1 + qx2, , x3, . . . , xn} baza od F , iz Leme 1.1.slijedi da je r0x2 + d1(x1 + qx2) = d1x1 + d2x2 ∈ G, minimum od d1 iz S implicira daje r0 = 0, odakle slijedi d1 | d2. 2
Korolar 1.1 Ako je konacno generirana Abelova grupa G generirana s n elemenata,onda za svaku podgrupu H < G postoji njen skup generatora kardinalnosti m ≤ n.
Dokaz. Neka je X = {x1, x2, . . . , xn} i G = 〈X〉. Po Teoremu 1.4. G je homomorfnaslika slobodne Abelove grupe ranga n. Oznacimo tu grupu s F , neka je F = F (X) i nekaje π : F → G odgovarajuci epimorfizam. Tada je π−1(H) podgrupa od F , a po Teoremu1.4. ona je slobodna i ranga m ≤ n. Njenu bazu (u smislu istog teorema) oznacimo{f1, f2, . . . , fm}. Tada je {π(f1), . . . , π(fm)} skup generatora za H = π(π−1(H)). 2
Tvrdnja korolara ne vrijedi za neabelove grupe.
Slobodne Abelove grupe 20
2 Konacno generirane Abelove grupe
Na temelju svega sto smo rekli za slobodne Abelove grupe, u ovom dijelu cemodokazati dva strukturna teorema koji vode do potpune klasifikacije, do na izomorfizam,svih konacno generiranih Abelovih grupa. Ovi strukturni teoremi su specijalni slucajeviodgovarajucih teorema za konacno generirane module nad domenom glavnih ideala.
Teorem 2.1 Svaka konacno generirana Abelova grupa G izomorfna je konacnojdirektnoj sumi ciklickih grupa. Ako u toj sumi postoje netrivijalni konacni ciklickisumandi redova m1,m2, . . . ,mt, onda postoji permutacija p skupa {1, 2, . . . , t} takva davrijedi
mp(1) | mp(2) | · · · | mp(t).
Dokaz.Ako je G 6= 0 i G je generirana s n elemenata, tada postoji slobodna Abelova gruparanga n i epimorfizam π : F → G (po Teoremu 1.3.). Ako je π izomorfizam, tada vrijediG ∼= F ∼= Z⊕· · ·⊕Z (n puta). Ako nije, onda po Teoremu 1.5. postoji baza {x1, . . . , xn}od F i pozitivni brojevi d1, . . . , dr takvi da 1 ≤ r ≤ n, d1 | d2 | · · · | dr i {d1x1, . . . , drxr}je baza od K = Kerπ. Sada F =
∑ni=1〈x〉 i K =
∑ri=1〈dixi〉, gdje je 〈xi〉 ∼= Z i pod
istim izomorfizmom 〈dixi〉 ∼= diZ = {diu | u ∈ Z}. Za i = r + 1, r + 2, . . . , n pustimodi = 0 tako da K =
∑ni=1〈dixi〉. Sada slijedi:
G ∼= F/K =n∑i=1
〈x〉/n∑i=1
〈dixi〉 ∼=n∑i=1
〈x〉/〈dixi〉 ∼=n∑i=1
Z/diZ.
Ako je di = 1, tada Z/diZ = Z/Z = 0; ako je di > 1, tada Z/diZ ∼= Zdi ; ako je di = 0,onda Z/diZ = Z/0 ∼= Z. Neka su m1, . . . ,mt oni di-ovi kada vrijedi di 6= 0, 1 i neka jes broj iz di kada je di = 0. Tada vrijedi
G ∼= Zm1 ⊕ · · · ⊕ Zmt ⊕ (Z⊕ · · · ⊕ Z),
gdje je m1 > 1, m1 | m2 | · · · | mt i (Z⊕ · · · ⊕ Z) ima rang s. 2
Naredna lema ce nam trebati za dokaz drugog strukturnog teorema.
Lema 2.1 (i) Ako su m i n relativno prosti, onda je Zm ⊕ Zn ∼= Zmn.(ii) Svaka konacna ciklicka grupa je izomorfna direktnoj sumi ciklickih grupa ciji suredovi potencije prostih brojeva, tj.
Zm ∼= Zpn11⊕ Zpn22
⊕ · · · ⊕ Zpnkk ,
gdje su p1, . . . , pk razliciti prosti brojevi, a ni prirodni brojevi, 1 ≤ i ≤ k.
Dokaz.(i) (m,n) = 1 ⇒ ∃ a, b ∈ Z tako da je am + bn = 1. Lako definiramo homomorfizamψ1 : Zm → Zmn sa 1 7→ n uz homomorfno prosirenje; n ∈ Zmn je element reda m.Analogno definiramo homomorfizam ψ1 : Zn → Zmn sa 1 7→ m.Neka je sada preslikavanje ψ : Zm ⊕ Zn → Zmn definirano sa
ψ(r, l) = ψ1(r) + ψ2(l) = rn+ lm.
Slobodne Abelove grupe 21
ψ je homomorfizam (lako se provjeri) i surjekcija.Naime, za proizvoljni k ∈ Zmn vrijedi k = k ·1 = k(am+bn) = kbn+kam = ψ(kb, ka).Kako je | Zm ⊕ Zn |= mn =| Zmn |, to ψ mora biti i injekcija, odnosno izomorfizam.(ii) Indukcijom po k-broju razlicitih prostih djelitelja od m. Ako je m = pα tvrdnjavrijedi (baza). U slucaju vise prostih djelitelja uocimo nekog od njih, recimo p. Tadapisemo m = pα, gdje je p - l.Sada po (i) slijedi Zm ∼= Zpα ⊕Zl, a na drugi sumand mozemo primjeniti pretpostavkuindukcije. 2
Teorem 2.2 Svaka konacno generirana Abelova grupa G izomorfna je konacnojdirektnoj sumi ciklickih grupa od kojih je svaka ili beskonacna ili reda potencije prostogbroja.
Dokaz. Ovaj teorem je posljedica Teorema 2.1. i Leme 2.1. Dakle,
G ∼= Zpn11⊕ Zpn22
⊕ · · · ⊕ Zpnkk ⊕ Z⊕ · · · ⊕ Z. (1)
2
U prikazu (1) prosti brojevi p1, . . . , pk nisu nuzno razliciti.Primjerice, postoje 3 neizomorfne Abelove grupe reda 23 = 8:
(Z8, Z4 ⊕ Z2 i Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2);
eksponent 3 ima tri prikaza oblika sume prirodnih brojeva: 3, 2 + 1 i 1 + 1 + 1. Da sugrupe neizomorfne vidi se na primjer po elementu najveceg reda.Postoji 5 neizomorfnih Abelovih grupa reda 34 = 81:
Z81, Z27 ⊕ Z3, Z9 ⊕ Z9, Z9 ⊕ Z3 ⊕ Z3 i Z3 ⊕ Z3 ⊕ Z3 ⊕ Z3;
eksponent 4 ima pet prikaza oblika sume prirodnih brojeva: 4, 3 + 1, 2 + 2, 2 + 1 + 1i 1 + 1 + 1 + 1.Za prikaz (1) je vazna pretpostavka o konacnoj generiranosti. Primjerice, grupa Q nijekonacno generirana i nije direktna suma nekih ciklickih grupa. Zaista, pretpostavimoda je Q =
⊕i∈I Ci. Neka su x = a
b, y = c
dgeneratori dviju tih ciklickih grupa,
a, b, c, d 6= 0 su cijeli brojevi. Tada je bc · x = ac i ad · y = ac, odnosno 0 6= ac ∈〈x〉 ∩ 〈y〉 = {0}. Dobili smo kontradikciju.
Lema 2.2 Neka je G Abelova grupa, m ∈ Z i p prost broj. Tada vrijedi:1. mG = {mg | g ∈ G} ≤ G;2. G[m] = {g ∈ G | mg = 0}‘G;3. G(p) = {g ∈ G || g |= pn za neko n ≥ 0} ≤ G;4. GTOR = {g ∈ G || g |<∞} ≤ G (torziona podgrupa);5. Zpn [p] ∼= Zp, n ≥ 1; pmZpn ∼= Zpn−m , m < n; pmZpn = {0}, m ≥ n.Neka su H i Gi, i ∈ I Abelove grupe.6. Ako je g : G→
∑i∈I Gi izomorfizam, onda su izomorfizmi i restrikcije od g na mG
i G[m] i to:
mG ∼=∑i∈I
mGi, G[m] ∼=∑i∈I
G : i[m].
7. Ako je f : G→ H izomorfizam Abelovih grupa, onda su izomorfizmi i restrikcije odf na GTOR i G(p) i to:
GTOR∼= HTOR, G(p) ∼= H(p).
Slobodne Abelove grupe 22
GTOR se naziva torzionom podgrupom grupe G. Ako je GTOR = {0}, onda Gnazivamo grupom bez torzije.Ako grupa nije Abelova, tvrdnje Leme 2.2. ne vrijede.
Korolar 2.1 Ako je G konacna Abelova grupa reda n, m ∈ N i m | n, onda G imapodgrupu reda m.
Dokaz. Prema Teoremu 2.2. vrijedi G ∼= Zpα11⊕ Zpα22
⊕ · · · ⊕ Zpαkk , odnosno n =
pα11 · · · p
αkk . Iz m | n slijedi m = pβ11 · · · p
βkk , 0 ≤ βi ≤ αi, i = 1, . . . , k. Ciklicka grupa
Zpαii ima podgrupu izomorfnu Zpβii, αi−βi ≥ 0. Naime, Zpαii ima podgrupu pαi−βiZpαii ,
a prema Lemi 2.2., 5., vrijedi pαi−βiZpαii∼= Z
pβii. Oznacimo Hi = pαi−βiZpαii
∼= Zpβii, i =
1, . . . , k. Tada je, do na izomorfizam, H = H1 ⊕H2 ⊕ · · · ⊕Hk trazena podgrupa redam. 2
Ovaj obrat Lagrangeovog teorema ne vrijedi za neabelove konacne grupe.
Teorem 2.3 Neka je G konacno generirana Abelova grupa.(i) Postoji jedinstveni nenegativni cijeli broj s takav da je broj beskonacnih ciklickihgrupa u svakoj dekompoziciji od G u direktnu sumu ciklickih grupa jednak s.(ii) G je ili slobodna Abelova grupa ili postoji jedinstveni niz (ne nuzno razlicitih)prirodnih brojeva m1, m2, . . . , mt takvih da je m1 > 1, te da vrijedi m1 | m2 | · · · | mt
iG ∼= Zm1 ⊕ Zm2 ⊕ · · · ⊕ Zmt ⊕ F ;
F je slobodna Abelova grupa.(iii) G je ili slobodna Abelova grupa ili postoji (do na poredak) jedinstveni niz poten-cija ps11 , . . . , p
skk ne nuzno razlicitih prostih brojeva p1, . . . , pk gdje su s1, . . . , sk pozitivni
cijeli brojevi (ne nuzno razliciti), tako da vrijedi
G ∼= Zps11 ⊕ Zps22 ⊕ · · · ⊕ Zpskk ⊕ F ;
F je slobodna Abelova grupa.
Dokaz. Dijelove ovih tvrdnji koji se odnose na egzistenciju vec smo dokazali u struk-turnim teoremima (Teorem 2.1.i Teorem 2.2.). Dokaz jedinstvenosti mozemo naci u[2]. 2
Prethodni teoremi daju potpunu klasifikaciju konacno generiranih Abelovih grupa.Brojeve m1, m2, . . . , mt iz tvrdnje (ii) nazivamo invarijantnim faktorom grupe G,a proste potencije ps11 , . . . , p
skk iz (iii) elementarnim divizorima od G.
Korolar 2.2 Dvije konacno generirane Abelove grupe G i H su izomorfne ako i samoako grupe G/GTOR i H/HTOR imaju isti rang, a G i H iste invarijantne faktore (ili,ekvivalentno, elementarne divizore).
Slobodne Abelove grupe 23
Zadatak 2.1 Odredite do na izomorfizam sve Abelove grupe reda 1500.
Rjesenje. 1500 = 22 · 3 · 52.Elementarni divizori:(i) {2, 2, 3, 53}, 6 ∼= Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z3 ⊕ Z125.(ii) {2, 2, 3, 5, 52}, 6 ∼= Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z3 ⊕ Z5 ⊕ Z52.
(iii) {2, 2, 3, 5, 5, 5}, 6 ∼= Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z3 ⊕ Z5 ⊕ Z5 ⊕ Z5.(iv) {22, 3, 5}, 6 ∼= Z4 ⊕ Z3 ⊕ Z5
(v) {22, 3, 5, 52}, 6 ∼= Z4 ⊕ Z3 ⊕ Z5 ⊕ Z25
(vi) {22, 3, 5, 5, 5}, 6 ∼= Z4 ⊕ Z3 ⊕ Z5 ⊕ Z5 ⊕ Z5.
Sve te grupe su medusobno neizomorfne. 2
Veza dekompozicija (ii) i (iii) konacno generirane Abelove grupe G iz Teorema 2.3.je slijedeca:⇒Ako su poznati invarijantni faktori m1,m2, . . . ,mt od G, pokazuje se (dokaz teorema)da su elementarni divizori one prim potencije pn, n > 0, koje se javljaju pri faktorizacijiod m1,m2, . . . ,mt na proste faktore.⇐Ako su poznati elementarni divizori od G i medu njima se pojavljuju potencijerazlicitih prostih brojeva p1, . . . , pn, invarijantne faktore dobijemo na sljedeci nacin.Od elementarnih divizora formiramo matricu sa r stupaca i t redaka, gdje j-ti stupacsadrzava potencije od pj, 1 ≤ j ≤ r, s eksponentima u ulaznom slijedu 0 ≤ n1j ≤n2j ≤ · · · ≤ ntj.
pn111 pn12
2 · · · pn1rr
pn211 pn22
2 · · · pn2rr
......
...
pnt11 pnt22 · · · pntrrGdje treba, dodamo p0. U svakom stupcu mora biti bar jedan ne-nula eksponent, a iu prvom retku mora biti bar jedan ne-nula eksponent. Sad je mi produkt elemenata ui-tom retku.
Primjer 2.1 Neka je G ∼= Z5 ⊕ Z15 ⊕ Z25 ⊕ Z36 ⊕ Z54. Tada dekompozicija od G tipa(ii) iz Teorema 2.3. glasi:
G ∼= Z15 ⊕ Z90 ⊕ Z2700
tj. invarijantni faktori su m1 = 15, m2 = 90, m3 = 2700.
Grupe Z i Zpn (p prost) su nerastavljive, tj. nijedna od njih nije direktna suma(opcenito: unutrasnji direktni produkt) svojih dviju podgrupa. U tom smislu Teorem2.2. i Teorem 2.3., (iii) mozemo izreci i na sljedeci nacin.Svaka konacno generirana Abelova grupa je direktna suma konacnog brojanerastavljivih grupa, a ti nerastavljivi sumandi su jedinstveno odredeni dona izomorfizam.(Prethodno svojstvo ima i sira klasa (ne nuzno Abelovih) grupa.)
Daljnji primjeri nerastavljivih grupa su proste grupe (npr. An, n 6= 4), Sn i Q.
Poglavlje 4
Zakljucak
Slobodnu grupu mozemo definirati pomocu prezentacije grupe koja se sastoji odskupa generatora i praznog skupa odnosa (jednakosti koje generatori zadovoljavaju).To je jedinstvena grupa u kojoj je svaki element produkt niza generatora i njegovihinverza, i sve jednadzbe slijede trivijalno iz gg−1 opisujuci vezu izmedu generatora injegova inverza. Elemente slobodne grupe mozemo zamisliti kao sve moguce reduciranerijeci dobivene iz niza generatora i njihovih inverza, koji nemaju susjedni par generatorai inverza istog generatora.
Nielsen-Schreierov teorem zapravo kaze da ako je G podgrupa slobodne grupe, ondaje G izomorfna takvoj grupi, tj. svaka podgrupa slobodne grupe je slobodna.
U apstraktnoj algebri, slobodna Abelova grupa je Abelova grupa koja ima ’bazu’,u smislu da se svaki element grupe moze zapisati na jedinstven nacin, kao linearnakombinacija konacno mnogo elemenata baze (s cjelobrojnim koeficijentima). Razmotrilismo slobodne objekte kategorije Abelovih grupa.
Za svaku aditivno zapisanu grupu G, a ∈ G te m,n ∈ Z vrijedi (m+n)a = ma+na.U Abelovoj grupi je takoder m(a+ b) = ma+mb.
Dokazali smo da su slijedece tvrdnje ekvivalentne za Abelovu grupu F . F imabazu; F je (unutrasnja) direktna suma familije beskonacnih ciklickih podgrupa; F jeizomorfna direktnoj sumi nekog broja kopija od Z; Postoji neprazan skup X i funkcijai : X → F takvi da je F slobodni objekt u kategoriji A Abelovih grupa. Prematom dokazu zakljucili smo kako konstruirati slobodnu Abelovu grupu F s bazom X.Jednostavno, F je direktna suma kopija od Z indeksiranih preko X, F =
∑x∈X Z.
Za razliku od vektorskih prostora, nemaju sve Abelove grupe bazu, dakle postojiposeban naziv za one koje nemaju. (Na primjer, svaka grupa koja ima periodicke ele-mente nije slobodna Abelova grupa jer se svaki element moze prikazati na beskonacnomnogo nacina, stavljanjem u proizvoljan broj ciklusa konstruiran od periodickih eleme-nata.) Trivijalna Abelova grupa {0} se takoder smatra slobodnom Abelovom grupom,kojemu je baza prazan skup.
Na temelju svega sto smo rekli za slobodne Abelove grupe, dokazali smo dva struk-turna teorema koji vode do potpune klasifikacije, do na izomorfizam, svih konacno ge-neriranih Abelovih grupa. Ti strukturni teoremi su specijalni slucajevi odgovarajucihteorema za konacno generirane module nad domenom glavnih ideala.
24
Zakljucak 25
Primjerice, postoje 3 neizomorfne Abelove grupe reda 23 = 8:
(Z8, Z4 ⊕ Z2 i Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2);
eksponent 3 ima tri prikaza oblika sume prirodnih brojeva: 3, 2 + 1 i 1 + 1 + 1. Da sugrupe neizomorfne vidi se na primjer po elementu najveceg reda.
Grupe Z i Zpn (p prost) su nerastavljive, tj. nijedna od njih nije direktna sumasvojih dviju podgrupa. Svaka koncno generirana Abelova grupa je direktna sumakonacnog broja nerastavljivih grupa, a ti nerastavljivi sumandi su jedinstveno odredenido na izomorfizam.
Primjerice, neka je G ∼= Z5⊕Z15⊕Z25⊕Z36⊕Z54. Tada dekompozicija od G glasi:
G ∼= Z15 ⊕ Z90 ⊕ Z2700.
Bibliografija
[1] T.Vucicic: Algebra - predavanja,http://www.pmfst.hr/~vucicic/nastava/ALGEBRA
[2] T.W.Hungerford: Algebra, Springer - Verlag, Berlin, 1974.
[3] http://en.wikipedia.org/wiki/Nielsen%E2%80%93Schreier_theorem
[4] http://en.wikipedia.org/wiki/Presentation_of_a_group
26
